PDF-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Matematiikkalehti2/2007http://solmu.math.helsinki.fi/

2 Solmu 2/2007Solmu 2/2007ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b)00014 Helsingin yliopistohttp://solmu.math.helsinki.fi/Päätoimittaja:Matti Lehtinen, dosentti, MaanpuolustuskorkeakouluToimitussihteerit:Mika Koskenoja, tohtoriassistentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluSähköposti toimitus@solmu.math.helsinki.fiToimituskunta:Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluHeikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluAapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAri Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu StadiaMarjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoTommi Sottinen, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoGraafinen avustaja Marjaana BeddardYliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:Virpi Kauko, yliopistonopettaja, virpik@maths.jyu.fiJyväskylän Avoin yliopistoJorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fiSovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fiMatematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopistoKalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fiMatematiikan laitos, Turun yliopistoMatti Nuortio, opiskelija, mnuortio@paju.oulu.fiMatemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopistoTimo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fiSavonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopistoNumeroon 3/2007 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään syyskuun 2007 loppuun mennessä.Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. Toivomme,että lehteä kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.Kannen kuva: Yorkin katedraalin kattorakenne.

Solmu 2/2007 3SisällysPääkirjoitus: Kiehtova ammatti nuorille (Irma Iho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Toimitussihteerin palsta: Matematiikan opettajaksi opiskelusta (Mika Koskenoja) . . . . . . . . . . . . 6Kavaljeeri- ja sotilasprojektiot (Petteri Harjulehto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Luvut, num3rot ja kuvat (Kimmo Vehkalahti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Viisi lukion geometrian oppikirjaa (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Hauskoja aivopähkinöitä lapsille ja nuorille (Pavel Shmakov ja Liudmila Selikhova) . . . . . . . . . 23Alabaman paradoksi (Pekka Alestalo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Minne katosi matematiikka? (Juha Haataja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Matematiikkapäivä lukiolaisille ja opettajille – ”Satunnaisuus ja todennäköisyys”(Riitta Liira, Elja Arjas, Jukka Kohonen ja Matti Pirinen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29Kalle Väisälän algebran oppikirja (Marjatta Näätänen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Kaksi Survo-ristikkoa (Seppo Mustonen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Solmu 2/2007Kiehtova ammatti nuorilleMatemaattisten Aineiden Opettajien Liittoon, MAOLry:hyn, kuuluu yli 4000 opettajaa. Osa on vielä opiskelijoita,osa jo päivätyönsä tehneitä. Järjestössä tunnetaanammatin valo- ja varjopuolet. Matemaattisten aineidenopettajan ammatti on paljon nuorten ennakkoodotuksiaparempi. Houkuttavuus pitäisi saada nuortenkintietoon.Kouluissa on kyllä ammatinvalinnanohjausta, muttaharvoin opettaja esitellään, koska kaikkihan sentietävät. Opettaja on koko ajan näkyvillä. Nuori näkeeyhden puolen eikä välttämättä houkuttelevinta. Kuitenkinammatti on hyvin monipuolinen, toiminnallinen,itsenäinen, paljon haasteita sisältävä ja yhteiskunnallisestimerkittävä. Eikä se palkkakaan mitätön ole.Jos olisi, niin siirtyminen esimerkiksi teollisuuden palvelukseenlisääntyisi.Monet nuoret ovat varmaan samassa tilanteessa kuinitse olin vuosikymmeniä sitten. Oli muutamia toiveammatteja,mutta ei selkeää ajatusta mihin todella haluaisi.Jostain syystä olin valinnut lukiossa matematiikkalinjan.Matematiikan opettajani sanoi kerran tunnilla:”Lähtekää opiskelemaan matematiikkaa, sinne pääseehelposti, jos kirjoittaa ylioppilaskirjoituksissa kohtuullisenarvosanan.” Tähän syöttiin tartuin. Tosin opettajaksiryhtyminen ei käynyt mielessä. Opiskeluajan lopussaammatti alkoi vaikuttaa realistiselta vaihtoehdoltaja tällä hetkellä olen toiminut opettajana yli kolmekymmentävuotta. Opetettava oppiaine ja ikäluokka onajan myötä vaihdellut.Koko urani ajan olen toiminut MAOL:issa ja olen tällähetkellä liiton puheenjohtajana. Liitto on antanut tukea,harrastus- ja toimintamahdollisuuksia ja pitänytpaljolti huolta jatkokoulutuksesta. On hyvä, että onsuuri yhteisö takana ainakin silloin, jos koulusta eilöydy riittävästi kollegiaalista tukea.Kertaakaan urani aikana en ole katunut ammatinvalintaani.Nuoruuden toiveammatitkin tuntuvat haalistuneenmatemaattisten aineiden opettajuuden rinnalla.Nuorena ei kerta kaikkiaan tiedä muista kuin lähipiirinammateista. Mahdollisesti kesätyöt ovat rikastuttaneetnäkemystä. Pitää uskaltaa lähteä tuntemattomaankin.Opettaja on aina yhteiskunnallinen vaikuttaja olipaoppiaine tai ikäluokka mikä tahansa. Yhteiskunnankorkeimmilla paikoilla olevatkin muistavat opettajansasanomisia ja arvovalintoja. Erityisesti matemaattistenaineiden opettaja muistetaan, koska useisiin nykyajanammatteihin vaaditaan vahva matemaattinenpohja. Tavallinen palaute entiseltä opiskelijalta on, ettähyvin on jatkopaikka löytynyt.Oppiaineesta täytyy myös pitää, mutta siitä myös oppiipitämään. Monet ennakkoasenteet vaivaavat kouluoppimista.Vähitellen opiskelija huomaa miten paljonajattelun taidot kehittyvät ja ennen kaavoilta tuntuvatasiat alkavat kiehtoa. Myös opettajan pitää käydä jokatunti oppilaiden kanssa sama ajatteluprosessi. Opettajallelöytyy aina uutta oppimista.Pääkirjoitus

Solmu 2/2007 5Opettaja saa joka syksy eteensä uuden ikäluokan uusineajatuksineen. Hän ei työssään vanhene vaan hänpystyy seuraamaan aina nuorten ihmisten maailmaa jaantamaan siihen panoksensa. Piti oppilas matematiikastatai ei, aina hän arvostaa opettajaa. Myös kollegatja yhteistoiminta vanhempien kanssa takaavat sen,että koko ajan toimitaan ihmisten kanssa.Matemaattisten aineiden opettajaksi ryhtymiselle onpaljon vankkoja perusteita, mutta sellaiset jotkalähtevät alalle pienen työmäärän ja pitkien lomien takia,älkööt vaivautuko. Tosin oppituntien ulkopuolisiatyöaikoja voi helpommin järjestellä kuin monilla aloilla.Voidaan siirtää kokeen korjaus ja seuraavan päiväntuntien valmistelu iltamyöhään ja käydä iltapäivällävaikka kampaajalla tai parturissa.Irma IhoMAOL ry:n puheenjohtajaPääkirjoitus

6 Solmu 2/2007Matematiikan opettajaksi opiskelustaMAOL ry:n puheenjohtaja Irma Iho kirjoittaa pääkirjoituksessaanmatematiikan opettajan ammatin kiehtovuudesta.Monille opettajan ammatista haaveilevillelukiolaisille lienee epäselvää, miten valmistutaan matematiikan– tai minkä tahansa muun kouluaineen –aineenopettajaksi peruskoulun yläluokille ja lukioon.Suomessa aineenopettajat opiskelevat yliopistossapääaineenaan opettamaansa ainetta, esimerkiksi matematiikkaa,eivät kasvatustiedettä kuten joissakin muissamaissa. Aineenopettajien vahvan aineosaamisen onkinkatsottu olevan yksi merkittävä tekijä mm. koululaistemmehyvän PISA-menestyksen taustalla. Matemaattistenaineiden opettajaksi valmistuvat opiskelevatpääaineensa lisäksi sivuaineenaan tavallisestiyhtä tai kahta matemaattis-luonnontieteellistä ainetta,matematiikkaa, fysiikkaa tai kemiaa, joita kaikkiahe voivat mm. virkamäärittelyistään riippuen opettaatyössään opettajana.Jos harkitset tai olet jo päättänyt ryhtyä matematiikanopettajaksi, tulee sinun jo lukiossa valita matemaattisiaaineita painottava opinto-ohjelma. Matematiikanpitkän oppimäärän lisäksi kannattaa opiskella mahdollisimmanpaljon fysiikkaa, kemiaa ja koulusi tarjoamiaatk-kursseja. Lukion päättymisen ja ylioppilaskirjoitustenjälkeen pyrit johonkin maamme yliopistoon opiskelemaanpääaineenasi matematiikkaa, fysiikkaa tai kemiaa.Pääaineesi lisäksi sinun tulee heti opintojen alusta alkaenopiskella sivuaineenasi ainakin yhtä muuta kolmestaedellä mainitusta oppiaineesta, mieluiten molempiamuita. Vuoden tai kaksi yliopistossa opiskeltuasipyrit aineenopettajan opintoihin erillisessä haussa,joka sisältää mm. soveltuvuuskokeen. Useisiin maammeyliopistojen matematiikan, fysiikan ja kemian koulutusohjelmiinon mahdollista pyrkiä myös suoraan aineenopettajaksiopiskelevien kiintiöön erillisen suoravalinnankautta.Kun olet selvittänyt tiesi aineenopettajan opintoihin,suoritat matemaattis-luonnontieteellisten aineopintojenlisäksi kasvatustieteen opintoja, joihin kuuluu mm.yleisen kasvatustieteen ja didaktiikan opintojaksojasekä opetusharjoittelua. Opettajaksi valmistut keskimäärinviidessä vuodessa, kolmen ensimmäisen opiskeluvuodenjälkeen olet filosofian kandidaatti, ja kaksivuotta lisää opiskeltuasi saat filosofian maisterin arvon.Tarkempia tietoja aineenopettajaksi opiskelemisesta,mm. opintojen sisällöistä ja laajuuksista, löytyy yliopistojennettisivuilta.Mika KoskenojaToimitussihteerin palsta

