Papel de trabajo_GMM

Método Generalizado de los Momentos
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Econometría Avanzada
EDORTA ROJÍ PÉREZ
Mayo de 2008
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1. Motivación
Elegí este tema porque era conocedor de la importancia de la estimación por el Método
Generalizado de los Momentos (MGM), especialmente en el área de la macroeconomía
avanzada y las finanzas. Como el próximo mes de septiembre empezaré mis estudios de
postgrado en economía, sabía que tarde o temprano tendría que comprender y estudiar
este método de estimación, así que la exposición en clase ha constituido una excelente
“excusa” para leer sobre él y comprenderlo a un nivel introductorio.
2. Introducción
El Método Generalizado de los Momentos fue propuesto bajo ese nombre por Lars Peter
Hansen en un artículo en Econometrica en 1982, aunque la idea básica que en él
subyace se remonta al menos hasta Sargan (1958). Su carácter general hace que otros
métodos de estimación, como MCO, Máxima Verosimilitud y Variables Instrumentales
sean casos especiales del mismo. Los estimadores MGM se han extendido con gran
rapidez debido a que poseen propiedades asintóticas fáciles de caracterizar en formas
que facilitan la comparación entre estimadores y porque pueden ser construidos sin
especificar completamente el proceso generador de los datos, que sí es necesario para
estimar por máxima verosimilitud.
La estimación por MGM tiene su origen en el método de los momentos, que fue
introducido por K. Pearson y es el método general más antiguo y sencillo para la
obtención de estimadores de parámetros poblacionales. Así, comenzaremos repasando
este método con un sencillo y mencionaremos sus propiedades. Posteriormente
pasaremos a explicar el MGM, en qué consiste, su equivalencia con otros métodos de
estimación, sus propiedades y algunos contrastes. Por último, finalizaremos exponiendo
dos sencillos casos prácticos en EViews.
3. El método de los momentos clásico
Este método consiste en igualar tantos momentos muestrales como parámetros haya que
estimar a los correspondientes momentos poblacionales, que son funciones de los
parámetros desconocidos. Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante se obtienen
los estimadores de los parámetros.
Si θ es un vector de parámetros de dimensión m que caracteriza la distribución de la
variable aleatoria y, el momento k, suponiendo que existe, se define como:
μ k (θ) = E [y k ]
Suponiendo que tenemos una muestra de y de tamaño T con observaciones y 1 , y 2 ,…,y T
(consideradas como T variables aleatorias independientes). Los correspondientes
momentos muestrales son:
2

μ^ k = 1/T Σ t=1 T y t
k
Así, para estimar los componentes de θ, igualamos los primeros m momentos
poblacionales, μ k (θ), con sus correspondientes momentos muestrales y resolvemos para
los componentes del vector de parámetros θ. Veamos un ejemplo:
- Tomamos una muestra (y 1 , y 2 ,…,y T ) de una población N(μ, σ 2 ), por lo que
θ = (μ, σ 2 ), es decir, tenemos que estimar esos dos parámetros. Entonces:
μ 1 (θ)= E[y] = μ
y como σ 2 = Var[y] = E[(y – μ) 2 ] = E[y 2 ] - μ 2 , tenemos que:
μ 2 (θ)= E[y 2 ] = σ 2 + μ 2
Si igualamos esto a los momentos muestrales, tenemos:
μ 1 (θ^ ) = 1/T Σ t=1 T y t
y
μ 2 (θ^ ) = 1/T Σ t=1 T y t
2
Es decir:
μ^ = 1/T Σ t=1 T y t = ȳ
y
σ^ 2 + μ^ 2 = 1/T Σ t=1 T y t
2
Reordenando esta última expresión, obtenemos:
σ^ 2 = 1/T Σ t=1 T y t 2 - μ^ 2 = 1/T Σ t=1 T y t 2 - ȳ 2
Y acordándonos de que Σ t=1 T (y t - ȳ ) 2 = Σ t=1
T
y t 2 - T ȳ 2 , obtenemos finalmente
que los estimadores son:
μ^ = ȳ
σ^ 2 = 1/T Σ t=1 T (y t - ȳ ) 2
Gracias a la Ley de los Grandes Números (también con la desigualdad de Chebychev y
el Teorema de Slutsky) podemos afirmar que dichos estimadores son consistentes.
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Además, en muchos casos, el Teorema Central del Límite implica que las distribuciones
asintóticas de los estimadores son normales.
