Papel de trabajo_GMM

Sin embargo, diferentes W T dan lugar a diferentes estimadores consistentes con
diferentes matrices de varianzas y covarianzas asintóticas. Por ejemplo, si W T = I (la
matriz identidad), obtenemos estimadores consistentes, pero ineficientes. Siguiendo la
misma lógica de la estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG), es
beneficioso usar un criterio ponderado en el que las ponderaciones sean inversamente
proporcionales a las varianzas de los momentos. Así, la matriz de ponderaciones
óptima, que lleva a la matriz de varianzas y covarianzas del estimador MGM más
pequeña, es la inversa de la matriz de varianzas y covarianzas de los momentos
muestrales. En ausencia de correlación viene dada por:
W Opt = (E{f (w t , z t , θ) f (w t , z t , θ)’}) -1
En general esta matriz depende del vector de parámetros desconocidos θ, lo que nos
presenta un problema. La solución es adoptar un método de estimación iterativo:
Inicialmente, usamos una elección de W T que no dependa de θ (como, por ejemplo, la
matriz identidad, lo que nos daría una solución similar a la de mínimos cuadrados no
lineales) para obtener un primer estimador consistente de θ, θ^ 1. A continuación,
podemos estimar consistentemente la matriz de ponderaciones óptima con:
W Opt = (1/T Σ t=1 T f (w t , z t , θ^ 1 ) f (w t , z t , θ^ 1 )’) -1
Y con ella minimizamos la función Q T (θ^ 1) para obtener los estimadores MGM óptimos,
es decir, asintóticamente eficientes. Este proceso de dos etapas puede ampliarse y
calcularse de forma iterativa θ^1, θ^2, θ^3… hasta que cumplan un criterio de convergencia.
La distribución asintótica del estimador MGM asintóticamente eficiente que acabamos
de obtener, θ^ MGM, es (gracias al teorema central del límite aplicado a los momentos
muestrales y al teorema de Slutsky) la siguiente:
√¯T (θ^MGM - θ) → N(0, V)
Donde la matriz de varianzas y covarianzas V viene dada por:
V = (D W Opt D’) -1
Siendo D una matriz de derivadas (k x r) de la forma:
D = E{∂ f (w t , z t , θ)/ ∂ θ’}
Intuitivamente, los elementos en D miden la sensibilidad de un momento en particular
respecto a pequeños cambios en θ. Si dicha sensibilidad con respecto a un elemento de θ
es grande, pequeños cambios en este elemento darán lugar a cambios relativamente
grandes en la función objetivo Q T (θ) y el elemento particular en θ estará estimado con
relativa precisión. La matriz de varianzas y covarianzas V se estima sustituyendo los
momentos poblacionales en D y W Opt por sus equivalentes muestrales evaluados con θ^ .
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