Kerberoksen kesyttäminen eli miten efektiivinen kvanttigravitaatio ...

Kvanttigravitaation perusajatukset 

Energia-impulssitensori 

Casimirin ilmiö ja pimeä energia 

Kerberoksen kesyttäminen eli miten efektiivinen 

kvanttigravitaatio selittää pimeän energian 

Pyry Wahlman 

26.4.2012

Sisällys 




1 Kvanttigravitaation perusajatukset 

Lagrangen funktio 

Renormalisaatio 

Efektiivinen kenttäteoria 

2 Energia-impulssitensori 

Hiukkaset ja energia 

Renormalisointi efektiivisessä teoriassa 

Konformaalinen anomalia 

3 Casimirin ilmiö ja pimeä energia 

Anomaaliset vapausasteet 

Casimirin ilmiö 

Dynaaminen tyhjiöenergia 

1 / 18




Klassinen Lagrangen funktio 




Gravitaatiota kuvataan Einsteinin kenttäyhtälöillä: 

R µν − 1 2 g µνR + g µν Λ = 8πG 

c 4 T µν 

Yhtälöitä vastaava klassinen Lagrangen funktio on: 

L = 1 

2κ (R − 2Λ) + L M 

Energia-impulssitensori saadaan suoraan materiaa kuvaavasta 

Lagrangen funktiosta: 

T µν = −2 δL M 

δg µν + g µνL M 

2 / 18




Kvanttigravitaation renormalisointi 




Ensimmäisen silmukan korjaukset sisältävät divergenttejä 

neljännen kertaluvun derivaattoja metriikasta 

Klassisessa Lagrangen funktiossa on vain toisen kertaluvun 

termejä 

Lagrangen funktioon täytyy lisätä ylimääräisiä termejä 

vastapainoksi divergensseille 

Ylimääräisiä termejä varten teoriaan on lisättävä uusia 

mitattavia vakioita 

Jokainen kertaluku silmukoissa tuottaa uusia divergenssejä ja 

vakioita 

3 / 18







Miten vakiot vaikuttavat teorian ennustavuuteen? 

4 / 18








4 / 18








Kvanttigravitaatio ei ole renormalisoitavissa! 

5 / 18







Mitä tarkoitetaan efektiivisellä teorialla? 

Gravitaatiolle ei ole täydellistä kvanttiteoriaa 

Semiklassinen teoria on kuitenkin olemassa 

Efektiivisessä kvanttigravitaatiossa: 

• Korjaukset lasketaan vain tiettyyn tarkkuuteen asti 

• Ennustukset pätevät vain tiettyyn energiaskaalaan asti 

• Materiaa kuvataan efektiivisellä Lagrangen funktiolla L e 

• Energiatensori korvataan odotusarvolla: 

T µν → 〈T µν 〉 

Efektiivinen teoria sisältää aina ylimääräisiä mitattavia 

parametreja 

6 / 18




Hiukkaskäsite kaarevassa avaruudessa 




Kvanttikenttäteorioissa hiukkasten määrä on keskeisessä 

asemassa 

Kaarevassa avaruudessa hiukkaskäsite muuttuu epämääräiseksi 

Havaittavien hiukkasten määrä riippuu havainnoijasta 

Esimerkiksi Minkowskin avaruudessa tasaisesti kiihdyttävä 

havainnoija mittaa termisen hiukkasjakauman inertiaalisen 

havainnoijan tyhjiössä 

Hiukkasten näennäinen lämpötila on suoraan verrannollinen 

kiihtyvyyteen a ([1], yhtälö 3.68): 

T = 

a 

2πk B 

7 / 18








Kuvaa avaruuden energiasisältöä 

Havainnoijan liiketilasta riippumaton suure 

• Energiatensori on nolla myös kiihdyttävän havainnoijan 

näkökulmasta 

• Hiukkasten määrää "fysikaalisempi" käsite 

Energia-impulssitensorin komponenetit ovat: 

