La Mecanica y el entorno

2 La Mecánica y el Entorno 

ETAPA 

1 

CINEMÁTICA: 

MOVIMIENTO 

EN UNA DIMENSIÓN 

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 3 

CONTENIDO CONCEPTUAL 

• Cantidades escalares y vectoriales 

• Método de componentes para la suma de vectores 

• Movimiento rectilíneo y magnitudes físicas 

relacionadas, como modelo de partícula; sistema de 

referencia, distancia y desplazamiento; tiempo, rapidez 

y velocidad; aceleración, inercia, masa, fuerza y peso. 

• Sistemas de fuerzas en equilibrio y no equilibrio 

• Leyes de Newton 

CONTENIDO PROCEDIMENTAL 

• Identifica magnitudes relacionadas con el movimiento 

TD&IS Training Distribution de and los Integrated cuerpos presentes Servicesen 

su entorno y en la 

naturaleza, y las clasifica como magnitudes escalares 

o vectoriales para manejarlas matemáticamente de 

acuerdo con su categoría. 

• Resuelve problemas teóricos o de la vida cotidiana 

referentes al movimiento de un cuerpo. 

• Aplica modelos matemáticos, gráficos y analíticos. 

• Arma y maneja equipo de práctica de laboratorio. 

• Utiliza instrumentos para realizar mediciones. 

• Elabora e interpreta gráficas a partir de los datos 

obtenidos.


Capítulo 1. Cinemática: movimiento en una dimensión 

Introducción 

En la ciencia de la Física se manejan conceptos que representan hechos, fenómenos 

o situaciones de la naturaleza, las cuales tratamos de analizar numéricamente 

para conocer su comportamiento mediante las llamadas magnitudes 

y cantidades físicas; sin embargo, algunas de esas magnitudes presentan propiedades 

direccionales. Por ejemplo, podemos mencionar el caso de llegar a un 

lugar determinado: para hacerlo, debemos conocer la distancia que es necesario 

recorrer, así como especificar la dirección de este desplazamiento, pues, de no 

ser así, muy probablemente no llegaríamos al destino deseado. En cambio, otras 

magnitudes físicas no poseen este carácter direccional; en este sentido, antes de 

iniciar con el tema central de este capítulo, que es el de la cinemática, haremos 

una clasificación de dichos tipos de cantidades. 

1.1. Magnitudes escalares y vectoriales 

Como TD&IS recordarás, Training en Distribution el curso La ciencia and Integrated del movimiento, Services definimos y trabajamos 

con las magnitudes físicas, las cuales clasificamos como magnitudes fundamentales 

y derivadas. 

En el presente curso veremos otra clasificación de las magnitudes físicas, que se 

establece de acuerdo con la forma de trabajar con las mismas, ya que algunas de 

ellas únicamente tienen propiedades numéricas, pero otras además tienen propiedades 

direccionales. 

Las magnitudes físicas se pueden clasificar como escalares y vectoriales. 

Magnitudes escalares. Se precisan por completo mediante un valor numérico y 

una unidad de medida. Estas no tienen dirección 1 . 

Como ejemplos de magnitudes escalares tenemos la distancia, la rapidez, la masa, el 

tiempo, la temperatura y muchas otras que, con el tiempo, el estudio y la dedicación, 

aprenderás a identificar. 

Magnitudes vectoriales (o simplemente vectores). Se precisan mediante un valor 

numérico, la unidad de medición correspondiente y además una dirección 2 . 

Como ejemplos de magnitudes vectoriales están la velocidad, el desplazamiento, la 

fuerza, el impulso, la aceleración y otras que también podrás identificar a medida 

que profundices en el estudio de esta disciplina científica. 

1 Serway, Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Vol 1., 2015, pág. 61. 

2 Serway, Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Vol 1., 2015, pág. 61.


Pero, ¿qué tiene que ver la dirección con una magnitud física? En el estudio del 

movimiento de los cuerpos en general es importante establecer las características 

del mismo para predecir matemáticamente sus posiciones en tiempos posteriores, o 

incluso anteriores, a un tiempo llamado inicial. 

Recordemos que la cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, es decir, trata 

de establecer sus condiciones de posición, rapidez, velocidad, aceleración y otras 

más a través del tiempo. 

De tal forma que debemos tener en cuenta la dirección de estas magnitudes vectoriales 

para obtener predicciones precisas y verdaderas de estas condiciones. 

Antes de comenzar con el estudio del movimiento en una dimensión, vamos a ver las 

características de los vectores y los métodos para sumarlos, ya que no se suman de 

la misma forma que las cantidades escalares. 

1.2. Características de las magnitudes vectoriales (vectores) 

Como se dijo antes, un vector es una magnitud física con propiedades direccionales 

y se especifica mediante un número, su unidad de medición correspondiente y la dirección 

en la que está orientado. La dirección puede ser un punto cardinal ordinario 

(norte, sur, este, oeste y sus subdivisiones), o bien, puede describirse en términos de 

ángulos sexagesimales. 

Cuando un vector se 

TD&IS 

define de 

Training 

esta forma, 

Distribution 

se dice que está 

and 

en 

Integrated 

su descripción 

Services 

de coordenadas 

polares, como en la figura 1.1. 

Coordenadas polares 

r 

60 o 

eje polar 

Figura 1.1. Coordenadas polares de un vector


Otra forma de representar un vector es por medio de coordenadas rectangulares, en 

donde se especifica su componente x y su componente y en un sistema de ejes perpendiculares, 

como se observa en la figura 1.2. 

Eje y 

(x, y) 

Eje x 

Figura 1.2. Coordenadas rectangulares de un vector 

Por lo regular, en la ciencia de la Física, cuando se tratan las cantidades vectoriales, 

se TD&IS conocen Training sus coordenadas Distribution polares, and es Integrated decir, su valor Services numérico (magnitud) y su 

dirección, esta última expresada normalmente en grados, sin embargo, para efectuar 

alguna operación numérica, como una suma o una resta de vectores, es preciso transformar 

dichas coordenadas polares a coordenadas rectangulares; luego, al obtener 

el resultado de la suma o resta, lo que se conoce como vector resultante, este se 

transforma a coordenadas polares. Veamos cómo es el procedimiento para obtener 

los componentes rectangulares de un vector. 

1.3. Componentes rectangulares de un vector 

(transformación de coordenadas polares a rectangulares) 

Ya se dijo que encontrar las componentes de un vector no es otra cosa que transformar 

sus coordenadas polares en coordenadas rectangulares. Esto se puede realizar 

utilizando la trigonometría. Consideremos el siguiente ejemplo.


EJEMPLO 1.1 

Encontrar las coordenadas rectangulares (componentes) de un vector de velocidad de 25 m/s a 60°. 

Solución 

v = 25 m/s 

θ = 60° 

v x = ? 

v y = ? 

Eje y 

v = 25 m/s 

vy = ? 

v 

vy 

θ = 60 o 

θ 

vx = ? 

Eje x 

vx 

Figura 1.3. 

Observa cómo la magnitud del vector de 25 m/s forma un triángulo rectángulo con la componente v x y con 

la línea punteada que TD&IS une la Training punta de dicha Distribution componente and x con Integrated la punta del Services vector v, tal línea es exactamente 

de la misma magnitud que la componente v y situada sobre el eje y. 

Conociendo el valor numérico del vector y su dirección, podemos utilizar las funciones trigonométricas 

básicas para calcular de la siguiente manera las componentes rectangulares del mismo: 

Por lo tanto, si despejamos las componentes x y y de las ecuaciones de coseno y seno del ángulo θ, tenemos: 

Estas son las fórmulas que utilizaremos para encontrar las componentes que buscamos. Ahora, sustituimos 

los datos de magnitud y dirección, quedando como sigue:


Es decir, el vector velocidad de 25 m/s, cuya dirección es de 60°, tiene una componente rectangular correspondiente 

al eje x, o eje horizontal, cuya magnitud es de 12.5 m/s; y además una componente correspondiente al 

eje y, o eje vertical, cuya magnitud es de 21.65 m/s. 

Eje y 

(12.5 m/s, 21.65 m/s) 

v = 25 m/s 

vy = 21.654 m/s 

θ = 60 o 

vx = 12.5 m/s 

Eje x 

Figura 1.4. 

Anteriormente hemos visto el procedimiento para obtener las coordenadas rectangulares de un vector a partir 

de sus coordenadas polares. Ahora, un vector puede tener cualquier dirección: desde 0° hasta 360°. Dichas direcciones 

se toman como punto de partida desde 0°, que es un ángulo que coincide con la parte positiva del eje 

x en el sistema de coordenadas TD&IS rectangulares Training Distribution o cartesianas. A and partir Integrated de ahí, en contrasentido Services a las manecillas 

de un reloj, los ángulos o direcciones del vector van aumentando, pasando por los 90°, 180°, 270° y llegando 

finalmente hasta los 360°; de tal forma que el sistema de coordenadas queda seccionado en cuatro regiones 

conocidas como cuadrantes, como se observa en la figura 1.5. 

Eje y 

Cuadrante II 

Cuadrante I 

Eje x 

Cuadrante III 

Cuadrante IV 

Figura 1.5. Cuadrantes de un sistema de coordenadas rectangulares 

Como se puede observar, los signos de los componentes rectangulares dependen de la dirección que tenga 

un vector. Para que practiques estas transformaciones de coordenadas, te sugerimos que resuelvas los siguientes 

ejercicios.


■ Actividad 1 Transformación de coordenadas polares a rectangulares 

Transforma las coordenadas polares de los siguientes vectores a coordenadas rectangulares (te sugerimos que 

en tu cuaderno elabores la representación gráfica de estos ejercicios). 

Núm. Vector Componente x Componente y Cuadrante 

1 340 m/s a 98° 

2 1920 N a 320° 

3 2.8 km/h a 40° 

4 15 m/s 2 a 215° 

5 75 N a 239° 

6 5.4 m/s 2 a 270° 

7 590 m/s al SE 

8 945 dinas al O 

Veamos ahora el procedimiento para convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares. 

1.4. Componentes polares de un vector 

(transformación de coordenadas rectangulares a polares) 

TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

El caso inverso a transformar las coordenadas de un vector de rectangulares a polares, 

considera la utilización de una herramienta matemática muy empleada en la 

resolución de triángulos rectángulos que seguramente ya conoces. Se trata del conocido 

Teorema de Pitágoras, el cual establece lo siguiente: “La suma de los cuadrados 

de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”. 

En el caso de los triángulos rectángulos, se les llama catetos a los lados que forman 

el ángulo recto del triángulo; y el otro lado, que es el mayor de los tres, es la hipotenusa. 

Observa la figura 1.6. 

Hipotenusa 

Cateto 

θ 

90 o 

Cateto 

Figura 1.6. Triángulo rectángulo y sus lados


Luego, escribiendo el enunciado del teorema en forma matemática, tenemos la siguiente 

fórmula: 

Además, los catetos toman diferentes nombres, que dependen del ángulo formado 

por alguno de ellos y la hipotenusa. Se le llama cateto adyacente al lado del triángulo 

que es parte de un ángulo formado por esta y la hipotenusa, y cateto opuesto al que 

se encuentra frente a dicho ángulo. Observa la figura 1.7. 

θ 

Hipotenusa 

Cateto opuesto 

Hipotenusa 

Cateto adyacente 

θ 

Cateto adyacente 

Cateto opuesto 


Figura 1.7. 

Es muy importante que sepas identificar los catetos opuesto y adyacente observando 

el ángulo correspondiente. 

Una vez que hemos recordado estos conceptos del triángulo rectángulo, podemos 

realizar las transformaciones de coordenadas rectangulares a polares. Veamos el siguiente 

ejemplo con atención. 

EJEMPLO 1.2 

Encuentra las coordenadas polares de un vector cuyas componentes rectangulares son v x = 96 N y v y = 72 N. 

Solución 

Tenemos las componentes rectangulares de un vector, es decir, conocemos sus coordenadas rectangulares. 

Datos: 

v x = 96 N 

v y = 72 N 

Ahora, deseamos conocer sus coordenadas polares, esto es, la magnitud del vector; para ello, aplicamos el teorema 

de Pitágoras tomando como catetos las componentes del mismo y adaptando la expresión del teorema a la 

simbología de vectores, es decir:


Sacando raíz cuadrada, obtenemos nuestro vector: 

Sin embargo, recordemos que un vector tiene dirección, la cual podremos obtener aplicando la trigonometría; 

en este caso, con la función tangente: 

En este caso, lo que deseamos conocer es la dirección, es decir, el ángulo θ, por tanto, se despeja de la expresión 

anterior: 

Entonces, se sustituyen TD&IS en la Training expresión Distribution anterior los valores and Integrated de las componentes Services x y y del vector: 

Con esto, ya hemos completado la transformación de coordenadas. Esto es, un vector cuyas coordenadas 

rectangulares son las siguientes: 

v x = 96 N y v y = 72 N 

Corresponde a un vector cuyas coordenadas polares son… 

v = 120 N a 36.86° 

Es el mismo vector expresado en sistemas de coordenadas diferentes. Te toca ahora practicar algunas transformaciones 

de coordenadas rectangulares a polares.


■ Actividad 2 Transformación de coordenadas rectangulares a polares 

De la misma forma que la actividad anterior, transforma las coordenadas rectangulares de los siguientes vectores 

a coordenadas polares. Te sugerimos dibujar la representación gráfica de estos ejercicios en tu cuaderno. 

Núm. Componente x (v x ) Componente y (v y ) 

1 -48 m/s -26 m/s 

2 230 km/h -150 km/h 

3 -64 N 86 N 

4 76 m 98 m 

5 -150 km/h -50 km/h 

6 2000 N -3000 N 

7 -33 m/s 29 m/s 

8 340 km 340 km 

Vector 

(magnitud y dirección) 

Cuadrante 

Veamos ahora el método de las componentes para la suma de vectores. 

1.5. Método de las componentes para la suma de vectores 

Las cantidades escalares no se suman o restan de la misma forma que las cantidades 


vectoriales. Para la suma o resta de estas últimas, se requiere de un procedimiento que 

toma en cuenta la dirección de los vectores para llegar al resultado correcto, comúnmente 

llamado vector resultante. 

Existen varias formas de sumar vectores, un par de ejemplos son los métodos gráficos, 

como el del triángulo o el del polígono, que seguramente conociste en la escuela 

secundaria. También existen métodos analíticos, los cuales requieren del uso de 

fórmulas y cálculos matemáticos para llegar al resultado. Nosotros nos enfocaremos 

a la descripción y aplicación del método analítico, denominado método de las componentes, 

con el cual podrás sumar cualquier cantidad de vectores. Recuerda que en 

la Física se trabaja con muchas cantidades vectoriales, por lo que es importante que 

conozcas esta forma de análisis vectorial. 

Pasos del método de las componentes: 

1. Transformar las coordenadas polares de cada uno de los vectores a coordenadas 

rectangulares, es decir, obtener con las siguientes fórmulas las componentes x y 

y de cada uno de los vectores:


2. Obtener las sumatorias de las componentes x y y con las siguientes fórmulas: 

3. Es preciso mencionar que las sumatorias de las componentes x y y obtenidas 

en el paso anterior son las componentes o coordenadas rectangulares del vector 

suma o resultante y, para obtener su magnitud, se combinan mediante el teorema 

de Pitágoras con la siguiente expresión: 

4. Una vez que hemos obtenido la magnitud del vector resultante, procedemos a 

calcular su dirección mediante la función tangente: 

Nota: en estas fórmulas utilizamos la letra v de forma genérica para representar 

cualquier vector, sin embargo, al realizar ejercicios o resolver problemas, es común 

utilizar otras letras como TD&IS la F Training para representar Distribution fuerzas, and w para Integrated representar Services pesos, a 

para representar aceleraciones, etc. Esto no modifica la esencia ni la estructura de las 

fórmulas, únicamente cambian los símbolos. 

Enseguida, resolveremos algunos ejemplos de sumas de vectores utilizando este método; 

analízalos detenidamente para que los comprendas perfectamente y puedas 

resolver algunos ejercicios posteriores. 

EJEMPLO 1.3 

Encuentra el vector resultante y su dirección de acuerdo con el siguiente sistema de vectores: 

F 1 = 65 N a Ɵ 1 = 30° 

F 2 = 70 N a Ɵ 2 = 135° 

F 3 = 50 N a Ɵ 3 = 270° 

Incógnitas: F R y Ɵ R 

Utilizaremos el método de las componentes descrito anteriormente:


1. Como una forma de visualizar el sistema de vectores, es conveniente realizar una representación gráfica 

de los mismos (figura 1.8): 

y 

F2 

F1 

270 o 135 o 30 o 

x 

F3 

Figura 1.8 

2. Utilicemos las fórmulas para obtener las componentes rectangulares de cada uno de los vectores: 

Fx = F cos θ 

Fy = F cos θ 

F 1x = 65 N cos30° = 56.3 N 


F 1y = 65 N sen30° = 32.5 N 

F 2x = 70 N cos135° = - 49.5 N 

F 2y = 70 N sen135° = 49.5 N 

F 3x = 50 N cos270° = 0 N 

F 3y = 50 N sen270° = - 50 N 

3. A continuación, se suman las componentes x para obtener (∑F x ) y las componentes y para encontrar (∑F y ). 

∑Fx = 56.3 N – 49.5 N + 0 = 6.8 N 

∑Fy = 32.5 N + 49.5 N – 50 N = 32 N 

4. Para determinar la magnitud de la resultante, se utiliza el teorema de Pitágoras.


5. Para determinar la dirección de la resultante, se utiliza la función tangente: 

6. Por lo tanto, nuestro vector resultante sería el siguiente: 

F R = 32.7 N con una dirección θ = 78° 

7. Por último, para observar gráficamente el vector resultante, utilizamos los valores de las sumatorias (∑F x y 

∑F y ) y realizamos la gráfica correspondiente (figura 1.9). 

y 

∑Fy 

FR 


∑Fx 

θ 

x 

Figura 1.9 

EJEMPLO 1.4 

Con los siguientes datos, encuentra la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas. 

F 1 = 80 N a 45° 

F 2 = 70 N a 120° 

F 3 = 90 N a 210°


De nuevo, las incógnitas que se desea calcular son F R y θ R . 

Pasos que debemos seguir para la solución del problema: 

1. Dibujamos una representación gráfica del sistema de vectores: 

y 

F2 

F1 

120 o 

210 o 45 o 

x 

F3 

Figura 1.10 

2. A diferencia del ejemplo 1.3, ahora vamos a utilizar una tabla para acomodar los datos y operaciones para 

obtener las componentes x y y de cada uno de los vectores. 

Fuerza (F) Ángulo (θ) Fx = Fcos (θ) Fy = Fsen (θ) 


F 1 = 80 N θ 1 = 45̊ 80 N cos 45̊ = 56.56 N 80 N sen 45̊ = 56.56 N 

F 2 = 70 N θ 2 = 120̊ 70 N cos 120̊ = -35 N 70 N sen 120̊ = 60.6 N 

F 3 = 90 N θ 3 = 210̊ 90 N cos 210̊ = -77.9 N 90 N sen 210̊ = -45 N 

∑F x = -56.3 N 

∑F y = 72.1 N 

3. Con los resultados de las sumatorias (ΣFx y ΣFy), realizamos los cálculos correspondientes para determinar 

la magnitud de la fuerza resultante mediante el teorema de Pitágoras. 

4. Calculemos ahora la dirección de la fuerza resultante:


5. Ubiquemos el vector resultante en el sistema de coordenadas y determinemos el ángulo resultante respecto 

al eje x (figura 1.11). 

y 

FR 

∑Fy 

θ 

α 

x 

∑Fx 

Figura 1.11 

Como se puede observar, el vector resultante queda en el segundo cuadrante; y sabemos que… 

θ R = 180 - θ 

θ R = 180 - 52° = 128° 


6. Concluimos, entonces, que en el problema, expresando la fuerza resultante será… 

F R = 91.47 N con una dirección θ R = 128°


■ Actividad 3 Suma de vectores, método de las componentes 

Utilizando el método de las componentes, suma los siguientes vectores y encuentra 

el vector resultante: 

1. F 1 = 68 N a 100° F 2 = 70 N a 30° F 3 = 40 N a 320° 

a) Fuerza F Ángulo (θ) Fx = Fcos(θ) Fy = F sen(θ) 

F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 

b) Teorema de Pitágoras: 

c) 

d) Representación gráfica: 

TD&IS e) Vector Training resultante: Distribution and Integrated Services 

2. F 1 = 120 N a 75° F 2 = 80 N a 130° F 3 = 400 N a 220° 


F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 


c) 


e) Vector resultante:


3. F 1 = 190 N a 200° F 2 = 270 N a 330° F 3 = 40 N a 20° 


F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 


c) 


e) Vector resultante: 

4. F 1 = 30 N a 150° F 2 = 370 N a 80° F 3 = 470 N a 220° 



F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 


c) 


e) Vector resultante:


Con esto concluimos el tema de vectores, en el cual vimos cómo expresarlos en coordenadas 

polares y en coordenadas rectangulares, además del método de las componentes 

para efectuar sumas de vectores. El conocimiento y dominio de este método es importante, 

en particular cuando analizamos el movimiento en dos o tres dimensiones, puesto que 

las magnitudes vectoriales tendrán sus componentes en cada una de esas dimensiones. 

Vamos ahora a continuar el desarrollo de esta etapa profundizando en el tema del 

análisis del movimiento en una dimensión, siguiendo la línea temática trazada desde 

la unidad de aprendizaje “La ciencia del movimiento” del segundo semestre. 

1.6. Movimiento en una dimensión 

Después de haber conceptualizado las magnitudes básicas de la cinemática, estamos 

en condiciones de analizar el movimiento de los cuerpos en una dimensión. 

Al hablar de movimiento en una dimensión, nos referimos al movimiento que tiene 

un cuerpo cuando su trayectoria es una línea recta. También se le conoce como movimiento 

rectilíneo. 

Nos remitiremos, en el caso del movimiento acelerado, al análisis de situaciones con 

aceleración constante, ya sea en el plano horizontal o en el plano vertical. 

Algunos autores hacen una distinción del movimiento rectilíneo en dos tipos, a saber: 

1. El movimiento rectilíneo uniforme, aquel en el que el cuerpo se mueve a velocidad 

y rapidez Training constantes; Distribution y and Integrated TD&IS Services 

2. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aquel en el que el cuerpo se 

mueve en línea recta con aceleración constante. 

Sin embargo, pensamos que dicha distinción o clasificación es innecesaria, puesto 

que la esencia de la Física es describir y explicar la mayor cantidad de hechos con 

la menor cantidad de leyes o modelos matemáticos. La forma en que vamos a tratar 

este tema resulta mucho más accesible a la comprensión y el entendimiento del estudiante 

de nivel medio superior. 

1.6.1. Posición, distancia y desplazamiento en una dimensión 

Para determinar la posición de un cuerpo, nuestro sistema de referencia será un 

eje (horizontal o vertical) con divisiones que representen los valores de distancia a 

partir del origen de dicho sistema; es decir, un eje de coordenadas, como se muestra 

en la figura 1.12. 

-5 

-4 

-3 

-2 

-1 

0 1 2 3 4 5 

Figura 1.12


En dicho sistema de referencia, el cuerpo ocupará diferentes posiciones durante el 

movimiento, pero debemos indicar cuál es la posición inicial y cuál es la posición 

final. Ten en cuenta que dichas posiciones pueden estar en cualquiera de los puntos 

del eje de coordenadas: en el origen (posición 0), en el lado positivo o en el negativo. 

Recuerda también que estamos representando distancias o desplazamientos de 

un objeto, que se miden en unidades de longitud como metros o centímetros, por 

mencionar solo algunos. 

EJEMPLO 1.5 

Un muchacho monta su patineta cuando se encuentra a 45 m a la izquierda de su casa y luego se mueve en 

línea recta hasta llegar a un punto situado a 20 m a la derecha de su casa. 

¿Qué distancia recorrió? ¿Cuánto se desplazó? 

CASA 


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 

Posición en metros con respecto a la casa 

Solución 

Figura 1.13 

Datos: 

Posición inicial: x i 

= -45 m (45 m a la izquierda de la casa) 

Posición final: x f = 20 m (20 m a la derecha de la casa) 

¿Cómo lo vamos a resolver? Para calcular la distancia recorrida, vamos a obtener la diferencia entre la 

posición final y la posición inicial de la siguiente manera: 

Distancia recorrida = x f - x i 

Distancia recorrida = 20 m - (- 45 m) 

Distancia recorrida = 65 m


Para encontrar el desplazamiento, calculamos la diferencia entre la posición final y la posición inicial, teniendo 

en cuenta la dirección del movimiento: 

Desplazamiento = 

Desplazamiento = 20 m - ( -45 m) 

Desplazamiento = 65 m hacia la derecha 

Interpretación del resultado: 

Observa que, al considerar que el movimiento sigue una trayectoria recta, el valor de la distancia recorrida 

coincide con la magnitud del desplazamiento. Esto se cumplirá siempre, aun en movimientos a intervalos, 

con la condición de que sean todos en la misma dirección. En este caso, tuvimos que la distancia recorrida 

fue de 65 m y el desplazamiento fue de 65 m hacia la derecha de su posición inicial. 

Como ya vimos en temas anteriores, se utiliza el símbolo ∆ (delta) para representar un cambio, incremento 

o diferencia entre una cantidad final y una cantidad inicial. También podemos utilizar ese símbolo para representar 

la distancia recorrida o el desplazamiento: 

∆ x = distancia recorrida = x f - x i 

∆ x = desplazamiento = 

Sin embargo, en muchas ocasiones se tiene que la posición inicial del cuerpo bajo análisis está en el origen 

del sistema de coordenadas TD&IS (x i = 0). Training Cuando eso Distribution sucede: and Integrated Services 

∆ x = distancia recorrida = x f 

y 

∆ x = desplazamiento = 

1.7. Ecuaciones del movimiento rectilíneo 

Cuando se analiza el movimiento de un objeto en una dimensión, el problema fundamental 

consiste en determinar, a partir de su posición inicial, la posición o posiciones 

en el futuro. Para resolverlo, se requiere de la comprensión y el manejo de las 

siguientes variables: 

x i = posición inicial 

x f = posición final 

v i = velocidad inicial 

v f = velocidad final 

a = aceleración 

t = intervalo que transcurre en el cambio de posición


Todos los cálculos que tienen que ver con las variables que describen dicho movimiento 

se pueden hacer con las siguientes dos ecuaciones, que tomaremos como 

base; posteriormente, veremos de dónde proceden: 

1. Ecuación de la posición 

2. Ecuación de la velocidad 

(ecuación 1) 

(ecuación 2) 

Debes desarrollar la capacidad de interpretar los datos con que cuentas y aplicar 

las ecuaciones anteriores de acuerdo con dichos datos. Se pueden reconocer algunos 

casos comunes, a saber: 

• cuando el cuerpo parte del origen del sistema de coordenadas (x i = 0), 

• cuando el cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero (v i = 0), 

• cuando la velocidad es constante (a = 0). 

Veamos algunos ejemplos. 

EJEMPLO 1.6 


Un conductor viaja a una velocidad constante de 43.2 km/h al pasar por un crucero (x i = 0), y a partir de ahí 

sigue conduciendo en línea recta durante dos minutos más. ¿Cuál es su posición respecto al crucero al final 

de ese tiempo? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Determinar la posición del automovilista respecto al crucero al término de 

2 minutos. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando la ecuación de la posición, considerando que se mueve a velocidad 

constante durante 2 minutos. 

Datos: 

x i 

= 0 

v i 

= 43.2 km/h 

a = 0 

Incógnita: 

x f = ? 

t = 2 minutos


Antes de aplicar la ecuación del movimiento, tenemos que transformar todos los datos a unidades consistentes, 

es decir, a unidades del Sistema Internacional de Unidades (SI); en este caso, la velocidad y el tiempo: 

Ahora, aplicamos la ecuación de la posición (ecuación 1): 

En este ejemplo, la posición inicial es x i = 0. Como el automovilista viaja a velocidad constante, la aceleración 

es igual a cero (a = 0); entonces, sustituyendo los datos, tenemos que… 

x f = 1440 m con respecto al crucero 


En este ejercicio, estamos ante un caso de movimiento rectilíneo con velocidad constante y el automovilista 

avanzó casi un kilómetro y medio en esos dos minutos de tiempo transcurrido. 


EJEMPLO 1.7 

Un lanzador arroja la bola con una rapidez de 95 mi/h al receptor que se encuentra a 18 m del home. 

¿Cuánto tarda la bola en llegar al receptor? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular el tiempo que viaja la bola de béisbol desde que el lanzador la arroja 

hasta que el receptor la atrapa. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando la ecuación de la posición, considerando que la bola se mueve a 

velocidad constante, es decir, aceleración igual a cero, y tomando la posición del lanzador como x i = 0. 

Datos: 

x i = 0 

v i = 95 mi/h 

x f = 18 m 

a = 0 

Incógnita: 

t = ?


Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos que transformar los datos a unidades del SI; en este caso, solamente 

la velocidad de la bola: 

Aplicamos la ecuación de la posición (6). En este ejercicio es más conveniente simplificarla antes de sustituir 

los datos, como se ve enseguida. 

Como x i = 0 y a = 0, se eliminan el primero y el último término, y tenemos que… 

y despejando el tiempo, nos queda… 

Sustituimos los datos en la ecuación despejada: 



Al simplificar la ecuación de posición, nos queda una expresión que matemáticamente es muy sencilla 

de utilizar para despejar la incógnita (el tiempo). El resultado es lógico, dado que la velocidad es alta y la 

distancia que debe recorrer la bola es pequeña. Por lo tanto, esta tarda menos de medio segundo en llegar al 

receptor. Si el bateador no reacciona a tiempo, le marcarían probablemente un strike. 

Directrices que te ayudarán a dar solución a los problemas: 

• Identifica todos los datos que tengas (las unidades de medida te darán buena idea 

de lo que representan). 

• Un dibujo de la situación que el ejercicio plantea es de gran ayuda para encontrar 

la solución. 

• Convierte los datos a unidades de un solo sistema de medida. El más utilizado es 

el Sistema Internacional (SI). 

• Si lo que vas a calcular es la posición final (x f ) o la velocidad final (v f ), es mejor 

que trabajes con las ecuaciones completas y sustituyas todos los datos en ellas 

para luego realizar las operaciones necesarias y obtener el resultado (o incógnita). 

Si lo que vas a calcular es alguna de las variables que se encuentran en el 

miembro derecho de alguna de las dos ecuaciones, es más conveniente simplifi-


carla primero, realizar el despeje de la incógnita correspondiente y, hecho esto, 

sustituir los datos que tengas en la o las ecuaciones ya despejadas. 

• Nunca olvides que en Física los datos numéricos representan cantidades físicas 

concretas; por lo tanto, los resultados que obtengas también tienen una representación 

real que debe incluir sus unidades de medición. Si vas a calcular la 

posición, el resultado debe expresarse en unidades de longitud. Si vas a calcular 

rapidez o velocidad, el resultado debe estar en unidades de velocidad; y así debes 

hacerlo con las demás variables de la cinemática, como el tiempo, la aceleración 

y la velocidad final. 

• Haz una interpretación de los resultados; es decir, que las cantidades que obtengas 

sean lógicamente correctas aplicando el sentido común. 

EJEMPLO 1.8 

En las Olimpiadas de Londres 2012, el corredor jamaiquino Usain Bolt 

rompió el récord de velocidad en los 100 m planos con un tiempo de 9.58 

segundos. Considerando que partió del reposo, contesta lo siguiente: 

a) ¿Cuál fue su aceleración? 

b) ¿A qué velocidad cruzó la meta? 

Solución 


En este caso, la posición inicial es cero. Consideramos que el corredor tuvo una aceleración constante 

durante toda la carrera (lo cual es una simplificación para resolver este ejemplo, pues, en realidad, la aceleración 

difícilmente es constante en este tipo de competencias). 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la aceleración del corredor y la velocidad final. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la posición (ecuación 1) y de la velocidad 

(ecuación 2). 

Datos: 

x i = 0 

v i = 0 

x f = 100 m 

t = 9.58 s 

Incógnitas: 

a = ? 

v f = ?


Para obtener el valor de la aceleración, aplicamos la ecuación de la posición, ya que contamos con los datos 

necesarios: posición inicial, velocidad inicial, posición final y tiempo. La simplificamos antes de sustituir 

los datos y eliminamos el primero y el segundo términos, ya que tienen un valor de cero. 

x 

1 

f 

= x i 

+ v t + at 2 

i 2 

x f 

= 1 at 2 

2 

Luego, se despeja la aceleración de la ecuación simplificada, quedando… 

a = 2x f 

t 2 

Y ahora se sustituyen los datos en la ecuación despejada: 

Para obtener la velocidad a la que Bolt cruzó la meta, aplicamos ahora la ecuación de la velocidad (ecuación 

2) y sustituimos datos: 


Interpretación de los resultados: 

El resultado de la aceleración nos indica que el corredor Usain Bolt cambió la magnitud de su velocidad en 

2.18 m/s durante cada uno de los 9.58 s que duró la carrera, de tal manera que él ya había alcanzado una 

velocidad de 20.88 m/s al cruzar la meta.


EJEMPLO 1.9 

Un avión comercial aterriza a una velocidad de 150 km/h y tarda 1.4 minutos en llegar al reposo total. 

Considerando que la aceleración (desaceleración) es constante, responde lo siguiente: 

a) ¿Cuál fue su desaceleración? 

b) ¿Qué distancia recorrió desde que tocó tierra hasta que se detuvo? 

Solución 

¿Qué vamos a hacer? Calcular la aceleración del avión y la distancia que recorre desde que toca tierra hasta 

detenerse (posición final). 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la posición (ecuación 1) y de la velocidad (ecuación 

2), considerando como posición inicial el punto donde el avión tocó tierra (x i = 0) y como posición final 

la distancia a la que se detuvo (x f ). 

Datos: 

x i = 0 

v i = 150 km/h 

t = 1.4 minutos 

v f = 0 

Incógnitas: 


a = ? 

x f = ? 

De nuevo, convertimos los datos (la velocidad inicial y el tiempo) a unidades consistentes: 

En este ejercicio aplicamos, primero, la ecuación de la velocidad para calcular la aceleración, ya que contamos 

con los datos necesarios (v i , v f y t). Cuando despejamos la aceleración de la fórmula, queda de la 

siguiente manera:


Ahora, se sustituyen los datos en la ecuación: 

Luego, aplicamos la ecuación de la posición y sustituimos los datos para encontrar la posición final: 


Como vemos, este es un caso de movimiento “retardado”, es decir, aquel cuya aceleración es negativa, ya 

que el avión, al aterrizar, emplea los frenos para disminuir su velocidad hasta llegar al estado de reposo, 

recorriendo para ello 

TD&IS 

un total 

Training 

de 1771.56 

Distribution 

m. 

and Integrated Services 

■ Actividad 4 Movimiento en una dimensión 

I. Investiga en otros libros de Física o en internet lo que en la cinemática representan 

los siguientes casos de combinaciones de los vectores de velocidad y 

aceleración. Menciona un ejemplo de la vida diaria para cada uno de ellos. 

v 

a 

v 

a 

v 

a 

v 

a


II. En equipos de tres personas, resuelvan los siguientes ejercicios usando las dos 

ecuaciones de la cinemática; para ello, es necesario asignar roles que sirvan de 

guía a los integrantes. Se busca que sean grupos heterogéneos en conocimiento, 

en los que sus miembros se apoyen mutuamente. Recuerden aplicar las ecuaciones 

de la cinemática. 