Solmu 2/2007 7Kavaljeeri- ja sotilasprojektiotPetteri HarjulehtoMatematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoJohdantoUsein on tarvetta esittää kolmiulotteisesta kappaleestakuva paperilla eli kahdessa ulottuvuudessa. Toiveenaolisi tietysti havainnollinen, mittatarkka ja helpostipiirrettävä kuva. Valitettavasti havainnollisuus ja mittatarkkuusovat melkein vastakkaisia toisilleen, jotenjoudumme aina tekemään näiden suhteen kompromissin.Taiteessa käytetään usein perspektiivikuvaa, joka perustuukeskusprojektioon. Siinä kuvaussäteet kulkevätyhden kiinteän pisteen, projektiokeskuksen, kautta.Perspektiivikuvien mittatarkka piirtäminen on varsintyölästä. Silmän tai kameran muodostama kuva on(suurin piirtein) keskusprojektion mukainen.Tässä kirjoitelmassa tutustutaan yhdensuuntaisprojektioihin.Erona keskusprojektioon on, että kuvaussäteetovat keskenään yhdensuuntaisia ja leikkaavat kuvatasonjokaisessa pisteessä samassa kiinteässä kulmassa.Yhdensuuntaisprojektio voidaan myös tulkita keskusprojektionrajatapaukseksi, jossa projektiokeskus onäärettömän kaukana. Tällä tulkinnalla voidaan ajatellaauringonsäteiden aikaansaaman heittovarjon olevanyhdensuuntaisprojektion antama kuva.Yhdensuuntaisprojektioilla on monia hyviä ominaisuuuksia.Ne kuvaavat pisteet pisteiksi, suorat suoriksi(joissakin erikoistapauksissa pisteeksi) ja yhdensuuntaisetsuorat yhdensuuntaisiksi. Myös janojen jakosuhdesäilyy eli erityisesti janan keskipiste kuvautuu keskipisteeksi.Lisäksi kuvatason suuntaiset kuviot säilyvätoikean mittaisina.Tutustumme kahteen yhdensuuntaisprojektioon, kavaljeeriprojektioonja sotilasprojektioon. Molemmissaprojektioissa kuvasäteet kohtaavat kuvatason vinossa.Niissä muodostuvat kuvat aivot osaavat tulkita varsinhelposti ”kolmiulotteiseksi”, varsinkin jos kuvaa kallistaasopivasti katsojaan nähden. Mikä parasta – yksinkertaisenkolmiuloitteisen kappaleen kuvan mittatarkkapiirtäminen on varsin helppoa – ja jopa hauskaa.Molempien projektioiden nimet juontavat juurensasiitä, että niitä on käytetty linnoitusten piirustuksissa.Kaveljeeri on ratsumies mutta myös linnoituksenpäävallin torni.Tämä kirjoitelma perustuu Erkki Rosenbergin kirjaanGeometria, Limes ry, Helsinki 1991. Kaikki kuvatovat kirjoittajan lyijykynällä, viivottimella ja harpillapiirtämiä.KavaljeeriprojektioAjatellaan kolmiulotteista (x, y, z)-koordinaatistoa.Kiinnitetään paperi pystysuoraan (y, z)-tasolle ja ku-

8 Solmu 2/2007vattava kappale paperin eteen vaikka (x, y)-tasolle.Ajatellaan että valonsäteen tulevat, paperin takaa katsoen,vasemmalta tai oikealta ylhäältä siten, että x-akselille laitetun janan (lyijykynän) varjo muodostaa45 asteen kulman y-akselin kanssa ja että varjon pituuson puolet alkuperäisen janan (lyijykynän) pituudesta.x-akselin kuvaksi tulee suora z = y tai suora z = −y jax-akselin yksikköjana kuvautuu puoleen lyhennettynä.Koska jana oli kohtisuorassa paperia vastaan, saammesuorakulmaisen kolmion, jonka tangentit ovat 1 ja2 yksikön pituisia. Valo siis kohtaa paperin kulmassatan −1 2 eli noin 63,4 asteen kulmassa. Kavaljeeriprojektiossakuvattu aihe näyttää luonnollisemmalta kunsitä katsoo vasemmalta/oikealta alhaalta.Käytännössä esimerkiksi kuution piirtäminen on varsinhelppoa. Valitaan mikä tahansa kuution kärjistä origoonja mikä tahasa tahkoista (y, z)-tasoon. Piirretäänensin valittu tahko koordinaatistoon. Mitataan kustakinkärjestä x-akselin suuntaan kulkevä särmä muistaenettä tämän särmän pituus kutistuu puoleen. Näinlöydetyt kärjet yhdistetään toisiinsa särmien mukaan.Tapana on katkaista kuution takana olevat särmät niin,että ne eivät leikkaa edessä olevia särmiä; ”jos ei leikkaatodellisuudessa, ei leikkaa kuvassa”. Kuvassa 1 onesitetty kuutio molemmissa kavaljeeriprojektion vaihtoehdoissa.Mikään ei estä sijoittamasta kuutiota myös muulla tavallakoordinaatistoon. Kuvassa 2 on kuutio sijoitettukoordinaatistoon niin, että pohjatahkon halkaisija ony-akselilla.Kuva 2. Kuutio kavaljeeriprojektiossa.Kavaljeeriprojektiolla on myös helppo piirtää kuvioita,joissa on (y, z)-tason suuntaisia ympyröitä, sillä nämäympyrät voidaan piirtää harpilla. Kuvassa 3 on putki,joka on kohtisuorassa (y, z)-tasoa vastaan.Kuva 1. Kuutio kavaljeeriprojektiossa.Kuva 3. Putki kavaljeeriprojektiossa.

Solmu 2/2007 9RuutumenetelmäUsein kavaljeeriprojektio piirretään ruutupaperille. Josy- ja z-akselit asetetaan ruutuviivoja pitkin, niin x-akseli voidaan piirtää ruutujen lävistäjän mukaan. Varsinaisessakavaljeeriprojektiossa akseleiden yksiköt suhtautuvattoisiinsa lukujen 1 2: 1 : 1 mukaan. Valitsemallayksiköksi x-akselilla ruudun halkaisija sekä y- ja z-akseleilla kolmen ruudun pituiset janat, päästään suhteeseen√ 2 : 3 : 3 ≈ 0, 471 : 1 : 1. Poikkeama kavaljeeriprojektiostaon alle 6 prosenttia, eikä se ole helpostihavaittavissa käsin tehdyistä piirustuksista. Kuvassa 4on ruutumenetelmällä piirretty tetraedri.SotilasprojektioSotilasprojektiossa on kuvatasona (x, y)-taso ja kuvaussäteetmuodostavat tämän kanssa 45 asteen kulman.Otetaan z-akselin suuntainen yhden yksikön mittainenjana. Tällöin saamme suorakulmaisen kolmion,jonka hypotenuusan muodostaa kuvaussäteen osa jajonka toinen tangentti on janamme. Koska kolmionkulmat ovat 90 astetta ja kahdesti 45 astetta, havaitsemme,että kateetit ovat yhtä pitkiä; z-akselinsuuntaiset pystyjanat kuvautuvat siis oikeanpituisiksi.Pystyjanat pyritään havainnollisuuden parantamiseksisuuntaamaan aina suoraan ylöspäin. Sotilasprojektiotapiirrettäessä voidaan lähtökohdaksi ottaa esimerkiksirakennuksen pohjapiirros. Piirustuksessa voidaanjättää katto piirtämättä, jolloin rakennukseen katsellaansisään ylhäältä päin. Sotilasprojektiota voidaankäyttää myös pystyssä olevien pyörähdyskappaleidenkuvaamisen, sillä vaakatasossa olevat ympyrät voidaanpiirtää harpilla. Kuvassa 5 on kuutio.Kuva 4. Tetraedri ruutumenetelmällä.Aina piirrettäessä kuvaa kolmiulotteisesta kappaleestatulee kappaleen asemointia kuvaan miettiä huolellisesti.Tutkitaan vaikka kuvassa 4 olevan tetraedrin kärkeä(0, 2, 0). Tähän samaan pisteeseen kuvautuu myös piste(2, 2 2 3 , 2 3). Siis näiden pisteiden kautta kulkeva suorakuvautuu pisteeksi (0, 2, 0) ja jokainen tämän suorankanssa yhdensuuntainen suora kuvautuu pisteeksi. Onselvää, että jos joku piirrettävää kappaletta rajaavistasuorista, esimerkiksi osa kuution sivuista, kuvautuupisteeksi, niin kuvan havainnollisuus kärsii.Kuva 5. Kuutio sotilasprojektiossa.

10 Solmu 2/2007Luvut, num3rot ja kuvatKimmo VehkalahtiMatematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoAluksiTv-sarjassa Num3rot (Numb3rs) ratkotaan rikosmysteereitämatemaattisin ja tilastollisin keinoin.Sarja korostaa matematiikan roolia arkipäiväisissäasioissa kuten sään ennustamisessa, mutta muistuttaasen tärkeydestä myös rikosten analysoinnissaja käyttäytymisen mallintamisessa. Kantava teemaon säännönmukaisuuksien hahmottaminen, jota todennäköisyyslaskennanja tilastollisten menetelmienohella tukevat erilaiset tilastolliset kuvat.Lukujen ja numeroiden esittämisellä tilastollisina kuvinaon verrattain pitkä historia, ja monet kuvatyypeistäovat vakiintuneet osaksi tiedon esittämisen arkipäivää.Kekseliäisyydellekin on edelleen tilaa, sillä alati laajenevainformaatiotulva asettaa haasteita yhä suurempientietomäärien esittämiselle yhä tiivistetymmin.Seuraavassa tarkastelen joitakin enemmän taivähemmän tyypillisiä tilastollisia kuvia. Kommentoinniiden laatimista ja tulkintaa enimmäkseen tekniseltäkannalta ja jätän kuvien mahdollisen sisällön tutkimisenhaasteeksi lukijalle.Pylväät ja piirakatTilastollinen kuva on parhaimmillaan tehokas ja mieleenpainuvatapa esittää lukuja ja numeroita. Yleisimpiälienevät erilaiset pylväät ja piirakat, jotka perustuvatpinta-alojen tulkintaan.Kuvassa 1 on tyypillinen, lukumääriä esittäväpylväskuva. Prosenttiosuudet on lisäksi ilmaistu lukuinapylväiden päissä ja kokonaismäärä kerrottu kuvansisään sijoitetulla tekstillä. Pylväät voitaisiin piirtäämyös pystyyn, mutta tällöin nimien kanssa tulisi ongelmia.Selkeys on tärkeä kriteeri, sillä tilastollisen kuvanyleisenä päämääränä on välittää tietoa. Tieto eimene perille, jos esitys on epäselvä. Varsinkin vinoonladottuja nimiä on vaikea lukea.Selkeyteen liittyy paljon muutakin: ylimääräisiä raamejaja etenkin koristeita on syytä välttää, numeeristenasteikkojen kuvausten on oltava helppolukuisia javärien käytön harkittua. Värikuvia on helppo tuottaa,mutta on hyvä muistaa että niitä saatetaan usein tulostaapaperille mustavalkoisina. Pelkästään väreihinperustuva esitys voi latistua äkkiä lukukelvottomaksisotkuksi. Hyvin laadittu mustavalkokuva onkin monestiharkinnan arvoinen vaihtoehto värikuvalle. Tieteellisissäjulkaisuissa se on usein ainoa vaihtoehto, joskinverkkojulkaisemisen myötä painopiste lienee muuttumassa.Kuva 2 kertoo piirakkakuvan luonteen mukaisesti vainprosenttiosuudet. Kuvaan 1 verrattuna aineistoa on tiivistetty:vain kolme eniten ääniä saanutta on erikseenmukana ja loput niputettu yhteen. Kuva on sinänsä sel-

