Tesis sobre los intentos de demostración de la teoría de las paralelas

Tesis sobre los intentos de demostración de la
teoría de las paralelas
Georg Simon Kluegel
Traducción y notas de Ferran Mir Sabaté
November 15, 2006
Abstract
Traducción de la tesis doctoral de Georg Kluegel dirigida por Abraham
Kaestner, leída y publicada en 1763 en Goettingen, en la que hace
un repaso de los principales autores de los siglos XVII y XVIII que han
tratado el tema de la teoría de las paralelas y han cuestionado o defendido
el 5 o Postulado euclídeo. (El texto original contiene unas pocas notas a
pie de página, para distinguirlas de las notas del traductor se colocan
como notas marginales y se señalan como "Nota del autor"). Se ha mantenido
la numeración de las secciones del autor, añadiéndoles un título
para facilitar la lectura.
1 Presentación
De entre las verdades de las que se han ocupado las mentes más egregias, no
ocupa el último lugar un teorema de la geometría elemental sobre las líneas
rectas paralelas. Todas las ciencias de los mortales tienen sus enigmas; ello no es
extraño porque nuestra inteligencia, restringida, limitada e ignorante, no puede
conocer las razones y las causas de multitud de acontecimientos. Sin embargo,
no sé si esto es culpa de nuestra razón o de la verdad que puede ser descubierta en
la propia geometría y que, en el ánimo de quienes se preparan para entrar en este
santuario, no pueden abandonar ningún temor de error si no que deben superarlo
para poder hacerlo. Hay verdades que pueden ser demostradas en geometría sin
la ayuda del postulado de las paralelas; pero también las hay que lo precisan para
ser demostradas. A ello hay que añadir que no tenemos nociones precisas de las
líneas rectas y curvas; de…niciones sin las que no podemos desarrollar la teoría.
Y estas de…niciones son siempre oscuras. Nada se podrá oponer a la geometría,
si en su inicio ponemos proposiciones cuya verdad no procede de un raciocinio
válido sino de la clara noción que tenemos de la línea recta. Tal es el axioma
11 1 de Euclides, dos rectas que inciden en una tercera con ángulos menores que
1 Se re…ere al 5 o postulado aunque lo numere con el 11. En algunas obras se le cita con
este número ¿Puede ser debido a que las primeras traducciones de los Elementos no tenían la
estructura actual?
1

dos rectos, prolongadas al in…nito, se intersecarán por el lado en que los ángulos
son menores que dos rectos. Muchos estudiosos han intentado demostrarlo a
partir de los otros axiomas, pero las demostraciones que intentaron no eran
correctas. Otros lo sustituyeron por otros axiomas que no eran ni más claros ni
más evidentes que el euclídeo. Por ello, si todos los intentos han sido fallidos,
es claro que Euclides puso entre los axiomas una proposición que no puede
demostrarse a partir de los demás. Por consiguiente, no me parece que sea vano
presentar las distintas teorías de los matemáticos sobre las paralelas expuestas
publicamente. Creo que esta presentación no corresponde sólo a la historia de
las matemáticas, sino también a la de la inteligencia humana. Antes de empezar,
no puedo sino decir cuánto de este trabajo debo al Excmo. Presidente 2 , quien
no sólo me indicó libros muy raros y los discutió conmigo con generosidad, sino
que también re‡exionó sobre el conjunto de la obra. Por ello le estoy sumamente
agradecido: porque conoce el tema y lo juzgará como si nada hubiese leído.
2 El problema de las paralelas
Para empezar, explicaré dónde se hallan las di…cultades en la doctrina de las
paralelas. Aceptando la de…nición euclídea de paralelas como rectas que no se
intersecan, se puede demostrar que cualesquiera dos rectas que se intersecan con
una tercera con ángulos interiores iguales a dos rectos, son paralelas. Pero sin el
postulado euclídeo no se pude demostrar la inversa: que todas las paralelas son
ambas intersecadas por cualquier recta incidente. Muchos, sea por el obstáculo
del que he hablado, sea por que ignoraban totalmente la serpiente oculta en
la hierba, en lugar de esta de…nición, la han sustituido por otras de…niciones
tomadas de sus opiniones sobre las paralelas. Sin embargo, su posibilidad debe
ser demostrada para que no sea un sin sentido o que por sí misma no se pueda
considerar así. Tal es la de…nición que usan la mayor parte de los que han escrito
sobre elementos de geometría: que dos rectas son paralelas si, estando en el
mismo plano conservan siempre la misma distancia entre sí. Es bastante obvio
que se asume que la línea que equidista siempre de una recta es también una
recta; lo que se sigue de la experiencia y del juicio visual, no de la naturaleza de
la línea recta. Pero hay más a continuación. Ya que existen diversas de…niciones
de paralelas, no me parece inapropiado agrupar a los autores que he consultado
entre los que usan la de…nición euclídea y los que usan otras de…niciones. Así
veremos bien las verdaderas conexiones entre ellos y compararemos mejor las
demostraciones a…nes, ignorando la época en que fueron escritas. No tratamos
la historia de los conocimientos que se han ido incrementando gradualmente.
3 Proclo
Proclo trata muchos de estos argumentos en su Comentario al Libro I de los
Elementos de Euclides, con quienes conocían el griego, en Basilea, Hervagio,
2 Se re…ere a Abraham Kaestner, presidente del tribunal que evaluó la tesis.
2

1533 in folio.
Al …nal del Libro 2, página 49, donde ilustra la de…nición de paralelas dada
por Euclides, dice que es la misma que la de Posidonio, quien a…rma que son
equidistantes. No dice nada contra esta de…nición y mantiene la euclídea a
continuación, y de…ende este axioma contra las objeciones de los so…stas. No
obstante, no parece que la noción de paralelas sea su…cientemente clara para
él. Dice que hay líneas no concurrentes que no son paralelas, como ya había
dicho Gémino de la hipérbola, mostrando que la convergencia de algunas líneas
no es convergente (asíntotas 3 ). Ciertamente, de la de…nición euclídea de rectas
concurrentes, es lícito llamar paralelas a las que nunca se intersecan.
En el libro 3 o , página 53, el axioma 11 (que al mismo tiempo es el 5 o pos-
tulado ) lo deriva de las nociones comunes y lo incluye entre los teoremas. Y P r o c lo s e r e …e r e
considera ridículo que una proposición, cuya inversa puede demostrarse, sea indemostrable
ella misma. Dejaremos que los lógicos decidan sobre ello, aunque
me parece que al poner el enunciado con las mismas palabras invertidas, se
diferencia notablemente del original.
a l a x i o m a 1 1 e n t r e
l o s p o s t u la d o s ,
s e ñ a l á n d o lo c o n
e l o r d in a l Q u in t o .
L l a m a a x io m a s a
l a s p r o p o s ic io n e s in -
d e m o s t r a b le s q u e s o n
c o m u n e s a t o d a s la s
c i e n c ia s , v e r d a d e r o s
p o s t u l a d o s q u e
t a m b i é n s e r e …e r e n a
l a g e o m e t r ía . [N o t a
d e l a u t o r ]
En el Libro 3 o no se explica el intento de Ptolomeo , quien quiso establecer C l a u d i o y n o
la verdad del postulado de Euclides. Termina el libro “sobre todo esto ....” 4
razonando así: (…gura 1) Si la recta EF incide sobre dos paralelas AB y CD formando
en la dirección CA ángulos interiores iguales, mayores o menores que dos
rectos, hacia la dirección opuesta formará ángulos iguales, menores o mayores
que dos rectos, respectivamente. Pero las paralelas EB y FD no son menores que
AE y CF y, por tanto, tampoco los ángulos en la dirección BD serán menores
ni mayores que dos rectos. C.Q.D. Pero, como Proclo, lo niego; porque estimo
necesario demostrar esto último, es decir, que la idea de las paralelas no nos
permite a…rmar que los ángulos del lado A,C son iguales que los del lado B,D.
El propio Proclo supone que el axioma euclídeo demuestra que la distancia
entre dos líneas rectas que parten del mismo punto con un ángulo arbitrario
llega a ser mayor que cualquier distancia de…nida. Este axioma también es
utilizado por Aristóteles (De caelo, Libro I Capítulo 5) para demostrar que el
mundo es …nito. Pero si lo es, ¿por qué consideramos más claro y cierto el
3 En griego en el original: " " &o
4 En griego en el original.
3
P t o l o m e o f u e q u ie n
l o e s t a b le c ió ; e s c r it o
b a j o c i e r t o t ít u lo q u e
n o c i t o p o r ile g ib le
p o r Fa b r ic io B ib l.
G r a e c . L ib r o I V
C a p ít u lo 1 4 . V iv ió
a n t e s q u e P r o c lo
y d e s p u é s q u e e l
a s t r ó n o m o P t o lo m e o
c o m o e n s e ñ a R ic c i-
o lu s e n s u C r ó n ic a
d e A s t r o n o m ía
A l m a g e s t o y t a m b ié n
Fa b r i c io e n v id a d e
P r o c lo ( e d it a d o e n
H a m b u r g o e n 1 7 0 0 ) ,
y P r o c lo e s c r e íb le ,
c o m o P t o lo m e o q u e
n o a ñ a d ió n a d a
n u e v o , p o r s u c é le b r e
i n t e l e c t o . [N o t a d e l
a u t o r ]