8 / 18




Efektiivinen Lagrangen funktio 




Yhden silmukan tasolla efektiivisessä teoriassa: 

L 0 = 1 

2κ 0 

(R − 2Λ 0 ) + L e 

Skalaarikentän tapauksessa viimeisellä termillä on divergentti 

osa ([1], yhtälö 6.44): 

{ 

L div = −(4π) − n 1 

2 

n − 4 + 1 ]} 

[γ + ln m2 

2 µ 2 

( ) 

4m 

4 

× 

n(n − 2) a 0 − 2m2 

n − 2 a 1 + a 2 

missä a 0 , a 1 ja a 2 ovat geometrisia termejä, ja n on avaruuden 

dimensio 

9 / 18







Renormalisoitu efektiivinen Lagrangen funktio 

Renormalisaation jälkeen fysikaalinen Lagrangen funktio on: 

L ph = 1 

2κ (R − 2Λ) + aR2 + bR αβ R αβ + L ren 

missä κ ja Λ ovat luonnonvakioita, a ja b ovat uusia 

mitattavia parametreja 

Materian renormalisoitu efektiivinen Lagrangen funktio on: 

L ren = L e − L div 

Renormalisoitu energiatensori on vastaavasti: 

〈T µν 〉 ren = −2 δL ren 

δg µν + g µνL ren 

10 / 18







Mitä tarkoitetaan konformaalisella anomalialla? 

Regularisaation aikana energiatensorin jälkeen syntyy 

spontaanisti ylimääräinen osa, konformaalinen anomalia 

Anomalia johtuu siitä, että regularisaation aikana laskut 

suoritetaan dimensiossa, jossa Lagrangen funktio ei ole 

konformaalisesti invariantti 

Anomaliaa ei voida poistaa renormalisaation yhteydessä 

Vaikuttaa fysikaalisiin lopputuloksiin 

11 / 18







Konformaalinen anomalia massattomalle skalaarikentälle 

Klassisessa tapauksessa massattoman skalaarikentän 

energiatensori on jäljetön 

Ennen renormalisointia efektiivinen Lagrangen funktio tuottaa 

jäljettömän energiatensorin 

Dimensionaalisen regularisaation aikana divergentti osa saa 

nollasta poikkeavan jäljen 

Fysikaalisen ja divergentin osan yhteenlaskettu jälki tulee olla 

nolla, joten myös fysikaalinen osa saa jäljen ([1], yhtälö 6.114): 

〈T µ µ 〉 ph = − 1 [ 

] 

2880π 2 R αβγδ R αβγδ − R αβ R αβ − g µν ∇ µ ∇ ν R 

12 / 18




Skalaariset vapausasteet 




Anomaalinen jälki mahdollistaa uusien vapausasteiden 

lisäämisen Lagrangen funktioon 

Vapausasteet vastaavat kahta uutta skalaarikenttää 

Kentille voidaan muodostaa anomaalinen Lagrangen funktio 

([2], yhtälö 5.6): 

L anom = 

{ 

1 

720(4π) 2 −ϕ∆ 4 ϕ + 

− 

(E − 2 3 □R ) 

{ 

1 

240(4π) 2 −2ϕ∆ 4 ψ + F ϕ + 

} 

ϕ 

(E − 2 3 □R ) 

ψ 

missä □ ja ∆ 4 ovat toisen ja neljännen kertaluvun 

derivaattaoperaattoreita 

Kentät toteuttavat neljännen kertaluvun liikeyhtälöt ([2], 

yhtälö 5.8): 

} 

∆ 4 ϕ = 1 2 E − 1 3 □R , ∆ 4ψ = 1 2 F 13 / 18







Miten anomaliasta päädytään Casimirin ilmiöön? 