1. Un cohete sale disparado verticalmente desde la plataforma de lanzamiento hacia 

arriba con una aceleración neta de 20 m/s 2 . Si la atmósfera tiene un espesor 

aproximado de 100 km, y considerando que la aceleración sea constante… 

a) ¿cuál es el tiempo que le toma al cohete abandonar la atmósfera? 

b) ¿qué velocidad alcanza el cohete en ese momento? 

2. La ficha técnica del automóvil Golf GTI de última generación establece que 

tiene una aceleración de 0 a 100 km/h en 6.2 s. 

a) ¿Cuál es su aceleración expresada en m/s 2 ? 

b) ¿Cuál es la distancia que recorre el auto en el tiempo en que acelera de 

0 a 100 km/h? 

3. Una camioneta sin tapa trasera en la caja avanza con una velocidad de 60 

km/h sobre una calle recta y, al pasar por un bache, deja caer un bulto que 

transportaba en la caja. El bulto tarda 4 s en detenerse. Calcula… 

a) la aceleración (desaceleración) del bulto. 

b) la distancia recorrida por el bulto desde que cayó hasta que se detuvo. 


4. Desde un avión que se encuentra a 10000 pies de altura, se suelta una caja 

con suministros para una aldea. El paracaídas tarda 8 s en abrir y desciende 

a velocidad constante hasta llegar al suelo. Suponiendo que la aceleración 

al saltar es de 10 m/s 2 y que se mueve en línea recta verticalmente hacia 

abajo sin resistencia del aire, determina lo siguiente: 

a) La velocidad que alcanza la caja en el momento en que se abre el paracaídas. 

b) La distancia que recorre en ese lapso de tiempo. 

c) El tiempo que tarda en llegar al suelo desde que se lanzó del avión. 

5. Una persona que se encuentra a 50 m de un taxi estacionado en la avenida corre 

con una rapidez constante de 3.7 m/s para alcanzarlo, pero, cuando pasan 2.5 

s, otro hombre que está a 30 m del mismo vehículo se dispone a alcanzarlo 

acelerando a 0.4 m/s2. ¿Cuál de los dos hombres llegará primero al taxi? 

1.8. Análisis gráfico del movimiento en una dimensión 

Otra forma de describir el movimiento en una dimensión es el análisis gráfico. Este 

consiste en interpretar, a partir de una gráfica, los cambios de posición o de velocidad 

de un cuerpo al moverse de un punto a otro. 

Estudiaremos tres gráficas fundamentales para analizar y describir el movimiento. 

Estas son las gráficas de… 

• posición contra tiempo,


• velocidad contra tiempo, 

• aceleración contra tiempo. 

¿Por qué estas gráficas? Cuando se realiza un análisis gráfico, es necesario especificar 

qué variables vamos a observar; es decir, cómo se comportan. Entonces, lo que nos 

interesa en cinemática es conocer la posición adquirida por el cuerpo, cómo se comporta 

su velocidad y cuál es su aceleración. Todos estos cambios suceden a través del 

tiempo; es por ello que en todas esas gráficas la variable independiente es el tiempo. 

El tiempo transcurre y los cuerpos que se mueven y que queremos estudiar cambian 

o no de posición, cambian o no de velocidad y aceleran o no aceleran. A estas variables 

que analizamos se les llama variables dependientes, pues cambian al pasar el 

tiempo; de acuerdo con el tiempo transcurrido, adquirirán una posición, una velocidad 

y una aceleración determinadas. Las variables independientes, por regla, se grafican 

en el eje horizontal, y las variables dependientes, por lo tanto, en el eje vertical. 

1.8.1. Gráfica de posición contra tiempo (x vs t) 

Consideremos una gráfica de posición contra tiempo de un ratón que se desplaza por 

una tubería recta; tenemos los siguientes datos: 

Tabla 1.1 Posición y tiempo 

Posición (x) metros Tiempo (t)segundos 

0 0 


4 1 

8 2 

12 3 

16 4 

20 5 

Para elaborar la gráfica, se requiere la observación y el registro de los datos de la 

posición que va tomando el ratón al transcurrir el tiempo. Es común elaborar una 

tabla de registro con los datos recolectados por observación. 

Enseguida, se grafican los pares ordenados y se obtiene la gráfica que discutiremos 

a continuación. 

Posición ( x ) en metros 

20 

16 

12 

8 

4 

0 1 2 3 4 5 6 

Posición ( t ) en segundos 

Figura 1.15


¿Qué información podemos obtener de la gráfica de posición contra tiempo? 

• La posición del cuerpo en diferentes momentos 

• El tiempo que tarda en llegar a una posición dada 

• La magnitud de la velocidad del cuerpo 

• Predecir la posición en momentos distintos de los datos recolectados 

(extrapolación) 

En este ejemplo, podemos contestar preguntas como las siguientes: 

a) ¿Qué posición tenía el ratón cuando el tiempo era de 3.5 s? 

En la gráfica, nos movemos en el eje del tiempo hasta la posición de 3.5 s y, 

enseguida, de forma paralela al eje de la posición hasta llegar a la línea. A continuación, 

nos movemos en forma horizontal hasta el eje de la posición para ver 

en qué posición se encontraba el ratón en ese momento, que es 14 m. 

b) ¿En qué momento el ratón había avanzado 18 m? 

Ahora, procedemos en forma inversa, es decir, nos movemos por el eje de la 

posición hasta llegar a 18 m y en forma horizontal hasta llegar a la línea. Luego, 

descendemos en forma paralela al eje de tiempo para encontrar el momento en 

que ocupaba esa posición, que es 4.5 s. 


c) ¿Cuál fue la rapidez o la magnitud de la velocidad del ratón en el intervalo de 

2 a 4 s? 

En este caso, utilizamos los datos de la gráfica recordando que la rapidez se 

obtiene dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Los datos 

son los siguientes: 

x f = 16 m 

x i = 8 m 

t = 4 s 

t i = 2 s 

v = ? 

Sustituimos datos:


La rapidez o magnitud de la velocidad del ratón era de 4 m/s en ese intervalo de 

tiempo. 

d) ¿Qué posición tendrá el ratón en el sexto segundo? 

En este caso, haremos una extrapolación, ya que el sexto segundo no forma parte 

de los datos originales de la tabla ni de la gráfica. Aquí podemos prolongar la 

recta obtenida suponiendo que seguirá con la misma tendencia del movimiento 

anterior y, como hicimos en el inciso a), encontramos que la posición en el sexto 

segundo es 24 m. 

En este ejemplo, la gráfica obtenida fue una línea recta partiendo del origen del sistema 

de ejes posición-tiempo. Una gráfica como esta tiene la particularidad de que, 

si obtenemos la magnitud de la velocidad en cualquiera de los diferentes intervalos 

de tiempo, tal como lo hicimos en el inciso c), obtendremos exactamente la misma 

rapidez; razón por la cual podemos decir que el cuerpo se desplaza con velocidad 

constante o uniforme. 

■ Actividad 5 Análisis gráfico del movimiento en una dimensión 

Tomando como base la gráfica del ejemplo anterior, calcula la velocidad del ratón en 

los siguientes intervalos: 

a) de 0 a 2 s 

b) de 3 a 4 s 

c) de 4 a 5 s 

d) de 0 a 5 s 


¿Cuál es la conclusión acerca de los resultados anteriores? 

Es importante reflexionar sobre lo que se ha hecho al resolver este ejemplo: como en 

este tipo de movimiento, podemos describir gráficamente muchos otros de diferentes 

cuerpos y obtener conclusiones similares bajo las mismas condiciones; ahí radica 

la riqueza de los métodos de la Física: hacer generalizaciones utilizando los mismos 

principios que rigen los fenómenos estudiados. 

Ahora, pasemos a estudiar la gráfica de velocidad contra tiempo.


1.8.2. Gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t) 

Ahora, se estudiará la gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t). Al igual que en 

la anterior, cuando se construye una gráfica, la variable que se menciona en primer 

término es siempre la variable dependiente; en este caso, la velocidad. Como se 

estableció antes, esta se representa en el eje vertical. La siguiente variable es la independiente, 

es decir, el tiempo; a la que le corresponde el eje horizontal. 

¿Qué información nos brinda esta gráfica? 

• La velocidad del cuerpo en diferentes tiempos 

• El tiempo que le toma al cuerpo alcanzar una velocidad determinada 

• La aceleración del cuerpo 

• La distancia recorrida en un tiempo dado 

• La velocidad del cuerpo en momentos distintos de los registrados (suponiendo 

que se comporta de la misma forma) 

EJEMPLO 1.10 

Consideremos el caso del récord olímpico en la competencia de 200 m planos que consiguió el atleta Usain 

Bolt en Londres 2012. Él logró recorrer esa distancia en un tiempo impresionante de 19.19 s. Para nuestro 

análisis, supongamos que TD&IS la carrera Training se llevó a Distribution cabo en una pista and recta Integrated y que la aceleración Services de Bolt fue constante 

durante los 200 m. La tabla de velocidad contra tiempo es la siguiente: 

Tabla 1.2 Velocidad y tiempo de Usain Bolt 

Velocidad ( v ) metros 

Tiempo ( t )segundos 

0 0 

2.17 2 

4.34 4 

6.52 6 

8.69 8 

10.86 10 

13.03 12 

15.21 14 

17.38 16 

19.55 18 

21.72 20


La gráfica correspondiente es la siguiente: 

25 

20 

Velocidad (m/s) 

15 

10 

5 

0 

0 

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Tiempo (s) 

Figura 1.16 

Con esta gráfica responderíamos a preguntas como… 

a) ¿Qué velocidad tenía Bolt en el tercer segundo? 

De la misma forma en que obtuvimos la posición en la gráfica de x vs. t; moviéndonos sobre el eje de tiempo 

hasta los 3 s, intersecando la línea de la gráfica y buscando en el eje de la velocidad, que es 3.26 m/s. 


b) ¿En qué instante adquirió Bolt una velocidad de 15 m/s? 

Partimos ahora del eje de la velocidad en 15 m/s y buscamos el tiempo que corresponde a 13.8 s. 

c) ¿Con qué aceleración se movió Usain en el intervalo de 0 a 2 s? 

Recordamos la definición de la aceleración, y con los datos de la gráfica tenemos: 

v i = 0 

v f = 2.17 m/s 

t i = 0 s 

t f = 2 s 

a = ? 

Sustituimos datos:


Su aceleración fue de 1.087 m/s 2 . Esto significa que su velocidad cambió 1.087 m/s en cada uno de los segundos 

de ese intervalo de 0 a 2 s. De aquí podríamos deducir que, dado que la gráfica es una línea recta, 

tenemos elementos suficientes para afirmar que dicha aceleración sería la misma en cualquier otro intervalo, 

lo cual no sucedería si la forma de la gráfica fuera una curva. 

d) ¿Qué distancia recorrió Bolt desde el inicio hasta el segundo 14? 

En la gráfica de velocidad contra tiempo podemos determinar la distancia recorrida obteniendo el área bajo 

la gráfica, que en este caso es un triángulo rectángulo cuya base es el tiempo de 14 s y la altura es la velocidad 

correspondiente a ese tiempo, 15.21 m/s. 

t = 14 s 

v = 15.21 m/s 

x = área bajo la gráfica (triángulo rectángulo) 

x = 106.47 m 


25 

20 


15 

10 

5 

0 

0 

Área=(Base X altura) /2 

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Tiempo (s) 

Figura 1.17. 


Por lo tanto, Bolt recorrió 106.47 m desde el inicio hasta el catorceavo segundo. Así, también podemos determinar 

la distancia en cualquier otro intervalo.


Repasando lo realizado hasta ahora, tenemos que, cuando la gráfica de velocidad 

contra tiempo es una recta inclinada, se trata de un caso de movimiento con aceleración 

constante, conocido también como movimiento rectilíneo uniformemente 

acelerado. 

Piensa ahora en lo siguiente, ¿qué interpretación le daríamos a la gráfica si fuera una 

línea recta horizontal y paralela al eje de tiempo, como la mostrada en la figura 1.18? 

Tal gráfica representaría el movimiento de un cuerpo cuya velocidad no varía con 

el tiempo, pues la recta es horizontal, lo que nos dice que la velocidad siempre tiene 

el mismo valor; caso diferente al ejemplo del atleta Bolt, cuya gráfica v vs. t es una 

recta inclinada (con pendiente positiva), lo que indica que la velocidad toma valores 

crecientes a medida que el tiempo avanza. Como ejercicio mental, imagina cómo 

sería la gráfica v vs. t para un cuerpo cuya velocidad va disminuyendo conforme 

transcurre el tiempo. Coméntalo con tu profesor. 

Velocidad 


Tiempo 

Figura 1.18 

1.8.3. Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) 

Otra de las gráficas de movimiento rectilíneo es la de aceleración contra tiempo 

(a vs. t). Para analizar esta gráfica, recordemos que, de acuerdo con los fines de este 

curso, solamente estamos estudiando casos de movimiento rectilíneo con aceleración 

constante. Esta puede ser igual a cero cuando el cuerpo se mueve con rapidez 

constante, o bien, la aceleración puede ser positiva si el objeto aumenta su velocidad 

al pasar el tiempo; o también puede ser negativa en el caso de que la velocidad del 

cuerpo disminuya con el paso del tiempo. 

Retomemos los dos ejemplos anteriores: el del movimiento de un ratón por una 

tubería recta y el del atleta Usain Bolt en la competencia olímpica de 200 m planos. 

Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) para un ratón que se mueve por 

una tubería recta 

En ese ejemplo llegamos a la conclusión de que el ratón se mueve con rapidez constante 

(recuerda que, en el movimiento rectilíneo, la rapidez toma el mismo valor que 

la velocidad, por lo que podemos hablar indistintamente de una o de otra) y al calcularla 

obtuvimos un valor de 4 m/s. Un cuerpo que se mueve con velocidad o rapidez


constante no sufre cambios en la misma y, por ello, su aceleración es nula (cero), de 

tal forma que la gráfica a vs. t para este caso es la siguiente (fig. 1.19): 

Aceleración (m/s 2 ) 

0 

Tiempo (s) 

Figura 1.19 

Como vemos, la línea obtenida es una recta horizontal que coincide con el eje de 

tiempo, ya que, al ser nula la aceleración, el cuerpo no cambiará su velocidad en 

ningún momento. 

Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) para el caso del atleta Usain Bolt 

en la competencia de 200 m planos de Londres 2012 


Aquí tenemos una situación diferente: el atleta, como sabemos, partió de la meta desde 

el reposo (v i = 0) y, al llegar a la meta, alcanzó una rapidez de v f = 20.88 m/s 

(figura 1.20); es decir, si consideramos la aceleración constante, su velocidad cambió 

uniformemente durante la carrera. En el ejemplo se obtuvo dicha aceleración y su 

valor era de 1.087 m/s 2 . Entonces, tomamos ese valor de aceleración para realizar la 

gráfica, que es la siguiente: 

Aceleración (m/s 2 ) 

1.0 

0.5 

0 

Tiempo (s) 

1.087 

Figura 1.20 

Al moverse con aceleración constante, se mantendrá siempre en el mismo valor al 

transcurrir el tiempo desde el inicio hasta el término de la carrera, en 1.087 m/s 2 .


¿Qué información podemos extraer de esta figura? 

• El cambio de velocidad en intervalos establecidos como el área bajo la gráfica; 

un rectángulo, en este caso. 

Concluimos el tema del análisis gráfico del movimiento rectilíneo diciendo que has adquirido 

pautas generales que pueden aplicarse a otros contextos y escenarios de movimiento 

rectilíneo con velocidad constante o movimiento rectilíneo con aceleración 

constante. Te corresponde ahora poner en práctica los conocimientos adquiridos en esta 

importante etapa del curso, desarrollando las actividades de competencias que te presentamos 

enseguida y, más adelante, resolviendo los ejercicios de la autoevaluación. 

■ Actividad 6 Posición, velocidad y aceleración 

Para cada uno de los siguientes casos, completa la gráfica correspondiente de posición 

contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo, e indica claramente 

cuál variable representa cada uno de los ejes. Haz todas las suposiciones necesarias. 

1. Grafica el movimiento de un barco de papel que se deja en la corriente de un 

río en un tramo recto y que avanza sobre el agua con velocidad constante, desde 

una posición inicial x i = 0 hasta una posición final de x f = 40 m, en un intervalo 

de tiempo de 20 s (figura 1.21). 

Gráfica x vs. t Gráfica v vs. t Gráfica a vs. t 


Figura 1.21 

2. Grafica el movimiento de un avión que parte del reposo desde la sección inicial 

de la pista hasta que despega; este recorre 1200 m en 30 s con aceleración constante 

(figura 1.22). 


Figura 1.22


3. Grafica el movimiento de un automóvil que viaja a una velocidad inicial de 

15 m/s, se aproxima a un semáforo en luz roja a 45 m (x f = 0) y aplica el freno 

uniformemente hasta que se detiene por completo (figura 1.23). 


Figura 1.23 

4. Grafica el movimiento de una patrulla que viaja con velocidad constante de 10 

m/s durante 5 s desde una posición inicial de 20 m y que, después, aumenta su 

velocidad uniformemente durante otros 5 s hasta alcanzar una posición final de 

120 m (figura 1.24). 



Figura 1.24 

5. Responde las siguientes preguntas respecto a la gráfica (figura 1.25). 

a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento A-B? 

b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento B-C? 

c) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento C-D? 

d) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento D-E? 

e) ¿Cuál es la velocidad media desde la posición A hasta la posición E? 

x (m) 

30 

C 

D 

20 

10 

B 

E 

0 

A 

10 

20 30 40 50 

t (s) 

Figura 1.25


6. De acuerdo con la figura 1.26, contesta las preguntas. 

a) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 0 a 5 s? 

b) ¿Cuál fue el desplazamiento del cuerpo en ese mismo intervalo de tiempo? 

c) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 5 a 9 s? 

d) ¿Cuál fue el desplazamiento del cuerpo en ese mismo intervalo de tiempo? 

e) ¿Cuál fue el desplazamiento total del cuerpo en el intervalo de tiempo de 0 a 9 s? 

v (m/s) 

20 

5 9 

t (s) 

Figura 1.26 

7. Con base en la figura 1.27, calcula lo que se te pide. 

a) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 0 a 125 s? 

b) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 125 a 250 s? 

c) ¿Cuál fue el desplazamiento total de 0 a 250 s? 


v (m/s) 

100 

125 

250 

t (s) 

Figura 1.27 

¿SABÍAS QUE… 

Se venden viajes a Marte 

… a raíz del éxito que se ha tenido con la llegada de los Explorers, 

se han programado viajes tripulados a Marte y muchas 

personalidades adineradas del mundo han reservado ya sus 

lugares. 

Del mismo modo, Estados Unidos ha anunciado que pronto 

podrá hombres en la Luna en cápsulas parecidas a las que se 

utilizaron en la década de 1960. 

Para saber más, te sugerimos visitar: 

http://www20minutos.es/noticia/127557/0/NASA/proyecto/marte/


1.9. Análisis del movimiento en una dimensión desde el punto de 

vista de las leyes de Newton 

El estudio del movimiento de los cuerpos se profundiza aún más cuando lo relacionamos 

con las causas que lo generan, es decir, cuando explicamos el movimiento con 

base en las leyes que se han establecido a lo largo de los años por personajes como 

Galileo Galilei e Isaac Newton, quienes pasaron gran parte de su existencia tratando de 

comprender el comportamiento de los cuerpos cuando se mueven. 

Como vimos en La ciencia del movimiento, Newton enunció sus tres leyes describiendo 

este fenómeno a través de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Aquí las 

reproducimos una vez más: 

Primera ley de Newton: “Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o de 

movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa actúe sobre él”. 

Segunda ley de Newton: “Cuando un cuerpo se encuentra bajo la acción de una 

fuerza neta no balanceada, la aceleración producida es directamente proporcional 

a la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”. 

Tercera ley de Newton: “A toda fuerza de acción, corresponde otra fuerza igual y 

contraria llamada reacción”. 

¿Cómo relacionamos el estudio de la cinemática que hemos visto en el 

movimiento TD&IS Training en una Distribution dimensión con and las Integrated leyes de Newton? Services 

Consideremos la primera ley escribiéndola de otra forma: 

“El vector velocidad de un objeto permanecerá constante, si y solo sí la fuerza neta 

(o resultante) que actúa sobre él es igual a cero”. 

Esto significa que, cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual 

a cero, su velocidad permanece constante o uniforme sin importar la magnitud de 

la velocidad, incluso cuando su velocidad es cero (estado de reposo). Nota que esto 

no significa que el cuerpo se encuentre libre de fuerzas, ya que esta condición es 

prácticamente imposible o, por lo menos, es muy difícil hallar un cuerpo en el universo 

entero sobre el que no actúe ningún tipo de fuerza. Lo que sí significa es que 

la fuerza neta de todas las que se ejercen sobre él es cero. Esta condición es la que 

habíamos denominado estado de equilibrio, puede ser estado de equilibrio estático 

cuando el cuerpo permanece en reposo, o bien, estado de equilibrio dinámico, que 

se verifica cuando el cuerpo se desplaza con velocidad constante, recordando que 

velocidad constante implica aceleración cero. 

Veamos ahora la relación con la segunda ley de Newton escribiéndola de esta otra manera: 

“Cuando una fuerza neta diferente de cero actúa sobre un objeto, su velocidad cambia, 

es decir, el objeto está acelerado y esta aceleración es directamente proporcional 

a la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa del mismo.” 

Observemos que, en este caso, la fuerza neta o resultante que actúa sobre el cuerpo 

no es igual a cero, y lo que establece la segunda ley de Newton, en estas condiciones,


es que el cuerpo se mueve con un movimiento acelerado, lo cual significa que el 

cuerpo no se encuentra en equilibrio. 

Los siguientes ejemplos te darán una mejor idea de la relación que existe entre la 

cinemática y las leyes del movimiento de los cuerpos. 

EJEMPLO 1.11 

Se acelera un automóvil de 800 kg a partir del reposo hasta alcanzar una velocidad de 16 m/s en 3 s. 

¿De qué magnitud es la fuerza que se debe aplicar para producir esta aceleración? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Obtener la fuerza necesaria para que el carro se acelere. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando la aceleración del carro para que obtengamos la fuerza necesaria. 

Datos: 

m = 800 kg 

v i = 0 

v f = 16 m/s 

t = 3 s 

Incógnita: 


F = ? 

Obtendremos la aceleración generada por el automóvil con la fórmula: 

Despejemos la aceleración de la fórmula: 

Sustituyamos los valores y realicemos las operaciones: 

Utilicemos esta aceleración y la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza necesaria 


La fuerza necesaria para acelerar el auto es…


Ejemplo 1.12 

Un automóvil que viaja a 25 m/s a lo largo de un camino recto y plano se detiene uniformemente en 

una distancia de 50 m. Si el automóvil pesa 9200 N, ¿cuál es la magnitud de la fuerza para detener el 

automóvil? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Obtener la fuerza necesaria para que el automóvil se detenga. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando el tiempo necesario, la aceleración y la masa que necesita el 

automóvil para detenerse, esto para luego obtener la fuerza necesaria para dicho movimiento. 

Datos: 

w = 9200 N 

v i = 25 m/s 

v f = 0 

x i = 0 

x f = 50 m 

Incógnita: 

F = ? 


Para obtener la fuerza hay que calcular primero la aceleración mediante el siguiente procedimiento: 


Pero como la velocidad final es cero, simplificamos la expresión anterior quedando: 

Ahora se sustituye en la ecuación de la posición sabiendo que x i = 0 

Se simplifica eliminando el cuadrado del tiempo y efectuando la suma algebraica:


Con lo cual podemos obtener el tiempo de detención del automóvil y luego la aceleración: 

Calculemos la masa del automóvil con la siguiente fórmula: 

Despejemos m de la fórmula: 

Sustituyamos valores y realicemos operaciones: 


Utilicemos esta aceleración y la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza necesaria: 


La fuerza necesaria para detener el auto es… 

F = - 5866.8 N 

El signo negativo de la fuerza indica que se está aplicando en dirección opuesta al movimiento.


Ejemplo 1.13 

Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo de 5 kg de masa partiendo del reposo cuando sobre este actúa 

una fuerza constante de 4 N durante 10 s. 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Obteniendo la distancia que recorre el cuerpo durante 10 s. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando la aceleración del cuerpo para después encontrar la distancia 

que recorre. 

Datos: 

m = 5 kg 

v i = 0 

F = 4 N 

t = 10 s 

Incógnita: 

x = ? 

Obtendremos la aceleración del objeto con la fórmula: 




Obtendremos la distancia recorrida por el objeto con la fórmula: 



La distancia recorrida por el objeto es de 40 m.


■ Actividad 7 Aplicación de la segunda ley de Newton 

Resuelve los siguientes problemas utilizando la segunda ley de Newton y las fórmulas de la cinemática: 

Problema 

1. ¿Cuál debe ser la fuerza necesaria para detener 

en una distancia de 25 m un objeto de 30 kg que 

se mueve inicialmente a 20 m/s? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 

Resultado e interpretación 


Problema 

2. Determina la aceleración y la velocidad que 

obtiene un automóvil de 600 kg que se mueve a 

10 m/s al recibir un empuje mediante una fuerza 

de 6000 N durante 3 s. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 

Resultado e interpretación


Problema 

3. Un automóvil que viaja a 70 km/h a lo largo de 

un camino recto y plano se detiene uniformemente 

en una distancia de 80 m. Si el automóvil pesa 

8500 N, ¿qué fuerza se necesita para detener al 

automóvil? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

4. Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo de 

8 kg que se mueve a 15 m/s cuando sobre este 

actúa una fuerza constante de 30 N durante 8 s. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Actividades y ejercicios complementarios 

1. Elabora en tu cuaderno un glosario con el significado de todos los conceptos, términos, leyes y principios 

estudiados a lo largo de esta etapa. Recuerda que el glosario debe estar escrito en orden alfabético. 

2. Elabora una sección de comentarios. Esta consiste en que anotes en tu cuaderno las características que 

te resultaron más relevantes de un tema y que te sirvieron para comprenderlo mejor. Procura abarcar 

todos los temas vistos en la etapa. 

Análisis de conceptos 

Contesta las siguientes preguntas y explica tus respuestas. 

1. Observando el movimiento de un jugador de futbol se demostró que durante el partido recorrió, aproximadamente, 

13 km. ¿Cómo nombrar la magnitud recorrida: módulo del desplazamiento o camino recorrido? 

2. Un navegante, al determinar la posición del barco por la mañana, descubrió que se encontraba en un punto 

distante 100 m al sur del punto en el cual estaba la noche anterior. ¿Qué expresa este número: el valor del 

desplazamiento o la longitud de la trayectoria? 


3. Un chofer de taxi, al concluir su trabajo, observó que el contador de kilómetros de su auto indicaba un 

aumento de 300 km respecto al día anterior. ¿Qué representa este aumento: la longitud de la trayectoria o 

el módulo del desplazamiento? 

4. Una persona se encuentra en el interior de un automóvil cuyo velocímetro indica 90 km/h. ¿Con qué velocidad 

esta persona observaría... 

a) …un automóvil que viaja a su lado en el mismo sentido a 90 km/h? 

b) …un poste situado en la acera de la calle? 

5. ¿Qué registra el velocímetro de un automóvil: una cantidad vectorial o escalar?


6. Supón que te encuentras exactamente en el polo norte de la Tierra, luego caminas 100 km hacia el sur, 

50 km hacia el oeste y por último 100 km al norte. ¿En qué lugar terminarías? 

7. La rapidez del sonido en el aire, en promedio, es de 340 m/s. Durante la próxima tormenta eléctrica, prueba 

a estimar la distancia entre tu posición y un rayo, midiendo el tiempo que transcurre entre tu observación 

del relámpago y el sonido del trueno. Puedes hacer caso omiso del tiempo en que la luz del rayo llega 

hacia ti, ¿por qué? 

8. ¿Qué indica la pendiente de una gráfica de desplazamiento contra tiempo? 

9. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica de velocidad contra tiempo? 

10. Si una gráfica de velocidad contra tiempo es una línea recta paralela al eje del tiempo, ¿qué puedes decir 

respecto a la velocidad? 


11. Para las siguientes combinaciones de signos y valores para la velocidad y la aceleración de una partícula 

respecto al eje x (una dimensión), describe qué es lo que hace la partícula en cada caso y cita un ejemplo 

real para un motociclista en un eje x unidimensional, considerando el este como la dirección positiva. 

Velocidad Aceleración Descripción y ejemplo de la vida real 

+ + 

+ – 

+ 0 

– + 

– – 

– 0 

0 + 

0 – 

12. Moy manejó su automóvil alrededor de la manzana a velocidad constante. ¿El enunciado es verdadero o 

falso?


13. ¿Puede la velocidad de un objeto estar alguna vez en dirección diferente de la dirección de su aceleración? 

14. ¿Puede un objeto tener rapidez constante y, sin embargo, tener velocidad variable? 

15. ¿Puede un objeto tener rapidez variable y, sin embargo, tener velocidad constante? 

16. Si la velocidad de una partícula es diferente de cero, ¿puede ser que su aceleración sea igual a cero? 

17. Si la velocidad de una partícula es cero, ¿puede ser que su aceleración sea igual a cero? 

18. Si un automóvil está viajando hacia el norte, ¿puede ser que su aceleración sea hacia el sur? 


19. Si la gráfica de posición contra tiempo para un objeto muestra una pendiente cuyo valor es igual a cero, 

¿qué representa dicha pendiente? ¿Cómo describiríamos el movimiento de este cuerpo? 

20. ¿Qué indica la pendiente de una gráfica de velocidad contra tiempo? 

21. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica velocidad contra tiempo? 

22. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica aceleración contra tiempo? 

23. Si una gráfica de velocidad contra tiempo es una línea recta paralela al eje del tiempo, ¿qué puedes decir 

respecto a la aceleración?


Preguntas 

Responde subrayando en cada caso la opción correcta. 

1. Si un móvil con movimiento rectilíneo uniforme recorre 60 m en 12 s, 25 m los recorrió en… 

a) 6 s. 

b) 5 s. 

c) 4 s. 

d) 4.5 s. 

2. Si un móvil con movimiento rectilíneo uniforme recorre en 8 s 40 m, en 4.5 s recorrió… 

a) 17.5 m. 

b) 27.5 m. 

c) 20.5 m. 

d) 22.5 m. 

3. La pendiente en el gráfico v vs. t (velocidad contra tiempo) que muestra la velocidad de un móvil en 

función del tiempo representa… 

a) el desplazamiento realizado por el móvil. 

b) el tiempo transcurrido. TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

c) la aceleración del móvil. 

d) la velocidad del móvil. 

4. Si un móvil se desacelera, significa que… 

a) su desplazamiento es negativo. 

b) la distancia que recorre en cada segundo es cada vez menor. 

c) la distancia que recorre en cada segundo es cada vez mayor. 

d) la distancia que recorre cada segundo es la misma. 

5. Un móvil se acelera a razón de 4 m/s 2 , esto significa que el móvil… 

a) recorre 4 m cada segundo. 

b) tarda 4 s en recorrer 1 m. 

c) su velocidad cambia 4 m/s cada segundo. 

d) recorre 4 m cada s 2 .


6. Un cuerpo que se desplaza con aceleración constante debe experimentar cambios en… 

a) la velocidad. 

b) la masa. 

c) la aceleración. 

d) el peso. 

7. La rapidez de un cuerpo que se mueve en línea recta con aceleración positiva constante aumenta proporcionalmente 

respecto a… 

a) la distancia recorrida. 

b) el tiempo transcurrido. 

c) el desplazamiento realizado. 

d) el cuadrado de la distancia recorrida. 

8. Un ratón corre a lo largo de un túnel recto y angosto. Si su gráfica velocidad contra tiempo (v vs. t) es 

una recta paralela al eje del tiempo, la aceleración es… 

a) constante y diferente de cero. 

b) cero. 

c) variable. 

d) negativa. 


Problemas 

1. Un avión vuela con una rapidez de 998 km/h. ¿Qué distancia en m recorre en 30 segundos? 

2. La luz proveniente del Sol tarda 8.3 minutos en llegar a la Tierra. Si la velocidad de la luz es de 30 × 10 8 , 

¿cuál es la distancia de la Tierra al Sol en m/s y km/h? 

3. Calcula el tiempo en segundos que tardará un tren en recorrer 3 km en línea recta hacia el sur con una 

velocidad de 90 km/h. 

4. En un parque de béisbol, la distancia de la loma de lanzar al plato es de 18.5 m. Si el pitcher puede lanzar 

la pelota a razón de 40 m/s, y considerando esta velocidad como constante, ¿cuánto tiempo tarda la 

pelota en llegar al plato? 

5. En una carretera cuya velocidad máxima permitida es de 70 km/h se ha instalado una cámara que toma 

32 imágenes por segundo para determinar la rapidez de los vehículos. Si un automóvil cuya longitud es 

2.50 m ocupa 5 imágenes en su movimiento total ante la cámara, ¿está infringiendo la ley? ¿A qué velocidad 

va?


6. En la línea de producción de una maquiladora de ropa se coloca una banda transportadora por donde 

va pasando la ropa; por su lado, cada uno de los operadores realiza un proceso diferente en las prendas, 

como coserlas, pegar botones, etc. Si la banda debe moverse con una rapidez de 0.5 m/s y cada 

operador tarda 12 s en realizar su trabajo, ¿a qué distancia se debe colocar un operador de otro para 

realizar su labor a tiempo? Si los rodillos de la banda transportadora miden 18 cm de diámetro, ¿cuál 

debe ser la rapidez con la que deben girar para que la banda se mueva con la rapidez requerida? 

7. Dos carros marchan en un mismo punto: uno a 60 km/h y otro a 80 km/h. (fig. 1.28) ¿A qué distancia se 

encontrarán uno del otro al cabo de 50 minutos si viajan en el mismo sentido? 

Figura 1.28. 

8. Dos trenes parten de dos ciudades (A y B) distantes entre sí 400 km con velocidades de 100 km/h y 70 

km/h, respectivamente , figura 1.29. Determina cuándo se encontrarán y a qué distancia de A estarán si 

ambos parten al mismo tiempo y se mueven uno hacia el otro. 


Figura 1.29.


9. Un automóvil marcha a 30 m/s por una carretera paralela a la vía del tren (figura 1.30). ¿Cuántos segundos 

tardará el auto en pasar a un tren de 300 m de largo que marcha a 16.6 m/s en la misma dirección y sentido? 

Análisis gráfico del MRU 

Figura 1.30. 

10. La siguiente tabla se obtuvo midiendo las distancias y los tiempos en que un carrito recorre un riel sin 

fricción. Con la ayuda de papel milimétrico o una computadora con Excel obtén la gráfica, la pendiente y la 

ecuación de la misma. 


Prueba x (cm) t (s) 

1 24 5.71 

2 36 8.57 

3 48 11.43 

4 60 14.28 

5 72 17.14 

11. Un carrito de baterías se mueve en línea recta recorriendo 6 m cada 2 s. Calcula su velocidad y completa 

la tabla de datos. 

Tabla de datos 

Tiempo (s) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 

Posición (cm) 0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 


a) Traza la gráfica de posición contra tiempo para el movimiento descrito. 

b) Construye la gráfica de velocidad contra tiempo. 

c) ¿Qué tipo de movimiento caracterizan a estas gráficas?