postulado euclídeo? Nos basamos en el siguiente principio: que una magnitud
que reconocemos siempre creciente, toma siempre incrementos iguales o, al
menos, …nitos; será claro que el enunciado es universal. Sin embargo, no me
parece un hecho probado. Ya que, aceptando que la perpendicular entre ambas
rectas, que mide su distancia, puede llegar a ser in…nitamente grande, ¿dónde
sucederá esto? Por ejemplo: ¿a una distancia …nita de la intersección? ¿o in-
…nita? Si se da lo primero, lo es con el axioma euclídeo. Si se da lo segundo, de
ninguna manera será distinto de él. El axioma de Euclides será siempre particularmente
verdadero si pueden trazarse perpendiculares entre las distintas rectas
que parten de un punto con ángulos agudos. Pero lo que está en cuestión es
si estas perpendiculares pueden tener cualquier distancia por grande que sea.
Proclo y sus seguidores, al aplicar su axioma para demostrar el euclídeo, suponen
tácitamente que todas las paralelas tienen una distancia …nita entre ellas.
Si los ángulos DFE y GEF son menores que dos rectos, se prolonga EB de tal
forma que BEF +DFE = 2R, y la distancia entre las rectas EB y EG superará
cualquier magnitud dada, y así también el intervalo entre las paralelas EB y
FD. Pero ¿y si dijéramos que las paralelas se separan cada vez más?Alguien que
niegue el exioma euclídeo podrá demostrarlo perfectamente.
4 Saccheri 1
Entre los más recientes, nadie ha estudiado con más detalle esta cuestión como
Jerónimo Saccheri 5 , profesor de matemáticas ticinés, de la Compañía de Jesús,
quien ha defendido a Euclides de sus críticos que impugnaban el teorema de
las paralelas, las de…niciones de igualdad y la composición, editando un libro
titulado: Euclides ab omni naevo vindicatus, sive conatus geometrici, quo stabiliuntur
prima ipsa universae geometriae principia. Milán, 1733. En cuarto.
142 páginas.
5 Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733). Jesuíta, profesor de Filosofía en Turín y Pavía.
La obra citada fue ampliamente comentada por Beltrami a …nales del siglo XIX después de
largos años de desconocimiento de su existencia. Existe traducción inglesa por George Bruce
Halsted en Chelsea Publishing Co. New York, 1986.
4

El autor dedica el primer lib ro de este trabajo a demostrar el axioma de
las rectas paralelas de Euclides. Es fácil comprobar que no puede hacerlo, sin
permitir algo de humano, ya que al demostrar el teorema, que equipara a una
noción común, usa tantos rodeos que su demostración ocupa más de cien páginas.
Intentaré exponer a continuación su estudio. Demuestra en primer lugar
(…gura 2) que si sobre una recta arbitraria GE, se levantan dos perpendiculares
iguales, GA y EC y se unen los puntos A y C; los ángulos formados en A y en
C son iguales. Entonces formula tres hipótesis, según la forma de los ángulos
ACE y GAC, que deben ser o bien rectos o bien agudos o bien obtusos. Y les da
nombre. Demuestra también que sólo una de las hipótesis puede ser verdadera,
si lo es un solo caso. Es decir, si se puede demostrar en un caso particular que
son, por ejemplo, rectos, siempre lo serán, independientemente de la longitud
de las líneas GA y AC.
Con las proposiciones 11 y 12 (…gura 3) demuestra, a partir de las hipótesis
del ángulo agudo y obtuso, que en dos rectas AD y AB que forman ángulo agudo
DAB, la perpendicular PL elevada sobre AB [o su prolongación], interseca AD
[o su prolongación] a una distancia …nita AL. De ello concluye que la hipótesis
del ángulo obtuso se destruye por sí misma y, por consiguiente, que la hipótesis
del ángulo recto es la única verdadera. A continuación, el autor se dedica, con
muchas conclusiones, al estudio de lo que se deriva de la hipótesis del ángulo
agudo. Con ello se descubren muchas cosas super‡uas, verdaderas en todos
los aspectos pero sin la elegancia que requieren las demostraciones geométricas
cuyos mejores ejemplos se hallan en los antiguos geómetras. Mediante éstas, el
autor, que realiza grandes rodeos, sigue la hipótesis mencionada, de tal forma
que nada puedo oponer a sus demostraciones; sin embargo, pre…ero someterme
al axioma euclídeo, cuya verdad, clara como noción perspicua se asume sin
peligro, que esperar que, al hacer tan oscuros raciocinios, no se cometa error
alguno.
5

En la proposición 23 demuestra Saccheri que dos rectas AX y BX en el mismo
plano o bien tienen una perpendicular común, que es recta, si se da la hipótesis
del ángulo agudo, o bien, en las otras hipótesis, si se prolongan inde…nidamente
se acercarán cada vez más excepto cuando a una distancia …nita se intersequen
(…gura 4). Considera entonces las líneas rectas que no tienen perpendicular
común sin aceptar que se corten a una distancia …nita. Sea XBA recto y BAX
agudo y AX acercándose cada vez más a BX, pero sea la distancia entre ellas
siempre mayor que alguna magnitud dada, como demuestra en la proposición
25, entonces destruye la hipótesis del ángulo agudo. Por ello abandona que la
distancia entre ellas pueda llegar a ser menor que una magnitud dada, porque
dice que podrían intersecarse en el in…nito; de hecho, entonces, no tendrían
ningún punto en común en ningún sitio. Si ello fuera así, el triángulo AXB (con
base en AB y ángulos en A y B) estaría determinado perfectamente, y por ello
XB sería …nita, lo cual es contradictorio. Ya que el in…nito es indeterminado por
su propia naturaleza,.Saccheri, sin embargo, acepta este caso como verdadero,
como si las rectas AX y BX se encontrasen de hecho en un punto. Y en la
proposición 28 y siguientes va a demostrar que, en la hipótesis del ángulo agudo,
las dos rectas AX y BX tienen una perpendicular común en un punto. Al
trazar las perpendiculares LK, HK, etc. desde BX hacia AX, demuestra que los
ángulos en L, H, etc. son siempre más pequeños, y se van acercando a un recto
cuanto más distantes están del punto A. Y así, si el ángulo ALP (…gura 3) está
dado y subtiende a la perpendicular AP, mayor que AB, podemos entender BK
(…gura.4) = LP (…gura.3) y CB (…gura.4) = AP (…gura.3), levantada en BX la
perpendicular DK, el ángulo ADK –R será menor que ALP (…gura.3) o CKB
(…gura.4). De esta forma no se consigue que ADK llegué a ser recto; por otra
parte, si ello debe suceder, aceptando lo que ha sido proclamado vulgarmente
sobre el in…nito, podría ser demostrado que en algún punto ADK –R no será
mayor que el ángulo evanescente ALP. Quien lo acepte, no es nada si no puede
ver que LP debe ser in…nita, para que, siendo AP …nita, ____________
Aceptada, pues, la demostración de Saccheri, hay que aceptar que ADK puede
llegar a ser recto cuando BK es in…nita. Y el propio Saccheri no lo niega, ya
que demuestra, a partir de esta proposición, un corolario: que en un punto X
6

en el in…nito ambas rectas tienen una perpendicular común. Ningún absurdo
se seguiría, si dijéramos que el ángulo X, en el que se cortan en el in…nito las
rectas AX y BX, llega a ser nulo. Saccheri no demuestra que es …nito ya que su
demostración no es apropiada porque supone que AP>AB y LP