4. El método generalizado de los momentos
4.1. Intuición:
Los modelos econométricos se forman tomando algunos supuestos. Por ejemplo,
E[x i ε i ] = 0. Podríamos obtener las expresiones análogas muestrales (en este caso,
1/n Σ i=1
n
x i e i = 1/n Σ i=1
n
x i (y i - x i ’b) = 1/n X’e = 0) y hallar el estimador de β que
satisfaga esas ecuaciones de momentos.
Por supuesto, el momento anterior es muy sencillo. Las condiciones (restricciones) que
usemos para estimar pueden ser no lineales. Sea como sea, para poder estimar es
necesario que el número de restricciones sea igual (identificación exacta) o mayor
(sobreidentificación) que el número de parámetros a estimar. Veamos un sencillo
ejemplo:
- MCO como una estimación por momentos:
Tenemos:
y = Xβ + ε
con ε distribuida como Q(0, σ 2 ), siendo Q una distribución (no necesariamente
normal). X es (n x k). Si suponemos que el modelo está especificado correctamente,
tenemos que:
E(X’ε) = 0
De forma similar a lo mostrado hace unas líneas, llegamos a la condición muestral:
1/n X’(y – Xβ ) = 0
Tenemos un sistema de k ecuaciones simultáneas con k parámetros desconocidos,
por lo que podemos encontrar una solución única de las β que satisfaga la anterior
ecuación de forma exacta (siempre que las X sean linealmente independientes). Así
reescribimos la ecuación para obtener:
β MOM = (X’X) -1 X’y
Que son justamente los estimadores de β por MCO.
La estimación con variables instrumentales también es un caso particular del
Método Generalizado de los Momentos. De hecho, las variables instrumentales
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están muy relacionadas con la estimación MGM porque con ellas se pueden escribir
los momentos necesarios para estimar. Para ello, comenzaríamos aplicando las
condiciones de ortogonalidad entre Z y ε (E(Z’ε) = 0 en vez de E(X’ε) = 0), lo que
haciendo lo mismo que en el ejemplo anterior nos llevaría al estimador de mínimos
cuadrados en dos etapas.
4.2. Estimación con sobreidentificación:
El ejemplo anterior era un ejemplo exactamente identificado. Teníamos k momentos
muestrales para estimar k parámetros. Sin embargo, es corriente encontrarse ante
estimaciones sobreidentificadas, en las que el número de “restricciones” es mayor a la
cantidad de parámetros a estimar. Si esto ocurre, no podemos encontrar una estimación
única de los parámetros desconocidos simplemente igualando los momentos muestrales
a cero, sino que tendremos que elegir los estimadores que hagan que el vector de
condiciones sea los más cercano posible a cero.
Es decir, consideremos un modelo que está caracterizado por un conjunto de R
condiciones (momentos) de la forma:
E{f (w t , z t , θ)} = 0
Siendo f un vector de funciones con R elementos, θ el vector de dimensión k de
parámetros desconocidos, w t el vector de variables observadas, tanto exógenas como
endógenas, y z t es un vector de instrumentos.
Para estimar θ hacemos lo mismo que en los ejemplos anteriores y consideramos los
equivalentes muestrales de la anterior ecuación, dados por:
g T (θ) ≡ 1/T Σ t=1 T f (w t , z t , θ)
Pero ahora supondremos que R es mayor que k, es decir el número de restricciones es
mayor que el número de parámetros desconocidos. Como hemos dicho, igualar las
condiciones a cero ya no nos sirve, sino que tenemos que elegir el estimador de θ que
haga al vector g T (θ) lo más cercano a cero posible. Esto lo hacemos minimizando una
forma cuadrática del vector de condiciones muestrales.
Mi θ
n Q T (θ) = mi θ
n g T (θ)’W T g T (θ)
Siendo W T una matriz definida positiva con plim W T = W. La solución a este problema
nos da el estimador de θ^ por el método generalizado de los momentos. Se puede
demostrar que bajo algunas condiciones de regularidad no muy estrictas este estimador
es consistente, asintóticamente insesgado y asintóticamente normal. De forma
heurística, podemos decir que dado que las medias muestrales convergen a las
poblaciones, que son cero para los verdaderos valores de los parámetros, un estimador
elegido para hacer que los momentos muestrales sean lo más cercanos posibles a cero
convergerá a su verdadero valor y, por tanto, será consistente.