Solmu 2/2007 11keä, mutta oleellisinta olisi pohtia, mitä kuvalla halutaanviestiä. Tässähän voisi tarkastelun tiiviistää vainkahteen eniten ääniä saaneeseen ehdokkaaseen, jotkajatkoivat toiselle kierrokselle. Kahden prosenttiluvunesittämiseen kuva tosin alkaisi olla liioittelua – tiedothankertoisi lyhyemmin tekstinä. Kuvan niin sanotuntietotiheyden pitäisi olla suurempi.Presidentin vaalit 2006Annettujen äänien lukumäärät 1. kierroksellaTarja Halonen 46.3%Sauli Niinistö 24.1%Matti Vanhanen 18.6%Heidi Hautala 3.5%Timo Soini 3.4%Bjarne Kallis 2.0%Henrik Lax 1.6%Arto Lahti 0.4%0ääniä annettuyht. 3 016 8010.5 milj. 1 milj. 1.5 milj.Kuva 1. Pylväskuva.Presidentin vaalit 2006Osuudet annetuista äänistä 1. kierroksella24.1%Tarja HalonenMatti Vanhanen46.3%18.6%11.0%Kuva 2. Piirakkakuva.Sauli NiinistöMuut yht.Väestöpyramidiksi kutsutussa pylväskuvassa tietotiheysonkin jo huomattava, esittäähän se pienessä tilassakoko väestön ikä- ja sukupuolijakauman. Tottuneelleyksi vilkaisu kuvaan 3 antaa yleiskäsityksenSuomen profiilista ja suhteuttaa sen muihin maihin.Kuvan tarkempi tutkailu puolestaan valottaa yksityiskohtaisemminmiesten ja naisten ikäjakaumien erojaja yhtäläisyyksiä sekä ikäryhmien välisiä suhteita.Väestöpyramidissa toteutuvatkin useat tilastollistenkuvien laatukriteerit: informaatiota on monessa tasossa,kuva haastaa vertailemaan ja tarjoaa kiinnostuneelletarkempaa tietoa.90 -85 - 8980 - 8475 - 7970 - 7465 - 6960 - 6455 - 5950 - 5445 - 4940 - 4435 - 3930 - 3425 - 2920 - 2415 - 1910 - 145 - 90 - 4Suomen väestö iän mukaanv.2005 lopussa (www.tilastokeskus.fi)NaisetMiehet200 150 100 50 0 50 100 150 200tuhatta henkeäKuva 3. Väestöpyramidi.Jatkuvan muuttujan frekvenssijakaumaa esittävääpylväskuvaa kutsutaan histogrammiksi. Kuvaan 4 ontilan säästämiseksi aseteltu sisäkkäin kolme histogrammianäytteeksi Pohjois-Amerikan jääkiekkoliigaNHL:n lukemattomista tilastoinnin kohteista kolmeltatyösulkua edeltäneeltä kaudelta. Kaikki kuvat koskevatpelaajakohtaisia tietoja. Kuva 4 a) kuvaa vaihtojenmäärää, siis sitä, kuinka monesti pelaaja on päässytkentälle pelin aikana. Tyypillisin määrä näyttää olevan20:n paikkeilla. Pelien määrän jakauma kauden aikananäkyy kuvasta b), ja kuvan c) aloitusprosentti kertoo,kuinka usein pelaaja on onnistunut siirtämään omallejoukkueelleen erotuomarin pudottaman kiekon.Histogrammin pystyakseli ilmaisee pylvään osoittamaanluokkaan kuuluvien havaintojen lukumäärän.Histogrammeihin liitetään usein normaalijakauman tiheysfunktionkuvaaja, mutta kuten tästäkin nähdään,kaikki asiat eivät ole normaalisti jakautuneita, eivätedes symmetrisiä. Vaihtojen määrän jakauma onlähimpänä normaalijakaumaa, tosin sekin melko vino.Erikoisin jakauma on aloitusprosentilla: valtava piikkinollassa, sen jälkeen erikseen hyvin vino jakaumavälillä 10–70 % ja jälleen toinen piikki kohdassa 100 %.Jääkiekkoa tuntevat keksivät heti selityksen: aloitusprosenttiaei ole mieltä tarkastella kaikkien pelaajienosalta, sillä aloitukset kuuluvat pääasiallisesti vain keskushyökkääjäntehtäviin. Prosenttien kanssa olisi myös

12 Solmu 2/2007hyvä ottaa huomioon lukumäärät. Molemmat kuvanpiikeistä paljastuvatkin lopulta aika turhanpäiväisiksi.Myös kuvan 4 b) jakauma on hyvin kaukana normaalijakaumasta.Jakauman moodiluokan muodostavat ne,jotka ovat pelanneet suurinpiirtein kaikki pelit kaudenaikana.1200NHL:n kolme kautta: 2001 - 2004kuvalla, joka nosti dramaattisella tavalla esiin brittiarmeijanpahimman vihollisen: saniteettiongelman. Nightingalenhuomiolla ja ennen kaikkea sen visualisoinnillaoli huomattavia vaikutuksia terveydenhuollon kehittymisessä.Nightingalen ja Playfairin henkilöhistoriaan ja tilastokuviinvoi perehtyä verkossa mm. Wikipedianvälityksellä. Datan Leonardo da Vinciksi kutsutun tilastotieteenprofessori Edward Tuften teoksiin kannattaatutustua jo yleissivistyksen vuoksi.10008006004002006005004003002001000100080060040020000 10 20 30 40a) Vaihdot/peli0 10 20 30 40 50 60 70 80b) Pelit/kausiValehtelu ja lukutaitoPiirakkakuvista on tullut sittemmin niin sanotunbusiness-grafiikan symboli, ja niihin suhtaudutaan 200vuotta Playfairin jälkeenkin nuivasti, ainakin yliopistomaailmassa.Tämä johtuu paljolti niiden holtittomastakäytöstä, johon taulukkolaskentaohjelmat suorastaankannustavat. Kolmiulotteisen oloisilla, sopivaan perspektiiviinleivotuilla piirakoilla saadaan vaatimatonkinyritys näyttämään kilpailijoihin verrattuna markkinajohtajalta.Vääristeltyjen lukujen ja numeroidenesittämistä pidettäisiin valehteluna, mutta samaa johtopäätöstäei välttämättä osata tehdä vastaavan kuvallisenesityksen perusteella.00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100c) Aloitus-%Kuva 4. Histogrammeja.Histogrammeista historiaanTilastollisten kuvien historia on mielenkiintoinen ja pidempikuin useimpien tilastollisten menetelmien, jotkaon pääosin kehitetty vasta 1900-luvulla. Pylväät ja piirakatkeksi n. 200 vuotta sitten skotlantilainen WilliamPlayfair. Hän oli erikoinen ja ristiriitainen hahmo, jonkaehdotuksiin suhtauduttiin tuolloin varsin kielteisesti.Playfair myös kehitteli ahkerasti viivakuvia ja nykyäänteemakartoiksi kutsuttuja tilastollisia esityksiä.Pylväiden ja piirakoiden osalta hänen arvellaan saaneenvaikutteita veljeltään John Playfairiltä, joka olimatematiikan professori ja perehtynyt Leibnizin ja Eulerin1600–1700-luvuilla kehittämiin logiikan diagrammeihin.Toinen mainittava henkilö 1800-luvulla oli FlorenceNightingale, jonka saavutukset matematiikan ja tilastotieteenpuolella ovat jääneet yleensä vähemmälle huomiollekuin hänen ansionsa sairaanhoidon saralla. Nightingalekeksi kuvata Krimin sodassa menehtyneidensotilaiden kuolinsyitä napakoordinaatistoon piirretylläTietämättömiä on muutenkin helppo hämätä kikkailemallakuvien mittasuhteilla, mikä koskee yhtä hyvinmuitakin kuin piirakoita, myös pylväskuvia. Kaikkienaikojen myydyin tilastotieteen kirja Kuinka tilastoillavalehdellaan esitti jo 1950-luvulla tyypilliset tavat joillalukijaa saatetaan johtaa harhaan tilastokuvien avulla.Yhä ajankohtainen opus kuului aikoinaan tilastotieteentutkintovaatimuksiinkin. Näin haluttiin varmistaaettä ainakin opiskelijat osaisivat suhtautua tilastokuviinkriittisesti ja laatia niitä sortumatta tyypillisimpiinvirheisiin.Viivat ja pisteetSiitä lähtien kun tietokoneilla on voitu tehdä asiallistagrafiikkaa, ovat erityisesti amerikkalaiset tilastotieteilijätJohn Tukey, William Cleveland ja John Chamberskehittäneet uusia tapoja tilastollisten aineistojenvisualisointiin. Yksi on kuvan 5 laatikkokuva, jota Tukeyehdotti eksploratiivisen data-analyysin työkaluksi1970-luvulla.Kuvatyyppi on vähitellen tullut tunnetummaksi, kunyhä useammat ohjelmistot ovat sisällyttäneet sen valikoimiinsa.Silti on monia jotka eivät ole tätä esitystäennen nähneet. Uudempien kuvatyyppien vaarana on,että kuva ei tule lainkaan ymmärretyksi. Kunnollisetselitykset ovat tarpeen.

Solmu 2/2007 13plus/miinuspisteet runkosarjassa+40+30+20+100-10-20Stanley Cup -finalistit 2004Calgary FlamesKuva 5. Laatikkokuva.Tampa Bay LightningLaatikkokuva esittää jatkuvan muuttujan jakaumanhistogrammia tiivistetymmin. Paksu viiva kuvaajärjestetyn aineiston keskimmäistä lukua mediaania,ja laatikko sen ympärillä piirtyy vastaaviin 25 %:n ja75 %:n kohtiin jättäen näin puolet havainnoista laatikonsisään. Suurin osa muista havainnoista kuvautuuvälinä molempiin suuntiin laatikosta, ja vain poikkeavimmathavainnot piirretään yksittäin näiden ulkopuolelle.Kuvassa 5 on lisäksi havainnollistettu keskiarvotrasteina.Laatikkokuva on tehokkaimmillaan, kun se piirretäänjonkin luokittelevan muuttujan luokille rinnakkain. Kuva5 esittää NHL:n Stanley Cup -pokaalista 2004pelanneiden kahden joukkueen eroja pudotuspelejäedeltäneessä runkosarjassa. Pystyakseli kertoo joukkueenpelaajien yhteenlasketut plus/miinus-pisteet. Pelaajasaa kentällä ollessaan plussan kun oma joukkueja miinuksen kun vastustaja tekee maalin. Pelaajan positiivinensaldo osoittaa hänen pelaavan joukkueensahyväksi, negatiivinen viestii ettei joukkuepeli oikein suju.Kuva paljastaa, että pokaalin vienyt Tampa Bay olitässä suhteessa parempi.Presidentin vaalit 2006Annettujen äänien lukumäärät 1. kierroksellaTarja HalonenSauli NiinistöMatti VanhanenHeidi HautalaTimo SoiniBjarne KallisHenrik LaxArto Lahti0ääniä annettuyht. 3 016 8010.5 milj. 1 milj. 1.5 milj.Kuva 6. Pistekuva.Naomi Robbins on tuoreessa kirjassaan ansiokkaastinostanut monia Tukeyn ja erityisesti Clevelandinjo aiemmin ehdottamia kuvatyyppejä uudelleen esille.Yksi näistä on pylväskuvan vaihtoehdoksi tarjottu,visuaalisesti keveämpi pistekuva, jossa pylväät onkorvattu pisteillä ja viivoilla. Kuva 6 esittää tällätekniikalla oleellisesti samat tiedot kuin kuva 1, hiemanpienemmässä koossa ja kokonaan mustavalkoisena.Säännönmukaisuudet hahmottuvat helpommin pistekuvastakuin pylväskuvasta, erityisesti suuremmillaaineistoilla.Perinteisemmin viivoja käytetään aikasarjojen kuvaamisessa.Kuva 7 on tyypillinen viivakuva, joka kertooItämeren kalakannoissa ajassa tapahtuneista muutoksista.Aineiston keruu ja tulosten käyttötarkoitus ratkaisevat,miltä aikaväliltä ja miten tiheästi tietoja kuvassaesitetään. Tässä tiedot vuosilta 1980–2000 on esitettyvuoden tarkkuudella, vaikka ne onkin alunperinmitattu tiheämmin.saalis (kg) ruutua kohden100806040200Itämeren kalansaaliitaData: RKTLkuoresiikakilohailiturska1980 1985 1990 1995 2000Kuva 7. Viivakuva.Kuvassa 7 on neljä aikasarjaa, jotka on piirretty eriväreillä. Värit eivät ole välttämättömiä, sillä joka sarjallaon myös erilainen piste havainnon kohdalla. Pisteetja viivat on selostettu omassa laatikossaan, joka onsijoitettu kuva-alueen tyhjään tilaan ja näin saatu kuvaselityksineen mahtumaan verrattain pieneen kokoon.HajontakuvatVielä pienempään kokoon tietoa on tiivistetty kuvan 8hajontakuvamatriisissa. Tässä esillä on vain muuttujienparittaisten hajontakuvien muodostaman matriisinyläkolmio. Lävistäjällä ovat muuttujien nimet, jaalakolmion tila on käytetty selityksiin. Aineiston kuvaamistakaupungeista erottuu punaisella rastilla piirrettyHelsinki.Hajontakuvamatriisi tarjoaa hyvän yleisnäkymän aineistoon:se paljastaa sekä säännönmukaisuudetettä poikkeamat säännönmukaisuuksista. Muuttujienvälisten riippuvuuksien luonne, mahdolliset