12. Una partícula se mueve a lo largo de una recta y ocupa las siguientes posiciones en varios instantes: 


Tiempo (s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 

Posición (cm) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 


a) Utiliza los datos de la tabla para construir una gráfica de posición contra tiempo. 

b) ¿Qué representa la pendiente de la recta? 

c) Completa la tabla y construye una gráfica de velocidad contra tiempo del movimiento de la partícula 

durante los primeros 5 s. 

d) Calcula el área bajo la gráfica anterior y la distancia recorrida en los primeros 5 s. 

e) ¿A qué conclusiones llegas sobre las dos gráficas? 

13. La figura 1.31 es una gráfica de posición contra tiempo para un objeto en movimiento. 


Tiempo (s) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 


Posición (cm) 0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 


a) Describe el movimiento del cuerpo. 

b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo? 

c) ¿Qué representa el valor de x (la posición) en la gráfica? 

Posición (m) 

10.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 

Tiempo (s) 

Figura 1.31


14. La figura 1.32 es una gráfica de la distancia total recorrida por un perro en una pradera. 

x (m) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 

t (s) 

Figura 1.32 

a) ¿Cuál es la velocidad del perro en los primeros 2 segundos? 

b) ¿Qué se puede decir del desplazamiento del perro en cualquier momento? 

c) ¿Cuál fue la TD&IS distancia Training total recorrida? Distribution and Integrated Services 

d) En qué intervalo de tiempo se movió con mayor rapidez? 

15. En la figura 1.33 se muestra la gráfica de posición vs. tiempo del movimiento de tres cuerpos (1, 2 y 3) con 

diferentes velocidades. Las rectas correspondientes a los cuerpos 2 y 3 muestran que estos se mueven en la 

dirección del eje x y en el mismo sentido, en este caso, el sentido adoptado como positivo. 

x (m) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

Cuerpo 2 v 2 

Cuerpo 1 v 1 

Cuerpo 2 v 3 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

t (s) 

-2 

Figura 1.33


a) ¿En qué sentido se mueve el cuerpo 1? 

b) Usando la gráfica de la figura 1.33 encuentra la distancia entre los cuerpos 1 y 3 en el instante de 2 s. 

c) ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de los cuerpos 1, 2 y 3 en un tiempo de 3 segundos?? 

16. La figura 1.34 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo de dos autos (1 y 2) que viajan por 

una misma carretera. 

x (km) 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

A 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

2 

1 

t (h) 

Figura 1.34 

a) En relación con el comienzo de la carretera (x = 0 km), ¿cuál es la posición del auto 1 en t = 0? 


b) Determina las velocidades de los dos autos en t = 2 horas. 

c) ¿Qué significado físico tiene el punto de intersección A? 

d) Determina las velocidades de los dos autos en el punto A. 

17. La figura 1.35 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo de dos autos (1 y 2) que viajan por 

una misma carretera. 

x (km) 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

A 

1 

2 

0 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

t (h) 

Figura 1.35


a) ¿Qué distancia recorren cada uno de los autos en t = 2 horas? 

b) Determina la magnitud de la velocidad de los dos autos en t = 2 horas. 

c) ¿Cómo son las magnitudes de cada uno de los autos? ¿Por qué? 

d) En el instante t = 0, ¿cuáles son las posiciones de los autos 1 y 2? 

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 

1. La velocidad de despegue de un avión es de 300 km/h . Si la longitud de la pista es de 1500 m… 

a) ¿qué aceleración debe producir el motor? 

b) ¿cuánto tardará el avión en despegar? 

2. ¿Qué aceleración desarrollará un automóvil en una distancia de 1000 m si los recorre en 10 s y parte 

del reposo? ¿Qué velocidad tendrá al cabo de los 10 segundos.? 

3. Un autobús parte del reposo y se mueve con una aceleración constante de 5.0 m/s 2 . Encuentra su rapidez y la 

distancia recorrida después de transcurridos 4 segundos.. 

4. Una caja se desliza hacia abajo sobre un plano con aceleración uniforme. Parte del reposo y alcanza 

una rapidez de 2.7m/s en 3 s. Encuentra la aceleración y la distancia a la que se mueve en los primeros 

6 segundos. TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

5. Un cuerpo que se acelera a 2 m/s 2 va, en cierto instante, a una velocidad de 20 m/s. Si parte del reposo, 

¿cuánto tiempo ha sido acelerado? ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? 

6. En un tubo de imágenes típico para televisión a color los electrones se mueven 40 cm desde la pistola de 

electrones hasta la pantalla, chocando con ella con una rapidez de 8 × 10 7 m/s. ¿Cuál es la aceleración de 

los electrones? y ¿qué tiempo les toma a los electrones recorrer los 40 cm si parten del reposo? 

7. La velocidad de un vehículo se incrementó uniformemente de 6 m/s a 20 m/s al recorrer una distancia de 

70 m en línea recta. Calcula la aceleración y el tiempo transcurrido. 

8. Un automóvil acelera uniformemente mientras pasa por dos puntos marcados que están separados 30 m. 

El tiempo que tarda en recorrer la distancia es de 4 s y su rapidez en el primer punto marcado es de 5 m/s. 

Calcula la aceleración y la rapidez al llegar al segundo punto marcado. 

9. Un aeroplano parte del reposo y acelera sobre el piso antes de elevarse, recorriendo 600 m en 12 s. Calcula 

la aceleración y la rapidez al final de los 12 s. 

10. Un auto viajando a una velocidad de 72 km/h es frenado a fondo y se detiene en un tiempo de 5 s. Determina 

su aceleración y la distancia que recorre antes de detenerse. 

11. El velocímetro de un auto marca 45 km/h cuando se aplican los frenos. Si el auto se detiene en 2.8 s, ¿cuál 

es la aceleración? y ¿cuál es la distancia recorrida?


12. Un tren que viaja a 30 m/s frena uniformemente hasta detenerse en 44 s. Determina la aceleración y la 

distancia recorrida hasta que se detiene. 

13. Un auto que se mueve a 13 m/s frena uniformemente a razón de 2 m/s por cada segundo durante 6 s. Encuentra 

su rapidez al final de los 6 s y la distancia recorrida en ese tiempo. 

14. ¿Cuánto tiempo invierte un automóvil, viajando a 90 km/h, en detenerse si su aceleración negativa es 

de 4 m/s 2 ? 

15. Un camión viajando inicialmente a 60 km/h va frenando con una aceleración negativa de 2 m/s 2 . Determina 

cuánto tiempo invierte en detenerse y qué distancia recorre en ese tiempo. 

16. La siguiente es una lista o ficha técnica del nuevo auto Seat Ibiza “Bocanegra”, publicada en la sección 

“Automotriz” del periódico El Norte: 

Vista rápida 

Carrocería tipo: Hatchback 3 puertas, 4 plazas 

Precio: 297 mil 500 pesos 

Motor: L4 TSI Turbocargador, supercargador, inyección directa de combustible 

Desplazamiento: 1.4 L 

Potencia: 150 hp 

Par motor: 220 Nm 

Transmisión: DSC 7 velocidades con mandos al volante 


Tracción: Delantera 

Suspensión: Delantera McPherson, barra estabilizadora; trasera eje autoportante, barra estabilizadora 

Frenos: Disco ventilado en las 4 ruedas, antibloqueo y distribución de fuerza de frenado 

Rines y llantas: 215/40 R17 

Equipo de seguridad activa y pasiva 

Bolsas de aire frontales y laterales 

Control de estabilidad y tracción (XDS) 

Frenos de disco en las 4 ruedas con abs 

Desempeño 

0-100 km/h: 7.2 s 

Velocidad máxima: 212 km/h 

Consumo mixto aproximado: 15 km/l 

Puntos a favor 

Diseño exterior 

Desempeño del motor 

Está bien equipado 

Puntos en contra 

Precio elevado 

Algunos plásticos interiores 

Pronto llegará el Audi Al (misma plataforma y tren motriz) a menor precio.


Preguntas 

a) Teniendo en cuenta los datos de la sección “Desempeño”, calcula la aceleración de este auto en m/s2. 

b) Considerando esa misma aceleración como constante, ¿cuánto tiempo le tomaría a este auto alcanzar su 

velocidad máxima? 

c) ¿Qué distancia recorre el auto cuando acelera desde el reposo hasta llegar a los 100 km/h? 

d) ¿Qué distancia recorre el auto cuando acelera desde el reposo hasta alcanzar su velocidad máxima? 

17. Un automóvil de la marca Audi modelo TT Quattro puede acelerar de 0 a 100 km/h en 6.4 s. Calcula la 

aceleración de ese automóvil en m/s 2 . 

a) ¿Qué distancia recorrerá en 3 s? 

b) Si la velocidad máxima que puede alcanzar el TT Quattro es de 243 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en 

llegar a esa velocidad tope suponiendo que su aceleración sea siempre la misma? 

18. El fabricante de automóviles de la marca Volkswagen especifica en una de sus pruebas que el modelo Jetta 

puede frenar de 80 km/h a 0 recorriendo una distancia de 28.7 m. Calcula la aceleración de frenado con los 

datos anteriores, en m/s 2 . 

Una vez que calcules la aceleración de frenado, determina la distancia recorrida por el Jetta y el tiempo 

transcurrido cuando frena hasta el reposo, con las siguientes velocidades iniciales: 

a) 100 km/h 


b) 120 km/h 

c) 150 km/h 

d) 180 km/h 

Comenta en clase con tu maestro y tus compañeros los resultados anteriores y sobre los riesgos de 

manejar a altas velocidades. 

19. Un cuerpo se mueve durante 3 s con MRUA recorriendo 45 m. Deja entonces de acelerar y durante 3 s 

recorre 72 m con velocidad constante. Calcula la velocidad inicial y la aceleración. 

20. Un tranvía que parte del reposo se mueve durante 15 s con aceleración de 1m/s 2 . Se suprime la corriente 

eléctrica y continúa moviéndose durante 10 s desacelerado a causa de la fricción, con una aceleración de 

0.05 m/s 2 . Finalmente, se aplican los frenos y se detiene en 5 s. Calcula la distancia total recorrida.


21. Un camión se mueve a 144 km/h acercándose a un automóvil que se traslada en la misma dirección a 

72 km/h. Cuando la separación entre los dos vehículos es de 20 m, el conductor del camión aplica los frenos. 

Determina… 

a) cuál será el tiempo que tarda el camión en alcanzar al automóvil, suponiendo que puede disminuir 

su velocidad con una desaceleración de 6 m/s 2 y que la velocidad del automóvil no cambia. 

b) cuál es la distancia que recorre el automóvil en ese tiempo. 

144 Km/h 

20 m 

72 Km/h 

22. Un automóvil parte del reposo con una aceleración de 1.2 m/s 2 en el momento en que la luz del semáforo 

cambió a verde. En ese TD&IS instante, Training un camión Distribution que se mueve con and velocidad Integrated constante Services de 30 m/s se encuentra 

a 45 m del mismo semáforo. 

a) ¿Alcanzará el camión al automóvil? 

b) Si esto sucede, ¿a qué distancia y en qué tiempo? 

30 m/s 45m 0 Km/h


Análisis gráfico del MRUA 

23. Completa los valores de la siguiente tabla de datos para un objeto que parte del reposo y describe un movimiento 

rectilíneo uniformemente acelerado. 

t (s) 

x (m) 

0 0 

1 0.4 

2 1.6 

3 3.6 

4 6.4 

5 10.0 

6 14.4 

a) Construye la gráfica de posición contra tiempo (x vs. t). 

b) Traza la gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t), calcula la pendiente para dos intervalos y determina 

el área bajo la recta. 

c) Construye la gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t). 

d) Calcula la TD&IS distancia Training recorrida y Distribution la aceleración and del Integrated objeto con las Services fórmulas correspondientes y compáralas 

con los resultados de los incisos b) y c). 

24. En la figura 1.39 están representadas las gráficas que muestran las velocidades del movimiento de dos 

cuerpos (A y B). 

a) ¿Cuál de los dos cuerpos parte del reposo (v o = 0)? 

b) ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de los cuerpos A y B en t = 6 s? 

c) Determina la aceleración para cada uno de los cuerpos desde t 1 = 0 s hasta t 2 = 6 s. 

v (m/s) 

8 

6 

B 

A 

4 

2 

0 

2 4 6 8 10 

t (s)


Figura 1.39 

25. En la figura 1.40 están representadas las gráficas de la velocidad en función del tiempo que muestran las 

velocidades del movimiento de tres cuerpos. 

a) ¿Qué características tiene el movimiento de cada uno de ellos? 

b) ¿Qué se puede decir acerca de las velocidades del movimiento de los cuerpos en los instantes que corresponden 

a los puntos A y B? 

c) Determina la aceleración de cada uno de estos cuerpos. 

v (m/s) 

7 

6 

3 

5 

4 

2 

3 

A 

B 

1 

2 

1 

t (s) 

TD&IS Training 0 1Distribution 2 3 5 and 6 Integrated 7 Services 

Figura 1.40 

26. Utilizando las gráficas de las velocidades de tres cuerpos (figura 1.41), realiza las siguientes tareas: 

a) Determina la aceleración de cada uno de los cuerpos. 

b) ¿En qué coinciden y en qué se diferencian los movimientos representados por las líneas de color rojo 1 y 2? 

v (m/s) 

7 

6 

3 

2 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

2 

3 

1 

4 5 6 7 

t (s) 

Figura 1.41


27. En la figura 1.42, se muestran las gráficas de las velocidades del movimiento de tres cuerpos, según estas 

gráficas… 

a) determina qué significan los segmentos 0A, 0B y 0C sobre los ejes de coordenadas. 

b) determina las aceleraciones con las cuales se mueven los cuerpos. 

c) determina en qué coinciden y en qué se diferencian los movimientos representados por las líneas de 

color rojo 1 y 2. 

v (m/s) 

Cuerpo 1 

7 

6 

B 

Cuerpo 2 

5 

4 

3 

2 

A 

1 

0 

1 

C 

Cuerpo 2 

2 3 4 5 6 7 

t (s) 

Figura 1.42 

28. Analiza la la gráfica de la figura 1.43 de velocidad contra tiempo para un auto en movimiento rectilíneo 


y contesta las preguntas en clase con tus compañeros y tu maestro. Para resolver esta actividad, es conveniente 

que relaciones los conceptos teóricos de la cinemática con las ecuaciones del MRUA y también 

relacionarlos con los conceptos de geometría (áreas) y matemáticos (pendiente de una recta) vistos en otras 

unidades de aprendizaje. 

25 


20 

10 

3 

5 

15 20 25 30 35 

Tiempo (s) 

Figura 1.43 

a) ¿Cuál es la aceleración del auto en el intervalo de 0 a 5 s? 

b) Calcula la distancia recorrida por el auto en ese mismo intervalo de tiempo. 

c) ¿Cuál es la aceleración del auto en el intervalo de 5 a 10 s?, ¿qué tipo de movimiento tiene el auto 

en ese tiempo?


d) Determina la distancia recorrida por el auto en ese intervalo de 5 a 10 s. 

e) Explica de manera verbal lo que sucede en el intervalo de 15 a 20 s y también en el intervalo de 20 a 25 s. 

f ) ¿Qué tipo de movimiento presenta el auto en el siguiente intervalo de tiempo de 25 a 30 s? 

g) Calcula de nuevo la aceleración y la distancia recorrida para ese intervalo. 

h) Calcula ahora la aceleración del auto en el último intervalo de 30 a 34 s. 

i) Ahora, determina la distancia total recorrida por el auto desde el inicio de su recorrido. 


ETAPA 

2 

CINEMÁTICA: 

MOVIMIENTO 

EN UNA Y DOS DIMENSIONES 


CONTENIDO CONCEPTUAL: 

• Aceleración de la gravedad 

• Caída libre 

• Tiro vertical 

• Principio de independencia del movimiento 

según Galileo 

• Tiro horizontal 

• Tiro parabólico 

CONTENIDO 

PROCEDIMENTAL: 


• Resuelve problemas teóricos o de la vida 

cotidiana acerca del movimiento en una o dos 

dimensiones de un cuerpo, utilizando modelos 

matemáticos, gráficos, analíticos y el análisis 

vectorial. 

• Sigue instrucciones para armar un prototipo 

para demostrar experimentalmente una 

hipótesis de trabajo sobre las características del 

tiro horizontal. 

• Realiza mediciones, obtiene resultados para 

probar su validez y llega a conclusiones a partir 

de ellos.


Introducción 

Para continuar con el estudio del movimiento, analizaremos ahora los casos de 

objetos que son lanzados al aire, esto para tratar de describir sus características 

de cambio de posición, velocidad, aceleración, tiempo de vuelo, etcétera. 

Para TD&IS llevar Training a cabo esto, Distribution vamos a designar and Integrated con el nombre Services genérico de proyectil a 

todo cuerpo que se mueva bajo estas condiciones, es decir, cualquier objeto que 

sea lanzado al aire y luego de ello siga moviéndose bajo la acción de la fuerza de 

gravedad. Este movimiento puede presentarse en una o en dos dimensiones (en 

realidad hasta en las tres dimensiones, caso que no abordaremos en este curso), 

tanto en el eje horizontal como en el eje vertical, o en ambos ejes a la vez. Iniciaremos 

con dos lecturas que nos dan una idea de lo que aportaron los grandes 

pensadores Aristóteles y Galileo Galilei sobre este tema. Léelas con atención. 

2.1. Caída de los cuerpos 

Concepción aristotélica y galileana sobre la caída de los cuerpos. Aristóteles 

Las ideas de Aristóteles sobre el movimiento son, a primera vista, razonables y cercanas 

al sentido común. Sin embargo, como veremos a continuación, la intuición y el 

“sentido común” fueron sufriendo innumerables golpes en el desarrollo de la Física. 

Figura 2.1. 

Aristóteles 

(384-322 a.C.) 

En la doctrina aristotélica, todas las cosas están constituidas por cuatro elementos 

fundamentales: fuego, agua, tierra y aire. Aristóteles sostenía que cada uno de estos 

cuatro elementos que forman el mundo posee afinidad entre sí y, por lo tanto, 

estos tienen una tendencia a unirse, y que solo era posible evitar esta preferencia por

Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 71 

agruparse con otros elementos similares mediante la acción de alguna fuerza que se 

les opusiera. 

El peso de un cuerpo está determinado por la proporción que contiene de cada uno 

de ellos. Por otra parte, el peso determina el estado de movimiento “natural” de las 

cosas: hacia abajo los más pesados (compuesto principalmente por tierra y agua), 

hacia arriba los más livianos (cuyos principales componentes son el fuego y el aire). 

Por ejemplo, dado que el humo está principalmente formado de aire, es natural que 

se eleve para ponerse en contacto con el aire que forma el cielo. 

Él también era de la opinión de que los objetos y la materia solo se podían desplazar 

siempre y cuando una forma de energía los estuviera empujando en una dirección 

dada. Por lo tanto, si se eliminaran todas las fuerzas que están aplicadas sobre la 

Tierra, como el lanzar una piedra, entonces el movimiento no se produciría. Mucha 

gente ponía en duda esta idea, preguntando cómo era posible que un objeto como 

una flecha pudiera seguir moviéndose hacia adelante una vez que había dejado atrás 

el impulso que le había transferido la cuerda del arco. Aristóteles propuso la idea de 

que las flechas y otros objetos creaban una especie de vacío en su parte posterior que 

resultaba en una fuerza que los hacía desplazarse hacia adelante, lo cual era consistente 

con su interpretación del movimiento como una interacción del objeto que se 

desplaza y el medio a través del cual se mueve. 

Dado que Aristóteles colocaba el medio en el centro de su teoría del movimiento, 

no podía comprender las ideas del vacío que eran básicas para la teoría atómica de 

Demócrito. Un vacío TD&IS es un espacio Training sin Distribution contenido, y dado and Integrated que Aristóteles Services aseveraba 

que el movimiento requiere de un medio, él concluía que el vacío era una idea 

incomprensible. Aristóteles creía que el movimiento de un objeto es inversamente 

proporcional a la densidad del medio. Cuanto más tenue es el medio, más rápido 

será el movimiento. Si un objeto se moviera en el vacío, Aristóteles creía que debía 

desplazarse en forma infinitamente rápida, de modo que la materia rellenara todo 

espacio vacío en el instante en que se produce. 

Figura 2.2. 

Galileo 

(1564-1642) 

Uno de los aspectos más criticables de la doctrina aristotélica es su descripción de 

la caída de los cuerpos en las cercanías de la Tierra. Este problema interesó a los 

filósofos desde la Antigüedad, y tuvo un papel fundamental en el desarrollo de la 

Física. Aristóteles afirmaba que los cuerpos caen con una velocidad proporcional a 

su peso, es decir, soltando objetos de distinto peso desde una misma altura; por su 

lado, el tiempo de caída sería inversamente proporcional a su peso. Si bien prestó 

mucha atención a las observaciones experimentales para otros fenómenos naturales, 

en este caso, hubo que esperar muchos años hasta que alguien se planteara la validez 

experimental de esta afirmación. ¡Hubiese sido muy sencillo demostrar claramente 

su inexactitud, dejando caer cuerpos de igual forma, pero de peso diferente! 

El reinado de los conceptos físicos de Aristóteles duró acaso dos milenios, y fue 

la primera teoría especulativa de la Física de la que se tenga noticia. Luego de los 

trabajos de Galileo, Descartes, Newton y muchos otros, se aceptó que la Física de 

Aristóteles no era correcta o factible. Aun así, esta fue capaz de sobrevivir hasta el 

siglo XVII, y probablemente más, ya que se enseñaba todavía en las universidades 

de la época. 

Figura 2.3. 

Torre de Pisa


Galileo 

Galileo Galilei vivió entre 1564 y 1642. En 1581 ingresó a la Universidad de Pisa, 

y luego de comenzar sus estudios en Medicina se volcó a la Matemática, la Física y 

la Astronomía. 

En Europa, la teoría sobre la caída de los cuerpos de Aristóteles fue desacreditada 

por primera vez en forma convincente por los trabajos de Galileo Galilei. Según 

la leyenda, Galileo dejó caer bolas de distintas densidades desde la torre de Pisa y 

descubrió que, sin importar su peso, todas llegaban al suelo al mismo tiempo; sin 

embargo, sus experimentos cuantitativos más trascendentales los realizó haciendo 

rodar bolas por un plano inclinado, una forma de caída que es lo suficientemente 

lenta como para ser medida con los instrumentos de la época. 

Realizando muchas medidas de bolas cayendo por planos inclinados, se dio cuenta 

de que caían casi al mismo tiempo, así que determinó que la velocidad de caída de 

los cuerpos no dependía del peso de los cuerpos, como había enunciado Aristóteles, 

sino que era independiente de este. 

Para investigar y comprender la caída de los cuerpos, Galileo mandó construir un 

riel de madera de unos 7 m muy bien pulido para que hubiera poco rozamiento, y por 

el cual poder tirar bolas y estudiar su movimiento. 

Según él, si se dejaban caer dos bolas desde la misma altura, las dos caerían al 

mismo tiempo, ya que el peso es independiente de la velocidad. Así, usando el riel 

de TD&IS madera, Training tiró muchas Distribution bolas de distinto and Integrated tamaño y midió Services el espacio que recorrían 

marcando puntos sobre el riel. En esa época el tiempo era algo difícil de medir y Galileo 

utilizaba, sobre todo, un reloj de agua. A partir de sus experimentos con planos 

inclinados, Galileo llegó a la conclusión de que todos los cuerpos caen a la misma 

velocidad si no se considera la fricción. 

El procedimiento usado por Galileo con el tiempo fue evolucionando hasta lo que 

se conoce hoy como el método científico, ya que, a la hora de investigar, primero 

observaba, luego formulaba hipótesis, experimentaba y, en último lugar, llegaba a 

conclusiones y enunciaba leyes, y aplicó este método al estudio de la caída de los 

cuerpos. 

En julio de 1971, en la superficie de la Luna, el astronauta David Scott, comandante 

del Apolo 15 repitió el famoso experimento de Galileo dejando caer una pluma y 

un martillo simultáneamente. En ausencia de una atmósfera que opusiera fuerzas de 

rozamiento, los dos objetos cayeron e impactaron en la Luna al mismo tiempo.


2.2. Aceleración gravitacional 

En esta sección abordaremos algunos casos del movimiento acelerado, que han sido 

ampliamente estudiados desde la época aristotélica hasta nuestros días sin dejar de 

ser partes importantes y fundamentales del aprendizaje de la Física. 

Estamos ante los casos comúnmente conocidos como caída libre y tiro vertical. 

¿Cuántas veces hemos dejado caer por accidente algún objeto que traemos en la 

mano? ¿Cuántas veces hemos lanzado hacia arriba alguna pelota para atraparla instantes 

después? 

Este tipo de movimientos pueden describirse bajo las mismas consideraciones que 

hemos estudiado en el movimiento rectilíneo. 

Ambos movimientos naturales de los cuerpos se gobiernan por las leyes de la dinámica, 

como se verá en la etapa 4 de este mismo curso. Sin embargo, podemos estudiarlos 

aquí porque se trata de movimientos rectilíneos cuya aceleración es constante. Esa 

aceleración natural es la misma para todos los cuerpos cuando se dejan caer desde una 

cierta altura o también cuando son arrojados hacia arriba para, posteriormente, regresar 

al suelo. Se le conoce como aceleración gravitacional y corresponde al italiano Galileo 

Galilei la formulación de las leyes que rigen la caída de los cuerpos. Galileo demostró 

que todos los cuerpos, independientemente de su masa, cuando se dejan caer desde 

una altura conocida, describen un movimiento uniformemente acelerado en línea recta 

hacia la superficie de la Tierra. Cuenta la historia que Galileo subió hasta lo alto de 

la torre de Pisa, en Italia, TD&IS y desde Training ahí dejo Distribution caer dos balas and de Integrated cañón de diferente Services peso. 

Observó que ambas llegaban al suelo prácticamente en el mismo tiempo. Él concluyó 

que, si se despreciaban los efectos del rozamiento del aire, ambas balas caerían exactamente 

al mismo tiempo sin importar su peso. Este hecho provocó reacciones entre 

los sabios y religiosos de aquella época, quienes aseguraban que los cuerpos pesados 

deberían caer en menos tiempo que los ligeros. 

La aceleración de la gravedad se ha medido y registrado en diferentes puntos de la 

superficie terrestre y se ha encontrado que tiene ligeras variaciones debido a que la 

Tierra ni es homogénea en su composición ni es perfectamente esférica. Su valor 

promedio se considera de 9.81 m/s 2 y, al ser una magnitud vectorial, tiene una dirección 

que, en este caso, apunta directamente hacia el centro de la Tierra. 

2.2.1. Caída libre 

Se le llama caída libre al movimiento que describe un cuerpo cuando se mueve libremente 

bajo la influencia de la gravedad. Dicho movimiento tiene las siguientes 

características: 

• Es un movimiento con una trayectoria vertical rectilínea (dirigida hacia abajo). 

• Es un movimiento con aceleración constante: a g = -9.8 m/s 2 (tiene signo negativo 

ya que es un vector dirigido hacia el centro de la Tierra). 

• Es un movimiento que parte del reposo (v i = 0).


• Es un caso ideal, ya que se maneja bajo el supuesto de que la influencia del aire 

atmosférico no afecta el desarrollo del movimiento. 

y i 

0 

0 

y f 

a) b) 

Figura 2.4 

Hay que determinar el origen de nuestro sistema de referencia. Podemos establecerlo en 

el punto desde donde se deja caer el cuerpo, o bien, en el lugar a donde llega el cuerpo 

al chocar con la superficie terrestre. Es una práctica común elegir este último como el 

origen del sistema de referencia, el punto en donde el cuerpo que cae toca la Tierra, y 

especificar que las distancias por arriba del origen son positivas y por abajo del mismo 

son negativas. La figura 2.4a ilustra el caso en que establecemos el origen del sistema de 

referencia en el piso, o sea, en el punto donde el objeto que cae toca la tierra. Por su lado, 

la 

TD&IS 

figura 2.4b 

Training 

muestra 

Distribution 

el origen del sistema 

and Integrated 

de referencia 

Services 

en el punto de lanzamiento. 

EJEMPLO 2.1 

Un muchacho situado en la azotea de un edificio de departamentos de 45 m de altura deja caer una pelota y 

observa su movimiento rectilíneo hasta que choca contra el suelo (figura 2.5). Responde lo siguiente: 

a) ¿Cuánto tiempo tardó la pelota en llegar al suelo? 

b) ¿Cuál fue su velocidad al momento de chocar contra el piso? 

Solución 

y i 

= 45m 

v i 

= 0 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular el tiempo de caída y la velocidad final de la 

pelota. 

¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicando las ecuaciones de la cinemática ajustadas al 

movimiento de caída libre. 

Datos: 

v i = 0 (debido a que se “deja” caer y no se lanza hacia abajo) 

0 

t = ? 

v f 

= ? 

y i = 45 m (le llamaremos y i a la altura desde la cual el objeto se deja caer y corresponde a la distancia recorrida 

por el objeto hasta que llega al suelo) 

y f = 0


a = -9.8 m/s 2 (es la aceleración con que se mueve al ir descendiendo, es decir, la aceleración de la gravedad, 

que es un dato previamente conocido) 

Incógnitas: 

t = ? 

v f = ? 

Procedimiento: 

a) Cálculo del tiempo de caída. En este inciso vamos a aplicar la ecuación de la posición (1), pero la 

vamos a transformar o ajustar al caso específico de la caída libre: 

Observa que es exactamente la misma ecuación. Lo único que se hizo fue cambiar los símbolos de las 

variables, ya que las alturas o, en general, las distancias y los desplazamientos en el eje vertical se representan 

con la letra y. Como se va a calcular el tiempo, es preferible simplificar la ecuación antes de sustituir los 

datos. Entonces, eliminamos el término vit, pues es igual a cero, y nos queda: 


Se despeja el tiempo y obtenemos: 

Eliminando el exponente cuadrático: 

Ahora, se sustituyen los datos: 

t = 3.03 s 

b) Para calcular la velocidad con que choca con el piso, aplicamos la ecuación de la velocidad (2) sustituyendo 

los datos que tenemos:



En este tipo de movimiento se requiere considerar su carácter vectorial. ¿Por qué? Porque nuestro sistema de 

referencia considera que las magnitudes representadas en el eje vertical (o eje y) son positivas del origen hacia 

arriba y negativas del origen hacia abajo. En nuestro ejemplo, tenemos, en primer lugar, un desplazamiento 

negativo, ya que el cuerpo bajo estudio cambia de una posición inicial de mayor altura y i = 45 m) a otra posición 

final de menor altura (y f = 0). Además, la aceleración de la gravedad, como ya se mencionó, también tiene 

signo negativo. En este ejemplo, el tiempo de caída de la pelota es de 3.03 s y la velocidad con la que choca 

con el piso es de -29.69 m/s. El signo negativo de la velocidad nos indica su dirección hacia abajo. 

EJEMPLO 2.2 

Una persona que se encuentra sobre un puente deja caer una pequeña 

piedra que tarda 2.1 s en llegar al río. 

a) ¿Cuál es la altura del puente respecto al río? 

b) ¿A qué velocidad choca la piedra contra el agua? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la altura de un puente y la 

velocidad de una piedra al chocar con el agua del río. 

¿Cómo lo vamos a resolver? TD&IS Aplicando Training las Distribution ecuaciones de and la Integrated Services 

cinemática ajustadas a la caída libre. 

Datos: 

v i = 0 (debido a que se deja caer y no se lanza hacia abajo) 

t = 2.1 s 

a = -9.8 m/s 2 

y f = 0 

Incógnitas: 

y i = ? 

v f = ? 

Aplicamos la ecuación de la posición (1) transformada para la caída libre; esto para encontrar la altura del 

puente: 

Eliminamos el término de v i t , pues es igual a cero, y nos queda:


Sustituimos los datos que tenemos, y resulta: 

-y i = - 10.29 m 

Eliminamos signos multiplicando ambos miembros de la igualdad por -1 tenemos: 

y i = 10.29 m 

Aplicamos la ecuación de la velocidad para obtener la velocidad final al momento de chocar con el agua del río: 

v f = -20.58 m/s 


Gracias a las ecuaciones de la cinemática pudimos encontrar la altura de un puente (10.29 m), y la velocidad 

con que la piedra choca con el río es de -20.58 m/s, el signo negativo de la velocidad nos indica su dirección 

hacia abajo. 

2.2.2. Tiro vertical 

Se le llama tiro vertical TD&IS al movimiento Training Distribution que describe and un cuerpo Integrated cuando Services se lanza 

verticalmente hacia arriba o hacia abajo para después moverse bajo la acción de la 

gravedad. Este movimiento, al igual que el de caída libre, es gobernado por la acción 

de la fuerza gravitacional y de la aceleración que esta produce. Así como aquel, lo 

podemos describir con las mismas ecuaciones de la cinemática que hemos utilizado. 

De nuevo, en este tipo de movimiento debemos tener en cuenta su carácter vectorial 

con el objetivo de realizar el análisis de manera consistente y obtener resultados 

congruentes con el sistema de referencia que hemos elegido. 

v f 

= ? 

v = 0 v = 0 

Tiro vertical 

hacia arriba 

Figura 2.6.


EJEMPLO 2.3 

¿Cómo se describe el tiro vertical hacia arriba? Nuestra descripción: se lanza un 

objeto en dirección vertical hacia arriba; este adquiere una velocidad de lanzamiento 

(v i ) y, debido a ello, puede subir hasta cierta altura, pero en el trayecto la aceleración 

de la gravedad actúa en sentido contrario al movimiento, lo que provoca una disminución 

en la velocidad del cuerpo hasta que, al llegar a su altura máxima, la velocidad 

es igual a cero, y a partir de ahí el cuerpo inicia el movimiento descendente hasta 

llegar de nuevo al punto de partida. 

También el movimiento de tiro vertical se estudia aquí como un modelo ideal en donde 

no se consideran los efectos de la resistencia del aire; como si este no existiera. 

Una persona arroja una pelota de golf directamente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s. Calcula lo siguiente: 

a) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima? 

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota de 

golf? 

c) ¿Qué velocidad tiene la pelota cuando llega de nuevo 

al origen de lanzamiento? 

Solución 

v = 0 

v = 0 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la altura máxima, el tiempo 

y la velocidad de una pelota 

TD&IS 

de golf en 

Training 

tiro vertical. 

Distribution and Integrated Services 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la 

cinemática en diferentes momentos del movimiento. 

v 0 

= 25 m/s 

v f 

= -25 m/s 

Datos: 

y i = 0 

v i = 25 m/s 

a = -9.8 m/s 2 

Incógnitas: 

t = ? 

y f = ? (altura máxima) 

v f = ? (cuando llega de nuevo al origen) 


Para calcular el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, tenemos los siguientes datos: 

y i = 0 

v i = 25 m/s 

v f = 0 (es la velocidad de la pelota al momento de alcanzar la altura máxima) 

a = -9.8 m/s 2 a) Movimiento ascendente a) Movimiento descendente


Aplicamos la ecuación de la velocidad (2) y despejamos el tiempo: 

Sustituimos los valores: 

El t = 2.55 s (el tiempo que obtuvimos) lo podemos utilizar como un dato adicional para calcular la altura 

máxima. 

Aplicamos la ecuación de la posición (1), de acuerdo con los datos que tenemos y ajustada al movimiento 

de tiro vertical. 

Sustituimos los datos para calcular y: 


Estos dos resultados los obtuvimos considerando solamente el movimiento de la pelota hacia arriba. Ahora, analizaremos 

el objeto mientras desciende y calcularemos la velocidad a la que llega al punto de lanzamiento v f . 

