Funciones y Relaciones

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
Dirección del Sistema de Estudios del Nivel Medio Superior
Funciones y Relaciones
Autores
Christian Eusebio Charles Landeros
Francisco Martín Contreras Amaya
Juan Antonio Cuéllar Carvajal
Orelia García Santana
Jésica Eunice Gutiérrez Hernández
Alejandro Nava Segovia

SECRETARÍA ACADÉMICA
DIRECCIÓN DEL SISTEMA DE ESTUDIOS DEL NIVEL MEDIO SUPERIOR
Rogelio G. Garza Rivera
Rector
Santos Guzmán López
Secretario General
Emilia Edith Vásquez Farías
Secretaria Académico
Fernando Javier Gómez Triana
Director del Sistema de Estudios
del Nivel Medio Superior
Coordinación editorial:
Cecilia Sánchez Salinas
Cuidado editorial:
Brenda Muñoz Muñoz
Larissa Villarreal Villarreal
Diagramación:
Víctor Hugo Sánchez Monroy
© D.R. Universidad Autónoma de Nuevo León, 2019.
Centro de Educación Digital y Emprendimiento
Av. Barragán N° 4904
Col. Hogares Ferrocarrileros, C.P. 64290
Monterrey, Nuevo León, México. Tels: (81) 8329 4121 -
8329 4122 Correo electrónico: mediasuperior@uanl.mx
Funciones y Relaciones
Primera edición, 2019.
© D.R. Universidad Autónoma de Nuevo León
Christian Eusebio Charles Landeros
Francisco Martín Contreras Amaya
Juan Antonio Cuéllar Carvajal
Orelia García Santana
Jésica Eunice Gutiérrez Hernández
Alejandro Nava Segovia
Funciones y Relaciones
Primera edición, 2019.
© D.R. Ediciones de Laurel, S.A. de C.V., 2019.
Paseo de las Estrellas No. 155 Int. Loc. 5
Col. Las Cumbres 5 Sector B
Monterrey, Nuevo León, 64619
Diseño de portada:
©Dirección de Comunicación Institucional
Héctor Alvarado Lumbreras
Director de Comunicación Institucional
María Gerardina de Jesús Carrera Viesca
Coordinadora de Imagen Institucional
Raúl Guerra Zaleta
Diseñador, Coordinación de Imagen Institucional
ISBN: 978-607-8477-84-5
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sistema de recuperación de información, en ninguna forma, ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico,
magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet,
distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información sin el consentimiento por
escrito de los propietarios de los derechos.
Impreso en Monterrey, México
Junio 2019

Presentación
La Universidad Autónoma de Nuevo León es una institución que promueve el progreso y el bienestar
de la sociedad; Su actividad se basa en un Plan de Desarrollo Institucional. Desarrolla investigación,
innovación y fomenta el desarrollo social y cultural en procesos que contribuyen al logro de su Misión
y Visión de la UANL para 2020.
En 85 años, la UANL ha mantenido la unidad y continuidad de los principales planes y proyectos
a través del logro de su misión educativa, avanzando con una visión del futuro, a fin de ofrecer
conocimiento y servicios de excelente calidad. Esto ha permitido a la Universidad sobresalir por la
pertinencia de sus programas.
Hoy en día, mientras trabajamos arduamente para dar forma a los ciudadanos que nuestro
país merece y necesita, estamos inmersos en un posicionamiento y remodelación de nuestras metas
y objetivos. Permiten a los estudiantes y profesores ser competitivos a nivel nacional e internacional,
como una institución que educa para transformar y que transforma para trascender.
Al considerar el Modelo educativo basado en competencias y al referirse a su enfoque
constructivista y la evolución de los estudiantes, queremos que aprendan por sí mismos y adquieran
las habilidades socio-formativas que los llevan a la interpretación, la discusión y los enfoques
para resolver problemas en una contexto externo Para asegurarse de que exista la idoneidad y el
compromiso ético, los estudiantes son considerados como los principales protagonistas del proceso
de aprendizaje, los líderes que adquieren y desarrollan habilidades que les permiten desarrollar su
propio conocimiento a través de seis componentes principales: énfasis en una educación centrada en
el aprendizaje, Aprendizaje basado en competencias, flexibilidad curricular y del proceso educativo,
internacionalización, innovación académica y responsabilidad social.
El proceso de enseñanza-aprendizaje se realiza a través de la planificación didáctica. Abarca
la herramienta que permite a los estudiantes organizar el pensamiento y la acción, estructurar la tarea,
promover el compartir, enfrentar desafíos, ayudar a establecer prioridades, estar al tanto de la gestión
del tiempo, pero sobre todo, tener en cuenta que las competencias aportan A partir de tres aspectos:
conocimientos, habilidades y actitudes. Estos tres elementos tienen como resultado un producto final,
un servicio o una decisión, que permite la consolidación de la educación integral de los estudiantes
y sus habilidades socio-afectivas para un mejor desempeño.
La UANL, en su Visión 2020, apunta a ser reconocida como una institución socialmente
responsable y de clase mundial. Por esta razón, a través de la Junta del Sistema de Nivel Medio
Superior y los Equipos Académicos Disciplinarios, se ha rediseñado el contenido curricular de
los libros de texto y las guías de aprendizaje correspondientes. Con este cambio, se refuerza el
compromiso social de transmitir y generar conocimiento social, científico y humanista para beneficiar
a la sociedad.
Me gustaría enfatizar que la excelencia en nuestros programas educativos en el nivel medio
superior se enriquece con la capacitación y la profesionalidad de los profesores. Esto nos permite
ser una universidad reconocida por obtener los más altos estándares de calidad en México, para
devolver a la comunidad ciudadanos globales y competitivos que generan conocimiento y bienestar
para la sociedad.
Mtro. Rogelio G. Garza Rivera
Rector de la UANL
3

Índice
Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Etapa 1. Funciones lineal y cuadrática ..................................10
Lección 1. Relaciones y funciones ..............................13
Lección 2. Formas de representar una relación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Lección 3. Funciones ......................................16
Dominio y rango de una función .......................18
Intervalos y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Prueba de la línea vertical ...........................27
Determinación del dominio y el rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Lección 4. Clasificación de funciones ...........................33
Lección 5. Operaciones aritméticas de funciones ...................35
Lección 6. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Lección 7. La función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Gráfica de una función lineal. .........................40
Gráfica de una función lineal a partir de otra conocida . . . . . . . .49
Lección 8. Funciones lineales como modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . .51
Lección 9. Variación lineal ..................................54
Lección10. La función cuadrática ..............................59
Elementos de la gráfica de una función cuadrática . . . . . . . . . . .61
Gráfica de una función cuadrática a partir de otra conocida ....63
Intersecciones con los ejes ...........................65
Vértice de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Eje de simetría de la parábola ........................67
Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática . ............70
Lección 11. Forma vértice de la ecuación de la función cuadrática ........73
Lección 12. Funciones cuadráticas como modelos matemáticos . . . . . . . . . . .75
Objeto en movimiento vertical. ........................75
Lección 13. Variación cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
Etapa 2. Funciones exponencial y logarítmica .............................84
Lección 1. Función exponencial ...............................87
Propiedades de la función exponencial y 5 b x ..............88
Gráficas de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
La función exponencial de base e (función exponencial natural) . . .90
Gráfica de la función f (x) 5 e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Lección 2. Funciones logarítmicas ..............................92
Lección 3. Propiedades de los logaritmos .........................94
Lección 4. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales .................97
Ecuaciones logarítmicas . ............................97
Ecuaciones exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
Ecuaciones exponenciales donde aparece el número
irracional e … ..................................103
Evaluación de logaritmos de base diferente de 10 . . . . . . . . . .104
Lección 5. Las funciones exponenciales como modelos matemáticos . . . . . .106
Lección 6. Las funciones logarítmicas como modelos matemáticos .......113
5

Índice
Etapa 3. La recta como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Lección 1. Lugares geométricos ..............................125
Sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
Lección 2. Segmentos rectilíneos en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . .127
Tipos de segmentos rectilíneos .......................127
Distancia entre dos puntos ..........................128
Perímetro de polígonos en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . .133
Punto medio de un segmento ........................134
Lección 3. La recta en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta ............138
Lección 4. Ecuaciones de la recta ............................145
Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta ..........145
Forma pendiente-intersección o pendiente-ordenada
al origen de la ecuación de la recta ...................146
Forma simétrica de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . .148
Forma general de la ecuación de la recta . ...............149
Lección 5. Rectas paralelas y perpendiculares ....................153
Rectas oblicuas .................................155
Ecuación de una recta a partir de otra recta paralela a ella ....156
Lección 6. Distancia de una recta a ciertos lugares geométricos . . . . . . . . .160
Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
Distancia entre dos rectas paralelas ....................161
Lección 7. Modelos lineales ................................163
Etapa 4. Secciones cónicas .........................................170
Lección 1. Secciones y curvas formadas por la intersección
de un plano y un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
Lección 2. La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . .175
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia . . . . . . . . .175
Forma general de la ecuación de la circunferencia . . . . . . . . . .181
Lección 3. La parábola como lugar geométrico . ...................185
Elementos de una parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Ecuaciones ordinarias de la parábola con vértice en el origen . 186
Ecuaciones ordinarias de la parábola con
vértice fuera del origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
Forma general de la ecuación de una parábola . ...........206
Lección 4. La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
Definición geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
Elementos de una elipse ............................211
Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el origen .....211
Dominio y rango de la ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . .214
Coordenadas de los vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214
Coordenadas de los puntos extremos del eje menor. . . . . . . . . .215
Puntos extremos del lado recto ........................215
Longitud de cada lado recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
6

Lección Índice 1
Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse . . . . . . . . .216
Excentricidad de una elipse .........................216
Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el punto C(h, k) .224
Forma general de la ecuación de una elipse. .............228
Lección 5. La hipérbola como lugar geométrico ....................231
Definición geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
Elementos de una hipérbola .........................231
Ecuaciones ordinarias de la hipérbola con centro en el origen. 232
Dominio y rango de la ecuación de la hipérbola ...........234
Coordenadas de los vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
Puntos extremos del lado recto .......................235
Longitud de cada lado recto .........................235
Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola ......235
Excentricidad de la hipérbola ........................235
Asíntotas de una hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
2 2
Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
x y
1
a
2 - 2 = . . . . .236
b
Ecuación de una hipérbola con centro en el
origen y eje focal sobre el eje y ......................237
Ecuaciones ordinarias de la hipérbola con
centro en el punto C(h, k) ...........................241
Forma general de la ecuación de una hipérbola ............246
7

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Contenido
Presenta la organización del
contenido de cada etapa.
1
Índice Funciones lineal y cuadrática
Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Etapa 1. Función lineal y cuadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Lección 1. Relaciones y funciones ..............................13
Lección 2. Formas de representar una relación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Lección 3. Funciones ......................................16
Intervalos y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Prueba de la línea vertical ...........................27
Determinación del dominio y el rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Lección 4. Clasificación de funciones ...........................23
Lección 5. Operaciones aritméticas de funciones ...................35
Lección 6. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Lección 7. La función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Gráfica de una función lineal a partir de otra conocida . . . . . . . .49
Lección 8. Funciones lineales como modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . .51
Lección 9. Variación lineal ..................................54
Lección10. La función cuadrática ..............................59
Elementos de la gráfica de una función cuadrática . . . . . . . . . . .61
Gráfica de una función cuadrática a partir de otra conocida ....63
Intersecciones con los ejes ...........................65
Vértice de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Eje de simetría de la parábola ........................67
Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática .............70
Lección 11. Forma vértice de la ecuación de la función cuadrática ........73
Lección 12. Funciones cuadráticas como modelos matemáticos . . . . . . . . . . .75
Lección 13. Variación cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
Etapa 2. Funciones exponencial y logarítmica .............................86
Lección 1. Función exponencial ...............................89
Gráficas de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
La función exponencial de base e (función exponencial natural) ..92
Gráfica de la función f (x) 5 e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Lección 2. Funciones logarítmicas ..............................94
Lección 3. Propiedades de los logaritmos .........................96
Lección 4. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales .................99
Ecuaciones logarítmicas .............................99
Ecuaciones exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
Ecuaciones exponenciales donde aparece el número
irracional e 52.718281… .........................105
Evaluación de logaritmos de base diferente de 10 . . . . . . . . . .106
Lección 5. Las funciones exponenciales como modelos matemáticos . . . . . .108
Lección 6. Las funciones exponenciales como modelos matemáticos . . . . . .115
Etapa 3. La recta como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Lección 1. Lugares geométricos ..............................127
Sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
Índice
Lección 2. Segmentos rectilíneos en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . .129
Tipos de segmentos rectilíneos .......................129
Distancia entre dos puntos ..........................130
Perímetro de polígonos en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . .135
Punto medio de un segmento ........................136
Lección 3. La recta en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta ............140
Lección 4. Ecuaciones de la recta ............................147
Forma punto–pendiente de la ecuación de la recta . . . . . . . . . .147
Forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta ......148
Forma simétrica de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . .150
Forma general de la ecuación de la recta ................151
Lección 5. Rectas paralelas y perpendiculares ....................155
Rectas oblicuas .................................157
Ecuación de una recta a partir de otra recta paralela a ella ....158
Lección 6. Distancia de una recta a ciertos lugares geométricos . . . . . . . . .162
Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
Distancia entre dos rectas paralelas ....................163
Lección 7. Modelos lineales ................................165
Etapa 4. Secciones cónicas .........................................172
Lección 1. Secciones y curvas formadas por la intersección
de un plano y un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
Lección 2. La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . .177
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia . . . . . . . . .177
Forma general de la ecuación de la circunferencia . . . . . . . . . .183
Lección 3. La parábola como lugar geométrico ....................187
Elementos de una parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Ecuaciones ordinarias de la parábola con vértice en el origen 188
Ecuaciones ordinarias de la parábola con
vértice fuera del origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
Forma general de la ecuación de una parábola ............208
Lección 4. La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
Definición geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
Elementos de una elipse ............................213
Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el origen .....213
Dominio y rango de la ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . .216
Coordenadas de los vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
Coordenadas de los puntos extremos del eje menor. . . . . . . . . .217
Puntos extremos del lado recto ........................217
Longitud de cada lado recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse . . . . . . . . .218
Excentricidad de una elipse .........................218
Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el punto C(h, k) 226
4 5
Apertura de etapa
Tu libro consta de cuatro etapas. En las
primeras páginas de cada una de ellas
encuentras el título de las lecciones que la
forman, y los aprendizajes esperados.
Funciones
lineal y
cuadrática
1
Aprendizajes esperados Lección
1 2 3 4 5 6 7
Relaciones y Formas de Funciones Clasificación Operaciones Composición La función
funciones representar
de funciones aritméticas de funciones lineal
una relación
de funciones
Conoce las características
de
Reconoce
Reconoce las Identifica el Distingue los Realiza
Obtiene
relaciones
diferentes
dominio y rango diferentes tipos operaciones la función
la gráfica de una
matemáticas. formas de
de una función. de las funciones aritméticas entre compuesta. función lineal.
representación
polinomiales. diferentes tipos
Distingue la
Calcula el valor
de una relación.
de funciones
Elabora gráficas
gráfica de
de una función
polinomiales.
correspondientes
a una función
una función
compuesta dado
mediante la
el valor de x. lineal.
prueba de la
línea vertical.
Analiza los
efectos al
cambiar los
parámetros de la
función
y = mx + b
en la gráfica
correspondiente.
8 9 10 11 12 13
Funciones
Forma vértice Funciones
lineales como Variación La función de la ecuación cuadráticas
modelos lineal cuadrática de la función como modelos
matemáticos
cuadrática matemáticos
Analiza
Representación Analiza los Representa Analiza
situaciones algebraica y efectos al
la ecuación situaciones
problemáticas análisis de una cambiar los de la función problemáticas
en las que
relación de parámetros de la cuadrática: en las que
existe relación proporcionalidad función
y = ax 2 + bx + c existe relación
lineal entre y = kx asociando y = ax 2 + bx + c a la forma cuadrática entre
cantidades. los significados en la gráfica vértice:
cantidades.
de las variables correspondiente. y 2 k = a (x 2 h) 2
Representación
Representación
con las
de la relación
Conoce las
de la relación
cantidades que
mediante una
características
mediante una
intervienen en
tabla o expresión
de la gráfica
tabla o expresión
dicha relación.
algebraica de la
de una función
algebraica de la
forma:
cuadrática.
forma:
y = mx + b.
y = ax 2 + bx + c.
Elabora gráficas
Lectura y
correspondientes
Lectura y
construcción
a una función
construcción
de gráficas
cuadrática.
de gráficas
de funciones
de funciones
lineales
cuadráticas
asociadas
asociadas
a diversas
con diversas
situaciones.
situaciones.
Variación
cuadrática
Etapa
Representación
Competencias que
algebraica y
análisis de una se favorecen:
relación de
proporcionalidad • Resolver
y = kx 2
problemas
asociando los en diversos
significados de
las variables con contextos.
las cantidades
• Explicar
que intervienen
en dicha
resultados
relación.
mediante diversos
procedimientos.
• Manejar técnicas
eficientemente.
• Validar
procedimientos y
resultados.

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Para empezar
Presenta la evaluación
diagnóstica en la Plataforma
Nexus.
Y presenta la evaluación
diagnóstica en la guía de
aprendizaje, la cual ayuda a
identificar el nivel de conocimientos
que posees.
Definición
Una relación es una forma específica de correspondencia
que hay entre los elementos de dos o más conjuntos.
Para empezar
En la plataforma Nexus contesta la Evaluación diagnóstica; es un examen de cinco preguntas
de opción múltiple acerca de contenidos que debes dominar para comprender y desarrollar
eficazmente los de la presente etapa.
Lección 1
Guía de aprendizaje
Después, dirígete a la guía de aprendizaje, a la sección “Experiencias de aprendizaje” de la
etapa 1 y en el salón de clases contesta las preguntas de la actividad correspondiente a la “Dimensión
1: Recuperación” de tu aprendizaje siguiendo las indicaciones que ahí se presentan.
Lección
1
Funciones y relaciones
De acuerdo con la definición, existe un par de conjuntos donde los
elementos del primero se asocian con los elementos del segundo y
no se establece ningún tipo de restricción en cuanto a cómo asociarse.
Ejemplo 1
Funciones lineal y cuadrática
1
Propósito
Resuelve situaciones reales mediante la modelación de la función lineal o cuadrática y de sus
representaciones gráficas.
Un conjunto A formado por los elementos: Jaime, Roberto y Natalia, y otro conjunto B formado
por los elementos: catedral y biblioteca. La correspondencia o relación entre ambos es lugares
visitados. Así, a Jaime le asignamos el lugar visitado: catedral, a Roberto le asignamos catedral
y biblioteca, y a Natalia le asignamos biblioteca.
A
B
Para visualizar con mayor facilidad los
conjuntos y su relación usaremos
los diagramas y uniremos cada Jaime
elemento con una flecha de acuerdo
Catedral
Roberto
con su regla de correspondencia.
Biblioteca
Natalia
Figura 1.1
A partir del diagrama observamos que Jaime visitó la catedral, Roberto visitó la catedral y la biblioteca, y
Natalia visitó la biblioteca.
De este modo, la regla de correspondencia permite vincular cada elemento del primer conjunto (llamado
dominio) con uno o dos elementos del segundo conjunto (llamado imagen o codominio).
Competencia genérica
Es aquella que todo estudiante
tiene la capacidad de
desempeñar.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a
problemas a partir de métodos establecidos.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos
para probar su validez.
15
Competencia específica de Matemáticas
Propicia el pensamiento lógico
mediante procesos de razonamiento y
argumentación de ideas en la resolución
de problemas matemáticos.
Desempeños del estudiante
Son las actitudes y aptitudes
desarrolladas durante el proceso
educativo.
Introducción
Modela, resuelve e interpreta problemas de la
vida cotidiana mediante la representación de las
variables de un fenómeno social o natural de una
función algebraica o trascendente y por medio de su
representación gráfica.
• Escribe los procedimientos necesarios para dar
respuesta a cada pregunta planteada.
• Distingue correctamente una función de una
relación.
• Determina correctamente el rango y el dominio.
• Identifica acertadamente la forma de la ecuación
de una función cuadrática.
• Grafica correctamente funciones lineales y
cuadráticas.
• Analiza o propone el modelo matemático adecuado
al contexto del problema.
• Aporta conclusiones sobre los resultados obtenidos.
• Presenta orden y coherencia en los procedimientos.
12
El concepto de función es uno de los más importantes en la matemática. El vasto número y la variedad
de sus aplicaciones no solo justifican, sino que hacen necesario su estudio. Una función, en matemáticas,
es el término que se usa para indicar cierta relación entre dos o más cantidades: por ejemplo,
cuando vamos al mercado o algún centro comercial siempre relacionamos un conjunto de objetos determinados
con el costo en pesos para saber cuánto podemos comprar, o en el caso de una persona que
confecciona uniformes, debe saber cuánto tiempo requiere para elaborar cada uno a fin de calcular el
número de uniformes que puede fabricar en un lapso específico.
En esta etapa presentaremos una panorámica general del tema relaciones y funciones polinomiales,
pero desarrollando en detalle la función lineal y la función cuadrática.
Introducción
En cada inicio de la etapa se
presenta un resumen de lo que
se discutirá.
Actividad de aprendizaje
Se trabajan las competencias
de la etapa de acuerdo a los
contenidos de cada lección.
Lección 7
Las funciones lineales tienen como representación gráfica una recta; esta queda determinada cuando
conocemos dos de sus puntos y después trazando la recta que los contiene.
Su gráfica presenta las siguientes características si m Þ 0:
a) El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales.
b) El rango de la función es el conjunto de todos los números reales.
c) La gráfica tiene una intersección con el eje x y una intersección con el eje y.
Ejemplo 1
Sin realizar la gráfica de la función lineal f (x) 5 28 1 3x, determina la pendiente, y la ordenada
al origen.
Procedimiento
De la ecuación general de la recta: y 5 mx 1 b, en la función f (x) 5 28 1 3x tenemos que la
pendiente m 5 3 y la ordenada al origen: b 5 28.
Guía de aprendizaje
Se continúan trabajando las competencias
de la etapa con los contenidos
de cada lección en la guía de
aprendizaje y se indica la actividad
a realizar.
Actividad de aprendizaje 9
Determina la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes funciones lineales.
a) f (x) 5 24x 1 2; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
b) g (x) 5 8 2 x; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
c) f (x) 5
3
2
x 212; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
d) f (x) 5 x 1 2; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
e) g (x) 5 8 1
5
4
x; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios del I al VII del tema “Función lineal” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
39

Aprendizajes esperados Lección
1 2 3 4 5 6 7
Relaciones y
funciones
Reconoce
relaciones
matemáticas.
Formas de
representar
una relación
Reconoce las
diferentes
formas de
representación
de una relación.
Funciones
Identifica el
dominio y
rango de una
función.
Distingue la
gráfica de
una función
mediante la
prueba de la
línea vertical.
Clasificación
de funciones
Distingue los
diferentes tipos
de las funciones
polinomiales.
Operaciones
aritméticas
de funciones
Realiza
operaciones
aritméticas
entre diferentes
tipos de
funciones
polinomiales.
Composición
de funciones
Obtiene
la función
compuesta.
Calcula el valor
de una función
compuesta
dado el valor
de x.
La función
lineal
Conoce las
características
de la gráfica
de una función
lineal.
Elabora gráficas
correspondientes
a una función
lineal.
Analiza los
efectos al
cambiar los
parámetros de la
función
y 5 mx 1 b
en la gráfica
correspondiente.

Funciones
lineal y
cuadrática
1
8
Funciones
lineales como
modelos
matemáticos
Analiza
situaciones
problemáticas
en las que
existe relación
lineal entre
cantidades.
Representación
de la relación
mediante una
tabla o expresión
algebraica de la
forma:
y 5 mx 1 b.
Lectura y
construcción
de gráficas
de funciones
lineales
asociadas
a diversas
situaciones.
9
Variación
lineal
Representación
algebraica y
análisis de una
relación de
proporcionalidad
y = kx asociando
los significados
de las variables
con las
cantidades que
intervienen en
dicha relación.
10
La función
cuadrática
Analiza los
efectos al
cambiar los
parámetros de la
función
y 5 ax 2 1 bx 1 c
en la gráfica
correspondiente.
Conoce las
características
de la gráfica
de una función
cuadrática.
Elabora gráficas
correspondientes
a una función
cuadrática.
11
Forma vértice
de la ecuación
de la función
cuadrática
Representa
la ecuación
de la función
cuadrática:
y 5 ax 2 1 bx 1 c
a la forma
vértice:
y 2 k 5 a (x 2 h) 2
12
Funciones
cuadráticas
como modelos
matemáticos
Analiza
situaciones
problemáticas
en las que
existe relación
cuadrática entre
cantidades.
Representación
de la relación
mediante una
tabla o expresión
algebraica de la
forma:
y 5 ax 2 1 bx 1 c.
Lectura y
construcción
de gráficas
de funciones
cuadráticas
asociadas
con diversas
situaciones.
13
Variación
cuadrática
Representación
algebraica y
análisis de una
relación de
proporcionalidad
y 5 kx 2 asociando
los significados
de las variables
con las
cantidades que
intervienen en
dicha relación.
Etapa
Competencias que
se favorecen:
• Resolver
problemas
en diversos
contextos.
• Explicar
resultados
mediante diversos
procedimientos.
• Manejar técnicas
eficientemente.
• Validar
procedimientos y
resultados.

1
Funciones lineal y cuadrática
Propósito
Resuelve situaciones reales mediante la modelación de la función lineal o cuadrática y de sus
representaciones gráficas.
Competencia genérica
Es aquella que todo estudiante
tiene la capacidad de
desempeñar.
Competencia específica de Matemáticas
Propicia el pensamiento lógico
mediante procesos de razonamiento y
argumentación de ideas en la resolución
de problemas matemáticos.
Desempeños del estudiante
Son las actitudes y aptitudes
desarrolladas durante el proceso
educativo.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a
problemas a partir de métodos establecidos.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos
para probar su validez.
Modela, resuelve e interpreta problemas de la
vida cotidiana mediante la representación de las
variables de un fenómeno social o natural de una
función algebraica o trascendente y por medio de su
representación gráfica.
• Escribe los procedimientos necesarios para dar
respuesta a cada pregunta planteada.
• Distingue correctamente una función de una
relación.
• Determina correctamente el rango y el dominio.
• Identifica acertadamente la forma de la ecuación
de una función cuadrática.
• Grafica correctamente funciones lineales y
cuadráticas.
• Analiza o propone el modelo matemático adecuado
al contexto del problema.
• Aporta conclusiones sobre los resultados obtenidos.
• Presenta orden y coherencia en los procedimientos.
Introducción
El concepto de función es uno de los más importantes en la matemática. El vasto número y la variedad
de sus aplicaciones no solo justifican, sino que hacen necesario su estudio. Una función, en matemáticas,
es el término que se usa para indicar cierta relación entre dos o más cantidades: por ejemplo,
cuando vamos al mercado o algún centro comercial siempre relacionamos un conjunto de objetos determinados
con el costo en pesos para saber cuánto podemos comprar, o en el caso de una persona que
confecciona uniformes, debe saber cuánto tiempo requiere para elaborar cada uno a fin de calcular el
número de uniformes que puede fabricar en un lapso específico.
En esta etapa presentaremos una panorámica general del tema relaciones y funciones polinomiales,
pero desarrollando en detalle la función lineal y la función cuadrática.
12

Lección 1
Para empezar
En la plataforma Nexus contesta la Evaluación diagnóstica; es un examen de cinco preguntas
de opción múltiple acerca de contenidos que debes dominar para comprender y desarrollar
eficazmente los de la presente etapa.
Guía de aprendizaje
Después, dirígete a la guía de aprendizaje, a la sección “Experiencias de aprendizaje” de la
etapa 1 y en el salón de clases contesta las preguntas de la actividad correspondiente a la
“Dimensión 1: Recuperación” de tu aprendizaje siguiendo las indicaciones que ahí se presentan.
Definición
Una relación es una forma específica de correspondencia
que hay entre los elementos de dos o más conjuntos.
De acuerdo con la definición, existe un par de conjuntos donde los
elementos del primero se asocian con los elementos del segundo y no
se establece ningún tipo de restricción en cuanto a cómo asociarse.
Lección
1
Relaciones y
funciones
Ejemplo 1
Un conjunto A formado por los elementos: Jaime, Roberto y Natalia, y otro conjunto B formado
por los elementos: catedral y biblioteca. La correspondencia o relación entre ambos es lugares
visitados. Así, a Jaime le asignamos el lugar visitado catedral, a Roberto le asignamos catedral
y biblioteca, y a Natalia le asignamos biblioteca.
Para visualizar con mayor facilidad
los conjuntos y su relación usaremos
los diagramas y uniremos cada elemento
con una flecha de acuerdo con su
regla de correspondencia.
A
Jaime
Roberto
Natalia
Figura 1.1
B
Catedral
Biblioteca
A partir del diagrama observamos que Jaime visitó la catedral, Roberto visitó la catedral y la
biblioteca, y Natalia visitó la biblioteca.
De este modo, la regla de correspondencia permite vincular cada elemento del primer conjunto
(llamado dominio) con uno o dos elementos del segundo conjunto (llamado imagen,
codominio o rango).
13

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 2
Un conjunto A formado por los números 2, 3 y 4, y un conjunto B, el cual está compuesto por
6,9 y 12. La correspondencia o relación entre ambos es el triple. Dibujemos el diagrama
correspondiente (figura 1.2):
A
B
2
3
4
Figura 1.2
6
9
12
De este modo, la regla de correspondencia permite vincular cada elemento del primer conjunto
con un elemento del segundo conjunto.
Puesto que nos enfocaremos en la relación de números reales, asignemos las variables x y y a
cada conjunto, las cuales están asociadas de tal forma que al asignar un valor a x, por alguna
regla de correspondencia, automáticamente se asigna un valor a y; y entonces se dice que y es
una relación de x.
A la variable a la cual se asigna el valor se llama variable independiente, y al valor
correspondiente que toma la otra variable se llama variable dependiente. Generalmente, la
variable independiente se representa con x, y la variable dependiente con y, de tal modo que y
depende de x. Así, la regla de correspondencia es una relación entre conjuntos.
Las relaciones expresadas en términos de una ecuación nos dicen cómo están relacionadas dos
variables, y generalmente lo expresamos mediante tablas de valores, conjuntos de pares ordenados
o de diagramas de Venn (figura 1.1 y figura 1.2).
Veamos la siguiente afirmación: “Los números 2, 3, 4, 5 tienen su doble”.
Lección
2
Si nos centramos en el conjunto de los números naturales, podríamos
representar la afirmación dada como una correspondencia entre
números naturales mediante diagramas de Venn, tal como sigue:
Formas de representar
una relación
2
3
4
5
4
6
8
10
14

Lección 2
Donde a cada número del primer conjunto corresponde un número (el doble) del segundo conjunto.
También podríamos representar la relación descrita como parejas de números:
{(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
El primer número de cada par ordenado está donde se inicia la correspondencia y el segundo número de
cada par ordenado donde termina la correspondencia.
El mismo ejemplo puede expresarse mediante una tabla de valores, denominando como x a los
elementos del primer conjunto y como y a los del segundo.
x 2 3 4 5
y 4 6 8 10
La relación que mostramos sigue una regla específica, precisamente que los elementos x se corresponden
con su doble, lo cual puede expresarse de la siguiente manera:
r: {2,3,4,5} {4,6,8,10}
x
2x
Esto es, la relación r va del conjunto {2, 3, 4, 5} al conjunto de los naturales {4, 6, 8, 10}; es decir a cada elemento
x del primer conjunto (conjunto de salida) se asigna 2x, que es su doble, para el segundo conjunto (conjunto de
llegada). Tal como señalamos en la tabla de valores, a los elementos del segundo conjunto podemos identificarlos
con la variable y; entonces, la regla de correspondencia puede escribirse en forma de ecuación: y 5 2x.
La cual puede graficarse en el plano cartesiano:
r: {2,3,4,5} {4,6,8,10}
x
y 5 2x
10
y
5
0
0 1 2 3 4 5
x
Nota que la gráfica es el conjunto de puntos y no la línea que los une, porque la relación hace referencia
solamente como entrada, al conjunto de números {2, 3, 4, 5}; y no a los números reales.
La forma más común y práctica de representar y trabajar con relaciones es cuando están representadas en
forma de ecuación para graficarse en el plano cartesiano.
15

1
Funciones lineal y cuadrática
Lección
3
Funciones
Existen muchas situaciones que pueden representarse mediante
relaciones y hay relaciones que son especiales como las funciones.
Definición
Una función es una regla de correspondencia que asocia a
los elementos de dos conjuntos, en la cual, a cada elemento
del primer conjunto se asigna un único elemento del segundo
conjunto.
Lo anterior significa que la regla de correspondencia de una función puede asignar a dos o más valores
de un primer conjunto un mismo valor de un segundo conjunto (figura 1.3), pero no puede asignar a un
mismo valor de un primer conjunto dos o más valores de un segundo conjunto (figura 1.4); es decir, no
puede haber dos pares con el mismo primer elemento.
X
Y
X
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 1.3 Figura 1.4
Ejemplo 1
Determina cuáles de los siguientes diagramas representan una función.
a)
A
B
c)
A
B
e)
A
B
2
3
4
5
4
9
12
1
4
2
3
4
3
4
5
14
b)
A
B
d)
A
B
2
3
4
0
6
11
25
5
8
9
22
26
16

Lección 3
Ejemplo 2
Solución
Los diagramas a), d) y e) corresponden a una función, ya que a cada elemento del conjunto A se
le asigna un solo elemento del conjunto B.
En el diagrama b) al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto
B, mientras que en el diagrama c), el elemento 4 se asocia con tres elementos del conjunto B; por
tanto, se concluye que estos conjuntos no representan una función.
Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función:
Solución
A 5 {(21, 23), (0, 0), (3, 9), (5, 15)}
B = {(0, 8), (3, 12), (0, 19)}
C ={(22, 9), (22, 16), (22, 28), (22, 31)}
D = {(0, 5),(3, 5),(6, 5)}
Los conjuntos A y D son funciones, ya que el primer elemento de cada par ordenado no se
repite. En el conjunto B el 0 aparece dos veces como primer elemento del par ordenado,
mientras que en el conjunto C al 22 se le asignan cuatro elementos; por tanto, B y C no
son funciones.
1. Discute con tus compañeros y maestro si los siguientes casos son funciones.
a) f)
0
21
4
21
0
3
Actividad de aprendizaje 1
8
b) g)
12
5
16
6
21
7
27
25
23
2
0
1
c) {(1, 2), (2, 1)} h) {(23, 5), (3, 25), (2, 3), (22, 6)}
d) {(a, b), (a, c), (c, d), (e, f )} i) {(3, 2), (3, 22), (4, 1), (4, 21)}
e) {(x, 1), (y, 1), (z, 1)} j) {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}
17

1
Funciones lineal y cuadrática
Dominio y rango de una función
Definición
El dominio* de una función es el conjunto de valores de la variable independiente si se verifica que
el valor de la variable dependiente es un número real.
Definición
El rango de una función es el conjunto de valores de la variable dependiente correspondiente a
todos los valores de la variable independiente en el dominio.
Como se ha visto, una función puede representarse de diversas formas, cada una con diferentes ventajas.
La forma con diagramas de Venn es muy puntual para señalar cómo se asocia un par de números.
Sin embargo, es evidente que un conjunto infinito no puede ser representado en esta forma. La gráfica
tiene la ventaja de mostrar tendencias de comportamiento; es muy visual y útil cuando se trata de observar
regularidades, crecimientos o decrecimientos. Pero la curva que se grafica depende de la ecuación o de
tener una tabla de parejas de números asociados. Finalmente, la ecuación de la función tiene como
desventaja que el dominio no es evidente.
En la siguiente figura mostramos gráficamente lo que sería el dominio y el rango; es decir, como porciones
de la extensión de la curva.
y
Rango
Dominio
x
En situaciones de contexto, algunas funciones restringen los valores a conjuntos numéricos más reducidos.
Así surge el concepto de intervalo, necesario para describir el dominio como una parte de los números
reales y su relación con las desigualdades.
Intervalos y desigualdades
Figura 1.5
El conjunto de números reales posee la propiedad de que entre ellos se puede establecer una relación de
orden, por ejemplo:
3 es menor que 7, 22 es mayor que 26, 28 es menor que 5.
* La palabra dominio proviene del latín domus que significa “casa”. Así que el dominio de una relación o función es donde
“vive” la variable independiente.
18

Lección 3
Dadas las expresiones numéricas a y b, sucede que, o son iguales (a 5 b) o son diferentes (a ≠ b). Si son
diferentes, uno de los números es mayor o menor que el otro. A esta relación de ser “mayor que” o “menor
que” le corresponden los signos ., ,, respectivamente.
Simbólicamente representamos estas situaciones de la siguiente manera:
a es menor que b: a , b
b es menor que a: b , a
a y b son iguales: a 5 b
En el último caso la relación es la igualdad, mientras que en los dos primeros se trata de desigualdades.
Definición
Se llama desigualdad a cualquier expresión que hace referencia a la relación entre dos números
que llevan el signo “.” o “,”; es decir, en la que un número es mayor o menor que otro,
respectivamente.
También tenemos dos signos más de uso común para expresar la desigualdad:
$ mayor o igual que # menor o igual que
Que señalan la posibilidad de la desigualdad o de la igualdad (una u otra, no ambas).
Ejemplo 3
Expresa simbólicamente los siguientes enunciados:
Enunciado
Desigualdad
a) 6 es mayor que 2. 6 . 2
b) Un número real positivo. x . 0
c) Un número menor o igual que 4. x # 4
d) Un número entre 1 y 9, inclusive. 1 , x # 9
e) Un número entre 3 y 7, inclusive ambos. 3 # x # 7
Nota
1. La desigualdad x # 4 denota a todos los números reales x que son menores o iguales que 4.
2. La desigualdad 1 , x # 9 significa que x . 1 y x # 9. Esta “doble” desigualdad comprende a
todos los números reales entre 1 y 9, incluyendo al 9, pero sin incluir al 1.
3. La desigualdad 3 # x # 7 significa que x $ 3 y x # 7. Esta “doble” desigualdad comprende a
todos los números reales entre 3 y 7, incluyendo al 3 y al 7.
19

1
Funciones lineal y cuadrática
A todos estos conjuntos de números se les denomina intervalos. La gráfica de un intervalo es el conjunto
de todos los puntos de una recta numérica comprendidos entre los puntos extremos de la desigualdad. La
gráfica se representa al sombrear una parte apropiada del eje. A este proceso lo conocemos como trazar
la gráfica del intervalo.
Definición
Un intervalo es el conjunto de todos los números comprendidos en una porción continua del eje
real o recta numérica, delimitada por dos puntos.
Para ilustrar, algunas desigualdades anteriores están representadas en las siguientes rectas numéricas:
1. La desigualdad x # 4
2. La desigualdad 1 , x # 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3. La desigualdad 3 # x # 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Notemos que, si la desigualdad contiene el signo de igual (5) el extremo lleva el símbolo de corchete [ ];
si la desigualdad no contiene el signo de igual, el extremo lleva el símbolo de paréntesis ( ).
Si los límites de esa porción del eje son los valores a y b (a , b), y tiene la forma (a, b) significa que
no contiene sus puntos extremos y se denomina intervalo abierto. El intervalo [a, b] que contiene sus
puntos extremos se llama intervalo cerrado. Los intervalos de la forma [a, b) y (a, b] se denominan
intervalos semiabiertos.
En la siguiente tabla se representan los tipos de intervalos en una recta numérica.
Sean a y b números reales con a , b. Los siguientes intervalos en la recta real son intervalos limitados. Los números a y b
son los puntos extremos de cada intervalo.
Notación Descripción Desigualdad Descripción Representación gráfica
(a, b)
Intervalo abierto desde un
número a hasta un número b sin
incluir ambos extremos.
a , x , b
Se lee: “valores de x mayores
que a y menores que b”. a b
20

Lección 3
Notación Descripción Desigualdad Descripción Representación gráfica
[a, b]
(a, b]
[a, b)
Intervalo cerrado desde un
número a hasta un número b
incluyendo ambos extremos.
Intervalo semiabierto desde
un número a hasta un número
b sin incluir el extremo a pero
incluyendo al extremo b.
Intervalo semiabierto desde
un número a hasta un número b
incluyendo el extremo a pero sin
incluir al extremo b.
a # x # b
a , x # b
a # x , b
Se lee: “valores de x
mayores o iguales que a y
menores o iguales que b”.
Se lee: “valores de x
mayores que a y menores o
iguales que b”.
Se lee: “valores de x
mayores o iguales que a y
menores que b”.
Los siguientes intervalos en la recta real son intervalos ilimitados o infinitos.
(a, ∞)
[a, ∞)
(2∞, b)
(2∞, b]
(2∞, ∞)
Intervalo abierto desde un
número a sin incluirlo hasta infinito.
Intervalo semiabierto desde un
número a inclusive hasta infinito.
Intervalo abierto desde menos
infinito hasta un número b sin
incluirlo.
Intervalo semiabierto desde
menos infinito hasta b, inclusive.
Intervalo de todos los números
reales desde menos infinito hasta
infinito (positivo).
a , x
a # x
x , b
x # b
x e R
Se lee: “valores de x mayores
que a”.
Se lee: “valores de x mayores
o iguales que a”.
Se lee: “valores de x menores
que b”.
Se lee: “valores de x menores
o iguales que b”.
Se lee: “x es elemento o
pertenece al conjunto de los
números reales”.
Los intervalos también pueden expresarse gráficamente al sombrear en la recta numérica la porción
comprendida, donde, en los extremos cerrados se indica que el valor extremo sí pertenece al intervalo; lo
cuál se marca con un círculo negro (•) En cambio, en el extremo abierto se indica que el valor extremo no
pertenece al intervalo; lo cuál se marca con un círculo sin relleno (s).
Ejemplo 4
En la tabla se muestra el intervalo de números reales, su representación gráfica y la forma de
desigualdad.
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
Intervalo Gráfica Expresión simbólica
[2, 7] 2 7 2 # x # 7
(1, 9] 1 9 1 , x # 9
(26, 8) –6 8 26 , x , 8
[3, ∞)
3
x $ 3
21

