Epäyhtälötehtävien ratkaisuja - Helsinki.fi

http://solmu.math.helsinki.fi/
L A TEX
ja niiden välisen kulman γ kosini on
cos γ =
s · a
|s| |a| = 1 + 0 + 0 + 0
1 · √4
= 1 2 .
Vektorien välisen kulman asteluku on siis γ = cos −1 ( 1
2)
= 60 ◦ .
7. a) Olkoon u ∈ R n , ja γ ı sen sekä kantavektorin e ı välinen kulma
kaikilla ı ∈ {1, 2, . . . n}. Osoita, että
cos 2 γ 1 + cos 2 γ 2 + . . . + cos 2 γ n = 1.
Ratkaisu. Olkoon u = (u 1 , . . . , u ı , . . . , u n ). Tällöin u · e ı = u ı , ja
toisaalta u · e ı = |u||e ı | cos γ ı . Siis
mistä seuraa, koska |e ı | = 1,
|u||e ı | cos γ ı = u ı ,
cos γ ı = u ı
|u| .
Niinpä näiden kosinien neliöiden summa on
u 2 1
|u| 2 + u2 2
|u| 2 + . . . + u2 n
|u| 2
= |u|2
|u| 2 = 1.
b) Osoita, että R n :n vektorit toteuttavat kolmioepäyhtälön
|u + v| ≤ |u| + |v|.
Ohje: Sovella vektorimuotoista CBS-epäyhtälöä.
Ratkaisu.
|u + v| 2 = (u + v) · (u + v)
= |u| 2 + 2 u · v + |v| 2
≤ |u| 2 + 2 |u| |v| + |v| 2
= (|u| + |v|) 2 ,
mistä väite seuraa.
{021210 } 5