En este caso, vamos a considerar qué valores tenemos, ya que ahora la pelota está de regreso al origen; los 

datos son los siguientes: 

v i = 25 m/s 

a = -9.8 m/s 2 (la aceleración de la gravedad actúa durante todo el recorrido) 

t = (2) (2.55 s) = 5.1 s (el tiempo que le toma a la pelota llegar al origen es el doble del tiempo que tarda en 

alcanzar la altura máxima; esta es una característica del tiro vertical hacia arriba) 

v f = ? 

Aplicamos la ecuación de la velocidad y sustituimos:



Otra de las características del tiro vertical es la simetría; es decir, el movimiento de subida o ascendente es 

simétrico al movimiento descendente, así como el tiempo en que el objeto tarda en subir es igual al tiempo 

que tarda en bajar; las velocidades que va adquiriendo también son similares al ascender y al descender, 

como lo podemos observar con la velocidad final. Veamos la figura 2.8 para darnos una idea más clara de 

lo que se trata. 

v = 0 

v = 0 

v 0 

= 25 m/s 

v f 

= -25 m/s 

a) Movimiento ascendente a) Movimiento descendente 

Figura 2.8. 


EJEMPLO 2.4 

Una canica se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 39.2 m/s. Responde las siguientes 

preguntas. 

a) ¿Qué altura ha subido en el primer segundo? 

b) ¿Cuál es su velocidad en el primer segundo? 

c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la máxima altura? 

d) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la canica? 

e) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire hasta que llega de nuevo al punto de partida? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Determinar los valores de las variables de la cinemática de un cuerpo que se 

mueve en tiro vertical en diferentes momentos de su recorrido. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la cinemática y analizando los datos que se proporcionan 

para cada uno de esos momentos.


Datos: 

y i = 0 

v i = 39.2 m/s 

a = -9.8 m/s 2 

Incógnitas: 

a) y i = ? (en el tiempo de 1 segundo) 

b) v i = ? (en el tiempo de 1 segundo) 

c) t y f = ? (tiempo en que alcanza la altura máxima) 

d) y máx = ? (altura máxima) 

e) t t = ? (tiempo de vuelo) 

a) Vamos primero a calcular la altura que ha alcanzado la canica en el primer segundo transcurrido desde 

que se lanzó. 

Datos: 

y i = 0 

v i = 39.2 m/s 

t = 1 s 


a = -9.8 m/s 2 

Aplicamos la ecuación de la posición y sustituimos todos estos datos: 

Sustituimos los datos para calcular y 1 . 

b) Aplicamos la ecuación de la velocidad para encontrar la velocidad en 1 s: 

Se sustituyen los datos y obtenemos: 

c) Para encontrar el tiempo ( t y f = ? ) que tarda la canica en alcanzar la máxima altura tenemos:


Datos: 

v i = 39.2 m/s 

v f = 0 (la canica tiene una velocidad igual a cero al momento de alcanzar la altura máxima) 

a = -9.8 m/s 2 

Aplicamos la ecuación de la velocidad, despejamos el tiempo, sustituimos los datos y tenemos: 

d) Los datos que se tienen para encontrar la altura máxima ( y máx = ?) son los siguientes: 

Datos: 

v i = 39.2 m/s 


v f = 0 (la canica tiene una velocidad igual a cero al momento de alcanzar la altura máxima) 

a = -9.8 m/s 2 

t = 4 s 

Se aplica la ecuación de posición (1) y obtenemos la altura máxima de la canica utilizando el tiempo que 

calculamos para llegar a dicha altura 

Sustituimos los datos para calcular y máx : 

e) Para encontrar el tiempo total de vuelo, se decir desde el inicio hasta de regreso al punto de lanzamiento. 

Datos: 

v i = 39.2 m/s 

a = -9.8 m/s 

v f = -39.2 m/s (debido a la simetría del tiro vertical, la velocidad de regreso es la misma que la velocidad 

de lanzamiento, pero al tener un movimiento descendente su signo es negativo)


Aplicamos la ecuación de la velocidad, despejamos el tiempo y sustituimos los datos: 

t = 

39.2 - 39.2 m/s 

-9.8 m/s 2 

Como puedes observar, el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo en que llega a su altura máxima 

(t s = t b ). 


En la siguiente figura se muestran los resultados de tiempo, 

posición y velocidad de la canica que se solicitaron en el 

ejemplo. Obsérvalos, analízalos y deduce, sin realizar cálculos, 

la posición y la velocidad de la canica en el séptimo 

segundo. Anota los resultados en la posición que corresponda 

en la figura y coméntalos con tu profesor. 

t = 4 s, y = 78.4m 

v = 0 

v = 0 

TD&IS Training Distribution and Integrated t = 1s, y = 34.3m Services 

v = 29.4 m/s 

t = 0, y = 0 

v i 

= 39.2m/s 

t = 8s, y = 0 

v f 

= -39.2m/s 

Figura 2.9. 

■ Actividad 1 Caída libre 

Lee el tema “2.1. Caída de los cuerpos” que se encuentra al inicio de la presente 

etapa y elabora un reporte en donde compares las ideas sobre la caída de los cuerpos 

que defendieron ambos personajes (Aristóteles y Galileo Galilei) y las razones que 

uno y otro tuvieron para sostenerlas. El reporte debe tener una cuartilla de extensión 

e incluir tus comentarios personales acerca de lo que pensaban. 

■ Actividad 2 Aplicaciones de la caída libre 

Reúnete con un compañero y resuelvan los siguientes ejercicios. Analicen cada paso, 

elaboren un dibujo que represente la situación planteada y den las razones de sus 

cálculos, deducciones y conclusiones.


Problema 

1. Un trabajador de la construcción deja caer 

accidentalmente un martillo desde la parte 

superior del edificio donde se encuentra. Este 

impacta en el suelo con una velocidad de 

-64 m/s. Contesta lo siguiente: 

Procedimiento 

a) ¿Cuánto tiempo se mantuvo en el aire? 

b) ¿Cuál es la altura del edificio? 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

2. Se lanza verticalmente hacia abajo un dardo 

con una velocidad de -29.4 m/s y llega al suelo 

a una velocidad de -58.8 m/s. Encuentra… 

Procedimiento 

a) el tiempo que tarda en llegar al piso. 

b) la altura desde la que se lanzó. 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

3. Al estar por iniciar un juego de futbol, el 

árbitro lanza una moneda verticalmente hacia 

arriba y la atrapa un segundo más tarde. 

a) ¿Con qué velocidad lanzó la moneda 

hacia arriba? 

b) ¿Qué altura máxima alcanzó la moneda 

respecto de la mano del árbitro? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

4. Una flecha se lanza verticalmente hacia arriba 

y alcanza una altura máxima de 90 m. 

Determina… 

a) el tiempo que tarda en alcanzar la máxima 

altura. 

b) la velocidad con que fue lanzada. 

c) el tiempo total de vuelo. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



2.3. Movimiento en dos dimensiones 

Enseguida realizaremos el análisis del movimiento de proyectiles lanzados al aire en 

cualquier dirección. Imagina algunos casos de este tipo de proyectiles, puede ser un 

balón de futbol americano lanzado por el quarterback hacia el receptor, un golfista 

golpeando la bola con un bastón, una piedra arrojada horizontalmente desde lo alto 

de una azotea, un arquero lanzando una flecha, por mencionar solo algunos. 

Con las herramientas que ya hemos visto, es posible realizar la descripción matemática 

de estos tipos de movimientos, que es a lo que nos dedicaremos en este apartado. 

Dado que estamos hablando de movimiento en dos dimensiones, vamos a recurrir 

a otra de las aportaciones del gran Galileo Galilei; el conocido como “Principio de 

independencia de los movimientos”, que establece los siguiente: 

“Cualquier movimiento en la naturaleza puede analizarse como la combinación 

de dos o más movimientos rectilíneos independientes entre sí”. 

Es decir, cuando abordemos la resolución de un problema de movimiento en dos 

dimensiones, debemos tener la capacidad de abstracción necesaria para imaginar ese 

movimiento como el resultado de dos movimientos rectilíneos combinados: uno de 

ellos en dirección horizontal y otro en dirección vertical, considerando que ambos 

son independientes uno del otro y que cada uno tiene sus características propias. 


a) 

b) 

Ejemplos de tiro parabólico 

a) Trayectoria que describe el lanzamiento de 

una pelota y cae al suelo. 

b) Trayectoria que describe un chorro de agua. 

c) Trayectoria de una pelota cuando la golpea 

un jugador. 

c) 

Figura 2.10 

Un caso particular de este movimiento en dos dimensiones, y que abordaremos primero 

por su simplicidad, es el tiro horizontal, que se refiere a cuando se lanza horizontalmente 

un objeto desde una determinada altura y con una velocidad inicial. Al estudiar el movimiento 

de un proyectil, el caso más general corresponde al tiro parabólico, en el cual se 

lanza un objeto hacia arriba a un cierto ángulo de inclinación y a determinada velocidad.


■ Actividad 3 Tipos de movimientos en dos dimensiones 

Registra en la siguiente tabla tres ejemplos de tiro horizontal y tres ejemplos de tiro parabólico. Agrega una 

explicación de por qué los clasificaste en ese rubro. 

Movimiento Ejemplos Descripción 

1. 

1. 

2. 

2. 

Tiro horizontal 

3. 

3. 

1. 

1. 

2. 

2. 

Tiro parabólico 


3. 

3. 

2.2.3. Tiro horizontal 

En Física, se le llama tiro horizontal al movimiento de un cuerpo que es lanzado, 

desde cierta altura, en dirección horizontal. Su trayectoria es el resultado de la combinación 

de dos movimientos independientes: uno horizontal, en el que el cuerpo 

avanza hacia el frente con velocidad constante, ya que, una vez que el cuerpo está en 

movimiento, no hay ninguna fuerza horizontal que actúe sobre él; y otro movimiento 

vertical, en el cual actúa la fuerza de la gravedad, es decir, su velocidad vertical 

va aumentando 9.8 m/s durante cada segundo de tiempo a medida que el objeto va 

descendiendo. Estas características se pueden apreciar en la figura 2.11; en ella se 

observan dos objetos que se encuentran inicialmente en la misma posición. Uno de 

ellos (el de la izquierda), que tendrá un movimiento rectilíneo en caída libre, mientras 

que el otro se lanzará hacia la derecha horizontalmente en el mismo instante y 

desde la misma altura con velocidad de 8 m/s. Observemos lo que pasa. 

Al término de un segundo, ambos objetos han recorrido 4.9 m en el movimiento de 

caída y el objeto de la derecha se ha desplazado 8 m en dirección horizontal a partir 

de su posición inicial. A los 2 s, ambos objetos han recorrido 19.6 m en su desplazamiento 

vertical hacia abajo y el objeto de la derecha se ha desplazado 16 m en


dirección horizontal. A los 3 s, los objetos han descendido 44.1 m y el objeto de la 

derecha se ha desplazado 24 m en dirección horizontal. 

De aquí podemos observar que el objeto de la derecha, que se lanzó horizontalmente, 

tendrá una velocidad constante en la dirección horizontal, independientemente de su 

desplazamiento vertical originado por la acción de la gravedad. El desplazamiento 

vertical inicia a partir del reposo (v iy = 0) y va aumentando la velocidad a razón de 

9.8 m/s conforme el objeto va descendiendo; su velocidad horizontal permanece 

constante, ya que su aceleración horizontal es cero, a x = 0. 

4.9 m 

19.6 m 

y 

v 0y 

= 0 

v 0x 

= 8m/s 

v y 

v y 

t = 1 s 

v x 

= 8m/s 

t = 2 s 

Comparación del movimiento 

de dos objetos; uno que se 

suelta y otro que se lanza 

horizontalmente con una 

velocidad inicial de 8 m/s. 

v x 

= 8 m/s 


44.1 m 

v y 

8 16 24 θ 

x 

v 

v y 

t = 3 s 

v x 

= 8 m/s 

Figura 2.11 

Para efectuar el cálculo de la posición y la velocidad en el eje x y en el eje y se utilizan 

las siguientes ecuaciones: 

Componente de la velocidad en el eje x (v x ): 

El movimiento vertical tiene una aceleración constante e igual a a y . 

Componente de la velocidad en el eje y (v y ):


Si se desea calcular la velocidad del proyectil en un determinado punto de su trayectoria, 

se combinan v x y v y utilizando el teorema de Pitágoras que ya hemos manejado: 

La dirección del objeto se obtiene mediante esta expresión: 

Donde θ es el ángulo entre el vector (v) y su eje x positivo (figura 2.12). 

v 0y 

= 0 

v 0x 

El tiro horizontal es una combinación 

de dos desplazamientos: 

• Horizontal a velocidad constante, y 

• Vertical uniformemente acelerado. 

El tiempo es común en ambos. 

y 

v x 

θ 

v 


v y 

x 

Figura 2.12. 

En la tabla 2.1 se presenta un resumen de las fórmulas del tiro horizontal para el 

movimiento en los ejes x, y. En el eje x la aceleración es igual a 0, por lo tanto, se elimina 

el último término de la ecuación (1). Igualmente, en la ecuación (2) el término 

at se elimina, entendiéndose con esto que la velocidad en x es constante. 

Tabla 2.1. Fórmulas de tiro horizontal 

Ecuaciones del movimiento en el eje x 

Ecuaciones del movimiento en el eje y 

Magnitud de la velocidad del proyectil en un determinado punto de su trayectoria y su dirección


EJEMPLO 2.5 

Es recomendable tratar el movimiento de proyectiles en tiro horizontal como la 

combinación de dos desplazamientos: uno horizontal a velocidad constante y otro 

vertical uniformemente acelerado similar al de la caída libre de un cuerpo. Estos 

dos desplazamientos deben considerarse independientes uno del otro, con el tiempo 

como la única variable común a ambos desplazamientos. Vamos a ilustrar lo anterior 

mediante los siguientes ejemplos. 

Un avión vuela a una velocidad de 750 km/h en 

dirección horizontal. Si deja caer un proyectil 

desde una altura de 440 m sobre el nivel del 

suelo (figura 2.13), 

v 0 

= 750 km h 

a) ¿qué tiempo le llevará al proyectil chocar 

contra el suelo? 

y 0 

= 440 m 

x 

v y 

v x 

v y 

v y 

v y 

v 

v x 

b) ¿qué distancia horizontal recorrerá el 

proyectil desde el momento en que se deja 

caer del avión hasta el instante en que 

choca contra el suelo? 

c) ¿Cuál será la velocidad del proyectil al 

chocar contra el suelo? 

Solución 

¿Qué queremos hacer? Responder las preguntas planteadas: 

a) El tiempo hasta el instante que el proyectil choque contra el suelo. 

b) El alcance horizontal del proyectil desde el inicio de su caída. 

y = 0 m 

TD&IS Training Distribution and Integrated figura 2.13 Services 

v x 

v x 

c) La velocidad con la cual choca el proyectil contra el suelo. 

¿Cómo lo vamos a hacer? Considerando que se deben encontrar tres incógnitas, se empezará por buscar el 

tiempo que tarda el proyectil en caer, para lo cual se toma como referencia el suelo y la aceleración negativa 

debida a la gravedad (a y ); además, después se tendrá que encontrar la distancia horizontal que recorre el 

proyectil y, por último, calcular la velocidad que lleva el proyectil al momento de impactar el suelo. 

Datos: 

v i = 750 km/h (velocidad del avión) = 208.33 m/s (se transforman las unidades a las del SI) 

y i = 440 m 

y f = 0 m 

a y = -9.8 m/s 2 (en eje vertical la aceleración es negativa, ya que va dirigida hacia abajo) 

Incógnitas: 

t = ? 

x = ? 

v = ?


Calculemos primeramente las componentes v ix y v iy de la velocidad inicial: 

Verticalmente, encontraremos el tiempo que tarda el proyectil al llegar al suelo a partir de la fórmula: 

Datos: 

v iy = 0 (componente vertical) 

y i = 440 m 

a y = -9.8 m/s 2 

t = ? 


Observa que se simplifica la fórmula, ya que la velocidad inicial en el eje y es igual a cero; luego, despejando 

el tiempo, tenemos: 

Sustituyendo los datos: 

Donde, 

Ahora calcularemos el alcance horizontal del proyectil utilizando el tiempo que obtuvimos en el punto anterior 

Datos: 

x i = 0 

v ix = 208.33 m/s (componente horizontal) 

t = 9.47 s 

x f = ? 

x f = x i + v ix t 

x f = v ix t


x f = (208.33 m/s) (9.47 s) 

x f = 1972.9 m 

La velocidad de choque contra el suelo tiene dos componentes: una vertical y otra horizontal (v fx y v fy ). 

a) De la tabla 2.1, tenemos que la v fx = v ix , por lo tanto, v fx = 208.33 m/s. 

b) La velocidad final en y la obtendríamos con la fórmula: 

Dado que la velocidad inicial en el eje y es igual a cero, entonces simplificamos y sustituimos los datos: 

Donde el signo negativo de la velocidad indica que el proyectil tiene un movimiento descendente. 

Obtendremos ahora la velocidad neta final de choque usando el teorema de Pitágoras. 


Al sustituir datos, tenemos: 

v f = 228.06 m/s 

Adicionalmente, se puede determinar la dirección del proyectil al momento de impacto, por lo que utilizamos 

la fórmula siguiente: 

Y se obtiene 


El proyectil avanzó horizontalmente una distancia de 1972.9 m desde su lanzamiento y tardó 9.47 s en impactar 

contra el suelo; en ese momento llevaba una velocidad de 228.06 m/s y un ángulo de inclinación de 

-24.01° o 335.99°.


EJEMPLO 2.6 

Una persona que se encuentra sobre una plataforma lanza una pelota horizontalmente a velocidad de 

3.7 m/s, como se muestra en la figura 2.14. Si la pelota cae al suelo a una distancia de 3 m de la base del 

lanzamiento, ¿en cuánto tiempo llegó ahí y desde qué altura se lanzó? 

y i 

= ? 

x 

v x 

v y 

Plataforma 

y = 0 

Base de lanzamiento 

x = 3 m 

Figura 2.14. 


Solución 

¿Qué queremos hacer? Encontrar… 

a) cuánto tiempo tarda en caer la pelota al suelo (t = ?). 

b) de qué altura se lanzó (y i =?). 

¿Cómo lo vamos a hacer? 

Se empezará por buscar el tiempo que tarda la pelota en caer, para lo cual se calcularán las componentes de 

la velocidad inicial. Después se tendrá que encontrar la altura desde donde se lanzó la pelota. 

Calculemos primeramente las componentes v ix y v iy de la velocidad inicial: 

Ya que conocemos el alcance total de la pelota, calcularemos el tiempo que permanece en el aire de la 

siguiente forma.


Datos: 

v ix = 3.7 m/s (componente horizontal de la velocidad) 

x i = 0 

x f = 3 m (alcance total de la pelota) 

Dado que x i = 0, nos queda de la siguiente manera: 

Se despeja el tiempo de la ecuación, y queda: 

Al sustituir datos queda: 

Donde, 

Ese tiempo calculado es el mismo tiempo que la pelota tarda en chocar con el piso, es decir, es el tiempo 

que la pelota avanza verticalmente desde la altura en la que estaba inicialmente hasta llegar al suelo, por lo 

tanto, lo usaremos para hallar TD&IS esa altura Training como Distribution sigue: and Integrated Services 

Datos: 

y i = ? 

t = 0.81 s 

v iy = 0 

y f = 0 

Simplificamos la fórmula eliminando el término de la velocidad inicial en el eje y, pues es igual a cero y nos queda: 

Ahora se despeja la posición inicial y i , que corresponde con la altura que estamos buscando: 


La pelota tardó 0.81 s en llegar al suelo y fue lanzada desde una altura de 3.21 m.


■ Actividad 4 Ejercicios de tiro horizontal 

Considerando los datos que se te proporcionan, lee, analiza y resuelve los siguientes ejercicios. No olvides 

interpretar claramente tus resultados. 

Problema 

1. Una roca se lanza horizontalmente desde lo 

alto de un edificio a una velocidad de 15 m/s. 

El edificio tiene una altura de 50 m. 

Procedimiento 

Datos 

a) ¿Cuánto tiempo tardará la roca en llegar 

al suelo? 

b) ¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil 

desde el momento en que es lanzado 

hasta que choca contra el suelo? 

Fórmula(s) 



Problema 

2. Se lanza una piedra horizontalmente con una 

velocidad de 25 m/s desde una altura de 60 m. 

Calcula… 

Procedimiento 

a) el tiempo que tarda en llegar al suelo. 

b) la velocidad vertical que lleva a los 2 s. 

c) la distancia a la que cae la piedra. 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

3. Un avión que vuela horizontalmente a una 

velocidad de 300 km/h, deja caer un proyectil 

desde una altura de 700 m respecto al suelo. 

a) ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en 

llegar al suelo? 


desde el momento que es lanzado 

hasta que choca con el suelo? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 


Problema 

TD&IS Training Distribution Procedimiento and Integrated Services 

4. Un muchacho que está de pie sobre un puente 

a 100 m por encima del agua lanza una piedra 

horizontalmente a lo lejos con una velocidad 

de 14 m/s. Encuentra… 

a) el tiempo que tarda la piedra desde que es 

lanzada hasta que toca el agua. 

b) la distancia que recorrerá la piedra desde 

que es lanzada del puente hasta que toca 

el agua. 

c) la componente vertical de la velocidad 

adquirida. 

d) la velocidad resultante final. 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

5. Una manguera a 18 m sobre el suelo lanza un 

chorro de agua horizontal a una velocidad de 

20 m/s. Encuentra… 

Procedimiento 

a) el tiempo que tarda el agua en tocar el 

suelo. 

b) la distancia horizontal recorrida. 

c) las componentes finales de la velocidad (y). 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

6. Una pelota rueda sobre el borde de una mesa 

con una velocidad de 8 m/s. Si llega a 10 m 

del punto donde termina la mesa, ¿desde qué 

altura se lanzó? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

7. Se lanza un disco metálico horizontalmente 

a una velocidad de 30 m/s desde una altura 

de 80 m. 

Procedimiento 

a) ¿A qué distancia, en línea horizontal del 

punto de lanzamiento, caerá el disco metálico 

a tierra? 

b) ¿Cuál será la velocidad en el momento de 

tocar tierra? 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

8. Se lanza horizontalmente un dardo a la pared 

con una velocidad inicial de 

20 m/s y llega al suelo en 1.1 s. 

Determina la altura desde donde se lanzó y a 

qué distancia llegó. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

9. En el borde de la mesa hay un marcador que 

el maestro lanzó en dirección perpendicular al 

pizarrón. La huella del marcador en el pizarrón 

se encuentra 20 cm abajo de la superficie 

de la mesa. La distancia del pizarrón a la mesa 

es de 1 m. Determina la velocidad inicial del 

marcador. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

10. Al disparar su rifle, un cazador de venados 

que se encontraba a 10 m de su presa se dio 

cuenta de que su tiro llegó 5 cm por debajo 

del blanco. 

Procedimiento 

Datos 

¿A qué distancia estaba el cazador? 

Fórmula(s) 



2.2.4. Tiro parabólico 

Este movimiento representa el caso más común en el movimiento de proyectiles y 

consiste en lanzar un objeto en una dirección que forma un ángulo (θ) con la horizontal 

a una determinada velocidad, como se muestra en la figura 2.15. 

y 

v y 

= 0 

v 

v y 

θ 

v 0 v 0x 

v 0y 

θ 0 

v 0x 

g 

v 0x 

θ 

v 

v y 

v 0x 

x 

v 0y 

v 0x 

θ 0 

v 

Figura 2.15. 

El estudio del tiro parabólico se simplifica recordando que este tipo de movimiento 

tiene lugar en dos dimensiones; es decir, tiene un movimiento horizontal, pues 

el proyectil se desplaza lateralmente hasta regresar a tierra, y simultáneamente se 

desplaza en el eje vertical; primero, elevándose hasta alcanzar la altura máxima y, 

enseguida, baja hasta el mismo nivel desde donde se lanzó, u otro nivel diferente. 

El principio de independencia de Galileo posibilita el análisis de ese movimiento descomponiéndolo 

TD&IS Training 

sobre 

Distribution 

cada uno de los 

and 

ejes 

Integrated 

y tratando cada 

Services 

una de las componentes como 

movimientos rectilíneos independientes. De esta forma, al trabajar con dos o tres movimientos 

rectilíneos, se puede prescindir del análisis vectorial, siempre y cuando se tomen 

los convenios de signos adecuados (referencia) para las diferentes magnitudes cinemáticas 

que reflejen el sentido positivo del eje sobre el cual se analiza el movimiento. 

Dado que un proyectil se lanza a velocidad inicial (v i ), necesita obtener las componentes 

horizontal y vertical de esta con las siguientes ecuaciones, que ya hemos 

manejado en el tema de vectores: 

v ix = v i cosθ es la componente horizontal de la velocidad inicial 

v iy = v i senθ es la componente vertical de la velocidad inicial 

Este tipo de movimiento, al igual que el tiro horizontal, tiene velocidad horizontal 

constante, ya que en esa dirección no hay ningún agente externo que haga que la 

velocidad cambie; esto es… 

v ix = v i 

Pero, al ir ascendiendo, la componente vertical de la velocidad (v y ) va disminuyendo 

debido a la acción de la gravedad hasta obtener el valor de cero cuando alcanza el 

punto más alto (altura máxima). Inmediatamente, el objeto inicia su movimiento 

de descenso e incrementa la magnitud de su velocidad, de tal forma que, al llegar 

al nivel de lanzamiento, tendrá el mismo valor de la velocidad con la que se lanzó. 

Este movimiento es equivalente al tiro vertical hacia arriba, pues los tiempos de 

ascenso y descenso son iguales.


Como horizontalmente (v x ) no hay ninguna aceleración, entonces, el desplazamiento 

en esa dirección tiene velocidad constante durante todo el tiempo que el proyectil 

permanezca en el aire. Como recordarás, cuando tenemos las componentes rectangulares 

de un vector (v x y v y ), podemos obtener la magnitud y la dirección de nuestro 

vector resultante (v ) con el teorema de Pitágoras y con la función trigonométrica 

tangente, de tal modo que tendríamos: 

En la siguiente figura se representa el movimiento de un proyectil en el cual la magnitud 

de la velocidad de lanzamiento permanece constante y se ve el alcance en el 

eje x para diferentes ángulos de lanzamiento. Como se puede observar, el máximo 

alcance se obtiene a 45°. Al analizar esta gráfica, se observa que, para 15° y 75° el 

alcance es el mismo; así también para 30° y 60°. En general, el alcance es el mismo 

para cualesquiera dos ángulos cuya suma sea igual a 90°. 

y (m) 

150 

v i 

= 50 m/s 

75˚ 

100 

60˚ 


45˚ 

50 

30˚ 

15˚ 

x (m) 

50 100 150 200 250 

Figura 2.16. 

Recordemos la tabla 2.1 donde se muestra un resumen de las fórmulas de la cinemática 

para el movimiento en los ejes x y y. Como puedes ver, estas son exactamente las 

mismas ecuaciones que hemos estado manejando desde la etapa 1 y que se representaron 

en el tiro horizontal. El objetivo no es que memorices muchas fórmulas, sino 

que aprendas a aplicarlas en situaciones específicas. 

Tabla 2.1. Fórmulas de tiro parabólico 

Ecuaciones del movimiento en el eje x 

Ecuaciones del movimiento en el eje y 

Magnitud de la velocidad del proyectil en un determinado punto de su trayectoria y su dirección


EJEMPLO 2.7 

Un jugador golpea una pelota de golf con su bastón y le da una velocidad de 30 m/s con un ángulo de 64° 

respecto al eje horizontal, como muestra la figura 2.17. Calcula… 

a) el tiempo para alcanzar el punto más alto, 

b) la altura máxima alcanzada, 

c) el alcance. 

t 

y 

v 0y 

v 0 

θ 

v 0x 

x 

Solución 

Figura 2.17. 



a) el tiempo para alcanzar el punto más alto (t), 

b) la altura máxima alcanzada (y máx ), 

c) el alcance (x) 

¿Cómo lo vamos a hacer? 

Considerando que se tiene la velocidad de la pelota cuando se lanza, así como el ángulo de lanzamiento, 

se empezará por buscar el tiempo que tarda en llegar al punto más alto. Después, se tendrá que retomar 

la ecuación de distancia en el eje y para encontrar la altura máxima y, posteriormente, el alcance máximo 

utilizando la ecuación de distancia en el eje x, teniendo en cuenta que el tiempo de vuelo es el doble del 

tiempo en subir a su altura máxima. 

Calculemos primeramente las componentes v ix y v iy de la velocidad inicial:


Verticalmente encontraremos el tiempo que tarda el proyectil a su punto más alto, a partir de la fórmula 

. Para calcular el tiempo que tarda la pelota en alcanzar el punto más alto, debemos tener en cuenta 

que justamente en ese punto la pelota alcanza la altura máxima. Es el punto donde la velocidad vertical es nula 

(v fy = 0) 

Datos: 

v iy = 26.96 

(componente vertical) 

v fy = 0 

a y = -9.8 m/s 2 

t = ? 

v f y = v iy + a y t 

Despejando el tiempo: 


Donde, 

t = 2.75 s 

Verticalmente calculemos la altura máxima alcanzada por la pelota, aplicando la ecuación de la posición vertical: 

Datos: 

y i = 0 

v iy = 26.96 

(componente vertical) 

t = 2.75 s (tiempo en llegar a su altura máxima) 

a y = -9.8 m/s 2 

y máx =? 

Sustituyendo los datos: 

y = 0 + (26.96 m/s) (2.75 s) + (-9.8 m/s 2 ) (2.75 s) 2


Donde, 

y máx = 37.08 m 

Horizontalmente, calcularemos el alcance de la pelota aplicando la ecuación de posición para ese eje: 

Datos: 

x i = 0 

v ix = 13.15 

(componente horizontal) 

t = 5.5 s (ya que el tiempo de vuelo es el doble del tiempo en subir a su altura máxima) 

x f = ? 

x f = x i + v ix t 

Ahora, sustituyendo los datos en la ecuación de posición 


x f = 0 + (13.15 m/s) (5.5 s) 

x f = 72.32 m 

La pelota tardó 2.75 s en alcanzar el punto más alto y permaneció en el aire 5.5 s. La altura máxima que alcanzó 

fue de 37.09 m y su máximo alcance fue de 72.32 m. 



■ Actividad 5 Velocidad y sus componentes 

En el siguiente ejercicio calcularás las componentes rectangulares de la velocidad inicial, las componentes de 

la velocidad y de la velocidad resultante durante el tiempo en que el cuerpo se mantiene en el aire. Observa la 

variación de dichos vectores y obtén tus propias conclusiones. 

v y 

= 

v y 

= 

v y 

= 

v x 

= 

θ = 

θ = 

v x 

= 

v y 

= 

v x 

= 

θ= 

v = v = v = v = v = 

v 0y 

= 

v x 

= 

y máx 

v y 

= 

v 0 

= 30 m/s 

θ= 78.53º 

v 0x 

= 

θ= 


θ = 

v x 

= 

v x 

= 

θ = 

t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s t = 6 s 

v y 

= 

Figura 2.18. 

Problema 

Identificaciónde datos y 

equivalencias 

Factores de conversión y 

operaciones 

Resultado e 

interpretación 

1. ¿Cuál es el valor de la componente 

de la velocidad vertical cuando 

alcanza su altura máxima? 

2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar 

el punto más alto en relación con el 

tiempo que tarda en caer? 

3. ¿Cuál es la velocidad con la que el 

objeto llega al suelo respecto a la 

velocidad con la que se lanzó? 

4. ¿Cuál es su dirección?


■ Actividad 6 Alcance y altura 

En el siguiente ejercicio, calcularás el alcance y la altura que logra el cuerpo durante el tiempo que se mantiene 

en el aire. 

Realiza las operaciones en tu cuaderno o donde lo indique tu maestro. 

y = 

y = 

y = 

y = 

y = 

v 0y 

= 

v 0 

= 30 m/s 

θ= 78.53º 

v 0x 

= 


y = 

t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s t = 6 s 

x = x = x = x = x = x = x = 

Figura 2.19. 

Problema 

Identificaciónde datos y 

equivalencias 

Factores de conversión y 

operaciones 

Resultado e 

interpretación 

1. ¿Qué distancia recorre a los 6 s 

respecto a la distancia que recorre 

a los 3 s? 

2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar 

el punto más alto en relación con el 

tiempo que tarda en caer?


■ Actividad 7 Ejercicios de tiro parabólico 

Considerando los datos que se te proporcionan, resuelve los siguientes ejercicios en 

tu libreta o donde lo indique tu maestro. 

Problema 

Procedimiento 

1. Se dispara un proyectil a una velocidad de 

50 m/s y un ángulo de 30°. Encuentra… 

a) el tiempo total de vuelo. 

b) el alcance máximo. 

c) el alcance si el proyectil se hubiera disparado 

con un ángulo de 60°. 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

Procedimiento 

2. Un proyectil se lanza a una velocidad de 

220 m/s y un ángulo de 52°. Encuentra… 

a) el tiempo que tarda en alcanzar su altura 

máxima. 

b) la altura máxima. 

c) el tiempo total de vuelo. 

d) el alcance máximo. 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

Procedimiento 

3. Una flecha se dispara a 60 m/s y alcanza una 

altura de 150 m. Encuentra… 

a) el ángulo de elevación. 

b) el tiempo que tardó en alcanzar su altura 

máxima. 

Datos 

Fórmula(s) 


Problema 

4. Un proyectil se dispara de tal forma que su 

componente vertical inicial es de 27 m/s y su 

componente horizontal inicial es de 34 m/s. 

Encuentra… 

a) la velocidad inicial del proyectil (magnitud 

y dirección). 

b) el tiempo que permanece en el aire el proyectil. 

c) la distancia horizontal recorrida. 

Datos 

Procedimiento 


Fórmula(s) 



Problema 

5. Se desea lanzar un proyectil sobre una cerca 

que está a 8 m de distancia y tiene una altura de 

13 m sobre el suelo. Si el ángulo de lanzamiento 

es de 70°, ¿cuál es la magnitud de la velocidad 

inicial necesaria para que rebase la cerca? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 


■ Actividad 8 Deducción de fórmulas 


Para simplificar las operaciones en problemas de tiro parabólico, deduce una fórmula para obtener el tiempo 

total de vuelo, el alcance y la altura máxima (ver el ejemplo 2.8). 

Fórmula 

Tiempo total 

Procedimiento 

Alcance 

Altura máxima


EJEMPLO 2.8 

Aquí te mostramos un ejemplo para obtener la fórmula del tiempo total de vuelo de un proyectil. Partimos 

de la ecuación de la velocidad vertical debido a que el tiempo de vuelo depende únicamente de la componente 

y de la velocidad inicial. 

Despejando: 

Como: 

v fy = -v iy 

v iy = v i senθ 

a y = g 

Se sustituyen en la ecuación, quedando: 


Agrupando términos semejantes nos queda: 

Con lo cual deducimos la fórmula para obtener el tiempo total de vuelo de un proyectil. Nota que, al momento 

de sustituir en la ecuación el valor de la gravedad, de -9.8 , el signo negativo se eliminará.


Análisis de conceptos 

1. Una persona que está al borde de un acantilado, a cierta altura del suelo, arroja una pelota verticalmente 

hacia arriba con una velocidad inicial de 8 m/s y después arroja otra pelota directamente hacia abajo con 

la misma velocidad inicial. ¿Cuál de las dos pelotas, si así es el caso, tiene mayor velocidad al llegar al 

suelo? ¿O ambas tienen la misma velocidad? No tomes en cuenta la resistencia del aire. 