1
Funciones lineal y cuadrática
Actividad de aprendizaje 2
1. Representa cada una de las desigualdades en forma de intervalo:
a)
b)
c)
d)
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
–3 –2 –1 0 1 2 3
–3 –2 –1 0 1 2 3
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
2. Escribe una desigualdad que represente a los siguientes intervalos y grafícalos:
a) (212, 0) c) (4, 9] e) [210, 6]
b) (9, 21) d) (2`, 25) f) [4, `)
Gráficas de ecuaciones
Los pares ordenados de números reales se pueden representar por medio de puntos en un plano llamado
sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano.
Cada punto del plano corresponde a un par ordenado (x, y) de números reales x y y, también llamados
coordenadas del punto.
El sistema de coordenadas cartesianas nos permite ver la relación entre dos variables. Con frecuencia
una relación entre dos cantidades se expresa como una ecuación con dos variables. Por
ejemplo, y 5 3 2 5x es una ecuación en x y y. Un par ordenado (a, b) es una solución de una
ecuación con x y y si la ecuación es verdadera cuando a se sustituye por x y b se sustituye por y. Por
ejemplo (1, 22) es una solución de y 5 3 2 5x porque 22 5 3 2 5(1) es una proposición verdadera.
En esta sección repasaremos algunos procedimientos básicos para trazar la gráfica de una ecuación de
dos variables.
Definición
La gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que son soluciones de la ecuación.
22

Lección 3
Dada la ecuación de una función o una relación, la gráfica puede ser trazada en forma más fácil, si:
a) Primero despejamos la variable y; es decir si transformas la ecuación de tal forma que la variable y
quede de un solo lado de la ecuación.
b) Luego elabora una tabla de valores que muestre varios puntos de solución.
c) Sitúa esos puntos en un sistema de coordenadas.
d) Y, por último, traza la gráfica uniendo los puntos con una curva o recta.
Ejemplo 5
Realiza la gráfica de la relación x 1 2y 5 8.
Procedimiento
De x 1 2y 5 8 despejamos y:
y 5 2 2
1 x 1 4
Todo lo que necesitas para obtener pares ordenados es dar valores permitidos a x tales que la
variable y sea un número real. Hay algunos que resultan más prácticos que otros; por ejemplo,
en esta ecuación donde los valores de x deben ser divididos entre 2, es recomendable asignarle
valores que sean múltiplos de 2.
Si haces una tabla de valores y marcas los puntos en un sistema de coordenadas encontrarás una
gráfica como la que se muestra en la figura 1.6.
x y 5 2 2
1 x 1 4 (x, y)
y
2 3 (2, 3)
4 2 (4, 2)
6 1 (6, 1)
8 0 (8, 0)
Figura 1.6
Podemos observar que en la ecuación x 1 2y 5 8, para cada valor que damos a x obtendremos
un único valor de y; esta última es la variable dependiente porque el valor que obtienes depende
de los valores que hayas escogido para la variable x, que es la independiente. Por lo tanto, la
ecuación corresponde a una función.
La gráfica de la figura 1.6 es una línea recta; muchas funciones y relaciones tienen gráficas que
no son rectas, como en el ejemplo siguiente:
x
23

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 6
Grafica la ecuación y 5 x 2 .
Procedimiento
Elabora una tabla de valores y luego marca los puntos como se muestra en la figura 1.7.
x y 5 x 2 (x, y)
23 9 (23, 9)
22 4 (22, 4)
21 1 (21, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 4)
3 9 (3, 9)
Por último, enlaza los puntos con una curva, como se muestra en la figura 1.8.
Solución
10
y
10
y
8
8
6
6
4
4
2
2
–3 –2 –1 0
–2
1 2 3
x
–3 –2 –1 0
–2
1 2 3
x
Figura 1.7
Figura 1.8
Observa también que en la ecuación y 5 x 2 para cada valor que damos a x obtendremos un
único valor de y; por lo tanto, la ecuación corresponde a una función.
24

Lección 3
Ejemplo 7
Grafica la relación y = ! x.
Procedimiento
Para realizar la tabla de valores, observa que la variable x no puede ser negativa, ya que las raíces de
números negativos no son números reales; por tanto, la variable x debe tomar solo números no negativos:
x y = ! x
(x, y)
0 60 (0, 0)
1 61 (1, 1) y (1, 21)
2 61.4 (2, 1.4) y (2, 21.4)
3 61.7 (3, 1.7) y (3, 21.7)
4 62 (4, 2) y (4, 22)
10
8
6
4
2
y
Observemos que a un mismo elemento de x, excepto
el 0, le corresponden dos valores diferentes
de y; por lo tanto, esta relación no es función.
–2 0
–2
–4
–6
2 4 6 8 10 12 14 16
Figura 1.9
x
1. Para las siguientes ecuaciones completa la tabla. Usa los puntos de solución que resultan para
trazar la gráfica de la ecuación.
a) y 5 x 2 2
8
y
Actividad de aprendizaje 3
x y (x, y)
23
22
0
3
4
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
25

1
Funciones lineal y cuadrática
b) y 5 3
2 x 1 1
8
7
y
x y (x, y)
23
6
5
4
22
3
0
3
6
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
–2
–3
8
y
c) y 5 x 2 1 3
7
6
x y (x, y)
23
5
4
3
21
2
0
1
2
3
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
–3
8
y
d) y = 1 + x
x y (x, y)
7
6
5
10
8
5
4
3
2
1
2
1
0
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
26

Lección 3
Prueba de la línea vertical
Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda línea vertical que corta a su gráfica
lo hace únicamente en un punto, esto quiere decir que para cada valor de x existe un único valor de y. Así,
para saber si una gráfica corresponde a una función se puede usar la prueba de la línea vertical.
La prueba consiste en trazar líneas verticales para verificar que interseque solo en un punto a la gráfica.
Basta con que una recta interseque a más de dos puntos para que la prueba falle. En tal caso, el gráfico no
corresponde a una función.
Ejemplo 8
Determina qué gráficas de las figuras 1.10, 1.11 y 1.12 corresponden a una función.
Solución
Al usar la prueba de la línea vertical, tenemos que la gráfica de a) no pertence a una función pues
hay por lo menos una recta vertical que interseca a la curva en dos puntos; mientras que las de
los incisos b) y c) sí lo son.
a) b) c)
Figura 1.10 Figura 1.11 Figura 1.12
Usa la prueba de la línea vertical para determinar si las siguientes gráficas representan a y como
una función de x.
a) b) c)
Actividad de aprendizaje 4
27

1
Funciones lineal y cuadrática
Determinación del dominio y el rango
Cuando una relación, sea función o no, se representa en forma de gráfica, el dominio es observable. Sin
embargo, cuando aparece en forma de ecuación, el dominio y el rango no son tan evidentes; se
tienen que analizar los valores permitidos para la variable independiente y los valores correspondientes
para la variable dependiente.
Ejemplo 9
En la representación gráfica de la ecuación x 1 2y 5 8 del ejemplo 5, veamos de nuevo:
y
x
Ejemplo 10
Figura 1.13
En la gráfica se observa una recta. Las extensiones de esta sobre el eje x y sobre el eje y
corresponden para todo número real en ambas, ya que para cualquier valor de x siempre se
puede hallar un valor de y. Por lo tanto, el domino y el rango de la función son todos los números
reales y podemos representarlo de las siguientes formas:
Dominio:
Rango:
D 5 {x/xeR} o simplemente xeR
R 5 {y/yeR} o simplemente yeR
D 5 xe(2`, `) en forma de intervalo ye(2`, `)
Para el caso de la función y 5 x 2 cuya gráfica ya hicimos en el ejemplo 6:
10
8
6
4
2
y
El dominio sigue siendo el conjunto de los números reales. Sin embargo,
el rango corresponde solo con el cero y los números positivos, tal y
como se aprecia en la gráfica. Por lo tanto:
Dominio:
D 5 {x/xe R} o simplemente xe R
D = x e (2`, `) en forma de intervalo
–4 –2 0
–2
2 4
x
Rango:
R = {y/y ≥ 0} o bien y e [ 0, `)
28

Lección 3
Ejemplo 11
De acuerdo con la definición de dominio, donde la x solo puede tomar valores si la y arroja un
valor real, tenemos dos observaciones para decidir el dominio de una función:
1. En los números reales, la división entre cero no está definida.
2. Los radicales con índice par dan lugar a números no reales si dentro del radical aparece un número
negativo. Por lo que deberán revisarse los valores de x para los cuales, dentro del radical,
la expresión arroja un número negativo.
Determina el dominio para la función y
Procedimiento
= x .
La existencia del radical implica que todos los números en su interior sean no negativos. Así, el
dominio de la función es todo número real mayor o igual que 0:
Dominio = {x/x $ 0} o bien x e [0, `).
Al elaborar una tabla de valores y sustituir algunos valores del dominio para encontrar los
correspondientes del rango, tenemos su representación gráfica:
x y
0 0
2 1.4
4 2
6 2.4
10 3.1
4
3
2
1
(0, 0)
–1 0
–1
y
(12, 3.4)
(10, 3.1)
(6, 2.4)
(4, 2)
(2, 1.4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x
12 3.4
Ejemplo 12
A partir de la gráfica observamos que el rango de la función es: rango 5 {y / y ≥ 0} o bien ye [0, `).
Determina el dominio de la función fx ^ h
x + 1
=
x - 3
.
Solución
Se trata de una función racional, puesto que es la división de dos polinomios, por lo cual el
denominador debe ser diferente de cero, ya que la división entre cero no está definida; por lo
tanto, se busca el valor para el cual x 2 3 5 0, obteniendo x 5 3. Entonces el dominio es:
D 5 {x / x ≠ 3} o bien x e (2`, 3) < (3, `).
29

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 13
Determina el dominio y el rango de la función representada en la siguiente gráfica:
y
1
–1 –0.5 0 0.5 1
x
Ejemplo 14
Solución
De la gráfica tenemos que los valores de x están entre 21 y 1 inclusive ambos, ya que en el valor
21 el extremo es cerrado (•) y pasa lo mismo para el valor 1, el extremo también es cerrado (•);
por tanto, el dominio de la función es: D 5 {x / 21 # x # 1} o bien x e [21, 1].
Por otra parte, los valores de y están desde el 0 hasta el 1 incluyendo a ambos puesto que en el valor
1 tiene extremo cerrado. Por lo tanto, el rango 5 {y / 0 # y # 1} o dicho de otra forma y e [ 0, 1].
¿Cuál es el dominio y rango de la función representada en la siguiente gráfica?
15
y
10
5
–6 –4 –2 0
–5
–10
2 4 6 8
x
Solución
En la gráfica observamos que los valores de x están entre 26 y 8 inclusive, puesto que en el valor
26 el extremo es abierto ( ) y en 8 el extremo es cerrado (•); por tanto, el dominio de la función
º
es: D 5 {x / 26 , x # 8} o bien x e (26, 8].
Por otra parte, los valores de y están entre 210 y 15 incluyendo el 210 puesto que en ese valor
tiene su extremo cerrado. Por lo tanto, el rango 5 {y / 210 # y , 15} o bien y e [210, 15).
30

Lección 3
Ejemplo 15
¿Cuál es el dominio de la función y 5 2x 2 1 6x + 8?
Solución
Como la función es un polinomio no existe ninguna restricción para los valores de x, por lo que
puede tomar cualquier valor; así, el dominio son todos los números reales, es decir, x e R o dicho
de otra forma, x e (2`, `).
Actividad de aprendizaje 5
1. Determina el dominio de las siguientes funciones.
a) y 5 2x e) y 5 x 2 1 1
b) y 5 3x 1 2 f) y 5 x 2 1 4
c) y
x
x
5
= - g) y
= x 3
x
+ - 4
d) y = 1 + x
h) y = 2 - x
2. Determina el dominio y el rango de las funciones representadas en cada gráfica:
a) y
f)
20
3
y
15
2
10
1
5
–8 –6 –4 –2 0
–5
2 4 6
x
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
1 2 3 4
x
–10
–3
–15
–4
–5
–6
31

1
Funciones lineal y cuadrática
b) g)
3
y
8
y
2
6
1
4
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
–2
1 2 3 4 5 6
x
2
–2 –1 0
–2
1 2 3 4
x
–3
–4
–4
–6
–8
c) h)
y
5
4
2
1
y
3
2
–3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4
x
1
–2
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
1 2 3 4 5 6
x
d) i)
2
y
5
1
–3 –2 –1 0
–1
1 2
x
4
3
2
y
–2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5 6 7
x
32

Lección 4
e) j)
y
8
6
4
2
4
3
2
1
y
–6 –4 –2 0
–2
2 4
x
–5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5
x
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1
y resuelve los ejercicios del I al V del tema “Relaciones y funciones”, en el salón de clases. Al
finalizar, compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Las funciones se clasifican según la forma que tenga la ecuación o
regla de correspondencia; esta es la que da nombre a la función.
Tenemos:
Polinomial
Lección
4
Clasificación de
funciones
Algebraicas
Racional
Funciones
Irracional
A trozos
Constante
Lineal
Identidad
Trascendentes
Logarítmica
Exponencial
Cuadrática
Cúbica
Trigonómetrica
Las funciones trascendentes se llaman así porque trascienden lo algebraico y la variable independiente
aparece como exponente, índice de raíz, potencia, base en un logaritmo o asociada a una razón
trigonométrica. Estas funciones son: logarítmica, exponencial y trigonométrica.
Las funciones algebraicas son aquellas en las que, al realizar operaciones algebraicas con polinomios
(suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación), la variable independiente aparece en
monomios y polinomios resultantes. Estas funciones son: polinomial, racional, irracional y a trozos.
33

1
Funciones lineal y cuadrática
Las funciones polinomiales están formadas por polinomios y tienen la forma:
f (x) 5a o 1 a 1 x + a 2 x 2 1a 3 x 3 1...…1 a n x n
Donde a n es diferente de cero y n es un número natural. De acuerdo con el mayor exponente de x se
clasifican en: constante, identidad, lineal, cuadrática y cúbica, de grado n.
a) La función constante es una función polinomial de grado cero y tiene la forma:
f (x) 5 k , donde k es un valor real constante.
Son ejemplos de estas funciones: f (x) 5 28, f (x) 52, f (x) 5 23
b) La función identidad es una función polinomial de grado uno y tiene la forma: f (x) 5 x
c) La función lineal es una función polinomial de grado uno y tiene la forma:
f (x) 5 mx 1 b donde m ≠ 0 con m y b valores reales.
Son ejemplos de estas funciones: f (x) 5 x 2 8, f (x) 5 4x 2 3, f (x) 5 x 2 10.
d) La función cuadrática es una función polinomial de grado dos y tiene la forma:
f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c
donde a ≠ 0 con a, b y c valores reales.
Son ejemplos de estas funciones: f (x) 5 x 2 2 8, f (x) 5 2x 2 1 4x, f (x) 5 23x 2 1 x 2 12.
e) La función cúbica es una función polinomial de grado tres y tiene la forma:
f (x) 5 ax 3 1 bx 2 1 cx 1 d donde a ≠ 0 con a,b,c y d valores reales.
Son ejemplos de estas funciones: f (x) 5 x 3 22x 2 1 1, f (x) 5 3x 3 +5x, f (x) 5 2x 3 22x 2 18.
Actividad de aprendizaje 6
Anota en el paréntesis la letra que haga corresponder el nombre con la forma analítica de la
función.
1. f (x) 5 2x ( ) 5. f (x) 5 x 3 1 2x 2 2 2x 1 3 ( )
2. f (x) 5 x 2 2 2 ( ) 6. f (x) 5 6x 1 8 ( )
3. f (x) 5 27 ( ) 7. f (x) 5 2x 2 1 x 1 1 ( )
4. f (x) 5 25x 3 2 2 ( ) 8. f (x) 5 x ( )
a) Constante d) Cuadrática
b) Identidad e) Cúbica
c) Lineal
34

Lección 5
Así como dos números reales se pueden sumar, restar, multiplicar y
dividir y su resultado es otro número real, las funciones también se
pueden combinar para formar otras funciones.
El dominio de una combinación aritmética de funciones f y g está
formado por todos los números reales que sean comunes a los
fx ^ h
dominios de f y g. En el caso del cociente la única condición
gx ^ h
es que g(x) ≠ 0.
Lección
5
Operaciones
aritméticas con
funciones
Las operaciones con funciones se definen de la siguiente manera:
Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo, entonces para toda x común a ambos
dominios, la suma, resta, multiplicación y división de f y g están definidas como sigue:
1. Suma: (f 1 g)(x) 5 f (x) 1 g(x)
2. Resta: (f 2 g)(x) 5 f (x) 2 g(x)
3. Producto: (fg)(x) 5 f (x) • g(x)
4. Cociente: c
f
g
m^xh
=
fx ^ h
gx ^ h , g(x) ≠ 0
Definición
Ejemplo 1
Dadas las funciones f (x) 5 2x 1 1 y g (x) 5 5 2 6x, encuentra:
a) (f 1 g)(x)
b) (f 2 g)(x)
c) (fg)(x)
f
d) c m
g
^xh, g (x) ≠ 0
Procedimiento
a) (f 1 g)(x) 5 f (x) 1 g(x) 5 (2x 1 1) 1 (5 2 6x) 5 24x 1 6
b) (f 2 g)(x) 5 f (x) 2 g(x) 5 (2x 1 1) 2 (5 2 6x) 5 2x 1 1 2 5 1 6x 5 8x 2 4
35

1
Funciones lineal y cuadrática
c) (fg)(x) 5 f (x) • g(x) 5 (2x 1 1)(5 2 6x)5 212x 2 1 4x 1 5
d)
Ejemplo 2
Ejemplo 3
c
f
g
m^xh
=
fx ^ h
gx ^ h 5
2x
1
5- + 6x
, x !
5
6
Dadas las funciones f (x) 5 3x 1 1 y g(x) 52x 2 2 5x 1 1, encuentra (f 1 g)(x). A continuación
evalúa la suma cuando x 5 4.
Procedimiento
(f 1 g)(x) 5 f (x) 1 g (x) 5 (3x 1 1) 1 (2x 2 2 5x 1 1) 5 2x 2 22x 1 2
Cuando x 5 4, el valor de esta suma es (f 1 g)(4) 5 2(4) 2 2 2(4) 1 2 5 32 2 8 1 2 5 26.
Dadas las funciones f (x) 5 5x 2 11 y g(x) 5 6x 2 2 3x 1 8, encuentra (fg)(x). A continuación evalúa
el producto cuando x 5 21.
Procedimiento
(fg)(x) 5 f (x) • g(x) 5 (5x 2 11)(6x 2 2 3x 1 8) 5 30x 4 2 15x 3 146x 2 2 3x 1 8
Cuando x 521, el valor de este producto es
(fg)(21) 5 30(21) 4 2 15(21) 3 146(21) 2 2 3(21) 1 8 5 30 1 15 1 46 1 3 1 8 5 102
Actividad de aprendizaje 7
En los ejercicios 1-5, encuentra a) (f 1 g)(x), b) (f 2 g)(x), c) (fg)(x) y d) c
f
dominio de c
g
m(x) ?
1. f (x) 5 2x, g(x) 5 x 2 4
2. f (x) 5 x 2 25, g(x) 5 x 2 2 25
3. f (x) 5 23x, g(x) 5 2x 2 2 8x
4. f (x) 5 x 3 1 5x 2 2 6x 1 1, g(x) 5 2x 2 110x 112
5. f (x) 5 9x118, g(x) 527x 1 28
En los ejercicios 6 211, evalúa la función indicada para f (x) 5 x 2 2 12 y g(x) 5 x13.
6. ( f 1 g)(3)
7. ( f 2 g)(22)
8. ( fg)(5)
9. ( f 2 g)(1)
f
10. c m(6)
g
f
11. c m(22) g
f
g
m(x). ¿Cuál es el
36

Lección 6
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios del I al IV del tema “Función polinomial y operaciones con funciones” en
el salón de clases. Al finalizar, compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas
que escribiste.
Otra manera de combinar las funciones es formar la composición
de una con la otra. Componer f (x) con g(x) significa que si, por
ejemplo, y 5 f (u) y u 5 g(x), entonces y también depende de x
mediante u, es decir: y 5 f (u) 5 f (g(x)).
Este procedimiento se llama composición porque la nueva función
se compone de las dos funciones proporcionadas, f y g.
Lección
6
Composición de
funciones
La composición se representa con f º g, lo que se lee “f compuesta con g”.
Definición
Si f y g son dos funciones, la composición de la función f con la función g es:
(f º g)(x) 5 f (g(x))
El dominio de f º g es el conjunto de toda x en el dominio de g tal que g(x) esta en el dominio de f.
Ejemplo 1
Si f (x) 5 x 3 y g(x) 5 2x 1 5, encuentra (f º g)(x)
Procedimiento
La composición de f con g es:
(f º g)(x) 5 f (g(x)) 5 f (2x 1 5) 5 (2x 1 5) 3
Ejemplo 2
Si f (x) 5 x 2 11 y g(x) 5
x , encuentra f (g (x))
Procedimiento
La composición de f con g es:
(f º g)(x) 5 f (g(x)) 5 f ( x ) 5 ( x ) 2 1 1 5 x 1 1
37

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 3
Si f (x) 5 x 3 2 2 y g(x) 5 x 1 1, encuentra (g º f)(x)
Procedimiento
La composición de g con f es:
(g º f )(x) 5 g( f (x)) 5 g(x 3 2 2) 5 x 3 2 2 11 5 x 3 2 1
Actividad de aprendizaje 8
En los siguientes ejercicios, encuentra a) (f º g)(x) b) (g º f )(x)
1. f (x) 53x 1 2, g (x) 5 28x112
2. f (x) 5 x 2 2 6, g (x) 57x
3. f (x) 5 x + 4 , g (x) 5 x 2
4. f (x) 5 x 2 2 2, g (x) 5 x
5. f (x) 5 x 3 3
, g (x) 5 x - 2
Lección
7
La función lineal
A las funciones polinomiales se les nombra de acuerdo con su
grado. Por ejemplo, si la ecuación es: y 5 3x 1 5 se le asigna el
nombre de función lineal porque y es igual a un polinomio lineal (o
de primer grado) en la variable x.
Definición
La función lineal es una función polinomial de grado 1
cuya ecuación es de la forma y 5 mx 1 b, en donde m y b
son constantes reales.
La constante m representa la pendiente de la recta y b la intersección con el eje y, o también se llama
ordenada al origen.
La ecuación y 5 mx 1 b se conoce como ecuación general, pero si damos valores concretos a m y b, por
ejemplo: y 5 2x 1 8, entonces la ecuación se llama ecuación particular.
Si una ecuación particular tiene m 5 0, por ejemplo: y 5 7, entonces y será igual a un polinomio de grado
cero y la ecuación se llamará función constante. De manera similar, si una ecuación particular tiene
m 5 1 y b 5 0, entonces y será igual a un polinomio de grado uno y tendremos: y 5 x; esta ecuación se
llamará función identidad, que es un caso especial de la función lineal.
38

Lección 7
Las funciones lineales tienen como representación gráfica una recta; esta queda determinada cuando
conocemos dos de sus puntos y después trazando la recta que los contiene.
Su gráfica presenta las siguientes características si m Þ 0:
a) El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales.
b) El rango de la función es el conjunto de todos los números reales.
c) La gráfica tiene una intersección con el eje x y una intersección con el eje y.
Ejemplo 1
Sin realizar la gráfica de la función lineal f (x) 5 28 1 3x, determina la pendiente, y la ordenada
al origen.
Procedimiento
De la ecuación general de la recta: y 5 mx 1 b, en la función f (x) 5 28 1 3x tenemos que la
pendiente m 5 3 y la ordenada al origen: b 5 28.
Actividad de aprendizaje 9
Determina la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes funciones lineales.
a) f (x) 5 24x 1 2; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
b) g (x) 5 8 2 x; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
c) f (x) 5
3
2
x 212; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
d) f (x) 5 x 1 2; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
e) g (x) 5 8 1
5
4
x; pendiente =_______ ordenada al origen=__________
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios del I al VII del tema “Función lineal” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
39

1
Funciones lineal y cuadrática
Gráfica de una función lineal
Existen diversas formas para graficar una función lineal:
1. Mediante puntos coordenados usando una tabla de valores.
2. Mediante la intersección de la ordenada al origen y la pendiente.
3. Por medio de las intersecciones con los ejes coordenados.
1. Puntos coordenados mediante tabla de valores
Puesto que las funciones lineales se representan gráficamente con una recta definida con al menos dos
puntos, entonces solo necesitaremos dos puntos coordenados para trazarlas.
Ejemplo 2
Representa gráficamente la función f (x) 5 4x 2 3.
Procedimiento
Bastará obtener dos puntos coordenados, pero trazaremos cuatro de ellos para los valores de x
que pueden ser 24, 21, 0, 2.
x y 5 f (x)
24 4(24) 2 3 5 219
21 4(21) 2 3 5 27
0 4(0) 2 3 = 23
2 4(2) 2 3 = 5
10
y
5
(2, 5)
Los puntos coordenados (x, y) son (24, 219), (21, 27), (0, 23) y (2, 5).
Graficamos estos puntos en el plano cartesiano y los unimos mediante una
línea que representará la gráfica de la función.
–4 –2 0
–5
(21, 25)
–10
2
(0, 23)
x
–15
2. Intersección de la ordenada al origen y la pendiente
–20
(24, 219)
Para graficar una función lineal mediante la ordenada al origen y su pendiente, realizamos lo siguiente:
• Localizamos la ordenada al origen, es decir, el punto (0, b).
• A partir de ese punto, analizamos la pendiente como la elevación o el decremento vertical sobre el
incremento horizontal.
40

Lección 7
Para ello, estudiemos la influencia que tiene la pendiente en la línea recta. La pendiente de una recta no
vertical es el número de unidades que la recta sube o es creciente (o baja y es decreciente) verticalmente
por cada unidad de cambio horizontal de izquierda a derecha, como se ve en las figuras 1.14 y 1.15.
1
Cambio
horizontal
–3 –2 –1 0 1 2
–1
3
2
y
Cambio
vertical
3
x
3
Cambio
horizontal
2
Cambio
vertical
1
–3 –2 –1 0 1 2
–1
y
3
x
–2
–2
–3
–3
Figura 1.14 Pendiente positiva, la recta sube.
Figura 1.15 Pendiente negativa, la recta baja.
Es decir:
Pendiente de una recta =
Definición
cambio en la distancia vertical (elevación)
cambio en la distancia horizontal (desplazamiento)
El cambio en la distancia vertical (elevación) es la distancia vertical entre dos puntos de la gráfica y
el cambio en la distancia horizontal (desplazamiento) es la distancia horizontal entre ellos.
elevación
Una de las propiedades de la gráfica de la función lineal es que la razón desplazamiento
es constante; si la
pendiente es positiva (m . 0) se dice que la función lineal es creciente y si la pendiente es negativa (m , 0)
se dice que la función lineal es decreciente.
Cuando encontramos el cambio horizontal o vertical, restamos a las coordenadas del primer punto las
correspondientes del segundo. Así, si (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son dos puntos de una recta, entonces escribimos la
elevación y el desplazamiento como:
y
(x 2 , y 2 )
Elevación 5 y 2 2 y 1
(x 1 , y 1 )
y 2 2 y 1
x 2 2 x 1
Desplazamiento 5 x 2 2 x 1
x
41

1
Funciones lineal y cuadrática
Fórmula de la pendiente
Si (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son dos puntos de la gráfica de una función lineal, entonces:
elevación
y2-
y1
m =
desplazamiento
=
x - x
con x 2 ≠ x 1
2 1
Ejemplo 3
Grafica la función f^xh 2
=
5
x +3.
Procedimiento
De la ecuación tenemos que m
2
=
5
y b 53.
Puesto que la pendiente es un número positivo, la recta es creciente y a partir del punto intersección
(0, 3) de la gráfica, avanzas 5 unidades hacia la derecha y luego subes 2 unidades para encontrar
otro punto de la recta. Como se ve en la figura, que muestra la gráfica de la función.
6
y
5
(0, 3)
4
3
2
y
5 unidades
2 unidades
1
–3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5 6 7 8
x
Ejemplo 4
Determina la función lineal que representa a los valores de la siguiente tabla y traza su gráfica.
x 22 21 0 2 3
y 1 3 5 9 11
Procedimiento
Determinamos el valor de la pendiente con la fórmula y tomando cualquiera dos de los puntos. En
este caso, (21, 3) y (22, 1):
m =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
3-
1
= - 1 - ^ - 2h
2
=
1
= 2
Y puesto que la pendiente es positiva, es una recta creciente.
42

Lección 7
De la tabla de valores obtenemos el punto de intersección con el eje y: (0, 5).
Por lo tanto, la ecuación de la función lineal es:
Solución
y 5 mx 1 b 5 2x 1 5
Y graficamos los valores de la tabla:
(21, 3)
(22, 1)
12
10
8
6
4
2
y
(3, 11)
(2, 9)
(0, 5)
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
Ejemplo 5
Traza la gráfica de la función: 5x 1 7y 5 14.
Procedimiento
Puedes cambiar esta ecuación a la forma y 5 mx 1 b. Así:
5x 1 7y 5 14
7y 5 25x 1 14
y
5x 14
= - +
7
5
y =-
7
x+ 2
Entonces m
5
=-
7
y b 5 2.
Como en este caso la pendiente es un número negativo, uno de los dos, la elevación o el desplazamiento,
debe ser negativo (y el otro debe ser positivo). Partiendo del punto (0, 2) de la gráfica,
avanza 7 unidades hacia la derecha y luego baja 5, o bien desplázate 7 unidades hacia la
izquierda y luego sube 5 para encontrar el otro punto de la recta. La figura 1.16 muestra la gráfica
de la ecuación anterior.
43

1
Funciones lineal y cuadrática
Solución
5
y =-
7
x+ 2
y
y
5
7
(0, 2)
7
25
x
Figura 1.16
Ejemplo 6
Determina si los valores de la tabla corresponden a una función lineal, y si es así traza su gráfica.
x 22 21 1 2 3
y 14 11 5 2 21
Procedimiento
Como vimos anteriormente, una propiedad de la gráfica de la función lineal, es que el valor de
la pendiente es constante; siempre es el mismo, no importa qué par de coordenadas tomemos
de la gráfica de la función. Por tanto, obtengamos la pendiente para cada par de puntos dados,
empezamos con (22, 14) y (21, 11):
m =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
11 - 14
= - 1 - ^ - 2h
-3
= - 1 + 2
= - 1 3 =-3
Ahora con (21, 11) y (1, 5):
m =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
5-
11
=
1 -- ^ 1h
-
=
1 6 1 2 6 +
- =-3
44

Lección 7
Seguimos con (1, 5) y (2, 2):
m =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
2- 5 -
2 1 1 3 -
=
1 3 - = = =- 3
Y por último con (2, 2) y (3, 21):
m =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
=
-1- 2 -
3-
2 1 3 = =- 3
Observa que para cada par de puntos la pendiente es la misma. Por lo tanto, los valores
corresponden a la ecuación de una función lineal y su gráfica es:
(22, 14)
14
y
(21, 11)
12
10
8
6
4
2
(1, 5)
(2, 2)
–2
–1 0 1 2 3
–2 (3, 21)
x
Indica cuáles de las siguientes gráficas de funciones lineales tienen pendiente positiva o negativa
y cuáles son crecientes o decrecientes.
1. 2.
y
3
Actividad de aprendizaje 10
4
y
2
3
1
2
–3 –2 –1 0
–1
–2
1 2
x
1
–3 –2 –1 0
–1
1 2
x
–3
45

1
Funciones lineal y cuadrática
3. 4.
y
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
y
–4 –3 –2 –1 0
–1
1 2 3
x
–2 –1 0
–1
1 2 3
x
5.
3
2
1
y
–1 0
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve el ejercicio VIII del tema “Función lineal” en el salón de clases. Al finalizar, compara y
valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
3. Intersecciones con los ejes coordenados
Las soluciones de la ecuación f (x) 5 0 también se llaman ceros o raíces de la función f.
Gráficamente, los ceros o raíces de la función representan las intersecciones con el eje x. Este valor se
obtiene despejando la variable x en la función al sustituir y 5 0.
La intersección con el eje y se obtiene del valor que representa la ordenada al origen en la función: b.
Ejemplo 7
Grafica la función f (x) 5 2x 1 8.
Procedimiento
Para graficar f (x) 5 2x 1 8 podemos hallar la intersección de la función con el eje x.
46

Lección 7
Esto se logra al sustituir y 5 0 y despejar x.
x
f (x) 5 2x 1 8
y 5 2x 1 8
0 5 2x 1 8
22x 5 8
8
= - 2
=-4
Así, la intersección de la gráfica de la función con el eje x es en x 5 24 cuya coordenada es
(24, 0).
Y la coordenada que representa la ordenada al origen de la función es (0, 8).
Graficamos estas dos coordenadas en el plano cartesiano y
las unimos mediante una línea que representará la gráfica de
la función.
10
8
6
4
2
y
–4 –2 0 2
1. Realiza la gráfica de las siguientes funciones lineales a partir de su pendiente y ordenada al
origen.
a) f (x) 5 2x 1 3 c) f (x) 5 3
4 x 2 2 e) f (x) 55 1 6x
b) g (x) 5 26x d) g (x) 5 7 2 3x f) f (x) 5 24x 1 1
2. Escribe la ecuación que corresponda a cada función lineal a partir de su pendiente y la ordenada
al origen.
a)
6
5
4
3
2
1
y
Actividad de aprendizaje 11
x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
–1
x
47

1
Funciones lineal y cuadrática
b)
4
3
2
1
y
–3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5 6 7 8
x
c)
5
4
3
2
1
y
–3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5 6 7 8
x
3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones lineales a partir de las intersecciones con los ejes.
a) y 5 3x 1 3 c) f (x) 5 4 2 3x
b) f (x) 5 25x 1 1 d)
1
y = a k
2
x
4. Escribe la ecuación de la función lineal que corresponde a la gráfica de la recta que pasa por
los siguientes puntos de cada tabla de valores.
a)
b)
c)
d)
x 0 2 4 6
y 1 11 21 31
x 24 22 2 5
y 210 24 8 17
x 23 21 0 2
y 29 23 0 6
x 24 22 1 3
y 21 2
1
2
1
4
3
4
48

Lección 7
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 3. Análisis” de la etapa 1 y resuelve
los ejercicios del I al IV del tema “Función lineal” en el salón de clases. Al finalizar, compara y
valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Gráfica de una función lineal a partir de otra conocida
Algunas funciones lineales se grafican a partir de la gráfica de otra función lineal conocida, por medio de
los desplazamientos y la inclinación de esta última.
Desplazamientos
Sea f (x) 5 mx la ecuación de la función lineal y sea c . 0.
a) Si f 1 (x) 5 mx 1 c, entonces la gráfica de f 1 (x) se desplaza c unidades hacia arriba de la gráfica de f (x).
b) Si f 2 (x) 5 mx 2 c, entonces la gráfica de f 2 (x) se desplaza c unidades hacia debajo de la gráfica
de f (x).
Inclinación
c) Si el valor de m tiende a alejarse del 0, entonces la gráfica de f (x) tendrá una inclinación más
alejada del eje x.
d) Si el valor de m tiende a acercarse al 0, entonces la gráfica de f (x) tendrá una inclinación más
cercana al eje x.
Ejemplo 8. Sobre el desplazamiento
Con base en la función f (x) 5 x, traza la gráfica de g (x) 5 x 23, y h(x) 5 x 1 3.
Procedimiento
La gráfica de f (x) 5 x es:
3
y
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
1 2 3 4
x
49

1
Funciones lineal y cuadrática
Para obtener la gráfica de h (x) 5 x 1 3, se toma la gráfica de f (x) 5 x, y esta se desplaza 3
unidades hacia arriba; mientras que con la gráfica de g (x) 5 x 2 3, se desplaza 3 unidades
hacia abajo.
4
3
2
1
y
–5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1 2 3 4 5
x
h(x) 5 x 1 3
–2
–3
–4
g(x) 5 x 2 3
Ejemplo 9. Sobre la inclinación
Con base en la función f (x) 5 x, traza la gráfica de f (x) 5 2x, f (x) 5 4x, f (x) 5
1 x, y f (x) 5
2
4 5
x.
Procedimiento
Tracemos las gráficas de cada función en un solo plano cartesiano.
f (x) 5 4x f (x) 5 2x
y
f (x) 5 x
f (x) 5 5
2 x
f (x) 5 4
1 x
x
Observa que el valor de la pendiente muestra la cercanía que tiene la recta con el eje x. Por ejemplo, en
f (x) 5
1 x, la pendiente m 5
1 , que es positiva y nos indica que es creciente; en comparación con
4 4
f (x) 5
2
5
x, donde la pendiente es m 5
2
5
y es mayor que m 5
1 por lo que está más alejada
4
del eje x.
50

Lección 8
1. Selecciona valores de x para encontrar los valores correspondientes de y; grafica los puntos y
traza las gráficas de las siguientes funciones:
a) y 5 x 1 3 c) y 5 2x 1 3 e) y 5 0.5x 1 3
b) y 5 0x 1 3 d) y 5 22x 1 3 f) y 5 23x 1 3
2. A partir de las gráficas anteriores que trazaste, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Por qué las funciones de primer grado se llaman funciones lineales?
b) ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio de coeficiente de la x si la b permanece
fija?
3. Ahora traza las gráficas de las siguientes funciones:
Actividad de aprendizaje 12
a) y 5 2x c) y 5 2x 1 1 e) y 5 2x 1 2
b) y 5 2x 2 1 d) y 5 2x 2 2 f) y 5 2x 2 3
4. ¿Qué efecto sobre la gráfica produce el cambio del término constante si la m permanece fija?
5. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones de los incisos e) y f) del problema 1 del
resto de las funciones de este ejercicio?
6. Elabora tus conclusiones con base en las respuestas que diste para las preguntas 2, 4 y 5.
Compártelas con tu grupo y discutan los resultados.
Ejemplo 1
Modelar
En matemáticas
modelar significa
representar
mediante gráficas,
ecuaciones y otros
procedimientos, un
hecho o fenómeno.
Las funciones lineales no solo representan
ecuaciones o lugares geométricos,
como se verá más adelante, también
se emplean para resolver problemas
de la vida cotidiana. Es decir, puedes
utilizarlas para predecir los valores
de una variable que represente una
cantidad física; cuando una función se
utiliza de esta forma se conoce como
modelo matemático.
8
Funciones lineales
como modelos
matemáticos
En un establecimiento que vende piezas de cristal, el precio de cada vaso de vidrio es de $3.00,
más un cargo único de $2.00 por la caja, el servicio, etcétera.
a) Determina la ecuación que exprese la cantidad total a pagar por un paquete de vasos como
una función del número de vasos comprados.
b) Explica por qué la función del inciso anterior es una función lineal.
51

1
Funciones lineal y cuadrática
c) Determina el precio de una caja que contiene una docena de vasos.
d) ¿Cuántos vasos habrá en la caja si el costo por ella es de $47.00?
e) Traza la gráfica de la función usando un dominio adecuado.
Procedimiento
a) Si v 5 número de vasos que contiene la caja.
Si c 5 costo total del paquete.
Solución
Entonces la ecuación es: c 5 3v 1 2.
b) La función anterior es lineal porque la expresión c 5 3v 1 2 es un polinomio de primer grado
en la variable v.
c) Si v 5 12, c 5 3(12) 1 2 5 36 1 2 5 38
Solución
$38.00 es el precio de una caja que contiene una docena de vasos.
d) Sustituyamos el costo c 5 47 en la función c 5 3v 1 2 y despejamos la cantidad de vasos v:
Solución
15 vasos
47 53v 1 2
45 5 3v
45 5 v
3
v 5 15
e) La gráfica se muestra en la figura 1.17. El dominio de la variable v, que representa el número
de vasos comprados, es el conjunto de los números enteros positivos. Por esta razón, la
gráfica son solo puntos discretos y no una línea continua. También la intersección c 5 2, en
el valor 2 del eje vertical se excluye, ya que v 5 0 indica que no se compró ningún vaso; y
por lo tanto no se cobra el cargo por la caja ni por el servicio (ya se indicó que el dominio
es el conjunto de los enteros positivos).
52

Lección 8
Solución
c
20
0
0 5
Figura 1.17
10 v
Actividad de aprendizaje 13
Resuelve los siguientes problemas:
1. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada por
9
F =
5
C+32
a) Completa la tabla para comparar las dos escalas en los valores dados.
b) Bosqueja una gráfica de la relación de temperaturas.
c) Determina la temperatura en la que coinciden las escalas.
°C °F
-40°
-30°
-20°
-10°
0°
40°
56°
74°
2. El número de metros de cable necesarios para un elevador depende del número de pisos en
servicio del edificio. Supón que m 5 7p 1 12, donde m es el número de metros de cable del
elevador y p es el número de pisos de la construcción.
a) ¿La relación anterior será una función lineal? ¿Por qué?
b) ¿Qué cantidad de cable necesitará un elevador para un edificio de 9 pisos?
c) ¿De cuántos pisos es un edificio que utilizó 124 m de cable en su elevador?
d) ¿Qué representa la pendiente de la ecuación anterior en el mundo real?
e) Traza la gráfica de la ecuación anterior.
53

1
Funciones lineal y cuadrática
3. La altura de un rectángulo es 4 unidades menor que la base. Construye la ecuación que permite
obtener el perímetro del rectángulo en función de la base.
Después realiza la gráfica de la función y, determina el perímetro de los rectángulos con base
igual a 1, 12 y 16 unidades.
4. El costo de enviar un paquete para entregar al día siguiente de una ciudad a otra es de
$18.56 para un paquete de 1 kilogramo de peso y $2.87 por cada kilogramo adicional. Si
x representa el peso en kilogramos del paquete:
a) Determina un modelo para el costo total de enviar el paquete.
b) Determina el costo de enviar un paquete que pesa 18 kilogramos.
c) Traza la gráfica del modelo matemático.
5. La renta de un automóvil es de $520 diarios más $0.30 por kilómetro recorrido.
a) Determina la ecuación que relaciona el costo diario con el número de kilómetros.
b) Determina el costo de la renta si recorre 12 km, 16 km, y 20 km.
c) Realiza la gráfica para la ecuación de costos.
6. La velocidad V del sonido en el aire, expresada en m/seg, depende de la temperatura (T)
expresada en °C mediante V 5 0.6T 1 331.
¿En cuánto aumentará la velocidad del sonido por cada 2°C de aumento en la temperatura
del aire?
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 4. Aplicación” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios I y II del tema “Función lineal” en el salón de clases. Al finalizar, compara
y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
9
Variación lineal
La función variación es un tipo relativamente simple de función, que
es muy útil como modelo matemático; es una ecuación en la cual y es
igual a una constante multiplicada por x.
Si en la ecuación de la función lineal: y 5 mx 1 b la constante
b es igual a cero, la ecuación resultante es: y 5 mx, siendo un
caso especial de la función lineal, entonces se dice que “y varía
directamente con x”, o que “y es directamente proporcional a x”.
Para definir la constante, a menudo se usa la letra k, en lugar de la m, debido a que se toma de la palabra
alemana konstante.
La gráfica de dicha ecuación es una recta que pasa por el origen. Si k . 0, la función será creciente. Si
k , 0, la función será decreciente.
54