Palataan takaisin kaareutumattomaan Minkowskin avaruuteen 

Kenttien liikeyhtälöt yksinkertaistuvat muotoon: 

Yksi mahdollinen ratkaisu on: 

□ 2 ϕ = 0 , □ 2 ψ = 0 

ϕ = a z2 

d 2 , ψ = 0 

Kenttiin liittyvä anomaalinen energiatensori on tällöin ([2], 

yhtälö 6.4): 

⎡ 

⎤ 

−1 0 0 0 

a 2 1 

〈T µν 〉 anom = 

⎢ 0 1 0 0 

⎥ 

540(4π) 2 d 4 ⎣ 0 0 1 0 ⎦ 

0 0 0 −3 

14 / 18







Miten anomaliasta päädytään Casimirin ilmiöön? 

Energiatiheys ja paine z-suunnassa ovat muodollisesti: 

ρ = −k 1 d 4 , p z = −3k 1 d 4 

missä k on reunaehdoista määräytyvä positiivinen vakio 

Casimirin ilmiössä taas ([1], yhtälö 4.39): 

ρ = − π2 1 

1440 d 4 , 

p z = − 3π2 1 

1440 d 4 

Anomaalinen energiatensori aiheuttaa Casimirin ilmiötä 

vastaavan energiatiheyden ja paineen! 

15 / 18




Pimeän energian ongelma 




Kosmologinen vakio on arvoltaan hyvin pieni 

Dimensiottomaksi suureeksi muutettuna ([2], s. 2): 

λ = G 

c 3 Λ ∼ 10−122 

Luonnollisesti voisi olettaa, että jokin kvanttiteoria ennustaisi 

tämän arvon 

Tyypillisesti semiklassiset teoriat antavat arvoksi: 

λ ∼ 10 −2 

"Huonoin teoreettinen ennuste fysiikan historiassa!" 

16 / 18







Ratkaisuna dynaaminen tyhjiöenergia? 

Jos klassiset skalaarikentät ϕ ja ψ muutetaan kvanttikentiksi, 

kosmologinen vakio muuttuu dynaamiseksi ([2], yhtälö 6.5): 

V dΛ 

dV 

= 4(2δ − 1)Λ ⇔ Λ ∝ V 

4(2δ−1) 

Parametri δ ≤ 1 2 

riippuu pelkästään hiukkaskenttien määrästä 

Kun V → ∞, kosmologinen vakio lähestyy nollaa 

Ylimääräisten skalaarikenttien ansiosta kosmologinen termi 

Einsteinin yhtälössä riippuu käytetystä pituusskaalasta 

Malli ei vaadi hienosäätöä, ja siinä on vain yksi vapaa 

parametri 

17 / 18

Yhteenveto 




Efektiivinen kvanttikenttäteoria on semiklassinen teoria, joka 

pätee vain tiettyihin raja-arvoihin asti 

Efektiivisen teorian renormalisoinnissa energiatensoriin syntyy 

anomaalinen jälki 

Anomalia voidaan esittää kahden skalaarikentän avulla 

Lagrangen funktiossa 

Anomaalinen Lagrangen funktio voi tietyissä tapauksissa 

johtaa Casimirin ilmiön energiatensoriin 

Skalaarikenttien kvantittamisen jälkeen kosmologinen vakio 

riippuu pituusskaalasta 

18 / 18

Viitteet 

[1] N. D. Birrell and P. C. W. Davies. 

Quantum Fields in Curved Space. 

Cambridge University Press, 1982. 

[2] Emil Mottola. 

The trace anomaly and dynamical vacuum energy in cosmology. 

Int.J.Mod.Phys., A25:23912408, 2010. 

http://arxiv.org/abs/1006.3567. 

19 / 18

Lisää luettavaa 

◮ S. A. Fulling. 

Aspects of Quantum Field Theory in Curved Space-Time. 

London Mathematical Society Student Texts. Cambridge 

University Press, 1989. 

◮ Emil Mottola. 

New horizons in gravity: The trace anomaly, dark energy and 

condensate stars. 

Acta Phys.Polon., B41:20312162, 2010. 

http://arxiv.org/abs/1008.5006. 

20 / 18

Kerberoksen kesyttäminen eli miten efektiivinen kvanttigravitaatio ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?