2. Cuando un muchacho lanza una pelota verticalmente hacia arriba y la atrapa nuevamente al caer, su 

velocidad vectorial media durante el recorrido es 0; ¿por qué? 

¿La rapidez media también es igual a cero? 

3. Un hombre deja caer una moneda de su mano cuando está en un ascensor que cae libremente. Describe 

el movimiento de la moneda respecto a la mano. 

4. Si dejas caer un objeto, su aceleración hacia el suelo es de 9.8 m/s 2 . Si, en cambio, el objeto es arrojado hacia 

abajo, ¿su aceleración después de haber sido arrojado sería mayor que 9.8 m/s 2 ? Explica tu respuesta. 


5. En la pregunta anterior, ¿puedes pensar en una razón de por qué la aceleración de un objeto arrojado 

hacia abajo a través del aire en realidad sería menor que 9.8 m/s 2 ? 

Caída libre 

6. Si se desprecia la fuerza de fricción del aire y dos esferas del mismo tamaño (una de plástico y otra de 

plomo) se dejan caer desde la misma altura de la superficie terrestre, entonces… 

a) la de plomo tarda menos tiempo en caer. b) la velocidad final de la de plomo será mayor. 

c) ambas esferas llegarán al suelo con la misma d) la de plástico se acelera menos. 

velocidad. 

7. Si se desprecia la fuerza de fricción del aire y dos esferas del mismo tamaño (una de hule y otra de 

acero) se dejan caer desde la misma altura de la superficie terrestre, entonces… 

a) tardarán el mismo tiempo en llegar al suelo. b) llegarán al suelo con la misma velocidad. 

c) tendrán la misma aceleración. d) Todas las opciones son correctas 

8. En el vacío, el valor de g en la superficie terrestre es de aproximadamente 9.8 m/s 2 , esto significa que, si 

un objeto que cayera en estas condiciones desde cerca de esta superficie… 

a) recorrería 9.8 m cada segundo. b) se desplazaría con una velocidad de 9.8 m/s. 

c) disminuiría su velocidad 9.8 m/s cada segundo. d) aumentaría su velocidad 9.8 m/s cada segundo.


9. El valor de g en la superficie lunar es de aproximadamente 1.6 m/s 2 , esto significa que, si un objeto que 

cayera cerca de tal superficie… 

a) recorrería 1.6 m cada segundo. b) se desplazaría con una velocidad de 1.6 m/s. 

c) disminuiría su velocidad 1.6 m/s cada segundo. d) aumentaría su velocidad 1.6 m/s cada segundo. 

10. Si se desprecia la fuerza de fricción con la atmósfera y dos objetos son dejados caer desde la misma 

altura, pero uno en la Luna y otro en la Tierra, entonces. 

a) el objeto en la Tierra llegaría al suelo en 

mayor tiempo. 

c) el objeto en la Tierra llegaría con menor 

velocidad al suelo. 

b) el objeto en la Luna llegaría al suelo en 

mayor tiempo, 

d) el objeto en la Luna llegaría con mayor 

velocidad al suelo 

11. Si se desprecia la fuerza de fricción con la atmósfera y dos objetos se dejan caer desde la misma altura, 

pero uno en la Luna y otro en la Tierra (la g lunar es aproximadamente 1/6 del valor de la g terrestre), 

entonces… 

a) el objeto en la Tierra llegará en mayor tiempo 

al suelo. 

c) el objeto en la Luna llegará con mayor velocidad 


b) el objeto en la Luna llegará en menor tiempo 


d) el objeto en la Tierra llegará con mayor 

velocidad al suelo. 

12. Si se desprecia la fricción con el aire y un objeto B es dejado caer desde el doble de altura que otro 

objeto A respecto a la TD&IS superficie Training terrestre, Distribution entonces… and Integrated Services 

a) el objeto B tardará el doble de tiempo en caer 

que el objeto A. 

c) el objeto B sufre la misma aceleración que el 

objeto A. 

b) el objeto B llegará al suelo con el doble de 

velocidad que el objeto A.. 

d) el objeto B experimenta el doble de aceleración 

que el objeto A. 

13. Si se desprecia la fricción con el aire y un objeto A se deja caer desde la mitad de la altura que otro 

objeto B respecto a la superficie terrestre, entonces… 

a) el objeto A tardará la mitad de tiempo en caer 

que el objeto B. 

c) el objeto A sufre la mitad de la aceleración 

que el objeto B. 

b) el objeto A llegará al suelo con la mitad 

de velocidad que el objeto B. 

d) el objeto A sufre la misma aceleración que el 

objeto B. 

14. Un saco de arena se deja caer desde un globo con aire caliente que se encuentra en reposo y llega al 

suelo con cierta rapidez (v). El globo se eleva lentamente y se detiene. Si entonces se deja caer un 

segundo saco idéntico al primero y llega al suelo con una rapidez doble en comparación con la del primero 

(2v), ¿qué altura tenía el globo al soltar el segundo saco en comparación con la que tenía al soltar 

el primero? (se desprecia la resistencia del aire)… 

a) 12 de la altura. b) 2 veces la altura. 

c) 8 veces la altura. d) 4 veces la altura.


15. Dos esferas, E 1 y E 2 de radio 0.1 m y de pesos P 1 y P 2 , se dejan caer desde una altura de 3 m en el mismo 

lugar y al mismo tiempo. Se puede afirmar (si se desprecia la resistencia del aire) que… 

a) E 1 y E 2 llegarán juntas al suelo solamente si P 1 

y P 2 son iguales. 

c) E 1 y E 2 llegarán juntas al suelo, a pesar de que 

sus pesos son diferentes. 

b) si P 1 fuera mayor que P 2 , E 1 llegará primero 


d) si P 1 fuera menor que P 2 , E 2 llegará primero 


16. Desde lo alto de una torre se deja caer un cuerpo A; 2 s después se deja caer otro cuerpo, B. Despreciando 

la fricción del aire se puede afirmar que la distancia entre los dos cuerpos… 

a) permanecerá constante durante la caída de b) disminuirá si B pesa más que A. 

ambos. 

c) disminuirá aunque B y A pesen lo mismo. d) aumentará continuamente sin importar los 

pesos de A y B. 

Tiro vertical hacia arriba 

17. Se arroja una pelota verticalmente hacia arriba en un lugar donde la aceleración de la gravedad es 

9.8 m/s 2 y la fricción con el aire es despreciable. En el punto más alto de su trayectoria la velocidad es 

igual a 0. En ese punto, la aceleración de la pelota es… 

a) también 0. b) vertical hacia arriba y vale 9.8 m/s 2 . 

c) vertical hacia abajo y mayor que 9.8 m/s 2 . d) vertical hacia abajo y vale 9.8 m/s 2 . 


18. En un experimento se verificó que la velocidad inicial necesaria para que un cuerpo alcance una altura 

y cuando es lanzado verticalmente hacia arriba era igual a v i . Si el mismo cuerpo fuera lanzado con una 

velocidad inicial igual a 2v i , la nueva altura alcanzada (despreciando la resistencia del aire) sería… 

a) 2y b) y/2 

c) 3y c) vertical hacia abajo y mayor que 9.8 m/s 2 . d) 4y 

Problemas 

Caída libre 

En los siguientes problemas no se tiene en cuenta la resistencia del aire. 

1. Una botella que se deja caer desde un globo alcanza el piso en 20 s. Determina la altura a la que se 

encuentra el globo si está en reposo en el aire. 

2. Un cuerpo que se deja caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29.4 m/s. Determina el tiempo 

de caída y la altura desde la cual se dejó caer. 

3. Si un cuerpo tarda en caer 4 s partiendo del reposo, calcula la velocidad con la que llega al suelo y la 

altura desde la que se dejó caer. 

4. Se deja caer un objeto desde un módulo de aterrizaje sobre la superficie de la Luna. 

a) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 3 s? b) ¿A qué distancia cayó durante ese tiempo? 

Nota: g Luna = 1.6 m/s 2 .


5. Una piedra es lanzada dentro de un pozo con una velocidad inicial de 60 m/s, llega al fondo con una 

velocidad de 87.93 m/s. Encuentra el tiempo que tarda en llegar al fondo y la profundidad del pozo. 

6. Desde un globo aerostático, que se encuentra a cierta altura sobre el suelo, se deja caer un cuerpo. 

Calcula la velocidad que tendrá el cuerpo y qué distancia habrá caído al cabo de 10 s si… 

a) el globo se encuentra en reposo en el aire. b) si el globo desciende verticalmente a razón de 

12 m/s. 

7. Un cuerpo se deja caer y recorre 68.3 m en el último segundo de su caída. Halla… 

a) la altura desde donde cayó. b) el tiempo que duró la caída. 

8. Se dejan caer dos pelotas al piso desde diferentes alturas. Una se deja caer 1.5 s después de la otra, pero 

ambas golpean el piso 5 s después de dejar caer la primera. 

a) ¿Cuál es la diferencia de alturas a la cual se 

dejaron caer? 

b) ¿Desde qué altura se dejó caer la primera 

pelota? 

9. Una persona suelta una pelota de béisbol desde la ventana de un edificio y 1 s después lanza otra pelota 

de béisbol verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 13 m/s. 

a) ¿Qué tiempo después de que se arrojó la b) ¿A qué altura? 

segunda pelota alcanzará a la primera? 

10. Una piedra cayó en el fondo de un desfiladero al cabo de 3 s. ¿Qué profundidad tiene el desfiladero? 

11. ¿Cuánto demora en caer una piedra desde el punto más alto de una torre de televisión (540 m)? 


¿Cuál sería su velocidad al llegar al suelo? 

12. ¿Cuánto demorará un cuerpo que comienza su caída en estado de reposo para recorrer 4.9 m? 

¿Cuál será su velocidad al final del recorrido? 

13. De pie sobre un puente de 180 m de altura sobre la tierra, un niño dejó caer una piedra. Después de 

transcurrido un segundo, lanzó hacia abajo otra piedra. ¿Qué velocidad inicial le comunicó a la segunda 

piedra si ambas llegaron a Tierra al mismo tiempo? 

Tiro vertical hacia arriba 

14. Una flecha es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 49 m. Determina… 

a) a qué altura logrará subir. b) cuánto tardará en llegar al suelo. 

15. Desde lo alto de un edificio, un hombre tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 

12.5 m/s. La pelota llega a la tierra 4.25 s después. ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo? 

16. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. 

a) ¿En qué instante (al subir) su velocidad será 

de 6 m/s? 

b) ¿A qué altura se encontrará en ese instante? 

17. Una piedra lanzada linealmente hacia arriba por un muchacho alcanza una altura de 12 m. Calcula… 

a) el tiempo para alcanzar el punto más alto. b) su velocidad de llegada al suelo. 

c) su posición al término del primer segundo.


18. Una flecha disparada verticalmente hacia arriba llega a una altura máxima de 490 m. Calcula… 

a) el tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto. b) su velocidad de llegada al suelo. 

c) su velocidad a los 5 s. 

19. Una pelota de béisbol tirada de forma recta hacia arriba es recobrada 9 s después por el cátcher. Encuentra… 

a) la altura máxima alcanzada. b) la velocidad que tenía al dejar el bate. 

20. Una flecha disparada en línea recta hacia arriba sube una altura máxima de 78.4 m en 2 s. Encuentra… 

a) el tiempo total de vuelo. b) la velocidad de lanzamiento. 

21. Una pelota es arrojada desde el piso verticalmente hacia arriba por medio de un dispositivo y choca con 

este 3 s después. 

a) ¿Con qué velocidad se arrojó la pelota? b) ¿Hasta qué altura llegó? 

22. Una flecha es lanzada por un arco verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. 

¿Qué altura alcanzará? 

23. Una botella que se deja caer desde un globo alcanza el piso en 20 s. Determina la altura a la que se 

encuentra el globo si ascendiera a una velocidad de 50 m/s cuando se deja caer la botella. 

24. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba desde la Tierra cayó al cabo de 9 s. Calcula la altura que 

alcanzó y cuál fue su velocidad inicial. 

25. Un globo asciende a 8 m/s. Suelta un saco de arena cuando el globo se encuentra a 40 m sobre el piso. 


a) ¿Qué tiempo tarda el saco de arena en chocar b) ¿Cuál será su velocidad un instante antes de 

con el piso? 

chocar con el piso? 

26. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. 

a) ¿A qué altura se encontrará transcurridos 3 s? b) ¿Y transcurridos 5 segundos? 

c) ¿Qué valor tendrá la velocidad en esos 

instantes? 

27. Con una pistola de resorte que se encuentra a una altura de 2 m sobre la Tierra se dispara verticalmente 

hacia arriba una esfera con una velocidad de 50 m/s. Determina la altura máxima que alcanzó y qué 

velocidad tendrá al llegar a la Tierra. 

a) ¿Qué tiempo estuvo la esfera en vuelo? b) ¿Cuál es su posición al cabo de los primeros 

0.2 s de vuelo? 

28. Al lanzar hacia arriba un cuerpo, este pasa frente al centro de una ventana con una velocidad de 

12 m/s. ¿Con qué velocidad cruzará frente al centro de la misma ventana cuando baje? 

29. Dos cuerpos son lanzados verticalmente hacia arriba con velocidades iniciales diferentes. El primero 

alcanzó cuatro veces más altura que el segundo. ¿Cuántas veces es mayor su velocidad inicial respecto 

al segundo?


Preguntas 


1. Si un objeto A se lanza horizontalmente y al mismo tiempo se deja caer libremente un objeto B, en 

ausencia de la fricción del aire… 

a) el tiempo que tarda en caer el objeto A es 

mayor que el que tarda en caer el objeto B. 

c) el tiempo que tarda en caer el objeto A es el 

negativo del que tarda en caer el objeto B. 

b) el tiempo que tarda en caer el objeto B es 

mayor que el que tarda en caer el objeto A. 

d) el tiempo que tarda en caer el objeto A es 

igual al que tarda en caer el objeto B. 

2. De no tomar en cuenta la fricción con el aire, un proyectil lanzado desde cierta altura y paralelamente a 

la superficie terrestre caerá al suelo describiendo una trayectoria parabólica: el movimiento del proyectil 

en estas condiciones debe ser… 

a) en el eje x con velocidad variable, en el eje y 

con velocidad constante. a) el tiempo que tarda 

en caer el objeto A es 

mayor que el que tarda en caer el objeto B. 

c) en el eje x con velocidad constante, en el eje y 

con aceleración constante. 

b) en el eje x con velocidad constante, en el eje y 

con aceleración variable. 

d) en ambos ejes con velocidad constante. 

3. Si un proyectil A es lanzado horizontalmente y desde cierta altura con una determinada velocidad, y 

otro proyectil B es lanzado también horizontalmente y desde la misma altura, pero con el triple de velocidad 

que el proyectil 

TD&IS 

A, entonces… 

Training Distribution and Integrated Services 

a) los dos tardan el mismo tiempo en caer. b) el proyectil A tardará el triple de tiempo en 

caer que lo que tarda el B. 

c) el proyectil B tardará el triple de tiempo en caer 

que lo que tarda el A. 

d) el proyectil B tardará 9.8 veces más de tiempo 

en caer que lo que tarda el A. 

4. Si un proyectil A es lanzado horizontalmente y desde cierta altura con una determinada velocidad, y 

otro proyectil B es lanzado también horizontalmente y desde la misma altura, pero con el doble de 

velocidad que el proyectil A, entonces… 

a) el proyectil A tardará el doble de tiempo en 

caer que lo que tarda el B. 

c) el proyectil A tardará 9.8 veces más de tiempo 

en caer que lo que tarda el B. 

b) el proyectil B tardará el doble de tiempo en 

caer que lo que tarda el A. 

d) tardan los dos el mismo tiempo en caer. 

5. Una piedra se lanza horizontalmente desde una barraca de 20 m de altura con una velocidad inicial de 

10 m/s. Una segunda piedra se deja caer simultáneamente desde esa barraca. ¿Cuál de las afirmaciones 

siguientes es la correcta? 

a) Ambas chocan al suelo con la misma velocidad. b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez. 

c) Durante el vuelo es igual el cambio de velocidad 

de ambas piedras. 

d) Durante el vuelo, es igual el cambio de rapidez 

de ambas piedras.


6. Dos pelotas se lanzan horizontalmente desde un edificio alto al mismo tiempo, con una velocidad v i y 

la otra con una velocidad (v i /2). 

a) La pelota con velocidad inicial v i llega primero 


b) La pelota con velocidad inicial v i /2 llega primero 

al suelo.. 

c) Ambas pelotas llegan al mismo tiempo. d) No se puede saber cuál llega primero si no se 

conoce la altura del edificio. 

7. En el análisis del movimiento en un plano, si el ángulo de lanzamiento es igual a 0°, se considera que 

la velocidad vertical… 

a) se inicia desde el reposo. b) es constante. 

c) tiene una aceleración igual a cero. d) tiene una velocidad inicial de 9.8 m/s. 


8. Es la fuerza que actúa sobre el movimiento de un proyectil al ser lanzado “libremente”. 

a) Fuerza de fricción a) se inicia desde el reposo. b) Fuerza resultante 

c) Fuerza normal d) Fuerza de la gravedad 

9. Es el tipo de trayectoria que describe un cuerpo al ser lanzado con un ángulo mayor que 0° y menor 

que 90°. 

a) Línea recta vertical b) Elipse 


c) Parábola d) Línea recta horizontal 

10. ¿Qué tipo de trayectoria sigue una pelota de béisbol al ser bateada por un jugador antes de caer al suelo? 

a) Una elipse b) Una línea recta 

c) Un círculo d) Una parábola 

11. El movimiento de un proyectil, en ausencia del aire, se puede analizar considerando por separado… 

a) un desplazamiento horizontal a velocidad 

constante y un desplazamiento vertical también 

a velocidad constante. 

c) un desplazamiento horizontal con aceleración 

constante y un desplazamiento vertical a velocidad 

constante. 

b) un desplazamiento horizontal a velocidad 

constante y un desplazamiento vertical con 

aceleración constante e igual a g. 

d) tanto en el eje x como en el eje y el desplazamiento 

es con aceleración constante e igual a g. 

12. Al analizar el movimiento de un proyectil, en ausencia del aire, el desplazamiento horizontal tiene… 

a) aceleración constante. b) velocidad igual a cero. 

c) velocidad constante. d) aceleración igual a g. 

13. En el tiro parabólico, el valor de la velocidad vertical en el punto más alto de su trayectoria es… 

a) mayor que cero. b) igual a cero. 

c) menor que cero. d) igual a g.


14. El máximo alcance de un proyectil se obtiene cuando el ángulo de inclinación es… 

a) 0° b) 90° 

c) 30° d) 45° 

15. En el tiro parabólico, al despreciar la fricción del aire, se tiene que… 

a) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar 

el punto más alto es mayor que el tiempo que 

tarda en regresar. 

c) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el 

punto más alto es igual que el tiempo que tarda 

en regresar. 

b) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar 

el punto más alto es menor que el tiempo que 

tarda en regresar. 

d) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el 

punto más alto es menor que cero. 

16. Si se desprecia la fricción con el aire, un proyectil que sea lanzado con un cierto ángulo de elevación 

respecto a la superficie terrestre describirá con su movimiento una trayectoria parabólica; la magnitud de 

la componente horizontal y vertical de la velocidad del proyectil durante el recorrido se caracteriza por… 

a) la horizontal uniformemente variada, la vertical 

constante. 

c) la horizontal uniformemente variada, la vertical 

sin valor. 

b) la horizontal constante, la vertical uniformemente 

variada. 

d) la horizontal constante, la vertical sin valor. 

17. Al despreciar la fricción del aire, un proyectil alcanzaría una mayor altura si fuera lanzado con un 

ángulo de elevación de… 


a) 45° b) 90° 

c) 80° d) 20° 

18. Al despreciar la fricción del aire, un proyectil permanecería un mayor tiempo “volando” si fuera lanzado 

con un ángulo de elevación de… 

a) 45° b) 30° 

c) 60° d) 70° 

19. Dos proyectiles A y B se disparan desde un plano horizontal con velocidades iniciales idénticas. La 

velocidad inicial de A se hace a un ángulo θA con la horizontal, y B hace un ángulo θB también con 

la horizontal. Si θA < θ B < 90°… 

a) el proyectil B permanece más tiempo en el aire 

y viaja más lejos que A. 

c) el proyectil B permanece más tiempo en el aire 

y alcanza mayor elevación que A. 

b) el proyectil B permanece más tiempo en el 

aire y no llega más lejos que A. 

d) tanto a) como b) son correctas. 

20. En ausencia de aire, tres proyectiles son lanzados con la misma velocidad, pero uno de ellos a 30°, otro 

a 45° y el tercero a 80° de elevación respecto al suelo; de ellos tres, el que retornaría con mayor velocidad 

al suelo sería el que fuese lanzado a… 

a) 30° b) 80° 

c) 45° d) los tres retornarían con la misma velocidad.


21. En ausencia de aire, tres proyectiles son lanzados con la misma velocidad, pero uno de ellos a 25°, otro 

a 45° y el tercero a 75° de elevación respecto al suelo; sin embargo, el que retornaría con mayor velocidad 

al suelo sería el que fuese lanzado a… 

a) 25° b) 75° 

c) 45° d) los tres retornarían con la misma velocidad. 

22. Si la aceleración debida a la gravedad (g) se duplica, el alcance logrado por un proyectil tendría una 

magnitud (comparándolo con el que ocurre normalmente cuando g = 9.8 m/s 2 )… 

a) dos veces mayor que el alcance normal. b) 9.8 veces mayor que el alcance normal. 

c) 19.6 veces menor que el alcance normal. d) la mitad que el alcance normal. 

23. Si la aceleración de la gravedad (g) se redujera a la mitad, el alcance logrado por un proyectil tendría 

una magnitud (comparándolo con el que ocurre normalmente cuando g = 9.8 m/s 2 )… 

a) dos veces mayor que el alcance normal. b) 4.9 veces mayor que el alcance normal. 

c) 9.8 veces mayor que el alcance normal. d) la mitad que el alcance normal. 

24. Una pelota de béisbol, al ser golpeada por un bateador, viaja a los jardines. La aceleración de la pelota 

durante el vuelo… 

a) es la misma durante todo el trayecto. b) depende de si la pelota va hacia arriba o hacia 

abajo. 

c) es la máxima en la cúspide de su trayectoria. d) depende de cómo se le pegó a la pelota. 


25. La figura 2.20 muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima… 

a) la velocidad es cero, pero la aceleración es 

diferente de cero. 

b) la velocidad, no es cero, pero la aceleración es 

cero. 

c) la aceleración es mayor en B. d) la velocidad y la aceleración son perpendiculares 

entre sí. 

A 

B 

Figura 2.20


26. Un cazador le tira a un pato que vuela horizontalmente a una altura H. El intervalo de tiempo entre 

acertar al pato y el momento en que este llega al suelo depende de… 

a) qué tan rápido volaba el pato. b) cuán rápido volaba el pato y cuál era la altura H. 

c) la altura H. d) la altura H y la distancia entre el cazador y el 

pato cuando lo alcanzó la bala. 

27. En ausencia de la fricción del aire, considere la trayectoria del balón en la figura 2.21 ¿En qué punto(s) 

su velocidad es máxima? 

a) En el punto c b) En el punto a 

c) En el punto d d) En los puntos a y e 

28. ¿En qué punto es máxima la velocidad horizontal? 

a) En el punto c b) En el punto a 

c) En el punto d d) En cualquier punto 

29. ¿En qué punto de la trayectoria su velocidad vertical es igual a cero? 

a) En el punto b b) En el punto c 

c) En el punto d d) En el punto a 


C 

D 

B 

A 

E 

Figura 2.21


Problemas 

Considerando los datos que se te proporcionan, resuelve los siguientes problemas. 


1. Una roca se lanza horizontalmente desde lo alto de un edificio con una velocidad de 15 m/s. El edificio 

tiene una altura de 50 m. 

a) ¿Cuánto tiempo tardará la roca en llegar al b) ¿A qué distancia de la base del edificio caerá? 

suelo? 

2. Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una altura de 60 m. Calcula… 

a) el tiempo que tarda en llegar al suelo. b) la velocidad vertical que lleva a los 2 s. 

c) la distancia a la que cae la piedra. 

3. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 300 km/h y deja caer un proyectil desde una 

altura de 700 m respecto al suelo. 

a) ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en llegar al 

suelo? 


después de iniciar su caída? 

4. Un muchacho que está de pie sobre un puente a 100 m por encima del agua lanza una piedra horizontalmente 

a lo lejos con una velocidad de 14 m/s. Encuentra… 

a) el tiempo que tarda en tocar el agua. b) la distancia que recorrerá del puente cuando 

TD&IS Training Distribution and Integrated 

toque el agua. 

Services 

c) la componente vertical de la velocidad adquirida. d) la velocidad resultante final. 

5. Una manguera a 18 m sobre el suelo lanza un chorro de agua horizontal con una velocidad de 20 m/s. 

Si alcanza una distancia de 12 m, encuentra… 

a) el tiempo que tarda el agua en tocar el suelo. b) la distancia horizontal recorrida. 

c) las componentes finales de la velocidad 

(v x y v y ). 

6. Una pelota rueda sobre el borde de una mesa con una velocidad de 8 m/s. Si al caer llega a 10 m del 

borde de la mesa, ¿desde qué altura fue lanzada? 

7. Un cuerpo es lanzado horizontalmente con una velocidad de 30 m/s desde una altura de 80 m.b) cuánto 

tiempo tardará en caer. 

8. Desde el mástil de un buque, a una altura de 10 m sobre la cubierta, se deja caer una pelota. La velocidad 

del buque es de 18 km/h. 

a) ¿Qué distancia recorrerá el buque mientras cae 

la pelota? 

c) ¿Cuál será la velocidad de la pelota al tocar la 

cubierta? 

b) ¿Cuál será la trayectoria del movimiento de la 

pelota en relación con la superficie del mar?


9. En el borde de una mesa hay un gis. El gis es lanzado con un impulso horizontal y en dirección perpendicular 

al pizarrón. La huella del gis en el pizarrón se encuentra 20 cm por debajo de la superficie de la 

mesa. La distancia del pizarrón a la mesa es de 1 m. Determina la velocidad inicial del gis. 

10. Si tenemos que lanzar un paquete de medicamentos desde un avión de salvamentos que vuela horizontalmente 

con una velocidad de 360 km/h a una altura de 2 km, de tal forma que caiga en una aldea, ¿a 

qué distancia del lugar, medida por la horizontal, debemos dejar caer el paquete? 


1. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura máxima de un proyectil que es lanzado con una velocidad 

inicial de 400 m/s y un ángulo de elevación de 40°. 

2. Un futbolista golpea el balón con un ángulo de 37° respecto al plano horizontal, comunicándole una 

velocidad inicial de 15 m/s. Calcula el alcance, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal. 

3. Una flecha disparada con una velocidad de 60 m/s alcanza una altura máxima de 5 m. Calcular el ángulo 

de elevación, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal, 

4. Un proyectil es disparado al aire con una velocidad de 50 m/s. Si alcanza una altura máxima de 120 m, 

calcular el ángulo de elevación, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal. 

5. Un proyectil se dispara con un ángulo tal que la componente vertical de su velocidad inicial (v i y) es de 

27 m/s y la componente horizontal de su velocidad inicial (v i x) es de 36 m/s. 

a) ¿Cuál será la velocidad inicial del proyectil b) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el 

(magnitud y dirección)? 

proyectil? 


c) ¿Qué distancia horizontal recorrerá? 

6. Un proyectil es lanzado con un ángulo de 53° respecto a la horizontal desde un acantilado de 150 m de 

altura. Si el proyectil sale de un cañón con una velocidad inicial de 300 m/s. Calcula… b) cuánto tiempo 

tardará en caer. 

a) a qué distancia horizontal de la base del acantilado 

caerá el proyectil. 

b) cuánto tiempo tardará en caer. 

7. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 200 m/s y un ángulo de elevación de 30°. Determinar 

lo siguiente: 

a) La velocidad del proyectil cuando alcanza la 

máxima altura. 

c) La altura máxima alcanzada. 

b) La distancia horizontal que ha recorrido hasta 

ese instante. 

8. Un competidor del lanzamiento de bala logra una longitud de 22.3 m. Si el lanzamiento fue a 45°, 

cuáles eran… 

a) la velocidad inicial, b) la altura máxima alcanzada, y 

c) el tiempo total de vuelo.


9. Un proyectil fue lanzado con una velocidad inicial de 300 m/s con un ángulo de tiro de 60°. Calcula, al 

cabo de 10 s, lo siguiente: 

a) La componente horizontal de la velocidad, b) La componente vertical de la velocidad, 

c) El valor absoluto de la velocidad y la dirección d) La distancia horizontal recorrida, 

que esta forma con la horizontal, 

e) La altura a la que se encuentra, 

10. Se lanza una piedra desde una altura de 1 m sobre el suelo con una velocidad de 40 m/s formando un 

ángulo de 30° con la horizontal, sabiendo que a una distancia de 120 m del punto de lanzamiento se 

encuentra un muro de 2 m. Determina a qué altura por encima de este pasará la piedra. 

11. Se desea lanzar un proyectil sobre una cerca que está a 8 m de distancia y tiene una altura de 12 m 

sobre el suelo. Si el proyectil se encuentra a 1 m sobre el suelo y el ángulo de lanzamiento es de 70°, 

¿cuál es la magnitud de la velocidad inicial para que pase la cerca? 

12. Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50° y una velocidad inicial de 400 m/s 

sobre un terreno horizontal. Sabiendo que a una distancia de 1000 m existe una pared vertical. Calcula 

la altura del punto de la pared sobre el cual choca el proyectil. 

13. Un proyectil, al ser lanzado en la Tierra con una velocidad (v iy ) a un ángulo (θ) con la horizontal, tiene 

un alcance de 320 m. Si el proyectil fuera lanzado en la Luna con la misma velocidad inicial y ángulo, 

¿qué alcance se obtendría? 

14. ¿Cuáles son los dos ángulos relativos a la horizontal a que deberá apuntarse un cañón para que el alcance 

horizontal sea de 1000 m? La velocidad en la boca del cañón es de 140 m/s. 


15. Un jugador de béisbol batea una pelota con una velocidad de 45 m/s formando un ángulo de 30° respecto 

a la horizontal. Si la bola salió dirigida hacia el jardín derecho y la barda (que tiene 2 m de altura) 

se encuentra a 100 m del home, contesta lo siguiente: 

a) ¿pasará la pelota por encima de la barda? b) ¿a qué altura estará la pelota a esa distancia?

ETAPA 

3 

CINEMÁTICA: 

MOVIMIENTO CIRCULAR 



• Desplazamiento lineal y angular 

• El radián, la revolución y el grado sexagesimal 

como medidas angulares 

• Velocidad lineal y angular 

• Periodo y frecuencia 

• Fuerza y aceleración centrípeta 

CONTENIDO 


• Efectúa una analogía entre las magnitudes 

lineales y las magnitudes angulares, 

TD&IS Training Distribution reconociendo and Integrated las Services equivalencias y los factores de 

conversión pertinentes. 

• Aplica la primera y segunda leyes de Newton 

para visualizar que el movimiento circular 

uniforme es un movimiento acelerado. 

• Calcula desplazamientos angulares a partir de 

distancias lineales y viceversa. 

• Calcula velocidades angulares la relación 

entre desplazamiento angular y el tiempo 

transcurrido y también a partir de velocidades 

lineales, y viceversa. 

• Calcula la aceleración centrípeta a partir de la 

velocidad angular o de la velocidad lineal. 

• Aplica la segunda ley de Newton para el cálculo 

de la fuerza centrípeta. 

• Relaciona la velocidad angular con la frecuencia 

y el periodo de objetos que presentan un 

movimiento circular uniforme. 

• Utiliza simuladores (TIC) para obtener datos 

experimentales de las magnitudes angulares.


Introducción 

En general se podría decir que en el entorno existen tantos movimientos circulares 

como rectilíneos, por ejemplo, las manecillas del reloj, las llantas de las bicicletas, 

patines y automóviles; la mayoría de los juegos mecánicos, las herramientas 

como el taladro, la pulidora, etc. Se podría decir que un objeto gira cuando el 

eje de rotación está dentro del cuerpo, y que da vuelta cuando el eje está afuera 

del cuerpo, como ejemplo tenemos que la Tierra gira sobre su eje, generando el 

día y la noche, y que además da vueltas al Sol cada determinado tiempo, dando 

lugar a las estaciones del año. 

Cada partícula formadora de un cuerpo sólido que gira sobre su propio eje describe 

trayectorias circulares en torno al centro de rotación. Por ejemplo, en la 

Tierra, nosotros, pequeñas partículas que vivimos en el planeta, nos encontramos 

circulando alrededor de su eje. 

El movimiento circular es un movimiento en dos dimensiones que relacionaremos 

con lo estudiado en otras etapas: el movimiento rectilíneo. En este sentido, a 

partir TD&IS de coordenadas Training Distribution rectangulares, and se Integrated hará una correlación Servicescon 

la terminología 

de cantidades angulares del movimiento circular para el estudio de la rotación de 

los cuerpos rígidos.

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 127 

3.1. Desplazamiento lineal y angular 

En el entorno no solo existen movimientos rectilíneos, sino que también se pueden 

observar objetos que giran, rodean y rotan, como el ventilador de techo o la canasta 

de la lavadora, los cuales describen movimientos circulares. 

Consideremos una partícula que viaja por una trayectoria circular, como se muestra 

en la figura 3.1. En un instante dado, la posición de la partícula (P) podría indicarse 

con las coordenadas cartesianas x y y, lo que se enuncia como P(x,y), pero también 

podría indicarse con las coordenadas polares r y y . La distancia r se extiende desde 

el origen hasta el punto P (radio de un círculo), y el ángulo θ indica la amplitud entre 

el eje x y la línea r, que comúnmente se mide en sentido antihorario a partir del eje x. 

y 

r 

P 

(x, y) 

o 

(r, θ) 

θ 

x 


Figura 3.1 

Si utilizamos las ecuaciones trigonométricas para relacionar las coordenadas rectangulares 

(x, y) y las coordenadas angulares o polares (r, θ), tendríamos… 

x = r cosθ 

y = r senθ 

Si r es la misma para cualquier punto de un círculo dado, entonces, se dice que 

r es constante y lo que cambia con el tiempo para un movimiento circular es θ, a 

lo que podemos decir que el movimiento circular se puede describir con una sola 

coordenada angular (θ) que cambia con el tiempo. Esta magnitud física se denomina 

desplazamiento angular y se define como el ángulo descrito por un cuerpo que se 

encuentra en movimiento circular. 

De manera análoga al movimiento rectilíneo, se puede decir que el desplazamiento 

angular de una partícula en una trayectoria circular es… 

∆θ = θ – θ o


Si en todos los casos se considera que θ o = 0° tendremos que ∆θ = θ. Una de las 

unidades que se utiliza comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el 

grado sexagesimal (°); y es conocido que en un círculo completo existen 360°. 

En términos de describir el movimiento circular tangencialmente, 

se tiene que relacionar el desplazamiento 

angular con la longitud del arco s, como se 

muestra en la figura 3.2. La longitud del arco (s) es la 

distancia recorrida a lo largo de una trayectoria circular; 

nota que, si se suman todas las distancias s, se 

obtendrá la circunferencia. 

Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a introducir otra 

Figura 3.2 

unidad de medida de desplazamiento angular. Esta se 

conoce con el nombre de radián. Un radián se define como un ángulo formado en el 

centro de un círculo por un arco de circunferencia cuya longitud mide lo mismo que 

el radio del círculo. 