Lección 9
Definición
La función variación, en donde “y varía directamente con x” o “y es directamente proporcional a x”,
tiene como ecuación general: y 5 kx con k como constante.
Ejemplo 1
Si un automóvil recorre 120 km con 3 galones de gasolina y recorre 400 kilómetros con 10
galones de gasolina, determina:
a) El valor de la constante de proporcionalidad.
b) La función de variación que representa la situación.
c) ¿Cuántos kilómetros recorre con 18 galones?
Procedimiento
a) Observemos que las magnitudes son directamente proporcionales si la razón o cociente
entre ellas es un valor constante.
Por lo que, la razón entre los kilómetros recorridos y los galones gastados
viaje(kilómetros)
gasolina
es:
Solución
120 km 400 km
5 40 km/gal y
3gal
10 gal
5 40 km/gal , observemos que el valor se conserva.
El valor de la constante de proporcionalidad de la función de variación directa es: k 5 40
b) Si y representa la cantidad de kilómetros recorridos y x la cantidad de galones de gasolina
usados, entonces la función de variación directa es:
Solución
y 540x
y 5 kx (los kilómetros recorridos son directamente proporcionales a los galones de gasolina
usados).
c) Si x 5 18 galones, entonces y 5 (40 km/gal)(18 gal) 5 720 km.
Solución
Con 18 galones de gasolina el auto recorre 720 kilómetros.
55

1
Funciones lineal y cuadrática
Actividad de aprendizaje 14
1. Determina si el modelo de variación es de la forma y 5 kx y en su caso determina el valor de
k. A continuación escribe un modelo que relacione y con x.
a)
x 2 4 6 8 10 12
y 10 20 30 40 50 60
Modelo de variación:
b)
x 2 4 6 8 10 12
y 1 2 3 4 5 6
Modelo de variación:
c)
x 2 4 6 8 10 12
y 4 4 4 4 4 4
Modelo de variación:
d)
x 2 4 6 8 10 12
y
1
2
1
3
2
2
5
2
3
Modelo de variación:
2. Si la variación en las siguientes tablas de valores es directa, encuentra el valor de a y la
ecuación de la función variación que representa.
a)
x 0 3 6 9 12 15
y 0 4 8 a 16 20
Modelo de variación:
b)
x 2 4 6 8 10 12
y
2
5
6
5
1
16
5
4 a
Modelo de variación:
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios del I al V del tema “Función variación” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
56

Lección 9
Actividad de aprendizaje 15
Modelos matemáticos
En los ejercicios del 1 al 3, usa la ley de Hooke para resortes, que expresa que la distancia que
un resorte se estira (o comprime) varía directamente con la fuerza aplicada sobre él.
1. Una fuerza de 210 newtons estira un resorte 0.12 metros (vea la figura).
Equilibrio
} 0.12m
a) ¿Qué distancia se estira un resorte si se le aplica una fuerza de 82 newtons?
b) ¿Qué fuerza se requiere para estirarlo 0.2 metros?
210
newtons
2. Una fuerza de 125 newtons estira 0.15 metros un resorte. ¿Qué fuerza se requiere para
estirarlo 0.25 metros?
3. Una fuerza de 98 newtons estira un resorte 0.18 metros. ¿Qué distancia se estira el resorte al
aplicarle una fuerza de 85 newtons?
4. Se vierten diferentes cantidades de agua en un tanque, como se muestra en la figura. En cada
tanque se miden la altura del agua y su volumen; los datos se registran en la tabla que se
muestra a continuación:
Altura (cm) Volumen (cm 3 )
4 7
6 10.5
7 12.25
10 17.5
13 22.75
a) ¿El volumen del agua es directamente proporcional a su altura? ____ ¿Por qué? _____
b) Construyan en el plano cartesiano una gráfica que represente la relación entre la altura del
agua vertida en el tanque y su volumen.
5. Una persona observa que, en una cinta de medir, 8 pulgadas es aproximadamente la misma
longitud que 20 centímetros. Usa esta información para hallar un modelo matemático que
relacione centímetros, c, con pulgadas, p. A continuación, usa el modelo para hallar los centímetros
que hay en 18 pulgadas.
6. La cantidad de galletas que debes preparar para una merienda varía directamente con el número
de personas invitadas. Supón que haces 7 charolas de galletas para servir a 10 personas.
a) Escribe la ecuación particular expresando el número de charolas en términos del número
de invitados.
57

1
Funciones lineal y cuadrática
b) ¿Cuántas charolas de galletas debes preparar para 38 personas?
c) ¿Cuántas personas puedes invitar, aproximadamente con 10 charolas de galletas?
d) Traza la gráfica de esta función.
7. La siguiente figura muestra 4 vasos cónicos que solo son diferentes por su altura. Se mide la
altura de cada vaso y su volumen, los datos se muestran en la tabla 3.
Altura (cm) Volumen (cm 3 )
5 6
10 12
15 18
20 24
25 30
a) ¿Es el volumen directamente proporcional a la altura? _______ ¿Por qué?_______
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la relación entre las alturas y los volúmenes
de los vasos?
c) Construyan una gráfica que represente la relación entre las alturas y los volúmenes de los vasos.
8. Tu peso expresado en libras es directamente proporcional a tu peso expresado en kilogramos.
Rosa se sube a la báscula y esta marca 45 kilogramos; si ella sabe que pesa 112 libras:
a) Escribe una ecuación particular que exprese las libras en términos de kilogramos.
b) Calcula cuántas libras pesaría una persona si la báscula muestra 80 kilogramos.
c) ¿Cuántos kilogramos pesaría Rosa si su peso en libras es de 170?
d) ¿Cuántas libras pesas tú?
e) Dibuja la gráfica de la función.
9. Cuando buceas, la presión en tus oídos varía de manera directamente proporcional con la
profundidad a la que bajas. A los 10 pies, la presión se acerca a 4.3 libras por pulgada
cuadrada (psi).
a) Escribe una ecuación que exprese la presión en términos de la profundidad.
b) Predice la presión a 55 pies.
c) Es inseguro para un novato bucear si la presión es mayor que 70 psi, ¿qué profundidad es esa?
d) Dibuja la gráfica de la presión contra la profundidad.
10. El ingreso de dinero (R) que obtienes al llevar a reciclar latas de aluminio varía de manera
directamente proporcional al número de latas que obtengas. Si el precio es de 40 centavos la
libra (23 latas):
a) Escribe una ecuación particular que exprese el número de centavos en términos de las latas
que llevas a reciclar.
b) ¿Cuánto recibes por 100 latas?
c) Si quieres ganar $100, ¿cuántas latas tendrías que recolectar?
58

Lección 10
11. En una tormenta, el intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno es directamente proporcional
a la distancia entre tú y el rayo.
a) Define las variables que te gustaría usar para la distancia y el intervalo de tiempo.
b) Escribe una ecuación particular si un rayo que cae a 50 km de distancia y se escucha su
trueno 15 segundos después.
c) Calcula el tiempo del trueno si un rayo cae a 1, 2, 5 y 10 km de donde estás.
d) Dibuja la gráfica de tiempo contra distancia.
e) Si el intervalo de tiempo es de 29 s ¿qué tan lejos cayó el rayo?
f) ¿Qué pasaría si ves el rayo y oyes el trueno al mismo tiempo?
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 4. Aplicación” de la etapa 1 y resuelve
el ejercicio I y II del tema “Función variación” en el salón de clases. Al finalizar, compara
y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Otro caso de funciones polinomiales es la función cuadrática o de
segundo grado; en la cual el exponente máximo de la variable es dos.
10
Definición
La función cuadrática es una función polinomial de segundo
grado, cuya ecuación general es:
y 5 ax 2 1 bx 1 c
donde a, b y c son constantes que pueden tomar cualquier
valor, excepto la constante a que no puede ser igual que cero.
La función cuadrática
El dominio de la función son todos los números reales y el rango dependerá de una coordenada llamada
vértice que más adelante veremos con detalle.
Las ecuaciones de las funciones cuadráticas pueden presentarse en diferentes formas, por ejemplo:
y 5 (3x 2 4) (x 2 5)
y 5 (x 1 6) 2
y 5 (x 1 1) 2 + 2
Si se desarrollan las ecuaciones anteriores y se reduce los términos semejantes se tendrán las ecuaciones
en la forma general.
59

1
Funciones lineal y cuadrática
La gráfica de una función cuadrática en x se obtiene a partir de la ecuación dada; al suponer distintos
valores para x y obtener los valores correspondientes de f (x), determinamos pares ordenados de valores
que representamos en el plano cartesiano y que unidos mediante una línea continua dan como resultado la
gráfica de la función. Realizar la gráfica hasta observar que algunos puntos encontrados están a los lados
del punto visualizado como vértice.
Ejemplo 1
Grafica y 5 x 2 2 2x 2 3.
Procedimiento
Construimos la tabla de valores tomando valores positivos y negativos, y los sustituimos en la
función para obtener los valores de y.
x
y 5 f (x)
24 y 5 (24) 2 2 2(24) 2 3 5 21
23 y 5 (23) 2 2 2(23) 2 3 = 12
22 y 5 (22) 2 2 2(22) 2 3 = 5
0 y 5 (0) 2 2 2(0) 2 3 = 23
1 y 5 (1) 2 2 2(1) 2 3 = 24
2 y 5 (2) 2 2 2(2) 2 3 = 23
3 y 5 (3) 2 2 2(3) 2 3 = 0
–3 –2 –1 0
–1
Intersección
con el eje y
2
1
–2
y
(0, 23) –3
(2, 23)
–4
Vértice
Figura 1.18
Eje de simetría
1 2 3 4
Puntos
simétricos
Intersección
con el eje x
x
De acuerdo con la gráfica que se ha obtenido, podemos concluir que las gráficas de las funciones
cuadráticas tienen una forma característica llamada parábola que corresponde al relieve que se
puede observar en un cono una vez que este es cortado por un plano, como se observa en la figura:
Ahora que ya conoces la forma de la gráfica, te señalaremos sus características más importantes;
para esto usaremos la gráfica de la figura 1.18.
60

Lección 10
1. La línea vertical punteada no es parte de la gráfica; se le llama eje de simetría porque divide
a la gráfica en dos partes simétricas, una imagen espejo de la otra; es decir, para un punto
del lado izquierdo de la parábola hay un punto en el lado derecho —que es como su reflejo—,
que está a la misma distancia a partir del eje de simetría.
2. Se dice que los puntos que están a la misma distancia del eje de simetría son simétricos, tienen
la misma coordenada y pero diferente coordenada x; por ejemplo, los puntos (0, 23) y (2, 23)
en la gráfica de la figura 1.18 son puntos simétricos.
3. Al punto (1, 24), que es la intersección de la gráfica con el eje de simetría, se le llama vértice de
la parábola; es el único punto donde para cada valor de y hay un solo valor de x. El eje de
simetría es una recta vertical que pasa por el vértice; entonces todos sus puntos tienen la misma
coordenada x del vértice; y por lo tanto, su ecuación es x = h, donde h es la abscisa del vértice.
4. A los puntos donde la gráfica corta los ejes se les llama intersecciones de los ejes; el
punto (0, 23) es la intersección y y los puntos (21, 0) y (3, 0) son las intersecciones x.
Elementos de la gráfica de una función cuadrática
Al graficar la función cuadrática: y 5 ax 2 1 bx 1 c, el coeficiente a tiene dos efectos importantes:
indica hacia dónde se abre la parábola y la forma que tiene.
Cuando b = 0 y c = 0, se presenta la forma más sencilla de una función cuadrática, es decir,
f (x) 5 ax 2 . Su gráfica es una parábola con el vértice en (0, 0). Si a . 0, entonces la parábola
abre hacia arriba y el vértice es un punto mínimo en la gráfica; si a , 0, la parábola abre hacia
abajo y el vértice es un punto máximo (figura 1.19).
f (x) 5 ax 2
Máximo
Mínimo
a . 0
a , 0
Figura 1.19
61

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 2
Traza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: y 5 x 2 , y 5 2x 2 ,
en un mismo plano cartesiano para los siguientes valores de la tabla.
Procedimiento
y 5 x 2 y 5 2x 2
x y x y
22 4 22 24
21 1 21 21
0 0 0 0
1 1 1 21
2 4 2 24
y 5 x 2
4
y
3
2
1
–2 –1 0
–1
–2
–3
–4
1 2
y 5 2x 2
x
Como puedes observar, una de las gráficas se abre hacia arriba y la otra hacia abajo. Esto se
debe al signo del coeficiente cuadrático puesto que es la única diferencia entre ambas ecuaciones.
En conclusión:
Si el coeficiente cuadrático a es positivo (a > 0), entonces la parábola abre hacia arriba.
Si el coeficiente cuadrático a es negativo (a < 0), entonces la parábola abre hacia abajo.
El vértice de la parábola es el punto más bajo si la parábola se abre hacia arriba o el más alto si
se abre hacia abajo.
El valor de a en la función cuadrática f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c también nos muestra si la forma de la
parábola es muy abierta o muy cerrada.
Ejemplo 3
Traza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:
y 5 22x 2 , y 5 2x 2 , y 5 2 2
1 x
2
en un mismo plano
cartesiano para los siguientes valores de la tabla.
Procedimiento
y 5 22x 2 y 5 2x 2 y 5 2 2
1 x
2
x y x y x y
22 28 22 24 22 22
21 22 21 21 21 2 2
1
0 0 0 0 0 0
1 22 1 21 1 2
1
2
2 28 2 24 2 22
0.5
–3 –2 –1 0
–0.5
–1
–1.5
–2
–2.5
–3
–3.5
y
1 2 3
y 5 2x 2 y 5 22x 2 y =-
2
x
x
1 2
62

Lección 10
Observa que al modificar el valor de a se modifica el grado de abertura de la parábola, con el
aumento del valor de a los lados de la parábola se cierran.
En conclusión:
El coeficiente a influye en la forma de la parábola; si su valor aumenta, los lados de la
parábola se cierran.
Traza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano usando una
tabla de valores
Actividad de aprendizaje 16
a) f (x) 5 x 2 , f (x) 5 2x 2 , f (x) 5 4x 2
b) f (x) 5 x 2 , f (x) 5
1
2
x2 , f (x) 5 3x 2
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios del I al V del tema “Función cuadrática” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Gráfica de una función cuadrática a partir de otra conocida
Al igual que la función lineal, es posible graficar una función cuadrática a partir de la gráfica de otra
función cuadrática conocida mediante desplazamientos de esta última.
Desplazamiento vertical
Sea f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c una función cuadrática, y sea d > 0 si:
a) Si h(x)=f (x) 1 d entonces la gráfica de h(x), se desplaza d unidades hacia arriba.
b) Si h(x)=f (x) 2 d entonces la gráfica de h(x), se desplaza d unidades hacia abajo.
63

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 4
Con base en la función f (x) 5 x 2 , traza las
gráficas de f (x) 5 x 2 13, y f (x) 5 x 2 23.
Procedimiento
4
3
2
1
y
La gráfica de f (x) 5 x 2 es:
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x
7
6
f (x) 5 x 2 13
y
Para obtener la gráfica de f (x) 5 x 2 13, se
toma la gráfica de f (x) 5 x 2 , y esta se desplaza
3 unidades hacia arriba; mientras que con
la gráfica de f (x) 5 x 2 23, se desplaza 3
unidades hacia abajo.
f (x) 5 x 2 23
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–1
x
–2
–3
Ejemplo 5
Con base en la función f (x) 5 x 2 14x, traza las gráficas de f (x) 5 x 2 14x 26, y f (x) 5 x 2 14x 12.
Procedimiento
La gráfica de f (x) 5 x 2 14x , la obtenemos dando valores a la variable x:
x y
25 5
24 0
22 24
21 23
0 0
1 5
4
2
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
–2
–4
y
x
64

Lección 10
Para obtener la gráfica de f (x) 5 x 2 14x 12, se toma la gráfica de f (x) 5 x 2 14x, esta se desplaza
2 unidades hacia arriba; mientras que con la gráfica de f (x) 5 x 2 14x 26 se desplaza 6 unidades
hacia abajo.
10
y
8
6
4
2
–8 –6 –4 –2 0 2 4
–2
x
–4
–6
–8
–10
Intersecciones con los ejes
Ya vimos antes que las raíces de una función f son las soluciones de la ecuación f (x) 5 0, y que
gráficamente, los ceros o raíces de la función representan las intersecciones con el eje x.
Entonces, las raíces de la función cuadrática se obtienen al sustituir f (x) 5 0 (o y 5 0), por lo que la
función f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c se trasforma en una ecuación cuadrática ax 2 1 bx 1 c 5 0 que se resuelve
por factorización o empleando la fórmula general cuadrática y puede tener dos raíces, una o ninguna en
los números reales. Gráficamente la parábola tocará dos, una o ninguna vez al eje x dependiendo de la
naturaleza de las raíces.
2
b!
b 4ac
En la fórmula general cuadrática: x = - - 2a
a la expresión dentro del radical b 2 2 4ac se le
llama discriminante y determina la naturaleza de las raíces.
Naturaleza de las raíces
Si el discriminante es un número positivo; es decir b 2 2 4ac > 0, entonces los valores que se obtienen
para x (raíces) son dos números reales y diferentes. Gráficamente la parábola interseca en dos
puntos al eje x.
Si el discriminante es igual a cero; es decir b 2 2 4ac = 0, entonces los valores que se obtienen para
x (raíces) son dos números reales e iguales. Gráficamente la parábola interseca en un punto al eje x.
Si el discriminante es un número negativo; es decir b 2 2 4ac < 0, entonces los valores que se
obtienen para x (raíces) no son números reales. Gráficamente la parábola no interseca al eje x.
65

1
Funciones lineal y cuadrática
La intersección con el eje y de la gráfica de la función cuadrática se obtiene al sustituir x 5 0; es decir, si
f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c , entonces f (0) 5 a(0) 2 1 b(0) 1 c = c.
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y de la gráfica de una función cuadrática f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c
es el punto con coordenadas (0, c).
Ejemplo 6
Determina las coordenadas de las intersecciones con los ejes de la gráfica de la función cuadrática:
Procedimiento
y 5 23x 2 2 5x 1 12
Encontremos la intersección con el eje y sustituyendo el valor de x 5 0 en la función
y 5 23x 2 2 5x 1 12.
y 5 23x 2 2 5x 1 12 5 23(0) 2 2 5(0) 1 12 5 12
La coordenada de intersección con el eje y es: (0, 12).
Ahora, determinemos la intersección con el eje x sustituyendo el valor de y 5 0 en la función
y 5 23x 2 2 5x 1 12.
Si y 5 0, tenemos:
0 5 23x 2 2 5x 1 12
23x 2 2 5x 1 12 5 0
Usando la fórmula general cuadrática para resolver la ecuación se tiene:
2
b!
b 4ac
x = - - 2a
=
2
-- ^ 5h!
^-5h
-4^-3h^12h
2^-3h
x =
5!
25 + 144 5 ! 169 5 ! 13
-6
=
-6
= - 6
5+
13 18
x = - 6
= - 6
=-3
5-13
-8
x = - 6
= - 6
=
4
3
Por lo tanto, las coordenadas de intersección con el eje x son: (23, 0) y ( 3
4 , 0).
66

Lección 10
Vértice de la parábola
Dado que el vértice de la parábola es el único punto de la gráfica donde para un valor de y existe un
único valor de x, entonces dicho valor de x se obtiene cuando el discriminante es igual a cero (ya que
se obtienen dos valores reales pero iguales); es decir, si b 2 2 4ac = 0, al sustituir en la fórmula general
cuadrática tenemos:
2
b! b 4ac
b ! 0 b ! 0
x = - - 2a
= - 2a
= - 2a
= - 2a b =-
2
b
a
Por lo tanto, la coordenada x del vértice de la gráfica de la función cuadrática f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c, que
denotaremos x v la podemos calcular mediante la fórmula x v 5
b
- .
2a
Ejemplo 7
Determina las coordenadas del vértice de la gráfica de la función cuadrática y 5 2x 2 2 4x 13.
Procedimiento
Aplicamos la fórmula para obtener la coordenada x del vértice:
x v 5
b 4
-
2a
= - = 1
2^ah
La coordenada x del vértice es entonces x 5 1.
Ahora sustituye este valor de x en la función cuadrática para calcular la coordenada y del vértice:
y 5 2(1) 2 2 4(1) 1 3
y 5 2 2 4 1 3
y v 5 1
Solución
El vértice de la gráfica de la función y 5 2x 2 2 4x 13 se ubica en el punto (1, 1): V(1, 1).
A partir de la coordenada “y” del vértice se determina el rango de la parábola.
Para este ejemplo, el rango de la parábola y 5 2x 2 2 4x 1 3 son todos los números reales mayor
o igual que 1. R 5 {y/y $1} o y 5 [1, `)
Eje de simetría de la parábola
El eje de simetría es una recta vertical que pasa por el vértice; entonces todos los puntos del eje de simetría
tienen la misma coordenada x del vértice (x v ); y por lo tanto, su ecuación es x 5
b
- o x 1
b
2a
2a
5 0.
67

1
Funciones lineal y cuadrática
Ejemplo 8
Encuentra la ecuación del eje de simetría de la función f (x) 5 x 2 1 8x 1 4 (figura 1.20).
Procedimiento
De la función f (x) 5 x 2 1 8x 1 4 tenemos que
a 5 1,b 5 8 y c 5 4.
Entonces la ecuación del eje de simetría de f (x) es:
6
4
2
2
y
Solución
–10 –8 –6 –4 –2 0
–2
2
x
b 8
x =-
2a
= - =-4
21 ^ h
–4
–6
O bien x 1 4 5 0.
–8
–10
Figura 1.20
–12
Eje de simetría
Actividad de aprendizaje 17
1. Determina la coordenada del vértice de la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas.
a) f (x) 5 x 2 1 2x 1 6 c) f (x) 5 2x 2 2 5x
b) f (x) 5 x 2 2 8 d) f (x) 5 3 1 x 2 2 2x
2. Determina el rango de la función cuadrática a partir de su gráfica.
a) c)
y
2
–6 –4 –2 0
–2
2
x
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
y
1 2
x
–4
–3
–4
–5
–6
68

Lección 10
b) d)
–4 –2 0
–2
y
2 4
x
–4
–3
–4
–2
–6
–8
–1
–3 –2 –1 0
–1
y
1 2
x
–2
3. Determina las intersecciones con los ejes de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas
e indica la naturaleza de sus raíces.
a) f (x) 5 x 2 2 1 c) f (x) 5 x 2 1 5x 1 4
b) f (x) 5 2x 2 1 2x d) f (x) 5 2x 2 1 3
4. Determina en las siguientes gráficas de funciones cuadráticas las intersecciones con los ejes, e
indica la naturaleza de sus raíces.
a) c)
y
2
7
y
1
6
–4 –3 –2 –1 0
–1
2 4
x
5
4
–2
3
–3
2
–4
1
–2 –1
0
1 2 3
x
b) d)
y
7
6
5
3
2
1
y
4
3
–3 –2 –1 0
–1
1 2 3
x
2
–2
1
–2 –1
0
1 2 3
x
69

1
Funciones lineal y cuadrática
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios del VI al VIII del tema “Función cuadrática” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Bosquejo de la gráfica de la función cuadrática
Características y puntos importantes para realizar la gráfica de una función cuadrática:
• Orientación de la gráfica
Recuerda que el signo del coeficiente de x 2 te indica si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.
• Vértice
Determina la abscisa del vértice: x v 5
ordenada y v .
b
-
2a
, luego sustituye este valor en la función para obtener la
• Eje de simetría
Conociendo la posición del vértice de la gráfica, puedes trazar el eje de simetría que pasa por el
vértice y es paralelo al eje y. La ecuación del eje de simetría es x 5 x v
• Intersección y
Calcula las coordenadas del punto donde la gráfica corta el eje y. Para esto, sustituye x 5 0 en la
función dada y calcula la intersección y, después dibuja este punto (0, y) en el plano cartesiano.
• Intersección x
Calcula las intersecciones x sustituyendo y 5 0 en la función dada y resolviendo la ecuación. Si los
valores obtenidos no son valores reales, significa que la gráfica no intersecta al eje x.
• Punto simétrico a la intersección y
Para determinar la coordenada x del punto simétrico al punto de intersección con el eje y, se sustituye
el valor y de la intersección con el eje y en la función cuadrática original y resuelve la ecuación.
Ejemplo 9
Nota que el único punto que no tiene punto simétrico es el vértice.
Realiza la gráfica de y 5 x 2 1 3x 12
Procedimiento
• Orientación de la gráfica:
Identificamos que a 5 1, entonces la parábola “abre hacia arriba” (ya que a es positiva).
• Coordenadas del vértice:
Identificando b 5 3 y c 5 2 tenemos que:
70

Lección 10
a b 3
x = - 2
= - = - .
2 2 3 =-15
^1h
Y sustituimos este valor en la función:
y 5 (21.5) 2 1 3(21.5) 12
y 5 20.25
Entonces, el vértice de la gráfica es el punto V(21.5, 20.25).
• Intersección con el eje y:
Sustituyendo x 5 0 en la función tenemos y 5 (0) 2 1 3(0) 12 = 2
Entonces la intersección con el eje y es el punto (0, 2).
• Intersecciones con el eje x:
Sustituyendo y 5 0 en la función tenemos:
0 5 x 2 1 3x 12, la cual se puede resolver por factorización: (x 1 2)(x 1 1) 5 0
Entonces x 1 2 5 0 o x 1 1 5 0, de donde obtenemos:
x 5 22 , x 5 21
Por lo tanto, las intersecciones con el eje x son los puntos (22, 0) y (21, 0)
• Punto simétrico a la intersección y
Sustituimos la intersección y 5 2 en la función original y resolvemos la ecuación para encontrar
la coordenada x del punto simétrico:
y 5 x 2 1 3x 12
2 5 x 2 1 3x 12 de donde
0 5 x 2 1 3x y resolviendo por factorización tenemos
x(x 1 3) 5 0
x 5 0 , x 5 23
Por lo tanto, los dos puntos simétricos son: (23, 2) y (0, 2); siendo este último la intersección con
el eje y.
71

1
Funciones lineal y cuadrática
Ahora graficamos cada uno de los puntos obtenidos y los unimos para formar la gráfica.
2.5
(23, 2)
2
1.5
1
(0, 2)
(22, 0) (21, 0)
–3.5 –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1
–0.5
V (21.5, 20.25)
0.5
Actividad de aprendizaje 18
1. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo encuentras las coordenadas del vértice?
b) ¿Cómo encuentras la intersección y ?
c) ¿Cómo encuentras las intersecciones x ?
2. En un papel cuadriculado bosqueja las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas,
obteniendo los elementos de la parábola.
a) y 5 x 2 2 x 26 f) y 5 x 2 1 6x 17
b) y 5 (x 2 2) 2 g) y 5x 2 2 4x
c) y 52x 2 14 h) y 52x 2 1 2x 2 3
d) y 5 x 2 2 x 22 i) y 52x 2 1 2x 1 3
e) y 5 x 2 j) y 5 (x 1 2) 2
3. Contesta las siguientes preguntas:
a) Si la intersección x es un solo valor, ¿cómo queda situada la gráfica de la función?
b) Si las intersecciones x no son números reales, ¿cómo queda situada la gráfica de la función?
c) ¿Qué define si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo?
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 3. Análisis” de la etapa 1 y resuelve
los ejercicios del I al III del tema “Función cuadrática” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
72

Lección 11
Sea V(h, k) las coordenadas del vértice de la gráfica de la función
cuadrática general f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c.
11
La forma vértice de la función cuadrática está dada por:
y 2 k 5 a(x 2 h) 2 donde a es el coeficiente del término
cuadrático en la forma general.
Forma vértice de la
ecuación de la función
cuadrática
Para cambiar una función cuadrática a la forma vértice se utiliza el método de completar trinomio cuadrado
perfecto. Este método consiste en realizar operaciones algebraicas para construir un trinomio cuadrado perfecto
a partir de uno que no lo es y, posteriormente, reducirlo a un binomio al cuadrado.
El procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto, como te acordarás, se trata de dividir el
coeficiente del término lineal entre 2, luego elevar el resultado al cuadrado y sumarlo en ambos lados de
la ecuación para que no se altere la igualdad.
Ejemplo 1
Transforma la función cuadrática y 5 x 2 2 4x 1 3 a la forma vértice.
Procedimiento
La ecuación en la forma general.
Pasa el término independiente al lado izquierdo de la igualdad.
Divide el coeficiente del término lineal entre dos, elévalo al
cuadrado y súmalo en ambos lados de la igualdad.
Factoriza el trinomio como un binomio al cuadrado.
y 5 x 2 2 4x 1 3
y 2 3 5 x 2 2 4x
y 2 3 1 4 5 x 2 2 4x 1 4
y 1 15 (x 2 2) 2
Ejemplo 2
Solución
La forma vértice es y 1 15 (x 2 2) 2 donde identificamos las coordenadas del vértice:
V(h, k) 5 V(2, 21)
Transforma la función cuadrática y 5 2x 2 1 12x 1 8 a la forma vértice.
73

1
Funciones lineal y cuadrática
Procedimiento
Pasa el término independiente al lado izquierdo de la igualdad:
después, el coeficiente a de x 2 se saca como factor común:
Enseguida, divide el coeficiente del término lineal entre dos,
elévalo al cuadrado, multiplícalo por el coeficiente a y súmalo en
ambos lados de la igualdad:
Expresamos el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al
cuadrado:
Y por último, simplifica los términos semejantes:
y 5 2x 2 1 12x 1 8
y 2 8 5 2x 2 1 12x
y 2 8 5 2 (x 2 1 6x)
y 2 8 1 (2)(3) 2 5 2[x 2 1 6x 1 (3) 2 ]
y 2 8 1 18 5 2(x 1 3) 2
Solución
y 1 10 5 2(x 1 3) 2
De esta forma vértice, identificamos h 5 23 y k 5 210; por lo que el vértice de la función
cuadrática es el punto V(h, k) 5 V(23, 210).
Actividad de aprendizaje 19
1. Transforma las siguientes funciones cuadráticas a la forma vértice.
a) y 5 x 2 2 2x 23 f) y 5 x 2 1 6x 17
b) y 5 x 2 2 4x 212 g) y 5 2x 2 2 4x
c) y 5 x 2 1 4x 28 h) y 5 x 2 1 2x 28
d) y 5 x 2 2 12x 220 i) y 5 x 2 1 2x 1 10
e) y 5 x 2 1 16x j) y 5 x 2 1 10x 26
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 3. Análisis” de la etapa 1 y resuelve
el ejercicio IV del tema “Función cuadrática” en el salón de clases. Al finalizar, compara y
valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
74

Lección 12
En la vida cotidiana existen muchos problemas prácticos que, para su
estudio, se representan matemáticamente como una función cuadrática.
Cuando estudiamos la función cuadrática y su comportamiento,
identificamos una variable dependiente y, cuyos valores dependen
de los valores que toma una variable independiente que llamamos x.
12
Funciones cuadráticas
como modelos
matemáticos
En los problemas prácticos estas dos variables representan cantidades físicas y necesitamos determinar el
valor de aquella de la que dependen los valores de la otra; después de esto, debemos identificarlos, es
decir, asignarles una letra apropiada para manejarlos fácilmente.
En muchos casos las letras que asignamos a las variables no serán x o y, pero siempre el eje vertical, en
un sistema de coordenadas, será el de los valores de la variable dependiente, y el eje horizontal será el
de los valores de la variable independiente.
Veamos dos ejemplos prácticos que pueden estudiarse con ayuda de la función cuadrática.
Objeto en movimiento vertical
Lanzamiento vertical de un objeto hacia arriba con una velocidad inicial conocida
Cuando un objeto, como una piedra o una pelota, se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial conocida, la distancia a la que se encuentra el objeto a partir del punto de lanzamiento depende
del tiempo que haya transcurrido desde que fue lanzado. La distancia es la variable dependiente a la que
llamaremos h. El tiempo es la variable independiente y la llamaremos t.
En tus cursos de física se demuestra que la siguiente ecuación es la que establece la relación entre h y t.
h 5 V 0 t 2 4.9 t 2
Donde: h 5 altura a la que se encuentra el objeto del punto de lanzamiento.
t 5 tiempo transcurrido desde que el objeto fue lanzado.
V 0 5 velocidad inicial con que el objeto fue lanzado.
Como puedes ver, la variable dependiente h está en función de la variable independiente t, cuyo mayor
exponente es 2, es decir, la relación entre ellas es una función cuadrática.
Apliquemos esto en un problema.
Ejemplo 1
Si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s y su altura
(distancia) en función del tiempo t está definida por la función h 5 24.9 t 2 1 30t,
75

1
Funciones lineal y cuadrática
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota lanzada?
b) ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire?
Procedimiento
a) La función h 5 24.9 t 2 1 30t es cuadrática en la variable t, entonces la gráfica es una parábola
que abre hacia abajo (a 524.9); por lo tanto, la altura tiene un valor máximo en el vértice; en
x 5
b
- ,
2a
en este caso en t
a b 30 30
= - 2
=- =
. .
.
2 - 4 9 98
= 306 segundos.
^ h
Luego sustituimos este valor para conocer la altura máxima alcanzada por la pelota:
h 5 24.9 t 2 1 30t
h 5 24.9 (3.06) 2 1 30 (3.06) 5 45.92 metros.
Solución
La altura máxima alcanzada por la pelota es de 45.92 metros.
b) Sustituimos h 5 0 ya que tendremos los instantes (tiempos) en que la pelota está en el suelo
(cuando es lanzada y cuando regresa):
h 5 24.9 t 2 1 30t
0 5 24.9 t 2 1 30t la cuál podemos resolver por factorización
0 5 t (24.9 t 1 30) , de donde tenemos
t 5 0 y t 5
30
- - 5 6.12 segundos
49 .
Solución
La pelota está en el aire 6.12 segundos.
h(metros)
50
(3.06, 245.92)
(6.12, 0)
–4
–2(0, 0) 2 4 6 t(segundos)
Figura 1.21
76

Lección 12
Nota
1. En el problema vemos que los valores de h para los valores negativos de t y para valores de
t mayores que 6.12 s, no corresponden al movimiento del objeto lanzado en este caso: para
valores negativos de t el objeto no se ha lanzado todavía, y para t > 6.12 s el objeto ya cayó al
suelo y el movimiento cesó.
2. La parte de la gráfica con línea continua es la que representa la relación h y t que nos interesa,
porque corresponde al problema que estudiamos y los puntos de la línea punteada pertenecen a
la gráfica de la función, h 5 f (t), pero no corresponden al caso que analizamos.
Ejemplo 2
La utilidad U (en miles de pesos) que gana una compañía depende de la cantidad x (en miles de
pesos) que gasta en publicidad, de acuerdo con la ecuación:
U 5 1200 1 18x 2 0.5x 2
¿Cuánto gastará en publicidad para obtener una utilidad máxima?
Procedimiento
La función que nos da la utilidad es una función cuadrática, con a 5 20.5. Como a , 0, la función
tiene un valor máximo en x = - 2a b . Por tanto, podemos concluir que el gasto máximo que genera
la compañía en publicidad es:
x
a b 18 18
= - - -
2
= =
2 05 . 1
18000
- -
=
^ h mil pesos.
Con este gasto la compañía ganara una utilidad máxima de:
U (18) 5 1200 1 18 (18) 2 0.5 (18) 2 5 1200 1 324 2 162 5 $1,362 (miles de pesos).
Actividad de aprendizaje 20
1. Un ganadero quiere construir un corral para engorda de ganado y piensa hacerlo a orillas de un
pequeño río que pasa por su propiedad, pues así ahorrará material en la construcción de la cerca
y además el ganado podrá abrevar fácilmente. Cuenta con 200 metros de malla de alambre para
construir el corral.
Si su forma es rectangular, ¿qué dimensiones debe tener el corral para que su área sea máxima?
Corral
77

1
Funciones lineal y cuadrática
2. En un parque de forma rectangular, que mide 100 m de largo y 50 m de ancho, se piensa
construir una pista para que la gente corra y haga ejercicio. Se cuenta con material para construir
1 600 m 2 de pista.
a) ¿Qué ancho debe tener la pista para que su área sea de 1 600 m 2 ?
b) ¿Qué opinas sobre la solución negativa que se obtiene de la fórmula general cuadrática?
c) Bosqueja la parte de la gráfica que relaciona el área de la pista con su ancho.
d) Si el costo de construcción es de $25.00 por metro cuadrado. ¿Cuánto costaría construir
una pista alrededor del parque de 10 m de ancho?
50 m
100 m
3. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es de 20 cm. Calcula las
longitudes de los catetos para que el área del triángulo sea máxima.
a) ¿Cuál sería el área máxima?
b) Calcula las longitudes de los catetos para que el área sea la mita del área máxima calculada.
4. Don Pedro es el dueño de un hotel de 60 habitaciones y sabe que si el precio del alquiler es de
$200.00 se rentan todas las habitaciones. Pero también sabe que si aumenta el precio tendrá
una habitación vacía por cada $5.00 de aumento en el precio.
a) ¿Cuál es el precio óptimo por habitación para que la utilidad sea máxima?
b) ¿Cuántas habitaciones quedarían vacías?
c) Bosqueja la gráfica y señala en ella la parte de la misma que corresponde a la realidad
que se analiza.
5. Por medio de un estudio de mercado se determina que la demanda x de cierto producto está
dada por la ecuación x 5 6,000 2 30p, donde p es el precio del producto. Si el ingreso es l (x)
= px, donde p es el precio de venta y x es la cantidad de artículos vendidos:
a) Determina el precio del producto que de mayor ingreso y el número de unidades que se
necesita vender para obtener dicho ingreso máximo.
b) Traza la gráfica.
6. El costo de producción de un artículo está dado en función del número de unidades producidas
por la ecuación C(x) 5 5 2 6x 1 0.2x 2 , donde x es el número de unidades.
a) Determina el número de unidades que se debe producir para que el costo de las mismas
sea el mínimo.
b) Traza la gráfica.
78

Lección 12
7. Una compañía encuentra que sus costos al producir x unidades diarias están dados por la ecuación
C(x) 5 x 2 1 50x 1 400. El precio de venta de cada unidad es de $250.00. Si la utilidad se obtiene
mediante la diferencia del ingreso y el costo
(U 5 ingreso 2 costo) encuentra:
a) La cantidad de unidades que se tiene que producir y vender para que la utilidad sea
máxima.
b) El monto de la utilidad máxima por día.
8. Un agricultor de manzanas sabe que si siembra 100 árboles por hectárea la producción
promedio será de 130 kg de manzana por árbol, y por estudios realizados sabe que la
producción promedio disminuye 1 kg por cada árbol extra que siembre por hectárea.
¿Cuál es el número óptimo de árboles sembrados por hectárea, para que la producción sea
máxima?
9. La altura y de un balón pateado respecto al tiempo t está definida por la función
y 5 24.9 t 2 1 35t. Si se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 35 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo está en el aire la pelota?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota lanzada?
10. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/seg. La
altura (h ) en metros a la que se encuentra a partir de su punto de lanzamiento está dada por
la función h 5 24.9 t 2 1 40t, donde t representa el tiempo transcurrido en segundos desde que
se lanzó la pelota.
a) ¿Qué tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada por la pelota?
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 4. Aplicación” de la etapa 1 y
resuelve los ejercicios I y II del tema “Función cuadrática” en el salón de clases. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
79

1
Funciones lineal y cuadrática
13
Variación cuadrática
Otro tipo de función variación es la función variación cuadrática;
si en la ecuación de la función cuadrática: y 5 ax 2 1 bx 1 c la
constante b y c son iguales a cero, la ecuación resultante es: y 5 ax 2 ,
que es un caso especial de la función cuadrática; y se dice que “y
varía directamente con el cuadrado de x” o que “y es directamente
proporcional al cuadrado de x”.
Usaremos la literal k para denotar la constante en vez de la literal a.
Definición
La función variación cuadrática en donde “y varía directamente con el cuadrado de x”, tiene como
ecuación general:
Con k como constante.
y 5 kx 2
Ejemplo 1
La distancia que un carrito de juguete se desplaza hacia abajo en una rampa es directamente
proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Durante el primer segundo el carrito recorre 10
cm (véase la figura 1.21).
a) Escribe una ecuación que relacione la distancia recorrida con el tiempo.
b) ¿Qué distancia recorrerá el carrito durante los primeros 2 segundos?
Procedimiento
Figura 1.22
a) Sea d la distancia en centímetros que el carrito se desplaza y t el tiempo en segundos.
La distancia d es directamente proporcional al cuadrado del tiempo (t 2 ), entonces la función es
de la forma:
d 5 kt 2
80

Lección 13
Como d 5 10 cuando t 5 1, sustituimos en la función anterior y despejamos k:
d 5 kt 2
10 5 k(1) 2
10 5 k
Solución
La ecuación que relaciona la distancia con el tiempo es:
d 5 10t 2
b) Cuando t 5 2, la distancia recorrida es d 5 10(2) 2 540 centímetros.
Solución
El carrito recorre 40 centímetros durante 2 segundos.
1. Galileo determinó que cuando se deja caer un objeto desde cierta altura, la distancia vertical
recorrida (en metros) es directamente proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido (en segundos).
Si la distancia recorrida por el objeto es de 19.6 metros cuando han transcurrido 2
segundos desde que se dejo caer:
a) ¿Cuál es la función particular que relaciona la distancia recorrida con el tiempo?
b) Calcula la distancia vertical recorrida por el objeto a los 5 segundos de dejarse caer.
c) Que unidades de medida tiene la constante k.
2. El área A de un círculo es directamente proporcional al cuadrado de su radio r. Si el área de
un círculo de 5 cm de radio es de 78.54 cm 2 :
a) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad k?
b) ¿Cuál es la función particular que relaciona el área del círculo con su radio?
c) Determina el área de un círculo de 12 cm de radio.
Actividad de aprendizaje 21
3. El diámetro de la partícula más grande que puede ser movida por una corriente varía de manera
directamente proporcional con el cuadrado de la velocidad de la corriente. Si una corriente
con velocidad de 173 de milla por hora puede mover partículas gruesas de arena de 0.02
pulgadas de diámetro:
a) ¿Cuál es la función particular que relaciona el diámetro con la velocidad de la corriente?
b) Calcula la velocidad que se requiere para arrastrar partículas de 0.13 pulgadas de
diámetro.
81

1
Funciones lineal y cuadrática
4. La presión (en kg/cm 2 ) requerida para hacer que el agua fluya a través de una esprea de una
manguera de jardín varía proporcionalmente con el cuadrado del gasto (en litros por minuto).
Para que el gasto sea de 3 litros por minuto se necesita una presión de 10 kg/cm 2 (kg/cm 2 ):
a) Determina la función particular que relaciona la presión con el gasto.
b) ¿Cuál es la presión requerida para un gasto de 12 litros por minuto?
c) ¿Cuál es la presión requerida para un flujo de 4.2 litros por minuto?
d) Determina el gasto que obtienes con una presión de 5 kg/cm 2 .
5. El número de casas que pueden ser servidas por una tubería de agua, varía de manera directamente
proporcional al cuadrado del diámetro de la tubería. Si una tubería de 10 cm de
diámetro abastece 50 casas:
a) Escribe la función particular que relaciona el número de casas con el diámetro de la tubería.
b) ¿Cuántas casas pueden abastecerse de una tubería de 30 cm, otra de 43 cm y otra de un
metro de diámetro?
c) Una colonia de 1500 casas, ¿qué diámetro de tubería necesita?
82

Aprendizajes esperados Lección
1 2 3
Función exponencial Función logarítmica Propiedades de los
logaritmos
Identificar la forma de
la función exponencial y
bosquejar su gráfica.
Identificar la forma de
la función logarítmica y
bosquejar su gráfica.
Conocer la definición
de logaritmo y aplicar
las propiedades de los
logaritmos como una
extensión de las leyes de los
exponentes.
4
Ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas
Resolver ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas.