Desgraciadamente, no entiendo esta curva, que fue estudiada por uno de los
geómetras más eruditos, Vitale Giordano de Vitonto 6 , cuyo trabajo Saccheri
deja totalmente olvidado. Ver infra § 16.
6 Hausen
Espero obtener la venia del lector, aunque se encuentre cansado por estas
demostraciones tan largas y prolijas. Para conseguirlo, expondré una más breve
de Chirstian August Hausen 7 , en su libro Elementa Matheseos (Leipzig, 1734).
En el escolio 4 de la proposición X (…gura 3) demuestra que si desde un punto
L dado se traza una recta inclinada LA sobre la recta PA y se traza la recta LP
con un ángulo dado ALP, el ángulo de LP será mayor. De ello in…ere, en el caso
I de la proposición 13, que si el ángulo en P es recto y AL agudo, la recta LA
no puede dejar de intersecar AP, porque no se puede trazar una recta desde el
punto L a la recta AP con un ángulo mayor que ALP, lo que contradice el escolio
4. Y de este escolio verdadero, porque LA intersecará AP o la prolongación de
AP si el ángulo ALP es mayor y puede ser inclinada respecto a PL, deduce: si
la intersección no está garantizada no será absurdo que desde L no se pueda
inclinar rectas con ángulos mayores a ALP. Queda suprimida la condición del
escolio.
7 Malezieu
Ahora estamos dispuestos para explicar la demostración que usan muchos, para
probar (…gura 5) que si cualquier recta AB se interseca con dos recta BH y AG
con ángulo recto en una y oblicuo en la otra, la perpendicular levantada en la
primera, hacia la misma parte de la recta AB, es siempre mayor o menor que
AB. Este es el método utilizado por Malezieu 8 en sus Elemens de Geometrie
de Monseigneur le Duc de Bourgogne en Paris, 1722.
6 Vitale Giordano da Bitonto (Bitonto, 1633; Roma?, 1711). Militar al servicio de la
república veneciana, se embarca en una expedición contra los turcos. A su regreso empieza
el estudio de las matemáticas y llega a obtener la cátedra en la Universidad La Sapienza de
Roma en 1685. En 1680 publica su “Euclides restituto” (¿Traducción al italiano de la obra
del mismo título en latín de Borelli?). Bibliografía: Tampoia, Francesco. Vitale Giordano.
Un matematico bitontino nella Roma barocca. Armando Editore. Roma, 2005.
7 Christian August Hausen (Dresde, 1693; Leipzig, 1743), matemático poco conocido. Doctorado
en la Universidad de Halle (1713) bajo la dirección de Johann Wichmannshausen, fue
el director de la tesis de Abraham Kaestner (1739) quien, a su vez, dirigió la tesis que estamos
traduciendo.
8 Nuevamente se trata de otro personaje poco conocido: Nicolás de Malezieu (Paris, 1650;
Paris, 1727). A pesar de ser miembro de la Academia de Ciencias desde 1699, la obra citada
parece ser la única que publicó sobre matemáticas. Editada inicialmente en 1705, se tradujo
al latín en 1713 y se reeditó en 1722, 1729 y 1735. Ver Obituario de Fontenelle en pdf. Según
parece, la obra consiste en los apuntes que tomó el propio Duque durante las clases que le dio
el Sr. De Malezieu.
8

Esta obra, como se dice en el prefacio, está escrita por el propio Duque de Borgoña
en los años 1696 y siguientes, con las conversaciones mantenidas con su
maestro, señor de Malezieu, con las cartas intercambiadas y con las demostraciones
que le acostumbraba a ordenar. Sin embargo, tendré que ser cuidadoso
con un editor que asume los errores de su discípulo. En la proposición I del libro
II quiere demostrar que si (…gura 5) la línea AB es perpendicular a CD y oblicua
a EF, entonces toda recta GH también perpendicular a CD, será oblicua a EF
y cuanto más cercana esté a la intersección de EF y CD, será también menor.
La primera demostración peca de lo mismo, ya que, elaborada negligentemente,
omite muchos aspectos que era necesario considerar con cuidado; sobre todo que
se supone secantes a las dos rectas EF y CD y que se extiende la demostración
de que la recta EF es oblicua a AB a las secantes siguientes en B. El autor traza
una perpendicular a EF en el punto A; por otra parte levanta otra perpendicular
en el punto C donde la primera interseca a CD. Y procede de esta forma
hasta que llega a la recta LH, obteniendo el último punto H a partir del que las
intersecciones estarán más allá. Asume así tres proposiciones sin demostración:
(1) una perpendicular de la recta CD, al prologarla intersecará EF y (2) con
ángulo oblícuo; y (3) los puntos en los que las perpendiculares levantadas desde
CF 9 intersecarán la propia CD, caerán …nalmente más allá de H. Además, el
remedio que se le puede poner a la demostración, si la cuestión fuese los ángulos
obtusos de las perpendiculares sobre las partes, no sería verdad si desde ellas,
que caen en la otra parte, excepto si se añade la condición de que las rectas EF
y CD se intersecan. Y ahora, razona así en la siguiente proposición: si PR fuese
la perpendicular en A a AC, la prolongación de PR cortaría las perpendiculares
a CD, que serían iguales; pero por otra parte EF prolongada bajo un ángulo
oblícuo interceptaría partes desiguales. Nada dice de la intersección de las rectas
EF y CD, por lo que no puede invocar en su ayuda la proposición precedente.
9 Probablemente una errata de imprenta. Parece referirse a EF.
9

8 Kaersten
Dicho esto. La misma línea adopta, pero con mucha mayor exactitud 10 la
demostración dada por el celebérrimo Kaersten 11 en Mathesi theoretica elementari
atque sublimiori Rostock y Greifswald, 1760. Demuestra de forma
clara en la segunda demostración de la parte 91 (…gura 5) que las perpendiculares
sobre las partes con ángulo obtuso son siempre mayores, o estas AC, CM,
etc. levantadas alternativamente sobre CD y EF, intersecan a estas rectas o no.
Pero la primera parte de la demostración no es vista por él mismo felizmente
completada.
Demuestra (…gura 6) que si desde B a G, desde G a H, etc. se trazan alternativamente
perpendiculares, entonces será AB>GH, GH>IK, y así sucesivamente.
Por eso, las perpendiculares a BD son decrecientes, hasta el punto donde la
propia BD termina, pueden trazarse perpendiculares a AC que caerán hacia
la parte de CD: es decir, los ángulos HGC, KIC, etc. siempre permanecerán
agudos. Por que si uno de ellos fuese recto, las perpendicualres estas BG, HI,
etc. nunca llegarían a CD, porque ninguna perpendicular levantada sobre BD
llegaría más allá de lo común; el ángulo ACD, como en la hipótesis del ángulo
agudo de Saccheri, sería agudo. Entonces demostrará su…cientemente, la disminución
de las perpendiculares alternativas BG, GH, HI, etc. y que los ángulos
G, I, etc. siempre son agudos, o bien, lo que es lo mismo, que AG+GI+IC+etc.
cada vez será mayor.
10 En griego en el original: " .
11 Se trata de Abraham Gotthelf Kaestner (1719-1800), director de la tesis de Klugel y,
también, director de tesis de Pfa¤, quien a su vez lo fue de Gauss. Según parece fue un excelente
profesor de matemáticas, a pesar de que Gauss no asistía a sus clases por considerarlas
demasiado elementales.
10