Un radián es una importante relación entre la longitud del arco circular, s, y el radio 

del círculo, r. Vemos entonces que el ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes: 

Tanto la longitud del arco s como el radio de la circunferencia r son magnitudes de 

longitud, 


y cuando estas 

Distribution 

miden exactamente 


lo mismo, 

Services 

entonces el ángulo que se 

genera es de 1 radián. 

¿Cuántas veces cabe un radián en una circunferencia completa y cuál es su equivalencia 

en grados? 

Para obtener una relación entre radianes y grados, se tendrá que considerar la distancia 

total de un círculo en grados, es decir, θ = 360°. Asimismo, recordemos que el 

perímetro de un círculo está dado por s = 2π r, dado que tenemos: 

(1) 

-1 

1 

-1 

θ 

s 

1 

Sustituimos en ambos lados de la ecuación θ y s: 

Por lo que obtenemos: 

Esta relación será útil para realizar fácilmente las conversiones entre ángulos y radianes. 

Por lo que, al despejar 1 radián en grados, obtenemos: 

1 radián = 57.3˚


Es importante hacer notar que en este tipo de operaciones 

es necesario utilizar cuatro cifras significativas 

para redondear al siguiente dígito de peso, 

además de utilizar el valor completo de π en la calculadora. 

Se puede ver en la tabla 3.1 las equivalencias 

más comunes entre radianes y grados, expresadas 

en términos de π para mayor facilidad e 

identificación. 

Otra forma de transformar de grados a radianes es… 

Tabla 3.1 Medidas 

equivalentes en grados y 

radianes 

Grados 

Radianes 

360° 2 π 

270° 

180° π 

90° 

60° 

57.3° 1 

45° 

30° 

EJEMPLO 3.1 

Considera un sistema de riego circular que tiene una longitud máxima 200 m desde 

el pivote central hasta el final del brazo (figura 3.3). Se le han colocado diversos 

aspersores para el TD&IS riego del Training terreno, cada Distribution uno de ellos and instalado Integrated a 3.6 Services m uno del 

otro hasta llegar a 54 m en el extremo desde del pivote central. Si solo se desea 

irrigar un cuarto del total de la circunferencia del terreno, ¿qué distancia recorren 

el primer y el último aspersor para ese tramo? 

Solución 

Consideremos que, de ¼ de circunferencia partiendo de una referencia (figura 3.4), 

se puede determinar el ángulo del segmento que se regará, que es de 90°. 

Datos: 

r 1 = 3.6 m (primer aspersor) 

Figura 3.3 

r 14 = 54 m (último aspersor) 

θ = 90° = 

radianes 

B 

Incógnitas: 

s 1 = ? 

r 

θ 

A 

s 14 = ? 

Figura 3.4


¿Qué vamos hacer? Calcular la longitud del arco (s) que recorre cada aspersor utilizando la distancia de 

cada aspersor desde el pivote central hasta su ubicación sobre el brazo. 

¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrá que encontrar la distancia utilizando la ecuación 1 y los datos proporcionados. 


Utilizamos la ecuación 1: 

Despejando s, tenemos: 

Sustituyendo para cada valor de r: 

s = θ · r 


El primer aspersor riega la tierra recorriendo una distancia de 5.655 m, y el último aspersor, ubicado a 

54 m del pivote central, recorre una distancia de 87.823 m, ambos desde su referencia hasta cubrir solo 

¼ de la circunferencia del TD&IS terreno Training (figura 3.4); Distribution es decir, ambos and aspersores Integrated (y Services también los demás) tuvieron 

exactamente el mismo desplazamiento angular, pero diferente desplazamiento lineal. 

y 

3.2. Velocidad lineal y angular 

0 

B ,t 

f 

r 

θ f 

θ i 

A ,t i 

x 

Con anterioridad se ha descrito el concepto de velocidad relacionado con 

el movimiento rectilíneo, el cual se define como la razón de cambio de 

posición con el tiempo (v = Δx/Δt). De manera análoga, se puede decir 

que, si una partícula o un objeto se desplaza en una trayectoria circular 

∆θ (figura 3.5) en un intervalo de tiempo Δt, definirá la razón de rotación, 

a lo que llamaremos velocidad angular y se utilizará la letra del 

alfabeto griego omega (ω) para representarla: 

(2) 

En resumen, la velocidad angular es la magnitud de desplazamiento angular 

divida entre el tiempo que se tardó en recorrer dicho ángulo. Las 

unidades de la velocidad angular en el sistema internacional están dadas 

en radianes por segundo, pero también se puede escribir s -1 , dado que el 

radián es una unidad adimensional.


Recuerda que, en muchos casos, consideramos el desplazamiento 

angular inicial como θ i = 0, así como también t i = 0, por lo que la 

ecuación (2) se puede escribir simplemente como… 

(x) 

(x) 

Como vemos, la velocidad angular y el desplazamiento angular están 

relacionadas, sin embargo, la velocidad angular es considerada 

una magnitud vectorial. Para determinar la dirección del vector velocidad 

angular, se utiliza la regla de la mano derecha (figura 3.6), 

donde se colocan los dedos de la mano derecha siguiendo el sentido 

de giro, y el pulgar extendido apuntará hacia a donde se dirige 

el vector velocidad angular. El movimiento circular solo tiene dos 

sentidos: a favor o en contra de las manecillas del reloj. 

(x) 

(+) 

(-) 

(x) 

(x) 

(x) 

a) 

b) 

EJEMPLO 3.2 

Un automóvil se desplaza por una carretera en las 

montañas que tiene diversas curvas debido a la topografía 

del lugar, y una de esas curvas tiene un 

ángulo de 180° (figura 3.7). El auto toma la curva; 

luego, avanzó hasta terminarla en un tiempo de 5s. 

¿Qué velocidad angular llevó al transitar la curva? 

Solución 

Primero, identificamos los datos que tenemos: 

Datos: 

θ f = 180° 

θ i = 0° 

∆t = 5s 

Incógnita: 


Figura 3.6. Regla de la mano derecha: al cerrar los dedos 

de la mano derecha en la dirección del movimiento circular 

que sigue el objeto, el pulgar apuntará en la dirección 

del vector de la velocidad. Los signos positivos y negativos 

del sentido o dirección se muestran en las figuras a) y b). 

ω = ? 

¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad angular que lleva el carro en su trayectoria de la curva. 

¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrán que realizar las conversiones para cada uno de los ángulos y, luego, se 

sustituirán los datos en la ecuación 2.



Se realizan las conversiones para cada uno de los ángulos: 

θ f = 180° = π rad 

θ i = 0° = rad 

Utilizamos la ecuación 4: 


ω = 

rad - 0 rad 

5 s - 0 s 

ω = 

3.1416 rad 

5 s 


El auto lleva una velocidad angular de 0.628 rad/s al transitar por la curva. 


3.3. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial 

Dentro del movimiento circular, todas las partes que contiene el objeto se comportan 

como un único punto (partícula única) que sigue la trayectoria de una circunferencia, 

manteniendo una trayectoria perpendicular al radio de esta circunferencia, por lo que 

la velocidad lineal también recibe el nombre de velocidad tangencial (figura 3.8). 

Δs 

v 1 

v 2 

r 

Δθ 

Figura 3.8


La velocidad tangencial está dada por la ecuación que ya conocemos: 

Se despeja s de la ecuación 1 y nos queda: 

s = r * θ 

Por otro lado, despejando desde la fórmula de la velocidad angular, tenemos: 

θ = ωt 

Sustituyendo: 

s = r * ωt 

Trasponiendo t al miembro izquierdo de la igualdad, tenemos: 

Por lo que podemos calcular la velocidad lineal o tangencial a partir de la velocidad 

angular con la siguiente ecuación: 

v = rω (3) 

EJEMPLO 3.3 


Dos ciclistas recorren una pista circular y ambos dan una vuelta en el mismo tiempo (40 s); el ciclista A se 

encuentra a 20 m del centro de la pista y el ciclista B se encuentra a 30 m del centro (figura 3.9). Calcula 

lo siguiente: 

a) El desplazamiento angular de ambos ciclistas expresado en radianes. 

b) La distancia recorrida por cada uno de los ciclistas a lo largo de la trayectoria circular. 

c) La velocidad angular de ambos ciclistas. 

d) La velocidad tangencial de cada uno de ellos. 

Solución 

Identificar los datos que tenemos: 

Ciclista A 

Datos: 

θ = 1 vuelta o revolución 

∆t = 40 s 

r A = 20 m 

r B = 30 m 

Ciclista B 

Figura 3.9


Incógnitas: 

a) θ A = ?; θ B = ? 

b) s A = ?; s B = ? 

c) ω A = ?; ω B = ? 

d) v A = ?; v B = ? 

¿Qué vamos hacer? Primero se realizará una conversión de unidades para encontrar el desplazamiento 

angular y con ese dato se podrá obtener la distancia recorrida para cada uno de los ciclistas. Utilizando la 

ecuación 2, se calcula la velocidad angular que lleva cada ciclista; por último, con la ecuación 3 se obtendrá 

la velocidad tangencial. 

¿Cómo lo vamos hacer? Para encontrar el desplazamiento angular, lo único que haremos es una conversión 

de unidades para convertir revoluciones a radianes, y, dado que ambos ciclistas recorren una sola vuelta a 

la pista, entonces ambos tendrán el mismo desplazamiento angular. 


a) Se realizarán las conversiones de revoluciones a radianes. 


θ A = 6.28 rad 

θ B = 6.28 rad 

b) Utilizamos la ecuación 1 para calcular la distancia recorrida por cada ciclista: 

Se despeja y calcula s para cada ciclista: 

s = θ · r 

s A = (6.28 rad) (20 m) 

s A = 125.66 m 

s B = (6.28 rad) (30 m) 

s B = 188.49 m 

c) Para encontrar la velocidad angular, aplicamos la ecuación 2, recordando que ambos ciclistas recorren 

el mismo desplazamiento angular:


d) Por último, aplicamos la ecuación 3 para obtener la velocidad tangencial: 

v A = 3.14 m/s 


v B = 4.71 m/s 

a) Ambos ciclistas recorren una vuelta (1 revolución) a la pista circular, por lo tanto, ambos recorren el 

mismo desplazamiento angular (2π = 6.28 rad). 

b) En este caso, el desplazamiento lineal es diferente, ya que la distancia de cada ciclista hacia al centro 

de la pista es diferente y, por lo tanto, el ciclista B recorre una distancia mayor (188.49 m) que el 

ciclista A que se encuentra más cerca del centro (125.66 m). 


c) Para la velocidad angular, encontramos que ambos ciclistas tienen exactamente la misma, pues ellos 

recorren el mismo desplazamiento angular (6.28 rad = 1 rev) en el mismo tiempo (40 s). 

d) En el caso de la velocidad tangencial, tenemos que también es diferente, ya que esta depende de la 

distancia del ciclista al centro de la pista o centro de rotación, es decir, depende del radio de giro, el 

cual, para el ciclista A, es de 20 m, y para el ciclista B es de 30 m, dando como resultado una mayor 

velocidad angular para el ciclista B (4.71 m/s) que para el ciclista A (3.14 m/s). 

Como conclusión, podemos decir que las magnitudes angulares no dependen del radio de giro, mientras que 

las magnitudes lineales sí dependen de él, y mientras mayor sea este radio de giro, mayor será la magnitud 

angular a que nos refiramos. 

3.4. Frecuencia y periodo 

Cuando existe un movimiento circular, también se hace referencia a dos conceptos 

relacionados con este, que son frecuencia y periodo. 

En general, se le llama frecuencia al número de ciclos por unidad de tiempo que 

efectúa un cuerpo en movimiento vibratorio, ondulatorio, o bien, como en nuestro 

caso, movimiento circular. La frecuencia se representa con la letra f. 

Para el movimiento circular, la frecuencia se expresa en revoluciones o vueltas alrededor 

del centro de rotación. Por su parte, las unidades de tiempo pueden ser horas,


minutos, segundos o cualquier otra unidad de tiempo. Como ejemplos de frecuencias 

podemos mencionar los siguientes: 

• Frecuencia de rotación de la Tierra: 1 revolución/día 

• Frecuencia de traslación de la Tierra: 1 revolución/año 

• Frecuencia del minutero de un reloj analógico: 1 revolución/hora 

• Frecuencia de un disco vinílico LP: 33 revoluciones/minuto 

La frecuencia representa la cantidad de veces que se repite un evento por cada unidad 

de tiempo transcurrido. Para el caso del movimiento circular, la frecuencia por 

unidad de tiempo representa el número de vueltas o revoluciones que un objeto da 

alrededor de un eje. 

Podemos calcular la frecuencia mediante la siguiente expresión: 

(4) 

Veamos TD&IS el Training siguiente Distribution ejemplo: and Integrated Services 

EJEMPLO 3.4 

La rueda de una bicicleta gira 230 vueltas en 1.5 min (figura 3.10). 

¿Cuál es la frecuencia de la rueda? 

Solución 

Inicialmente, identificamos los datos que tenemos. 

Datos: 

Núm. de revoluciones = 230 rev 

t = 1.5 min 

Incógnita: 

Figura 3.10 

f = ? 

¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con la que se mueve la rueda de la bicicleta. 

¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia a la cantidad de vueltas 

que se dan por minuto.



Aplicamos la ecuación 4 sustituyendo los datos que tenemos: 

f = 153.33 rev/min 

f = 153.33 rpm 


Donde rpm significa “revoluciones por minuto”, es decir, representa el número de vueltas que la rueda da 

alrededor de su eje cada minuto, o sea, 153.33 vueltas por cada minuto que transcurre. 

Es importante mencionar que tanto las revoluciones como los ciclos no son unidades de medición, sino que 

son términos descriptivos. 

EJEMPLO 3.5 


Un disco vinílico se coloca en una tornamesa para escucharlo; el 

disco efectúa 66 vueltas completas en 120 s. Determina la frecuencia 

en a) rev/s, b) ciclos por segundo, c) 1/s (s -1 ) y d) Hertz. 

Solución 

Primero, identificamos los datos que tenemos. 

Datos: 

Núm. de revoluciones = 66 vueltas = 66 ciclos = 66 revoluciones 

Figura 3.11 

t = 120 s 

Incógnita: 

f = ? (en diferentes términos y unidades) 

¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con el que se mueven el disco vinílico en sus diferentes términos. 

¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia para cada término utilizando 

la siguiente ecuación:




Frecuencia en rev/s: 

Frecuencia en ciclos/s: 

Frecuencia en 1/s: 

Frecuencia en Hertz: 


La frecuencia se puede referenciar en diferentes formas, ya sea en términos descriptivos (revoluciones o ciclos) 

o en unidades del sistema internacional (1/s o s -1 o Hertz). Estos discos vinílicos, que en su época fueron 

muy populares, salieron a la venta con la característica de que giraban a 33 rpm (revoluciones por minuto). 


Definiremos ahora como periodo al tiempo que tarda un objeto en movimiento 

circular en efectuar una revolución completa, se representa con la letra T. 

Por ejemplo, se puede mencionar que la Tierra se encuentra rotando sobre su 

propio eje y que lo hace en 24 horas, es decir, que tarda 24 horas en pasar nuevamente 

por un punto de referencia (en Sol), por lo que su periodo es de 24 horas. 

Además, de todos es conocido que la Tierra se tarda en promedio 365 días en 

darle la vuelta el Sol, por lo que podemos decir que su periodo, en general, es de 

un año en hacer un ciclo completo, una revolución completa.


Te sugerimos ingresar al link https://giphy.com/gifs/motion-jITxxiqdKCCbK para 

observar el archivo animado de cómo un ciclo corresponde a una revolución completa, 

es decir, 360° o, lo que es lo mismo, 2π (figura 3.12). 

Figura 3.12 

1 ciclo 

2 ciclos 

π 

2 

+ 

π 

2π 

3π 

4π 

0 180 o 

360 o 540 o 720 o 

θº 

π 

2π 

- 

1 T 

2T 

3π 

2 

Tanto la frecuencia como el periodo son recíprocos uno del otro y se relacionan con 

la siguiente fórmula: 

La frecuencia también puede relacionarse con la velocidad tangencial. En el caso del 

movimiento circular TD&IS uniforme, Training la velocidad Distribution tangencial se and puede Integrated escribir como… Services 

(5) 

Es decir, se trata de la distancia recorrida de 2π r (una revolución) alrededor de un 

círculo de radio r, dividida entre el tiempo de un periodo (T). Recordando que en 

términos de velocidad angular se tiene: 

Sustituyendo: 

Por lo que nos queda: 

Sustituyendo la fórmula de frecuencia: 

Por lo que nos queda: 

ω = 2π f (6) 

Estas fórmulas están describiendo la velocidad angular en términos de periodo y de frecuencia 

respectivamente, recordando que las unidades de la velocidad angular son rad/s.


EJEMPLO 3.6 

Si se tiene un CD-ROM que está girando a 2 500 rpm. 

¿Cuál será su frecuencia y periodo? ¿Cuál será su velocidad angular? 

Solución 

Primero, identificamos los datos que tenemos. En este ejemplo ya nos dan el dato de frecuencia: 

Datos: 

f = 2500 rpm 

Incógnitas: 

f = ? 

T = ? 

ω = ? 

¿Qué vamos hacer? Obtener la frecuencia y el periodo con el que gira el CD-ROM, así como calcular la 

velocidad angular. 

¿Cómo lo vamos resolver? Dado que ya contamos con la frecuencia, únicamente la convertimos a revoluciones 

por segundo, y, posteriormente, calculamos el periodo. 



Llevamos a cabo la conversión de unidades: 

Despejando T y sustituyendo en la ecuación 5:


Se aplica ahora la ecuación 6 y se calcula la velocidad angular con la frecuencia en rps: 

ω = (2π)(41.67 

rev s ) 


La velocidad angular del CD ROM es de 261.8 rad/s. 

3.5. Fuerza y aceleración centrípeta 

En la etapa 1 de este curso se analizó el movimiento en una dimensión y se definió 

la aceleración como el cambio en la velocidad (o la rapidez) de un cuerpo respecto 

al tiempo durante su movimiento, es decir, la razón de cambio de la velocidad. Por 

su lado, en el movimiento circular uniforme la velocidad del objeto no cambia en 

su magnitud, pues siempre es la misma, pero sí existe un cambio en la dirección del 

movimiento, por lo que podemos decir que este tipo de movimiento es acelerado 

(figuras 3.13 y 3.14). TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

ΔV 

V 2 

= V 1 

+ΔV 

V 2 

V 3 

V 1 

V 1 

V 2 

ΔV 

V 3 = V 2 +ΔV 

La velocidad es diferente porque 

cambia la dirección 

V ₁≠ 

V ₂≠ 

V₃ 

Figura 3.13


v 

v 

R 

R 

v 

v 

Δv 

Figura 3.14 

El movimiento circular, ya sea uniforme o no uniforme, se puede explicar desde el 

punto de vista de la primera y segunda leyes de Newton. 

La primera ley de Newton establece que el movimiento natural de un cuerpo debe 

ser en línea recta y con velocidad constante, esto quiere decir que la velocidad no 

debe cambiar de magnitud ni de dirección; sin embargo, en el movimiento circular, 

el objeto que gira cambia se dirección constantemente, por lo que debe haber algo 

que provoque ese cambio. 

Por TD&IS otra parte, Training la segunda Distribution ley de Newton and Integrated establece que, Services cuando un cuerpo no está en 

equilibrio, entonces está acelerado. 

En una trayectoria circular, la aceleración apunta directamente hacia el centro del 

círculo; a esta se le llama aceleración centrípeta, la cual se dirige radialmente hacia 

el centro de rotación y es la que provoca 

V el movimiento en una trayectoria circular 

1 

y no en forma recta. 

r 

Δθ Δs 

V 

2 

La magnitud de la aceleración centrípeta 

puede deducirse de los pequeños triángulos 

sombreados de la figura 3.15 si se 

tiene en cuenta que el intervalo de tiempo 

para la distancia recorrida es muy pequeño 

(casi tendiendo a cero), por lo que… 

Si tenemos que…


Sustituyendo: 

Reacomodando los términos: 

Obtenemos la aceleración centrípeta en términos de velocidad tangencial, que es… 

(7) 

Si queremos la aceleración centrípeta en términos de velocidad angular, se utiliza la 

ecuación 3 para sustituir la velocidad tangencial: 

(3) 


(8)


EJEMPLO 3.7 

Si se tiene en cuenta un CD que gira a 500 rpm y que su diámetro es de 12 cm, encuentra la aceleración 

centrípeta y la velocidad tangencial. Si se desplaza una partícula en el extremo durante 3 s, encuentra la 

distancia recorrida. 

Solución 

Identificamos los datos que tenemos. 

Datos: 

f = 500 rpm 

d = 12 cm, por lo tanto, r = 6 cm 

t = 3 s 

Incógnitas: 

a c = ? 

v = ? 

s = ?, para t = 3 s 

¿Qué vamos hacer? Encontrar la aceleración centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular 

uniforme y la velocidad. TD&IS Si pasan Training 3 s con Distribution esa velocidad, and se podrá Integrated encontrar Services la distancia que recorre una 

partícula ubicada al extremo del centro del CD. 

¿Cómo lo vamos hacer? Calculando la velocidad angular del CD a partir de la frecuencia, pasando a SI la 

distancia del radio del CD y encontrando la aceleración con la que gira el CD. Posteriormente, encontrando 

la velocidad y utilizando este dado para hallar el desplazamiento a los 3 s. 


Se convierte la frecuencia a revoluciones por segundo: 

Se calcula la velocidad angular:


Se aplica la ecuación 8 para calcular la aceleración centrípeta: 

Para encontrar de velocidad tangencial, se utiliza la ecuación 5: 

Se sustituyen los datos: 

v = rw 

Recordando la ecuación: 

Se despeja la distancia s: 

Se sustituyen los datos: 

s = 9.425 m 



La aceleración centrípeta del CD es de 164.49 m/s 2 y la partícula ubicada a 6 cm del centro del CD recorre 

9.425 m a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad lineal de 3.142 m/s. 

Todos los objetos que giran en una trayectoria curva tienen un movimiento acelerado, 

es decir, presentan aceleración, que, como ya vimos, se llama aceleración 

centrípeta. Este movimiento acelerado requiere, por lo tanto, una fuerza dirigida 

hacia el centro de rotación. A dicha fuerza se le llama fuerza centrípeta, que significa 

“buscando el centro”; de esta manera, tenemos que la fuerza centrípeta siempre es 

perpendicular a la dirección del movimiento. ¿Cómo se obtiene? 

Por la segunda ley del movimiento de Newton tenemos que… 

F c = ma c 

Sustituyendo la ecuación de aceleración centrípeta en función de la velocidad tangencial, 

tenemos que… 

(9) 

O, por otro lado, podemos utilizar la ecuación de la aceleración centrípeta en función 

de la velocidad angular; en dicho caso, tenemos que… 

(10)


EJEMPLO 3.8 

Una persona gira una piedra de 350 g con una cuerda de 60 cm de longitud atada a ella con una frecuencia 

de 50 rpm (figura 3.16). Determina la fuerza centrípeta que se ejerce sobre la piedra. 

Solución 

Primero, identificamos los datos que tenemos. 

Datos: 

m = 350 gr = 0.35 kg 

r = 60 cm = 0.6 m 

n = 50 rpm 

Incógnita: 

F C = ? 

Fuerza centrípeta (Fc) 

¿Qué vamos hacer? Encontrar la fuerza centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular 

uniforme. 

¿Cómo lo vamos hacer? Convirtiendo la velocidad en radianes por segundo y, posteriormente, encontrando 

la aceleración para obtener la fuerza centrípeta. 


Calculemos primero la velocidad 

TD&IS 

angular 

Training 

de 

Distribution 

la piedra: 


Calculemos ahora la aceleración centrípeta utilizando la ecuación 9: 

Calculemos ahora la fuerza centrípeta: 

a c = (5.23 rad/s) 2 (0.6 m) 

a c = 16.45 m/s 2 


La persona ejerce una fuerza de 5.76 N para que la piedra gire a 50 rpm con una aceleración de 16.45 m/s 2 .


Ahora, en el siguiente ejemplo, podemos calcular todo lo que hemos visto: 

EJEMPLO 3.9 

La Tierra, con una masa de 6×1024 kg y un radio aproximado de 6 375 km, gira sobre su propio eje 

(rotación) (figura 3.17). Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial, aceleración 

y fuerza centrípeta. 

Solución 

Identificamos los datos que tenemos. 

Datos: 

m = 6×10 24 Kg 

r = 6 375 km 

Incógnitas: 

T = ? 

f = ? 

ω = ? 

v = ? 

a c =? 


F c = ? 

¿Qué vamos hacer? Pensar en una estrategia para ir poco a poco encontrando los valores para cada incógnita 

utilizando las ecuaciones del movimiento circular. 

¿Cómo lo vamos hacer? Partiremos con datos generales que todos conocemos, como el tiempo que tarda la 

Tierra en girar en su propio eje, que es de 24 horas. Este dato lo convertiremos en segundos y utilizaremos 

fórmulas del tema para encontrar la frecuencia. Con el dato del radio de la Tierra, encontraremos la velocidad 

angular. Para conocer la velocidad tangencial, utilizaremos los datos del periodo y el radio de la Tierra. 

Posteriormente, se encontrará la aceleración para así obtener el dato de la fuerza centrípeta. 


Recordemos que la Tierra se tarda en girar en su propio eje 24 horas, por lo que es necesario convertirlo en 

segundos para determinar el periodo de rotación:


De la siguiente manera, este dato se transforma en frecuencia de rotación: 

f = 1.15 × 10 -5 Hz 

Podemos utilizar la ecuación 7 con la frecuencia, o bien, se puede usar el dato del periodo para encontrar 

la velocidad angular: 

ω = 2πf ω = 2π (1.15 × 10 -5 ) 

ω = 7.27 × 10 -5 rad/s 

Se puede observar que, con ambas ecuaciones, se llega al mismo resultado. 

Calculemos ahora la velocidad tangencial de un punto en el ecuador: 


Podemos encontrar la aceleración centrípeta: 

Ahora, para la fuerza centrípeta, tenemos: 

a c = 0.0299 m/s 2 

F c = 2.02 ×10 23 N



La fuerza centrípeta que se ejerce de la Tierra hacia el centro de su eje de rotación es de 2.02 × 10 23 N cada 

día con una frecuencia de rotación de 1.15 × 10 -5 Hz y con una aceleración angular de 0.0299 m/s 2 . 

Para concluir este tema, recordemos que la fuerza centrípeta es la que provoca que un cuerpo que gira en 

torno a un eje de rotación no siga una trayectoria recta. Esta puede ser la tensión de una cuerda, la fricción 

entre las llantas de un automóvil y el pavimento, la gravedad, etc. Pero, ¿cómo aplica la tercera ley de 

Newton en el movimiento circular? Esta ley establece que “para toda fuerza de acción hay una fuerza de 

reacción igual y opuesta”. A la reacción de la fuerza centrípeta se le conoce como fuerza centrífuga y está 

dirigida en dirección contraria, es decir, hacia afuera del centro de rotación. En realidad, la fuerza centrífuga 

es una fuerza aparente, a veces llamada pseudo fuerza, ya que su efecto “centrífugo” se debe a la inercia del 

movimiento del cuerpo, pues no debemos olvidar que la primera ley de Newton establece que el movimiento 

de un cuerpo debe ser rectilíneo y uniforme. 

■ Actividad 1 Movimiento circular uniforme 

Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las ecuaciones del movimiento circular uniforme. 

Ejercicio 1 

Procedimiento 

Se hace girar un trompo que tiene un diámetro en lo más ancho 

(6 cm) durante 4 s; este lleva una rapidez constante de 1.96 m/s. 

Encuentra la aceleración centrípeta y la distancia recorrida. 


Datos 

Fórmula(s) 



Ejercicio 2 

El “brinca-brinca” es un juguete que consiste en una pelota unida a 

una cuerda y a su otro extremo con un círculo que se introduce en 

el pie; al empezar a girar, la pelota describe un círculo. Teniendo 

en cuenta que el largo de la cuerda mide 1.2 m y lleva una rapidez 

constante de 5.3 m/s, determina la aceleración centrípeta, la 

velocidad angular, el periodo y la frecuencia de la pelota. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Ejercicio 3 

Una revolvedora es una máquina que tiene las siguientes 

medidas: diámetro de la olla, 87 cm; diámetro de la boca, 52 cm. 

Si su velocidad es de 37 rpm, encuentra la aceleración centrípeta, 

la velocidad tangencial y la distancia recorrida de una partícula 

pegada a la pared de la olla a 5 min de que esté funcionando. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Ejercicio 4 

Mercurio, con una masa de 3.285 × 1023 kg, gira alrededor del 

Sol (centro a centro) con un radio aproximado de 57.91 × 106 

km. Si tarda 88 días terrestres en hacer el giro. Determinar el 

periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial, 

aceleración y fuerza centrípeta. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Ejercicio 5 

La Estación Espacial Internacional (ISS, por sus siglas en 

inglés) es una plataforma de 420 ton, en la que se lleva a cabo 

investigación multidisciplinaria. Se encuentra ubicada a unos 

408 km de la superficie de la Tierra y en un día realiza 16 vueltas 

completas con una velocidad promedio de 7.67 km/s. 

Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, aceleración 

y fuerza centrípeta. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Preguntas conceptuales del mcu 

1. ¿A qué se le llama movimiento circular uniforme? 

2. ¿De qué manera se representa el movimiento circular en la vida cotidiana? 

3. ¿Cuántos tipos de movimiento circular existen? Descríbelos. 


4. Describe la diferencia entre velocidad angular y velocidad lineal. 

5. ¿Cuántas clases de velocidades hay en el movimiento circular uniforme? ¿Cuáles son sus magnitudes? 

6. ¿Cuál es la causa por la cual una piedra que hacemos girar mediante una cuerda sale tangencialmente y 

no radialmente al soltarse la cuerda?


7. Dos ciclistas recorren una pista circular en la posición mostrada en la figura figura 

3.18. ¿Cuál de ellos tendrá la mayor velocidad angular? ¿Cuál tendrá la mayor 

aceleración centrípeta? Justifica tu respuesta. 

8. Una mosca está parada en un disco que gira junto con ella (figura 3.19). Los vectores 

V 1 y V 2 representan dos magnitudes de este tipo de movimiento. Describe cada 

uno de ellos y justifica tu respuesta. 

V 1 

V 2 

Fuerza centrípeta (Fc) 


9. Una persona gira en movimiento circular una piedra atada a una cuerda, como 

se muestra en la ella figura 3.20. Si la cuerda llegara a reventarse. ¿Qué fuerza hará 

que la piedra salga en línea recta: la fuerza centrípeta, la fuerza centrífuga o ninguna 

de ellas? Justifica tu respuesta. 

B 

10. Dos corredores, A y B, recorren una pista circular en la posición que se muestra 

en la figura 3.21. El corredor A lleva una velocidad angular de 0.03 rad/s y el corredor 

B, una velocidad angular de 0.02 rad/s. ¿Cuál de ellos tiene un mayor periodo? 

Según su posición relativa respecto al centro de la pista, ¿cuál llevaría la mayor 

velocidad tangencial? Justifica tus respuestas. 

A


Preguntas de opción múltiple 

1. En el movimiento circular uniforme… 

a) los vectores posición, velocidad y aceleración cambian con el tiempo. 

b) el vector velocidad es constante y la posición es variable. 

c) el vector velocidad y la aceleración son constantes y la posición es variable. 

d) los vectores posición, velocidad y aceleración son constantes. 

2. El tiempo que demora un objeto en completar una vuelta en un movimiento circular se llama… 

a) periodo. 

b) frecuencia. 

c) frecuencia angular. 

d) velocidad lineal. 

3. Para un movimiento circular uniforme, el objeto debe experimentar una aceleración dirigida. ¿Cuál es? 

a) Radial hacia adentro 


b) Radial hacia afuera 

c) Tangencial a la trayectoria 

d) Perpendicular al radio de la curva 

4. El peralte de las carreteras ayuda a disminuir… 

a) la velocidad de los autos. 

b) el esfuerzo de las llantas. 

c) la aceleración. 

d) el peso del auto. 

5. Un juego mecánico de la feria consta de una plataforma giratoria de 8 m de diámetro y gira con un 

periodo de 2 s. La velocidad de una persona que se encuentra a 3 m del centro es… 

a) 1.5 m/s 

b) 9.42 m/s 

c) 4.0 m/s 

d) 37.7 m/s


6. Respecto a la pregunta anterior: 

a) todas las personas a bordo tienen la misma velocidad angular, aunque se encuentren a diferentes 

distancias del centro. 

b) entre más cerca del centro esté la persona, menos demora en dar una vuelta. 

c) entre más cerca esté del centro, mayor velocidad tendrá. 

d) entre más lejos esté del centro, más demorará en dar una vuelta. 

7. Si la velocidad de un auto es 20 m/s, la frecuencia de sus ruedas de 50 cm es… 

a) 10 Hz 

b) 6.34 Hz 

c) 0.002 Hz 

d) 0.4 Hz 

8. Imagina que haces girar tu brazo extendido. ¿Qué parte tendrá mayor velocidad angular: el codo o la 

mano? 

a) El codo 

b) La mano 


c) Las dos por igual 

d) Ninguna de las anteriores 

9. ¿Cómo dibujarías el vector velocidad en un movimiento circular uniforme? 

a) Apuntando hacia el centro de la curvatura 

b) Hacia afuera 

c) El vector forma un ángulo de 90° con el radio de giro en el punto de la trayectoria 

d) No se puede dibujar 

10. ¿Por qué existe aceleración en un movimiento circular uniforme? 

a) Porque cambia la dirección y el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo. 

b) Porque cambia la dirección del vector velocidad, aunque no cambie el sentido ni el módulo. 

c) Porque cambia el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo ni la dirección. 

d) Ninguna es cierta.


Problemas de movimiento circular 

1. Un cuerpo en rotación tiene una frecuencia de 50 rev/min. 

a) ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s? 

b) ¿Cuál es su desplazamiento angular en radianes al transcurrir 2.5 s? 

2. Una rueda de alfarero gira con una frecuencia de 0.35 rev/s. Determina su velocidad angular en radianes 

por segundo. 

3. Una bicicleta con ruedas de 66 cm de diámetro viaja a una velocidad de 16 m/s. ¿Cuál es la velocidad 

angular de las ruedas de esta bicicleta? 

4. Las hélices de un helicóptero giran a 120 rpm, 

a) ¿cuál es su velocidad angular en radianes por segundo? 

b) Si el diámetro de la hélice es de 5 m, ¿cuál es la velocidad tangencial en el extremo de la misma? 

5. ¿Cuál es la velocidad tangencial de un disco LP en su perímetro? El diámetro del disco es de 12 pulgadas 

y su frecuencia es de 33.3 rpm. 


6. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 18 vueltas en 4 s. Determina… 

a) la velocidad angular. 

b) el desplazamiento angular en 1.5 s. 

c) el tiempo necesario para girar un ángulo de 900°. 

7. Marte, con una masa de 6.42 × 10 21 kg, tiene un radio promedio de 3 370 km y tarda 1.0257 días terrestres 

en girar sobre su eje. Determina… 

a) el periodo de rotación. 

b) la frecuencia de rotación. 

c) la velocidad angular. 

d) su velocidad tangencial en la superficie en m/s y km/h. 

e) la aceleración centrípeta. 

f) la fuerza centrípeta.