Funciones
exponencial y
logarítmica
2
Etapa
5
Las funciones
exponenciales como
modelos matemáticos
Modelar y resolver
situaciones del mundo real
que involucren funciones
exponenciales.
6
Las funciones
logarítmicas como
modelos matemáticos
Modelar y resolver
situaciones del mundo real
que involucren funciones
logarítmicas.
Competencias que se
favorecen:
• Resolver problemas en
diversos contextos.
• Explicar resultados
mediante diversos
procedimientos.
• Manejar técnicas
eficientemente.
• Validar
procedimientos y
resultados.

2
Funciones exponencial y logarítmica
Propósito
Resuelve problemas de situaciones reales mediante la modelación de funciones exponenciales y
logarítmicas y de su representación gráfica.
Competencia genérica
Es aquella que todo estudiante tiene la
capacidad de desempeñar.
Competencia específica de Matemáticas
Propicia el pensamiento lógico
mediante procesos de razonamiento y
argumentación de ideas en la resolución
de problemas matemáticos.
Desempeños del estudiante
Son las actitudes y aptitudes
desarrolladas durante el proceso
educativo.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a
problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías,
jerarquías y relaciones.
Modela, resuelve e interpreta problemas de la vida
cotidiana mediante la representación de las variables de
un fenómeno social o natural en una función algebraica o
trascendente y por medio de su representación gráfica.
• Realiza los procedimientos necesarios para dar
respuesta a las preguntas planteadas.
• Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
• Realiza la gráfica de las funciones exponencial y
logarítmica.
• Modela y resuelve problemas que involucran
ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
• Toma conciencia de sus errores.
Introducción
Las funciones polinomiales con las que has trabajado hasta ahora se han construido elevando a exponentes
constantes enteros y positivos. A estas se les llama funciones algebraicas. Si una función
no es algebraica se dice que es trascendente. En esta etapa estudiarás dos tipos de funciones trascendentes,
a saber: las funciones exponenciales y logarítmicas. Estas funciones aparecen cuando una
constante se eleva a un exponente variable.
Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen muchas aplicaciones. En esta etapa se incluyen
problemas relacionados con el crecimiento de bacterias, la intensidad del sonido, el interés compuesto,
la presión atmosférica, el crecimiento de la población, la ley de enfriamiento y la escala de Richter en
los terremotos, entre otras.
86

Lección 1
Para empezar
En la plataforma Nexus contesta la Evaluación diagnóstica; es un examen de cinco preguntas
de opción múltiple acerca de los contenidos que debes dominar para comprender y desarrollar
eficazmente los de la presente etapa.
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Experiencias de aprendizaje” de la etapa 2
y en el salón de clases contesta las preguntas de la actividad correspondiente a la sección
“Dimensión 1. Recuperación”, siguiendo las indicaciones que ahí se presentan. Al finalizar,
compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Cuando a y b son dos números enteros, la operación a b puede definirse
en términos algebraicos elementales como equivalente a la
potenciación; es decir a b 5 a∙a∙a∙…∙a, donde hay b factores a. Sin
embargo, cierto número de problemas físicos concretos llevaron a
tratar de generalizar la expresión anterior a valores de b no enteros;
por ejemplo, cuando b 5 2
1
la operación equivale a una raíz
1
cuadrada; es decir a 2 = a . Finalmente, la exponenciación trata
de generalizar la operación a b a valores de b cualesquiera; que en
nuestro caso nos concretaremos al conjunto de los números reales.
Lección
1
Función exponencial
Las funciones exponenciales son de la forma f (x) 5 ab g(x) , donde g es función de x; por ejemplo,
f (x) 5 4000(0.5) x , A(x) 5 60e 0.04x , etcétera.
Analicemos la función exponencial de base b, cuya ecuación es:
y 5 b x
Esta ecuación es el caso particular de y 5 ab x cuando a 5 1.
La función exponencial y 5 b x solo está definida cuando b es mayor que cero y diferente de 1; o sea, la
base b se restringe a los números positivos.
Cuando b 5 1, se obtiene la función constante y 5 1. Si b fuera menor que cero (un número negativo), una
expresión como y 5 (29) 1/2 no está definida en el conjunto de los números reales.
Antes de analizar las características de la función y 5 b x , aceptaremos como válido que para cualquier
número real b . 0 y cualquier número x también real, la expresión b x representa un único número real
positivo. Se puede demostrar que las leyes de los exponentes son válidas para todos los exponentes que
son números reales (racionales e irracionales).
87

2
Funciones exponencial y logarítmica
Propiedades de la función exponencial y 5 b x
Si en la ecuación y 5 b x , la base b es un número mayor que 1, entonces aumentar el valor de x implica
un aumento en el valor de y; por lo tanto, f (x) es creciente para cualquier valor x que esté en su dominio.
Ejemplos
Si f (x) 5 2 x , entonces:
f (0) 5 2 0 51
f (1) 5 2 1 = 2
f (5) 5 2 5 = 32, etcétera.
• Si la base b es un número positivo que esté en el intervalo (0, 1), o sea 0 , b , 1, entonces la función
y 5 b x es decreciente, ya que el aumento del valor de la variable independiente x implica una disminución
en el valor y; en este caso, b es el factor de decrecimiento.
• La intersección con el eje y de la ecuación y 5 b x es 1, ya que b 0 5 1. Por consiguiente, el punto cartesiano
P(0, 1) está siempre en la gráfica correspondiente a dicha ecuación.
• El dominio de la función y 5 b x es el conjunto de los números reales, ya que para cualquier valor de la
variable independiente x, la función exponencial y5 b x está definida, es decir, el intervalo de definición
de la variable independiente es (2∞, ∞).
• Si b . 1, entonces b es el factor de crecimiento de f (x).
• El rango es el conjunto de los números reales positivos; es decir, el valor que la variable dependiente
puede tomar es el intervalo (0, ∞), ya que para cualquier valor de x la expresión b x nunca podrá ser
igual que cero ni negativo. Para la función de base b de la forma f (x) 5 ab x , con b . 0 y b distinto de
1, el rango es el intervalo [a, ∞), ya que f (0) 5 a.
Gráficas de funciones exponenciales
En los siguientes ejemplos obtendremos la gráfica de la función f (x) 5 2 x y la de f^xh = a k
2
.
En primer lugar, obtengamos una tabla de valores para y 5 2 x :
1 x
x y 5 2 x P(x, y)
23 2
22 2
21 2
-3 =
-2 =
-1 =
1
8
1
4
1
2
a
1
-3,
k 8
a
1
-2,
k 4
a
1
-1,
k 2
x y 5 2 x P(x, y)
0 2 0 5 1 (0, 1)
1 2 1 5 2 (1, 2)
2 2 2 5 4 (2, 4)
3 2 3 = 8 (3, 8)
88

Lección 1
Ahora, en un sistema de coordenadas cartesianas localicemos y marquemos los puntos que se obtienen de
la tabla anterior y unámoslos mediante una curva continua.
8
7
6
5
4
3
2
f (x) 5 2x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
Observa que la gráfica es creciente en el intervalo (2∞, ∞) y que a medida que x toma valores negativos
mas grandes (x→2∞), f (x) se acerca a cero; por consiguiente, la recta y 5 0 (el eje x) es la asíntota
horizontal de la gráfica de la función f (x) 5 2 x .
A continuación elaboremos una tabla de valores para f^x
1
0
Figura 2.1
h = a
2 1 k x
.
x
f^x
= a
2 1 x
h k
P(x, y)
23
22
21
0
1
2
3
-3
a
1
k
2 = 8 (23, 8)
-2
a
1
k
2 = 4 (22, 4)
-1
a
1
k
2 = 2 (21, 2)
0
a
1 k
2 = 1 (0, 1)
1
a
1 k
2 =
1
2
a
1 1,
k 2
2
a
1 k
2 =
1
4
a
1 2,
k 4
3
a
1 k
2 =
1
8
a
1 3,
k 8
89

2
Funciones exponencial y logarítmica
Al marcar los puntos obtenidos en
un sistema de coordenadas y unirlos
mediante una curva continua se obtiene
la gráfica que se muestra en la
siguiente figura:
Observa que la función es decreciente
en el intervalo (2∞, ∞) y que la recta
y 5 0, en decir, el eje x es la asíntota
horizontal de la función, ya que a
medida que x toma valores positivos
cada vez más grandes (x→∞), entonces
f (x) se acerca a y 5 0.
Actividad de aprendizaje 1
1. Traza la gráfica de f (x) 5 3 x .
8
7
6
5
4
3
2
1
y
1 x
f^xh
= a k
2
0
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
Figura 2.2
1 x
2. Traza la gráfica de fx ^ h = a k
3
.
La función exponencial de base e (función exponencial natural)
Muchos problemas que surgen en la física, la medicina, la biología, la economía y el mundo financiero,
entre otras disciplinas más, tienen como modelo matemático una función exponencial cuya base es el
número irracional simbolizado por la letra e.
El número e se define como el número al que tiende la función f definida por fn ^ h = a1
+ k
n
cuando n
crece sin límite, o sea, cuando n→∞ (n tiende a infinito) donde n es un número entero positivo.
1 n
90

Lección 1
La siguiente tabla nos muestra este proceso.
n
fn ^ h = a1
+
1 2
2 2.25
3 2.37037
4 2.44140
5 2.44832
10 2.59374
1 n
k
n
n
fn ^ h = a1
+
100 2.70481
1000 2.71692
10000 2.7184
100000 2.71826
10 6 2.71828
10 7 2.71828
1 n
k
n
Redondeando a cinco cifras decimales, podemos concluir lo siguiente:
Si n→∞, la función definida por fn ^ h = a1
+
por la letra e.
1 n
k
n
tiende al número irracional 2.71828; el cual denotamos
e 5 2.71828...
Gráfica de la función f (x) 5 e x
Obtengamos una tabla de valores para la función f (x) 5 e x .
Nota
Los valores de f (x) están redondeados a dos cifras
decimales.
x y 5 e x P(x, y)
23 0.05 (23, 0.05)
22 0.14 (22, 0.14)
21 0.37 (21, 0.37)
0 1 (0, 1)
1 2.72 (1, 2.72)
2 7.39 (2, 7.39)
3 20.01 (3, 20.01)
8
7
y
(2, 7.39)
Al graficar los puntos P(x, y) de la tabla anterior
en un sistema de coordenadas cartesianas y unirlos
mediante una curva continua, resulta la gráfica que
se muestra en la siguiente figura.
Figura 2.3
6
5
4
3 (1, 2.72)
2
1 (0, 1)
(21, 0.37)
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
x
91

2
Funciones exponencial y logarítmica
Lección
2
Funciones logarítmicas
Definición
El logaritmo en base b de un numero positivo N, denotado
como log b N, donde b . 0 y b Þ 1 es el exponente x al que
hay que elevar dicha base para obtener el número N; es decir:
log b N 5 x si y solo si b x 5 N donde N . 0, b . 0, b Þ 1
Por ejemplo, “el logaritmo en base 2 de 8 (log 2 8)” es 3 ya que 2 3 5 8; es decir log 2 8 5 3.
La función logarítmica es una función de la forma f (x) 5 log b x, donde b . 0, b Þ 1 y x . 0.
La expresión f (x) 5 log b x se lee: “f de x es igual al logaritmo en base b de x”.
Recordar que f (x) es otra manera de decir que la variable dependiente y está en función de la variable
independiente x, por lo que la función logarítmica también puede escribirse como y 5 log b x.
A continuación mencionaremos las propiedades de la función logarítmica f (x) 5 log b x con b . 0 y b Þ 1.
1. Si b . 1, entonces la función es creciente.
2. Si 0 , b , 1, entonces la función es decreciente.
3. El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales mayores que cero; es decir,
D 5{xeR / x . 0}
4. El rango de la función es el conjunto de todos números reales R.
5. Dado que f (1) 5 log b 1 5 0, entonces la gráfica de la función pasa siempre por el punto (1, 0).
Si tenemos las funciones logarítmicas f (x) 5 log 5x, h(x) 5 log(x 1 5) y g(x) 5 log(x 2 4), entonces los
argumentos de dichas funciones son 5x, x 1 5 y x 2 4, respectivamente; y el dominio de definición de
x es el conjunto de los números reales que hacen que dichos argumentos sean mayores que cero; por
consiguiente, 5x . 0, x 1 5 . 0 y x 2 4 . 0; luego:
El dominio de f (x) es: x . 0.
El dominio de h(x) es: x . 25.
El dominio de g(x) es: x . 4.
92

Lección 2
En la siguiente figura se muestran, en un mismo sistema de coordenadas, las gráficas de las funciones
f (x) 53 x (curva superior) y g(x) 5 log 3 x (curva inferior).
6
5
y
h
4
3
2
g(x) 5 log 3 x
1
f (x) 53 x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
x
-2
f (x) 5x
-3
-4
Figura 2.4
Analicemos lo siguiente respecto a las gráficas anteriores:
Para la función f (x) 53 x tenemos que f (2) 5 3 2 5 9; es decir, el punto (2, 9) pertenece a la grafica de
dicha función.
Asimismo, para la función g(x) 5 log 3 x tenemos que g(9) 5 log 3 9 5 2; es decir, el punto (9, 2) forma parte
de la gráfica que corresponde a g(x).
En general, si tenemos un punto (x 0 , y 0 ) de la gráfica de la función exponencial f (x) 5 b x , entonces el punto
(y 0 , x 0 ) pertenece a la gráfica de la función logarítmica g(x) 5 log b x (ya que y 0 5 b x 0 ) si y solo si x0 5log b y 0 ).
Dada la función f (x), decimos que f 21 (x) es su función inversa si el dominio de f (x) es el rango de f 21 (x) y el
rango de f (x) es el dominio de f 21 (x); es decir, si el punto (a, b) está en la gráfica de f (x), entonces el punto
(b, a) pertenece a la gráfica f 21 (x).
Las gráficas de una función y su inversa son reflexiones una de la otra respecto a la recta y 5 x; esto es, si
la página que contiene sus gráficas en un mismo plano se doblara sobre la recta y 5 x, entonces dichas
gráficas coincidirían.
Para concluir:
Las funciones f (x) 5 b x , g(x) 5 log b x, ambas con b . 0, b Þ 1 son inversas una de la otra; es decir, el
dominio de una función es el rango de la otra, y viceversa; además, sus gráficas son simétricas respecto
a la recta y 5 x, como se muestra en la figura anterior.
93

2
Funciones exponencial y logarítmica
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 2 y
resuelve los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan. Al finalizar, compara y
valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
Lección
3
Propiedades de los
logaritmos
De la definición de logaritmo tenemos que las expresiones b x 5 N
y x 5 log b N son equivalentes, entonces a cada propiedad o ley de
los exponentes le corresponde una propiedad de los logaritmos. A
continuación, mencionaremos dichas propiedades.
1. El logaritmo del producto de dos números positivos x y y es igual
a la suma de los logaritmos de ambos, es decir:
log b xy 5 log b x 1 log b y
Esta propiedad es la correspondiente a la ley de los exponentes: b x ∙b y 5 b x1y . Asimismo, esta propiedad
de los logaritmos puede extenderse en el caso del producto de tres o más números positivos. Por ejemplo:
log 3 7xy 5 log 3 7 1 log 3 x 1 log 3 y
2. El logaritmo del cociente de dos números positivos x y y es igual a la diferencia de los logaritmos de
ambos, es decir:
log b y
x 5 logb x 2 log b y
Esta propiedad es la correspondiente a la ley de los exponentes:
b
b
x
y
x y
= b
- .
Ejemplo: log`
6
x
j 5 logx 2 log6.
3. El logaritmo de la n 2ésima potencia de un número positivo x, es igual a n veces el logaritmo del
número, es decir:
log b x n 5 n log b x
Esta propiedad es la correspondiente a la ley de los exponentes: (b x ) n 5 b xn .
Ejemplos
1. logx 3 53 logx
1
2.
1
log x = logx
2 =
2
logx
En ocasiones se tienen que utilizar estas propiedades para desarrollar expresiones logarítmicas o
para escribir una expresión de este tipo como un logaritmo único con un solo argumento.
94

Lección 3
Ejemplos
Recuerda que si tenemos las expresiones log3x, log6x 2 , log w
x sus argumentos respectivos son: 3x,
6x 2 y
w x .
Escribe en forma desarrollada las siguientes expresiones logarítmicas, aplicando las propiedades
adecuadas:
xy
1. log z
Solución
xy
De acuerdo con las propiedades de los logaritmos tenemos que: log z 5 log xy 2 log z,
luego
5 log x 1 log y 2 log z
2. log x 3 y 2
Solución
De acuerdo con las propiedades de los logaritmos tenemos que:
log x 3 y 2 5 log x 3 1 log y 2
3. log
2
Solución
x
f
5
3
y
p
z
53log x 1 2 log y
Ejemplos
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos que:
5
x y
5
log2
f p= log2x + log2 y - log2 3 z
3
z
5
= log x + log y 2 - log z
2
2
1 1
= 5 log2x+ 2
log2y-
3
log2z
A continuación, veamos ejemplos en los que dada una expresión logarítmica en forma desarrollada
se indica reescribir dicha expresión como un logaritmo único con un solo argumento.
Escribe las siguientes expresiones logarítmicas como un logaritmo único con un solo argumento.
1. log 3 x 1 log 3 y 2 log 3 z
1
2
1
3
95

2
Funciones exponencial y logarítmica
Solución
Aplicando las propiedades de los logaritmos en forma inversa tenemos que:
2. 2 log x 1 3 log y 2 2
1 log z
log 3 x 1 log 3 y 2 log 3 z 5 log
3
xy
z
Solución
2 3
= logx
+ log y - log z
2 3
= logx
+ log y - log z
2 1
= log
xy
z
2 3
3. log 7 1 log 4 2 log 2
Solución
74 ^ h
= log
2
28
= log
2
= log 14
1 1 2
4.
2
log36
-
3
log 27 +
3
log 64
Solución
2 1 1 2
1
1
log36
-
3
log 27 +
3
log64 = log 36 2 - log27 3 + log 64
36 2 ^64h
= log 1
27 3
= log
= log 32
1
616 ^ h
3
2
3
2
3
Actividad de aprendizaje 2
1. Escribe las siguientes expresiones como un logaritmo único con un solo argumento.
a) log 3 x 1 log 3 y f) log x 1 log y 2 log z
b) 2 log x 1 3 log y g) 5 log x 1 2 log y 2 log z
c) 4 log 4 x 1 5 log 4 y 2 2 log 4 z h)
1
^log x-
log yh
3
5 5
96

Lección 4
d)
1
^log x-
log yh i) 3 log 7 2 log x
4
3 3
e) log 2 8 2 log 2 x 2 log 2 y j)
1
3
^log6x+ log6y-4 log6zh
2. Utiliza las propiedades de los logaritmos para escribir en forma desarrollada las siguientes
expresiones logarítmicas.
a) log 7xy e) log 4 xy
b) log x 2 y
xy
f) logd
3
z
2 4
n
3 4
xy
c) log d
8 5
n g) log b
z
x
yz
2 2 3
l
x
d) logf p h) logf
3
y
3
5
x
y
p
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver una ecuación logarítmica utilizamos la equivalencia
entre logaritmos y exponentes por medio de la definición de
logaritmo:
y 5 log b x si y solo si b y 5 x
Lección
4
Ecuaciones
logarítmicas y
exponenciales
Donde usamos el siguiente sentido de la equivalencia:
Si log b x 5 y, entonces b y 5 x
Ejemplos
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
1. log 2 x 5 4
97

2
Funciones exponencial y logarítmica
Solución
De acuerdo con la definición de logaritmo:
si log 2 x 5 4, entonces 2 4 5 x; y por lo tanto x 5 16
2. log 3 x 5 2.5
Solución
Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:
3. log 7 (2x 2 5) 5 1.6
Solución
si log 3 x 5 2.5, entonces
3 2.5 5 x; y por lo tanto,
x 5 15.588
Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:
de donde despejamos x:
y por lo tanto,
4. log x 125 5 3
Solución
Si log 7 (2x 2 5) 5 1.6, entonces
7 1.6 5 2x 2 5, es decir
22.5 5 2x 2 5
22.
5+ 5
2 = x
x 5 13.75
Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:
si logx 125 5 3, entonces
x 3 5 125
98

Lección 4
entonces:
3
x = 125
y por lo tanto,
x 5 5
5. log 81 x 5 2
1
Solución
Aplicando la definición de logaritmo:
si log 81 x 5 2
1
, entonces
81 1⁄2 5 x
luego, si aplicamos la siguiente ley de exponentes: x
y por lo tanto, x 5 69
m n
n m
= x , tenemos 2 81 1 = x
pero el argumento debe ser mayor que cero, entonces la única solución es x 5 9.
6. log 3 x 1 log 3 6 5 2
Solución
Para resolver esta ecuación logarítmica primero escribamos el miembro izquierdo como un logaritmo
único con un solo argumento aplicando las propiedades de los logaritmos:
entonces:
log 3 x 1 log 3 6 5 2
log 3 [(x)(6)] 5 2
log 3 (6x) 5 2
3 2 5 6x
9 5 6x
9
6 =
x =
x
3
2
99

2
Funciones exponencial y logarítmica
7. log 4 48 2 log 4 x 5 2
Solución
Al escribir el miembro izquierdo como un logaritmo único con un solo argumento resulta:
48
log4 a k
x
= 2 entonces:
48
16 =
x
y despejando x tenemos que:
4
2 =
x =
48
x
48
16
x 5 3
8. log(x 2 1 1) 2 log(x 2 2) 51
Solución
Al escribir el miembro izquierdo como un logaritmo único con un solo argumento resulta:
log
2
^x
+ 1h
^x
- 2h
= 1 luego, por definición de logaritmo aplicada a este con base 10, tenemos:
10
1
2
^x
+ 1h
=
^x
- 2h
2
10^x- 2h
= x + 1
2
10x- 20 = x + 1
2
0 = x + 1- 10x+
20
2
0 = x - 10x+
21
De donde, al factorizar el miembro derecho de la ecuación anterior, resulta:
Ecuaciones exponenciales
0 5 (x 2 7)(x 2 3)
x 2 7 5 0 x 2 3 5 0
x 5 7 x 5 3
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece al menos en un exponente.
Para resolver este tipo de ecuaciones se pueden utilizar las siguientes propiedades de potenciación y de
logaritmos, respectivamente:
100

Lección 4
Si b x 5 b y con b . 0, b Þ 1, entonces x 5 y.
Si a 5 b; donde a y b son dos números reales mayores que cero, entonces log a 5 log b.
Ejemplos
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 2 x 5 8
Solución
Si expresamos el número 8 como una potencia con base 2 tenemos que:
2 x 5 2 3
Y aplicando la propiedad de potenciación tenemos que:
x 5 3
O resolviendo la ecuación aplicando la propiedad de logaritmos, tenemos:
si 2 x 5 8, entonces
log 2 x 5 log 8
De donde:
x log 2 5 log 8
Al despejar x resulta:
x =
log 8
log 2
x 5 3
2. 15 2x 5 140
Solución
Si 15 2x 5 140, entonces:
log 15 2x 5 log 140
(2x) log 15 5 log 140
2x =
log140
log15
101

2
Funciones exponencial y logarítmica
3. 5 4x 2 1 5 15625
Solución
Si 5 4x 2 1 = 15625, entonces:
A continuación despejamos x:
4. 47(2.7)x 5 3856
Solución
2x 5 1.8248; de donde
x 5 0.9124
log 5 4x 2 1 5 log 15625
(4x-1) log 5 5 log 15625
4x
- 1 =
4x 2 1 5 6
log15625
log 5
4x 5 6 1 1
4x 5 7
7
x =
4
= 175 .
Para facilitar la solución de esta ecuación primero despejamos la expresión (2.7) x .
Como 47 multiplica a dicha expresión, entonces pasa dividiendo al miembro derecho;
27 .
x =
3856
47
2.7 x 5 82.0425; de donde la resolver la ecuación por logaritmo resulta:
log 2.7 x 5 log 82.0425
x log 2.7 5 log 82.0425
Al despejar tenemos que:
x =
log 82.
0425
log 27 .
x 5 4.4372
102

Lección 4
Ecuaciones exponenciales donde aparece el número irracional e
El número de Euler o constante de Napier, e (en honor del matemático escocés, John Napier), es la base
de los logaritmos llamados logaritmos naturales, que se denotan como ln; es decir:
lnN 5 log e N
Para facilitar la resolución de ecuaciones exponenciales con base e, aplicaremos la siguiente propiedad:
ln(e) 5 1 (ya que ln(e) 5log e e 5 1).
Ejemplo
Resuelve la ecuación exponencial e 5x 5 7800.
Solución
e 5x = 7800
Aplicamos el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:
Entonces:
Pero lne 51:
Y despejando x tenemos:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
ln(e 5x ) 5 ln(7800)
(5x)ln e 5 ln(7800)
(5x)(1) 5 ln(7800)
5x 5 8.962
8.
962
x =
5
= 1.
7924
a) log 5 x 5 3 g) log 2 x 5 5
b) log 3 x 5 4 h) log 9 x 5
1
2
c) log 25 x 5
1
2
i) log x 32.01 5 5.6
d) log x 5 5 1.2 j) log x 9 5 2.1
e) log x 243 5 5 k) log 2 (5x 2 3) 5 5
f) log 3 (9x) 5 4 l) log 4 (8x) 5 3
Actividad de aprendizaje 3
103

2
Funciones exponencial y logarítmica
m) log x 1 log 5 5 2 r) log x 2 log 2 5 2
n) log 6 (7x 1 1) 5 2 s) log x 1 log (x 2 3) 5 1
o) log 7 (x 1 1) 1 log 7 (x 25) 5 1 t) log x 2 log (x 2 2) 5 1
p) log 3 (x 1 1) 2 log 3 (x 2 2) 5 2 u) log 2 (x 1 2) 1 log 2 (x 2 5) 5 3
q) log 4 x 2 log 4 8 5 3
2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) 3 x 5 729 l) 6 x 5 7776
b) 46(27) x 5 414 m) 42 x 5 64
c) 80(5.4) x 5 7800 n) (7) x 2 2 5 1540
d) 6 000(2.67) 0.03x 5 12 000 ñ) 26(12) x 5 16 480
e) 10 000e 0.07t 5 20 000 (e es la base de
los logaritmos naturales observa que
ln e 5 1 y e 5 2.718...)
o) 1 000e 0.06t 5 3 000
f) 30e 20.00004x 5 25 (e 5 2.718...) p) 25 000e 0.045x 5 35 000
t 28
g)
1
1000a k 2
= 20
q) 12000(2) t/2 5 50000
h) 800e 20.000124t 5 560 r) 5 2x 11 5 8
i) 4 000(0.85) t 5 2000 s) 1 500(2) t/2 5 6 000
j) 760e 20.144x 5 380 t) 6 000 0.04t 5 12 000
t
k)
1
t
800 a k 2 = 200
u)
2
1800 a k 5 = 600
Evaluación de logaritmos de base diferente de 10
Por ejemplo, si queremos hallar el valor de log 3 15, podemos representar dicho valor con la literal x, es
decir:
log 3 15 5 x
Y por definición de logaritmo tenemos entonces que:
3 x 5 15
La cual es una ecuación exponencial que resolvemos aplicando logaritmos:
log 3 x 5 log 15
x log 3 5 log 15, de donde
x =
log15
log 3
x = 2.465
104

Lección 4
En general, dada la expresión log b N con N . 0, b . 0, b Þ 1, se tiene que
log N
logb N =
log b
, fórmula de cambio de base.
Es decir, el logaritmo de un número mayor que cero en base b diferente de 10 es igual al cociente del
logaritmo (en base 10) de dicho número y el logaritmo (en base 10) de la base. Por ejemplo:
log 47
1. log7 47 =
log 7
= 1.
978
log 8
2. log2 8 =
log 2
= 3
1. Halla el valor de los siguientes logaritmos.
a) log 4 20 f) log 5 36
b) log 5 53 g) log 12 124
c) log 3 8 h) log 4 760
d) log 2 48 i) log 7 235
e) log 8 326 j) log 2 15
Actividad de aprendizaje 4
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 3. Análisis” de la etapa 2 y resuelve
los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan. Al finalizar, compara y valida en
grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
105

2
Funciones exponencial y logarítmica
Lección
5
Las funciones
exponenciales como
modelos matemáticos
Ejemplos
Como hemos señalado, la variación de muchas magnitudes en física,
química y biología se puede describir por medio de funciones
exponenciales; por ejemplo, el crecimiento de un cultivo de bacterias
o el crecimiento de una población determinada, entre otras.
A continuación, veremos algunos ejemplos de aplicación de las
funciones exponenciales.
1. El número de bacterias que hay en un cultivo después de t días se determina con la ecuación
N 5 400 (2) t . Calcula:
a) El número de bacterias después de tres días.
Solución
En este caso t 5 3, por lo tanto:
Después de tres días habrá 3 200 bacterias.
N 5 400 (2) 3
N 5 400 (8)
N 5 3 200
b) ¿Después de cuánto tiempo habrá 102 400 bacterias en el cultivo?
Solución
La incógnita en esta pregunta es la variable t; por lo tanto, para encontrar su valor necesitamos
resolver la ecuación exponencial:
Donde tenemos que:
400 (2) t 5 102 400
2
t =
2 t 5 256
102400
400
log 2 t 5 log 256
t log 2 5 log 256
log 256
t = , luego t 5 8 días
log 2
106

Lección 5
2. Un automóvil tiene cinco años de uso y su valor comercial actual es de $31 664.00. Cuando era
nuevo costó $60 000.00. Si su valor se deprecia exponencialmente con el tiempo de uso, ¿cuál será
su valor comercial dentro de siete años?
Solución
Como el valor comercial del carro (v) depende del tiempo de uso (t), entonces los pares ordenados
que relacionan dichas variables son de la forma (t,v). Además, como la relación es exponencial,
ello implica que la ecuación particular que le corresponde es de la forma: v 5 ab t .
De acuerdo con lo anterior, tenemos los pares ordenados (0, 60 000) y (5, 31 664). Sustituyendo
los valores de la primera pareja ordenada tenemos:
Entonces
60 000 5 ab 0
60 000 5 a(1)
a 5 60 000
Luego sustituimos los valores de la segunda pareja ordenada y el valor de a:
31 664 5 60 000b 5 ; de donde, al despejar b 5 , resulta:
b
5 =
31664
60000
b 5 5 0.52773
b = 5 0.
52773
b 5 0.88
Por lo tanto, la ecuación particular que relaciona el valor comercial del auto v con el tiempo de
uso t la obtenemos al sustituir los valores de a y de b en la ecuación:
v 5 ab t
v 5 60 000(0.88) t
Luego, dentro de siete años el automóvil tendrá 12 años de uso; por lo tanto, su valor comercial
será:
v 5 60 000(0.88) 12
v 5 12 940.3
Dentro de 7 años el valor del automóvil será de $12 940.30.
107

2
Funciones exponencial y logarítmica
3. Considera que el número de bacterias (n) presentes en un cultivo crece exponencialmente con
el tiempo (t). Si el lunes de cierta semana había 800 bacterias y el viernes se incrementó a
4 050, encuentra:
a) El número de bacterias presentes en el cultivo el domingo de esa semana.
Solución
Considerando que el lunes corresponde a t 5 0, entonces tenemos el par ordenado (0, 800).
Asimismo, para el viernes corresponde t 5 4, de donde resulta el par ordenado (4, 4 050).
Como la variable n crece exponencialmente con la variable t, entonces la ecuación general que
relaciona a dichas variables es de la forma: n 5 ab t .
Sustituyendo t 5 0 y n 5 800, tenemos:
Entonces:
800 5 ab 0
800 5 a
n 5 800b t
Para encontrar el valor de b sustituimos los valores del par ordenado (4, 4 050):
n 5 800b t ; luego,
4 050 5 800b 4
Despejando b 4 en la ecuación anterior resulta:
b
4 4050
=
800
De donde:
b 4 5 5.0625
b = 4 5.
0625
b 5 1.5
Por lo tanto, la ecuación particular que corresponde a la relación entre las variables n y t es:
n 5 800(1.5) t
108

Lección 5
Para el domingo de dicha semana t 5 6; por lo tanto, el número de bacterias presentes en el cultivo
ese día es:
n 5 800(1.5) 6
n 5 9 112
En el domingo de dicha semana el número de bacterias en el cultivo es 9 112.
1. El número de bacterias (n) que hay en un cultivo después de t horas de proliferación se determina
con la expresión: n = 12000()
2 t 2 , halla:
a) El número de bacterias presentes después de 8 horas de proliferación.
b) ¿Después de cuánto tiempo de proliferación habrá 384 000 bacterias?
2. El número de bacterias (n) que hay en un cultivo se calcula con la expresión n 5 3 000(2) t/3 ;
donde t es el tiempo de proliferación en horas; halla:
a) El número de bacterias en el cultivo después de 9 horas y 45 minutos de proliferación.
b) El tiempo de proliferación que debe transcurrir para que se duplique el número de bacterias.
3. El número de bacterias (n) que hay en un cultivo después de t días de proliferación está dado
por: n 5 400(1.06) t . Halla:
a) El número de bacterias después de tres semanas de proliferación.
b) El número de días deben transcurrir para que el cultivo tenga 2 298 bacterias.
4. El censo de 1990 mostró que la población en millones de habitantes de cierta ciudad era
2.374 millones, mientras que en el año 2000 la población era de 3.19 millones. Si la
población creciera exponencialmente con el tiempo; halla:
a) La ecuación particular que expresa el crecimiento de la población después de t años.
b) La población estimada en el año 2007.
c) La población estimada en el año 2010.
d) ¿En qué año se estima que habrá 5.765 millones de habitantes?
e) ¿En qué año se estima que habrá 4.971 millones de habitantes?
5. Imagina que hay 18 g de sustancia radiactiva el día de hoy y que habrá 14 g de esa sustancia
dentro de tres días. Si la cantidad de sustancia radiactiva decrece exponencialmente
con el tiempo, calcula:
a) ¿Qué cantidad de sustancia radiactiva habrá dentro de 10 días?
b) ¿Dentro de cuántos días habrá 3.4 g de esa sustancia?
Actividad de aprendizaje 5
109

2
Funciones exponencial y logarítmica
6. Un automóvil que tiene ocho años de uso tiene un valor comercial de $28 770.76, pero hace
tres años era de $42 218.55. Si el valor varía exponencialmente con el tiempo, entonces halla:
a) La ecuación particular que expresa el valor del carro en término de los años de uso.
b) El valor del carro cuando tenga 12 años de uso.
c) El valor del auto cuando era nuevo.
d) ¿Después de cuántos años de uso el valor del carro se reduce a la mitad?
e) Supón que se quiere vender el automóvil cuando tenga un valor de $11 758.00. ¿Cuántos
años tendrá de uso?
7. El valor comercial de un auto se deprecia exponencialmente 15 % por año. Si un vehículo
nuevo tiene un valor de $60 000, halla:
a) La ecuación que expresa el valor del carro después de t años de uso.
b) El valor del auto cuando tenga 10 años de uso.
c) ¿Después de cuántos años de uso el valor del carro se reduce a la mitad?
d) ¿Después de cuántos años de uso el auto tendrá un valor de $22 629.00?
8. Considera que la población de tu ciudad crecerá exponencialmente a una tasa anual de
1.4 %. Halla:
a) El tiempo de duplicación de la población.
b) El tiempo de triplicación de la población.
9. La población de un país es de 50 millones de habitantes. Si creciera exponencialmente a una
tasa anual de 2 %, calcula:
a) La población estimada dentro de 15 años.
b) El tiempo de duplicación.
c) ¿Dentro de cuánto tiempo se estima que la población será de 82.5 millones?
d) El tiempo de cuadruplicación.
10. La presión atmosférica (P) en mmHg a una altura h sobre el nivel del mar está dada por la
expresión: P 5 760e 20.1441h , donde h se mide en kilómetros. Halla:
a) La presión atmosférica a 10 km sobre el nivel del mar.
b) La altura sobre el nivel del mar a la cual la presión atmosférica es de 370 mmHg.
c) La altura a la cual la presión atmosférica es 1/4 de la que hay al nivel del mar.
d) La presión atmosférica al nivel del mar.
11. El número de bacterias que hay en un cultivo después de t horas está dado por la expresión
N(t) 5 N 0 (2) t/2 . ¿Después de cuánto tiempo el número de bacterias se incrementa de 1 500
a 6 000?
110

Lección 5
12. El número de bacterias (N) presentes en un cultivo después de t horas de proliferación está
dada por la expresión N(t) 5 N 0 e 0.04t . Contesta las siguientes preguntas (e 5 2.718):
a) ¿Después de cuánto tiempo de cultivo se duplicará el número de bacterias?
b) ¿Después de cuánto tiempo el número de bacterias se incrementa de 150 a 600?
13. El censo de 1990 mostró que la población de una ciudad era de 200 000 habitantes,
mientras que la del año de 2000 mostró una población de 240 000. Si la tasa anual de
crecimiento es exponencial determina:
a) La ecuación particular que expresa el número de habitantes en función del tiempo en años.
b) ¿En qué año se estima que la población será de 400 000 habitantes?
c) La población estimada en el año 2020.
d) ¿En qué año se estima que la población será de 300 000 habitantes?
14. La vida media del radio es de 1 690 años. Si una muestra de esta sustancia tiene actualmente
20 g. ¿Qué cantidad habrá dentro de 1 000 años? (La vida media de una sustancia
radiactiva se define como el tiempo que tardará en desintegrarse 50%.
15. Una maquinaria industrial se deprecia exponencialmente a una tasa anual de 5%. Si su valor
cuando era nueva fue de $800 000, halla:
a) El valor de la maquinaria cuando tengo 5 años de uso.
b) Se piensa vender cuando tenga un valor de $485 225.00. ¿Cuántos años tendrá de uso?
16. Una sustancia radiactiva se desintegra exponencialmente con el tiempo. Si la cantidad
inicial de dicha sustancia era de 500 g y hoy, 60 años después, es de 379 g, encuentra:
a) La cantidad de sustancia radiactiva dentro de 140 años.
17. La población de una ciudad crece exponencialmente 1.8 % por año. Calcula el tiempo de
duplicación.
18. El Prozac es un medicamento antidepresivo cuya vida media es de tres días. Calcula el porcentaje
del medicamento que se encuentra en el torrente sanguíneo de un paciente después de:
a) 6 días de su ingesta
b) 9 días de su ingesta
c) 12 días de su ingesta
19. Cuando una persona consume cafeína, la vida media de esta sustancia en el torrente sanguíneo
es de 4 horas. Una taza de café contiene alrededor de 100 mg de cafeína. Si una
persona toma una taza de café, completa la siguiente tabla:
t(horas) 0 4 8 12 16 20 24 28
Q = cantidad
de cafeína en
el torrente sanguíneo
(mg).
100
111

2
Funciones exponencial y logarítmica
20. El contaminante del accidente nuclear de Chernobyl (1986) es estroncio 90, que se desintegra
exponencialmente 2.445% por año. Calcula su vida media y completa la siguiente
tabla.
Año 2006 2024 2042 2070
t = Porcentaje de
estroncio después
de que ocurrió el
accidente.
100
21. La población de una ciudad es de 40 000 habitantes. Determina la ecuación que describe
la población en función del tiempo si:
a) Crece exponencialmente 1.5 % por año.
22. La destrucción de la capa de ozono de la atmosfera está relacionada con el uso de los
clorofluorocarbonos contenidos en el aire acondicionado y, en menor medida, en los atomizadores
de uso doméstico para el cabello, cremas para afeitar, etc. Actualmente, la cantidad de ozono
se desintegra a una tasa exponencial de 0.25 % por año. Calcula:
a) La vida media del ozono.
b) ¿Dentro de cuántos años desaparecerá la mitad del ozono que hay actualmente?
c) ¿Dentro de cuantos años quedará solo 25 % de la capa de ozono?
d) Investiga los efectos negativos de la desintegración de la capa de ozono de la atmosfera.
23. La vida media de la nicotina en el torrente sanguíneo es de dos horas. Una persona que
fuma un cigarro absorbe 0.4 mg de nicotina. Completa la siguiente tabla.
t(horas) 0 2 4 6
Cantidad de
nicotina (mg)
restante en el
torrente sanguíneo
después de
t horas.
0.4 0.025 0.0125
112

Lección 6
A continuación, veremos algunos ejemplos de aplicación de las
funciones logarítmicas.
Ejemplos
Lección
6
Las funciones
logarítmicas como
modelos matemáticos
1. La energía en ergios (E) liberada durante un terremoto de magnitud
R en la escala de Richter está dada por la expresión log E 5
1.4 1 1.5 R. calcula la energía liberada durante un terremoto de magnitud 7.6 en la escala de Richter.
Solución
La magnitud del terremoto es de R 5 7.6 grados Richter, entonces sustituyendo tenemos:
log E 5 1.4 1 1.5 (7.6)
log E 5 1.4 1 11.4
log E 5 12.8
Luego, aplicando la definición de logaritmo:
E 5 10 12.8
E 5 6.30 x 10 12 ergios
2. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter (R) se calcula con la ecuación: R = log i, donde
i es el número de veces que es más intenso el terremoto respecto a aquel cuya intensidad es la menor
que puede registrase con un sismógrafo.
Con base en lo anterior, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de magnitud 3 en la escala de Richter respecto al movimiento
sísmico más leve que se puede registrar?
Solución
Sustituimos la magnitud del terremoto y resolvemos la ecuación para i:
R 5 log i
3 5 log i
Luego:
log i 5 3
i 5 10 3
i 5 1000
113