9 al Tusí - Clavius - Campanus
Fue el árabe Nasarradinus 12 quien intentó una demostración del axioma euclídeo,
reeditada en latín por Edward Pocock 13 , como expone Wallis 14 en sus
lecciones públicas en Oxford de 1651. Está inserta en el tomo 2 de su obra, pag.
669 y siguientes como Discusión geométrica sobre el 5 o postulado y la de…nición
5 a del Libro 6 o de Euclides. Éste sigue el mismo camino y orden que aquel, como
el celebérrimo Kaersten ha señalado, excepto que asume como lema, que acepta
como demostrado, que las perpendiculares hacia la parte aguda siempre serán
menores; no de…ne …nalmente, si puede ser verdadero que el ángulo como KIC
pueda ser recto. De ahí que esta demostración no puede ser absoluta para todos
los números. Quizás lo haya sido cuando Clavius 15 la entendió en árabe tanto
como al ser descubierta por Euclides, pero escogió el escolio 28.1 compartiendo
con él el hecho fallido. No ha sido encontrado en el Euclides en árabe usual,
que Campani 16 tradujo al latín, como enseña el excelentísimo presidente 17 en
la pág 11 de la carta al cardenal Quirino (Leipzig, 1750) en la que describe las
primeras ediciones de Euclides que se han publicado después de la invención de
la tipografía.
10 Wallis
El propio Wallis intentó una demostración, ciertamente bajo la dirección de Savilio
18 , que como profesor suyo que fue (fundador de la cátedra de geometría en
Oxford), se la encargó. Entre los axiomas controvertidos de Euclides se supone el
referido a las rectas. Por principios entendemos no sólo aquello que no podemos
demostrar, sino también aquello cuya luz es clara y que no precisa demostración.
Lo que me parece correcto si, al quitar nuestro axioma, no se puedan inventar
verdades o nociones comunes con las que reconocer más fácilmente la verdad.
Lo que deplora en los otros es la substitución por otros axiomas menos aptos y
más inciertos que el euclídeo, y él mismo me parece que no lo evita.
12 Se re…ere a Nasir al-Din al Tusí (1201-1274). Ver Rosenfeld pgs 74 y ss.
13 Edward Pococke (1604-1691) fue un brillante …lólogo y orientalista. No se le conocen
obras matemáticas. Catedrático de árabe en Oxford desde 1636 y de hebreo desde 1648. Hizo
numerosas traducciones del árabe, del hebreo y del latín. Aunque también podría tratarse de
su hijo Edward (1648-1727) también conocido arabista.
14 John Wallis (1616-1703)
15 Christopher Clavius (Bamberg, 1538; Roma, 1612). Matemático y astrónomo alemán.
Publicó una edición de los Elementos de Euclides en 1574.
16 ¿Se re…ere a Campanus de Novara (Novara, 1220; Viterbo, 1296) que publicó una edición
latina de los Elementos?
17 Se supone que se re…ere a Abraham Kaestner presidente del tribunal. Sin embargo parece
difícil encontrar la carta a la que se re…ere.
18 Henry Savile (Bradley, 1549; Eton, 1622). Astrónomo y matemático inglés, fundador de
la cátedra de Geometría de Oxford en 1619; también fundó la de Astronomía.
11

Después también demuestra que (…gura 3) cualquier línea AL con ángulo LAP
agudo permaneciendo en el mismo lado de la recta AP, traslada todos su puntos
a través de LP, como mueve el punto A sobre el P; supone gratuitamente que
puede ser construida una …gura similar cualquiera de distinta magnitud. Dice
que la de…nición euclídea de …guras similares, si hubiese sido considerada en sí
misma, podría anteponerse al Libro Primero. Pero no ha podido demostrar que
los triángulos con todos sus ángulos iguales, son similares, excepto si asume el
axioma 11 19 . Porque quien lo niega, no puede decir que el postulado de Wallis
sea contradictorio. Incluso podrá demostrar que ningún triángulo, excepto los
iguales, puede ser similar a otro.
Y que en el triángulo BAC (…gura 7) estudiará si el ángulo exterior CAD es
mayor o menor que la suma de los dos ángulos internos opuestos. Y también
que, si se demuestran iguales en un caso, en todos los demás casos debe admitirse,
como se puede demostrar fácilmente. Con ello se destruye la verdad
de la hipótesis. Porque la suma de los ángulos del triángulo CAD es mayor o
menor que los del triángulo BCD, de la misma forma que los del triángulo AED
19 Nuevamente se re…ere al 5 o Postulado
12

(construido con el ángulo EAD igual a CBD) son mayores o menores que los
del triángulo ACD, o sea que también como los del triángulo BCD. Entonces
el ángulo AED es mayor o menor que el ángulo BCD; y por ello, los triángulos
BCD y AED no serán similares, a pesar de tener dos ángulos iguales. Y no se
puede invocar el postulado de Euclides que a…rma que con un centro e intervalo
dados se puede trazar un círculo. Esto también es bien conocido por la simplicidad
de la operación, como se requiere en la construcción de …guras similares la
proporcionalidad de todos sus lados y la igualdad de todos sus ángulos. No se
adivina fácilmente si todo ello puede ser asumido simultáneamente. No parece
que sea evidente esta argumentación sobre el círculo como …gura; Euclides no
postula que se pueda construir un círculo similar a otro.
11 Segner y Kaersten
Entre ellos se cuentan mis eminentes y laureados profesores Segnerus 20 y
Karsten. El primero en Elementis Arithmeticae, Geometriae et Calculi Geometrici,
Halle Magdeburgo, 1756. y en Den Vorlesungen über die Rechenkunst
und Geometrie, Lemgo, 1747. Postula en el capítulo 9 de su primera obra que
dos líneas rectas coplanares trazadas desde el mismo punto, se separan una de
la otra de forma continua y regular 21 , de forma que el intervalo entre ambas
puede llegar a ser mayor que cualquier magnitud dada. Aquí hubiese deseado
que el ilustrísimo autor explicase de forma distinta qué es separarse regularmente.
También creo que ello puede obtenerse una vez establecido el teorema
de las paralelas. Por ello, capítulo 10, a…rma que toda línea AC prolongada por
el punto A hacía otra exterior BD, se intersecarán, si aceptamos su postulado.
Si no fuese cierto, tendrían siempre la misma distancia prolongadas hasta el
in…nito. Pero no proporciona ninguna demostración.
20 Johann Andreas von Segner (Bratislava, 1704; Halle, 1777). Médico, astrónomo y
matemático húngaro. Estudió medicina en la Universidad de Jena y fue el primer profesor
de matemáticas en Gotinga (1735). En 1755 se trasladó a la Universidad de Halle. Autor
de numerosos y exitosos libros de texto.
21 Cursivas en el original.
13

Es por ello que dice, en el capítulo 11 (…gura 8), que cualquier recta por el punto
F entre los lados del ángulo DEB, intersecará a alguno de ambos lados. Lo que
se deduce correctamente de lo anterior, si lo asumimos como verdadero por su
luz resplandeciente. Sin embargo, no han sido vistos, incluso si nadie duda
de ello, los intentos de demostrarlo que muchos e insignes matemáticos han
intentado para su demostración. Verdaderamente, los lados del ángulo, a pesar
de que siempre se están alejando, podrían distanciarse siempre en un intervalo
…nito, como se aleja siempre la hipérbola de una paralele a la recta asintótica
construida en su interior, y no más allá de la distancia entre la paralela y la
asíntota. Las mismas rectas paralelas podrían saltarse a si mismas mutuamente.
Este absurdo no está establecido legítimamente por el raciocinio ni por la noción
distinta de línea recta y curva, sino por el juicio y la experiencia de los ojos, a
los que estamos acostumbrados, y porque juzgamos universal lo que es en un
caso singular.
12 Kaersten
El celebérrimo Kaersten en Praelectionibus Matheseos theoreticae elementaris,
editada en Rostock y Weismar, 1758, asume como principio este teorema que el
ilustrísimo Segnerus demostró en el capítulo 11 desde los dos axiomas. Por ello
me corresponde hablar sobre esto, por el cambio en el método de demostración.
Me parece que debo asumirlo porque está cuestionado.
Si pueden trazarse (…gura 1) varias paralelas a la recta CD por el mismo punto
E, desde un punto cualquiera F, situado en la recta CD, se podrá trazar una
recta (como la propia CD) que prolongada nunca intersecará alguno de los lados
AE y EG, cuyo punto F cae al lado del punto E.
13 Koenig - Kuypers
Serán útiles los Élémens de Géometrie, contenant les six premiers livres d’Euclide,
mis dans un nouvel ordre et à la portée de la Jeunesse sous les directions de
14