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Sin embargo, diferentes W T dan lugar a diferentes estimadores consistentes con
diferentes matrices de varianzas y covarianzas asintóticas. Por ejemplo, si W T = I (la
matriz identidad), obtenemos estimadores consistentes, pero ineficientes. Siguiendo la
misma lógica de la estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG), es
beneficioso usar un criterio ponderado en el que las ponderaciones sean inversamente
proporcionales a las varianzas de los momentos. Así, la matriz de ponderaciones
óptima, que lleva a la matriz de varianzas y covarianzas del estimador MGM más
pequeña, es la inversa de la matriz de varianzas y covarianzas de los momentos
muestrales. En ausencia de correlación viene dada por:
W Opt = (E{f (w t , z t , θ) f (w t , z t , θ)’}) -1
En general esta matriz depende del vector de parámetros desconocidos θ, lo que nos
presenta un problema. La solución es adoptar un método de estimación iterativo:
Inicialmente, usamos una elección de W T que no dependa de θ (como, por ejemplo, la
matriz identidad, lo que nos daría una solución similar a la de mínimos cuadrados no
lineales) para obtener un primer estimador consistente de θ, θ^ 1. A continuación,
podemos estimar consistentemente la matriz de ponderaciones óptima con:
W Opt = (1/T Σ t=1 T f (w t , z t , θ^ 1 ) f (w t , z t , θ^ 1 )’) -1
Y con ella minimizamos la función Q T (θ^ 1) para obtener los estimadores MGM óptimos,
es decir, asintóticamente eficientes. Este proceso de dos etapas puede ampliarse y
calcularse de forma iterativa θ^1, θ^2, θ^3… hasta que cumplan un criterio de convergencia.
La distribución asintótica del estimador MGM asintóticamente eficiente que acabamos
de obtener, θ^ MGM, es (gracias al teorema central del límite aplicado a los momentos
muestrales y al teorema de Slutsky) la siguiente:
√¯T (θ^MGM - θ) → N(0, V)
Donde la matriz de varianzas y covarianzas V viene dada por:
V = (D W Opt D’) -1
Siendo D una matriz de derivadas (k x r) de la forma:
D = E{∂ f (w t , z t , θ)/ ∂ θ’}
Intuitivamente, los elementos en D miden la sensibilidad de un momento en particular
respecto a pequeños cambios en θ. Si dicha sensibilidad con respecto a un elemento de θ
es grande, pequeños cambios en este elemento darán lugar a cambios relativamente
grandes en la función objetivo Q T (θ) y el elemento particular en θ estará estimado con
relativa precisión. La matriz de varianzas y covarianzas V se estima sustituyendo los
momentos poblacionales en D y W Opt por sus equivalentes muestrales evaluados con θ^ .
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Visto todo lo anterior, podemos decir que algunas de las ventajas del método
generalizado de los momentos son que no requiere supuestos de distribución (como
normalidad), que permite heterocedasticidad de forma desconocida y que puede estimar
parámetros incluso si el modelo no puede resolverse analíticamente a partir de las
condiciones de primer orden.
4.3. Contraste de restricciones sobreidentificadas:
Como ya hemos dicho, la matriz de ponderaciones W es irrelevante si el número de
ecuaciones de momentos es el mismo que el número de parámetros a estimar. Pero si
los parámetros están sobreidentificados en la ecuación de momentos, estas ecuaciones
implican importantes restricciones. Así, si alguna de las hipótesis del modelo que llevan
a las ecuaciones de momentos es inicialmente incorrecta, al menos alguna de la
restricciones muestrales de momentos se verá sistemáticamente violada, lo que nos abre
la puerta para el contraste de restricciones sobreidentificadas, es decir, para testar si la
especificación del modelo es correcta.
Si todas las restricciones de momentos del modelo son correctas, el test estadístico es:
ξ = T g T (θ^ MGM )’W T Opt g T (θ^ MGM )
que asintóticamente se distribuye como una Chi-cuadrado con R – K grados de libertad.
Dos aspectos del test deben ser mencionados: primero, vemos que por su construcción
es equivalente a la del test de Wald visto en clase y, segundo, para el caso exactamente
identificado hay cero grados de libertad, por lo que no podemos testar nada.
4.4. Ampliaciones:
Antes de pasar a ver dos ejemplos con datos, me gustaría comentar que lo explicado en
las anteriores líneas sólo es una pequeña introducción. Es posible estudiar con mucha
más profundidad las propiedades de los estimadores en distintos ejemplos, así como ver
a nivel teórico distintas aplicaciones en las que la teoría económica se usa para derivar
las condiciones de momentos, como ocurre en los modelos de valoración de activos o en
los modelos de expectativas racionales. Sin embargo, el nivel analítico de estos temas es
mucho mayor que el que se puede esperar de en un curso de licenciatura. No obstante,
se puede consultar la bibliografía del trabajo si se quiere ir más allá.