2
Funciones exponencial y logarítmica
Por lo tanto, un terremoto de magnitud 3 en la escala de Richter es 1 000 veces más intenso que el terremoto
más leve que se puede registrar.
b) La intensidad de un terremoto es 100 000 veces mayor que el movimiento sísmico apenas registrable.
Determina su magnitud en la escala de Richter.
Solución
donde i 5 100 000; por lo tanto,
R 5 log i
R 5 log 100 000
R 5 5
c) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto de 4.6 en la escala de Richter que el sismo del nivel
mínimo registrable?
Solución
donde R 5 4.6, luego,
de donde resulta:
R 5 log i
4.6 5 log i
i 5 10 4.6
i 5 39,810.7
Por lo tanto, un terremoto de 4.6 en la escala de Richter tiene una intensidad 39 810.7 veces mayor que
el sismo más pequeño registrable.
d) ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de magnitud 8.2 en la escala de Richter que otro de magnitud
6.5 en la misma escala?
Solución
Sean R 2 la magnitud del sismo de mayor intensidad y R 1 la magnitud del sismo de menor intensidad,
luego:
R 2 5 log i 2
8.2 5 log i 2
114

Lección 6
donde:
10 8.2 5 i 2
R 1 5 log i 1
6.5 5 log i 1
de donde:
i 1 5 10 6.5
El número de veces que el terremoto de magnitud R 2 es más intenso que el de magnitud R 1 se
calcula por la razón i 2
; por consiguiente:
i
1
i
i
i
i
2
1
82 .
10
= 65 . = 10
10
2 =
1
50.
12
El terremoto, cuya magnitud es de 8.2, tiene una intensidad 50.12 veces mayor que el de
magnitud 6.5 en la escala de Richter.
3. La intensidad de un sonido en decibeles (d) está dada por la ecuación d 5 10(log P 1 16), donde P
representa la potencia en watts/cm 2 .
Con base en la información anterior contesta las siguientes preguntas:
a) Determina la intensidad de un sonido cuya potencia es de 0.0038 watts/cm 2 .
Solución
luego,
17 .
d 5 10(log P 1 16)
d 5 10(log 0.0038 1 16)
d 5 10(22.4202 1 16)
d 5 135.8 decibeles
b) Determina la potencia de un sonido cuya intensidad es de 120 decibeles.
Solución
d 5 10(log P 1 16),
115

2
Funciones exponencial y logarítmica
donde:
luego,
luego,
luego,
d 5 120 decibeles
120 5 10(log P 1 16)
120
10
= ( log P +16)
12 5 log P 1 16
12 2 16 5 log P
log P 524
P 5 10 24
P 5 0.0001
La potencia del sonido, cuya intensidad es de 120 decibeles, es de 0.0001 watts/cm 2 .
4. El potencial hidrógeno (pH) es un número que se utiliza para describir la acidez o la basicidad de una
sustancia química y se define por la ecuación pH 5 2log [H + ] que mide la concentración de iones
hidrógeno en moles por litro. Halla:
a) El pH de una cerveza si [H 1 ] 5 6.4310 25
Solución
pH 5 2log [6.4310 25 ]
pH 5 2(2 4.19)
pH = 419 . , 42 .
b) La concentración de iones de hidrógeno de una sustancia química cuyo pH sea 3.4.
Solución
pH 5 2log [H + ]
3.4 5 2log [H + ]
116

Lección 6
Al multiplicar por 21 en ambos miembros de la ecuación anterior resulta:
23.4 5 log [H + ]
H + 5 10 23.4 , de donde
H 5 3.98310 24
5. Para calcular el área de la superficie del cuerpo de una persona se utiliza la fórmula empírica
log A 5 22.144 1 0.425 log m 1 0.75 log h, donde A representa el área de su superficie en m 2 , m su
masa en kilogramos y h su estatura en cm. Calcula el área de la superficie de una persona de 60 kg
de masa y 160 cm de estatura.
Solución
log A 5 22.144 1 0.425 log 60 1 0.75 log 160
log A 5 22.144 1 0.7557 1 1.5980
log A 5 0.2097 ; luego
A 5 10 0.2097
A 5 1.62 m 2
6. La intensidad de un sonido en decibeles (d) se calcula con la ecuación d 5 10 log i donde i representa
cuántas veces es más intenso un sonido que el apenas audible. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas veces es más intenso un sonido de 20 decibeles que el sonido apenas audible?
Solución
d 5 10 log i;
como d 5 20 decibeles, entonces tenemos que:
luego:
20 5 10 log i
log i =
20
10
log i 5 2, luego
i 5 10 2
i 5 100
117

2
Funciones exponencial y logarítmica
Un sonido de 20 decibeles tiene una intensidad 100 veces mayor que el sonido apenas audible.
b) ¿Cuántas veces es más intenso un sonido cuya intensidad es de 100 decibeles que otro de 80
decibeles?
Solución
Sea d 2 5 100 decibeles y d 1 5 80 decibeles; luego:
d 1 5 10 log i 1
De donde resulta:
Y
Entonces:
Por consiguiente:
log i
805 10 log i 1
1 =
log i 5 8
80
10
i 1 5 10 8
d 2 5 10 log i 2 ,
100 5 10 log i 2
10 5 log i 2
10 10 5 i 2
i
i
2
1
10
10
2
= 8 = 10 = 100
10
Un sonido de 100 decibeles tiene una intensidad 100 veces mayor que otro de 80 decibeles.
c) La intensidad de un sonido es de 1 400 veces mayor que la del ruido apenas registrable, determina
su intensidad en decibeles.
Solución
d 5 10 log i
d 5 10 log 1400
d 5 31.46 decibeles
118

Lección 6
Las funciones logarítmicas como modelos matemáticos
1. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter (R) se calcula con la expresión R 5 log i,
donde i es el número de veces que es mayor la intensidad de dicho movimiento telúrico
respecto al terremoto cuya intensidad es la más pequeña que puede registrarse con un sismógrafo.
Determina:
a) ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de 4 grados en la escala de Richter con respecto
al movimiento más pequeño registrable?
b) ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de 6.4 en la escala de Richter comparado con
otro de 4.7 en la misma escala?
c) ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de 2.25 en la escala de Richter que el sismo de
nivel mínimo registrable?
d) ¿Cuántas veces es más intenso un sismo de 6.4 en la escala de Richter comparado con
otro de 4.7 en la misma escala?
e) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto que marca 8.1 en la escala de Richter en
comparación con un sismo de cinco grados en la misma escala?
f) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto de 8.2 en la escala de Richter con respecto a
uno de 6.7 en la misma escala?
g) Un terremoto mediano tiene un número de 4.5 en la escala de Richter y uno severo tiene un
número de 8.2 en la misma escala. ¿Cuántas veces es más intenso el segundo que el primero?
h) Si un sismo tiene una magnitud de 3.4 en la escala de Richter, ¿qué tan intenso es respecto
al que apenas es perceptible?
i) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 8.25 en la escala de Richter que
otro de 7 en la misma escala?
2. La escala de decibeles se utiliza para medir la magnitud de un sonido. Dicha magnitud en decibeles
se define como d 5 10 log i, donde i es el número de veces que es mayor la intensidad
de un ruido en comparación con el ruido apenas audible. Contesta las siguientes preguntas:
a) El motor de un avión alcanza 120 decibeles; determina:
b) ¿Cuántas veces es más intenso que el ruido apenas audible?
Actividad de aprendizaje 6
c) En una calle transitada la intensidad del ruido es de 70 decibeles. ¿Cuántas veces es más
intenso el ruido del motor de avión que el ruido de dicha calle?
d) Calcula la intensidad en decibeles del ruido de un sonido que es 125 veces mayor que el
sonido más pequeño que es audible.
e) Calcula la intensidad en decibeles de un sonido que es 1 200 veces mayor que el sonido
más pequeño que es audible.
f) Si la magnitud de un sonido es de 40 decibeles. ¿Cuántas veces es mayor que el sonido
menos pequeño?
g) ¿Cuántas veces es mayor un sonido de 118 decibeles que otro de 88 decibeles?
119

2
Funciones exponencial y logarítmica
3. La intensidad de un sonido (d) en decibeles está dada por la expresión d 5 10(log P 1 16),
donde P es la potencia acústica en watts/cm 2 . Determina:
a) La intensidad en decibeles de un sonido cuya potencia es de 0.0027 watts/cm 2 .
b) La potencia de un sonido cuya intensidad es de 140 decibeles.
c) La potencia de un sonido cuya intensidad es de 120 decibeles.
d) La potencia de un sonido cuya intensidad es de 135 decibeles.
e) La intensidad de un sonido cuya potencia es de 0.0020 watts/cm 2 .
f) La intensidad de un sonido cuya potencia es de 0.0035 watts/cm 2 .
4. Para calcular el área de la superficie de un cuerpo se utiliza la fórmula empírica log A 5
22.144 1 0.425 log m 1 0.725 log h, donde A representa el área en metros cuadrados, m el
peso en kilogramos y h la altura en centímetros. Calcula:
a) El área de la superficie de una persona cuyo peso es de 80 kg y mide 170 cm de altura.
b) El área de la superficie de una persona que pesa 90 kg y mide 174 cm.
c) El área de la superficie de una persona que pesa 60 kg y mide 152 cm.
d) El área de una persona que mide 165 cm y pesa 73 kg.
5. El pH (potencial hidrógeno) de una sustancia química está dada por la expresión
pH 5 2log [H + ], donde [H + ] mide la concentración de ion hidrógeno.
a) Calcula el pH de una sustancia si su valor [H + ] es igual a 1.6310 27 .
b) Calcula el pH de la leche si su valor [H + ] es 2.3310 28 .
c) Calcula el pH del vinagre si su valor [H + ] es 2.9310 23 .
d) Si el pH de un jugo de tomate es 6.2, encuentra la concentración de ion hidrógeno [H + ].
e) Si el pH de un jugo de limón es 2.19, encuentra la concentración de ion hidrógeno.
f) El pH de la leche es 6.398; encuentra la concentración de ion hidrógeno.
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 4. Aplicación” de la etapa 2 y
resuelve los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan. Al finalizar, compara y
valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
120

Aprendizajes esperados Lección
1
Lugares
geométricos
Identifica lugares
geométricos.
2 3
Segmentos rectilíneos
en el plano
Identifica segmentos de
línea en el plano cartesiano.
Distingue los tipos de
segmentos rectilíneos.
Determina analítica y gráficamente
la distancia entre
dos puntos.
Calcula el perímetro de
figuras geométricas en el
plano cartesiano.
Describe analítica y
gráficamente el punto medio
entre dos puntos.
La recta en el plano
cartesiano
Reconoce la definición de
pendiente.
Calcula la pendiente de una
recta.
4
Ecuaciones
de la recta
Transforma la ecuación
de la recta a sus diversas
formas.

La recta
como lugar
geométrico
3
Etapa
5
6
7
Rectas paralelas y
perpendiculares
Identifica mediante la
definición de pendiente si
dos rectas en el plano son
paralelas o perpendiculares.
Distancia de una
recta a ciertos lugares
geométricos
Determina la distancia
de una recta a diferentes
lugares geométricos.
Modelos lineales
Aplica la ecuación de la
recta en la modelación de
diversas situaciones.
Competencias que se
favorecen:
• Resolver problemas en
diversos contextos.
• Explicar resultados
mediante diversos
procedimientos.
• Manejar técnicas
eficientemente.
• Validar
procedimientos y
resultados.

3
La recta como lugar geométrico
Propósito
Resuelve situaciones reales mediante la modelación de la ecuación de la recta.
Competencia genérica
Es aquella que todo estudiante tiene la
capacidad para desempeñar.
Competencia específica de Matemáticas
Propicia el pensamiento lógico
mediante procesos de razonamiento y
argumentación de ideas en la resolución
de problemas matemáticos.
Desempeños del estudiante
Son las actitudes y aptitudes
desarrolladas durante el proceso
educativo.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a
problemas a partir de métodos establecidos.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para
probar su validez.
Modela, resuelve e interpreta problemas de la vida
cotidiana mediante la representación de las variables de
un fenómeno social o natural en una función algebraica o
trascendente y por medio de su representación gráfica.
• Realiza los procedimientos necesarios para dar
respuesta a las preguntas planteadas.
• Determina distancias entre dos puntos y puntos medios
de segmentos en el plano cartesiano.
• Obtiene el perímetro de polígonos en el plano
cartesiano.
• Identifica la pendiente y la intersección con los ejes de
una ecuación lineal.
• Grafica la ecuación de la recta.
• Identifica rectas paralelas o perpendiculares mediante
sus pendientes.
• Identifica y expresa la ecuación de la recta en
cualquiera de sus formas.
• Determina la distancia de una recta a diferentes lugares
geométricos.
• Aplica la ecuación de la recta en la solución de
problemas de diferentes contextos.
• Toma conciencia de sus errores.
Introducción
En esta etapa comenzarás con el estudio de la geometría analítica, una rama de las matemáticas que
analiza las figuras geométricas en un plano cartesiano utilizando métodos algebraicos, de tal forma
que obtengamos una ecuación a partir de una serie de puntos que forman líneas o curvas, o bien, que
determinemos una gráfica a partir de una ecuación.
En 1637, el matemático y filósofo, René Descartes (1596-1650), publicó en su obra El discurso del
método cómo las figuras geométricas pueden ser representadas con ecuaciones, es decir, estableció la
relación de la geometría con el álgebra. Años más tarde, en 1679, se darían a conocer ensayos realizados
por el matemático Pierre de Fermat que establecen los fundamentos para la geometría analítica.
Para adentrarnos en el estudio de la geometría analítica, empezaremos por comprender el plano cartesiano
mediante la localización de coordenadas, las gráficas de algunos lugares geométricos y las
distancias entre ellos, para analizar después la recta en el plano cartesiano.
124

Lección 1
Para empezar
En la plataforma Nexus responde la evaluación diagnóstica; es un examen de cinco preguntas
de opción múltiple acerca de los contenidos que debes dominar para comprender y desarrollar
eficazmente los que estudiarás en esta etapa.
Guía de aprendizaje
Dirígete a la sección “Experiencias de aprendizaje” de la etapa 3 de tu guía de aprendizaje
y en el salón de clases contesta las preguntas de la actividad correspondiente a la sección
“Dimensión 1. Recuperación”, siguiendo las indicaciones que ahí se presentan. Al finalizar,
compara y valida en grupo, y con ayuda del docente, las respuestas que escribiste.
Sistema de coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas es lo que conocemos como
plano cartesiano, donde se localiza la posición de cualquier punto
de un espacio euclidiano.
Pero podemos dibujar no solo puntos, sino también rectas, curvas,
segmentos, etc. y todas ellas cumplen una cierta condición o propiedad
geométrica; es decir, describimos un lugar geométrico.
Lección
1
Lugares geométricos
Definición
Un lugar geométrico es el conjunto de puntos en el plano cartesiano que cumplen cierta
condición; es decir, la curva formada por los puntos que satisfacen una ecuación determinada.
Por ejemplo, si se desea obtener el lugar geométrico de los puntos cuya coordenada y es el triple de su
coordenada x, tendríamos la siguiente correspondencia o ecuación: y 5 3x
Construyendo una tabla de valores para cualquier valor de x, tenemos:
x y
22 26
21 23
0 0
1 3
2 6
3 9
8
6
4
2
–6 –4 –2 0
–2
(21, 23)
–4
y
(3, 9)
(2, 6)
(1, 3)
2 4 6
x
(22, 26)
–6
–8
Figura 3.1
125

3
La recta como lugar geométrico
Así, el lugar geométrico que forman los puntos en el plano cartesiano es una recta.
Todos los puntos que satisfacen la ecuación (condición) pertenecen a la gráfica de esta (lugar geométrico),
y viceversa, todos los puntos que están en la gráfica cumplen con la condición especificada.
Actividad de aprendizaje 1
Para cada una de las condiciones dadas, realiza la gráfica y nombra el lugar geométrico que
representa en el plano cartesiano el conjunto de puntos que cumplen con tal condición.
y
1. y 5 2x
Lugar geométrico_________________
x
2. y 5 2x 1 3 3. y 5 x 2
Lugar geométrico_________________________
Lugar geométrico_________________________
y
y
x
x
126

Lección 2
En el plano cartesiano se pueden representar diferentes lugares
geométricos; entre ellos, los segmentos de recta.
Definición
Se llama segmento de recta al fragmento de recta
comprendido entre dos puntos, a los cuales se llama extremos.
Lección
2
Segmentos rectilíneos
en el plano cartesiano
B (x 2 , y 2 )
y 2
x 2
Por ejemplo, si las coordenadas de dos puntos son
A(x 1 , y 1 ) y B(x 2 , y 2 ) el segmento de recta es la línea
que conecta a esos dos puntos y se denota como
AB (figura 3.2).
A (x 1 , y 1 )
AB
y 1
x 1
Figura 3.2
Tipos de segmentos rectilíneos
A un segmento de recta se le puede asociar una longitud o medida. Para ello simplemente se debe contar
la distancia que hay entre A y B, dependiendo del orden de dichos puntos los segmentos se clasifican en
dirigidos y no dirigidos:
Un segmento no dirigido se caracteriza solo por su distancia, es decir, el orden de los puntos A y B
es indistinto. Y se representa como:
AB 5 BA
Un segmento dirigido se caracteriza por su longitud y por su dirección, es decir, se especifica cuál
es el punto inicial y cuál es el punto final. Y se representa colocando una flecha encima de ambos puntos
A y B:
Un segmento que inicia en el punto A y termina en el punto B, se denota como AB .
Un segmento que inicia en el punto B y termina en el punto A, se denota como BA .
127

3
La recta como lugar geométrico
Distancia entre dos puntos
Una de las características más importantes de un segmento de recta es su longitud. A continuación, mostramos
cómo calcular la longitud de un segmento de la recta real para luego calcular la longitud de un
segmento que une dos puntos en el plano cartesiano.
Definición
La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que une dichos puntos.
Si tomamos dos puntos localizados en un eje, por ejemplo en el eje x: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) (figura 3.3), el cálculo
de la distancia entre ellos se obtiene restando la coordenada del punto inicial a la coordenada del punto
final:
La distancia (d ) entre los puntos A y B está dada por el valor absoluto de la longitud de AB.
y
d 5 |x 2 2 x 1 |
(x 1 , 0) (x 2 , 0)
x
Figura 3.3
Ejemplo 1
Dadas las coordenadas A(2,0) y B(10,0), encuentra la distancia d entre ellas:
d 5 |10 2 2| 5 8
y
A(2, 0) AB B(10, 0)
2 4 6 8 10 12 x
d
Figura 3.4
Ahora bien, si los puntos A(x 1 , y 1 ) y B(x 2 , y 2 ) se encuentran localizados en cualquier lugar del
plano cartesiano, donde x 1 Þ x 2 y y 1 Þ y 2 para que la recta AB no sea paralela a ninguno de los
128

Lección 2
ejes coordenados, y si deseamos encontrar la distancia d, formemos un triángulo rectángulo con
las proyecciones paralelas a los ejes como los catetos y la hipotenusa como la distancia d que
deseamos encontrar.
y
B(x 2 , y 2 )
y 2
x 2
A(x 1 , y 1 )
d
y 2 2 y 1
y 1
x 1
x 2 2 x 1
x
Figura 3.5
Así, las longitudes de los catetos están dadas por x 2 2 x 1 y y 2 2 y 1 ,de tal forma que, aplicando el
teorema de Pitágoras podemos obtener la longitud de d, que es la distancia entre los puntos A y B.
d 2 5 (x 2 2 x 1 ) 2 1 (y 2 2 y 1 ) 2
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
Fórmula
La distancia entre dos puntos, A(x 1 , y 1 ) y B(x 2 , y 2 ), se obtiene con la fórmula:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
Ejemplo 2
Determina la distancia entre los puntos: A(5, 27) y B(23, 2).
B(23, 2)
2
1
y
–3 –2 –1 0
–1
–2
–3
–4
–5
1 2 3 4 5
x
–6
A (5, 27)
Figura 3.6
129

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 3
Procedimiento
Teniendo las coordenadas de los dos puntos, partimos de la fórmula de distancia:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
Sustituyendo los valores de las coordenadas y resolviendo, tenemos:
Solución
d = ^-3- 5h
+ ^2--
^ 7hh
d = ^- 8h
+ ^9h
d = 64 + 81
d = 145
d = 12.
042
2 2
2 2
La distancia entre los puntos A(5, 27) y B(23, 2) es de 12.042 unidades.
Indica el nombre del triángulo (según la longitud de sus lados) que se forma al unir los vértices
linealmente: A(27, 1), B(0, 0) y C(21, 7).
C (21, 7)
7
6
5
4
y
A (27, 1)
–7 –6 –5 –4
3
2
1
B (0, 0)
–3 –2 –1 0 1
–1
x
Figura 3.7
Procedimiento
Para clasificar un triángulo de acuerdo con la medida de sus lados utilizaremos la fórmula de
distancia entre dos puntos para obtener la longitud de cada lado.
130

Lección 2
Ejemplo 4
Partimos entonces de la fórmula:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
Y calculamos la distancia que existe entre los vértices.
Para la distancia entre el vértice A(27, 1) y el vértice B(0, 0), tenemos:
d 0 7 2 0 1 2 7 2 1 2
AB = ^ -^- hh + ^ - h = ^ h +- ^ h = 49 + 1 = 50 = 7.
07
Para la distancia entre el vértice B(0, 0) y C(21, 7), se obtiene:
d 1 0 2 7 0 2 1 2 7 2
BC = ^^- h- h + ^ - h = ^- h + ^ h = 49 + 1 = 50 = 707 .
Y por último, para la distancia entre el vértice A(27, 1) y el vértice C(21, 7), se tiene que:
Solución
d 1 7 2 7 1 2 6 2 6 2
AC = ^^- h-- ^ hh + ^ - h = ^ h + ^ h = 36 + 36 = 72 = 849 .
Tenemos que d AB 5 d BC Þ d AC , solo dos distancias son de igual magnitud; por lo tanto, el triángulo
formado por los vértices en A(27, 1), B(0, 0) y C(21, 7) es un triángulo isósceles.
¿Cuáles son las posibles coordenadas de x para que la distancia entre los puntos A(x, 1) y B(8, 6)
sea de 13 unidades?
Procedimiento
Grafiquemos el punto B(8, 6) y todas las coordenadas con ordenada igual que 1; observemos en
la gráfica (figura 3.8) que existe una cantidad infinita de posibilidades para el punto que tiene la
coordenada y en 1.
8
6
4
2
y
B
–6 –4 –2 0 2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 x
Figura 3.8
Sin embargo, como tenemos la distancia que debe haber entre los puntos, podemos determinar la
coordenada x que nos falta utilizando la fórmula de distancia:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
131

3
La recta como lugar geométrico
Sustituyendo A(x, 1) y B(8, 6) y la distancia igual a 13, tenemos la siguiente ecuación:
13 = ^8- xh
+ ^6-1h
2 2
Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y nos queda:
Al resolver, tenemos:
De donde:
Solución
13 2 5 (8 2 x) 2 1 (6 2 1) 2
169 5 (8 2 x) 2 1 (5) 2
169 5 (8 2 x) 2 1 25
169 2 25 5 (8 2 x) 2
144 5 (8 2 x) 2
144 = ^8
-xh
612 5 8 2 x
12 5 8 2 x 212 5 8 2 x
12 2 8 5 2x 212 2 8 5 2x
4 5 2x 220 5 2x
x 5 24 x 5 20
Existen dos coordenadas que se encuentran a una distancia de 13 unidades del punto B(8, 6);
estas son Aʹ(24, 1) y A(20, 1).
2
8
6
4
2
Aʹ
y
–6 –4 –2 0 2
B
13 13
A
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
x
Figura 3.9
132

Lección 2
1. Calcula la distancia entre los puntos dados:
a) (8, 2) y (10, 6)
b) (26, 11) y (9, 1)
c) (1, 23) y (0, 12)
d) (6, 3) y (213, 3)
e) (27, 0) y (25, 5)
Actividad de aprendizaje 2
2. Determina el valor de x para que la distancia entre (x, 5) y (8, 4) sea igual que 6.
3. Determina el valor de y para que la distancia entre (23, y) y (4, 22) sea igual que 10.
4. Demuestra que los puntos (25, 25),(0.5, 1) y (21, 27) son los vértices de un triángulo isósceles.
5. Demuestra que los puntos (26, 2),(23, 5) y (21, 23) son los vértices de un triángulo rectángulo.
6. Demuestra que los puntos (23,0), (3,23), (2, 10) y (8, 7) son los vértices de un rectángulo.
7. Demuestra que los puntos (28.41, 10.54), (213.03, 20.73) y (20.96, 0.91) son los vértices de un
triángulo equilátero.
8. Demuestra que los puntos (2, 25), (7, 24), (3, 0) y (8, 1) son los vértices de un rombo.
Perímetro de polígonos en el plano cartesiano
Un polígono es la región de un plano limitada por tres o más segmentos no alineados. Si se tiene un
polígono sobre el plano cartesiano y se conocen las coordenadas de sus vértices, entonces podemos
calcular su perímetro al determinar la distancia que existe entre los vértices adyacentes y la suma de dichas
distancias.
Ejemplo 5
Determina el perímetro de un triángulo cuyos vértices están localizados en las siguientes coordenadas:
V 1 (25, 2), V 2 (4, 0) y V 3 (22, 23).
3
y
V 1
2
1
V 2
–7 –6 –5 –4 –3
V 3
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6
–1
–2
–3
x
Figura 3.10
133

3
La recta como lugar geométrico
Procedimiento
Para calcular el perímetro del triángulo que se muestra en la figura 3.10 es necesario obtener la
distancia entre los vértices adyacentes.
Distancia de V 1 a V 2 :
Distancia de V 2 a V 3 :
Distancia de V 3 a V 1 :
Solución
Actividad de aprendizaje 3
1. Calcula el perímetro de los polígonos cuyos vértices se forman con las coordenadas indicadas
en el plano cartesiano.
a) (5, 4), (8, 26) y (24, 7)
d = ^4-^- 5hh 2 + ^0- 2h 2 = 81 + 4 = 85 = 9.
22 unidades
2 2
d = ^-2- 4h + ^-3- 0h = 36 + 9 = 45 = 6.
71 unidades
d = ^-5-- ^ 2hh 2 + ^2-^- 3hh 2 = 9+ 25 = 34 = 5.
83 unidades
Sumamos las tres distancias para obtener el perímetro: 9.22 1 6.71 1 5.83 5 21.76 unidades.
b) (24, 0), (2, 8), (10, 4) y (6, 24)
c) (3, 1), (21, 21), (24, 2), (22, 6) y (2, 5)
d) (0, 0), (23, 3),(21, 2) y (1, 4)
e) (5, 21), (4, 25) y (23, 24)
Punto medio de un segmento
El punto medio (M ) de un segmento de recta es el punto que
lo divide en dos líneas de igual longitud. Para determinar las
coordenadas en las que se localiza dicho punto, partiremos de los
extremos del segmento.
Por ejemplo, sean A(x 1 , y 1 ) B(x 2 , y 2 ) dos puntos en el plano cartesiano
que representan los extremos de un segmento de recta. El punto
medio M(x m , y m ) se localiza a la mitad de la distancia entre estos
extremos (véase la figura 3.11).
x 1
A(x 1 , y 1 )
y 2
B(x 2 , y 2 )
y m
y 1
M(x m , y m )
x m x 2
Figura 3.11
134

Lección 2
Como el punto M(x m , y m ) está exactamente a la mitad, su proyección hacia los ejes hace que x m y y m estén
a la mitad de los segmentos xx 1 2 y yy 1 2 respectivamente.
Esto significa que la distancia del segmento xx 1 m es igual a la distancia del segmento x m x 2 .
La distancia de xx 1 m 5 x m 2 x 1 , y la distancia de x m x 2 5 x 2 2 x m .
Al igualar, tenemos que: x m 2 x 1 5 x 2 2 x m
Y resolviendo para x m :
2x m 5 x 1 1 x 2
x
m =
Lo mismo sucede con la coordenada y m , ya que las proyecciones de los puntos sobre el eje y forman
segmentos de recta de igual magnitud. Por lo tanto,
entonces,
x
+ x
2
1 2
yy = y - y y y y = y -y
1 m m 1
m
2 2
m
resolviendo para y m :
y m 2 y 1 5 y 2 2 y m
2y m 5 y 1 1 y 2
y
m =
y
+ y
2
1 2
Fórmula
El punto medio (x m , y m ) de un segmento rectilíneo, cuyos extremos son las coordenadas A(x 1 , y 1 ) y
B(x 2 , y 2 ), se obtiene con las fórmulas:
x
y
m =
m =
x1+
x2
2
y
y
+ y
2
1 2
135

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 6
Encuentra las coordenadas del punto medio para el
segmento de recta cuyos extremos son:
P(3, 27) y Q(25, 1).
Q (25, 1)
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3
–1
2
1
–2
–3
–4
–5
–6
y
x
–7
P (3, 27)
Figura 3.12
Procedimiento
Si el punto P(3, 27) representa a las coordenadas (x 1 , y 1 ) y el punto Q(25, 1) representa a las
coordenadas (x 2 , y 2 ), tenemos que x 1 5 3, y 1 5 27, x 2 5 25, y 2 5 1.
Sustituyendo en las fórmulas de punto medio tenemos:
3 5 3 5
x
2 2 2 2 m = +- ^ h
= - = - =-1
7 1 6
ym = - 2 + = -
2
=-3
Ejemplo 7
Solución
Las coordenadas del punto medio son: M(21, 23).
Del segmento RS se sabe que las coordenadas del punto medio son M(4, 11) y que las coordenadas
de uno de los extremos son S(28, 9). ¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo del segmento
RS?
y
R(x 2 , y 2 )
14
12
M (4, 11)
S (28, 9)
10
8
6
4
2
Figura 3.13
–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
–2
x
136

Lección 2
Procedimiento
Si el punto M(4, 11) representa a las coordenadas (x m , y m ) y el punto S(28, 9) representa a las
coordenadas (x 1 , y 1 ), tenemos que: x 1 5 28, y 1 5 9, x m 5 4, y m = 11.
Sustituyendo y despejando:
8 x2
4 = - + y
2
11 = +
2
9 2
8 5 28 + x 2 22 5 9 1 y 2
8 1 8 5 x 2 22 2 9 5 y 2
x 2 5 16 y 2 5 13
Solución
Las coordenadas del extremo faltante de RS son R(16, 13).
1. Determina el punto medio para los segmentos delimitados por cada par de coordenadas.
a) (7, 22) y (24, 2) d) (25, 29) y (210, 8)
b) (3, 12) y (8, 0) e) (215, 2) y (4, 26)
c) (1, 21) y (5, 5)
Actividad de aprendizaje 4
2. En los siguientes ejercicios, de acuerdo con la información que se proporciona, determina los
valores faltantes.
a) El punto medio del segmento PQ está localizado en (3, 2) y uno de los extremos es P(23, 7).
Determina las coordenadas del extremo Q.
b) El punto medio del segmento DE se localiza en (21, 3.5) y uno de los extremos es D(2, 9).
Determina las coordenadas del extremo E.
c) El punto medio del segmento RS está localizado en (11, 1) y uno de los extremos es R(7, 3).
Determina las coordenadas del extremo S.
d) El punto (23, 4.5) es el punto medio entre (2, y) y (x, 2). Determina los valores de x y y.
e) El punto (0, 27) es el punto medio entre (x, 24) y (28, y). Determina los valores de x y y.
Guía de aprendizaje
Dirígete a la sección “Dimensión 2. Comprensión” de la etapa 3 de tu guía de aprendizaje
y resuelve todos los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan. Al finalizar,
compara y valida en grupo, y con ayuda del docente, las respuestas que escribiste.
137

3
La recta como lugar geométrico
Lección
3
La recta en el plano
cartesiano
8
7
5
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
–1
y 2
6
4
3
2
1
–2
–3
y
Figura 3.14
P 2 (x 2 , y 2 )
Ya vimos que un lugar geométrico es el conjunto de puntos en el
plano cartesiano que cumplen cierta condición; y que los puntos
del conjunto se pueden expresar como una pareja ordenada de
números reales (x, y).
Nuestro propósito será encontrar la relación entre las coordenadas
x y y, y partiendo de esa relación, dibujar el lugar geométrico. Un
ejemplo es la recta, pero para dibujarla es necesario
conocer cuáles son sus características.
La recta es el lugar geométrico de todos los puntos
en el plano cartesiano que equidistan de dos
puntos fijos (figura 3.14).
Pendiente y ángulo de inclinación
de una recta
La pendiente de una recta depende de su grado
de inclinación.
El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo
positivo (medido en sentido contrario al de
las manecillas del reloj) que forma con el eje x.
La medida del ángulo de inclinación varía entre
0° y 180°.
Si tomamos dos puntos cualesquiera, P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ),
con x 1 Þ x 2 y y 1 Þ y 2 , de la recta y trazamos líneas paralelas
a los ejes a partir de los puntos hasta que se intersequen,
se forma un triángulo rectángulo (figura 3.15).
P 1 (x 1 , y 1 ) u
y 1
x 2 2 x 1
x 1 x 2
Figura 3.15
y 2 2 y 1
Utilizando la razón trigonométrica de la tangente (tan) tenemos
una relación para el ángulo de inclinación (u):
tan i =
cateto opuesto
cateto adyacente
La magnitud del cateto opuesto se obtiene con la diferencia
de las alturas, esto es, el valor de y 2 menos el valor de y 1 ; y
la magnitud del cateto adyacente se obtiene con la diferencia
de las abscisas, es decir, el valor de x 2 menos el valor
de x 1 . Por lo tanto,
tan i =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
138

(x 2
Lección 3
(28
elevación
Por otro lado, recordemos que la pendiente de una recta se define como la razón desplazamiento
y
se representa con la letra m. Así, si (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son dos puntos de una recta, entonces escribimos la
elevación y el desplazamiento como:
B(x 2 , y 2 )
Elevación = y 2 2 y 1
d
A(x 1 , y 1 )
y 2 2 y 1
Desplazamiento 5 x 2 2 x 1
x 2 2 x 1
Figura 3.16
Fórmula de la pendiente
Si (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son dos puntos de la gráfica de una recta, entonces:
elevación
y2-
y1
m =
desplazamiento
=
x - x
2 1
Con esto podemos concluir que la pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación.
m = tan i =
Y
y
x
- y
- x
2 1
2 1
Ángulo de inclinación
Si (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son dos puntos de la gráfica de una
recta, el ángulo de inclinación es:
1 1
y2-
y1
i = tan - ^mh
= tan
- b l
x - x
2 1
Si la pendiente (m) de una recta es positiva, la recta es
creciente (figura 3.17).
11
10
9
8
7
6
5
4
3
y
2
1
m . 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
Figura 3.17
139

3
La recta como lugar geométrico
Si la pendiente (m) de una recta es negativa,
la recta es decreciente (figura
3.18).
11
10
9
8
7
6
5
4
3
y
2
1
m , 0
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
Figura 3.18
La pendiente (m) de una recta es cero
cuando no existe un cambio en la elevación;
esto es, la recta es horizontal
(figura 3.19).
7
6
5
4
3
y
2
1
m 5 0
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
Figura 3.19
La pendiente (m) de una recta es indefinida
cuando no existe un desplazamiento;
esto es, la recta está en posición vertical
(figura 3.20).
8
7
6
5
4
3
2
1
y
0 1 2 3 4
x
Figura 3.20
140

Lección 3
Ejemplo 1
Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(24, 22)
y B(6, 5).
Procedimiento
, la razón de elevación entre desplaza-
De acuerdo con la definición de pendiente m =
miento para la recta dada es:
y
x
5--
^ 2h
m = =
6 -- ^ 4h
- y
- x
2 1
2 1
10 7
Esto significa que la recta tiene un ascenso de 7 unidades en y por cada 10 unidades desplazadas
en x.
Ahora bien, para calcular el valor del ángulo de inclinación, una vez que se tiene el valor de la
pendiente utilizamos la relación que existe entre ellos: m 5 tan θ
entonces, θ 5tan 21 (m)
Sustituyendo el valor de m, tenemos que:
6
5
4
3
1
i = tan -
a
10 7 k=
34. 99º
y
(6, 5)
2
1
θ = 34.99º
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
–1
(24, 22)
–2
x
–3
Figura 3.21
Solución
La pendiente es 10
7
y el ángulo de inclinación es 34.99º
Ejemplo 2
Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: P(27, 17) y
Q(23, 8).
141

3
La recta como lugar geométrico
Procedimiento
Para calcular el valor de la pendiente, sustituimos los puntos dados en la definición:
m =
y
x
- y
- x
2 1
2 1
8-
17
-3-^-7h
= -
4 9
Esto significa que la recta tiene un descenso de 9 unidades en y por cada 4 unidades desplazadas
en x.
Para obtener el valor del ángulo de inclinación, tenemos que:
Por lo tanto,
Y sustituyendo el valor de:
m = tanθ
θ 5 tan 21 (m)
1
i = tan -
a
-
4 9 k=-66.
04º
Como el valor del ángulo es negativo, se mide en el sentido de las manecillas del reloj a partir del
eje x positivo, como se muestra en la gráfica (figura 3.22).
(27, 17)
(23, 8)
18
16
14
12
10
8
6
4
y
–10
–8
–6
–4
2
–2 0
–2
2 4
x
θ =266.04º
–4
Figura 3.22
142

Lección 3
Sin embargo, si buscamos el ángulo positivo, observamos a partir de la figura que el ángulo
positivo está dado por:
266.04° 1 180° 5 113.96°
Por lo tanto, el ángulo de inclinación que se considera es el que se muestra en la gráfica (figura
3.23):
(27, 17)
(23, 8)
18
16
14
12
10
8
6
4
y
2
θ = 113.96º
–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4
–2
x
–4
Figura 3.23
Solución
El valor de la pendiente es
- 4 9 y el ángulo de inclinación es 113.96°.
Actividad de aprendizaje 5
1. Determina el valor de la pendiente de las rectas con los siguientes ángulos de elevación:
a) 85° e) 136°
b) 67° f) 31°
c) 28° g) 155°
d) 90° h) 180°
2. Determina las pendientes y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos
indicados:
a) (4, 8) y (3, 12)
b) (1, 3) y (8, -2)
143

3
La recta como lugar geométrico
c) (27, 9) y (25, 0)
d) (0, 24) y (2, 6)
e) (211, 212) y (5, 23)
3. Dibuja en el plano cartesiano la recta que pasa por el punto dado con la pendiente que se
indica:
a) P(5,2) y m 5 4
5
b) Q(24, 3) y m 5 5
3
c) R(0, 4) y m =
- 3 4
d) S(5, 22) y m 5 22
e) T(22, 22) y m 5 7
1
4. Usando la definición de pendiente para cada ejercicio, demuestra que los puntos del conjunto
dado son colineales.
a) A(1, 5), B(2, 2) y C(3, 21)
b) D(24, 24), E(0, 21) y F(4, 2)
c) P(25, 21), Q(0, 23) y R(5, 24)
d) H(23, 6), I(0, 7) y J(6, 9)
e) A(21, 214), B(2,11) y C(0, 25)
144

Lección 4
Como vimos anteriormente, la recta es el lugar geométrico de todos
los puntos que equidistan de dos puntos fijos y que cumplen una
relación de primer grado; además, la pendiente entre cualquier par
de puntos que la componen debe ser constante.
Asimismo, representar una recta significa trazarla geométricamente
o algebraicamente mediante una ecuación que es posible describir
si se conocen ciertos elementos.
Lección
4
Ecuaciones de la recta
A continuación, analizaremos las diferentes formas en las que se puede expresar la ecuación de la recta.
Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente (m) de la recta y un punto perteneciente a ella P(x 1 , y 1 ), se puede formar una
ecuación llamada punto-pendiente partiendo de la definición de la pendiente y tomando cualquier
otro punto de la recta P(x, y)
y-
y
m =
x - x
y 2 y 1 5 m(x 2 x 1 )
El punto de la recta (x 1 , y 1 ) y la pendiente m son los valores conocidos.
Ejemplo 1
Escribe la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por el punto (3, 21) y cuya pendiente
es m
1
=
3
.
Procedimiento
Usando la ecuación punto-pendiente de la recta, tenemos:
y 2 y 1 5 m(x 2 x 1 )
Sustituyendo la información con la que se cuenta:
Solución
1
y-- ^ 1h=
^
3
x-
3h
1
y+ 1 = ^
3
x-3h
1
1
145

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 2
Escribe la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por los puntos (25, 24) y (7, 5).
Procedimiento
En este caso solo se conocen dos puntos que pertenecen a la gráfica, los cuales nos sirven para
encontrar el valor de la pendiente:
5--
^ 4h
m =
7 -- ^ 5h
=
12 9 =
4 3
Una vez que tenemos el valor de la pendiente, formemos la ecuación punto-pendiente con cualquiera
de los puntos dados.
3
Con el punto (25, 24) tenemos: y-- ^ 4h= ^
4
x-^-5hh
3
y+ 4 = ^
4
x+ 5h
Con el punto (7, 5) tenemos:
3
y- 5 = ^
4
x- 7h
Solución
3
y+ 4 = ^
4
x+ 5h o
3
y- 5 = ^
4
x- 7h
Ambas ecuaciones representan a la misma recta.
Forma pendiente-intersección o pendiente-ordenada al origen de la ecuación de la recta
Otra forma de representar la ecuación de una recta es a partir de la pendiente y el punto en donde la
recta interseca al eje y. Esta forma de la recta se llama pendiente-intersección o pendiente-ordenada
al origen.
Sea (0, b) el punto de intersección de la recta con el eje y.
Para llegar a la forma pendiente-intersección partimos de la forma punto-pendiente:
y 2 y 1 5 m(x 2 x 1 )
Al sustituir el punto de la intersección (0, b) en (x 1 , y 1 ), tenemos:
y 2 b 5 m(x 2 0)
y 2 b 5 mx
y 5 mx 1 b
Donde m es el valor de la pendiente de la recta y b la intersección con el eje y.
146

Lección 4
Ejemplo 3
Determina la ecuación pendiente-intersección de la recta que interseca el eje y en (0, 2) y tiene
pendiente m =
2
5
Ejemplo 4
Procedimiento
Ya que la información con la que contamos es la pendiente y la intersección en el eje y, la ecuación
que se usa es la de pendiente-intersección.
Sustituyendo los valores se tiene:
Solución
y 5 mx 1 b
2
y = a k
5
x+
^2h
2
y =
5
x+2
Determina la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen si pasa por los puntos
(7, 9) y (2, 1).
Procedimiento
Primero obtenemos el valor de la pendiente:
1- 9 - 8
m =
2 - 7 = - 5 =
8
5
Tomando este valor y uno de los puntos (2, 1), se establece la ecuación en su forma punto-pendiente:
8
y- 1 = ^
5
x- 2h
Y con pasos algebraicos, transformamos la ecuación a su forma pendiente-intersección:
Solución
y- 1 =
8
5
x-
16
5
8 16
y =
5
x-
5
+ 1
8
y =
5
x-
Donde la pendiente es
8
5
y la intersección en el eje y es a - 0,
5 11 k.
11
5
147