Mr. Koenig 22 et revûs par Mr. Kuypers 23 La Haya, 1758. En lugar del axioma
de Euclides pone otro: (…gura 1) teniendo la recta EG ángulos alternos iguales
con las paralelas AB y CD, interseca a una y también intersecará la otra. En
realidad este axioma es igual que el de Euclides. Toda recta EG que esté inclinada
respecto CD, de forma que los ángulos GEF y EFD sean menores que dos
rectos, necesariamente intersecará la recta AB porque se da que BEF+EFD=
2 rectos. El autor considera que el propio Euclides da por hecho este nuevo
axioma, evidente por sí mismo, en la preparación de las demostraciones de las
proposiciones 30 y 31 del Libro I, ya que ‡uye de forma inmediata del axioma 11.
Y acostumbra a utilizarlo en cualquier momento aunque no ha proporcionado
demostraciones ni nociones distintas.
14 Kaersten
Ahora llega el momento de recordar a un hombre, egregio en la República Literaria,
de amplios méritos y de mente siempre celebrada, Abraham Gotthelf
Kaestner, quien en Elementis arithmeticae et geometriae, escrita en el idioma
patrio, Anfangs-Gründe der Arithmetik, Geometrie, Trigonometrie und Perspective.
Göttingen 1758, no demuestra el axioma euclídeo (como hace constar
en el prefacio) si no que ofrece una elucidación del axioma 11 en el corolario
2-6, para quien lo ignore y no crea en lo persuasivo de su verdad. No será necesaria
una larga explicación de su método puesto que el libro circula en manos
de todos. La fuerza de su razonamiento se expone aquí: (…gura 1) como que
la recta EG produce dos ángulos GEF y EFD que, sumados, son menores que
dos rectos, si decimos que no intersecará a FD, movida sobre EF con ángulo
invariable GEF (como por ejemplo hasta la posición eg) comprobamos que interseca
la línea FD. Ningún punto de intersección, como g, puede ser el primero,
porque en los segmentos gD y eE siempre existirán puntos por los que debe
transitar necesariamente la recta GE para llegar a g. Además, si EG y FD no
fuesen concurrentes, se podria considerar cierto que eg interseca a esta FD, de
forma que los ángulos Feg = FEG; y no existe ninguna razón para pensar que el
triángulo Feg sea posible mientras el triángulo cuya base es FE (mayor) y con
ángulos iguales en la base, sea imposible 24 .
22 Johann Samuel König (Budingen, 1712; Zuilenstein, 1757). Abogado y matemático
alemán, Estudió en Berna con los Bernoulli y en Marburgo con Wol¤. Amigo de Maupertuis
y de Voltaire, miembro de las Academias de ciencias de Paris y de Berlín, profesor en Holanda
y bibliotecario del príncipe Guillermo IV de Orange.
23 Autor desconocido del que no he encontrado referencia alguna.
24 Es muy interesante este razonamiento. Hoy sabemos que las proposiciones "existen triángulos
similares" o "para todo triángulo existe uno similar de tamaño arbitrario" son equivalentes
al 5 o postulado. Aquí Kaestner lo rechaza sin demostración (según Kluegel). Wallis lo
había dado por sentado en un razonamiento parecido.
15

15 La noción de equidistancia
De entre quienes han mantenido la de…nición euclídea y se han permitido referirse
a ella, estos son los intentos más memorables. Ahora me preparo para explicar
el destino de nuestro teorema entre quienes, cambiando la de…nición de paralelas,
han dicho que son equidistantes. También pueden distinguirse entre ellos
distintos grupos. En el capítulo 2, ya he señalado que en esta de…nición está
escondido el teorema o el axioma: que una línea recta que se desplaza sobre otra
siempre con el mismo ángulo, traza en el otro extremo una nueva línea recta.
Las de…niciones mediante palabras de sentido aceptado, que explican una cosa
incluyéndola en la de…nición, no son concluyentes. Así, Euclides enseña que el
cuadrado es una …gura cuadrilátera y rectangular, pero nadie puede a…rmar que
pueda construirse uno sin establecer el teorema de las paralelas. Tampoco está
permitido usar primero estas de…niciones y construir verdades, incluso latentes
en ellas, por muy claras que sean, ya que unir las nociones a las de…niciones
sin que se contradigan, es una ley que Euclides siempre observó. Por ello, unos
pocos han querido demostrar que es recta la línea que se obtiene en el extremo de
la recta que se mueve con el mismo ángulo sobre otra recta. Otros, a cuya masa
total podemos considerar como escritores vulgares, han aceptado esto en lugar
del axioma, y han ignorado totalmente que era de su incumbencia demostrarlo.
16 Giordano
Al primer grupo pertenece la obra publicada en Roma en 1680 que lleva por
título Euclide restituto, overo gli antichi elementi geometrici ristaurati e facilitati
escrita por Vitale Giordano da Bitonto 25 , catedrático de matemáticas en
la Real Academia fundada por el Rey Cristianísimo en Roma. El autor llama
rectas paralelas, según la de…nición 34, a las que, prolongadas, ni se acercan
ni se alejan. Y promete demostrar la posibilidad de existencia de tales rectas.
Satisface la promesa, con un intento, después de la proposición 23, en el que
pretende demostrar que la línea cuyos puntos singulares caen sobre una recta
con perpendiculares iguales, también es recta.
25 Giordano, Vitale (Bitonto, 1633; Roma?, 1711). Militar en Venecia y Profesor de
matemáticas en Roma. Algún autor a…rma que su obra es una traducción al italiano de
Borelli, Giovanni Alfonso. Euclides Restituitus, sive prisca geometriae elementa, brevius,
et facilius contexta, in quibus precipue proportionum theoriae, nuova …rmiorique methodo
promuntur. Pisa, 1658.
16

Entonces vuelve a su enunciado V, (…gura 9): si ABC es una curva cóncava hacia
D, desde cuyos innumerables puntos caen perpendiculares a cualquier recta, éstas
no serán iguales entre sí. Y cree demostrarlo de la siguiente forma: uniendo
dos puntos de la curva mediante la recta AC a la cual se traza una perpendicular
BD desde el punto B de la curva. Se prolonga BD hasta obtener un DF
arbitrario y sobre el punto A se erige una perpendicular AG tal que AG=DF. Y
ahora demuestra que, tanto si se asume que G y F son rectos como si se asume
que son menores (lo cierto es que son iguale), la perpendicular a A desde GF es
mayor que la perpendicular a B desde GF. Y ello será válido para cualquier F
arbitrario, para las innumerables rectas trazadas entre los innumerables puntos
equidistantes a AC, como por ejemplo O y E, con AO=DE. Por otra parte,
construida otra cuerda HL, de la misma forma que antes, dice que la perpendicular
desde M a RT será menor que la perpendicular desde L a la misma recta.
Y traslada el mismo razonamiento a las perpendiculares trazadas en el interior
de la cavidad a la recta IK, determinada del mismo modo que GF. Lo que demuestra
verdaderamente el autor es lo siguiente: Dada una curva ABC puede
haber innumerables rectas, como GF, OE, IK, RT, que no son equidistantes de
cualquier punto de la curva ABC 26 . Estas diferentes rectas, de las que demuestra
esto, están de…nidas y cualquiera de ellas corta dos perpendiculares de una
cuerda construida en la curva entre dos puntos equidistantes a ella; una perpendicular
de ellas, como GAI, pasa por A intersecando cuerda y curva. Pero
nuestro hombre no demuestra con generalidad que los puntos de la curva ABC
distan desigualmente de una recta arbitraria dada 27 ; sino que se dan rectas que
distan desigualmente de ellos.
26 Cursiva en el original.
27 Cursiva en el original.
17

Empieza el capítulo 7 (…gura 2) con la recta GE entre los puntos G y E, levanta
dos perpendiculares iguales en dichos puntos, GA=EC, entonces toma un punto
cualquiera, como D, de la conexión AC con distancia DF=AG=CE. Si ello no
fuese cierto, entonces o bien DF>AG o bien DF

la perpendicular pequeña BD, ya que la perpendicular DB determina AD que,
prologada puede alcanzar el punto L desde el que se puede trazar perpendicular
a AB con distancia AP>AB. De lo que resulta fácilmente claro que, si BD no
interseca AL, no puede existir ningún punto L desde el que se pueda trazar una
perpendicular más remota que BD.
17 Hanke
En 1751 aparece en Leipzig una tesis sobre principia theoriae de in…nito mathematico
et demonstrationem possibilitatis parallelarum, cuyo autor, Friedrick
Gottlob Hanke 32 es un silesio de Bratislava. La demostración es bastante ordenada
y breve, excepto porque, omitiendo un caso, deja una puerta abierta que
puede invalidar toda su fuerza.
El autor, para demostrar que tres rectas iguales perpendiculares a otra recta
determinan otra recta al unir sus extremos, procede así (…gura 10): Dispone
un triángulo ABD rectángulo en B y construye otro igual, ACD, rectángulo en
C. Traza entonces la recta CF con ángulo ACB = ADB y la recta Bf desde
B con el mismo ángulo fBD. Y a…rma que los puntos F y f, intersecciones de
CF y Bf con la recta AD, son coincidentes. En caso contrario, dice, el punto
f estaría o bien más arriba o bien más abajo que el F. Si CF es prolongada y
no interseca la propia AB, tomamos en ella bF =FD, y el segmento Ab estará
en el interior del ángulo BAF y el triángulo AbF será igual al triángulo FCD.
Entonces, los ángulos AbF, FDC y BAF son iguales y, por tanto, mayores que
bAF. Por ello, AF > bF = FD. Pero AF = fD (en el caso de que f caiga más
abajo que F) y por tanto, fD > FD, lo cual es absurdo. Por esto, la recta CB
intersecará AB. De todo ello el autor concluye rápidamente que el punto de
intersección será B. Y también dice que como AF = FC, los ángulos AFB =
CFD y FAB = FDC, el triángulo construido de tal modo es igual al triángulo
CFD. Pero, por construcción , ni el ángulo AbF, ni el Fab o el FAB son iguales
32 No se ha encontrado referencia alguna sobre este autor. Su tesis siguen estando en los
fondos de la Biblioteca de la Universidad de Goettingen.
19