14 Solmu 2/2007epälineaarisuudet ja poikkeavat havainnot tulevatäkkiä esille. Tarkemmin niihin on parasta syventyäpiirtämällä parittaisia hajontakuvia erikseen kiinnostavistamuuttujista. On syytä muistaa, että hajontakuvamatriisiei ole moniulotteinen kuva vaan kokoelmatavallisia kaksiulotteisia kuvia.Economic indicators for 69 world citiesX = HelsinkiFoodVariables:BusXFood price indexdata: Union Bank of Switzerland 2003HoursCost of 10km public transitBreadTeacher’s hours per week of workMinutes of labor to buy 1 kg breadMinutes of labor to buy 1 kg riceRiceMinutes of labor to buy a BigMac and friesXXKuva 8. Hajontakuvamatriisi.XXXXXXXXXXXXBigMacTilastollisessa tutkimuksessa hajontakuvat ja muut pistediagrammitovat yleisempiä kuin pylväät ja piirakat.Etenkin monimuuttujamenetelmillä on tyypillistä pyrkiätiivistämään useampiulotteisten ilmiöiden välisiäsuhteita ja kuvailemaan niitä helpommin tulkittavinakaksiulotteisina hajontakuvan muunnelmina. Kolmiulotteisetesitykset eivät käytännössä auta paljoakaan,sillä reaalimaailman ilmiöt ovat joka tapauksessa moniulotteisempia.Kuva 9 visualisoi erotteluanalyysia, jossa tutkitaanmikä erottaa tunnetut ryhmät toisistaan. Suomen kunnistamuodostetut maantieteelliset alueet eroavat toisistaanmm. elinkeinoprofiileiltaan, vauraudeltaan japinta-alaltaan. Kuva on samalla esimerkki kaksoiskuvasta:samaan koordinaatistoon on piirretty sekä havainnotettä muuttujat. Erotteluavaruudeksi kutsuttukuva avaa useita näkymiä tutkittavaan aineistoon.Hajontaellipsit auttavat hahmottamaan ryhmien muotoaja sijoittumista toisiinsa nähden. Ryhmien keskivaiheillaja siten myös koko kuvan keskellä on eniten ruuhkaa,eikä sieltä ole tarkoituskaan erottaa yksittäisiäkuntia. Kiintoisampia ovat ryhmien reunoilla esiintyvätääritapaukset, kuten teollisuusvaltaiset Keikyä ja Raahe,kooltaan valtavat Inari ja Sodankylä, poikkeuksellisenvauras Kauniainen ja palveluun keskittynyt Kökar.Korppoo kuuluu Ruuhka-Suomeen, mutta sen elinkeinoprofiilion samankaltainen kuin Saaristo-Suomenkuntien.+6+4+20-2-4-6Suomi alueittain:Pohjois-,Keski-,Ruuhka-ja Saaristo-SuomiÄyriKökarLemlandEnontekiöEckerö Vardö BrändöMaarianhaminaKorppoo Hammarland Saltvik Finström JomalaInariSodankylä Muonio PalveluHamina SottungaIi Oulunsalo KeuruuKempeleLumparlandGetaFöglöUtsjokiKemijärviSeinäjokiKontiolahti Mikkelin mlkJuukaIlomantsi Nurmo NilsiäPieksämäkiPihtipudas Siilinjärvi JoensuuPyhäselkäIisalmiKiuruvesi RautalampiHankasalmi Joroinen Joutsa Eno KaaviKivijärvi KuopioKorpilahti Karttula KannonkoskiEnoKauhajoki Kauhava KinnulaHaukivuori HeinävesiEvijärviJuvaJyväskyläKaskinen KerimäkiKitee KonnevesiLieksaLeivonmäkiLiperiMikkeli Tohmajärvi ToivakkaÄhtäri HailuotoHaukipudasKiiminkiKittiläKuhmo PelloYlivieskaSundAlaUukuniemiKuusamo Pelkosenniemi Taivalkoski MuhosNauvoSalla Pudasjärvi Rovaniemen Ylitornio Puolanka Rovaniemi mlk Lammi Sipoo KumlingeSuomussalmi OulainenRuukki TemmesKouvolaPaimioNurmijärviVirolahtiNurmes SulkavaHoutskariSavitaipale SomeroHaapajärvi Posio PaltamoRautavaaraLiminkaRanua Kajaani Soini Piippola Sonkajärvi PielavesiJyväskylän Hartola mlkIsokyröAlajärviKannus Jalasjärvi Juankoski Kristiina Halsua KiihtelysvaaraKuhmoinenLehtimäki Kyyjärvi Lapinlahti Lestijärvi KokkolaKälviäMultia Tuupovaara MäntyharjuSavonlinna Saarijärvi PerhoMaaninkaPunkaharju Sysmä Pieksämäen Luhanka mlkPetäjävesi PolvijärviViitasaariKuivaniemi Vaala SimoKalajokiHattula Ikaalinen Iniö KodisjokiJokioinenKarinainenKarjaaKauniainenKihniö Kotka Lempäälä Nousiainen PiikkiöValkeala OripääVahtoSammatti YlöjärviMaamet Vehkalahti Yläne VesilahtiHaapavesiVesantoAlavieskaOulu Halikko Karvia Aura HämeenkyröLemuKolari PulkkilaTervola Reisjärvi Loimaa LoppiYli-IiRääkkylä Pertunmaa Ilmajoki Anttola Kesälahti LohtajaHirvensalmi HimankaIsojoki AlavusKarijokiKangasniemiKonginkangasKeiteleKarstulaLappajärviPeräseinäjoki PylkönmäkiSavonrantaSumiainen KeminmaaTuusniemiHyrynsalmi Utajärvi Tyrnävä KiikoinenKangasalaKärsämäki TöysäRantasalmiSuonenjoki Muurame KorsnäsLuotoTervo VarpaisjärviMustasaariKurikka LapuaTeuva Pyhäjoki Vieremä Huittinen KemiöKokemäki HauhoKarjalohja Koski tlKöyliöLaitilaRistijärvi Sotkamo TornioKankaanpääHonkajoki Asikkala Värtsilä AlastaroPyhäjärvi Nivala ValtimoLaihia MaalahtiUurainenKestiläRantsila Savukoski Ylikiiminki AskainenLuumäki Kustavi LietoLuviaMaskuMynämäki NoormarkkuOrivesiParikkala PadasjokiMerikarviaMäntsälä Parkano Suodenniemi Vammala YpäjäNakkilaLängelmäkiSauvo Riihimäki PirkkalaPukkilaAskola JärvenpääPerniöJuupajokiPornainen Koski Marttila Lappi PyhärantaPöytyäRaumanVelkua Tuusula TuulosmlkSiikainen Toijala Taipalsaari VihtiVästanfjärd hl EspooSievi Lumijoki MerijärviHyvinkää Kiikala KirkkonummiJaalaLaviaNärpiö UllavaHämeenlinnaMiehikkäläLoimaanSuolahtiVöyri LappeenrantaLemi Hollola IittiKaustinen VirtasalmiKullaa Laukaa RistiinaOutokumpu JämsänkoskiVimpeliKangaslampiJäppiläKruunupyyKuortaneKemi Puumala ToholampiPyhäntä Hausjärvi Elimäki Jämijärvi HumppilaKisko Kiikka ArtjärviKiukainenKuusjokiLiljendalkuntaPernaja Luopioinen Mouhijärvi MerimaskuMyrskylä KuhmalahtiNummiOrimattila PyhtääSäkyläPomarkku PälkäneRuskoSuomusjärvi Tammela TarvasjokiVirrat SuomenniemiUlvilaSaari Punkalaidun Parainen Taivassalo Urjala Pusula KuruLeppävirta Pietarsaaren Heinola AnjalankoskiLokalahtiTammisaariRenko Mietoinen Ruokolahti VantaaVampula Vehmaa Ylämaa NuijamaaRuovesi Vaasa JämsäEurajoki Harjavalta JoutsenomlkVehmersalmi VeteliSiikajoki Kerava KylmäkoskiMaksamaa AlahärmäMellilä Muurla AsuinSiuntioPorvooViljakkalaForssa Kaarina Pertteli RautjärviRuotsinpyhtääKortesjärvi YlihärmäVihantiLapinjärvi Kuorevesi Tampere TurkuSäynätsaloOravainen Heinola UusikaarlepyyPattijoki Kalanti Imatra Karkkila Hanko Kärkölä Raisio Rymättylä LohjaSärkisaloDragsfjärd Sahalahti mlkLohjan kuntaVilppula SaloYlistaro Varkaus Pietarsaari Eura Janakkala TulotasoViiala Lahti Rauma TenholaJurva Vuolijoki LoviisaUusikaupunkiNaantaliVähäkyröPori Äänekoski Nastola Kalvola Kuusankoski InkooMänttäNokiaPohja Helsinki ValkeakoskiRaahe Porvoon mlkTeollKeikyäHajontaellipsit 95 % tasolla-6 -4 -2 0 +2 +4 +6ProfiilikuvatKuva 9. ErotteluavaruusEdellä on viitattu profiileihin niin erotteluavaruudenkuin väestöpyramidinkin yhteydessä. Profiilientunnistaminen ja vertailu onkin hyvä esimerkkisäännönmukaisuuksien hahmottamisesta. Palataanhetkeksi NHL-teemaan ja tarkastellaan kuluneen kaudenparhaiden suomalaispelaajien profiileja tilastomerkintöjenvalossa.Suomalaistähtien pelaajaprofiilitNHL:n runkosarja 2006-2007, yli 50 ottelua pelanneetSelänne Jokinen O Koivu S Timonen Koivu MJokinen J Lehtinen Pitkänen Ruutu T PeltonenSalo Hagman Numminen Kapanen S MiettinenKapanen N Lydman Filppula Ruutu J Kukkonen32Muuttujat:41: Pelatut pelit12: Tehdyt maalit53: Annetut maalisyötöt7Väänänen64: +/- pisteet 6: Ylivoimamaalit5: Jäähyminuutit 7: VoittomaalitKuva 10. Tähtikuva.