3
La recta como lugar geométrico
Forma simétrica de la ecuación de la recta
Cuando se conocen las coordenadas de las intersecciones con los ejes, esto es, intersección con el eje
x: (a, 0) y la intersección con el eje y: (0, b) (figura 3.24); la ecuación de la recta se puede representar en
su forma simétrica.
y
(0, b)
(a, 0)
x
Figura 3.24
Definimos a como la coordenada x de la intersección con el eje de las abscisas y b como la coordenada
y de la intersección con el eje de las ordenadas.
Partiendo de dichas coordenadas (a, 0) y (0, b), se obtiene la pendiente:
b - 0 b
m =
0 - a = - a
=-
Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente y tomando el punto (0, b) tenemos que:
y b
a
b - = - ^ x - 0 h
y - b = -
b
a x
b
a
Si dividimos cada término de la ecuación entre b:
y
b
b
-
b
= -
ab b x
Y simplificando:
y
b
- 1 = -
a x
Obtenemos la ecuación de la recta en su forma simétrica:
y
a x +
b
= 1
148

Lección 4
Ejemplo 5
Determina la ecuación simétrica de la recta que interseca al eje x en
(3, 0) y al eje y en (0, 22).
Procedimiento
Dadas las intersecciones, obtenemos los valores de a y b:
a = 3 y b 5 22
Nota
La ecuación de
la recta no puede
expresarse en la
forma simétrica si
la recta pasa por
el origen, si está en
posición horizontal o
en posición vertical.
Sustituimos estos valores en la ecuación de la forma simétrica:
x y
3
+ - 2
= 1
Solución
Forma general de la ecuación de la recta
x y
3
+ - 2
= 1
Toda ecuación de la recta, al simplificarse e igualarse a cero, adquiere la forma general.
Ax 1 By 1 C 5 0
En donde los valores de A, B y C son números reales cualesquiera, siempre y cuando A y B no sean cero
al mismo tiempo.
Si de la forma general, despejamos y, tenemos la forma pendiente-intersección:
De lo cual podemos concluir que:
m
y = - B A x -
C
B
= - B A
C
y b =-
B
149

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Determina la ecuación general de una recta cuya pendientes es 5
3 , e interseca con el eje y en (0, 22).
Procedimiento
Podemos empezar por determinar los valores de A y B con la pendiente,
Por lo tanto, 2A 5 3, es decir A 5 23 y B 5 5.
La ecuación está tomando la forma:
m
= - B A =
5 3
23x 1 5y 1 C 5 0
El valor de C se obtiene de la intersección con el eje y:
Teniendo entonces:
Solución
b = -
B C C
- 2 = -
5
5^- 2h
= -C
- 10 = -C
C = 10
23x 1 5y 1 10 5 0
Expresando la ecuación con el valor de A positivo,
3x 2 5y 2 10 5 0
Ahora bien, es posible transformar una ecuación de la recta a sus diferentes formas utilizando el
álgebra, tal como se observa en los siguientes ejemplos.
Determina y expresa en sus diferentes formas la ecuación de una recta que pasa por los puntos
(4, 25) y (22, 10).
Procedimiento
Calculemos el valor de la pendiente mediante la fórmula m =
y - y
x - x
2 1
2 1
150

Lección 4
10 -- ^ 5h
m = - 2 - 4
15 5
= - 6
= - 2
=-
5
2
Luego, podemos encontrar la ecuación en la forma punto–pendiente, tomando cualquiera de los
puntos dados:
5
y-- ^ 5h=- ^
2
x- 4h
5
y+ 5 = - ^
2
x-4h
Si realizamos la multiplicación del lado derecho y despejamos y, tendremos ahora la forma
pendiente-intersección:
5 20
y =-
2
x+ 2
-5
5
y =-
2
x+ 5
Para obtener la forma general de la ecuación, igualamos a 0 ordenando sus términos:
5
2
x+ y- 5 = 0
Y multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador para tener
coeficientes enteros:
5
2 a
2
x+ y- 5 = 0k
5x 1 2y 2 10 5 0
Para la forma simétrica, primero dejamos de un lado de la ecuación los términos “x” y “y”, y del
otro lado el término constante:
5x 1 2y 5 10
Pero la forma simétrica esta igualada a 1; entonces dividimos ambos lados de la ecuación entre 10:
5x-
2y
10
=
x y
10
2
+
10
=
10
10
10
10
Luego, los coeficientes de “x” y de “y” deben ser 1, entonces simplificamos las fracciones dividiendo
el denominador entre el numerador y colocando el resultado en el denominador:
x y
2
+
5
= 1
151

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 8
Escribe la ecuación de la recta en sus diferentes formas si sabes que la recta interseca al eje x en
(23, 0) y al eje y en (0, 7).
Con base en esta información, la ecuación que se puede formar es la simétrica:
x y
- 3 + 7
= 1
Podemos seguir con la forma general multiplicando la ecuación por 21 e igualando cero:
x y
21a- 3
+
7
= 1k
21x
21y
-
3
+
7
= 21
- 7x+ 3y-
21 = 0
7x 2 3y 1 21 5 0
Si despejamos y, entonces tendremos la ecuación en su forma pendiente-intersección:
3y 5 7x 1 21
7
y =
3
x+7
Y finalmente, tomando una de las coordenadas, se tiene la forma punto-pendiente de la ecuación:
7
y- 0 = ^
3
x+ 3h
Actividad de aprendizaje 6
1. Determina todas las formas de la ecuación de una recta si se sabe que esta:
a) Pasa por los puntos (22, 22) y (14, 4).
b) Pasa por el punto (14, 210) y su pendiente es m = - 7 4 .
c) Interseca con el eje x en (26, 0) y con el eje y en (0, 4).
d) Pasa por el punto (2, 6) y su intersección con el eje y es (0, 24).
e) Pasa por los puntos (3, 219) y (22, 11).
152

Lección 5
2. Transforma las siguientes ecuaciones en las demás formas de expresar una ecuación lineal.
a) y 5 25x 1 11
b) y 2 7 5
1
2
(x 2 4)
c) 3x 1 2y 2 12 5 0
d)
x y
5
+
4
= 1
e) y 1 4 5 2
2 (x 2 3) 3
El valor de la pendiente nos ayuda a comparar rectas y determinar
si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
Dos rectas l 1 y l 2 en el plano cartesiano son paralelas si tienen el mismo
ángulo de inclinación, esto es, si sus pendientes m 1 y m 2 son
iguales (figura 3.25).
Lección
5
Rectas paralelas y
perpendiculares
6
5
4
3
2
y
l 1 l 2
1
* *
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
–1
x
–2
–3
–4
m 1 5 m 2
Figura 3.25
153

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 1
Si la recta r 1 pasa por los puntos (28, 212) y (4, 22), y la recta r 2 pasa por los puntos (0, 2) y
(224, 218), determina analíticamente si son paralelas.
Procedimiento
Primero, encontramos el valor de la pendiente de cada recta:
Solución
-2-^-12h
10
Recta r 1 : m =
=
4--8
12
=
^ h
Recta r 2 :
18 2 20
m = - -24 - - 0
=
- -
24
=
1
Como las pendientes son iguales, se concluye que las rectas son paralelas (figura 3.26).
r 2 –20
r
y
(0, 2) 5
–25 –20 –15 –10 –5 0 x
–5 (4, 22)
(224, 218)
–10
(28, 212) –15
Figura 3.26
Dos rectas l 1 y l 2 en el plano cartesiano son perpendiculares cuando el ángulo entre ellas es
de 90° (figura 3.27); algebraicamente el producto de sus pendientes es igual a 21; es decir m 1 m 2
5 21. Esta última condición también expresa que las pendientes deben ser recíprocas y de signo
contrario.
y
6
5
6
5
6
l 1
l 2
5
4
3
90º
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
–1
–2 (m 1 )(m 2 ) 5 21
x
Figura 3.27
154

Lección 5
Ejemplo 2
Si la recta r 1 pasa por los puntos (220, 2) y (5, 19) y la recta r 2 pasa por los puntos (5, 0) y (212, 25),
determina analíticamente si son perpendiculares.
Procedimiento
Para determinar si las rectas son perpendiculares, obtenemos la pendiente de cada recta:
Solución
Recta r 1 :
19 - 2
m = =
5--
^ 20h
Recta r 2 :
25 0 25 25
m =
-12 - -5
=
-17
=-
17
17
25
Las rectas son perpendiculares ya que las pendientes son
recíprocas y de signo contrario, por lo que su multiplicación
a
17
k
25
25
a- k
17
= -1. (fig. 3.28).
r 2
30
25
(212, 25)
20
15
10
(220, 2)
5
(5, 0)
–20 –15 –10 –5 0 5 10
–5
x
y
(5, 19)
r 1
–10
Rectas oblicuas
Figura 3.28
Si dos rectas en el plano cartesiano no tienen pendientes iguales y la multiplicación de sus pendientes no es
igual que –1 entonces se dice que las rectas son oblicuas; es decir, gráficamente las rectas se intersecan
en un punto, pero el ángulo formado entre ellas no es de 90°.
Ejemplo 3
Si la recta r 1 pasa por los puntos (210, 8) y (18, 3) y la recta r 2 pasa por los puntos (29, 24) y
(12, 7), determina analíticamente si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
Procedimiento
Obtenemos la pendiente de cada recta para comparar los valores:
Recta r 1 : m =
3-
8
18 -- ^ 10h
= -
28 5
Recta r 2 : m =
7--
^ 4h
12 -- ^ 9h
=
11
21
155

3
La recta como lugar geométrico
Solución
Puesto que las pendientes son diferentes y su producto es diferente a –1, las rectas son oblicuas
(fig. 3.29).
4
y
r 2
r 10
1
(210, 8)
8
(12, 7)
6
2
(18, 3)
–12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
–2
x
(29, 24)
–4
–6
Figura 3.29
Actividad de aprendizaje 7
1. Determina analíticamente si los siguientes pares de rectas en el plano cartesiano son paralelos,
perpendiculares u oblicuos.
a) La recta r 1 pasa por los puntos (0, 2) (23, 24) y la recta r 2 pasa por los puntos (0, 24) y
(3, 2).
b) La recta l 1 pasa por los puntos (22, 5) (25, 24) y la recta l 2 pasa por los puntos (4, 3) y
(1, 23).
c) La recta s 1 pasa por los puntos (8, 4) (26, 2
1 ) y la recta s2 pasa por los puntos (2, 2
5 ) y
( 2
1 ,
2 17 ).
d) La recta t 1 pasa por los puntos (9, 2.5) (24, 26) y la recta t 2 pasa por los puntos (7.5, 1.5)
y (6.5, 3).
e) La recta q 1 pasa por los puntos (10, 5) (220, 210) y la recta q 2 pasa por los puntos (215, 230)
y (35, 25).
Ecuación de una recta a partir de otra recta paralela a ella
Otra condición que permite obtener la ecuación de una recta en el plano cartesiano consiste en conocer
uno de sus puntos y una recta paralela o perpendicular a ella.
156

Lección 5
Ejemplo 4
Determina la ecuación de una recta en su forma general si pasa por el punto (2, 4) y es paralela a la
recta
1
y =
2
x- 7.
Procedimiento
Como sabemos, la pendiente en rectas paralelas es igual, por lo que identificamos el valor de la
pendiente en la ecuación de la recta que se conoce. Esta ecuación está expresada en la forma
pendiente-intersección, y 5 mx 1 b, por lo que:
m =
1
2
Este valor deberá ser el mismo para la ecuación que estamos buscando; entonces, tenemos hasta
el momento que:
1
y =
2
x+
b
Como también conocemos un punto de la recta, lo sustituimos en la ecuación para determinar el valor de b:
1
4 = ^
2 2h
+ b
4 5 1 1 b
4 2 1 5 b
b 5 3
Por lo tanto, la ecuación en la forma pendiente–intersección es:
1
y =
2
x+3
Solo falta convertirla a su forma general y para ello la multiplicamos por 2:
E igualamos a cero:
1
2 ay
=
2
x+3k
2y 5 x 1 6
x 2 2y 1 6 5 0
157

3
La recta como lugar geométrico
Ejemplo 5
Solución
La ecuación general de la recta que pasa por el punto (2, 4) y es paralela a
1
y =
2
x- 7 , es:
x 2 2y 1 6 5 0
Determina la ecuación en forma pendiente–intersección de una recta que pasa por el punto
2
(24, 23) y es perpendicular a la recta y =-
5
x+ 6.
Procedimiento
En rectas perpendiculares, las pendientes son recíprocas y con signo contrario, por lo que tenemos
que identificar el valor de la pendiente en la ecuación de la recta que se conoce. En este caso, la
ecuación se expresa en la forma pendiente-intersección, y 5 mx 1 b, por lo que la pendiente es:
m
2
=-
5
El valor de la pendiente de la ecuación que buscamos es su recíproco y de signo contrario:
m =
5
2
De tal manera que la ecuación es:
5
y =
2
x+
b
Como también se conoce un punto de la recta, lo sustituimos en la ecuación para determinar el
valor de b:
5
- 3 = ^
2
- 4h
+ b
23 5 210 1 b
23 1 10 5 b
b 5 7
Por lo tanto, la ecuación en la forma pendiente-intersección es:
5
y =
2
x+7
Solo falta convertirla a su forma general, y para ello igualamos a cero y multiplicamos por el
mínimo común denominador:
2a
5
2
x- y+ 7 = 0k
5x 2 2y 1 14 5 0
158

Lección 5
Solución
La ecuación general de la recta que pasa por el punto (24, 23) y es perpendicular a
2
y =-
5
x+ 6, es:
5x 2 2y 1 14 5 0
1. Determina la ecuación de la recta, si se sabe que esta:
a) Pasa por el punto (5, 17) y es paralela a la recta y 5 3x 2 7.
b) Pasa por el punto (21, 3) y es paralela a la recta 4x 1 5y 2 11 5 0.
c) Pasa por el punto (2, 9) y es perpendicular a la recta y =
-2
3 x 1 4.
d) Pasa por el punto a
5
1,
k 2
y es perpendicular a la recta 22x 1 7y 1 3 5 0.
e) Pasa por el punto (0, 24) y es paralela a la recta x y
5
+
9
= 1.
2. Encuentra el valor de la coordenada faltante de acuerdo con los datos proporcionados.
a) Una recta pasa por los puntos (3, 2) y (11, 5) y es paralela a otra recta que pasa por los
puntos (21, 22) y (7, y). Encuentra el valor de y.
b) Una recta pasa por los puntos (7, 23) y (9, 29) y es perpendicular a otra recta que pasa
por los puntos (6, 27) y (x, 25). Encuentra el valor de x.
c) Una recta pasa por los puntos (x, 5) y (30, 25) y es perpendicular a otra recta que pasa
por los puntos (10, 4) y (18, 28). Encuentra el valor de x.
d) Una recta pasa por los puntos (10, 8) y (5, y) y es paralela a otra recta que pasa por los
puntos (5, 9) y (25, 25). Encuentra el valor de y.
e) Una recta pasa por los puntos (3, 5) y (9, 1) y es paralela a otra recta que pasa por los
puntos (x, 7) y (18, 1). Encuentra el valor de x.
3. Indica si los pares de rectas son paralelos, perpendiculares u oblicuos.
a) 29x 1 y 1 11 5 0 y y 5 9x 1 4
b) 2x 2 7y 1 11 5 0 y 7x 2 2y 1 5 5 0
c) y 52 3
5 x 2 3 y 3x 2 5y 2 12 5 0
d) y 21 5 7(x 2 2) y x 1 7y 2 28 5 0
e)
x y
5
+
10
= 1 y y 5 22x 1
3
4
Actividad de aprendizaje 8
159

3
La recta como lugar geométrico
Lección
6
Distancia de una
recta a ciertos lugares
geométricos
Distancia de un punto a una recta
La menor distancia d que existe entre una recta Ax 1 By 1 C 5 0
y un punto (x 0 , y 0 ) es la distancia d medida a lo largo de una recta
perpendicular que pasa entre ambos elementos (figura 3.30) y se
puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
y
(x 0 , y 0 )
d
Ax 1 By 1 C 5 0
d =
Ax0+ By0+
C
2 2
A + B
Figura 3.30
x
Se emplea el valor absoluto debido a que es una distancia no dirigida, por lo que siempre será positiva.
También observa que la ecuación de la recta debe encontrarse en su forma general.
Ejemplo 1
Determina la distancia del punto (2, 8) a la recta 5x 1 8y 1 12 = 0.
Procedimiento
Utilizamos la fórmula de distancia entre un punto y una recta y sustituimos los valores dados:
d =
d =
d =
Ax + By + C
0 0
2 2
A
+ B
52 ^ h+ 88 ^ h+
12
2 2
5 + 8
10 + 64 + 12
25 + 64
86
d = = 912 .
89
Solución
La distancia entre la recta 5x 1 8y 1 12 5 0 y el punto (2, 8) es de 9.12 unidades.
160

Lección 6
Distancia entre dos rectas paralelas
Como hemos visto, dos rectas paralelas deben tener el mismo ángulo de inclinación, por lo tanto
la misma pendiente m. Sin embargo, sus ordenadas al origen cortan al eje y en distintos puntos.
Por lo que podemos escribir las ecuaciones de estas rectas como r 1 : Ax 1 By 1 C = 0 y r 2 : Ax 1
By 1C´ 5 0
La distancia entre estas dos rectas paralelas es la longitud del segmento de recta perpendicular a
ambas (figura 3.31).
y
(x 0 , y 0 )
r 2 : Ax 1 By 1 C' 5 0
d
r 1 : Ax 1 By 1 C 5 0
Ejemplo 2
Para encontrar dicha distancia, se toma un punto cualquiera (x o , y o ) de una de las rectas y se
calcula la distancia de este punto a la otra recta utilizando la fórmula de distancia de un punto a
una recta:
d =
Ax0+ By0+
C
2 2
A + B
Encuentra la distancia entre las rectas r 1 : 3x 2 2y 1 11 5 0 y r 2 : 3x 2 2y 2 1 5 0.
Procedimiento
Para determinar la distancia entre estas rectas primero verificamos si son paralelas; esto es,
comparamos las pendientes:
m
m
Figura 3.31
m = -
B A
r1
r2
- 3
= - 2 =
3
2
- 3
= - 2 =
3
2
Como las pendientes son iguales, entonces sí se trata de rectas paralelas.
x
161

3
La recta como lugar geométrico
Ahora se necesita un punto que sea parte de una de ellas. Tomamos la segunda recta: 3x 2 2y 21 5 0,
obtenemos una coordenada dándole un valor a una de las variables y encontramos el valor de la otra.
Si x 5 0, entonces
Por lo tanto, el punto es a
1
0,
-
2
k.
30 ^ h -2y
- 1 = 0
- 2y
= 1
y = -
2 1
Tenemos entonces la ecuación de la primera recta en su forma general y un punto que es parte de
la segunda recta, por lo que ahora utilizamos la fórmula y sustituimos los valores necesarios:
d =
d =
Ax + By + C
0 0
2 2
A
+ B
30 ^ h
1
-2a- k
2
+ 11
3 +- ^ 2h
2 2
0+ 1+
11
d =
9+
4
12
d = = 333 .
13
Solución
La distancias entre las rectas 3x 2 2y 1 11 5 0 y 3x 2 2y 2 1 = 0 es de 3.33 unidades.
Actividad de aprendizaje 9
1. Determina la distancia entre los elementos dados.
a) La recta 4x 27y 115 = 0 y el punto (-1, 6).
b) La recta 8x 2 3y 29 5 0 y el punto (4, 2).
c) La recta 7x 1 2y 1 5 5 0 y el punto (8, -5).
d) La recta 25x 2 3y 1 10 = 0 y el punto (-1, 6).
e) La recta 23x 1 2y 1 18 = 0 y el punto (4, 5).
f) Las rectas: 5x 1 12y 1 2 = 0 y 5x 1 12y 1 21 = 0.
g) Las rectas: 4x 1 11y 1 2 = 0 y 4x 1 11y 1 1 = 0.
h) Las rectas: y 5 4x 1 6 y 4x 2y 2 18 = 0.
i) Las rectas: y 5 3x 1 12 y y 5 3x 1 8.
162

Lección 7
Guía de aprendizaje
Dirígete a la sección “Dimensión 3. Análisis” de la etapa 3 de tu guía de aprendizaje y
resuelve los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan. Al finalizar, compara y
valida en grupo, y con ayuda del docente, las respuestas que escribiste.
Con lo que has estudiado hasta ahora, dada una situación en la cual
dos variables del mundo real estén relacionadas linealmente, puedes
trazar la gráfica, encontrar la ecuación particular que describa
cada situación, utilizar la ecuación para predecir los valores de las
variables y comprender el significado del valor de la pendiente y de
las intersecciones en diferentes contextos.
Lección
7
Modelos lineales
Entre las aplicaciones de la ecuación de una recta están la modelación de tasas de crecimiento o
decaimiento en finanzas, temperatura y velocidades, entre otros temas. Debido al extenso uso de los
modelos lineales, en esta lección revisarás ejemplos y realizarás ejercicios para predecir y analizar los
comportamientos de las variables comunes que se usan en tu entorno.
Ejemplo 1
En una empresa local que produce balones de fútbol se sabe que el costo de producir 120 balones
al mes es de $6,200 y que si produce 180 el costo es de $5,900. Considerando que el
costo varía linealmente respecto a la cantidad de balones producida:
a) Determina la ecuación que representa el costo de producción en su forma pendiente-intersección.
b) ¿Cuánto le costará a la empresa la producción de 200 balones?
c) Si la capacidad máxima de producción de la empresa es de 100 balones por mes, traza la
gráfica de la ecuación y describe lo que significa la intersección con el eje y.
Procedimiento
a) Esta situación, al tener una variación lineal, se puede modelar con la ecuación de la recta, y
para ello tenemos dos puntos que pertenecen a la recta.
Como el costo depende de la cantidad de balones producidos, las coordenadas son: (120,
6200) y (180, 5900).
A partir de esto, podemos determinar cuánto aumenta o disminuye el costo por cada balón producido,
es decir, el valor de la pendiente:
m =
5900 6200 300
180 - - 120
= - 60
=-5
Esto es, por cada balón fabricado, el costo de producción disminuye $5.00.
163

3
La recta como lugar geométrico
Con la información que se tiene hasta el momento, podemos escribir la ecuación de la línea en su
forma punto-pendiente:
y 2 6 200 5 25(x 2 120)
Con ayuda del álgebra, transformamos la ecuación en su forma pendiente-intersección:
y 5 25x 1 600 1 6200
y 5 25x 1 6800
b) Para obtener el costo de producción para 200 balones, sustituimos en la ecuación:
c)
7000
y (costo $)
y 5 25(200) 1 6 800 5 5 800
6000
5000
4000
3000
donde la intersección con el eje y indica
que, aunque no se produzca un solo
balón, la empresa tiene que considerar
un costo de $6,800 (gastos fijos).
2000
1000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 3.32
x (cantidad de balones)
Ejemplo 2
La siguiente gráfica corresponde a la velocidad de un ciclista.
30
v (km/h)
20
10
t (horas)
Realiza un análisis de la gráfica y determina la velocidad en los siguientes tiempos:
a) 0.3 horas
b) 1.3 horas
c) 1.8 horas
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Figura 3.33
164

Lección 7
Procedimiento
En esta situación, como se presentan segmentos de recta con diferentes pendientes, se realiza un
análisis por cada segmento.
Segmento de 0 a 0.5 horas
En este lapso, la velocidad aumenta de manera constante a razón de:
m =
30 - 0 30
05 . - 0
=
05 .
= 60
Y la ecuación de la recta en ese intervalo es:
y 2 0 5 60(x 2 0)
y 5 60x
Para obtener la velocidad en 0.3 horas, sustituimos en la ecuación:
y 5 60(0.3) 5 18
Por lo tanto, la velocidad a las 0.3 horas es de
km
18
h
Segmento de 0.5 a 1.5 horas
En este intervalo no existe un cambio en la velocidad por lo que la pendiente de la recta es cero,
y la ecuación de ese segmento de recta es:
y 5 30
Por lo tanto, la velocidad a las 1.3 horas es de
km
30
h
Segmento de 1.5 a 2 horas
En este intervalo se observa que la pendiente es negativa, es decir que la velocidad va disminuyendo
a una razón de
0-
30
m =
2 15 . 05
30 -
= - .
=-60
Y la ecuación que representa al segmento de recta es:
y 2 0 5 260(x 2 2)
y 5 260x 1 120
Sustituimos 1.8 horas para obtener la velocidad en ese tiempo:
Por lo tanto, la velocidad a las 1.8 horas es de
y 5 260(1.8) 1 120 5 12
km
12
h
165

3
La recta como lugar geométrico
Actividad de aprendizaje 10
I. Resuelve las siguientes situaciones:
1. La siguiente gráfica corresponde a la velocidad de un corredor en su entrenamiento.
8
v (km/h)
7
6
5
4
3
2
1
2. Realiza un análisis de la gráfica y determina la velocidad en los siguientes tiempos:
a) 0.2 horas
b) 0.7 horas
c) 0.9 horas
d) 1.2 horas
e) 1.4 horas
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Figura 3.34
3. A una compañía que vende botellas de agua la producción de 1 500 botellas le cuesta
$9 000, mientras que producir 1 900 botellas tiene un costo de $7 600. Si el costo varía
de manera lineal respecto a la cantidad de botellas de agua producidas, realiza lo que se
te pide:
a) Escribe la expresión que describe el problema.
b) Responde, ¿cuánto costará producir 3 000 botellas de agua?
c) Traza la gráfica que representa el costo de producción por unidades producidas.
4. Un salón de fiestas ofrece un evento; para 80 personas tiene un costo de $11 000 y para
130 personas cuesta $16 500. Si el costo del evento varía linealmente respecto a la cantidad
de personas, determina:
a) La ecuación en forma general que describe el problema.
b) ¿Cuánto costará un evento para 200 personas?
t (horas)
c) Si el presupuesto de un cliente es de $18 000, ¿para cuántas personas máximo puede ser
el evento?
166

Lección 7
5. Las temperaturas Fahrenheit, °F, y Celsius, °C, de un objeto están relacionadas de manera
lineal. El agua hierve a 100 °C o 212 °F y se congela a 0 °C o 32 °F.
a) Escribe una ecuación expresando °F en términos de °C.
b) Para una temperatura de 168 °C, ¿cuál sería la temperatura en grados Fahrenheit?
c) Para una temperatura de 78 °F, ¿cuál es su equivalente en grados Celsius?
d) ¿A qué temperatura el número de grados Fahrenheit es igual al número de grados Celsius?
e) Traza la gráfica que describe la relación de °F con °C.
6. El automóvil de Javier tiene 40 meses de uso. Investigando en una empresa de venta de autos
usados le comentan que actualmente el valor comercial es de $55 000, pero hace 10 meses
su valor era de $64 000. Considera que el valor comercial de un automóvil decrece linealmente
con el tiempo.
a) Escribe la ecuación que expresa la situación, en forma pendiente-intersección.
b) Si Javier desea vender su auto cuando su valor comercial sea de $28 000, ¿dentro de
cuántos meses lo venderá?
c) ¿A los cuántos meses el vehículo ya no tendrá valor?
d) ¿Cuál fue el valor del automóvil cuando era nuevo? ¿Qué parte del modelo matemático te
indica esto?
e) Traza la gráfica que describe el costo comercial del automóvil por el tiempo de uso.
7. Una cisterna tiene una capacidad de 1 200 litros de agua. Si se sabe que diariamente se
consumen 100 litros, determina:
a) La expresión algebraica que describe el problema como modelo matemático.
b) ¿Después de cuántos días la cisterna estará vacía?
c) ¿Cuántos litros habrá después de 8 días?
d) Traza la gráfica que representa el consumo total de agua del tanque por día hasta vaciarse.
8. Un automóvil tiene un tanque de gasolina cuya capacidad es de 50 litros y su rendimiento de
11 km por litro. Si se acaba de llenar el tanque, determina:
a) La expresión que representa esta situación.
b) ¿Cuántos litros quedan en el tanque cuando el automóvil ha recorrido 0, 15, 65 y 250 km
después de haberlo llenado?
c) ¿Después de cuántos kilómetros el vehículo se queda sin gasolina?
9. Cuando conduces del estadio de fútbol de regreso a tu casa, el número de kilómetros que
faltan para llegar a tu destino depende del número de minutos que has estado conduciendo.
Imagina que te encuentras a 11 km de tu casa cuando ya has conducido por 10 minutos, y
a 8 km de casa cuando has estado manejando por 15 minutos.
Si consideras que la distancia varía linealmente con el tiempo:
a) Escribe la ecuación, en su forma pendiente-intersección, que expresa la distancia en términos
de tiempo.
167

3
La recta como lugar geométrico
b) Establece cuál es la distancia hasta tu casa cuando has conducido por 20, 25 y 30 minutos.
c) ¿Cuánto tiempo tienes que conducir para encontrarte a 7 km de tu casa?
d) ¿Cuál es el valor de la intersección-distancia y qué significa en el contexto del problema?
e) ¿Cuál es el valor de la intersección-tiempo y qué significa en el contexto del problema?
f) Traza la gráfica que representa esta situación.
10. La cantidad de dinero que gastas mensualmente por el mantenimiento de tu automóvil depende
del número de kilómetros por mes que recorriste. Con base en la información emitida
por la revista Mecánica popular, el costo varía linealmente con la distancia. Si 300 km
recorridos en un mes resultaron en un costo de $240 y por 1 500 km gastaste $600:
a) Escribe la ecuación, en su forma general, expresando el costo en términos de la distancia.
b) Establece el costo mensual si recorres 500, 1 000 y 2 000 km/mes.
c) Traza la gráfica que describe este problema.
d) ¿Cuál sería tu kilometraje mensual si no debes exceder $390?
11. Los puentes en las carreteras casi siempre tienen juntas de expansión, que son aberturas
pequeñas en el asfalto entre una sección del puente y la próxima. En ese lugar se deja un
hueco para que el puente tenga espacio para expandirse cuando la temperatura se eleva.
Supón que un puente tiene una abertura de 1.4 cm cuando la temperatura es de 22 °C y
que el hueco se estrecha a 1 cm cuando la temperatura sube a 30 °C. Considerando que
el ancho de la abertura varía linealmente con la temperatura:
a) Escribe una ecuación, en su forma simétrica, que representa el ancho de la abertura
respecto a la temperatura.
b) ¿Cuál será el ancho de la abertura a 34 °C?
c) ¿Cuál será el ancho de la abertura a –6 °C?
d) ¿A qué temperatura podría cerrarse completamente la abertura?
e) ¿Es probable que la temperatura aumente lo suficiente para cerrar la abertura?
f) Traza la gráfica que describe la variación del ancho de la abertura de acuerdo con la
temperatura.
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 4. Aplicación” de la etapa 3 y
resuelve los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan. Al finalizar, compara y
valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
168

Aprendizajes esperados Lección
Secciones y curvas formadas por
la intersección de un plano y un
cono
Identifica las diferentes secciones
cónicas.
1 2 3
La circunferencia como lugar
geométrico
Reconoce la definición geométrica de la
circunferencia.
Identifica las ecuaciones de una
circunferencia con centro en el origen y
fuera del origen.
Identifica la forma general de la
ecuación de una circunferencia.
La parábola como lugar
geométrico
Reconoce la definición geométrica de
la parábola.
Identifica las ecuaciones de una
parábola con vértice en el origen y
fuera del origen.
Identifica la forma general de la
ecuación de una parábola.

Secciones
cónicas
4
Etapa
4 5
La elipse como lugar geométrico
Reconoce la definición geométrica de
la elipse.
Identifica las ecuaciones de una
elipse con centro en el origen y fuera
del origen.
Identifica la forma general de la
ecuación de una elipse.
La hipérbola como
lugar geométrico
Reconoce la definición geométrica de
la hipérbola.
Identifica las ecuaciones de una
hipérbola con centro en el origen y
fuera del origen.
Identifica la forma general de la
ecuación de una hipérbola.
Competencias que se
favorecen:
• Resolver problemas en
diversos contextos.
• Explicar resultados
mediante diversos
procedimientos.
• Manejar técnicas
eficientemente.
• Validar
procedimientos y
resultados.

4
Secciones cónicas
Propósito
Analiza las características de las secciones cónicas a través de su ecuación y representación
gráfica.
Competencia genérica
Es aquella que todo estudiante tiene la
capacidad de desempeñar.
Competencia específica de Matemáticas
Propicia el pensamiento lógico
mediante procesos de razonamiento y
argumentación de ideas en la resolución
de problemas matemáticos.
Desempeños del estudiante
Son las actitudes y aptitudes
desarrolladas durante el proceso
educativo.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a
problemas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías,
jerarquías y relaciones.
Modela, resuelve e interpreta problemas de la vida
cotidiana mediante la representación de las variables de
un fenómeno social o natural en una función algebraica o
trascendente y por medio de su representación gráfica.
• Realiza los procedimientos necesarios para dar
respuesta a las preguntas planteadas.
• Determina los elementos de una circunferencia a partir
de su ecuación y realiza su gráfica.
• Determina las diferentes ecuaciones de una
circunferencia a partir de sus elementos.
• Determina los elementos de parábola a partir de su
ecuación y realiza su gráfica.
• Determina las diferentes ecuaciones de una parábola a
partir de sus elementos.
• Determina los elementos de una elipse a partir de su
ecuación y realiza su gráfica.
• Determina las diferentes ecuaciones de una elipse a
partir de sus elementos.
• Determina los elementos de una hipérbola a partir de
su ecuación y realiza su gráfica.
• Determina las diferentes ecuaciones de una hipérbola a
partir de sus elementos.
• Escribe los procedimientos necesarios para dar
respuesta a las preguntas planteadas.
• Toma conciencia de sus errores.
Introducción
El matemático griego, Menecmo (vivió aproximadamente en 350 a.C.), descubrió estas curvas y el
matemático griego Apolonio (262-190 a.C.) de Perga (antigua ciudad de Asia Menor) fue el primero
en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio
descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos, a los que dio el nombre de elipses,
hipérbolas y parábolas.
Las elipses son las curvas que se obtienen cortando un cono circular recto con un plano que no es
paralelo a ninguna de sus generatrices.
172

Las hipérbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano que es
paralelo a dos de sus generatrices.
Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo
a una sola generatriz.
Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de
ellas son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las más interesantes y útiles que descubrió
Apolonio sobre las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos
con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje se obtienen los llamados espejos elípticos,
parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una
fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el
otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes
son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.
Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del
espejo se apunta hacia el Sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 a.C.) logró incendiar las
naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En
la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y los espejos solares.
La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje,
sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para las
estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como
si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie
mayor iluminada.
En el siglo XVI el filósofo y matemático, René Descartes (1596-1650), desarrolló un método para
relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada geometría analítica. En la geometría
analítica las curvas cónicas se pueden representar con ecuaciones de segundo grado en las variables
x y y. El resultado más sorprendente de la geometría analítica es que todas las ecuaciones de segundo
grado en dos variables representan secciones cónicas y lo debemos a Jan de Witt (1629-1672).
Sin lugar a dudas, las cónicas son curvas importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo,
las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más
importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del Sol sean elipses
y, más aún, que la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva
cónica. El astrónomo alemán, Johannes Kepler (1570-1630), descubrió que las órbitas de los planetas
alrededor del Sol son elipses que tienen al Sol como uno de sus focos; en el caso de la Tierra, la excentricidad
es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más
tarde, el célebre matemático y físico inglés, Isaac Newton (1642-1727), demostró que la órbita de un
cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.
Fuente: Las cónicas. (s. f.). Historia de las cónicas. Recuperado de
https://conicas.solomatematicas.com/historia.aspx (adaptado para fines didácticos).
173

4
Secciones cónicas
Para empezar
En la Plataforma Nexus contesta la Evaluación diagnóstica; es un examen de cinco preguntas
de opción múltiple acerca de los contenidos que debes dominar para comprender y desarrollar
eficazmente los de la presente etapa.
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Experiencias de aprendizaje”, y en el salón
de clases contesta las preguntas de la actividad correspondiente a la sección “Dimensión 1.
Recuperación”, siguiendo las indicaciones que ahí se presentan. Al finalizar, compara y valida
en grupo, y con ayuda del docente, las respuestas que escribiste.
Lección
1
Secciones y curvas
formadas por la
intersección de un plano y
un cono
A continuación, estudiaremos las figuras geométricas que se pueden
obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos
con un plano, por este motivo se les llama secciones cónicas o
simplemente cónicas.
Si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al
eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección
se llama elipse.
Si un plano corta a uno de los mantos de un cono, pero no lo cruza,
y además no tiene contacto con el otro, entonces la curva formada por la intersección se llama parábola.
Si un plano corta a los dos mantos de un cono, la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.
Y si el plano corta perpendicularmente al eje de un cono se obtiene una circunferencia.
Estas diferentes secciones cónicas se muestran en la figura 4.1:
Eje Eje Eje Eje
Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
Figura 4.1
La cónica que analizaremos primero es la circunferencia.
174

Lección 2
Definición geométrica
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el
plano P(x, y) que son equidistantes de un punto fijo llamado centro.
Cualquier segmento de recta cuyos extremos sean el centro y un
punto cualquiera de la circunferencia se llama radio.
Lección
2
La circunferencia como
lugar geométrico
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia
Sea C(h, k) el centro de la circunferencia, P(x, y) cualquier punto que pertenece a la circunferencia y r su
radio como en la figura 4.2:
y
P(x, y)
r
h
C(h, k)
k
x
Se observa que el radio de la circunferencia es la distancia del centro C al punto P; luego, usando la
fórmula de distancia entre dos puntos:
Tenemos que:
Figura 4.2
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2
2
1 2 1
r = ^x
-hh
2 + ^y-xh
2
Y elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación tenemos:
r 2 5 (x 2 h) 2 1 (y 2 k) 2 o (x 2 h) 2 1 (y 2 k) 2 5 r 2
Conocida como ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia.
175

4
Secciones cónicas
Luego, si el centro de la circunferencia es el origen, es decir, si C(h, k) 5 C(0, 0), entonces tenemos que:
r 2 5 (x 20) 2 1 (y 20) 2
r 2 5 x 2 1 y 2
Conocida como la ecuación canónica de la circunferencia. Gráficamente tenemos lo siguiente:
5
y
4
3
P (x, y)
2
r
1
C (0, 0)
0
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
x
–2
–3
–4
–5
Figura 4.3
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de una circunferencia con centro en el punto C(5, 22) y de radio 4.
Solución
C(h, k) 5 C(5, 22),
Entonces
h = 5, k 5 22 y r 5 4
Sustituimos en la ecuación reducida:
(x 2h) 2 1 (y 2 k) 2 5 r 2
(x 2 5) 2 1 (y 2 (22)) 2 5 4 2
(x 25) 2 1 (y 1 2) 2 = 16
176

Lección 2
Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior, tenemos:
x 2 2 10x 1 25 1 y 2 1 4y 1 4 516
x 2 1 y 2 2 10x 1 4y 1 25 1 4 216 = 00
2
1
y
x 2 1 y 2 2 10x 1 4y 113 = 00
0
–1 1 2 3 4 5
–1
r 5 4
–2
6 7 8 9 10
C(5, 22)
x
–3
–4
–5
–6
Figura 4.4
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es 3.
Solución
C(h, k) 5 C(0, 0) y r 5 3
Sustituimos en la ecuación canónica:
3
y
x 2 1 y 2 5 r 2
2
r 5 3
1
–3 –2
0
–1
–1
1 2 3
–2
–3
x
x 2 1 y 2 5 3 2
x 2 1 y 2 5 9
Figura 4.5
Ejemplo 3
Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (2, 1) y cuyo centro es C(22, 3).
Solución
La longitud del radio de la circunferencia es igual a la distancia que hay entre el punto y el centro;
es decir, usamos la fórmula de distancia para calcular dicha longitud:
177

4
Secciones cónicas
Entonces:
2
d = ^x
-x h + ^y -y h
2
2 1
2 1
d = ^-2- 2h 2 + ^3- 1h 2 = ^- 4h 2 + ^2h
2 = 16 + 4 = 20
r = 20
Luego, con radio r = 20 y centro C(22, 3), sustituimos en la forma ordinaria:
(x 2 h) 2 1 (y 2 k) 2 5 r 2
(x 2(22)) 2 1 (y 2 3) 2 5 ( 20) 2
(x 1 2) 2 1 (y 2 3) 2 = 20
Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior, tenemos:
x 2 1 4x 1 4 1 y 2 2 6y 1 9 5 20
x 2 1 y 2 1 4x 2 6y 1 4 1 9 2 20 5 00
7
6
y
x 2 1 y 2 1 4x 2 6y 2 7 5 00
C(22, 3)
5
4
3
2
–6
1
P(2, 1)
0
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 x
–1
Figura 4.6
Ejemplo 4
Halla la ecuación de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos P(9, 1)
y Q(–1, 5).
Solución
Para determinar la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer la longitud de su radio y las
coordenadas de su centro.
Según las condiciones dadas, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto
medio del segmento que une los extremos del diámetro y la longitud del radio es la distancia desde
este centro hasta alguno de los puntos extremos:
178

Lección 2
x1+
x2 y1+
y2
Punto medio: p b 9 1 1 5
2
, l
m
2
= pma - +
2
, k
2
= pm^43
, h
Entonces, las coordenadas del centro son C(h, k) 5 C(4, 3).
Luego:
Entonces:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
2 2 2 2
d = ^9- 4h + ^1- 3h = ^5h + ^-2h
= 25+ 4 = 29
r = 29
Luego, con radio r = 29 y centro C(4, 3), sustituimos en la forma ordinaria:
(x 2 h) 2 1 (y 2 k) 2 5 r 2
(x 2 4) 2 + (y 2 3) 2 = ( 29) 2
(x 2 4) 2 1 (y 2 3) 2 5 29
Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior, tenemos:
x 2 2 8x 116 1 y 2 2 6y 1 9 5 29
x 2 1 y 2 2 8x 2 6y 1 16 1 9 2 29 5 0
x 2 1 y 2 2 8x 2 6y 2 4 5 0
8
y
7
Q(21, 5) 6
5
4
3
c
2
1
–2
0
–1
–1
1 2 3 4 5
P(9, 1)
6 7 8 9 10
x
–2
Figura 4.7
179

4
Secciones cónicas
Ejemplo 5
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(5, 1) y que es tangente a la
recta cuya ecuación es 22x 1 3y 2 6 5 0. La recta tangente a una circunferencia es la recta perpendicular
al radio de la circunferencia y que pasa por un solo punto de la misma.
6
5
y
4
3
2
1
C(5, 1)
–3 –2
0
–1
–1
1 2 3 4 5
–2
6 7 8 9 10
x
Figura 4.8
Solución
Necesitamos calcular el radio de la circunferencia; en este caso observamos que, como la recta es
tangente a la circunferencia, entonces el radio es la distancia del punto a la recta; dicha fórmula es:
d =
Ax0+ By0+
C
2 2
A + B
Donde Ax 1 By 1 C 5 0 es la ecuación de la recta en la forma general. Luego, sustituyendo
tenemos:
d =
-25 ^ h + 31 ^ h -6
13 13
= - =
2 2
^3h
+ ^2h
13 13
Entonces el radio es r =
13
13
Luego, con radio r
13
= y centro C(5, 1), sustituimos en la forma ordinaria:
13
^x- hh
+ ^y- kh
= r
2 2 2
2 2
^x- 5h
+ ^y- 1h
= c
2 2
^x- 5h
+ ^y- 1h
=
2 2
^x- 5h
+ ^y- 1h
= 13
13
13
169
13
m
2
180