al ángulo FDC, por lo que nada impide que el pequeño segmento Ab caiga
fuera del ángulo DAB, caso que el autor ignora sin demostrarlo cuando Ab no
puede estar dentro del ángulo DAB. Pero para que Ab quede fuera del ángulo
es necesario que AF = FC < FD. Y entonces los ángulos FCD= bAF y FDC
= BAF. Y por otra parte, si Bf cayese por encima de F, el ángulo FCD sería
menor que FDB porque FD será entonces menor que FC. Y entonces el ángulo
bAF = FCD será más pequeño que el BAD = FDC. Así, del mismo modo, se ha
demostrado que, en el primer caso, Ab puede no estar dentro de BAD y no está
demostrado que no pueda estar fuera del ángulo. Lo que ha sido ignorado por
el autor. Con el mismo argumento ha sido dicho lo ambiguo que es el discurso
de la anterior demostración de que la prolongación de CF interseca AB en B.
Estaba equivocado si entendía que la recta Ab no podía quedar fuera del ángulo
BAD. Entonces está lejos de demostrar que las perpendiculares iguales se unen
en una línea recta, sino que más bien demuestra que con su método nada de ello
puede seguirse.
18 Clavius
A parte de esto, nada tengo que oponer a quien quiera demostrar que dos
rectas pueden ser equidistantes en todos sus puntos. Ya que será su…ciente
señalar que todas las demostraciones que hasta ahora he revisado tienen el
mismo error: que asumen tácitamente el axioma que pretenden demostrar. Ya
que si los autores no se equivocan, sin aceptar las demostraciones de que se
dan líneas rectas equidistantes, tampoco es correcto querer extraer el axioma
de estas de…niciones ocultas a los ojos del lector. Christopher Clavius 33 en su
Commentariis ad Euclidis elementa, Colonia 1591. fue el primero en intentar
demostrar el teorema de las paralelas, sin usar el axioma: es recta la línea cuya
totalidad de puntos equidistan de otra línea recta que existe en el mismo plano.
En efecto, nada de tortuoso se encontrará en ello, más que la línea no será curva.
Lo que es explicar y demostrar lo mismo por lo mismo. No puede aprenderse
por el pensamiento la otra línea excepto si la recta goza de esta propiedad.
Porque un axioma debe ser comprendido como verdadero sólo cuando vemos
de forma inmediata que su contrario es imposible. Aquí, no adivinamos de
ningún modo cómo es posible lo contrario. Ni siquiera considero que lo vea
brillar con luz propia su…ciente. Sin embargo pienso que nada absolutamente
se puede decir para elucidarlo y con…rmarlo, excepto si se quiere explicar lo
mismo por lo mismo. Entonces, la verdad de ello no descansaría más que sobre
la noción clara de línea recta y curva. No obstante, muchos pueden alegar a
favor de Euclides que la verdad de ello sobrepasa lo evidente, como a…rma el
33 Cristopher Clavius (Bamberg, 1538; Roma, 1612), profesor de matemáticas en el jesuíta
Collegio Romano de Roma. Participó activamente en la reforma del calendario juliano y
propuso el gregoriano de uso común actualmente. Su versión de los Elementos de 1574,
contiene aportaciones propias. Es de suponer que Kluegel utiliza una edición posterior. Ver:
L Maieru, Euclid’s …fth postulate from C. Clavius (1589) to G. Saccheri (1733) (Italian),
Arch. Hist. Exact Sci. 27 (4) (1982), 297-334.
20

excelentísimo presidente 34 en el libro primero de sus Elementis.
19 Tacquet
Andrea Tacquet 35 en su edición de los Elementos de Euclides, Amsterdam, 1683,
acusa a la de…nición euclídea de paralelas (libro 1, de…nición 36) por no explicar
satisfactoriamente la naturaleza del paralelismo, como probablemente podría
hacerse como rectas que se acercan mutuamente sin intersecarse jamás. Pero no
es necesario que una de…nición exprese la génesis del objeto de…nido, siempre
que proporcione sus características especí…cas que sean su…cientes para todo el
mundo para ser reconocido. Así, la de…nición euclídea es comparada con la que
dice que todas las paralelas son equidistantes, si todos los demás razonamientos
son correctos. A pesar de que todas las demás condiciones de las paralelas ‡uyen
fácilmente, una vez admitida de de…nición de Tacquet, invoca tres axiomas de
Euclides: (i) usa paralelas con perpendicular común, (ii) que dos perpendiculares
a unas paralelas interceptan segmentos iguales y (iii), en el teorema posterior
a la proposición 31 (que también son los axiomas 11 y 12), que puede trazarse
una recta entre cualesquiera brazos de un ángulo, que sea mayor a cualquier
otra paralela a ella. Si se puede estar convencido de todo ello con una noción
clara, se garantizará muy fácilmente el consenso en el axioma euclídeo. Y como
que, una vez aceptada la de…nición del autor, todas ellas pueden demostrarse
de forma óptima, ¿por qué no podemos utilizar preferentemente estas ideas
claras y distintas en la búsqueda de la verdad? Imitando a Euclides, que ha
preferido demostrar las verdades que nadie puede negar, en lugar de asumirlas
gratuitamente, para que pueda valorarlas cualquier francés.
20 Cataldi
Editadas en Bolonia en los idiomas latin e italiano, Opusculum de lineis rectis
aequidistantibus et non aequidistantibus y Operetta delle linee rette equidistanti
et non equidistanti de Pietro Antonio Cataldo 36 , 1603. Es su…ciente con indicar
este libro. No ve duda alguna el autor en la existencia de rectas equidistantes,
cuya demostración sería correcta excepto porque, como que ha podido demostrar
que no son equidistantes las que concurren, tiene que demostrar lo propio en
la proposición 8 para las que se acercan constantemente. Pide con modestia
paciencia si se ha equivocado en una obra escrita entre muchas angustias y
enfermedades. Y ha encargado al P. Valentino Pino la distribución entre los
matemáticos de los centenares de ejemplares de su obra que él mismo no conoce.
Por lo que debe alabarse el ánimo y la cortesía del autor.
34 Nuevamente se re…ere a Abraham Kaestner.
35 Andrea Tacquet (Amberes, 1612; Amberes, 1660), profesor de matemáticas en Lovaina y
Amberes. Jesuíta. Escribió un buen número de textos elementales de matemáticas para los
colegios jesuítas.
36 Pietro Cataldi (Boñonia, 1548; Bolonia, 1626), profesor de matemáticas en las universi-
dades de Perugia y Bolonia.
21