5. Aplicaciones
A continuación vamos a ver dos ejemplos del método de MGM con EViews. Un
ejemplo se debe a Seppo Pynnonen, de la Universidad de Vaasa (Finlandia), mientras
que el otro se debe a Benedikt Heid, de la Universidad de Tübingen (Alemania). Ambas
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aplicaciones se sitúan en el ámbito de la Econometría Financiera, pero es lo menos
importante para nosotros. Lo interesante es ver cómo estimamos con las condiciones de
momentos que consideremos oportunas según las condiciones del modelo y cómo
llevamos a cabo el contraste de restricciones sobreidentificadas.
5.1. Contraste de restricciones sobreidentificadas:
Tenemos los rendimientos diarios del índice SP500 en un periodo de diez años, a los
que llamaremos y t . Nos preguntamos si dichos rendimientos siguen una distribución
normal. Si lo hicieran, las condiciones de momentos serían las siguientes:
y t – μ = 0
(y t – μ) 2 – σ 2 = 0
(y t – μ) 3 / σ 3 = 0
(y t – μ) 4 / σ 4 – 3 = 0
Siendo μ =E[y t ], σ 2 = Var[y t ].
Si en EViews le damos a estimar y ponemos GMM como método, obtenemos esta
pantalla:
En “equation specification” deberíamos escribir las ecuaciones de momentos del
modelo, mientras que en “instrument list” especificamos los instrumentos que vamos a
utilizar. Sin embargo, en lugar de ir por este camino, se suele utilizar otro más cómodo,
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consistente en escribir las ecuaciones de momentos en un “sistema”. Así, en EViews
pulsamos: Object → New Object → System. Se nos abrirá una pantalla en blanco en la
que podremos escribir las condiciones de momentos para la estimación. Las escribimos
y tendremos esto:
“Spret” es el nombre de la serie, c(1) es la media, c(2) la desviación típica y hemos
utilizado a “c” como instrumento de forma sencilla. Ahora pulsamos estimar y
obtenemos:
Al tratarse de una serie temporal elegimos “GMM – Time Series” (con la HAC de
Newey – West). En la parte de arriba a la derecha tenemos distintas opciones para el
cálculo de la matriz de ponderaciones. Finalmente pulsamos “Ok” y obtenemos:
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System: GMM
Estimation Method: Generalized Method of Moments
Date: 05/17/08 Time: 13:37
Sample: 2 2610
Included observations: 2609
Total system (balanced) observations 10436
Instruments: C
No prewhitening
Bandwidth: Fixed (8)
Kernel: Bartlett
Convergence achieved after: 1 weight matrix, 269 total coef iterations
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 0.035786 0.016279 2.198221 0.0280
C(2) 0.851991 0.030982 27.49985 0.0000
Determinant residual covariance 1300498.
J-statistic 0.026651
Equation: SPRET-C(1)
Observations: 2609
S.E. of regression 0.870200 Sum squared resid 1974.905
Durbin-Watson stat 1.949806
Equation: (SPRET-C(1))^2-C(2)^2
Observations: 2609
S.E. of regression 2.057428 Sum squared resid 11035.46
Durbin-Watson stat 1.583127
Equation: ((SPRET-C(1))/C(2))^3
Observations: 2609
S.E. of regression 17.72680 Sum squared resid 819222.6
Durbin-Watson stat 2.335318
Equation: ((SPRET-C(1))/C(2))^4-3
Observations: 2609
S.E. of regression 133.6111 Sum squared resid 46539961
Durbin-Watson stat 1.734260
El estadístico J es el que nos permite realizar el contraste de sobreidentificación, pero en
la salida de EViews no está multiplicado por el número de observaciones. Así, tenemos
que:
J = 2609 * 0.026651 = 69.532459 que está muy lejos del valor crítico de una Chicuadrado
con dos grados de libertad (cuatro condiciones de momentos menos dos
parámetros a estimar nos dan dos grados de libertad). Así, podemos rechazar la
hipótesis de normalidad.
5.1. El modelo de valoración de activos de Cochrane:
Vamos a estimar un simple modelo de valoración de activos basado en el consumo
como ejemplo. Tenemos la siguiente ecuación:
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Que define a nuestro modelo. Su contrapartida muestral es:
Siendo (c t+1 /c t ) el crecimiento del consumo entre el periodo t y el t + 1 (llamado
“cnsqdifferenz” en EViews), R t i los rendimientos del portfolio i en el periodo muestral.
Contamos con diez carteras distintas, cada una con distinto riesgo y rendimiento,
escritas en Eviews, con los nombres de “decile 1” hasta “decile 10”. Por último, β y γ
son los coeficientes que queremos estimar, que se pueden interpretar, respectivamente,
como el factor de descuento y como el coeficiente de aversión relativa al riesgo.
