Papel de trabajo_GMM

More documents

Recommendations

Info

Además, en muchos casos, el Teorema Central del Límite implica que las distribuciones asintóticas de los estimadores son normales. 4. El método generalizado de los momentos 4.1. Intuición: Los modelos econométricos se forman tomando algunos supuestos. Por ejemplo, E[x i ε i ] = 0. Podríamos obtener las expresiones análogas muestrales (en este caso, 1/n Σ i=1 n x i e i = 1/n Σ i=1 n x i (y i - x i ’b) = 1/n X’e = 0) y hallar el estimador de β que satisfaga esas ecuaciones de momentos. Por supuesto, el momento anterior es muy sencillo. Las condiciones (restricciones) que usemos para estimar pueden ser no lineales. Sea como sea, para poder estimar es necesario que el número de restricciones sea igual (identificación exacta) o mayor (sobreidentificación) que el número de parámetros a estimar. Veamos un sencillo ejemplo: - MCO como una estimación por momentos: Tenemos: y = Xβ + ε con ε distribuida como Q(0, σ 2 ), siendo Q una distribución (no necesariamente normal). X es (n x k). Si suponemos que el modelo está especificado correctamente, tenemos que: E(X’ε) = 0 De forma similar a lo mostrado hace unas líneas, llegamos a la condición muestral: 1/n X’(y – Xβ ) = 0 Tenemos un sistema de k ecuaciones simultáneas con k parámetros desconocidos, por lo que podemos encontrar una solución única de las β que satisfaga la anterior ecuación de forma exacta (siempre que las X sean linealmente independientes). Así reescribimos la ecuación para obtener: β MOM = (X’X) -1 X’y Que son justamente los estimadores de β por MCO. La estimación con variables instrumentales también es un caso particular del Método Generalizado de los Momentos. De hecho, las variables instrumentales 4
están muy relacionadas con la estimación MGM porque con ellas se pueden escribir los momentos necesarios para estimar. Para ello, comenzaríamos aplicando las condiciones de ortogonalidad entre Z y ε (E(Z’ε) = 0 en vez de E(X’ε) = 0), lo que haciendo lo mismo que en el ejemplo anterior nos llevaría al estimador de mínimos cuadrados en dos etapas. 4.2. Estimación con sobreidentificación: El ejemplo anterior era un ejemplo exactamente identificado. Teníamos k momentos muestrales para estimar k parámetros. Sin embargo, es corriente encontrarse ante estimaciones sobreidentificadas, en las que el número de “restricciones” es mayor a la cantidad de parámetros a estimar. Si esto ocurre, no podemos encontrar una estimación única de los parámetros desconocidos simplemente igualando los momentos muestrales a cero, sino que tendremos que elegir los estimadores que hagan que el vector de condiciones sea los más cercano posible a cero. Es decir, consideremos un modelo que está caracterizado por un conjunto de R condiciones (momentos) de la forma: E{f (w t , z t , θ)} = 0 Siendo f un vector de funciones con R elementos, θ el vector de dimensión k de parámetros desconocidos, w t el vector de variables observadas, tanto exógenas como endógenas, y z t es un vector de instrumentos. Para estimar θ hacemos lo mismo que en los ejemplos anteriores y consideramos los equivalentes muestrales de la anterior ecuación, dados por: g T (θ) ≡ 1/T Σ t=1 T f (w t , z t , θ) Pero ahora supondremos que R es mayor que k, es decir el número de restricciones es mayor que el número de parámetros desconocidos. Como hemos dicho, igualar las condiciones a cero ya no nos sirve, sino que tenemos que elegir el estimador de θ que haga al vector g T (θ) lo más cercano a cero posible. Esto lo hacemos minimizando una forma cuadrática del vector de condiciones muestrales. Mi θ n Q T (θ) = mi θ n g T (θ)’W T g T (θ) Siendo W T una matriz definida positiva con plim W T = W. La solución a este problema nos da el estimador de θ^ por el método generalizado de los momentos. Se puede demostrar que bajo algunas condiciones de regularidad no muy estrictas este estimador es consistente, asintóticamente insesgado y asintóticamente normal. De forma heurística, podemos decir que dado que las medias muestrales convergen a las poblaciones, que son cero para los verdaderos valores de los parámetros, un estimador elegido para hacer que los momentos muestrales sean lo más cercanos posibles a cero convergerá a su verdadero valor y, por tanto, será consistente. 5
Page 1 and 2: Método Generalizado de los Momento
Page 3: μ^ k = 1/T Σ t=1 T y t k Así, pa
Page 7 and 8: Visto todo lo anterior, podemos dec
Page 9 and 10: consistente en escribir las ecuacio
Page 11 and 12: Que define a nuestro modelo. Su con
Page 13 and 14: S.E. of regression 0.352850 Sum squ

Papel de trabajo_GMM

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?