8. La Luna, con una masa de 7.36 × 10 22 kg, órbita alrededor de nuestro planeta a una distancia promedio 

de 3.84 × 10 8 m y tarda 27.32 días terrestres en orbitar alrededor de la Tierra. Determina… 

a) el periodo de traslación. 

b) la frecuencia de traslación. 

c) la velocidad angular alrededor de la Tierra. 

d) la velocidad tangencial alrededor de la Tierra en m/s y km/h. 

e) la aceleración centrípeta. 

f) la fuerza centrípeta. 

9. Un volante de 30 cm de radio posee una velocidad tangencial de 17.5 m/s. Encuentra… 

a) ¿cuál es su velocidad angular? 

b) ¿cuál es su frecuencia en rpm? 

10. Un automóvil de 750 kg toma una curva de 45 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcula la fuerza 

centrípeta. 


11. La fuerza centrípeta de un automóvil es de 20000 N al tomar una curva de 30 m de radio con una velocidad 

de 80 km/h. ¿Cuál es la masa del automóvil? 

12. Un cuerpo de 450 g se encuentra rotando en un plano horizontal a la velocidad de 6 m/s. Si el radio de 

giro es de 60 cm, calcula… 

a) el periodo. 

b) la aceleración centrípeta. 

c) la fuerza centrípeta.

ETAPA 

4 

DINÁMICA: 

APLICACIONES 

DE LAS LEYES DE NEWTON 



Leyes de Newton 

• Conceptos de fuerza, inercia, masa, peso, 

aceleración, fuerza normal y fuerza de fricción 

• Sumatorias de fuerzas en los ejes del sistema de 

coordenadas 

• Diagrama de cuerpo libre 

CONTENIDO 


• Aplica las leyes de Newton para la explicación 

científica de diversas situaciones hipotéticas o 


reales. 

• Utiliza el diagrama de cuerpo libre (cuando lo 

requiera) para el análisis de las fuerzas. 

• Encuentra la magnitud y dirección de la fuerza 

resultante realizando los cálculos matemáticos 

correspondientes. 

• Concluye con una interpretación del 

resultado en cada uno de los diversos tipos de 

situaciones, como es en el plano horizontal y 

plano inclinado.


Introducción 

En esta última etapa del curso, nos vamos a centrar en el estudio de la Dinámica, 

que, como ya se definió anteriormente, trata del estudio de las causas del 

movimiento y sus cambios. En esta parte es en donde vamos a aplicar con mayor 

énfasis las leyes de Newton que hemos estado abordando desde el curso de La 

Ciencia del Movimiento. Todos los conceptos y toda la infraestructura teórica que 

has adquirido, se tendrá que poner en práctica para afrontar esta última parte 

del curso, ya que es importante que tengas en mente los significados de masa, 

aceleración, inercia, peso, fuerza, equilibrio, no equilibrio, diagrama de cuerpo 

libre, movimiento uniforme, etcétera. 

4.1. Aplicaciones de las leyes de Newton 

Objetivos: 

• Comprender las leyes de Newton para su aplicación en situaciones problemáticas 

relacionadas con los conceptos del movimiento, empleando suma de vectores. 


• Comprender cómo se manejan los vectores en la resolución de los sistemas de 

fuerzas. 

• Elaborar los diagramas de cuerpo libre necesarios para la resolución de problemas. 

4.1.1. Movimiento sobre un plano sin fricción 

y 

x 

a) 

b) 

F N 

w 

F 

En la parte final de la Etapa 1, vimos cómo se relacionan 

las leyes de Newton, en especial la segunda 

ley con la cinemática. Asimismo, analizamos casos 

de movimiento en donde se consideraba solamente 

una fuerza actuando sobre un cuerpo; sin embargo, 

es común que sobre un cuerpo actúen varias fuerzas 

simultáneamente, las cuales es necesario tener 

en cuenta para realizar un análisis más acertado y 

más cercano a la realidad. Para solucionar este tipo 

de problemas, siempre es conveniente tener ciertas 

consideraciones. También, es útil elaborar un diagrama 

de cuerpo libre, que consiste en la representación 

gráfica, en un sistema de coordenadas, de todas las 

fuerzas que actúan sobre el objeto (figura 4.1). Este 

diagrama es fundamental para realizar el análisis de 

fuerzas y determinar si el cuerpo que analizamos está

Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 161 

en equilibrio; asimismo, nos permite conectar, de una manera sistemática y estructurada, 

nuestra percepción de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo con las expresiones 

algebraicas y/o vectoriales utilizadas para los cálculos de las mismas (no olvides 

que las fuerzas tienen carácter vectorial y que requieren de un tratamiento algebraico 

especial). 

Enseguida describiremos un procedimiento general para el análisis vectorial de las 

fuerzas y la resolución de problemas. 

1. Identificar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y determinar si el movimiento 

es sobre el plano horizontal (eje x) o sobre el plano vertical (eje y). 

2. Dibujar el diagrama del cuerpo libre con las fuerzas identificadas en el paso 

anterior. 

3. Si existen fuerzas en alguno de los cuadrantes, se descomponen en sus componentes 

rectangulares (F x y F y ). 

4. Una vez elaborado el DCL (diagrama del cuerpo libre), se establecen las sumatorias 

de fuerzas en cada uno de los ejes, es decir: 

∑F x = F 1x + F 2x +… + F nx 

∑F y = F 1y + F 2y +… + F ny 

5. Podemos encontrar TD&IS la fuerza Training resultante Distribution de un conjunto and de Integrated fuerzas aplicadas Services a un 

objeto mediante dos fórmulas: 

• Utilizando la segunda ley de Newton: 

• Utilizando el método de las componentes: 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2 

Ambas fórmulas se refieren a la misma fuerza resultante, por lo cual estas expresiones 

se pueden igualar: 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2 = ma 

6. Se sustituyen las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y del paso 4 en la expresión 

anterior, y se resuelve para la incógnita que se desea calcular. En este 

punto, debemos tener claro en cuál de los ejes se verifica el movimiento del 

cuerpo, ya que este método permite que una de las dos sumatorias de fuerzas 

se elimine de la fórmula, puesto que, en ese eje, el sistema está en equilibro, 

y dicha sumatoria es igual a cero. Veamos la aplicación de este procedimiento 

con los siguientes ejemplos.


EJEMPLO 4.1 

Una fuerza de 60 N, que forma un ángulo de 45° con la horizontal, se aplica sobre un cuerpo cuya masa es 

de 9 kg, el cual está colocado sobre una superficie horizontal. Despreciando la fuerza de fricción, calcula 

la aceleración producida y la magnitud de la fuerza normal (figura 4.2). 

F 

45º 

Antes de realizar cualquier cálculo o escribir alguna fórmula para resolver el problema, debemos pensar 

en la física de esta situación: 

¿En cuál de los dos ejes se mueve el cuerpo? En este caso, el cuerpo se mueve sobre el eje x, por lo tanto, 

en el eje y el sistema está en equilibrio: 

TD&IS Training Distribution (∑Fy = 0) and Integrated Services 

¿El cuerpo se mueve con velocidad constante o está acelerado? El ejemplo no especifica que el objeto se 

mueve a velocidad constante, por lo que hay que calcular la aceleración. 

Teniendo claro esto, ahora sí procedemos a resolver el problema. 

Solución 


Figura 4.2 

a) la aceleración producida (a). 

b) la magnitud de la fuerza normal (F N ). 

¿Cómo lo vamos a hacer? Primeramente, identificamos los datos que tenemos y las incógnitas que vamos 

a calcular: 

Datos: 

F = 60 N (fuerza aplicada) 

θ = 45 ˚(ángulo que existe entre el vector Fuerza y el vector Desplazamiento) 

m = 9 kg (masa)


Incógnitas: 

a = ? 

F N = ? 


1. A partir de la figura 4.2, elaboramos el diagrama de cuerpo libre del sistema, que quedó como se muestra 

en la figura 4.3. 

F N 

F 

y 

F N 

45º 

Fy 

0 

θ 

Fx 

x 

w 

a) 

w 

b) 

Figura 4.3 

2. Partiendo del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 4.3b, calculemos las componentes x y y 


de la fuerza aplicada, utilizando las fórmulas Fx = F cosθ y Fy = F senθ, tenemos: 

F x = F cosθ = 60 N cos 45° = 42.42 N 

F y = F senθ = 60 N sen 45° = 42.42 N 

3. Teniendo como positiva la dirección a favor del movimiento, establecemos las sumatorias de fuerzas en 

los ejes x y y como sigue: 

∑F x = F x 

∑F y = F N + F y - w 

Dado que en el eje y de este problema no hay movimiento, entonces, en ese eje el sistema está en equilibrio, 

por lo tanto, la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero. 

4. La fuerza resultante se obtiene con la siguiente expresión: 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2 

y como la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero, entonces esta expresión se simplifica: 

F R 

= (ΣF x 

) 2


Pero, además, la fuerza resultante, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es… 

Igualamos las expresiones, dado que es la misma fuerza resultante: 

(ΣF x 

) 2 = ma 

Esta última expresión se simplifica eliminando el radical y el exponente cuadrático, ya que se anulan 

entre sí, y nos queda lo siguiente: 

ΣF x 

= ma 

Dado que la sumatoria de fuerzas en x es igual a la componente x de la fuerza aplicada, tenemos: 

F x 

= ma 

Se despeja la aceleración de esta última expresión y, como la única componente de la sumatoria en el eje 

x es Fx, queda: 

a = F x 

m 

Se sustituyen los datos para calcular la aceleración 

42.42 N 


a = 

Distribution 9 kg 

= 47 

and 

m/s 2 

Integrated Services 

5. Vamos a calcular ahora la fuerza normal, tomando como base la sumatoria de fuerzas en el eje y: 

ΣF y 

= F N 

+ F y 

- w 

Como mencionamos, en el eje y el sistema está en equilibrio, por lo tanto: 

En esta expresión se despeja F N : 

y procedemos a calcular F N : 


ΣF y 

= 0 

F N 

+ F y 

- w = 0 

F N 

= w - F y 

F N 

= (9 kg)(9.8 m/s 2 ) -42.42 N 

F N = 45.78 N 

La aceleración producida es de 4.7m/s 2 debido a la aplicación de la fuerza de 60 N, produciendo una fuerza 

normal al plano de 45.78 N.


EJEMPLO 4.2 

En la figura 4.4, un objeto con una masa de 12 kg desciende deslizándose por un plano inclinado 30° con 

la horizontal. ¿Cuál es la aceleración del objeto y la fuerza normal al plano si no existe fricción alguna? 

Solución 

¿Cómo lo vamos a hacer? Una vez más, identificamos los datos proporcionados y las incógnitas que se van 

a calcular. 

Datos: 

m =12 kg 

θ = 30° 


Incógnitas: 

a = ? 

F N = ? 


1. Partiendo de la figura 4.5, y considerando que se trata de un plano inclinado, se efectúa una rotación de ejes y 

elaboramos el diagrama de cuerpo libre del sistema, quedando como se muestra en la figura 4.5b. 

F N 

y 

y 

F N 

w 

x 

θ 

w y 

0 

θ 

w 

w x 

x 

a) b)


Podemos encontrar las componentes del peso con las siguientes fórmulas para el plano inclinado 

(considerando θ como el ángulo del plano). 

w x = w senθ 

w y = w cosθ 

w = mg = 12 kg (9.8 m/s 2 ) = 117.6 N 

w x = w senθ = 117.6 N sen(30°) = 58.8 N 

w y = w cosθ = 117.6 N cos(30°) = 101.8 N 

2. Ahora, se establece las sumatoria de fuerzas en los ejes x y y: 

ΣF x 

= w x 

ΣF y 

= F N 

- w y 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2 

Debido a que la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero, entonces esta expresión se simplifica: 

TD&IS Training Distribution F R 

= (ΣFand x 

) 2 


Pero, además, la fuerza resultante, de acuerdo con la segunda ley de Newton es… 

F R 

= ma 

Igualamos las expresiones, dado que es la misma fuerza resultante: 

(ΣF x 

) 2 = ma 

Esta última expresión se simplifica eliminando el radical y el exponente cuadrático, ya que se anulan 

entre sí, y nos queda lo siguiente: 

ΣF x 

= ma 

Dado que la sumatoria de fuerzas en x es igual a la componente x del peso del cuerpo, tenemos: 

Despejando la aceleración y sustituyendo: 

Obtenemos una aceleración de…


3. La suma de las fuerzas en el eje y es igual a cero, entonces: 

ΣF y 

= 0 

A partir del diagrama de cuerpo libre, tenemos que las fuerzas que están sobre el eje y son la 

fuerza normal F N y la componente vertical w y . Al realizar la suma de estas fuerzas, nos da la 

ecuación siguiente: 

Despejando la fuerza normal: 

Por lo tanto, 

F N 

= 101.8 N 

4. Los resultados del problema son… 


La aceleración producida cuando el cuerpo se desliza en el plano inclinado es de 4.9 m/s 2 y la 

fuerza normal al plano es de 101.8 N. 

EJEMPLO 4.3 


Se desea subir un cuerpo de 8 kg a través de un plano inclinado de 30° (figura 4.6). 

a) ¿Cuál es la fuerza necesaria para subir el cuerpo con velocidad constante? 

b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal? 

F 

Solución 

De la misma forma que los ejemplos anteriores, identificamos los datos que nos dan y las incógnitas que 

se van a calcular. 

Datos: 

m = 8 kg 

θ = 30° 

a = 0 (debido a que la velocidad es constante)


Incógnitas: 

F = ? 

F N = ? 


1. De igual forma que en el ejemplo anterior, observamos que se trata de un cuerpo sobre un plano inclinado y 

procedemos a elaborar el diagrama de cuerpo libre del sistema, tal como se muestra en la figura 4.7. 

y 

F N 

F N 

F 

w x 

F 

0 

x 

θ 

θ 

θ 

w 

w 

w y 

a) b) 

2. Encontremos las componentes del peso con las siguientes fórmulas: 


3. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y: 

ΣF x 

= F - w x 

ΣF y 

= F N 

- w y 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2 

En este ejemplo, es muy importante observar que el movimiento del cuerpo tiene velocidad constante, por 

lo tanto, el cuerpo se encuentra en equilibrio: 

Entonces, la sumatoria de fuerzas en x es…


Se despeja la fuerza F y queda: 

4. La suma de las fuerzas en el eje y también es igual a cero, entonces: 

ΣF y 

= 0 

F N 

- w y 

= 0 

Despejando la fuerza normal: 

F N 

= w y 

Por lo tanto, 

F N 

= 67.9 N 

El resultado del problema es … 

F = 39.2 N y F N 

= 67.9 N 



La fuerza necesaria para subir el cuerpo con velocidad constante es de 39.2 N y la fuerza normal es de 67.9 N.


EJEMPLO 4.4 

Un elevador y su carga pesan 5200 N, como se muestra en la figura 4.8. Calcula la tensión en el cable si el 

elevador se mueve hacia arriba con una aceleración de 1.5 m/s 2 y hacia abajo con una aceleración de 1.5 m/s 2 . 

Solución 

T 

Ahora nos encontramos ante un caso de movimiento sobre el plano vertical (eje y), 

sin embargo, el procedimiento es similar a los anteriores. Identificamos los datos y 

las incógnitas que se van a calcular: 

Motor 

Datos: 

w= 5200 N 

a = 1.5 m/s 2 

Incógnita: 

a) T = ? 


Figura 4.9 

w 

1. Elaboramos el diagrama del cuerpo libre para esta situación (figura 4.9) (observa que en este ejemplo no 

existe movimiento horizontal ni ninguna fuerza que actúe sobre el eje x): 

y 


2. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y: 

ΣF x 

= 0 

ΣF y 

= T - w 

Del teorema de Pitágoras obtenemos F R : 

T 

w 

a 

x 

Como la sumatoria de fuerzas en x es igual a cero, entonces, se simplifica la expresión: 

F R 

= (ΣF y 

) 2 

Además, la fuerza resultante, de acuerdo con la segunda ley de Newton es… 

F R 

= ma 

Igualamos las expresiones, dado que es la misma fuerza resultante:


Esta última expresión se simplifica eliminando el radical y el exponente cuadrático, ya que se anulan entre 

sí; tras lo que nos queda lo siguiente: 

Sustituimos la sumatoria de fuerzas en y y nos queda: 

T - w = ma 

Al despejar T de la expresión anterior, nos queda: 

T = ma + w 

El peso es un dato conocido, pero, además, necesitamos la masa del elevador; entonces, procedemos a calcular 

la masa a partir de la fórmula del peso de un cuerpo. 

Despejemos m de la fórmula: 

Sustituimos valores TD&IS y realizamos Training operaciones: Distribution and Integrated Services 

Ahora, calculemos la tensión del cable sustituyendo los datos al subir el elevador: 

T = (530.6 N) (1.5 m/s 2 ) + 5 200 N 

T = 5 995.9 N 

Ahora, cuando el elevador se mueve hacia abajo, la aceleración se considera negativa (a = -1.5 m/s 2 ), entonces: 

T = (530.6 N) (-1.5 m/s 2 ) + 5 200 N 

T= 4 404.1 N 


La tensión que soporta el cable al subir el elevador es de T = 5995.9 N, y la tensión que soporta el cable al 

bajar es de T= 4 404.1 N.


■ Actividad 1. Aplicaciones de las leyes de Newton 

Resuelve los siguientes problemas utilizando las leyes de Newton. 

Problema 

1. Una fuerza de 80 N que forma un ángulo de 50° con la 

horizontal se aplica sobre un cuerpo de 15 kg de masa colocado 

sobre una superficie horizontal. Despreciando la fuerza de 

fricción, calcula la aceleración producida y la magnitud de la 

fuerza normal. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

2. Una fuerza de 150 N paralela con la horizontal se aplica 

sobre un cuerpo de 30 kg de masa colocado sobre una superficie 

horizontal. Despreciando la fuerza de fricción, calcula la 

aceleración producida y la magnitud de la fuerza normal. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

3. Un objeto con una masa de 20 kg desciende deslizándose por 

un plano inclinado 40° con la horizontal. ¿Cuál es la aceleración 

del objeto y la fuerza normal al plano si no existe fricción 

alguna? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

4. Un objeto con una masa de 30 kg desciende deslizándose por 

un plano inclinado 50° con la horizontal. ¿Cuál es la aceleración 

del objeto y la fuerza normal al plano si no existe fricción 

alguna? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

5. Mediante la aplicación de una fuerza paralela al plano, se sube 

un cuerpo de 15 kg de masa sobre un plano inclinado 50° con 

la horizontal. Si el movimiento tiene velocidad constante y se 

desprecia la fuerza de fricción, calcula la fuerza aplicada sobre el 

cuerpo y la fuerza normal al plano. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

6. Mediante la aplicación de una fuerza paralela al plano, se sube 

un cuerpo de 12 kg de masa sobre un plano inclinado a 25° con 

la horizontal. Si el objeto se acelera a 1.5 m/s 2 y se desprecia la 

fuerza de fricción, calcula la fuerza aplicada sobre el cuerpo y la 

fuerza normal al plano. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

7. Un elevador y su carga pesan 7000 N. Calcula la tensión en el 

cable si el elevador se mueve hacia arriba con una aceleración de 

2 m/s 2 . 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

8. Del problema anterior, calcula la tensión si el elevador se 

mueve hacia abajo con una aceleración de 2 m/s 2 . 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 



4.1.2. Fuerza de fricción 

En este apartado vamos a introducir formalmente el concepto 

y la aplicación de lo que conocemos como fuerza 

de fricción o, simplemente, fricción. Este término se utiliza 

comúnmente pensando que es otro tipo de fuerza de 

la naturaleza, sin embargo, la fuerza de fricción se debe 

a una resistencia natural constante al deslizamiento entre 

materiales en contacto o dentro de un medio. Esta fuerza 

se presenta en los diferentes medios: sólido, líquido y 

gaseoso. Por ejemplo, los automóviles se construyen teniendo 

en cuenta el efecto de la fricción del aire, de ahí 

sus formas aerodinámicas; un buzo al nadar se impulsa 

utilizando pies y brazos por la fricción de estos con el 

agua; al caminar nos impulsamos hacia adelante gracias 

a la fuerza de fricción entre el piso y nuestros pies (figura 

4.10). Podemos afirmar que la fricción es una fuerza 

de origen electromagnético, pues interactúan muy de 

cerca los átomos o moléculas del cuerpo que se desliza y 

los átomos de la superficie en contacto con el cuerpo. 

¿Puedes imaginar lo que pasaría si no existieran las fuerzas 

de fricción? Difícilmente caminaríamos, los automóviles 

patinarían y los aviones probablemente no existirían, ya 

que estos basan su movimiento, 

TD&IS 

en 

Training 

buena medida, 

Distribution 

en el efecto 

and 

de 

Integrated 

la fricción del 

Services 

aire. Un efecto de la fuerza 

de fricción es el desgaste que sufren las partes internas que están en constante movimiento en un motor de 

automóvil. Para disminuir el desgaste de estas partes del motor, se utiliza el aceite lubricante. Otra forma de 

evitar este desgaste es mediante el pulido de las superficies de las piezas en contacto. Lo expuesto nos da una 

idea de la importancia de tener en cuenta los efectos de la fuerza de fricción, la cual estudiaremos considerando 

solamente la fuerza de fricción por deslizamiento. 

La fuerza de fricción (f) se opone al movimiento de deslizamiento entre las superficies en contacto y sigue 

una dirección paralela a ellas. 

El origen físico de la fuerza de fricción es la irregularidad en las superficies en contacto. Las asperezas de 

la superficie de un material hacen contacto con las asperezas de la superficie del otro, de tal forma que, para 

efectuar un movimiento entre las superficies en contacto, habrá que aplicar una fuerza que supere esta fuerza 

de fricción que se genera al deslizar las superficies. 

Como ya se dijo, si tenemos un cuerpo (en reposo o en movimiento) que se encuentra colocado sobre una 

superficie plana, este ejerce sobre dicha superficie una cierta fuerza de compresión, que es la fuerza aplicada 

por el cuerpo sobre la superficie, la cual actúa perpendicularmente a las superficies en contacto, manteniéndolas 

unidas. Por otra parte, la fuerza normal (F N ) es la que ejerce la superficie sobre el cuerpo que se desliza 

o está en reposo sobre ella. Como ya vimos, esta fuerza es perpendicular a la superficie. Tanto la compresión 

que ejerce un cuerpo sobre una superficie en la cual se encuentra colocado, como la normal, son las fuerzas 

de acción y reacción que actúan en la interacción entre la superficie y el cuerpo. La fuerza que ejerce el objeto 

sobre el plano (la compresión) es la fuerza que presiona para que estas superficies estén en contacto y es igual 

en magnitud, pero en dirección opuesta a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el objeto. 

F 

Fuerza ejercida 

por el pie sobre 

el suelo 

f 

Fuerza de 

fricción ejercida 

por el suelo 

sobre el pie 

Figura 4.10 Fricción al caminar. Se muestra la fuerza de fricción f, en la 

dirección del movimiento de caminata. A primera vista podría parecer 

la dirección equivocada, pero no lo es. La fuerza de fricción impide que 

el pie se deslice hacia atrás mientras el otro pie se lleva hacia adelante. 

Si caminamos sobre la alfombra mullida, F se hace evidente porque sus 

hebras se doblan hacia atrás.


¿Pero qué tiene que ver esto con la fuerza de fricción? Dado que la Física es una 

ciencia eminentemente experimental, los físicos, con base en pruebas y análisis experimentales, 

han llegado a la conclusión de que, si aumenta la compresión que 

ejerce el cuerpo sobre la superficie donde se encuentra, la fuerza de fricción también 

aumenta, y viceversa: si disminuye la compresión del objeto sobre la superficie, la 

fuerza de fricción también disminuye. De lo anterior se tiene que… 

f α (a la compresión) 

Es decir, la fuerza de fricción es proporcional a la fuerza de compresión y, como vimos, 

esta compresión es numéricamente igual a la fuerza normal. Ahora, para que la 

expresión anterior sea de utilidad práctica y se convierta en una igualdad, hay que introducir 

una constante de proporcionalidad, con lo cual resulta la siguiente fórmula: 

f= μ (F N ) 

En este caso, μ es la constante de proporcionalidad que llamaremos coeficiente de 

fricción. Este coeficiente es característico de los materiales en contacto, carece de 

unidades, por lo que es adimensional. 

La fuerza de fricción no solo aparece cuando hay movimiento, sino que también 

existe cuando un cuerpo se encuentra en reposo y tiende a deslizarse sobre otro. Esta 

fuerza depende de la naturaleza de las superficies en contacto (rugosidad y tipo de 

material) y de la compresión 


que las mantiene 

Distribution 

unidas. 


Coeficiente de fricción estática (μ s ) 

Si a un objeto se le aplica una fuerza F y este no se mueve, se debe a la fuerza de 

fricción estática (f s ) que se opone al movimiento (figura 4.11). Si se analiza mediante 

una sumatoria de fuerzas en el eje x, tenemos la siguiente expresión: 

ΣF x 

= F - f s 

= 0 

F = f s 

Si se aumenta la fuerza aplicada y el cuerpo no se mueve, es porque también aumenta 

la fuerza de fricción estática. El objeto se moverá cuando la fuerza aplicada iguale 

o supere ligeramente a la fuerza de fricción estática máxima. 

V = 0 

f s 

F


Esta fuerza máxima de fricción estática viene dada por… 

f s 

= μ s 

(F N 

) (1) 

En este caso, μ s se conoce como el coeficiente de fricción estática. Como ya se explicó, 

si al aumentar la fuerza aplicada el objeto no se mueve, es porque la fuerza de 

fricción estática se opone al movimiento. Al aumentar la fuerza aplicada, aumenta 

la fricción estática, lo que sucede hasta que se inicia el movimiento. Esto significa 

que la fricción estática es variable y toma diferentes valores; por su lado, el cuerpo 

permanece en reposo (desde cero) cuando no hay ninguna tendencia a mover el cuerpo, 

sin embargo, alcanza su valor máximo cuando empieza a moverse. En nuestro 

estudio, consideraremos la fuerza de fricción estática obtenida (fs) con la ecuación 

(1) como el máximo valor que puede tomar esta fuerza justo al momento que se da 

inicio al movimiento. 

Coeficiente de fricción cinética (μ k ) 

Cuando la fuerza (F) aplicada a un objeto es superior a la fuerza de fricción estática 

máxima (f s ), el objeto se mueve, pero la fuerza de fricción no desaparece, sino que 

ahora actúa en el movimiento y, entonces, la fuerza que se opone al movimiento se 

llama fricción cinética (f k ). De nuevo, si realizamos una sumatoria de fuerzas en x, 

será similar a la anterior si el cuerpo se desplaza con velocidad constante (figura 4.12). 

TD&IS Training Distribution 

ΣF 

and x 

= 

Integrated 

F - f k 

= 0 

Services 

F = f k 

V = constante 

f k 

F 

La fuerza de fricción cinética es proporcional a la compresión, la cual es igual en 

magnitud a la fuerza normal (F N ) ejercida por el plano sobre el objeto que se desliza 

sobre él, por lo que… 

En donde μ k es el coeficiente de fricción cinética y la fuerza de fricción cinética es, 

para fines prácticos, constante y toma un valor único, independientemente de la velocidad 

con que se mueva el objeto. 

(2)


Hemos encontrado estas dos expresiones muy útiles en el análisis de fuerzas, las cuales nos ayudan a resolver 

ejercicios y problemas de aplicación de las leyes de Newton y que se acercan a la obtención de resultados más 

acordes con la realidad, pues ahora estamos incluyendo esta fuerza de rozamiento, que en los casos anteriores 

no habíamos considerado. Recuerda que el método de análisis de la Física inicia con las situaciones más 

simples para después ir agregando aspectos complementarios y de mayor complejidad, pero, si seguimos un 

orden sistemático en nuestro análisis, resulta una forma muy práctica y sencilla de llegar a la comprensión de 

este tipo de ejercicios. 

Vamos ahora a analizar estas dos fuerzas: se ha encontrado, que, por regla general, si deseamos empujar un 

cuerpo para desplazarlo por el piso, se requiere aplicar una mayor fuerza para iniciar el movimiento de este 

cuerpo que para mantenerlo en movimiento. En otras palabras, la fuerza necesaria para que inicie el movimiento 

debe ser igual a la fuerza de fricción estática máxima, y esta fuerza es menor que la que se requiere 

para seguir el movimiento del cuerpo una vez que ya se inició, siendo esta última igual a la fricción cinética. 

Entonces, tenemos… 

Dado que las fuerzas de fricción (tanto estática como cinética) dependen de los coeficientes de fricción y de la 

fuerza normal, y esta última es la misma, se concluye que lo que hace la diferencia deben ser los coeficientes 

de fricción, por lo tanto… 

Estos coeficientes de 

TD&IS 

fricción 

Training 

son característicos 

Distribution 

de los 

and 

tipos 

Integrated 

de materiales 

Services 

que se ponen en contacto, pues cada 

uno presenta diferentes fricciones con otros materiales. En la tabla 4.1, se reportan los valores de coeficientes 

de fricción de algunos casos comunes de materiales en contacto. 

Tabla 4.1. Coeficientes de fricción 

Materiales μ s μ k 

Acero sobre acero 0.76 0.42 

Madera sobre madera 0.58 0.40 

Madera sobre acero 0.50 0.30 

Hule sobre concreto (seco) 0.90 0.70 

Hule sobre concreto (húmedo) 0.70 0.56 

Vidrio sobre vidrio 0.89 0.44 

Hielo sobre hielo 0.1 0.03 

Estos valores son aproximados y dependen del pulido de las superficies, de la lubricación de las mismas y, en 

general, de las condiciones climatológicas del medio.


f f máx 

= F - f f 

F 

F 

F 

Movimiento 

a 

F N 

F N 

f s 

F 

f k 

F 

f f máx 

f 

f s 

< μ s 

( f N 

) 

f s máx 

= μ s 

( f N 

) 

f k 

= μ k 

( f N 

) 

F = f s 

Fricción cinética 

a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) f k 

= μ k 

F N 

Fricción estática 

Fuerza aplicada - fuerza friccional estática 

F = f s 

< f s máx 

= μ s 

F N 

F 

f smáx 

0 

F 

mg 

mg 

a) b) 

f s 

= F N 

(μs) 

Fricción estática 

f k 

= F N 

(μs) 

F 

Fricción cinética 

Figura 4.13 Fuerza de fricción contra fuerza aplicada. 

a) En la región estática de la gráfica, a medida que aumenta la fuerza aplicada F, tambien 

aumenta f, es decir, F = f s < μ s F N . 

b) Cuando la fuerza aplicada excede f s máx = μ s F N el pesado objeto se pone en moviendo. 

c) Una vez que el objeto está en movimiento, la fuerza de fricción disminuye, pues la fricción 

cinética es menor que la fricción estática f s < f s máx . Por ejemplo si se mantiene la fuerza 

aplicada, habrá una fuerza neta y el objeto se moverá con velocidad constante, la fuerza 

aplicada deberá reducirse hasta igualar la fuerza de fricción cinética f k =μ k F N . 


A continuación, resolvemos algunos ejemplos del movimiento de los cuerpos, en donde se considera el efecto 

de la fuerza de fricción. 

Movimiento sobre un plano con fricción 

EJEMPLO 4.5 

Si se aplica una fuerza de 200 N sobre una caja de madera de 50 kg para deslizarla a velocidad constante 

sobre un piso de madera, calcula el coeficiente de fricción cinética (figura 4.15). 

Solución 

¿Qué queremos hacer? Calcular el coeficiente de fricción cinética de la caja de madera.


¿Cómo lo haremos? Primero elaboramos el diagrama de cuerpo libre para luego analizar la situación en la 

que nos encontramos y, partiendo de ahí, resolver el problema identificando los siguientes datos. 

Datos: 

F = 200 N 

m = 50 kg 

a = 0 

Incógnita: 

μ k = ? 


1. Realizamos el diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la figura 4.16. 

TD&IS Training Distribution and a) Integrated Services 

y 

F N 

b) 

f k 

F 

x 

w 

Figura 4.16 

2. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y, considerando que la caja se mueve con velocidad 

constante (a = 0): 

Por lo tanto: 

Despejando F, tenemos: 

∑F x = F - f k = 0 

F - f k = 0 

F = f k 

f k = 200 N


Por otra parte, en el eje y, la suma de las fuerzas también es igual a cero, puesto que la caja no se mueve 

en dirección vertical, entonces: 

Despejando F N de la sumatoria anterior, obtenemos: 

Como: 

∑F y = F N - w = 0 

F N = w 

Entonces: 

Por lo tanto: 

w = (50 kg)(9.8 m/s 2 ) 

w = 490 N 

F N = 490 N 

3. Ahora, aplicamos la fórmula de fricción cinética y despejamos el coeficiente de fricción, que es lo que 

estamos buscando: 

Sustituyendo datos: 

TD&IS Training Distribution f k = μ k F N and Integrated Services 

µ k 

= f k 

F N 

4. El resultado del problema es… 

µ k 

= 200 N 

490 N 

μ k = 0.408 


El coeficiente de fricción cinético entre las superficies es de 0.408. Recuerda que los coeficientes de fricción 

no tienen unidades de medición, ya que estas se cancelan al sustituir los datos para realizar el cálculo.


EJEMPLO 4.6 

Una fuerza horizontal de 400 N tira de un bloque de 20 kg colocado sobre el piso. Si el coeficiente de fricción 

cinética es μ k 0.45, ¿cuál es la aceleración del bloque? (figura 4.17). 

Solución 

¿Qué queremos hacer? Encontrar la aceleración del bloque. 

¿Cómo lo haremos? Necesitamos analizar el sistema partiendo del diagrama de cuerpo libre, de donde 

identificamos los datos que el problema nos proporciona. 

Datos: 

F = 200 N 

m = 20 kg 

μ k = 0.45 

Incógnita: 

a = ? 


Realicemos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.17. 


y 

N 

N 

F f 

f k 

k 

F 

x 

w 

a) 

w 

b) 

Figura 4.17 

Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y: 

∑F x = F - f k 

∑F y = F N - w 

La fuerza resultante de acuerdo con el método de las componentes es: 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2


Pero el bloque se mueve sobre el piso en dirección horizontal con un movimiento acelerado, y en el eje y 

no existe movimiento por lo que la sumatoria en el eje y es igual a cero, entonces: 

Simplificando la expresión anterior obtenemos: 

F R 

= (ΣF x 

) 2 

F R 

= ∑F x 

= F - f k 

Recordemos que la fuerza resultante también es igual al producto de la masa por la aceleración, de acuerdo 

con la 2 a ley de Newton: 

F R = ma 

Ambas expresiones se refieren a la misma fuerza resultante por lo que podemos igualarlas para luego despejar 

la aceleración que es la incógnita: 

F - f k = ma 

Despejando la aceleración queda: 

a = F - f k 

m 

Observemos que en esta última expresión aparece la fuerza de fricción, la cual tenemos que calcular como 

se muestra en el siguiente procedimiento: 

De la sumatoria de fuerzas TD&IS en y, se Training despeja la Distribution fuerza normal: and Integrated Services 

F N = w 

Como: w = mg, entonces: 

w = (20 kg)(9.8 m/s 2 ) = 196 N 

por lo tanto: 

F N = 196 N 

Con la fuerza normal ya conocida y el coeficiente de fricción cinética, calculamos la fuerza de fricción cinética: 

f k = μ k F N 

f k = (0.45)(196 N) 

f k = 88.2 N 

Y ahora si podemos calcular la aceleración que se nos pide: 

El resultado del problema es: 

a = 

200N - 88.2N 

20 kg 

a = 5.59 m s 2 


El bloque se mueve con una aceleración de 5.59 m/s 2 debido a la aplicación de la fuerza de 200 N.