Así, abrimos un sistema como en el ejemplo anterior y escribimos las ecuaciones de
momentos. En este caso son las siguientes:
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile1-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile2-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile3-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile4-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile5-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile6-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile7-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile8-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile9-1=0
c(1)*cnsqdifferenz^-c(2)*decile10-1=0
param c(1) 1 c(2) 10
inst c
Escribimos las diez ecuaciones de momentos basadas en nuestro modelo. Utilizamos de
nuevo el instrumento más sencillo, “c” y con el comando “param” indicamos los valores
iniciales de la estimación, aunque en este caso no son necesarios.
Obtenemos así los siguientes resultados (estimando con “GMM –Time Series (HAC)” y
“2SLS”):
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System: SYSTEM_CBM_RETUR
Estimation Method: Generalized Method of Moments
Date: 05/18/08 Time: 11:17
Sample: 1951:4 1993:4
Included observations: 169
Total system (balanced) observations 1690
Instruments: C
No prewhitening
Bandwidth: Fixed (4)
Kernel: Bartlett
2SLS coefficient estimates with GMM standard error
Convergence achieved after 6 iterations
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 1.416103 0.174085 8.134527 0.0000
C(2) 110.5611 43.71080 2.529378 0.0115
Determinant residual covariance 2.41E-33
J-statistic 0.041668
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE1-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.344364 Sum squared resid 19.80393
Durbin-Watson stat 1.403762
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE2-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.346140 Sum squared resid 20.00881
Durbin-Watson stat 1.385399
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE3-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.344659 Sum squared resid 19.83788
Durbin-Watson stat 1.388148
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE4-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.348826 Sum squared resid 20.32046
Durbin-Watson stat 1.374869
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE5-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.347831 Sum squared resid 20.20474
Durbin-Watson stat 1.384957
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE6-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.352293 Sum squared resid 20.72645
Durbin-Watson stat 1.372548
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE7-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.352141 Sum squared resid 20.70859
Durbin-Watson stat 1.387649
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE8-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.353489 Sum squared resid 20.86745
Durbin-Watson stat 1.376985
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE9-1-(0)
Observations: 169
S.E. of regression 0.356618 Sum squared resid 21.23850
Durbin-Watson stat 1.385473
Equation: C(1)*CNSQDIFFERENZ^-C(2)*DECILE10-1-(0)
Observations: 169
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S.E. of regression 0.352850 Sum squared resid 20.79203
Durbin-Watson stat 1.403550
Es verdad que los valores de los parámetros no son muy satisfactorios de acuerdo con su
interpretación, pero lo importante del ejemplo era el ver cómo estimar por el metodo
generalizado de los momentos.
6. Conclusiones
Desde 1982, la importancia del método generalizado de los momentos como método de
estimación ha ido creciendo. Sus significativas ventajas respecto a otros métodos han
convertido su uso en imprescindible en algunos campos, como en la macroeconomía, la
microeconomía o la economía financiera.
Por ello considero muy satisfactorio que en una asignatura de pre-postgrado hayamos
tenido la oportunidad de examinar este método y ver cómo funciona, aunque sólo sea a
un nivel introductorio. A todo aquel que quiera seguir profundizando en la materia,
puede consultar las obras de Davidson y MacKinnon y de Hayashi indicadas en la
bibliografía.
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Bibliografía
Davidson, R. y MacKinnon, J. (1993). “Estimation and Inference in Econometrics”,
Oxford University Press.
Greene, W. (1999). “Análisis Econométrico”, Prentice Hall, 3ª ed.
Hamilton, J. (1994). “Time Series Analysis”, Princeton University Press.
Hansen, L. P. (2007) “Generalized Method of Moments Estimation”, University of
Chicago.
Hayashi, F. (2000). “Econometrics”, Princeton University Press.
Heid, B. (2005). “Estimating Asset Pricing Models by GMM using EViews”, University
of Tübingen (Germany).
Johnston, J. y DiNardo, J (1997). “Econometric Methods”, McGraw Hill, 4ª ed.
Pérez Oviedo, W. “Una Aproximación al Método Generalizado de los Momentos y sus
Limitaciones”, Nota Técnica 44.
Pynnonen, S. (2007), “A Short Introduction to the Generalized Method of Moments
Estimation”, University of Vaasa, Finland.
Verbeek, M (2004). “A Guido to Modern Econometrics”, John Wiley & Sons, 2ª ed.
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