21 Pierre de la Ramée
No se si son dignos de recordar aquí los Petri Rami 37 arithmeticae libri II;
geometriae XXVII, a Lazaro Schonero 38 recogniti. Frankfourt 1599. Detractor
del propio Educlides, que ha modi…cado el buen orden de sus proposiciones,
olvidando las reglas de su lógica (libro 5, Capítulo 11), concluye que la línea que
interseca una paralela, también interseca la otra, ya que en caso contrario sería
paralela a ella y, por tanto, también a la primera. En este argumento, se admite
la palabra paralela en un doble sentido: como recta equidistante y como no
concurrente. En los antecedentes no demuestra que las líneas no equidistantes
son, a su vez, concurrentes. Y admite este paralogismo en el capítulo 13 al
demostrar el axioma 11 de Euclides. Lo que contiene el capítulo 12 del mismo
libro sobre los ángulos que se producen por la intersección de unas paralelas por
una tercera recta, no son más que vagos comentarios y no demostraciones.
22 Wolf
Nuestra discusión sobre quienes usan la noción de equidistancia, estará completa
con Wol…o 39 quien en Elementis Matheseos Universae, Tomo 1, Halle,
1730, aceptando la de…nición de paralelas, demuestra de forma rigurosa y concisa,
excepto que debería haber demostrado en el teorema 38 la igualdad de los
ángulos alternos, que la línea incidente interseca a ambas y que desde un punto
de intersección se traza una perpendicular a la otra paralela, lo que debería
ser válido, por el teorema 36, para los ángulos rectos. Por ello, los triángulos
obtenidos deben ser iguales.
23 Behn
Un intento de demostración del teorema de las paralelas esta incluido en la tesis
de M. Friedrich Daniel Behn 40 , de linearum parallelarum proprietatibus nova
ratione demonstratis. Jena 1761. Que las rectas paralelas pueden ser equidistantes,
lo asume sin prueba de su propia mente en el capítulo 5, cuyo corolario
3, si lo entiendo correctamente, dice que, tendidas líneas rectas paralelas, si dos
37 Pierre de la Ramée (Noyon, 1515; Paris, 1572), también conocido como Petrus Ramus.
Profesor de matemáticas en el College de France, fue represaliado en varias ocasiones por sus
creencias calvinistas, hasta ser asesinado en la …esta de San Bartolomé. Por sus creeencias
antiplatónicas y antiaristotélicas, defenderá las matemáticas aplicadas, lo que le conducirá a
publicar en 1569 un texto de geometría fuertemente crítico con Euclides.
38 Lazarus Schöner (1543,1607), profesor de matemáticas en la Universidad de Marburgo
y uno de los difusores de la obra de Pierre de la Ramée en Europa Central. Ver: Joseph
S. Freedman. The di¤ usion of the writings of Petrus Ramus in Central Europe, 1570-1630.
Renaissance Quarterly. Vol 46 Num 1 (1993)
39 Christian Wol¤ (Breslau, 1679; Halle, 1754), …lósofo iluminista alemán de gran in‡uencia
en su tiempo. Profesor de las uniiversidades de Halle y de Marburgo.
40 Friedrich Daniel Behn (1734-1804). Fue rector del Katharineum de Lübeck desde 1796
hasta su muerte. Ninguna referencia encontrada sobre este autor.
22

perpendiculares iguales AB y CD las intersecan, siempre tendrán igual longitud
porque cada una de ellas se prolongará directamente hacia la misma región.
Pero si en estas dos regiones in…nitamente remotas, que al mismo tiempo
son los extremos de las rectas AC y BD, se acepta que el intervalo AB se
distancia, es claro que se utiliza que la línea que conecta los extremos de tres
perpendiculares iguales es recta. Si ambas regiones o bien coinciden o bien son
mayores o menores que el intervalo AB, las rectas no serán equidistantes, al
menos según el autor en un escolio del mismo capítulo. Porque hablar de que
las rectas prolongadas hasta un punto in…nitamente remoto no distan igual, me
parece un fórmula del discurso, con la que no da a entender nada más que las
líneas rectas no se intersecan. Por la misma razón, a…rma en un escolio del
capítulo 8 que los ángulos ABD y ADB pueden ser menores que dos rectos, a
pesar de que AB y AD no se intersequen, lo que con su hipótesis no pudo Clavius
demostrar correctamente. Si, como parece, entiende que la diferencia de los dos
ángulos a dos rectos es in…nitamente pequeña, dice la verdad. Porque las líneas
rectas prolongadas bajo estos ángulos serán de hecho paralelas y equidistantes,
aunque el autor las vea acercarse una a la otra. El resto de su demostración
es correcto. Contiene además verdades elementales de la geometría sobre el
teorema de las paralelas demostradas correctamente por el autor. Pero como
que la demostración omite lo que es más importante en este tema, no puede
ser considerada perfecta. Wolf retoma en el capítulo 16 sin motivo, si podría
ser atacada una demostración no desde los elementos alemanes sino desde los
latinos, lo que yo hubiese preferido más, dadas la brevedad y transparencia de él
y de Behn. La demostración de Clavius de que las rectas bajo ángulos inferiores
a dos rectos, prolongadas se intersecan, me parece igualmente una evidencia.
Porque verdaderamente Hausen, Segner y Kaestner, cuyas demostraciones he
expuesto en 18-20, no han removido todas las di…cultades; pero ellos tienen la
razón porque no han querido utilizar de…niciones que no podían demostrar.
23

24 Pardies
Detallar los destinos de nuestro teorema entre otros autores elementales, sería
largo e inútil. Como que no se diferencian mucho entre si, la mayoría de ellos,
sean nacionales o extranjeros, suponen que las paralelas son equidistantes; y el
resto de la demostración se organiza con rigor, como es debido, o bien negligentemente.
He descubierto los peores errores en los franceses, cuyos ejemplos
quizá no sea inútil comprobar. Serán útiles los Élémens de Géométrie de P.
Ignace Gaston Pardies 41 . La Haya, 1705. El propio autor con…esa en el prefacio
que frecuentemente no ha prestado atención al rigor en las demostraciones,
para obtener como …n último, los enunciados de las verdades geométricas tan
fácilmente como sea posible. Un ejemplo fatal de esta costumbre, que parece
proliferar entre los franceses, nos la suministra el propio teorema de las paralelas.
El autor in…ere, casi como si fuese tan claro como la luz del día, que cuando
las paralelas intersecan a una tercera, los ángulos alternos serán iguales. Para
ilustrarlo, considera los límites de dos paralelas opuestos a si mismos, y supone
que los ángulos alternos son iguales como lo son los ángulos en el vértice. Ciertamente
ingenioso. Sólo que no se ha supuesto las líneas carentes de cualquier
longitud.
25 Clairaut - le Blond - Camus - Boscowith
De modo parecido, Clairaut 42 en Elementis Geometricis, Paris, 1741, enseña
primero en el capítuilo 10 la construcción del cuadrado y el rectángulo, de
las que deduce, en el 11, la construcción de las paralelas, sin referirse a la
condición de los ángulos que forma la recta que interseca. Ofrecen ejemplos
defectuosos similares: Géométrie élémentaire et pratique de feu de Sauveur 43
revisada por le Blond 44 (Paris 1753) y Cours de Mathématique II Partie Élémens
de Géométrie de Camus 45 (Paris, 1750), quien a…rma que son paralelas las rectas
41 Ignace Gaston Pardies (Pau, 1636; Paris, 1673), jesuíta, profesor de …losofía y mateméticas
en diversos colegios de la Orden (La Rochelle, Burdeos y París). Cientí…co polifacético, su
obra matemática se reduce al libro que comenta el autor, cuya primera edición es de 1671; el
resto de su obra versa sobre óptica, estática, …losofía, zoología, etc. Ver Isis, 64-2 (1973) pgs.
268-269.
42 Alexis Claude Clairaut (Paris, 1713; Paris, 1765), matemático, geógrafo y astrónomo,
miembro de la Académie desde 1731. Participaó con Maupertuis en la expedición a Laponia
para calcular la longitud de un grado de meridiano terrestre. Autor del Teorema que lleva su
propio nombre sobre el achtamiento geométrico de un elipsoide en rotación.
43 Sin referencias de este autor. No parece que sea Joseph Sauveur (1653-1716), autor de
una teoría sobre la acústica, a pesar de que la BNF ha clasi…cado su libro bajo el nombre de
este mismo autor.
44 Guillaume le Blond (1704-1781), colaborador regular de l’Encyclopedie en temas militares.
Profesor de matemáticas de la Caballería Real y de los Infantes de la Casa Real. Autor de
numerosos tratados militares de artillería, forti…caciones, etc. Para ver más datos: Michaud,
Louis Gabriel, Biographie universelle ancienne et moderne. C.Desplaces. Paris, 1865.
45 Charles Etienne Louis Camus (Crézy en Brie, 1699; Paris, 1768). Miembro de la Académie
desde 1727 y fellow de la Royal Society. También participó en la expedición de Laponia.
24