Solmu 2/2007 15Kuvan 10 tähtikartta esittää 21 pelaajan profiilit seitsemänmuuttujan suhteen. Kuvaa tarkastelemalla onhelppo huomata samankaltaisia pelaajaprofiileja, esimerkiksiRuudun veljekset kunnostautuvat samoillapelin osa-alueilla ja Kapasilla on muutakin yhteistäkuin nimi.Suomalaispelaajien ryhmittelymuuttujat: ks. tähtikuvaKuva 11. Dendrogrammi.Ruutu JRuutu TPitkänenKoivu SJokinen OSelänneLehtinenJokinen JNumminenSaloPeltonenKoivu MTimonenVäänänenLydmanKukkonenFilppulaMiettinenHagmanKapanen NKapanen Skokonaisilmeen kannalta näkyvämpiä kuin toiset. Esimerkiksityöttömyysaste vaikuttaa suun kaarevuuteen,bruttokansantuote (BKT) naaman kokoon ja suun leveyteen,tuonti nenän pituuteen ja vienti katseen suuntaan.Suomen kansantalous 1976 - 2005BKT, tuonti, vienti, työttömyysaste ja kulutusmenot1976 1977 1978 1979 19801981 1982 1983 1984 19851986 1987 1988 1989 19901991 1992 1993 1994 19951996 1997 1998 1999 2000Tähtikuva on yksi lukuisista edellä mainittujen tilastotieteilijöidenkehittämistä kuvatyypeistä, jotka eivätole hyödyllisyydestään huolimatta yleistyneet. Sen sijaanbiologian sovellusten puolelta periytyvä puukuva,jota kutsutaan dendrogrammiksi, on vakiintunut hierarkisenryhmittelyanalyysin tulosten esitystavaksi.Kuvassa 11 pelaajatähdet on ryhmitelty tähtikuvanmuuttujien perusteella. Kuvien avulla selviää, ettäRuutujen ohella myös Pitkänen on istunut runsaastijäähyllä. Kolme tehokkainta pelaajaa (joista kukaanei valitettavasti ole mukana kevään 2007 MM-kisoissa)erottuu omana ryhmänään, ja lopuista muodostuu pariisompaa ryhmää. Kapaset ovat todellakin pelaajaprofiileiltaanlähimpänä toisiaan.Profiilien hahmottamiseen on lukuisia muitakin keinoja.Ehdottomasti ilmeikkäimmän tavan lukujen janumeroiden kuvaamiseen on esittänyt Herman Chernoff, niin ikään tilastotieteen professori. Chernoffinnaamoina tunnettu tekniikka perustuu ihmisen ilmiömäiseenkykyyn tunnistaa muita ihmisiä kasvonpiirteidenperusteella. Chernoffin alkuperäiseen ehdotukseensisältyy kaikkiaan 18 kasvonpiirrettä, joita voivarioida aineiston muuttujien perusteella.Kuvan 12 naamat heijastelevat viiden keskeisen taloudellisenaikasarjan kehittymistä 30 vuoden aikana.Aikasarjat on kytketty kasvonpiirteisiin, joista osa on2001 2002 2003 2004 2005Kuva 12. Chernoffin naamat.Ilmeistä on helppo havaita 1990-luvun alun laman dramaattinenvaikutus. Piirsin kuvan ensimmäisen kerran1990-luvun lopulla, ja päivitin sen vasta hiljattainmuuttamatta määrityksiä. Hymy oli vihdoin palannut,mutta ilme ei mielestäni ole aivan terve. Ken haluaa,vetäköön tästä mielenkiintoisia johtopäätöksiä hyvinvointiyhteiskunnantilasta.Chernoffin naamakuva on joka tapauksessa erikoislaatuinen,voidaanhan sillä aidosti kuvata useampia asioitayhtäaikaa. Toisaalta kasvokuvat jo sinällään ja sopivienkasvonpiirteiden valikointi herättävät herkästikysymyksen subjektiivisuudesta. Hienosta ideasta jaeräistä näyttävistä sovelluksista huolimatta naamakuvaon jäänyt enemmänkin kuriositeetiksi. Kuvan 10 kuviotovat kieltämättä neutraalimpi tapa kuvata havaintojentai havaintoryhmien profiileja.LopuksiEi riitä että tilastotiedettä ja matematiikkaa opiskelleetolisivat perillä tässä jutussa kuvatuista asioista. Ti-

16 Solmu 2/2007lastollisten kuvien avulla esitetään niin paljon yhteiskunnantilaa kuvaavia tietoja ja tutkimustuloksia, ettäkuvien perusteiden ja tulkinnan ymmärtämisen pitäisikuulua tietoyhteiskunnassa kansalaistaitoihin.Usein pelkkä kuva ei riitä vaan informaation tiivistämiseksitarvitaan myös erilaisia tilastollisia menetelmiä.Tilastolliset kuvat olisikin hyvä piirtää mahdollisimmanjulkaisuvalmiiksi samassa ympäristössä, jossaaineistoa muutenkin käsitellään. Tehokas työskentelyedellyttää, että aineistojen siirtelyt analyysi- jakuvanpiirto-ohjelmien välillä minimoidaan. Toinenhyvä periaate on, että kuvat piirretään ohjelmallisesti,ei siis hiirellä klikkaillen. Tällöin työvaiheiden toistaminenon yksinkertaisempaa, virheet on helppo korjata jatyö voidaan tarvittaessa automatisoida.Tämän jutun kuvat olen piirtänyt Survo-ohjelmistonPLOT-toimintoja käyttäen PostScript-muotoon, jolloinne saa suoraan mukaan mm. L A TEX-dokumentteihin.Olenkin kirjoittanut jutun valmiiksi Survossahyödyntäen sen L A TEX-liittymää. Kuvissa eiole yhtään käsin tehtyä kohtaa vaan kaikkia yksityiskohtiasäädetään kuvanpiirtokaavioissa annetuillatäsmennystiedoilla. Voin milloin tahansa piirtää kaikkikuvat uudelleen yhdellä napinpainalluksella. Aineistojenvaihtuessa uudet kuvat on kätevä ja nopea laatiavalmiita pohjia hyödyntäen. Tällaiset ominaisuudetovat tarpeen muuallakin kuin jutun alussa mainitunNum3rot-sarjan rikostutkinnassa, sillä ylimääräistä aikaaei tunnu enää olevan lainkaan.Viitteet1. Num3rot: www.mtv3.fi/num3rot/2. Numb3rs: www.cbs.com/primetime/numb3rs/3. Wikipedia: a multilingual, free content encyclopedia,http://en.wikipedia.org/4. Herman Chernoff, The Use of Faces to RepresentPoints in K-Dimensional Space Graphically, Journalof the American Statistical Association 68:342,1973, 361–368.5. William S. Cleveland, Visualizing Data, HobartPress, Summit, New Jersey, 1993.6. J. C. Gower and D. J. Hand, Biplots, Chapman &Hall, London, 1996.7. Darrell Huff, Kuinka tilastoilla valehdellaan, alkup.How to Lie with Statistics (1954), Otava, 1974.8. Vesa Kuusela, Tilastografiikan perusteet, Edita,Helsinki, 2000.9. Seppo Mustonen, SURVO MM: käyttöympäristötekstin ja numeerisen tiedon luovaan käsittelyyn,www.survo.fi.10. Seppo Mustonen, Survo ja minä, Survo Systems,Helsinki, 1996.11. Naomi B. Robbins, Creating More EffectiveGraphs, Wiley, New York, 2005.12. Ian Spence, No Humble Pie: The Origins and Usageof a Statistical Chart, Journal of Educationaland Behavioral Statistics 30, 2005, 353–368.13. Edward R. Tufte, The Visual Display of QuantitativeInformation, Graphics Press, Cheshire, Connecticut,1983.

Solmu 2/2007 17Viisi lukion geometrian oppikirjaaMatti LehtinenMaanpuolustuskorkeakouluPaavo Jäppinen, Alpo Kupiainen ja Matti Räsänen:Lukion Calculus 2. MAA3 Geometria. MAA4Analyyttinen geometria. Otava 2005. 210 s. Ovh.24,80.Tarmo Hautajärvi, Jukka Ottelin ja Leena Wallin-Jaakkola: Laudatur 3. Geometria. 227 s. Otava2005. 216 s. Ovh. 12,20.Markku Halmetoja, Kaija Häkkinen, Jorma Merikoski,Lauri Pippola, Harry Silfverberg, Timo Tossavainenja Marja-Leena Viilo: Matematiikan Taito 3.Geometria. WSOY 2005. 197 s. Ovh. 12,20.Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, JohannesPaasonen, Maija Salmela ja Jorma Tahvanainen:Pitkä matematiikka 3. Geometria. WSOY2006. 227 s. Ovh. 12,80.Pekka Kontkanen, Riitta Liira, Kerkko Luosto, JuhaNurmi, Riikka Nurmiainen, Anja Ronkainen ja SiskoSavolainen: Pyramidi 3. Lukion pitkä matematiikka.Geometria. Tammi 2005. 216 s. Ovh. 12,00.On kulunut jo pitkä aika siitä, kun geometria oli matematiikankeskeisintä sisältöä ja sen opettamisen jaoppimisen pohjimmaiseksi syyksi esitettiin loogiseenajatteluun harjaannuttamista. Sana looginen mainitaanyhä opetussuunnitelman perusteissa: matematiikanpitkän oppimäärän tavoitteisiin kuuluu, että opiskelija”oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisenarakenteena”. Lukion pitkän matematiikan geometriaksinimetyn kurssin MAA3 spesifisistä tavoitteista ensimmäinenon, että ”opiskelija harjaantuu hahmottamaanja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoasekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa”. Lisäksiopiskelijan tulisi harjaantua ”muotoilemaan, perustelemaanja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviälauseita” ja ratkaista geometrisia ongelmia ”käyttäenhyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta,Pythagoraan lausetta sekä suora- javinokulmaisen kolmion trigonometriaa”. Nämä tavoitteetopetussuunnitelma ajattelee saavutettavan kurssilla,jonka keskeiset sisällöt ovat ”kuvioiden ja kappaleidenyhdenmuotoisuus, sini- ja kosinilause, ympyrän,sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria” sekä”kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien,pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen”.Esittelen tässä viisi lukion pitkän matematiikan geometriankurssia varten kirjoitettua oppikirjaa. Oppikirjaesittelyjenedellisessä osassa (Solmu 2/2006) mukanaolleiden sarjojen lisäksi vertailussa on nyt myösCalculus-sarjan kirja. Muista poiketen Calculus on nitonutsamoihin kansiin geometrian ja analyyttisen geometriankurssit. Geometrian kurssin osuus päättyy sivulle119, joten Calculus on kirjoista selvästi suppein.Kirjat ovat kaikki erilaisia. En yritä asettaa niitä paremmuusjärjestykseen,joskin mielipiteeni tulevat esiinitse kutakin kirjaa käsiteltäessä.