Lección 2
Al desarrollar y simplificar el miembro izquierdo de la ecuación anterior, tenemos:
2 2
x - 10x+ 25 + y - 2y+ 1 = 13
2 2
x + y -10x- 2y+ 25+ 1- 13 = 0
2 2
x + y -10x- 2y+ 13 = 0
Determina la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas:
1. Centro en el origen y radio 11.
2. Centro en el origen y radio 7.
3. Centro en el origen y radio 13.
4. Centro en el punto (5, 6) y radio 2.
5. Centro en el punto (2, –7) y radio 5.
6. Centro en el punto (–3, –1) y radio 4.
7. Centro en C(6, –4) y pasa por el punto P(4, –5).
8. Centro en C(–4, 6) y pasa por el punto P(22, 23).
9. Centro en C(5, 24) y pasa por el punto P(0, 3).
Actividad de aprendizaje 1
10. Los puntos A(6, 2) y B(22,24) son los puntos extremos de uno de sus diámetros.
11. Los puntos A(24, 7) y B(10, 23) son los puntos extremos de uno de sus diámetros.
12. Los puntos A(6, 22) y B(2, 24) son los puntos extremos de uno de sus diámetros.
13. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(10, 25) y que es tangente
a la recta 4x 1 3y 2 50 5 0.
14. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(22, 21) y que es
tangente a la recta 5x 1 12y 2 4 5 0.
15. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(23, 2) y que es tangente
a la recta 8x 2 15y 1 3 5 0.
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Dada la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria o reducida, desarrollemos los binomios al
cuadrado.
2 2 2
^x- hh
+ ^y- kh
= r
x - 2xh+ h + y - 2ky+ k = r
2 2 2 2 2
Luego, ordenando términos, igualando a cero y simplificando tenemos:
2 2 2 2 2
x + y -2hx - 2ky + h + k - r = 0
181

4
Secciones cónicas
Ahora, si denotamos:
D 5 22h, E = 22k, F 5 h 2 1 k 2 2 r 2
2 2
Tenemos la ecuación x + y + Dx+ Ey+ F = 0 que es la forma general de la ecuación de la
circunferencia.
Al reacomodar esta ecuación y completar trinomios cuadrados perfectos, tenemos lo siguiente:
x
2
2
D 2 E
D E
+ Dx + a k
2
+ y + Ey + a k
2
= - F + a k
2
+ a k
2
2 2 2
Luego, al factorizar los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado y, realizar las operaciones
del lado derecho de la ecuación obtenemos:
2 2 2 2
a
D E D E 4F
x + k
2
+ a
+ -
y + k
2
=
4
Según los valores de D, E y F, tenemos los siguientes lugares geométricos:
2 2
a) Si D + E - 4F
2 0 entonces la ecuación representa una circunferencia con centro en el punto
1 2 2
Ca D E
-
2
, k
2
y radio r =
2
D + E -4F
b) Si D 2 1 E 2 2 4F 5 0, entonces la ecuación representa solo el punto con coordenadas a
D E
-
2
, k
2
2 2
c) Si D + E - 4F
2 0, entonces la ecuación no representa ningún lugar geométrico.
Ejemplo
2 2
Dada la ecuación x + y + 6x- 4y+ 9 = 0, determina si representa una circunferencia; si es así
encuentra: a) la forma ordinaria o reducida, b) su centro y c) su radio.
Solución
2 2
Por comparación con la forma general x + y + Dx+ Ey+ F = 0 , tenemos que D 5 6, E 5 24
2 2
y F 5 9. Luego, calculemos el valor de la expresión D + E - 4F:
D 2 + E 2 - 4F
= 6 2 + ^-4h
2 - 4^9h= 36+ 16- 36 = 16
El cual es positivo; por lo tanto, la ecuación representa una circunferencia.
a) La forma ordinaria o reducida se construye a partir de la forma general usando el método de
completar trinomios cuadrados perfectos:
2 2
x + y + 6x- 4y+ 9 = 0
182

Lección 2
Reordenamos y pasamos el término constante para el lado derecho de la ecuación:
2 2
^x + 6xh+ ^y - 4yh= -9
Completamos cuadrados perfectos y “equilibramos” la ecuación:
^x + 6x+ ^3h h + ^y - 4y+ ^2h h = - 9+ ^3h + ^2h
2 2 2 2 2 2
Expresamos los trinomios cuadrados perfectos como binomios al cuadrado y simplificamos el lado
derecho:
Esta ecuación es la forma ordinaria o reducida.
^x+ 3h
2 + ^y- 2h
2 = 4
2 2 2
b) Comparando con la forma ordinaria o reducida ^x- hh + ^y- kh = r , tenemos que 2h 5 3,
de donde h 5 23, y –k 5 22, de donde k 5 2; por lo tanto, el centro de la circunferencia
tiene coordenadas C^hk
, h= C^-32
, h.
c) También, por comparación, tenemos que r 2 5 4, entonces r 5 2. La gráfica es la siguiente:
2x
–5
4
C(23, 2)
r 5 2
3
2
1
–4 –3 –2 –1
0
Figura 4.9
y
A partir de la forma ordinaria o reducida, tenemos los siguientes casos:
a) Si ^x- hh 2 + ^y-
kh 2 2 r
2 , entonces la gráfica representa la región fuera de la circunferencia,
sin incluir a esta última.
b) Si ^x- hh 2 + ^y-
kh 2 $ r
2 , entonces la gráfica representa la región fuera de la circunferencia,
incluyendo a esta última.
c) Si ^x- hh 2 + ^y-
kh 2 1 r
2 , entonces la gráfica representa la región dentro de la circunferencia,
sin incluir a esta última.
d) Si ^x- hh 2 + ^y-
kh 2 # r
2 , entonces la gráfica representa la región dentro de la circunferencia,
incluyendo a esta última.
183

4
Secciones cónicas
En el ejemplo anterior, si tenemos que ^x+
3h 2 + ^y-2h 2 2 4, entonces la gráfica corresponde a la
región fuera de la circunferencia con centro en el punto C(23, 2) y radio r 5 2 como se muestra
a continuación:
4
–5
C(23, 2)
r 5 2
–4 –3 –2 –1
Figura 4.10
3
2
1
0
Actividad de aprendizaje 2
I. Para cada una de las siguientes ecuaciones de una circunferencia, hallar:
1. La ecuación en la forma ordinaria o reducida.
2. Las coordenadas del centro de la circunferencia.
3. La longitud de su radio.
4. Dibuja la gráfica correspondiente.
2 2
a) x + y = 81
2 2
b) x + y = 17
2 2
c) x + y -4x- 10y+ 20 = 0
2 2
d) x + y -12x-2y- 12 = 0
2 2
e) x + y + 6x- 16y+ 48 = 0
2 2
f) x + y -4x-4y- 8 = 0
2 2
g) x + y + 10x+ 6y+ 30 = 0
2 2
h) x + y -8y
- 65 = 0
2 2
i) x + y + 2x
- 35 = 0
2 2
j) x + y -6x- 6y
= 0
II. Completa el trinomio cuadrado perfecto (si es necesario) para encontrar el centro y el radio de
cada circunferencia. Después dibuja la gráfica y sombrea la región correspondiente.
2 2
1. x + y -4
$ 0
2. x 2 + y 2 -49 1 0
2 2
3. x + y - 6x+ 8y+
21 2 0
2 2
4. x + y + 8x+ 10y+
32 # 0
184

Lección 3
Definición geométrica
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano
cartesiano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su
distancia a una recta fija llamada directriz.
Lección
3
La parábola como
lugar geométrico
Directriz
Foco
d
d
Figura 4.11
Elementos de una parábola
Directriz
Lado recto
V
f
Eje focal
Figura 4.12
Eje focal: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco de la parábola.
Vértice (V): punto de la parábola que interseca al eje focal.
Lado recto: segmento que une dos puntos de la parábola perpendicular al eje focal y que pasa por el
foco de dicha parábola.
185

4
Secciones cónicas
Ecuaciones ordinarias de la parábola con vértice en el origen
Ecuación de una parábola con vértice en el origen y como eje focal el eje x
Por la misma definición, podemos deducir que la distancia del foco al vértice es igual a la distancia del
vértice a la directriz, denotando por lo general a esta distancia con la letra a. Entonces las coordenadas
del foco serán F(a, 0) y la ecuación de su directriz es x 5 2a o x 1 a 5 0 como se muestra en la figura
4.13:
Q(2a, y)
y
P(x, y)
v
F(a, 0)
x
x 52a
Figura 4.13
De acuerdo con la definición de la parábola y con la figura, tenemos que:
FP = PQ
Entonces:
^x-ah
2 + ^y- 0h
2 = x+
a
Y elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación:
2 2
2 2
_ ^x-ah
+ ^y- 0h i = ^x+
ah
^x- ah
+ y = ^x+
ah
2 2 2
Donde despejamos y 2 :
x - 2ax+ a + y = x + 2ax + a
2 2 2 2 2
y
2
= 2ax
+ 2ax
y
2
= 4ax
Por lo tanto, la ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal en el eje x (y coordenada del
foco F(a, 0) sobre el eje x) es:
y
2 = 4ax
186

Lección 3
Luego, tenemos los siguientes casos dependiendo del valor de a:
a) Si a . 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia la derecha:
Directriz
x 52a
y
v
F(a, 0)
x
Figura 4.14
b) Si a , 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia la izquierda:
y
Directriz
x 52a
F(a, 0)
v
x
Figura 4.15
En ambos casos se tiene que la longitud del lado recto es 4 a . Esto puede demostrarse al sustituir la a por
la x en la ecuación y 2 5 4ax, es decir, si x 5 a, entonces y 2 5 4a(a):
Donde, despejando y, tenemos que:
y 2 5 4a 2
y = !
4a
2
187

4
Secciones cónicas
Entonces:
y 5 62a
Por lo tanto, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (a, 2a) y (a, 22a) como se muestra
en la figura 4.16:
Directriz
y
L(a, 2a)
v
F(a, 0)
x
L(a, 22a)
Figura 4.16
Luego, usando la fórmula de distancia entre ambos puntos se obtiene:
Ejemplo 1
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
LR = ^a- ah
+ ^2a--
^ 2ahh
LR =
LR
^4ah
2 1
2
2
2 1
2 2
= 4a
Longitud del lado recto
Dada la ecuación de la parábola y 2 5 8x encuentra:
a) Las coordenadas del foco.
b) La longitud del lado recto.
c) La ecuación de la directriz.
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
e) La gráfica.
188

Lección 3
Solución
La ecuación y 2 5 8x es de la forma y 2 5 4ax; luego, por comparación, tenemos que:
4a 5 8, entonces a 5 2; y por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y en consecuencia:
a) Coordenadas del foco: el foco está sobre el eje x a 2 unidades a la derecha del eje y, entonces
F(2, 0).
b) Longitud del lado recto: LR = 4a
= 4^2h
= 8 = 8
c) La ecuación de la directriz:
x 5 2 a
x 5 2 2 o
x 1 2 5 0
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto:
En la gráfica observamos que el valor de las abscisas en los puntos extremos del lado recto es igual
que la abscisa del foco x 5 2, por consiguiente:
y
y
2
2
= 82 ^ h
= 16
y = !
y = ! 4
Entonces, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (2, 4) y (2, –4).
16
e) Gráfica:
y
6
4 (2, 4)
2
F(2, 0)
0
–3 –2 –1 1 2 3 4 5
–2
–4 (2, 24)
–6
x 522
Figura 4.17
6 7
x
Ejemplo 2
Dada la ecuación de la parábola y 2 5 212x, encuentra:
a) Las coordenadas del foco
b) La longitud del lado recto
189

4
Secciones cónicas
c) La ecuación de la directriz
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto
e) La gráfica
Solución
La ecuación y 2 5 212x es de la forma y 2 5 4ax; luego, por comparación, tenemos que 4a 5 212.
Entonces a 5 23; por lo tanto, la parábola abre hacia la izquierda y, por consecuencia:
a) Coordenadas del foco: el foco está sobre el eje x a 3 unidades a la izquierda del eje y,
entonces F(23, 0).
b) Longitud del lado recto: LR = 4a
= 4^- 3h
= - 12 = 12
c) La ecuación de la directriz:
x =-a
x =-- ^ 3h
x = 3
x - 3 = 0
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
En la gráfica observamos que el valor de las abscisas en los puntos extremos del lado recto es
igual que la abscisa del foco x 5 23; por consiguiente:
y
y
2
2
y = !
y = ! 6
o
=-12^-3h
= 36
Entonces, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (23, 6) y (23, 26).
36
e) Gráfica:
(23, 6)
8
6
4
y
2
F(23, 0)
0
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–2
x
(23, 26)
–4
–6
–8
x 5 3
Figura 4.18
190

Lección 3
Ejemplo 3
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto (4, 0).
Solución
Realicemos la gráfica según la información dada:
8
6
y
4
2
F(4, 0)
0
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 x
–2
a
–4
–6
–8
Figura 4.19
Dado que la parábola tiene su vértice en el origen y el foco está sobre el eje x, entonces el eje
focal es el eje x y la parábola abre hacia la derecha; y por consecuencia su ecuación es de la
forma y 2 5 4ax con a 5 4 ya que es la distancia del vértice al foco.
Por lo tanto:
y
y
2
2
= 44 ^ hx
= 16x
Ejemplo 4
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya ecuación de la directriz es
x 5 5.
191

4
Secciones cónicas
Solución
Dado que la directriz es una recta vertical paralela y a la derecha del eje y, entonces la gráfica
se abre hacia la izquierda, como se muestra en la figura 4.20:
10
y
8
6
4
2
0
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–2
a
–4
–6
x
–8
–10
x 5 5
Figura 4.20
Luego, dado que la distancia del vértice al foco es igual que la distancia del vértice a la directriz,
entonces se tiene que a 5 25, ya que abre hacia la izquierda.
Y como la parábola tiene su vértice en el origen y el foco está sobre el eje x, entonces el eje focal
es el eje x y su ecuación es de la forma y 2 5 4ax.
Por lo tanto: y 2 5 4(25)x
y 2 5 220x
Ecuación de una parábola con vértice en
el origen y como eje focal el eje y
y
Sabemos que la distancia del foco al vértice es
igual que la distancia del vértice a la directriz,
(valor de a). Entonces las coordenadas del foco
serán F(0, a) y la ecuación de su directriz es
y 5 2a o y 1 a 5 0, como se muestra en la figura
4.21:
P(x, y)
F(0, a)
V
x
Q(x, 2a)
y 52a
Figura 4.21
192

Lección 3
De acuerdo con la definición de la parábola y con la figura, tenemos que:
Entonces:
FP = PQ
^x-0h
2 + ^y- ah
2 = y+
a
Y elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación:
De donde despejamos x 2 :
2 2
2 2
_ ^x-0h
+ ^y- ah i = ^y+
ah
2
2 2
x + ^y- ah
= ^y+
ah
x + y - 2ay + a = y + 2ay + a
2 2 2 2 2
2
x = 2ay+
2ay
x
2
= 4ay
Por lo tanto, la ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje focal en el eje y (y coordenada del
foco F(0, a) sobre el eje y) es:
x
2 = 4ay
Luego, tenemos los siguientes casos dependiendo del valor de a:
c) Si a . 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia arriba:
y
F(0, a)
V
x
Directriz
y 52a
Figura 4.22
193

4
Secciones cónicas
d) Si a , 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia abajo:
y
V
Directriz
y 52a
x
F(0, a)
Figura 4.23
En ambos casos se tiene que la longitud del lado recto es 4 a . Esto se puede demostrar al sustituir en la
ecuación x
2 = 4ay
la a por la y, es decir, si y = a , entonces
De donde despejando x tenemos que:
x
2 = 4a^ah
x
=
4a
2 2
x = !
4a
2
Entonces:
x
= !2a
Por lo tanto, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (2a, a) y (22a, a) como muestra
la figura 4.24:
y
F(0, a)
(22a, a) (2a, a)
V
x
Directriz
y 52a
Figura 4.24
194

Lección 3
Luego, usando la fórmula de distancia entre ambos puntos se obtiene:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
LR = ^2a-^- 2ahh
+ ^a-
ah
2 2
LR =
^4ah
2
LR
= 4a
longitud del lado recto
Ejemplo 5
Dada la ecuación de la parábola x 2 516y encuentra:
a) Las coordenadas del foco.
b) La longitud del lado recto.
c) La ecuación de la directriz.
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
e) La gráfica.
Solución
La ecuación x 2 5 16y es de la forma x 2 5 4ay; luego, por comparación, tenemos que: 4a 5 16,
entonces a 5 4; y por lo tanto, la parábola abre hacia arriba y por consecuencia:
a) Las coordenadas del foco: el foco está sobre el eje y a 4 unidades por encima del eje x; entonces
F(0, 4).
b) La longitud del lado recto LR = 4a
= 4^4h
= 16 = 16
c) La ecuación de la directriz:
y =-a
y =-4
y + 4 = 0
o
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
En la gráfica (figura 4.24) observamos que el valor de las ordenadas en los puntos extremos del
lado recto es el igual que la ordenada del foco y 5 4; por consiguiente:
x
x
2
2
= 16^4h
= 64
x = !
x = ! 8
64
195

4
Secciones cónicas
Entonces, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (–8, 4) y (8, 4).
e) La gráfica:
8
y
6
(28, 4) 4
F(0, 4)
(8, 4)
2
0
–12 –10 –8 –6 –4 –2 V 2 4 6 8 10 12
x
–2
–4
y 5 24
Figura 4.25
Ejemplo 6
Dada la ecuación de la parábola x 2 5 220y, encuentra:
a) Las coordenadas del foco.
b) La longitud del lado recto.
c) La ecuación de la directriz.
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
e) La gráfica.
Solución
La ecuación x 2 5 220y es de la forma x 2 5 4ay; luego, por comparación, tenemos que 4a 5 220.
Entonces a 5 25; por lo tanto, la parábola abre hacia abajo y por consecuencia:
a) Las coordenadas del foco: el foco está sobre el eje y a 4 unidades por debajo del eje x, entonces
F(0, –5).
b) La longitud del lado recto LR = 4a
= 4^- 5h = - 20 = 20.
196

Lección 3
c) La ecuación de la directriz:
y =-a
y =-- ^ 5h
y = 5
y - 5 = 0
d) Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
En la gráfica observamos que el valor de las ordenadas en los puntos extremos del lado recto es
igual que la ordenada del foco y 5 25, por consiguiente:
o
x
x
2
2
=-20^-5h
= 100
x = ! 100
x = ! 10
Entonces, las coordenadas de los puntos extremos del lado recto son (210, 25) y (10, 25).
e) La gráfica:
8
y
6
4
y 5 5
2
x
–20 –15 –10 –5
0 V 5 10 15 20
–2
(210, 25)
–4 F(0, 25)
(10, 25)
–6
–8
–10
–12
–14
Figura 4.26
197

4
Secciones cónicas
Ejemplo 7
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F(0, 3).
Solución
Realicemos el bosquejo de la gráfica según la información dada:
7
y
6
5
4
3
2
1
F(0, 3)
a
0
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
–1
x
–2
Figura 4.27
Ejemplo 8
Dado que la parábola tiene su vértice en el origen y el foco está sobre el eje y, entonces el eje
focal es el eje y y la parábola abre hacia arriba; por consecuencia, su ecuación es de la forma
x 2 5 4ay con a 5 3, ya que es la distancia del vértice al foco.
Por lo tanto: x
x
2
2
= 43 ^ hy
= 12y
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya ecuación de la directriz es
y 5 2.
198

Lección 3
Solución
Dado que la directriz es una recta horizontal paralela y por encima del eje x, entonces la gráfica
se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 4.28:
y 5 2
2
1
y
a
–6 –4 –2
0
2 4 6
–1
x
–2
–3
Figura 4.28
Luego, dado que la distancia del vértice al foco es igual que la distancia del vértice a la directriz,
se tiene que a 5 22, ya que abre hacia abajo.
Y como la parábola tiene su vértice en el origen y el foco está sobre el eje y, entonces el eje focal
es el eje y y su ecuación es de la forma x 2 5 4ay.
Por lo tanto: x
x
2
2
= 4^-2h
y
= -8y
I. Dadas las siguientes ecuaciones de una parábola, halla para cada una:
1. Las coordenadas del foco.
2. La longitud del lado recto.
3. La ecuación de la directriz.
4. Las coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
5. La gráfica.
a) x 2 5 224y
b) y 2 5 4x
c) x 2 5 16y
d) y 2 5 228x
Actividad de aprendizaje 1
199

4
Secciones cónicas
II. Encuentra la ecuación de la parábola con centro en el origen que cumple las condiciones dadas:
1. Tiene el foco en el punto F(8, 0).
2. Tiene el foco en el punto F(0, 27).
3. Tiene el foco en el punto F(9, 0).
4. La ecuación de su directriz es x 5 3.
5. La ecuación de su directriz es y 5 24.
6. La longitud del lado recto es 32 y abre hacia la izquierda.
7. La longitud del lado recto es 2 y abre hacia arriba.
Ecuaciones ordinarias de la parábola con vértice fuera del origen
Ecuación de una parábola con vértice en el punto V (h, k) y eje focal paralelo al eje x
Dado que el eje focal es paralelo al eje x, entonces el foco de la parábola se ubica a la derecha del
vértice a una distancia a; y la directriz (paralela al eje y) es una recta vertical que pasará a la izquierda
del vértice también a una distancia a; por lo que su ecuación es x 5 h 2 a o x 2 h 1 a 5 0.
y
P(x, y)
k
V
a
F(h 1 a, k)
Directriz
x 5h 2 a
h
x
Figura 4.29
La distancia del foco F(h 1 a, k) al punto P(x, y) es:
dFP = ^x- ^h+ ahh
+ ^y-
kh
2 2
Y la distancia del punto P(x, y) a la directriz x 2 h 1 a 5 0 se obtiene usando la fórmula de distancia de
un punto a una recta Ax 1 By 1 C 5 0 con A 5 1, B 5 0 y C 5 2h 1 a es:
d
FP =
1x+- ^ h+
ah
2
1
= x+ ^- h+
ah
200

Lección 3
Luego, ya que estas distancias son iguales, se tiene que:
2 2
^x- ^h+ ahh + ^y- kh = x+ ^- h+
ah
Y elevando al cuadrado en ambos lados:
_
^x- ^h+ ahh
+ ^y- kh i = ^x+ ^- h+
a
h
2 2 2 2
^x- ^h+ ahh
+ ^y- kh
= ^x+ ^- h+
a
h
2 2 2
x - 2x^h+ ah
+ ^h+ ah
+ ^y- kh
= x + 2x^- h+ ah+- ^ h+
ah
2 2 2 2 2
x -2xh- 2xa+ h + 2ha + a + ^y- kh
= x - 2xh + 2xa + h - 2ha+
a
2 2 2 2 2 2 2
2
^y- kh
= 2xa - 2ha + 2ax - 2ha
2
^y- kh
= 4ax - 4ah
2
^y- kh
= 4ax ^ - hh
Esta es la ecuación de la parábola con vértice en V(h, k) y eje focal paralelo al eje x; llamada forma
ordinaria o reducida.
Luego, tenemos los siguientes casos dependiendo del valor de a:
a) Si a . 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia la derecha:
14
12
10
y
Directriz
8
6
4
2
V
F
0
–2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–2
x
Figura 4.30
201

4
Secciones cónicas
b) Si a , 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia la izquierda:
12
Directriz
10
8
6
4
2
F
V
–5 –4 –3 –2
0
–1
–2
1 2 3 4 5 6 7 8
–4
–6
Figura 4.31
Ecuación de una parábola con vértice en el punto V (h, k) y eje focal paralelo al eje y
Analizando el caso anterior de manera similar, se obtiene la ecuación de una parábola cuyo eje focal es
paralelo al eje y:
Forma ordinaria o reducida.
(x 2 h) 2 5 4a(y 2 k)
Y dependiendo del valor de a, se tienen los siguientes casos:
a) Si a . 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia arriba:
10
8
6
4
2
V
F
Directriz
0
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
–2
Figura 4.32
202

Lección 3
b) Si a , 0, entonces la gráfica es una parábola que abre hacia abajo:
8
6
4
2
V
F
Directriz
0
–6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 16
–2
–4
Figura 4.33
Ejemplo 1
Dada la ecuación de la parábola (y 2 3) 2 5 8(x 1 2) halla:
a) Las coordenadas de su vértice.
b) Las coordenadas de su foco.
c) La ecuación de la directriz.
d) La gráfica.
Solución
La ecuación (y 2 3) 2 5 8(x 1 2) es de la forma (y 2 k) 2 5 4a(x 2 h), entonces la gráfica es una
parábola con el eje focal paralelo al eje x con h 5 22, k 5 3 y 4a 5 8, de donde se obtiene que
a 5 2. Por lo tanto:
a) Las coordenadas de su vértice son V(h, k) 5 V(22, 3).
b) Las coordenadas del foco:
Ya que a es positiva, entonces la parábola abre hacia la derecha y en consecuencia el foco se
encuentra a 5 2 unidades a la derecha del vértice; por lo tanto, F(22 1 2, 3) 5 F (0, 3).
c) La ecuación de la directriz:
Dado que la parábola tiene su eje focal paralelo al eje x, entonces la directriz es una recta vertical
que pasa 2 unidades a la izquierda de su vértice; por lo tanto, la ecuación es x 5 22 2 2; es
decir x 5 24 o x 1 4 5 0.
203

4
Secciones cónicas
d) La gráfica:
Directriz
x 524
7
6
5
y
V(22, 3)
4
3
F(0, 3)
2
1
0
–5 –4 –3 –2 –1
1
–1
x
Figura 4.34
Ejemplo 2
Dada la ecuación de la parábola (x 2 5) 2 = 212(y 2 4), halla:
a) Las coordenadas de su vértice.
b) Las coordenadas de su foco.
c) La ecuación de la directriz.
d) La gráfica.
Solución
La ecuación (x 2 5) 2 5 212(y 2 4) es de la forma (x 2 h) 2 = 4a(y 2 k); entonces la gráfica es una
parábola con el eje focal paralelo al eje y con h 5 5, k 5 4 y 4a 5 212, de donde se obtiene
que a 5 23. Por lo tanto:
a) Las coordenadas de su vértice son V(h, k) 5 V(5, 4).
b) Las coordenadas del foco: ya que a es negativa, entonces la parábola abre hacia abajo y en
consecuencia el foco se encuentra 3 unidades hacia abajo del vértice; y por lo tanto:
F(5, 4 2 3) 5 F(5, 1)
c) La ecuación de la directriz:dado que la parábola tiene su eje focal paralelo al eje y, entonces
la directriz es una recta horizontal que pasa 3 unidades por arriba de su vértice; por lo tanto,
la ecuación es y 5 4 1 3; es decir, y 5 7 o y 2 7 5 0.
204

Lección 3
d) La gráfica:
7
6
5
y
V(5, 4)
Directriz
y 57
4
3
2
1
F(5, 1)
0
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Figura 4.35
x
Ejemplo 3
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el punto (23, 2), con longitud del lado recto
20 y que abre hacia arriba.
Solución
La longitud del lado recto es 20, luego, ya que
20 =
LR = 4a
, se tiene que
4a
! 20 = 4a
a 5 15 ya que la parábola abre hacia arriba
Además, si la parábola abre hacia arriba, entonces el eje focal es paralelo al eje y; por lo tanto,
la ecuación es de la forma (x 2 h) 2 5 4a(y 2 k) y sustituyendo:
h 5 23, k 5 2 y a 5 5
2
^x-- ^ 3hh
= 4^5h
^y-2h
2
^x+ 3h
= 20^y-
2h
205

4
Secciones cónicas
La gráfica es la siguiente:
y
(213, 7)
10
F(23, 7) 8
2a 5 10 6 2a 5 10
4
(7, 7)
2
V(23, 2)
0
–16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
x
Forma general de la ecuación de una parábola
Figura 4.36
Si en las formas reducidas (y 2 k) 2 5 4a(x 2 h) y (x 2 h) 2 5 4a(y 2 k) se desarrollan los binomios, se realizan
los productos, se iguala a cero, se suman términos semejantes y se ordena, entonces se llega a una
de las siguientes ecuaciones, llamada forma general de la ecuación de la parábola:
y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0, si su eje focal es paralelo al eje x
x 2 1 Dx + Ey + F 5 0, si su eje focal es paralelo al eje y
Y dada la ecuación de una parábola en su forma general, se puede obtener su expresión en la forma reducida
utilizando el método de completar un trinomio cuadrado perfecto, como se muestra en los siguientes
ejemplos:
Ejemplo 1
Dada la ecuación de la parábola y 2 1 12x 1 8y 2 8 5 0, encuentra:
a) La forma reducida.
b) Las coordenadas de su vértice.
c) Las coordenadas de su foco.
d) La ecuación de la directriz.
206

Lección 3
Solución
a) La forma reducida
Primero dejemos del lado izquierdo los términos de la variable cuadrática; en este caso, la
variable y:
y 2 1 8y 5 212x 18
Luego, completamos el trinomio cuadrado perfecto en la expresión del lado izquierdo:
2
2 8
y + 8y+ a k
2
=- 12x
+ 8 + a
2 8 k
2
y + 8y+ 16 =- 12x
+ 8+
16
2
y + 8y+ 16 =- 12x
+ 24
2
Y por último, factorizamos las expresiones de ambos lados de la ecuación:
b) Las coordenadas de su vértice
Solución
(y 1 4) 2 5 212(x 22) esta es la ecuación en la forma reducida
La ecuación anterior es de la forma (y 2 k) 2 5 4a(x 2 h), entonces h 5 2 y k 5 24. Por lo tanto,
las coordenadas de su vértice son V(h, k) 5 V(2, 24).
c) Las coordenadas de su foco
Solución
La ecuación (y 1 4) 2 5 212(x 2 2) es de la forma (y 2 k) 2 5 4a(x 2 h); entonces la gráfica es
una parábola con el eje focal paralelo al eje x con 4a 5 212, de donde se obtiene que a 5 23.
Luego, ya que a es negativa, la parábola abre hacia la izquierda y en consecuencia el foco se
encuentra 3 unidades a la izquierda del vértice V(2, 24); por lo tanto, la coordenada del foco es
F(2 2 3, 24) 5 F(21, 24).
d) La ecuación de la directriz
Solución
Dado que la parábola tiene su eje focal paralelo al eje x, entonces la directriz es una recta vertical
que pasa 3 unidades a la derecha de su vértice; por lo tanto, la ecuación es:
x 5 2 1 3; es decir, x 5 5 o x 2 5 5 0.
207

4
Secciones cónicas
La gráfica correspondiente es la siguiente:
6
y
4
2
–7 –6 –5 –4 –3 –2
0
–1
–2
1 2 3 4 5 6
F(21, 24) –4 V(2, 24)
–6
x
–8
–10
–12
–14
Directriz
x 55
Figura 4.37
Ejemplo 2
Dada la ecuación de la parábola x 2 2 2x 2 4y 1 9 5 0, encuentra:
a) La forma reducida.
b) Las coordenadas de su vértice.
c) Las coordenadas de su foco.
d) La ecuación de la directriz.
Solución
a) La forma reducida
Primero, dejemos del lado izquierdo los términos de la variable cuadrática; en este caso, la variable x:
x 2 2 2x 5 4y 2 9
Luego completamos el trinomio cuadrado perfecto en la expresión del lado izquierdo:
2
2
x 2x 2
4y
9
2 2 2
2
- + a k = - + a k
2
x - 2x+ 1 = 4y
- 9+
1
2
x - 2x+ 1 = 4y
-8
208

Lección 3
Y, por último, factorizamos las expresiones de ambos lados de la ecuación:
b) Las coordenadas de su vértice
Solución
(x 2 1) 2 = 4(y 2 2) esta es la ecuación en la forma reducida.
La ecuación anterior es de la forma (x 2 h) 2 5 4a(y 2 k), entonces h 51 y k 5 2. Por lo tanto, las
coordenadas de su vértice son V(h, k) 5 V(1, 2).
c) Las coordenadas de su foco
Solución
La ecuación (x 2 1) 2 = 4(y 2 2) es de la forma (x 2 h) 2 5 4a(y 2 k), entonces la gráfica es una
parábola con el eje focal paralelo al eje y con 4a 5 4, de donde se obtiene que a 5 1. Luego, ya
que a es positiva, la parábola abre hacia arriba y en consecuencia el foco se encuentra 1 unidad
hacia arriba del vértice V(1, 2); por lo tanto, la coordenada del foco es:
d) La ecuación de la directriz
Solución
F (1, 2 1 1) 5 F(1, 3).
Dado que la parábola tiene su eje focal paralelo al eje y, entonces la directriz es una recta horizontal
que pasa 1 unidad por debajo de su vértice; por lo tanto, la ecuación es: y 5 2 2 1; es
decir: y 5 1 o y 2 1 5 0.
La gráfica correspondiente es la siguiente:
8
y
7
6
5
4
3
2
1
F(1, 3)
V(1, 2)
Directriz
y 51
0
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
x
Figura 4.38
209

4
Secciones cónicas
Actividad de aprendizaje 2
I. Encuentra la ecuación de la parábola con las condiciones que se indican:
1. Foco en F(25, 5) y vértice en F(25, 8).
2. Foco en F(6, 22) y vértice en F(4, 22).
3. Foco en F(4, 2) y vértice en F(0, 2).
4. Foco en F(23, 2) y vértice en F(23, 25).
II. Dadas las siguientes ecuaciones de una parábola, halla para cada una:
1. La forma reducida.
2. Las coordenadas de su vértice.
3. Las coordenadas de su foco.
4. La ecuación de la directriz.
a) x 2 2 14x 2 8y 1 33 5 0
b) y 2 1 16x 1 10y 1 9 5 0
c) x 2 2 6x 2 12y 2 15 5 0
d) y 2 1 20x 1 2y 1 39 5 0
e) x 2 2 8x 2 6y 2 8 5 0
f) y 2 2 6x 2 4y 1 22 5 0
210

Lección 4
Definición geométrica
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano
cartesiano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Lección
4
La elipse como lugar
geométrico
d 1
d 2
P(x, y)
F
F´
d 1 1 d 2 es constante
Figura 4.39
Elementos de una elipse
1. Focos: los puntos F y F´ son los puntos fijos denominados focos.
2. Eje focal: es la recta que pasa por los focos; en la figura es la recta L.
3. Vértices: son los puntos de intersección de la elipse con su eje focal. En la figura los puntos V y V´ son
los vértices de la elipse.
4. Eje mayor: es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse; es decir, el
segmento VV´.
5. Centro de la elipse: es el punto medio del segmento de la recta cuyos puntos extremos son los focos de
la elipse. En la figura, el punto C representa el centro de la elipse.
6. Eje menor: es el segmento de la recta que pasa por el centro de la elipse; es decir, por el punto C, y
que es perpendicular al eje focal. En la figura, el segmento BB´ representa el eje menor de la elipse.
211

4
Secciones cónicas
7. Lados rectos: los segmentos de recta perpendiculares al eje focal, que pasa por sus focos y cuyos extremos
están en la elipse se llaman lados rectos. En la figura LR y L´R´ son los lados rectos de la elipse.
B
L
L´
V
F
C
F´
V´
Eje
Focal
R
B´
Figura 4.40
Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el origen
R´
a) Ecuación de una elipse con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje x
Para encontrar la ecuación de una elipse con las condiciones señaladas, primero colocamos su centro en
el origen, de tal forma que su eje mayor VV ´ coincida con el eje x, como se muestra en la figura. También,
consideremos que c sea la distancia desde el centro de la elipse hasta cada uno de los focos; entonces las
coordenadas de estos serán F(c, 0) y F´(2c, 0), y por último, denotamos con la expresión 2a la distancia
constante a la que nos referimos en la definición de la elipse.
Eje y
B
P(x, y)
V
F(2c, 0)
C
F´(c, 0)
V´
Eje x
B´
Figura 4.41
212

Lección 4
Luego, si el punto P(x, y) es un punto de la elipse, de acuerdo con su definición, tenemos que: PF ´1 PF 5 2a.
2 2 2 2
^x+ ch
+ ^y-0h
+ ^x-ch
+ ^y- 0h
= 2a
2 2 2 2
^x+ ch
+ y + ^x- ch
+ y = 2a
Y pasando el segundo radical a la derecha de la ecuación:
Elevando al cuadrado en ambos lados:
^x+ ch
+ y = 2a-
^x- ch
+ y
2 2 2 2
_ ^x+ ch
+ y i = _ 2a- ^x- ch
+ y i
2 2 2 2 2 2
^x+ ch
+ y = 4a -4a ^x- ch
+ y + ^x- ch
+ y
2 2 2 2 2 2 2
x + 2xc+ c + y = 4a -4a ^x- ch
+ y + x - 2xc+
y
2 2 2 2 2 2 2 2
2xc + 2xc - 4a =-4a ^x- ch
+ y
2 2 2
4xc - 4a = 4a ^x- ch
+ y
2 2 2
Y elevando al cuadrado otra vez en ambos lados:
2 2 2
^ 4xc - 4a h = _-4a ^x- ch
+ y i
2 2
2 2 2 4 2 2 2
16xc- 32axc+ 16a = 16a 6^
x- ch
+ y@
2 2 2 4 2 2 2 2
16xc- 32axc+ 16a = 16a 6x
- 2xc+ c + y @
16xc- 32axc+ 16a = 16ax- 32axc+ 16a c + 16a y
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
Simplificando y reordenando los términos, tenemos:
16xc- 16ax- 16ay = 16ac-16a
2 2 2 2 2 2 2 2 4
xc- ax- ay = ac-a
2 2 2 2 2 2 2 2 4
Y factorizando en ambos lados:
2 2 2 2 2 2 2 2
x ^c -a h- a y = a ^c -a
h
Al multiplicar por –1 ambos miembros de la ecuación resulta:
2 2 2 2 2 2 2 2
x ^a - c h+ a y = a ^a -c
h
213

4
Secciones cónicas
Luego, sea b 2 5 a 2 2 c 2 , donde b . 0, entonces podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente
manera:
Y al dividir en ambos lados entre a 2 b 2 :
2 2 2 2 2 2
xb+ ay = ab
xb+
ay
2 2
ab
xb
ab
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
ay
+ 2 2
ab
=
=
ab
ab
2 2
2 2
ab
ab
2 2
2 2
x
a
2
2
2
y
+ 2 = 1
b
Por lo tanto, la ecuación de una elipse con centro en el origen y focos F(c, 0) y F(2c, 0) es:
x
a
2
2
2
y
+ 2 = 1
b
Dominio y rango de la ecuación de la elipse
b 2 2
Despejando y de la ecuación de la elipse, se obtiene y = !
a
a - x donde el radicando es mayor o
igual a cero si y solo si 2a # x # a.
b 2 2
De manera similar, despejando x de la ecuación de la elipse se tiene que: x = !
a
b - y , donde el
radicando es mayor o igual a cero si y solo si 2b # y # b.
Coordenadas de los vértices
Los vértices son los puntos de la elipse que intersecan al eje focal, en este caso al eje x; entonces sustituyamos
y 5 0 en la ecuación de la elipse:
x
a
2
2
2
y
+ 2 = 1
b
x
a
2
2
= 1
x 2 5 a 2 , donde tenemos que x 5 6a; y por lo tanto las coordenadas de los vértices son V (a, 0) y V(2a, 0).
214

Lección 4
Coordenadas de los puntos extremos del eje menor
Los puntos extremos del eje menor son los puntos de la elipse que intersecan al eje menor, en este caso al
eje y. Entonces, sustituyamos x 5 0 en la ecuación de la elipse:
0
a
2
2
2
y
+ 2 = 1
b
y
b
2
2
= 1
y
= b
2 2
De donde tenemos que y 5 6b; y por lo tanto, las coordenadas de los puntos extremos del eje menor son
B(0, b) y B´(0, 2b).
Eje y
B (0, b)
V(2a, 0) V´(a, 0)
Eje x
F(2c, 0) C
F´(c, 0)
Puntos extremos del lado recto
B´(0, 2b)
Figura 4.42
Para determinar los puntos extremos de uno de los lados rectos se sustituye x 5 c en la ecuación de la
elipse; al despejar y de esta se obtiene y = !
a
; por lo que las coordenadas son:
b 2
b b
c,
2
l a
y bc,
Similarmente, las coordenadas de los puntos extremos del otro lado recto serán:
-
b b
-c,
2
l a
y b-c,
-
b 2
a
l
b 2
a
l
215

4
Secciones cónicas
Longitud de cada lado recto
Calculemos la longitud del lado recto mediante la distancia entre los puntos de dos de sus extremos
b 2
b b
c,
2
l a
y bc,
-
a
l:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
2 b
LR = ^c- ch
+ b
a
+
b l
a
2 2 2
LR =
LR =
b
2
a b
2
2 2 2
a b
l
Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse
En una de las demostraciones anteriores vimos que b 2 5 a 2 2 c 2 ; entonces, conocidos los valores de a y
de b se tiene que c 2 5 a 2 2 b 2
Excentricidad de una elipse
La excentricidad (e) de una elipse se define como la razón c/a; es decir:
En donde e , 1, ya que c , a.
e =
a c =
a - b
a
2 2
De acuerdo con la fórmula de la excentricidad, si el valor de b se acerca al de a, entonces la excentricidad
tiende a cero y la gráfica de la elipse es casi circular; mientras que, si el valor de b es casi cero,
entonces la excentricidad tiende a 1 y la gráfica de la elipse es muy alargada; estos casos se muestran
en las siguientes figuras:
4
y
4
y
3
3
2
2
1
1
–4 –3 –2
0
–1
–1
1 2 3 4
–2
–3
–4
Figura 4.43
0
x –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
Figura 4.44
x
216

Lección 4
En resumen:
La gráfica de la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje focal el eje x es:
x
a
2
2
2
y
+ 2 = 1
b
Donde a 2 . b 2 y c 2 5 a 2 2 b 2 y tiene las siguientes características:
1. Las coordenadas de sus vértices son V(a, 0) y V´(2a, 0).
2. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(0, b) y B´(0, 2b).
3. Las coordenadas de sus focos son F(c, 0) y F´(2c, 0).
4. La longitud de su eje mayor VV´ es 2a.
5. La longitud de su eje menor BB´ es 2b.
6. La longitud de cada uno de sus lados rectos LR =
7. La excentricidad
e =
a c
Ecuación de una elipse con centro en el origen y cuyo eje focal es el eje y
De manera similar a como se obtuvo la ecuación de la elipse con el eje focal sobre el eje x, se puede
demostrar que la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje focal el eje y es:
x
b
2
2
2 a b 2
2
y
+ 2 = 1
a
Cuyos elementos correspondientes se muestran en la siguiente gráfica:
Eje y
V(0, a)
F(0, c)
B´(2b, 0) B(b, 0)
Eje x
c
F´(0, 2c)
Figura 4.45
V´(0, 2a)
217