que están igualmente inclinadas a una tercera. De la misma forma, Boscowich 46
en Elementis universae matheseos, Tomo 1, Roma, 1754, .dice ser conocicdo por
su luz natural que las paralelas están inclinadas por igual a una tercera.
26 Varignon
Nada resuelve Varignon 47 en sus elementos que aparecieron en Francia bajo el
título Élémens de Mathématique de Mr. Varignon, Paris, 1731. Llama paralelas
(de…nición 5) a las rectas en el mismo plano que tienen la misma inclinación
respecto una tercera, que tienen iguales los ángulos externo e interno a los
opuestos en la otra parte. El teorema es más verdadero que la de…nición; y
todavía más, porque nadie, de quienes no comulgan con la noción de paralelas,
cree que nunca se intersecan. No provocaré un litigio por causa de este asunto.
En ello se ve el verdadero fallo: que asume tácitamente que las rectas que
intersecan los puntos de dos paralelas tendrán el ángulo externo igual al interno.
Aceptemos (…gura 10) que todas las paralelas tienen al menos dos puntos, B y C,
en los que la recta BC, secante, hace que los ángulos ACB y CBD sean iguales.
¿Y qué? ¿Se sigue lo mismo de todos los puntos de estas líneas como C y D?
Así se podría demostrar fácilmente que la suma de los ángulos de un triángulo
cualquiera es igual a dos rectos. Si precisamente no le aceptamos esto al autor,
todas sus demostraciones siguientes quedan destruidas. Para demostrar esta
propiedad de los triángulos, pone delante el teorema sobre la cantidad y la
medida de los ángulos en el centro del círculo y la circunferencia.
Demuestra correctamente en el corolario 2 teorema 13, (…gura 11) que los arcos
de círculo interceptados entre dos cuerdas paralelas, a las cuales existe un radio
46 Boscovic, Ruder Josip (Dubrovnic, 1711; Milán, 1787), jesuíta, profesor de matemáticas
en Roma, Pavia y Milán, donde favoreció la creacuón del Observatorio de Brera. Des 1774
director de óptica de la Marina francesa.
47 Pierre Varignon (Caen, 1654; Paris, 1722), profesor en el colegio Mazarino y en el College
Royal de Paris. Miembro de las Academias de Paris (que también presidió) y de Berlin, fellow
de la Royal Society. Famoso geómetra en su época al que se debe el teorema de su nombre que
a…rma que uniendo los centros de los lados de un cuadrilátero se obtiene un paralelogramo.
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perpendicular, son iguales. Pero en el teorema 17 quiere demostrar que el ángulo
entre el centro y la circunferencia, ABO, es la mitad de la suma de los arcos
NM y OA que son interceptados por sus brazos. Dice entonces que se puede
construir por el centro C una paralela a MO, GE, obteniendo los arcos GM=EO.
Pero con razón aquí nos preguntaremos si la perpendicular que existe en C a
GE, también lo será a MO. Aquí no se sigue necesariamente que el ángulo en
B sea igual al ángulo en K. Porque el autor no puede invocar el corolario 2 del
teorema 13 que sólo demuestra que los arcos GM y EO son iguales, y todo lo
demás construído sobre ello se desmorona como un terremoto.
Part I
TESIS
1. Quien piensa que el alma es material, no tiene derecho consecuentemente
a a…rmar que es mortal; y quien crea haber demostrado que es inmaterial,
nada puede decir a este respecto como demostrar que es inmortal.
2. El espacio, en metafísica, se de…ne correctamente por el orden de la coexistencia
en la que nada existe fuera.
3. La demostración cartesiana de la existencia divina a partir de la noción
de ente perfectísimo, que ni siquiera Wolf ha enmendado, es absoluta y no
puede dejar de ser absoluta.
4. Los movimientos más violentos del espíritu que invocan las pasiones, constituyen
una gran parte de la felicidad humana.
5. Quien ignora la física y las matemáticas, no puede ¿nosse? el alma.
6. El placer no es más que el sentido de la propia perfección.
7. Lo animado no ha sido creado por el hombre.
8. Es verosímil que las almas de los animales migren a otros cuerpos si son
destruídas.
9. Es verosímil que, en el mismo momento de la muerte, se sienta un gran
dolor infrecuente.
10. La perfección es el acuerdo en la variedad. Quien busca la totalidad de la
realidad positiva que presentan los entes, o dice lo mismo, o no dice nada.
11. La lengua alemana es igual de apta que la latina para tratar de artes y de
ciencias.
12. No puede extraerse ninguna regla de las leyes públicas de los judíos que
deba ser observada por nosotros en casos similares.
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13. Quienes adoran a varios dioses, no han asociado la noción de ente necesario
con la de Dios, al que invocamos. Así, se han equivocado mucho más que
quien duda absolutamente de la existencia de un autor del universo
14. La verdad lógica está mal de…nida: por el acuerdo entre el juicio y la cosa
que juzgamos.
15. Que todos los pueblos hayan usado sacri…cios, demuestra a todos los hombres
nacidos de padres que han sido comandados por la revelación.
16. El juramento no obliga por sí mismo si no produce espontáneamente una
obligación para con el otro.
17. Las expediciones de los cruzados, siendo la religión cristiana contra los
mahometanos, fueron justas en la medida que éste era su objetivo.
Part II
Respuesta del presidente
Has tenido mucho valor y erudición discutiendo públicamente de cosas, pertinentes
a las nobles matemáticas, y te llamo como colega. Tu has añadido la
condición de publicar un pan‡eto con tu trabajo y está permitido, no viendo por
otra parte nada escrito sobre ello. Yo te he propuesto un tema que pertenece a
los inicios de los elementos, pero que, en su tratamiento, los hombres han ejercitado
poco felizmente su gran inteligencia. La historia de las cosas que, siguiendo
mi consejo has escrito, tal como yo hubiese deseado escribirlas: con cuidado en
las inferencias, sin engaño en los juicios, con modestia en las proclamas su…cientemente
demostradas a los lectores, abandonando las medias verdades, añado,
sirviendo los intereses de tu lugar.... Puedo creer seguro que no hay prácticamente
ningún otro intento que no hayas examinado. Este elogio puede ser
su…ciente para tu trabajo, pero después de la cosecha, o bien muchas fuentes
hay en la historia literaria, o bien puede haber indicios de lo que hemos tratado
en la obra de Ptolomeo, o bien se ha ignorado mucho el libro que Claudio dedicó
a Fabricio en Leipzig y Hamburgo. Que tendremos en algún momento la verdadera
demostración, cuando la luz de la geometría haya disipado los fantasmas,
es lo que espero con vigor, si no lo permite la mejora cuidadosa de la educación
cuyo análisis perece con Leibniz (Wolf. De studio matemático Cap. 144. Elementa
Matheseos, Tomo 5 pag. 271). Si, aceptando a Wolf, se construye, dado
un triángulo, otro de similar con cualquier base arbitraria, dos ángulos de los
dos triángulos serán iguales. Así queda el tema completo. Pero, los partidarios
más estrictos de Euclides contradicen esta versión de la similitud. Entonces,
nada sobrevive, porque nosotros exigimos de nuestra ciencia que sólo acepte
lo que nadie puede negar. Por ello, como corresponde a los guardianes de la
purísima verdad, actuamos abiertamente con ello y consideramos su aceptación
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con imparcialidad, y no como otros, más astutos que nosotros, que dislocan lo
necesario como sumos jueces.
Lo que has dicho sobre los escritores franceses (capítulo 22), no sólo es así,
sino que también vale para otras partes de la geometría, sobre todo los que
se apartan del rigor euclídeo. Sin embargo, merece excusarse a quien parte de
un origen su…cientemente bueno, aunque ciertamente no óptimo. Los maestros
en nuestra ciencia desean, como por ejemplo los germanos, exceptuando los
imitadores de errores, perseguir lo extraordinario sirviendo lo noble. Entonces
enseñan al pueblo, que desea aprender, no sólo porque sea el primer anhelo
de los hombres, que no han podido ver proclamas de nuestros maestros que
niegan la vía regia al buen conocimiento de la geometría. El ingenioso señor
Clairaut (Elemens de Geometrie, Prefacio, Pag. X) recuerda que los so…stas
de Euclides han sido vencidos, porque han removido las dudas sobre las cosas
especialmente evidentes (pequeña gloria de su intento de agudeza). Mucho
mejores son nuestros hombres. Porque creo que esta agudeza de los so…stas ha
convertido la ciencia humana en divina. Ya que, ciertamente, tu escrito nos
enseña que los descubrimientos clarísimos en los primeros inicios de las ciencias
no se pueden demostrar; y si no se cree en ellos, ésta se dispersa. Y se cumplirá en
este tema que quienes, como tu por tu excelente trabajo, estudian la consagrada
literatura, no están hundidos en el exterior. Adiós y muchas gracias.
Dado en Gotinga, el mes de Agosto del año de la era cristiana 1763.
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