18 Solmu 2/2007Edellisen esittelyn tiedot kirjojen ulkonaisista ominaisuuksistapätevät pääosin geometrian kirjoihinkin.Laudatur-sarjaan on kuitenkin ilmestynytväripainatus, jota Pyramidissa nähtiin jo ykkösosassa.Calculus on kaksivärinen samoin kuin Pitkä matematiikkaja Matematiikan taito. Calculuksen mukaan tulonjälkeen en voi enää sanoa, että kaikkien kirjojentekijäryhmissä olisivat molemmat sukupuolet edustettuina– mikä ei tietysti sinänsä ole tarpeenkaan. Otavanäyttää käyttävän kirjoittajina opettajia, muidenkustantajien työryhmissä on mukana myös korkeakoulutaustaisiatekijöitä. Calculuksenkin kirjasin näyttää12 pisteen korkuiselta. En ole typografian asiantuntija.Paljaalle silmälle kaikkien kirjojen käyttämä kirjasinlajinäyttää varsin samanlaiselta. Kirjoista painavimmatovat Laudatur ja Pyramidi, 437 g. Calculus, vaikkasisältää kaksi kurssia, painaa vain 403 g, Pitkä matematiikka395. Keveintä tietoa näyttää olevan Matematiikantaito: vaaka näytti vain 343 g. – Punnitsin vertailunvuoksi myös takavuosien koviin kansiin sidotutoppikirjat, Kalle Väisälän Geometrian ja kaksiosaisenKallion, Malmion ja Apajalahden Geometrian. Edellinenpainoi 273 g, jälkimmäisen osat (joista vain toinenkulki kerrallaan koululaisen laukussa) yhteensä 462 g.Calculusta ja Pyramidia lukuun ottamatta kirjojen alkuunon painettu kurssin ajankäyttöehdotus. Laudaturottaa huomioon eripituiset oppituntikäytännötkin.Ajankäyttösuunnitelmia ei voi suoraan verrata toisiinsa,koska ne on sovitettu kuhunkin kirjaan, ja asioidenjaottelussa on eroja. Samoin kuin ykköskurssissa, Matematiikantaito ehdottaa 30 tunnin käyttämistä, Pitkämatematiikka 28:aa ja Laudatur 27:ää. Jokaisen kirjanloppuun on painettu asiahakemisto.Kirjojen esimerkkitehtävät sisältävät säännönmukaisestijonkin laskutoimitusketjun, jonka päätteeksi saadaantoivottu tulos. Matematiikan taitoa lukuun ottamattakirjat esittävät lopputuloksen kahdesti, jälkimmäiselläkerralla niin, että tulosta edeltää sana Vastaus. Seuraavalainaus on Laudaturista, mutta se voisi olla yhtähyvin Calculuksesta, Pitkästä matematiikasta tai Pyramidista:”Neliön piirin suhde ympyrän piiriinp neliö= 4r√ πp ymp 2πr= 2√ ππ ≈ 1,13Vastaus: Neliön piirin suhde ympyrän piiriin on 2√ ππ≈1,13.”Yksi kirjojen yhteinen piirre jää hiukan kummastuttamaan.Kaikki tietysti määrittelevät ainakin sini- jakosinifunktion ja käyttävät niitä opetussuunnitelmanmukaisesti kolmion osien ratkaisemiseen. Yksikään kirjaei omista puolta sanaa sen pohtimiseen, mistä laskimensuoltamat sinit ja kosinit oikeastaan tulevat.Kaikki viisi kirjaa tasapainolevat geometrian kurssinristiriitaisuuden kanssa: asiaa on sinänsä paljon, laskentoon tarpeellista, mutta geometrian tulisi olla myös janimenomaan matemaattiseen ajatteluunkin koulivaa.Ei ole kirjojen vika, ainakaan pelkästään, että geometriaei oikein löydä paikkaansa lukiossa. Olisiko laskentoja deduktio erotettava kerta kaikkiaan omiksi kursseikseen,jälkimmäinen ehkä vain erikoiskurssina eliittiävarten?CalculusCalculuksen kaksi lukiokurssia sisältävän niteen geometriaosuuson vain 119 sivun mittainen. Esitys onsiis selvästi tarkasteltavista kirjoista suppein. Esityson jaettu neljään varsinaiseen lukuun: Tasogeometria,Kolmion ratkaiseminen, Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuussekä Avaruusgeometria. Kirjassa on vielä asteriskinlisäainekseksi osoittama geometrisia konstruktioitaesittelevään osa. Harjoitustehtäviä on, mallikokeetmukaan lukien, 371 kappaletta. Melkein kaikki tehtävätovat laskutehtäviä. Vastaukset annetaan luettelossa silloin,kun ne ovat numeerisia. Harjoitustehtävät onluokiteltu perustehtäviksi ja vaativammiksi tehtäviksi.Suurta vaativuuseroa ei näissä näytä olevan. Ne melkoharvat tehtävät, joissa ratkaisijalta toivotaan perusteluja,on yleensä luokiteltu vaativampien osastoon. Näinpiiloviestitään, että geometria olisi ensi sijassa laskentoa.Kirjan esimerkkilaskuissa on sekä (huonoa) tauluesitystyyliä– peräkkäisiä lausekkeita ilman selityksiä taivälimerkkejä – että korrektisti normaalia kirjoitustapaakäyttäen esitettyä tekstiä.Luku Tasogeometria alkaa Eukleideen viiden postulaatinluettelosta ja aksiomaattisen menetelmän esittelystä.Tästä eteenpäin kirja ei kuitenkaan noudatajohdonmukaisen esityksen kaavaa. Joillekin käsitteilleesitetään täsmällisen määritelmän oloisia kuvauksia,toiset vain tulevat vastaan, ilman että niitä erityisestitoivotettaisiin tervetulleiksi tai esimerkiksi viitattaisiinsiihen, että käsite on perusasteen kurssista tuttu. Tarkkalukija saattaa kuitenkin keksiä määritelmät – esimerkiksikäsitteille hypotenuusa ja kateetti –kuvioista.Harjoitustehtävissä saatetaan vedota tietoihin, jotkaeksplisiittisesti tuodaan esiin myöhemmin. Näin esimerkiksitangenttinelikulmion sivujen pituuksia koskevassatehtävässä. Osa tarjotusta tiedosta on eksplisiittisestimuotoiltu lauseiksi. Joidenkin yhteyteen on painettuvirke, jossa kerrotaan todistuksen olevan harjoitustehtävä.Näitä tehtäviä ei kuitenkaan ole uudelleenesitetty harjoitustehtäväluettelossa.Luku Kolmion ratkaiseminen lähtee liikkeelle Pythagoraanlauseesta. ”Muistikolmiot” esitellään vaiheessa,jossa niiden muistettavuuden merkitystä ei voidaperustella. Trigonometrisistä funktioista otetaan

Solmu 2/2007 19käyttöön sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Funktioidenmäärittelyn kannalta olennaista yhdenmuotoisuudenkäsitettä ei ole tässä vaiheessa käytössä. Sininja kosinin määritelmät laajennetaan suoran kulmanja oikokulman välille. Sinilause perustellaan kolmionalan kirjoittamisella eri tavoin muotoon 1 ab sin γ. Sinilauseestaluvataan hiukan liikaa: kolmion muita osia2ei toki voi sen avulla laskea, jos yksi pari sivuja ja vastaisiakulmia tunnetaan.Yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta käsittelevä lukumäärittelee yhtenevyyden kuvioiden ominaisuutenaolla asetettavissa päällekkäin niin, että kuviottäysin yhtyvät. Kolmioiden viisi yhtenevyyslausettaluetellaan ja luettelon jälkeen kerrotaan,mitä on todistaminen ja todistetaan kolme esimerkkilausetta.Yhdenmuotoisuuden määritelmäksi esitetäänkaikkien vastinjanojen verrannollisuus. Tästä sanotaanseuraavan kaikkien vastinkulmien yhtäsuuruuden.Määritelmän mukaan yhdenmuotoisuuden testaaminenvaatisi äärettömän monien janaparien mittaamisen.Määritelmän jälkeisessä esimerkissä on monikulmioitaja esitellyt vastinjanat monikulmioiden kärkienvälisiä. Määritelmästä siirrytään virkkeeseen, jossa luetellaankolmioiden yhtenevyyslauseet (vain kirjainlyhenteinä)ja kirjoitetaan auki yhdenmuotoisuuslausekk, jonka totuuden kerrotaan olevan ilmeinen. Lukuunon vielä sisällytetty kolmion merkillisten pisteiden luetteloja yhdenmuotoisuuden sovelluksena pisteen potenssinkäsitteen esittely.Avaruusgeometria-luku alkaa suorien ja tasojenkeskinäisten asentojen esittelyllä. Tason normaalimääritellään suoraan kahta tason suoraa vastaan kohtisuoranasuorana. Säännölliset monitahokkaat luetellaan.Lieriön määritelmä on tyypillisen epämääräinen:”Kun suora liikkuu avaruudessa suuntansa säilyttäenja palaa takaisin lähtökohtaansa, syntyy suljettu lieriöpinta.Entä jos suora liikkuisi vaikka ”paikallaan”edestakaisin? Kartion määritelmä antaisi vastaavastimahdollisuuden erilaisiin tulkintoihin. Prismat japyramidit esitetään lieriöiden ja kartioiden erikoistapauksina,niin kuin toki mahdollista onkin. Pallostaannetaan vain erilaisia mittalukuja.Calculuksen esitys ei sisällä ylimääräisiä koristeluja senenempää tekstin kuin kuvituksenkaan puolella. Calculuksenlukija oppii laskemaan geometristen kuvioidenmittalukuja. Geometria loogisena oppirakennelmanatuskin kovin selvästi lukijan eteen avautuu.LaudaturLaudaturin ote aiheeseen on selvästi lennokkaampija myös lukijaa kosiskelevampi, alkaen esipuheenpäiväyksestä ”Keuruulla mäntyjen siitepölyn liidellessäpilvinä”. Värejä käytetään ja kirjassa on myös muutamalöyhästi tekstiin liittyvä värivalokuva, esimerkiksisarvikuonoista, kun tehtävänä on laskea pennun jatäysikasvuisen massojen suhdetta. Parista kuvasta tunnistaaoululaistaustan. Lisäksi kirjan sivuille on ripotelturunsaasti pieniä eläinaiheisia karikatyyrejä. Kirjanyleisasu on levoton: eritummuisia ja reunuksin koristetutlaatikot täyttävät monien aukeamien pinta-alastayli puolet.Laudaturin harjoitustehtävien määrä, 574, on suurinvertailtavien kirjojen joukossa. Mukaan on poimittumuutamia hyvinkin vanhoja ylioppilastehtäviä. Jokunenharjoitustehtävä on kirjoitettu englanniksi, ruotsiksi,saksaksi, ranskaksi tai viroksi. Tehtävistä noin 15on luonteeltaan todistustehtäviä. Laskutehtävien numeerisetvastaukset kerrotaan vastausluettelossa.Kirjan alkaa lähtötaitotesti, jossa kysytään samojaasioita, joita kirjassa sitten opiskellaan. Sitten seuraajohdanto, jossa mm. väitetään paralleeliaksiooman todistamisenolleen keskiajalla kullan valmistuksen ohellamuotiongelma ja käytetään vastaoletuksesta nimitystävastaväite. Varsinaiset asiat on ryhmitelty 11 lukuun.Luku peruskäsitteitä alkaa todistuksen rakenteenesittelyllä. Saamme tietää, että perustelu ei oletäysin pätevä todistus. Pisteen määritelmää ”suureena,jolla on paikka, mutta ei ulottuvuutta” seuraa ilmoitus,että ”pistettä tai oikeastaan sen kuvaa merkitäänisoilla kirjaimilla A, B, . . . ” Suoraa ei sittenenää määritelläkään, sanotaan vain, että se voidaanusealla tavalla määritellä. Kirjan ilmaisu on useastikiusallisen epätäsmällistä: ”Aste voidaan kirjoittaa desimaalilukunakuten mikä tahansa luku, esimerkiksi54,25 ◦ ”.Laudatur siirtyy jo toisessa luvussa yhdenmuotoisuuteen,joka määritellään ominaisuutena olla samanmuotoinen,muttei välttämättä samankokoinen.Sen kummemmin filosofoimatta ilmoitetaan, että yhdenmuotoisuusseuraa vastinjanojen ja vastinkulmienyhtäsuuruudesta. Yhdenmuotoisten kuvioiden pintaalasuhteestaloikataan sujuvasti yhdenmuotoisten kappaleittentilavuussuhteeseen.Kolmas luku käsittelee kolmioita. Luvun ensimmäinenvirke ilmoittaa, että kolmion kärjet nimetään isoillakirjaimilla aakkosjärjestyksessä vastapäivään.Käytäntöä ei ole helppo noudattaa kuvioissa, joissaon useita kolmioita. Kolmioiden yhtenevyysmääritellään päällekkäin asettamisen kautta ja yhtenevyyslauseettodistetaan. Kolmioiden yhdenmuotoisuudenmääritelmäksi esitetään vastinkulmien pareittainenyhtäsuuruus. Yhdenmuotoisuuskriteerien olemassaoloilmoitetaan, mutta vain ”kk” mainitaan. Kolmionmerkillisiä pisteitä luetellaan, mutta niiden perustelujaei esitetä. PS-tietona annetaan kuitenkin Heronin kaavaja sanotaan, että se on ainoa tapa laskea kolmion alatuntematta trigonometriaa. Kaava A = 1 ah on edel-2

