Didactica SinFrontera Número 2 año2016

A soma de dois números triangulares dá um quadrado perfeito:
Os números triangulares são resultados da soma:
Que podem ser demonstrados por Indução finita.
Provando que é verdadeiro para n:
1+3 = 4; 3+6 = 9; 6+10 = 16; 10+15 = 25; ...
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+n = n(n+1)
.
2
n(n+1)
2
= 1(1+1)
2
= 2 2 = 1
Supondo verdadeiro para n: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n(n+1)
Provando para n+1:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+n+ n+1= (n+1)(n+2)
2
n(n+1)
+ n+ 1 =
2
n 2 + n + 2 (n + 1)
2
=
2
n 2 + 3n + 2
2
=
(n+1)(n+2)
2
... Logo, Está provado.
Além disso, a soma de dois números triangulares é um quadrado perfeito. Demonstração:
(n − 1)n
2
n 2 − n
2
2n 2
n(n + 1)
+ =
2
+ n2 + n
2
2 = n2
Logo, a soma de dois números triangulares é um número quadrado perfeito.
Referências:
FERRERO, L. El Juego y la matemática. Madrid: La Muralla, l99l.
GROSSI, E.P. & BORDIN, J. Construtivismo pós-piagetiano, um novo paradigma sobre
aprendizagem. (4.ed.) Petrópolis: Vozes, l993.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERSS OF MATHEMATICS. De los principios a la acción para garantizar
el éxito matemático para todos. México: NCTM, 2015.
POZO, J.I,. M. & PÉREZ, E.M.P. Aprender a resolver problemas e resolver problemas para aprender.
IN: POZO, J.I.M. Solución de problemas. Madrid: Santillana, l994. 14-50.
VALIENTE, S. Algo acerca de los números. Lo curiosos y lo divertido. México: Alhambra Mexicana,
l989.
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