4
Secciones cónicas
Y tiene las siguientes características:
1. Las coordenadas de sus vértices son V(0, a) y V´(0, 2a).
2. Las coordenadas de los puntos extremos de su eje menor son B(b, 0) y B´(2b, 0).
3. Las coordenadas de sus focos son F(0, c) y F´(0, 2c).
4. La longitud de su eje mayor VV´ es 2a.
5. La longitud de su eje menor BB´ es 2b.
6. La longitud de cada uno de sus lados rectos LR
Ejemplo 1
= 2 a b 2
.
Dada la ecuación de la elipse x 2 2
y
25
+
9
= 1 encuentra:
a) Las coordenadas de los vértices.
b) Las coordenadas de los focos.
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor.
d) La longitud de cada lado recto.
e) La longitud del eje mayor.
f) La longitud del eje menor.
g) La excentricidad.
h) La gráfica.
Solución
Dado que se sabe que a 2 . b 2 , entonces se tiene que a 2 5 25 y b 2 5 9, entonces la ecuación
2 2
x y
x
25
+
9
= 1 es de la forma a
2
2
2
y
+ 2 = 1 con a 5 5 y b 5 3 cuyo eje focal es el eje x; y por
b
consecuencia los vértices y los focos están sobre el eje x (con ordenadas igual que 0) y los puntos
extremos del eje menor están sobre el eje y (con abscisas igual que 0). Entonces:
a) Las coordenadas de los vértices: V(a, 0) 5 V(5, 0) y V’(2a, 0) 5 V’(25, 0).
b) Las coordenadas de los focos: La longitud focal la calculamos mediante la relación c 2 5 a 2 2 b 2 ,
2 2
entonces c = 5 - 3 = 4 . Por lo tanto, las coordenadas de los focos son:
218

Lección 4
F(c, 0) 5 F(4, 0) y F´(2c, 0) 5 F´(24, 0)
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor: B(0, b) 5 B(0, 3) y B´(0, 2b) 5 B´(0, 23)
d) La longitud de cada lado recto: LR
2 a b 2 2
23 ^ h 18
= =
5
=
5
= 36 .
e) La longitud del eje mayor 5 2a 5 2(5) 510.
f) La longitud del eje menor 5 2b 5 2(3) = 6.
g) La excentricidad e =
a c =
5 4 = 08 .
h) La gráfica:
4
3
2
y
B(0, 3)
V´(25, 0) F´(24, 0)
1
F(4, 0) V(5, 0)
–6 –5 –4 –3 –2
0
–1
–1
1 2 3 4 5 6 x
c –2
–3
–4
B´(0, 23)
Figura 4.46
Ejemplo 2
Dada la ecuación de la elipse 169x 2 1 25y 2 = 4225, encuentra:
a) Las coordenadas de los vértices.
b) Las coordenadas de los focos.
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor.
d) La longitud de cada lado recto.
e) La longitud del eje mayor.
f) La longitud del eje menor.
g) La excentricidad.
h) La gráfica.
219

4
Secciones cónicas
Solución
Primero transformemos esta ecuación a la forma reducida, dividiendo en ambos lados entre 4225:
169x
+ 25y
4225
169x
4225
2 2
25y
+
4225
2 2
2 2
x y
25
+
169
=
= 1
= 1
4225
4225
Dado que se sabe que a 2 . b 2 , entonces se tiene que a 2 5169 y b 2 5 25. Así, la ecuación
2 2
x y
25
+
169
= 1 es de la forma
x
b
2
2
2
y
+ 2 = 1 con a 513 y b 5 5 cuyo eje focal es el eje y; y
a
en consecuencia los vértices y los focos están sobre el eje y (con abscisas con valor igual que 0)
y los puntos extremos del eje menor están sobre el eje x (con ordenadas igual que 0). Entonces:
a) Coordenadas de los vértices: V(0, a) 5 V(0,13) y V´(0, 2a) 5 V´(0, 213)
b) Coordenadas de los focos: calculamos la longitud focal mediante la relación c 2 5 a 2 2 b 2 ,
2 2
entonces c = 13 - 5 = 12 . Por lo tanto, las coordenadas de los focos son:
F(0, c) 5 F(0, 12) y F´(0, 2c) 5 F´(0, 212)
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor: B(b, 0) 5 B(5, 0) y B´(2b, 0) 5 B´(25, 0)
d) La longitud de cada lado recto: LR
2 a b 2 2
2^5h
50
= =
13
=
13
= 3.
84
e) La longitud del eje mayor 5 2a 5 2(13) 5 6
f) La longitud del eje menor 5 2b 5 2(5) 510
c 12
g) La excentricidad e =
a
=
13
= 0.
923
h) La gráfica:
220

Lección 4
14
12
10
y
V(0, 13)
F(0, 12)
8
6
4
B´(25, 0)
2
B(5, 0)
–8 –6 –4
0
–2
–2
2 4 6 8 x
–4
–6
–8
–10
–12
–14
F´(0, 212)
V´(0, 213)
Figura 4.47
Ejemplo 3
Encontrar la ecuación de la elipse con vértices en los puntos V(17, 0) y V´(217, 0), cuya excentricidad
es igual a 17
8 .
Solución
Los vértices V(17, 0) y V(217, 0) son puntos que están sobre el eje x, entonces los focos también
estarán sobre este eje; es decir, el eje focal es el eje x y, por lo tanto, la ecuación tiene su centro en
el origen y es de la forma a
x
está dada por el valor de a; es decir a 517.
Luego, la excentricidad está dada por la fórmula e
8
17
c
= , entonces c 5 8.
17
2
2
Para calcular el valor de b usemos la relación entre a, b y c:
2
y
+ 2 = 1, donde la distancia del centro de la elipse a los vértices
b
c = a -b
2 2 2
8 = 17 -b
2 2 2
=
a c , donde sustituyendo tenemos que
221

4
Secciones cónicas
Y despejando tenemos:
b 2 5 17 2 28 2 = 289 2 64 5 225
Es decir, b = 225 = 15.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es
2 2
x y
2 + 2
17 15
2 2
x y
289
+
225
= 1
= 1
La gráfica correspondiente es la siguiente:
c
15
10
y
V´(217, 0) F´(28, 0)
5
F(8, 0)
V(17, 0)
–20 –18 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4
0
–2
–5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x
–10
–15
Figura 4.48
Ejemplo 4
Encuentra la ecuación de la elipse con focos en los puntos F(0, 6) y F´(0, 26) y vértices en V(0, 10)
y V´(0, 210).
Solución
Los puntos y los focos están sobre el eje y y el centro del segmento VV´ es el origen del sistema
cartesiano. Luego, el eje focal es el eje y, entonces, la ecuación es de la forma x
b
y
+ 1.
a
2 2
2 2 =
De las coordenadas del foco y del vértice tenemos que a 5 10 y c 5 6. Luego, de la relación
c 2 5 a 2 2 b 2
Calculamos el valor de b:
6 = 10 -b
2 2 2
b
= 10 - 6 = 100 - 36 = 64
2 2 2
Entonces: b = 64 = 8
222

Lección 4
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es
2 2
x y
2 +
8 10
2
2 2
x y
64
+
100
= 1
= 1
La gráfica correspondiente es la siguiente:
10
y
V(0, 10)
8
6
4
F(0, 6)
2
0
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
–2
x
–4
–6 F´(0, 26)
–8
–10
V´(0, 210)
Figura 4.49
Actividad de aprendizaje 2
Para cada una de las siguientes elipses, halla:
1. La longitud del eje mayor.
2. La longitud del eje menor.
3. Las coordenadas de los focos.
4. Las coordenadas de los vértices.
5. La longitud de sus lados rectos.
6. La excentricidad.
7. La gráfica.
a)
b)
2 2
x y
16
+
25
= 1
2 2
x y
100
+
36
= 1
223

4
Secciones cónicas
c)
2 2
x y
144
+
169
= 1
d) 9x 2 1 25y 2 5 225
e) 25x 2 1 169y 2 5 4225
Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el punto C(h, k)
Ecuación de una elipse con centro en el punto C(h, k) y eje focal paralelo al eje x
Recuerda que la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje focal en el eje x es x
a
2
2
2
y
+ 2 = 1;
b
luego, si trasladamos la elipse al nuevo origen (h, k) y tomando en cuenta que en la traslación de ejes
x´ 5 x 2 h y y´5 y 2 k; se tiene entonces, que la ecuación de la elipse con el eje focal paralelo al eje x
es
^x-
hh
2
a
2
2
^y-
kh
+ 2
b
= 1 con a 2 . b 2 .
La gráfica se muestra a continuación:
y
b
k
V
C(h, k)
F´ F
V
h
c
a
x
Figura 4.50
En la figura 4.50 se observa que el centro, los vértices y los focos están sobre la misma línea horizontal;
por lo que todos estos puntos tienen la misma ordenada del centro y 5 k.
También tenemos que los focos se encuentran a c unidades a la derecha y a la izquierda del centro (c es
la longitud focal), los vértices se encuentran a unidades a la derecha y a la izquierda del centro (a es la
longitud del semieje mayor) y los puntos extremos del eje menor se encuentran b unidades hacia arriba y
hacia abajo del centro (b es la longitud del semieje menor).
224

Lección 4
Ecuación de una elipse con centro en el punto C(h, k) y eje focal paralelo al eje y
Recuerda que la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje focal en el eje y es x
b
2
2
2
y
+ 2 = 1;
a
y con la traslación de la elipse al nuevo origen (h, k) y tomando en cuenta que en la traslación de ejes
x´ 5 x 2 h y y´5 y 2 k, se tiene entonces que la ecuación de la elipse con el eje focal paralelo al eje y
es
^x-
hh
2
b
2
2
^y-
kh
+ 2
a
= 1 con a 2 . b 2 .
La gráfica se muestra en la figura 4.51:
y
V
a
c
F
k
C(h, k)
F´
V´
h
Figura 4.51
b
x
En la figura 4.49 se observa que el centro, los vértices y los focos están sobre la misma línea vertical; por
lo que todos estos puntos tienen la misma abscisa del centro x 5 h.
También tenemos que los focos se encuentran a c unidades por arriba y por abajo del centro (c es la longitud
focal), los vértices se encuentran a unidades por arriba y por abajo del centro (a es la longitud del
semieje mayor) y los puntos extremos del eje menor se encuentran b unidades hacia la derecha y hacia la
izquierda del centro (b es la longitud del semieje menor).
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el punto C(2, 23), eje focal paralelo al eje x,
longitud del eje mayor igual que 10 y excentricidad igual que 3/5.
225

4
Secciones cónicas
Solución
La elipse tiene el centro fuera del origen en C(h, k) 5 C(2, 23), entonces h 5 2 y k 5 3.
La longitud del eje mayor es 10, entonces 2a 5 10, de donde a 5 5.
La excentricidad es 3/5, entonces
3
5
c
= , de donde c 5 3.
5
3
5 a c = , sustituyendo a 5 5, tenemos:
Luego, para calcular b, usamos la relación c 2 5 a 2 2 b 2 :
3 2 5 5 2 2 b 2 , entonces
b 2 5 5 2 2 3 2 5 25 2 9 516, entonces b 5 4
La elipse tiene el eje focal paralelo al eje x, entonces la ecuación es de la forma
^x-
hh
2
a
y sustituyendo los valores anteriores tenemos:
Por lo tanto, la ecuación es:
2
2
^y-
kh
+ 2
b
2
^x
- 2h
^y
- ^-3hh
2 + 2
5 4
^x
- 2h
25
La gráfica correspondiente es la siguiente:
2
^y
+ 3h
+
16
2 2
= 1,
= 1.
= 1
1
y
0
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
–1
y
–2 C(2, 23)
V´(23, 23)
–3
F´(21, 23) F(5, 23)
–4
V(7, 23)
–5
–6
–7
Figura 4.52
226

Lección 4
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el punto C(24, 7), eje focal paralelo al eje y,
longitud del eje menor igual que 10 y longitud de cada lado recto igual que 50/13.
Solución
La elipse tiene el centro fuera del origen en C(h, k) 5 C(24, 7), entonces h 5 24 y k 5 7.
La longitud del eje menor es 10, entonces 2b 5 10, de donde b 5 5.
La longitud de cada lado recto igual a 50/13, entonces LR
13
50 25 2
= ^ h , de donde a 5 13.
a
= 2 a b 2
; sustituyendo tenemos:
Y la elipse tiene el eje focal paralelo al eje y, entonces la ecuación es de la forma
^x-
hh
2
b
y sustituyendo los valores anteriores tenemos:
Por lo tanto, la ecuación es:
^x
+ 4h
25
^y
- 7h
+
169
2 2
= 1
La gráfica correspondiente es la
siguiente:
2
2
^y-
kh
+ 2
a
2
^x
-- ^ 4hh
^y
- 7h
2 + 2
5 13
V(24, 20)
F(24, 19)
= 1,
2
= 1.
20
18
16
14
12
10
y
C(24, 7)
8
6
4
2
–12 –10 –8 –6 –4
0
–2
–2
2
4
x
F´(24, 25)
V´(24, 26)
–4
–6
Figura 4.53
227

4
Secciones cónicas
Forma general de la ecuación de una elipse
Si en las formas reducidas
2
^x-
hh
^y-
kh
2 + 2
a b
2
= 1 y
2
^x-
hh
^y-
kh
2 + 2
b a
2
= 1 se desarrollan los binomios,
se multiplica por el mínimo común denominador, se iguala a cero, se suman los términos semejantes y se
ordena. Entonces se llega a la siguiente ecuación, llamada forma general de la ecuación de la
elipse: Ax 2 1 By 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0, donde A y B son diferente de cero y tienen el mismo signo.
Y dada la ecuación de una elipse en su forma general se puede obtener su expresión en la forma reducida
utilizando el método de completar un trinomio cuadrado perfecto como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Dada la elipse en su forma general 16x 2 1 25y 2 2 192x 2 200y 1 576 5 0, encuentra:
a) La forma reducida
b) Las coordenadas de su centro
c) Las coordenadas de sus vértices
d) Las coordenadas de sus focos
Solución
a) La forma reducida
Se agrupan términos de la misma variable y se pasa el término constante para el lado derecho de
la ecuación:
(16x 2 2 192x) 1 (25y 2 2 200y) 5 2576
Luego se factorizan las expresiones agrupadas sacando de factor el coeficiente del término
cuadrático:
16(x 2 2 12x) 1 25(y 2 2 8y) 5 2576
Enseguida, completa los trinomios cuadrados perfectos en cada uno de los binomios y suma los
valores necesarios también del lado derecho de la ecuación:
2
2 12
2
16a 8
x - 12x+ a kk
2
+ 25ay - 8y+
a kk
2
= - 576 + 16a 12 k
2
+ 25a
2 8 k
2 2 2
Ahora se factorizan los trinomios cuadrados perfectos y se simplifica el lado derecho:
16(x 26) 2 1 25(y 2 4) 2 5 400
Y dividimos entre 400 ambos lados de la ecuación:
2
2
16^x
- 6h
25^y
- 4h
400
+
400
=
400
400
228

Lección 4
Finalmente, al simplificar en ambos lados obtenemos la forma reducida:
b) Las coordenadas de su centro
Solución
^x
- 6h
^y
- 4h
25
+
16
2 2
Identificamos h 5 6 y k 5 4, entonces las coordenadas del centro son C(h, k) 5 C(6, 4).
c) Las coordenadas de sus vértices
Solución
La ecuación x 6 2 y 4 2
^ - h ^ - h
25
+
16
= 1 es de la forma
= 1
^x-
hh
2
a
2
2
^y-
kh
+ 2
b
= 1
con a = 25 = 5
cuyo eje focal es paralelo al eje x. Entonces los vértices se encuentran 5 unidades a la derecha y
a la izquierda del centro C(6, 4); por lo tanto:
d) Las coordenadas de sus focos
Solución
V(6 1 5,4) 5 V (11, 4) y V´(6 2 5, 4) 5 V´(1, 4)
Calculemos la longitud focal c mediante la relación c 2 5 a 2 2 b 2 :
c 2 5 25 2 16 = 9, entonces c 5 3. Luego, los focos se encuentran 3 unidades a la derecha y a la
izquierda del centro C(6, 4); por lo tanto: F(6 1 3, 4) 5 F(9, 4) y F´(6 2 3, 4) 5 F´(3, 4).
La gráfica correspondiente es la siguiente:
8
y
7
6
5
V ´(1, 4 4)
F´(3, 4)
C(6, 4) F(9, 4)
V(11, 4)
3
2
1
0
–2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Figura 4.54
x
229

4
Secciones cónicas
Actividad de aprendizaje 2
Para cada una de las siguientes elipses, halla:
1. La forma reducida.
2. Las coordenadas del centro de la elipse.
3. Las coordenadas de sus vértices.
4. Las coordenadas de sus focos.
5. Su gráfica.
a) 9x 2 1 25y 2 2 54x 2 100y 2 44 5 0
b) 169x 2 1 144y 2 11690x 2 2016y 213775 = 0
c) 64x 2 1100y 2 1 256x 1 200y 2 6044 5 0
d) 169x 2 1 25y 2 2 676x 1 200y 23149 5 0
e) 576x 2 1 625y 2 2 6250y 2 344,375 5 0
f) 289x 2 1 64y 2 11734x 2 15,895 5 0
230

Lección 5
Definición geométrica
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano
cartesiano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias
a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Lección
5
La hipérbola como
lugar geométrico
P(x, y)
d 1
F´
F
d 2
d
- d es constante
1 2
Figura 4.55
Elementos de una hipérbola
1. Focos: Los puntos F y F´ son los puntos fijos denominados focos.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos; en la figura es la recta L.
3. Vértices: Son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. En la figura los vértices de la
elipse son los puntos V y V´.
4. Eje transverso: Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la hipérbola, es decir,
el segmento VV´.
5. Eje conjugado: Es el segmento de recta cuyos puntos extremos son los puntos B y B´, es decir, el segmento
BB´.
6. Centro de la elipse: Es el punto medio del segmento de la recta cuyos puntos extremos son los focos de
la elipse o el punto medio del eje transverso o del eje conjugado.
7. Lados rectos: Los segmentos de recta perpendiculares al eje focal, que pasa por sus focos y cuyos extremos
están en la hipérbola se llaman lados rectos.
8. Asíntotas. Las rectas punteadas que se muestran en la figura y que pasan por el centro son las asíntotas
de la hipérbola.
231

4
Secciones cónicas
B
F´
V´
V
F
L
B´
Figura 4.56
Ecuaciones ordinarias de la hipérbola con centro en el origen
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje x
Sea c la longitud focal; es decir, la distancia no dirigida del centro de la hipérbola a sus focos. Entonces
sus focos tendrán coordenadas F(c, 0) y F´(2c, 0). Sean también 2a la constante referida en la definición,
que es siempre positiva.
Eje y
P(x, y)
F(2c, 0)
C
F(c, 0)
Eje x
Figura 4.57
Luego, si el punto P(x, y) es un punto de la hipérbola, de acuerdo con su definición, tenemos que:
PF´2 PF 5 2a
2 2 2 2
^x+ ch
+ ^y-0h
- ^x- ch
+ ^y- 0h
= 2a
2 2 2 2
^x+ ch
+ y - ^x- ch
+ y = 2a
232

Lección 5
Y pasando el segundo radical a la derecha de la ecuación:
Elevando al cuadrado en ambos lados:
^x+ ch
+ y = 2a+
^x- ch
+ y
2 2 2 2
2 2
2 2 2
_
2
^x+ ch
+ y i = _ 2a+
^x- ch
+ y i
^x+ ch2+ y2 = 42 a + 4a ^x+ ch
+ y + ^x+ ch
+ y
2 2 2 2 2 2
x + 2xc+ c + y = 4a2+ 4a ^x+ ch
+ y + x - 2xc+
y
2xc + 2xc - 4a = 4a ^x+ ch
+ y
2 2 2
4xc - 4a = 4a ^x+ ch
+ y
2 2 2
2 2 2 2
Y elevando al cuadrado otra vez en ambos lados:
2 2 2
^ 4xc - 4a h = _ 4a ^x+ ch
+ y i
2 2 2 4 2 2 2
16xc- 32axc+ 16a = 16a 6^
x+ ch
+ y@
16xc- 32axc+ 16a = 16a
2 2 2 4 2
2 2
2 2 2
6x - 2xc+ c + y @
16xc- 32axc+ 16a = 16ax- 32axc+ 16a c + 16a y
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
Simplificando y reordenando términos tenemos:
16xc- 16ax- 16ay = 16ac-16a
2 2 2 2 2 2 2 2 4
xc- ax- ay = ac-a
2 2 2 2 2 2 2 2 4
Y factorizando en ambos lados: x 2 (c 2 2 a 2 ) 2 a 2 y 2 5 a 2 (c 2 2 a 2 )
Luego, sea b 2 5 c 2 2 a 2 , en donde b . 0, entonces podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente
manera: x 2 b 2 2 a 2 y 2 5 a 2 b 2
Y al dividir en ambos lados entre a 2 b 2
2 2 2 2
xb-
ay a b
2 2 =
ab ab
2 2 2 2
xb ay ab
2 2 - 2 2 =
ab ab ab
2 2
x y
2 - 2 = 1
a b
2 2
2 2
2 2
2 2
233

4
Secciones cónicas
Por lo tanto, la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje x es
x
a
2
2
2
y
- 2 = 1
b
Dominio y rango de la ecuación de la hipérbola
b 2 2
Al despejar y de la ecuación de la hipérbola se obtiene y = !
a
x - a donde el radicando es mayor
o igual quecero si y solo si x # 2a o x $ a. Entonces, el dominio es el conjunto de valores menores o
iguales que 2a (x # 2a) y el conjunto de valores mayores o iguales que a (x $ a).
De manera similar, al despejar x de la ecuación de la hipérbola se tiene que:
a 2 2
x = !
b
y + b ,
Donde el radicando siempre es mayor o igual que cero. Por lo tanto, el rango es el conjunto de los números
reales.
Coordenadas de los vértices
Los vértices son los puntos de la elipse que intersecan al eje focal, en este caso al eje X; entonces, sustituyamos
y 5 0 en la ecuación de la hipérbola:
x
a
2
2
2
0
- 2 = 1
b
x
a
2
2
= 1
x 2 5 a 2 , de donde tenemos que x 5 6a; y por lo tanto, las coordenadas de los vértices son V(a, 0) y
V(2a, 0).
Eje y
B(0, b)
F(2c, 0)
V(2a, 0)
C
V(a, 0)
F(c, 0)
Eje x
B´(0, 2b)
Figura 4.58
234

Lección 5
Puntos extremos del lado recto
Para determinar los puntos extremos de uno de los lados rectos se sustituye x 5 c en la ecuación de la hipérbola,
al despejar y de esta se obtiene
b 2
y = !
a
; por lo que las coordenadas son b b
c,
2
l a
y bc,
-
a
l.
b 2
Del mismo modo, las coordenadas de los puntos extremos del otro lado recto serán:
Longitud de cada lado recto
b 2
b b
-c,
2
l a
y b-c,
-
a
l.
Calculemos la longitud del lado recto mediante la distancia entre los puntos de dos de sus extremos
b 2
b b
c,
2
l a
y bc,
-
a
l:
2
d = ^x - x h + ^y -y
h
2 1
2
2 1
2
2 b
LR = ^c- ch
+ b
a
+
b l
a
2 2
LR =
LR =
b 2
a b
2
a b
2
2 2
l
Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola
En una de las demostraciones anteriores vimos que b 2 5 c 2 2 a 2 , entonces, conocidos los valores de a y
de b se tiene que c 2 5 a 2 1 b 2 .
Excentricidad de la hipérbola
Al igual que la elipse, la excentricidad de la hipérbola se define como la razón a
c , por tanto:
e =
a c =
a + b
a
2 2
Asíntotas de una hipérbola
. Como c es mayor que a, entonces la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1.
Si para la gráfica de una ecuación existe una recta tal que, a medida que un punto P(x, y) que le pertenece
se aleja infinitamente del origen, de tal forma que la distancia entre dicha recta y el punto decrece
continuamente tendiendo o acercándose cada vez más a cero, entonces decimos que esa recta es una
asíntota de la gráfica de la ecuación.
235

4
Secciones cónicas
2 2
Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
x y
2 - 2 = 1
a b
2
Al despejar y de la ecuación anterior, tenemos que
bx a
y = !
a
1 - 2 ; luego, si un punto cualquiera de
x
la curva se mueve de tal forma que x aumente cada vez más su valor, entonces el cociente x
a2
cada vez más, es decir tiende a cero; y , el valor
bx
a la forma y = !
a
.
2
decrece
2
a
- tiende a 1; por lo tanto, la ecuación tiende
x
1 2
x
Entonces, las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola
b a
son: y =
a x y y =-
a b x
2
2
2
y
- 2 = 1 son las rectas cuyas ecuaciones
b
Una manera sencilla para trazar la gráfica de las asíntotas de una hipérbola consiste en dibujar un rectángulo
de tal forma que un par de lados pasen por los vértices y ambos sean perpendiculares al eje
transverso, mientras que los otros dos lados pasen por los extremos del eje conjugado. Las asíntotas son
las rectas que resultan de las prolongaciones de las diagonales de dicho rectángulo, como se muestra en
la figura 4.57:
Eje y
y 5 2(b/a)x
y 5 (b/a)x
B(0, b)
F(2c, 0)
V(2a, 0) V(a, 0)
C
F(c, 0)
Eje x
B´(0, 2b)
Figura 4.59
En resumen:
La gráfica de la ecuación a
x
a) Centro en el origen.
2
2
2
y
- 2 = 1 es una hipérbola con:
b
b) Vértices en V(a, 0) y V(2a, 0).
236

Lección 5
c) Focos en F(c, 0) F´(2c, 0), es decir, el eje focal está en el eje x, donde c 2 5 a 2 1 b 2 .
d) La longitud del eje transverso es igual que 2a.
e) La Longitud del eje conjugado es igual que 2b.
f) La longitud de cada lado recto es LR =
c
g) Excentricidad: e =
a
2 a b 2
h) Su gráfica consta de dos curvas o ramas: una que se prolonga infinitamente hacia la derecha (y $ a)
y la otra hacia la izquierda (y # 2a), y su rango es el conjunto de los números reales, es decir,
puede tomar cualquier valor real.
i) Las rectas y
a =
b x y y =-
b a x son las asíntotas de la hipérbola.
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje y
Analizando del mismo modo que en el caso de la ecuación con eje focal sobre el eje x, se tiene que la
ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje y está dada por la ecuación
2 2
x y
- 2 + 2 = 1 o
b a
En la gráfica correspondiente se tienen los siguientes elementos:
a) Las coordenadas de los vértices son V(0, a) y V(0,2a).
y
a
2
2
2
x
- 2 = 1
b
b) Las coordenadas de los focos son F(0, c) y F´(0, 2c) donde c 2 5 a 2 1 b 2 .
c) La longitud del eje transverso es igual que 2a.
d) La longitud del eje conjugado es igual que 2b.
e) La longitud de cada lado recto es LR
f) La excentricidad es e
=
a c .
= 2 a b 2
.
g) Su gráfica consta de dos curvas o ramas: una que se prolonga infinitamente hacia arriba (y $ a)
y la otra hacia abajo (y # 2a), y su dominio es el conjunto de los números reales, es decir, puede
tomar cualquier valor real.
h) Las rectas y
a =
b x y y =-
b a x son las asíntotas de la hipérbola.
237

4
Secciones cónicas
Eje y
y 5 2(a/b)x
F(c, 0)
y 5 (a/b)x
V(a, 0)
B´(0, 2b)
C
B(0, b)
Eje x
V(2a, 0)
F(2c, 0)
Figura 4.60
Ejemplo 1
Dada la ecuación de la hipérbola x 2 2
y
9
-
16
= 1, encuentra:
a) Las coordenadas de los vértices.
b) Las coordenadas de los focos.
c) La longitud de cada uno de sus lados rectos.
d) La excentricidad.
e) Las ecuaciones de las asíntotas.
f) La gráfica.
Solución
La ecuación x 2 2
y
9
-
16
= 1 es de la forma
x
a
2
2
2
y
- 2 = 1, con a
b
2 5 9 donde a 5 3 y con
b 2 5 16, donde b 5 4,cuyo eje focal es el eje x; y en consecuencia los vértices y los focos están
sobre el eje x (con ordenadas igual que 0) y los puntos extremos del eje conjugado están sobre el
eje y (con abscisas igual que 0). Entonces:
a) Las coordenadas de los vértices: V(a, 0) 5 V(3, 0) y V´(2a, 0) 5 V´(23, 0).
b) Las coordenadas de los focos: La longitud focal la calculamos mediante la relación c 2 5 a 2 1 b 2 ;
2 2
entonces, c = 3 + 4 = 5. Por lo tanto, las coordenadas de los focos son:
F(c, 0) 5 F(5, 0) y F´(2c, 0) 5 F´(25, 0)
238

Lección 5
c) La longitud de cada lado recto: LR
2 a b 2 2
24 ^ h 32
= =
3
=
3
= 10.
6
d) La excentricidad e =
a c =
3 5 = 16 .
e) Las ecuaciones de las asíntotas:
b 4
y =
a x =
3 x y
b
y =-
a x =-
4
3
x
f) La gráfica:
Eje y
y 5 2(4/3)x
2
y 5 (4/3)x
2
2
B(0, 4)
V(23, 0)
C
–6 –4 –2 0 2
F(25, 0)
2
–2
V(3, 0)
4 6
F(5, 0)
Eje x
–4
B´(0, 24)
–6
–8
Figura 4.61
Ejemplo 2
Dada la ecuación de la hipérbola 25x 2 2144y 2 5 23600, encuentra:
a) Las coordenadas de los vértices.
b) Las coordenadas de los focos.
c) La longitud de cada uno de sus lados rectos.
d) La excentricidad.
e) Las ecuaciones de las asíntotas.
f) La gráfica.
239

4
Secciones cónicas
Solución
Primero, transformemos la ecuación a la forma reducida dividiendo ambos lados entre –3600:
25x
- 144y
-3600
2 2
2 2
25x
144y
-3600
-
-3600
-3600
= - 3600
= 1
La ecuación
2 2
x y
-
144
+
25
= 1
2 2
x y
-
144
+
25
= 1 es de la forma
2 2
x y
- 2 + 2 = 1 con a
b a
2 5 25, de donde, a 5 5, y
con b 2 5 144, de donde b 5 12, cuyo eje focal es el eje Y; y en consecuencia los vértices y los
focos están sobre el eje Y (con abscisas cuyo valor es igual que 0) y los puntos extremos del eje
conjugado están sobre el eje X (con ordenadas iguales que 0). Entonces:
a) Las coordenadas de los vértices: V(0, a) =V(0,5) y V´(0, 2a) 5V´(0, 25).
b) Las coordenadas de los focos: Calculamos la longitud focal mediante la relación c 2 5 a 2 1 b 2 ;
2 2
entonces c = 5 + 12 = 13. Por lo tanto, las coordenadas de los focos son: F(0, c) 5 F(0, 13)
y F´(0, 2c) 5 F´(0, 213)
c) La longitud de cada lado recto: LR
2 a b 2 2
2^12h
288
= =
5
=
5
= 57.
6
d) La excentricidad e =
a c = 13 5
= 26 .
a
e) Las ecuaciones de las asíntotas: y
b
x
12 5
a
= = x y y =-
b
x =-
12 5 x
f) La gráfica:
Eje y
y 5 2(5/12)x
15
10
F(0, 13)
y 5 (5/12)x
5
V(0, 5)
–40 –30 –20 –10 0 10
–5
20 30
V´(0, 25)
Eje x
–10
–15
F´(0, 213)
Figura 4.62
240

Lección 5
Actividad de aprendizaje
Dadas las siguientes ecuaciones de una hipérbola encuentra:
a) Las coordenadas de los vértices.
b) Las coordenadas de los focos.
c) La longitud del eje transverso.
d) La longitud del eje conjugado.
e) La longitud de cada lado recto.
f) La excentricidad.
g) Las ecuaciones de sus asíntotas.
h) La gráfica.
2 2
1.
x y
-
16
+
9
= 1
2 2
x y
2.
64
-
36
= 1
2 2
3.
x y
144
-
25
= 1
4. 16x 2 2 9y 2 5 2144
5. 225x 2 2 64y 2 5 14400
Ecuaciones ordinarias de la hipérbola con centro en el punto C(h, k)
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k) y eje focal paralelo al eje x
Recuerda que la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal en el eje x es
x
a
2
2
2
y
+ 2 = 1;
b
luego, si trasladamos la elipse al nuevo origen (h, k) y tomando en cuenta que en la traslación de ejes x´ 5 x 2 h
y y´ 5 y 2 k, se tiene entonces que la ecuación de la hipérbola con el eje focal paralelo al eje x es
2
2
^x-
hh
^y-
kh
2 - 2 = 1.
a b
b
Las ecuaciones de sus asíntotas son las rectas cuyas ecuaciones son: y - k = !
a ^x-
hh
.
241

4
Secciones cónicas
La gráfica y sus elementos se muestran en la figura 4.63:
Eje y
y 2 k 5 (b/a)(x 2 h)
b
k
F´
C
V´ V
F
h
Figura 4.63
a
c
y 2 k 5 2(b/a)(x 2 h)
Eje x
En la figura 4.61 se observa que el centro, los vértices y los focos, están sobre la misma línea horizontal;
por lo que todos estos puntos tienen la misma ordenada del centro y 5 k.
También tenemos que los focos se encuentran c unidades a la izquierda y a la derecha del centro (c es
la longitud focal), los vértices se encuentran a unidades a la izquierda y a la derecha del centro (a es la
longitud del semieje transverso) y los puntos extremos del eje conjugado se encuentran b unidades hacia
arriba y hacia abajo del centro (b es la longitud del semieje conjugado).
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k) y eje focal paralelo al eje y
Recuerda que la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal en el eje y es
2 2
x y
- 2 + 2 = 1; y con la traslación de la hipérbola al nuevo origen (h, k) y tomando en cuenta que en la
b a
traslación de ejes x´ 5 x 2 h y y´ 5 y 2 k, se tiene entonces que la ecuación de la hipérbola con el eje
focal paralelo al eje y es
2
^x- hh
^y-
kh
- 2 + 2
b a
2
= 1
Las ecuaciones de sus asíntotas son las rectas cuyas ecuaciones son:
a
y- k = ! ^
b
x-
hh
242

Lección 5
La gráfica y sus elementos se muestran en la figura 4.64:
Eje y
F
y 2 k 5 (a/b)(x 2 h)
c
a
k
V
C
V´
F´
y 2 k 5 2(a/b)(x 2 h)
h
b
Figura 4.64
Eje x
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el punto C(6, 8), eje focal paralelo al eje x,
longitud del eje transverso igual que 6 y excentricidad igual que
5 . 3
Solución
La hipérbola tiene el centro fuera del origen en C(h, k) 5 C(6, 8), entonces h 5 6 y k 5 8.
La longitud del eje transverso es 6, entonces 2a 5 6, de donde a 5 3.
La excentricidad es 3
5 , entonces
5
3 a c = , sustituyendo a 5 3, tenemos:
5
3
c
=
3
, de donde c 5 5.
Luego, para calcular b, usamos la relación c 2 5 a 2 1 b 2 :
5 2 5 3 2 1 b 2 , entonces
b 2 5 5 2 23 2 5 25 2 9 =16, entonces b 5 4.
243

4
Secciones cónicas
La hipérbola tiene el eje focal paralelo al eje x, entonces la ecuación es de la forma
y sustituyendo los valores anteriores tenemos:
Por lo tanto, la ecuación es
La gráfica correspondiente es la siguiente:
2
^x- hh
^y-
kh
2 - 2
a b
2
^x
- 6h
^y
- 8h
2 - 2
3 4
^x
- 6h
^y
- 8h
9
-
16
2
2
2 2
= 1,
= 1.
= 1
20
Eje y
18
16
14
12
10
V´(3, 8) V(9, 8)
F(1, 8 8)
F(11, 8)
6
4
2
–4
0
–2 2 4 6 8 10 12 14 16
–2
Eje x
–4
Figura 4.65
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el punto C(6, 7), eje focal paralelo al eje y,
5
longitud del eje transverso igual que 6 y excentricidad igual que 3 .
Solución
La hipérbola tiene el centro fuera del origen en C(h, k) 5 C(6, 7); entonces h 5 6 y k 5 7.
La longitud del eje transverso es 6, entonces 2a 5 6, donde a 5 3.
244

Lección 5
La excentricidad es 3
5 , entonces
5
3 a c = , sustituyendo a 5 3, tenemos:
5
3
c
=
3
,
de donde c 5 5.
Luego, para calcular b, usamos la relación c 2 5 a 2 1 b 2 :
5 2 5 3 2 1 b 2 , entonces
b 2 5 5 2 2 3 2 5 25 2 9 516,
entonces b 5 4.
La hipérbola tiene el eje focal paralelo al eje y, entonces la ecuación es de la forma
y sustituyendo los valores anteriores tenemos:
2
^x-
hh
^y-
kh
- 2 + 2
b a
2
^x
- 6h
^y
- 8h
- 2 + 2
4 3
Por lo tanto, la ecuación es:
^x
- 6h
^y
- 8h
-
16
+
9
La gráfica correspondiente es la siguiente:
2
2
2 2
= 1
= 1.
= 1
16
Eje y
14
12
10
8
F(6, 12)
V(6, 10)
C(6, 7)
6
–6
–4
4
2
V´(6, 4)
F´ (6, 2)
2
–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
–2
Eje x
Figura 4.66
245

4
Secciones cónicas
Forma general de la ecuación de una hipérbola
Si en las formas reducidas
2
^x- hh
^y-
kh
2 - 2
a b
2
= 1 y
^x-
hh
- 2
b
2
2
^y-
kh
+ 2
a
= 1 se desarrollan los binomios,
se multiplica por el mínimo común denominador, se iguala a cero, se suman términos semejantes y
se ordena; entonces se llega a la siguiente ecuación, llamada forma general de la ecuación de
la hipérbola:
Ax 2 1 By 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 , donde A y B son valores distintos de cero y tienen diferente signo; y
dada la ecuación de una hipérbola en su forma general, se puede obtener su expresión en la forma reducida
utilizando el método de completar un trinomio cuadrado perfecto, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Dada la hipérbola en su forma general 16x2 2 9y2 2192x 1 72y 1 288 5 0 encuentra:
a) La forma reducida.
b) Las coordenadas de su centro.
c) Las coordenadas de sus vértices.
d) Las coordenadas de sus focos.
e) Las ecuaciones de sus asíntotas.
Solución
a) La forma reducida
Se agrupan los términos con la misma variable y el término constante se pasa al lado derecho de
la ecuación:
(16x 2 2 192x) 1 (29y 2 1 72y) 5 2288
Luego se factorizan las expresiones agrupadas sacando de factor el coeficiente del término cuadrático:
16(x 2 212x) 2 9(y 2 2 8y) 5 2288
Enseguida, completa los trinomios cuadrados perfectos en cada uno de los binomios y sumar los
valores necesarios también del lado derecho de la ecuación:
2
2 12
2
16a 12
12 8
x - 12x+ a kk
2
-9ay - 8y+ a kk
2
= - 288 + 16a k 2
- 9a
k 2
2 2 2
Ahora se factorizan los trinomios cuadrados perfectos y se simplifica el lado derecho:
16(x 26) 2 29(y 24) 2 5 144
246

Lección 5
Y dividimos ambos lados de la ecuación entre 144:
2
2
16^x
- 6h
9^y
- 4h
144
144
-
144
=
144
Finalmente, al simplificar en ambos lados obtenemos la forma reducida:
^x
- 6h
9
2
2
^y
- 4h
-
16
= 1
b) Las coordenadas del centro
Solución
Identificamos h 5 6 y k 5 4, entonces las coordenadas del centro son C(h, k) 5 C(6, 4).
c) Las coordenadas de los vértices
Solución
La ecuación x 2
6 y 2
^ - h ^ - 4h
9
-
16
= 1
es de la forma
2
2
^x
- 6h
^y
- 4h
2 - 2 = 1
a b
con a = 9 = 3
cuyo eje focal es paralelo al eje X. Entonces los vértices se encuentran 3 unidades a la derecha y
a la izquierda del centro C(6, 4); por lo tanto:
d) Las coordenadas de sus focos
Solución
V(6 1 3, 4) 5 V(9, 4) y V´(6 2 3, 4) 5 V´(3, 4)
Calculemos la longitud focal c mediante la relación c 2 5 a 2 1 b 2 : c 2 5 9 1 16 5 25, entonces c 5 5.
Luego, los focos se encuentran 5 unidades a la derecha y a la izquierda del centro C(6, 4); por lo
tanto: F(6 1 5, 4) 5 F(11, 4) y F´(6 2 5, 4) 5 F´(1, 4).
b
e) Las ecuaciones de sus asíntotas son de la forma y - k = !
a ^x-
hh
, entonces sustituyendo
tenemos:
es decir,
4
y- 4 = ^
3
x- 6h ;
y =
4
3
x - 4
y
4
y =-
3
x+ 12
247

4
Secciones cónicas
La gráfica correspondiente es la siguiente:
16
14
Eje y
4
y =
3
x-4
12
10
8
–4
6
4
2
C(6, 4)
F´(1, 4)
V´(3, 4) V(9, 4)
F(11, 4)
Eje x
2
–2 2 4 6 8 10 12 14 16
–2
–4
Figura 4.67
–6
–8
4
y =-
3
x+ 12
Actividad de aprendizaje 2
Para cada una de las siguientes hipérbolas, hallar:
1. La forma reducida.
2. Las coordenadas del centro de la elipse.
3. Las coordenadas de sus vértices.
4. Las coordenadas de sus focos.
5. Su gráfica.
a) 9x 2 216y 2 2 36x 1 96y 2 252 5 0
b) 144x 2 2 25y 2 1 576x 1 250y 1 35515 0
c) 36x 2 2 64y 2 2 216x 2 512y 2 3004 5 0
d) 25x 2 2 144y 2 1 50x 2 288y 1 3481 5 0
e) 576x 2 2 49y 2 2 4608x 2 19008 5 0
f) 64x 2 2 225y 2 1 1350y 1 12375 5 0
Guía de aprendizaje
Dirígete a tu guía de aprendizaje, a la sección “Dimensión 2. Comprensión” y “Dimensión 3.
Análisis” de la etapa 4 y resuelve los ejercicios siguiendo las instrucciones que ahí se presentan.
Al finalizar, compara y valida en grupo y con ayuda del docente las respuestas que escribiste.
248