20 Solmu 2/2007lisellä aukeamalla, joten ilmoitus saattaa ihmetyttäälukijaa.Oma lukunsa on omistettu ”kulmien piirtämiselle harpillaja viivaimella”. Lukijaa jää vaivaamaan ilmoitus”Piirrettäessä suoralle normaali käytetään suorakulmanpuolittamista.”Luvussa Suorakulmainen kolmio otetaan käyttöön sini,kosini ja tangentti. Määrittelyyn liittyvä suorakulmaistenkolmioiden yhdenmuotoisuus otetaan huomioon.”Muistikolmiotkin” tulevat loogisesti oikea-aikaisesti.Sinin ja kosinin määritelmän laajentaminen tylppiinkulmiin saa oman lukunsa, samoin sinilause ja kosinilausekumpikin. Monikulmioita käsittelevään lukuunon niputettu muutama pinta-alakaava ja muutamasuunnikkaan ominaisuuden todistus (joista yhdessäviitataan minulle outoon ja kirjassa esittelemättömään”sääntöön (kks) k ”). Luvussa Ympyrä esitellään nimityksiä.Kehäkulmalauseen todistusta ei esitetä, sanotaanvain sen olleen todistettu jo Eukleideen aikana.Sen sijaan lauseen se erikoistapaus, jossa kehäkulmantoinen kylki on halkaisija, esitetään esimerkkinä, jonkalähde on syksyn 1996 ylioppilaskirjoitus. Omituinen onmyös resepti ympyrän kaaren pituuden laskemiselle: sesaadaan ”laskemalla ensin koko ympyrä piiri, ja sittenyhtä astetta vastaavan kaaren pituus. Tämä kerrotaankeskuskulman suuruudella, jolloin saadaan keskuskulmaavastaava kaari.”11. luku vie taas kolmiulotteiseen maailmaan: se kertoopallosta. Saamme mm. tietää, että ”Leikattaessapallo kahteen osaan leikkauspinta on ympyrä” ja että”Leveyspiiri tarkoittaa sitä kulmaa, joka muodostuisikäsiesi väliin, jos seisoisit maapallon keskipisteessäpitäen toisella kädellä kiinni päiväntasaajasta ja toisellakyseisestä leveyspiiristä”! Saman, ilmeisen huolimattomastikootun luvun harjoitustehtävissä Tallinnasijoitetaan vain 50 km päähän Helsingistä. Ulkoluodoltaulkoluodolle saattaa näin ollakin, mutta Suurkirkonja Tallinnan Raatihuoneen välimatkaksi voi laskeanoin 82 km. Luvun 12 alkaa lieriön määritelmä. Calculuksensuoran sijasta Laudaturin lieriö syntyy jananliikkuessa avaruudessa suuntansa säilyttäen. Hyvä olisinytkin hiukan rajoittaa lisää janan liikkumisvapautta.Seuraavassa luvussa kartiopinta syntyykin puolisuoranliikkeen tuloksena ja kartio sitten tasoleikkauksena.Kartiolla voi olla sivutahkoja, koska pyramidi onkartio, jonka sivutahkot ovat pohjaa lukuun ottamattakolmioita.Loppuun päästyään kirja alkaa alusta uudestaan. Olennainenasiasisältö on kirjoitettu – uusin laskuesimerkeinhöystettynä – parille kymmenelle sivulle. Takakannensisäpuolella on ulos taitettava sivu, jossa ontärkeimpiä laskukaavoja ja mm. trigonometristen funktioidenmääritelmät.Laudatur olisi selvästi hyötynyt oppikirjatarkastuksesta.Se antaa vaikutelman innostuksen vallassa muttahiukan lievällä itsekritiikillä kootusta paketista. Toivottavastikirja saa uusia painoksia, joissa kummallisuuksiaon vähemmän. Tekijöiden näkemys geometriastalaskentona tuskin poistuu.Matematiikan taitoMatematiikan taito on ulkonaisesti konstailematon.Pienempi kirjasin ja tehokkaammin käytetty sivutilamerkitsevät mahdollisuuksia runsaampaan asiasisältöön,vaikka kirjan sivumäärä on joukon toiseksipienin. Harjoitustehtäviä on 443. Muista kirjoistapoiketen myös todistusluonteisten tehtävien ratkaisujatai ratkaisuvihjeitä on vastausluettelossa. Kirjanlaskuesimerkit on esitetty suomen kielen kirjoitussääntöjenja matematiikan käytänteiden mukaisesti,välimerkkejäkään unohtamatta.Matematiikan taito jakaa aineksensa kuuteen lukuun.Ensimmäiseen lukuun, Tasogeometrian perusteita, onperusnimitysten ohessa liitetty sinin, kosinin ja tangentinmääritelmät suorakulmaisessa kolmiossa; tarvittaviinyhdenmuotoisuustietoihin luvataan palatamyöhemmässä luvussa. Lukuun on vielä sisällytettykeskeiset pinta-alakaavat.Toisessa luvussa esitellään geometrista todistamista.Esimerkkinä todistetaan pari lausetta. Kolmion sivujenja kulmien suuruusjärjestyslauseen todistus – niinkuin moni muukin alkeisgeometrian lause – nojaa olennaisestipons asinorumiin, lauseeseen tasakylkisen kolmionkantakulmista. Matematiikan taito lupaa todistaalauseen aikanaan ja ilmoittaa sen tässä yhteydessäaksioomaksi.Kolmas luku, Yhtenevyys, alkaa määrittelemällä kaksikuviota yhteneviksi, kun ne ovat ”samanmuotoisetja samankokoiset”. Yhtenevyyden perustaminen kuvioidentoinen toisensa peittämiseen torjutaan, muttaseuraavassa kappaleessa kuvion vastinosat määritelläänkuitenkin juuri päällekkäin asettelun avulla. Kolmioidenyhtenevyyslauseet esitetään ja niiden sovelluksenatodistetaan mm. edellä mainittu tasakylkisen kolmionkantakulmalause. Matematiikan taidon todistusesimerkiton varustettu eräänlaisin todistuksen rakennettaosoittavin kulkukaaviokuvioin. Lukijalle ei hetiselviä, miksi kuvion laatikkojen sisältämät relaatiot ontoisinaan varustettu kysymysmerkein. Luku ei aivan radikaalistipoikkea perinteisestä deduktiivisesta geometriankäsittelystä.Kirjan neljäs luku käsittelee yhdenmuotoisuutta. Yhdenmuotoisuusmääritellään monikulmioille: vaatimuson vastinsivujen verrannollisuus ja vastinkulmienyhtäsuuruus. Yhdenmuotoisuus laajennetaan erikseenkoskemaan ympyrää – koska ympyrä on monikulmionrajatapaus. Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet luetellaankaikki ja niiden sisältö osoitetaan kuvioiden