EJEMPLO 4.7 

Una caja de 7 kg se desliza a velocidad constante a lo largo de una superficie horizontal al aplicársele una fuerza 

de 35 N con un ángulo de 45° respecto a la horizontal. Calcula el coeficiente de fricción cinética (figura 4.18). 

F 

Figura 4.18 

Solución 

¿Qué queremos hacer? Calcular el coeficiente de fricción cinética para esta situación. 

¿Cómo lo haremos? Para encontrar el coeficiente de fricción, necesitamos conocer el valor de la fuerza de 

fricción cinética y la fuerza normal. Estos valores se calculan considerando la figura 4.18, a partir de la cual 

trazamos el diagrama de cuerpo libre, identificando los datos que nos proporcionan. 

Datos: 

F = 35 N 


m = 7 kg 

θ = 45° 

a = 0 (la caja se mueve con velocidad constante) 

Incógnita: 

μ k = ? 


1. Elaboramos el diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la figura 4.19 

y 

F N 

F N 

Fy 

F 

f 

θ 

k 

f k 

Fx 

F 

x 

w 

w 

a) 

b) 

Figura 4.19


2. Calculamos las componentes x y y de la fuerza aplicada con las fórmulas: 

F x = F cosθ y F y = Fsenθ 

F x = 35 cos45̊ = 24.7 N 

F y = 35 sen45̊ = 24.7 N 

3. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y de acuerdo con las fuerzas identificadas en el DCL: 

∑F x = F x - f k 

∑F y = F N + F y - w 

Como la caja se mueve con velocidad constante sobre el eje x, esta se encuentra en equilibrio, por lo tanto, 

la fuerza resultante es igual a cero, lo cual significa que tanto la sumatoria de fuerzas en x, como la sumatoria 

de fuerzas en y, son iguales a cero, de esta deducción obtenemos las siguientes igualdades: 

Despejando f k de la ecuación anterior, obtenemos: 

La suma de las fuerzas en el eje y también es igual a cero, entonces: 

TD&IS Training Distribution F N + F y - w = and 0 Integrated Services 

Despejando F N de la ecuación, obtenemos: 

F N = w - F y 

Como: 

w = mg 

Entonces: 

Se sustituyen los valores de F y y w para calcular F N : 

w = 7 kg (9.8 m/s 2 ) = 68.6 N 

F N = 68.6 N - 24.7 N = 43.9 N 

Una vez conocidos los valores de f k y F N , recurrimos a la fórmula de la fuerza de fricción y despejamos 

el coeficiente f k : 

f k = μ k F N 

μ k 

= f k 

F N 

μ k 

= 24.7 N 

43.9 N 

μ k = 0.563


Sustituyendo datos: 

El resultado del problema es 

μ k = 0.56 


El coeficiente de fricción cinético entre las superficies es 

μ k = 0.56 

■ Actividad 2. Fuerza de fricción 

Resuelve los siguientes problemas de fricción utilizando la segunda ley de Newton y el diagrama de cuerpo libre. 

Problema 

1. Si se aplica una fuerza de 2350 N sobre una caja de madera de 

30 kg (figura 4.20) para deslizarla a velocidad constante sobre un 

piso de madera, calcula el coeficiente de fricción cinética. 

Procedimiento 

TD&IS Training F Distribution and Integrated Services 

Figura 4.20 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

2. Una fuerza horizontal de 200 N tira de un bloque de 250 N 

colocado sobre el piso (figura 4.21). Si el coeficiente de fricción 

cinética es μ k = 0.65, ¿cuál es la aceleración del bloque? 

Procedimiento 

F 

Figura 4.21 

Datos 

Fórmula(s) 


Problema 

3. Una fuerza horizontal de 280 N tira de un bloque de 450 N 

colocado sobre el piso (figura 4.22). Si el bloque se acelera a 

2 m/s 2 , calcula el coeficiente de fricción. 


Procedimiento 

F 

Datos 

Figura 4.22 

Fórmula(s) 



Problema 

Procedimiento 

4. Una caja de 15 kg se desliza a velocidad constante a lo largo 

de una superficie horizontal al aplicársele una fuerza de 80 N con 

un ángulo de 55° respecto a la horizontal (figura 4.23). Calcula el 

coeficiente de fricción cinética. 

F 

θ 

Datos 

Figura 4.23 

Fórmula(s) 



Problema 

5. Una caja de 9 kg se desliza con una aceleración de 1.5 m/s 2 a lo 

largo de una superficie horizontal al aplicársele una fuerza de 50 N 

con un ángulo de 35° respecto a la horizontal (figura 4.24). Calcula 

el coeficiente de fricción cinética. 

Procedimiento 

F 

θ 

Figura 4.24 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

6. Calcula la fuerza que se debe aplicar para subir un bloque de 

20 kg sobre un plano inclinado a 25° (figura 4.25), con velocidad 

constante, si el coeficiente de fricción cinética es μ k = 0.25. 

Procedimiento 

F 

Datos 

Figura 4.25 

Fórmula(s) 


Problema 


7. Calcula la fuerza que se debe aplicar para jalar hacia arriba un 

bloque de 10 kg de masa sobre un plano inclinado a 30° con la 

horizontal para que adquiera una aceleración de 1.5 m/s 2 (figura 

4.26) si el coeficiente de fricción cinética es μ k = 0.25. 

Procedimiento 

F 

Datos 

Figura 4.26 

Fórmula(s) 



4.2. Estática 

En la última parte de esta etapa estudiaremos la estática, la cual se encuentra comprendida 

dentro de la dinámica y se encarga de analizar el equilibrio de los cuerpos. 

El tipo de problema que consideraremos es que la fuerza resultante que actúa sobre un 

cuerpo es nula; es decir… 

F R 

= (ΣF x 

) 2 + (ΣF y 

) 2 = 0 

Esto se cumple si… 

ΣF x 

= 0 y ΣF y 

= 0 

Como sabemos, la fuerza resultante es la que produce el mismo efecto que un sistema 

de fuerzas actuando en conjunto. Cuando esta fuerza resultante es igual a cero, 

se pueden presentar cualquiera de los siguientes casos: 

a) El objeto se encuentra en reposo (equilibrio estático). 

b) Describe un movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio dinámico). 

Lo anterior se puede sintetizar en la llamada primera condición de equilibrio: 

Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si la resultante de todas las 

fuerzas que actúan TD&IS sobre él Training es igual a Distribution cero. and Integrated Services 

En la configuración de un sistema de fuerzas se dice que estas son coplanares si todas 

se encuentran en el mismo plano y no-coplanares si se encuentran en el espacio 

de tres dimensiones. 

Cuando dos o más fuerzas están actuando sobre un mismo punto, reciben el nombre 

de fuerzas concurrentes. En este punto, nos concretaremos al estudio del equilibrio 

estático de un cuerpo, considerando además que las fuerzas que actúan sobre él son 

coplanares y concurrentes. 

Si sobre un objeto actúan dos o más fuerzas, estas producen una fuerza resultante. Si 

queremos que este objeto quede en equilibrio, se aplica una fuerza de igual magnitud, 

en la misma dirección y en sentido contrario a la resultante. A esta fuerza se le 

llama fuerza equilibrante (figura 4.27). 

A 

R 

Fuerza 

Resultante 

E 

B 

Fuerza 

equilibrante 

Figura 4.27


Para resolver problemas de equilibrio estático, se sugiere utilizar el siguiente método: 

1. Identificar el punto en donde concurren todas las fuerzas. 

2. Realizar un diagrama de cuerpo libre de esas fuerzas. 

3. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, establecer las sumatorias de fuerzas 

en el eje x (ΣF x ) y en el eje y (ΣF y ) 

4. Aplicar la primera condición del equilibrio a las sumatorias de fuerzas ) y 

(ΣF y = 0) 

5. Resolver las ecuaciones obtenidas de las sumatorias para calcular las incógnitas, 

es decir, hallar las magnitudes de las fuerzas que actúan en el sistema analizado 

aplicando el método de ecuaciones simultáneas, también conocido como sistemas 

de ecuaciones lineales. 

Analicemos los siguientes ejemplos: 

EJEMPLO 4.8 

Un cuerpo de 12 kg suspendido mediante una cuerda T 1 es estirado 

hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda T 2 , y sujetado 

de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 60° con el muro 

(figura 4.28). Determina las TD&IS tensiones Training de las cuerdas Distribution T 1 y Tand 2 : Integrated Services 

T 1 

60º 

Solución 

T 2 

¿Qué queremos hacer? Calcular las tensiones uno y dos. 

¿Cómo lo haremos? Partimos de la figura 4.28 del problema para luego 

trazar el diagrama de cuerpo libre colocando los datos que el sistema 

nos proporciona. Observa que, en este caso, nos dan el ángulo 

que forma la cuerda con respecto a la pared (eje y), pero necesitamos 

el ángulo respecto al eje horizontal (eje x), que en este caso sería 30°. 

w 

Datos: 

m = 12 kg 

θ =30° 

Incógnitas: 

T 1 = ? 

T 2 = ?



1. Realicemos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.29. 

y 

T 1 

T 1y 

30º 

x 

T 2 

T 1x 

Figura 4.29 

w 

2. Las componentes de la fuerza T 1 son donde: 

T 1x = T 1 cos(30°) = T 1 (0.866) 


T 1y = T 1 sen(30°) 

and 

= 

Integrated 

T 1 (0.5) 

Services 

3. Realizamos la suma de las fuerzas en el eje x y en el eje y a partir del diagrama de cuerpo libre aplicando la 

primera condición de equilibrio: 

ΣF x = 0 y ΣF y = 0 

Por lo tanto, 

Con la sumatoria de fuerzas en y, tenemos: 

T 1x - T 2 = 0 

T 1 (0.866) - T 2 = 0 (1) 

T 1y - w = 0 

T 1 (0.5) - w = 0 (2) 

4. Observemos que en la ecuación (2) la única incógnita es T 1 , por lo cual la podemos despejar y calcular como 

sigue: 

T 1 (0.5) = w 

T 1 

= w 0.5


Se sustituye en esta última expresión la fórmula del peso de un cuerpo: 

Se calcula T 1 sustituyendo los datos conocidos: 

T 1 

= mg 

0.5 

m 

12 kg 9.8 s 

T 1 

= 2 

0.5 

T 1 = 203.68 N 

5. Una vez que calculamos el valor de T 1 , recurrimos a la ecuación (1) para obtener el valor de T 2 y terminar el 

problema: 

T 2 = T 1 (0.866) 

T 2 = (235.2 N)(0.866) 

T 2 = 203.68 N 

6. Las respuestas del problema son las siguientes: 


T 1 = 235.2 N 

TD&IS Training Distribution T 2 = 203.68 Nand Integrated Services 

La tensión que presenta la cuerda en su sección horizontal (T 2 ) es de 204.68 N y la tensión en la parte que 

sostiene en la pared (T 1 ) es de 235.2 N. 

EJEMPLO 4.9 

Un cuerpo de peso w está suspendido de una estructura, como se muestra en 

la figura 4.30. Si la tensión de la cuerda es de 300 N y el ángulo de la misma 

es de 30° respecto a la horizontal, ¿cuál es el peso de cuerpo y la fuerza de 

empuje de la viga? 

Solución 

¿Qué queremos hacer? Calcular el peso del cuerpo (w) y la fuerza (F) que ejerce 

la viga horizontal. 

¿Cómo lo haremos? Inicialmente, identificamos los datos que nos proporciona 

el problema. 

Datos: 

T = 300 N 

θ = 30° 

T 

30º 

F 

w


Incógnitas: 

w = ? 

F = ? 


1. Realicemos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.31. 

T 

T y 

30º 

T x 

w 

Figura 4.31 

2. Las componentes de la tensión son son T x y T y , donde: 


T x = 300 cos30° = 259.8 N 

T y = 300 sen30° = 150 N 

3. Realizamos las sumatorias de las fuerzas en los ejes x y y a partir del diagrama de cuerpo libre aplicando la 

primera condición de equilibrio: 

Por lo tanto: 

ΣF x = 0 y ΣF y = 0 

F - T x = 0 (1) 

T y - w = 0 (2) 

4. Sustituyendo el valor de T x en la ecuación (1) y despejando F, tenemos: 

Donde: 

F - 259.8 N = 0 

F = 259.8 N 

5. Sustituyendo T y en la ecuación (2) y despejando w, tenemos: 

150 N - w = 0


Donde: 

6. La respuesta de nuestro problema es… 

w = 150 N 

F = 259.8 N 

w = 150 N 


El peso del cuerpo es de 150 N y la fuerza que ejerce la viga horizontal es de 259.8 N. 

EJEMPLO 4.10 

Un semáforo que pesa 800 N está suspendido mediante dos cables de tensiones 

T 1 y T 2 que forman cada uno un ángulo de 60° con la horizontal, como lo 

indica la figura 4.32. Determina la tensión de los cables. 

Solución 

T 2 

60º 60º 

T 1 

¿Qué queremos hacer? Determinar la tensión de los cables. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Tomando como base la figura del problema, 

elaboramos el DCL e identificamos los datos que tenemos. 


Datos: 

w 

w = 800 N 

θ 1 = 60° 

θ 2 = 60° 

Incógnitas: 

T 1 = ? 

T 2 = ?



1. Dibujamos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.33. 

T 2 

y 

T 1y 

T 2y 

60º 60º 

T 2x 

T 1x 

T 1 

x 

w 

Figura 4.33 

2. Las componentes de la tensión 1 son… 

T 1x = T 1 cos60° = T 1 (0.5) 

T 1y = T 1 sen60° = T 1 (0.866) 

Las componentes de 

TD&IS 

la tensión 

Training 

2 son… 

Distribution and Integrated Services 

T 2x = T 2 cos60° = T 2 (0.5) 

T 2y = T 2 sen60° = T 2 (0.866) 

3. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y y aplicamos la primera condición de equilibrio: 

ΣF x = 0 y ΣF y = 0 

Por lo tanto: 

T 1x - T 2x = 0 (1) 

T 1y + T 2y - w = 0 (2) 

4. Despejando T 1x de la ecuación (1), tenemos: T 1x = T 2x , y sustituyendo los valores de sus componentes, obtenemos: 

T 1 (0.5) = T 2 (0.5) 

Donde: 

T 1 = T 2 

Sustituyendo T 2 por T 1 , los valores de las componentes T 1y, T 2y , y el peso w en la ecuación (2), obtenemos: 

T 1 (0.5) + T 1 (0.866) - 8 N = 0


Donde: 

T 1 (1.366) = 8 N 

5. El resultado del problema es… 

T 1 = 585.65 N 

T 2 = 585.65 N 


Como el sistema se encuentra en simetría, las tensiones 1 y 2 son de igual magnitud, con un valor de 

585.65 N cada una. 

■ Actividad 3 Estática 

Resuelve los siguientes problemas de fricción utilizando la primera condición de equilibrio y el diagrama de 

cuerpo libre. 

Problema 

1. Un cuerpo de 15 kg suspendido mediante una cuerda T 1 es 

estirado hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda T 2 , 

y sujetado de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 50° 

con el muro (figura 4.34). Determina las tensiones T1 y T2. 

Procedimiento 


50º 

T 1 

T 2 

0 

w 

Datos 

Figura 4.34 

Fórmula(s) 



Problema 

2. Un cuerpo de w kg es suspendido mediante una cuerda T 1 y es 



con el muro (figura 4.35). Si T 2 = 300 N, calcula la masa del cuerpo. 

Procedimiento 

T 1 

T 2 

40º 

0 

w 

Datos 

Figura 4.35 

Fórmula(s) 



Problema 

3. Un cuerpo de peso w está suspendido de una armadura. Si la 

magnitud de la tensión de la cuerda es de 400 N y el ángulo de la 

misma es de 50° respecto a la horizontal (figura 4.36), determina la 

magnitud del peso y el empuje de la barra. 

Procedimiento 

T 

50º 

w 

Figura 4.36 

Datos 

Fórmula(s) 



Problema 

4. Un cuerpo de 150 N está suspendido de una armadura (figura 

4.37). Determina la tensión de la cuerda y el empuje de la barra si 

el ángulo de la misma es de 50° respecto a la horizontal. 

Procedimiento 

T 

50º 

w 

Figura 4.37 

Datos 

Fórmula(s) 


Problema 


5. Un cuerpo de 18 kg está suspendido de una armadura (figura 

4.38). Determina la tensión de la cuerda y el empuje de la barra si 

el ángulo de la misma es de 40° respecto a la horizontal. 

Procedimiento 

T 

40º 

w 

Datos 

Figura 4.38 

Fórmula(s) 



Problema 

Procedimiento 

6. Un cuerpo de 200 N, suspendido mediante una cuerda T 1 , es 



con el muro (figura 4.39). Determina las tensiones T 1 y T 2 . 

T 1 

T 2 

60º 

0 

w 

Datos 

Figura 4.39 

Fórmula(s) 



Problema 

Procedimiento 

7. Una piñata que pesa 20 N está suspendida mediante dos cables 

de tensiones (T 1 y T 2 ) que forman cada uno un ángulo de 50° con la 

horizontal (figura 4.40). Determina la tensión de los cables. 

50º 

50º 

Figura 4.40 

Datos 

Fórmula(s) 



Preguntas conceptuales de dinámica 

1. Una fuerza resultante F produce a un automóvil una aceleración a. Si ahora se duplica la fuerza resultante 

2F, ¿cuál será el cambio en la aceleración del automóvil? 

2. Una fuerza resultante F produce a un camión una aceleración a. Si ahora se carga el camión en forma que 

su masa se duplica (2 m), ¿cuál será el cambio en la aceleración del camión? 

3. Un camión con carga completa puede acelerarse a 3 m/s 2 . Si luego pierde parte de la carga de tal forma 

que su masa disminuye a 1/3 de la masa inicial (m/3), ¿qué aceleración puede desarrollar el camión 

si la fuerza no cambia? 

4. ¿Qué es lo que nos impulsa TD&IS para Training que podamos Distribution caminar? and Integrated Services 

5. Si un cañón dispara un obús, ¿cómo comparas la magnitud de la fuerza que el cañón ejerce sobre el 

obús con la de la fuerza que este ejerce sobre el cañón? ¿Cómo son las magnitudes de aceleraciones 

del cañón y del obús? 

6. Supón que te estás pesando junto a un lavabo. Utilizando la idea de acción y reacción, ¿por qué es 

menor la lectura de la báscula cuando empujas el lavabo hacia abajo? ¿Por qué es mayor la lectura de 

la báscula cuando tiras del lavabo hacia arriba por la parte inferior del lavabo? 

7. Si se colocan dos pesas de 40 N en los extremos de un dinamómetro ubicado horizontalmente sobre una 

mesa, ¿la lectura del dinamómetro será de 40 N o de 80 N?


8. ¿Tu peso cambia cuando viajas en un ascensor que se mueve con rapidez constante? Cuando se acelera, 

¿cambia? 

9. Un cuerpo sobre la Tierra tiene una masa de 30 kg, ¿cuál será la masa del cuerpo si se llevara a Saturno, 

donde la gravedad es de 14 m/s 2 ? 

10. Si un camión se acelera desde el reposo, un pasajero del mismo tiende a caer hacia atrás. ¿Por qué? 

11. Si el conductor del camión frena, el pasajero tiende a caer hacia delante. ¿Por qué? 


12. Un auto gasta más gasolina cuando circula por la ciudad que cuando lo hace por una autopista. ¿Por qué? 

13. Explica la diferencia entre peso y masa.


Preguntas de opción múltiple 

Leyes de Newton 

1. La inercia que posee un cuerpo depende de… 

a) su masa. b) su peso. 

c) su volumen. d) su densidad. 

2. Si L representa la longitud, T el tiempo y M la masa, las dimensiones de la fuerza son… 

a) ML/T b) ML/T 2 

c) ML 2 d) LT/M 

3. Si para acelerar una masa de 3 kg por una superficie sin fricción aquí en la Tierra, se necesitan 15 N de 

fuerza; para que la masa sufra la misma aceleración en un lugar del espacio, donde la atracción gravitacional 

de la Tierra sobre ella sea prácticamente nula, se necesitaría una fuerza de… 

a) 0 N b) 3 N 

c) 15 N d) 29 N 

4. Si un cierto cuerpo se acelera 6 m/s 2 al aplicarle una fuerza resultante de 30 N, para producirle una aceleración 

de 4 m/s 2 , la fuerza resultante aplicada debe ser de… 

a) 18 N 


b) 16 

and 

N 


c) 20 N d) 21.5 N 

5. Si actúa una fuerza neta horizontal constante sobre un cuerpo en reposo que es una mesa sin fricción, 

el cuerpo… 

a) siempre se moverá con rapidez constante. b) a veces acelerará. 

c) siempre acelerará constantemente. d) acelerará siempre que la fuerza sea mayor que el 

peso. 

6. En la Luna, el valor de g es aproximadamente 1/6 del valor de la g terrestre; si en la Tierra un objeto tiene 

una masa de 5 kg, en la Luna tendría… 

a) una masa de 5 kg y un peso de 5 N. b) una masa de 5 kg y un peso de 8 N. 

c) una masa de 0.51 kg y un peso de 0.82 N. d) acelerará siempre que la fuerza sea mayor que el 

peso. 

7. Si cuando no hay fricción una fuerza F produce una aceleración al actuar sobre un cuerpo de masa m, 

entonces, al duplicar la masa, la aceleración resultante será… 

a) a/2 b) 4a 

c) 2a d) a/6


8. Si cuando no hay fricción una fuerza F produce una aceleración a al actuar sobre un cuerpo de masa m, 

entonces, al aumentar la fuerza 3 veces la anterior, la aceleración resultante será… 

a) a/2 b) 3a 

c) 2a d) a/3 

9. Si cuando no hay fricción una fuerza F produce una aceleración a al actuar sobre un cuerpo de masa m, 

entonces, al triplicar la masa y aumentar la fuerza 6 veces la anterior, la aceleración resultante será… 

a) a/2 b) 6a 

c) 2a d) a/6 

10. Un bloque de masa m se está resbalando por un plano inclinado sin 

fricción, como se muestra en la figura. 4.41 La fuerza normal ejercida 

por el plano sobre el bloque es… 

M 

a) mg cosβ b) g senβ 

c) mg senβ d) mg tanβ 

ß 

11. El bloque que se muestra en la figura 4.42 se está deslizando sobre en 

plano inclinado sin fricción; entonces, su aceleración es… 

a) g senβ b) g 


c) g tanβ d) g cosβ 

M 

ß 

12. Teniendo en cuenta la gráfica aceleración-tiempo de un objeto de masa 

m constante en la figura 4.43, ¿en qué intervalo de tiempo la fuerza 

sobre el objeto es igual a cero? (recuerda: aceleración = m/s 2 ) 

a) De 2 s a 4 s b) De 0 s a 2 s 

c) De 4 s a 8 s d) De 8 s a l0 s 

aceleración(m/s²) 

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tiempo (s) 

13. Teniendo en cuenta la gráfica de la figura 4.44, ¿en qué intervalo de 

tiempo la fuerza sobre el objeto es constante y diferente de cero? 

a) De 8 s a 10 s b) De 4 s a 8 s 

c) De 0 s a 2 s d) De 2 s a 4 s 


1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tiempo (s)


14. Teniendo en cuenta la gráfica de la figura 4.45, ¿en qué intervalo de 

tiempo disminuye la fuerza sobre el objeto? 

a) De 8 s a 10 s b) De 4 s a 8 s 

c) De 0 s a 2 s d) De 2 s a 4 s 


1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tiempo (s) 

15. La masa de un astronauta en un planeta en el que la aceleración de la gravedad es 10 veces mayor que la de 

la Tierra es… 

a) 10 veces mayor. b) igual. 

c) 10 g veces menor d) 10 g veces mayor. 

16. ¿Es posible inventar una técnica para empujar una mesa sin que ella regrese el empujón? 

a) Sí, si algo también la empuja. b) Sí, en el espacio. 

c) No. d) Una mesa nunca empuja. 

17. Un hombre que pesa 700 N, parado sobre una báscula en un parque de diversiones, sujeta una bolsa con 

50 N de tomate. Luego, arroja la bolsa al aire directo hacia arriba, sin embargo, antes de salir de sus manos, 

sale expulsada, por una ranura de la báscula, una tarjeta con el peso y su horóscopo. La báscula indicará… 

a) 700 N. b) más de 750 N. 


c) 750 N. d) menos de 750 N. 

18. Imagina que estás parado sobre una caja de cartón que apenas te sostiene. ¿Qué le sucedería a la caja si 

saltaras verticalmente hacia arriba? 

a) Se movería hacia un lado. b) Se aplastaría. 

c) No se afectaría. d) También saltaría. 

19. Un cuerpo se suspende de una cuerda y se acelera hacia abajo con una aceleración igual a 0.7 g; entonces, 

la tensión en la cuerda es… 

a) igual al peso del cuerpo. b) mayor que el peso del cuerpo. 

c) menor que el peso del cuerpo. d) igual a cero. 

20. Una persona pesa 490 N parada sobre una báscula en un elevador. 

I. ¿Cuál es la lectura de la báscula cuando el elevador esté en reposo? 

a) 0 N b) 490 N 

c) 980 N d) 590 N 

II. Si el elevador empieza a ascender y acelera a la persona hacia arriba a 2 m/s 2 . ¿Cuál será la lectura de la 

balanza? 

a) 490 N b) 0 N 

c) 590 N d) 390 N

Figura 4.45 


III. Cuando el elevador llega a una rapidez conveniente, deja de acelerar. ¿Cuál es la lectura de la balanza si el 

elevador se eleva uniformemente? 

a) 590 N b) 980 N 

c) 0 N d) 490 N 

IV. Si el cable se revienta y el elevador cae libremente, ¿cuál será la lectura de la balanza? 

a) 980 N b) 490 N 

c) 390 N d) 0 N 

V. ¿Cuál será la lectura de la balanza si el elevador desciende con rapidez constante? 

a) 490 N b) 590 N 

c) 390 N d) 0 N 

VI. Si el elevador desciende con una aceleración de 2 m/s 2 , ¿cuál será la lectura de la balanza? 

a) 590 N b) 390 N 

c) 0 N d) 980 N 

Fuerza de fricción 

21. ¿Por qué se necesita más fuerza para iniciar un movimiento que para seguir moviéndolo constantemente? 


a) Porque el coeficiente de fricción cinética es b) Porque la resistencia del aire a la rapidez del 

menor que el coeficiente de fricción estática. movimiento es mucho menor que la fuerza inercial 

necesaria. 

c) Lo que se plantea en la pregunta no es cierto. d) Nada de lo anterior. 

22. Imagina una patineta baja con rodamientos bien aceitados. ¿Qué le sucedería si, estando parado sobre ella 

en reposo, comienzas a caminar por su longitud? 

a) Avanzaría junto contigo. b) Se movería hacia delante y después hacia atrás. 

c) Permanecería en reposo. d) Se movería rápidamente en dirección opuesta. 

23. Supón que el bloque de la figura resbala hacia abajo del plano a velocidad 

constante. Entonces el coeficiente de fricción cinética, entre el 

bloque y el plano, está dado por… 

M 

a) 1/2 cosβ b) tanβ 

c) cos β 2 senβ d) μg senβ 

T


24. Un bloque de masa m se jala sobre una superficie como se ilustra en 

la figura 4.46. La velocidad del bloque es constante. El coeficiente de 

fricción cinética entre el bloque y la superficie es μ; entonces, la tensión 

de la cuerda está dada por… 

a) T = mg/μ b) T = mg 

c) T = mgμ d) Ninguna de las anteriores 

25. De las siguientes relaciones, la correcta es… 

M 

T 

a) μ s > μ k b) μ s < μ k 

c) μ s -μ k = 0 d) μ s = μ k = 0 

Estática 

26. Si la suma de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces el objeto podría estar… 

a) en reposo. b) con velocidad constante. 

c) con aceleración cero. d) todas las opciones son correctas. 

27. Si un cuerpo posee equilibrio traslacional, entonces, el cuerpo podría estar… 

a) en movimiento rectilíneo uniforme. b) en reposo. 

c) en movimiento rectilíneo TD&IS uniformemente 

Training Distribution d) a and y b son Integrated correctas. Services 

acelerado. 

28. Un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba. En el punto más alto de su trayectoria, el objeto está… 

a) en equilibrio instantáneo. b) ni en reposo ni en equilibrio. 

c) instantáneamente en reposo y en equilibrio. d) en reposo instantáneo. 

29. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones que describen un cuerpo en equilibrio no es cierta? 

a) La suma vectorial de todas las fuerzas que b) El cuerpo permanece en reposo. 

actúan sobre el cuerpo es igual a cero. 

c) El cuerpo se mueve a rapidez constante. d) El cuerpo se mueve con aceleración constante. 

30. Un objeto se está moviendo a velocidad constante. La fuerza total F que actúa sobre el objeto está 

dada por… 

a) F = 0 b) F = mg 

c) F = mv d) F = ma


Problemas de dinámica 

I. A partir de los efectos del movimiento… 

1. En el saque, un jugador de tenis golpea la bola de 75 g de masa acelerándola desde el reposo hasta una 

rapidez de 45 m/s. Suponiendo que la raqueta ejerce una fuerza constante sobre la pelota a lo largo de una 

distancia de 0.85 m, ¿cuál es la magnitud de esta fuerza? 

2. Un automóvil de 1600 kg de masa que viaja a 90 km/h en un camino plano y recto se lleva uniformemente 

al reposo. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de frenado si esta se ejerce en… 

a) un tiempo de 5 s? 

b) una distancia de 50 m? 

3. Un jet con un peso de 2.75 × 10 6 N está listo para despegar. Si los motores suministran 6.35 × 10 6 N de 

empuje neto, ¿qué distancia necesitará el avión para alcanzar su rapidez mínima de despegue de 285 km/h? 

4. Un automóvil que viaja a 72 km/h a lo largo de un camino recto y plano se detiene uniformemente en 

una distancia de 40 m. Si el automóvil pesa 8 800 N, ¿cuál es la magnitud de la fuerza para detener el 

automóvil? 

5. Un automóvil de TD&IS 2300 kg Training que parte Distribution del reposo adquiere and una Integrated velocidad Services de 72 km/h al final de 10 s. Halla la 

magnitud de la fuerza aplicada. 

II. Movimiento sobre un plano horizontal y un plano inclinado sin fricción 

6. Una fuerza de 30 N que forma un ángulo de 25° con la horizontal (figura) 

4.47 se aplica sobre un cuerpo con una masa de 18 kg sobre una superficie 

horizontal. Despreciando la fuerza de fricción, calcula… la aceleración 

producida, y la fuerza normal. 

U 

25º 

F 

7. A un cuerpo de 30 kg de masa se le aplica una fuerza de 400 N para subirlo 

por una pendiente de 45° de inclinación (figura 4.48). Si la fuerza es 

paralela al plano y se desprecia la fuerza de fricción, calcula la aceleración 

del cuerpo y la fuerza normal. 

F 

F 

45º


8. Un cuerpo de masa igual a 16 kg se desliza sin fricción sobre un plano 

inclinado (figura 4.49) que tiene un ángulo de 53° con la 

horizontal. Calcula… 

a) la aceleración del cuerpo, y b) la fuerza normal. 

a 

F 

53º 

9. Sobre un cuerpo de 100 N se aplica una fuerza de 150 N que forma un ángulo de 30° con la horizontal. 

Si el cuerpo se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción, calcula la aceleración producida 

y la fuerza normal. 

10. Un objeto de 15 kg se mueve horizontalmente sobre un plano sin fricción por aplicación de una fuerza de 

50 N que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Calcula la aceleración producida y la fuerza normal. 

11. A un cuerpo de 20 kg de masa se le aplica una fuerza de 160 N para subirlo por una pendiente de 40° de 

inclinación. Si la fuerza es paralela al plano y se desprecia la fuerza de fricción, calcula la aceleración del 

cuerpo y la fuerza normal. 

12. Un cuerpo de masa igual a 12 kg se desliza sin fricción sobre un plano inclinado que tiene un ángulo de 

37° con la horizontal. Calcula la aceleración del cuerpo y la fuerza normal. 

III. Movimiento sobre un 

TD&IS 

plano 

Training 

horizontal 

Distribution 

y un plano inclinado 


con fricción 

Services 

13. Se aplica una fuerza de 35 N sobre un cuerpo para deslizado a velocidad 

constante sobre una superficie horizontal (ver figura 4.50). Si la masa del 

cuerpo es de 12 kg, ¿cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el 

objeto y la superficie? 

v = cv 

F 

14. Sobre un bloque de 50 N de peso se aplica una fuerza de 18 N que 

forma un ángulo de 37° con la horizontal (figura 4.51). Si el bloque 

adquiere una aceleración de 2 m/s 2 , calcula el coeficiente de fricción 

cinética. 

u 

37º 

15. Una fuerza de 300 N, paralela a un plano inclinado de 40°, empuja 

hacia arriba una caja de 25 kg y le produce una aceleración de 1.5 m/s 2 

(figura 4.52). Calcula el coeficiente de fricción cinética entre la caja y 

el plano. 

a 

F 

F 

40º


16. Una caja de 55 N se empuja hacia arriba sobre una tabla que forma un 

ángulo de 20° respecto a la horizontal (figura 4.53). Si el coeficiente 

de fricción cinética es de 0.45, calcula la magnitud de la fuerza paralela 

al movimiento que se debe aplicar a la caja para que se mueva 

con velocidad constante. 

F 

v=cv 

20º 

17. Una caja de madera de 30 kg se empuja a lo largo de una superficie horizontal por una fuerza paralela 

a la superficie de 135 N. Si la caja se desliza a velocidad constante, determina el coeficiente de fricción 

cinética entre la caja y la superficie. 

18. Un objeto de 40 kg se desliza sobre una superficie horizontal al aplicarle una fuerza de 150 N que forma 

un ángulo de 50° con la horizontal. Si el coeficiente de fricción cinética es de 0.14, calcula la aceleración 

del objeto. 

19. Un esquiador de 80 kg se desliza hacia abajo por una pendiente de 37°. Si el coeficiente de fricción cinética 

es de 0.12, calcula la aceleración del esquiador. 

Estática 

20. Un cuerpo cuyo peso es de 100 N está suspendido de una armadura, como se muestra en la figura 4.54. 

Determina el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la barra. 


T 

30º 

w 

Figura 4.54 

21. Un cuerpo de 14 kg suspendido mediante una cuerda T 1 es estirado hacia un lado en forma horizontal 

mediante una cuerda T 2 y sujetado de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 50° con el muro 

(figura 4.55). Determina las tensiones T 1 y T 2 . 

T 1 

50º 

T 2 

0 

w 

Figura 4.55


22. Un cuerpo de peso w está suspendido de una armadura, como se muestra en la figura 4.56. Si la magnitud 

de la tensión de la cuerda es de 500 N y el ángulo de la misma es de 35° respecto a la horizontal, determina 

la magnitud del peso y el empuje de la barra. 

T 

35º 

w 

Figura 4.56 

23. En una fiesta, dos jóvenes (gemelos) sostienen, con unas cuerdas que forman cada una de ellas un ángulo 

de 30° con la horizontal, una piñata cuyo peso es de 30 N, como se muestra en la figura 4.57. Calcula la 

fuerza aplicada por cada uno de ellos. 


30º 

30º 

Figura 4.57

La Mecanica y el entorno

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