Solmu 2/2007 21avulla. Merkillisiä pisteitä koskevia lauseita todistetaan.Korkeusjanoja koskeva lykätään kuinekin analyyttisengeometrian kurssiin.Luku vinokulmaisen kolmion trigonometriasta alkaasuunnatun kulman määritelmällä ja esittää sinin ja kosininmääritelmän koordinaatistoympyrän avulla negatiivisillekinkulmille. Useampia kierroksia origonympäri ei kuitenkaan tehdä. Sinilauseelle esitetäänmyös täydennys, joka koskee kolmion ympäri piirretynympyrän sädettä.Viimeisen luvun aiheena on avaruusgeometria. Tasonnormaalisuora määritellään tason kaikkia suoria vastaankohtisuorana. Monitahokkaisiin liittyviä käsitteitäesitellään verrattain seikkaperäisesti. Särmiöt ja pyramiditesitellään monitahokkaina, ei lieriöinä tai kartioina.Lieriön ja kartion määritelmässä liikutellaan suoraapitkin käyrää, ehkä hiukan täsmällisemmin kuvattunakuin Laudaturissa tai Calculuksessa. Lukuun kuuluutietysti erinäisten mittalukukaavojen esittely. Myösyhdenmuotoisuutta kolmessa ulottuvuudessa sivutaan,tilavuuksien suhteen kaavan perustelemiseksi.Samoin kuin Laudatur, Matematiikan taito päättää esityksenkertaukseen. Se on tiivis, vain kuusisivuinen,eikä sisällä laskettuja esimerkkejä. Matematiikan taidonerikoisuus on pieni suomalais-englantilainen sanakirja.Vaikkapa internetistä lisätietoa hakevalle saattaisienglantilais-suomalaisesta sanastosta olla enemmäniloa. Sanastossa on sanoja, joita ei kirjassa esiinny, kutenhomotetia.Matematiikan taito on kirjoista selvästi kunnianhimoisin.Se tavoittelee selvästi ”vanhan hyvän ajan” oppikirjanilmettä. Opetussuunnitelma ja aikakehys eivätoikein anna tätä tavoitetta saavuttaa. Ainakin minustaMatematiikan taito oli vertailtavista kirjoista miellyttävinlukea.Pitkä matematiikkaPitkä matematiikka on typografisesti melko konstailematon.Turhia kuvia ei ole, mutta ruskeankeltaisenvihertävää ja liukusävytettyä pohjaväriäkäytetään runsaasti. Laskuesimerkit esitetään useimmitenvälimerkittömällä taulutekniikalla, mutta muutamasuomenkielen mukaisesti esitetty esimerkki onpäässyt mukaan. Laskutehtävien algebra esitetään tuskastuttavakinseikkaperäisesti: jopa saman symbolinsupistaminen jakolaskussa on erikseen osoitettuvärillisin päällepainantein. Harjoitustehtäviä on 478.Ne on luokiteltu kahteen tasoon ”perustehtäviä” ja”perustehtäviä ja vaativampia tehtäviä”. Myös perustelujakysyviin tehtäviin annetaan ainakin vihjeitä vastausluettelossa.Myös numeeristen tehtävien ratkaisuihinannetaan ohjeita, toisin kuin muissa kirjoissa. Pitkämatematiikka pelaa avoimin kortein: heti alkuun on kopioituLukion opetussuunnitelman perusteista kurssinkannalta relevantit osat.Kirjan ainesta ei ole muiden vertailtavien teostentavoin kirjattu numeroituihin lukuihin.Sisällysluettelossa on 18 asiaotsikkoa. Pitkä matematiikkatukeutuu muita kirjoja selvemmin perusopetuksessasaatuun oppiin. Niinpä se käy suoraankäsitteeseen kulma, ilman pisteen, suoran, aksiomatiikantai muun taustan esittelyä. Yhtenevyydelle Pitkämatematiikka ei uhraa sanaakaan. Yhdenmuotoisuudenmääritelmä perustetaan suoraan yhdenmuotoisuuskuvauksiin,siirtoon, kiertoon, suurentamiseen,pienentämiseen tai peilaamiseen. Mitä nämä taas ovat,jätetään kertomatta! Vastinosien määritteleminen onjoka tapauksessa nyt yksinkertaista. Kolmioiden yhdenmuotoisuudestamainitaan ”kk”-kriteeri. Yhdenmuotoistenkuvien alojen suhde perustellaan kuvioidentyhjentämisellä suorakaiteiden avulla.Suorakulmaisen kolmion trigonometriajakson alussaotetaan huomioon sinin, kosinin ja tangentin hyvänmäärittelyn vaatima yhdenmuotoisuus. Pitkä matematiikkaantaa monin paikoin alaviitteissä varsinaistatekstiä täydentävää tietoa. Pitkän matematiikan lukijaon kuvitelluista kirjankäyttäjistä ainoa, joka saa tietää,että on olemassa myös trigonometriset funktiot sekanttija kosekantti. Sinin ja kosinin määritelmä laajennetaantylppiä kulmia koskevaksi. Tässä ja muissakinyhteyksissä Pitkä matematiikka opastaa lyhyesti laskimenoikeaan käyttöön. Sinilause ja kosinilause saavatkumpikin omat kappaleensa. Ainoana vertailun kirjoistaPitkä matematiikka perustelee sinilauseen laskemallakolmion korkeusjanan kahdella tavalla – muut kirjatlaskevat kolmion alaa, mikä on jonkin verran kerroksellisempipäättelyn tapa.Ympyrän geometriaa käsitellään Ympyrä-, Ympyräntangentti- ja Kehäkulma-nimisissä jaksoissa. Tangentinominaisuudet esitetään ilmoitusasioina, muttakehäkulmalauseelle esitetään todistus. Tasakylkisenkolmion kantakulmalausetta käytetään luonnollisestihyväksi ilman, että asiaan kiinnitettäisiin huomiota.Lausetta ei sinänsä kirjassa olekaan.Avaruusgeometrian osuus ei sisällä yleisiä pohdiskelujatasoista ja suorista, vaan alkaa suoraan suorakulmaisensärmiön käsittelyllä. Tasoista ja suorista ja niihin liittyvistäkulmista on kuitenkin esitys otsikon Kulma avaruudessaalla myöhemmin. Pallosta esitetään sekä mittalukujaettä maantieteellinen tulkinta. Lieriö ja kartiomuodostetaan käyrää pitkin liikkuvan suoran avulla,prismat ja pyramidit erikoistapauksina. Kirjan päättäätyylikkäästi – niin kuin Eukleideen Alkeetkin – katsaussäännöllisiin monitahokkaisiin. Pitkässä matematiikassatämä tapahtuu viimeisessä harjoitustehtävässä. Laudaturintapaan Pitkä matematiikkakin tiivistää sanottavansa20-sivuiseen kertausosastoon, jossa on myöslisää laskettuja esimerkkejä.

22 Solmu 2/2007Pitkän matematiikan lopussa on vielä aukeaman mittainensanasto, jossa on 38 hakusanaa.Pitkä matematiikka ei ole geometrian esittelyssään erityisenkunnianhimoinen. Kirjaa lukee kuitenkin luottavaisinmielin: se vaikuttaa ammattitaitoisesti tehdyltä.PyramidiPyramidi on värikäs. Tekstiä korostetaan sekä keltaisinettä kevyesti vihertävänharmain pohjin, lukujen numerotovat valkoisia karmiinilla pohjalla ja kuvioissaon eri värejä. Kirjassa on vielä aika suurikokoisiakinmustavalkoisia karikatyyrinomaisia piirroksia ja yksi eikovin tiukasti asiaan liittyvä värivalokuva, yhden kirjantekijän Thaimaan-matkalta kameraan jäänyt. Harjoitustehtäviäon 331, mikä on vertailun kirjojen pieninmäärä. Vain numeeriset vastaukset on esitetty vastausluettelossa.Pyramidi esittää laskuesimerkit ”taulutekniikalla”,laskujen algebralliset välivaiheet tarkkaanläpikäyden.Kirja alkaa lyhyellä historiallisella johdannolla, jossamainitaan antiikin kolme vaikeaa konstruktioongelmaa.Varsinainen asia esitetään kymmenessä luvussa,jotka on vielä jaettu yleisotsikoiden Tasogeometriaja Avaruusgeometria alle. Ensimmäisessä Tasogeometrianperuskäsitteitä -luvussa on omana osastonaanjanan jakosuhteen käsittely. Luvussa Monikulmiot esitetäänmm. lauseke n-kulmion lävistäjien lukumäärälleja toisaalta peruspinta-alakaavat sekä kolmion merkillistenpisteiden ja suunnikkaiden faktat ilman todistuksia.Ympyrää käsittelevä luku motivoi asiaa yllättävästitaitoluistelijan pakollisten kuvioiden kautta. Hetipäästään kuitenkin nimityksiin ja laskukaavoihin.Kehäkulmalause seurauksineen esitetään todistuksetta.Sen sijaan Hippokrateen puolikuiden ominaisuus todistetaan.Yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta käsitellään samassaluvussa. Yhtenevyys määritellään samanlaisella nostetaanitseä hiuksista -tempulla kuin yhdenmuotoisuusPitkässä matematiikassa: ”Kuviot K ja K ′ ovat yhtenevät,kun kuviosta K saadaan kuvio K ′ yhdellätai useammalla yhtenevyyskuvauksella (siirto, kiertoja peilaus)”. Kolmioiden yhtenevyyteen riittävät kuitenkinyhtenevyyskriteerit, jotka esitetään huolellisesti.Yhtenevyyslauseiden seurauksista todistetaan muutamiaesimerkkeinä. Näiden joukossa on myös tasakylkisenkolmion kantakulmalause. Yhdenmuotoisuudenmääritelmä perustetaan vastaavasti yhdenmuotoisuuskuvauksiin.kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseetesitellään kaikki. Ja vaikka tasogeometrian otsikon allamennään, ilmoitetaan myös yhdenmuotoisten kappaleidentilavuussuhdekerroin.Luku Kolmion ratkaiseminen alkaa Pythagoraanlauseesta ja tuo kolme trigonometrista funktiota suorakulmaisenkolmion avulla, ilman varoittelua yhdenmuotoisuudentarpeesta. Trigonometriset funktiot tulevatPyramidissa vastaan huomattavasti myöhemminkuin muissa kirjoissa. Pyramidi ei myöskään näe vaivaafuktioiden arvojen laajentamiseksi tylpille kulmille.Kaavat sin(180 ◦ −α) = sin α ja cos(180 ◦ −α) = − cos αannetaan ilmoitusasioina. Kirja ei käytä termiä muistikolmio.Muista kirjoista poiketen Pyramidi esitteleeensin kosinilauseen ja vasta sitten sinilauseen.Avaruusgeometriaosuus alkaa tasojen ja suorien suhteidentarkastelulla ja siirtyy kohta monitahokkaisiinja Platonin kappaleisiin. Lieriö ja kartio määritelläänmelko selkeästi, mutta samalla tavalla suoraa liikuttaenkuin muissakin kirjoissa. Prismat käsitellään lieriöinäja pyramidit kartioina. Pallon esittely on lyhytja asiallinen.Varsinaisen tekstin jälkeen Pyramidissa on 30 sivunmittainen Lisätietoa-osasto. Se alkaa epäeuklidisengeometrian esittelyllä ja Beltramin ja Kleinin mallinkuvailulla. Sitten seuraakin katsaus piirtämiseen harpillaja viivoittimella, pinta-alan tarkempi käsittely,ympyränmitannon perustelua ympyrän sisään piirretynmonikulmion sivun pituuden laskemisen kautta.Yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuskuvaukset esitelläänja kolmioiden yhtenevyyslauseet perustellaan niidenavulla. Ongelmaa, joka syntyy siitä, että yhtenevyyskuvaustenmäärittely – jos se halutaan osaksi geometrianjärjestelmää – vaatii yhtenevyyslauseisiin perustuvaatietoa, ei kuitenkaan pohdita. Monikulmion kulmiensummalauseelle esitetään varsin hieno, yleisen monikulmiontapaukseen käyvä todistus. Kolmion merkillisiäpisteitä koskevat lauseet todistetaan samoin kuinkehäkulmalause. Avaruusgeometrian puolelta todistetaanvielä tason normaalisuoraa koskeva peruslause.Liiteosa tekee Pyramidista kaksijakoisen. Varsinainentekstiosa on samaan tapaan kuin Calculus, Pitkä matematiikkatai Laudatur laskennollisesti orientoitunut,mutta loppuosa kertoo geometriassa olevan matematiikkaakin,ja paljon.

Solmu 2/2007 23Hauskoja aivopähkinöitä lapsille januorillePavel Shmakovmatematiikan kerhon vetäjäPukinmäen peruskoulu, Helsinkishpavel@luukku.comLiudmila Selikhovaliudmila.selikhova@netti.fiTieteen Kuvalehden ”Aivotreeni” tarjoaa innokkailleja kiinnostuneille aikuisille viihtyisiä hetkiä esittämälläerilaisia hauskoja aivopähkinöitä ratkaistavaksi. Jotkutavaavat MTV3:n internetsivut tai Helsingin Sanomat-lehden ratkaistakseen shakkitehtäviä tai pelatakseenshakkia muiden ihmisten kanssa. Monella työuran ja -paikan valinnan keskeinen peruste on työn kokeminenmiellyttäväksi ja mielekkääksi. Hyvässä työssä on iloisialuovia hetkiä päivittäin. Sen sijaan lasten tavallinenkoulupäivä saattaa olla ikävän harmaa.Valitettavasti suomalaiset oppilaat eivät kuulu siihenoppilasjoukkoon, joka pitää paljon koulusta.Tämän suuntaisia tuloksia on tullut ilmi Maailmanterveysjärjestön tutkimuksessa, joka julkaistiin toissavuonna. Euroopan maiden oppilaista suomalaiset oppilaatpitivät vähiten koulunkäynnistä! Kysely tehtiin29:ssä Euroopan maassa ja myös USA:ssa ja Kanadassa.Esimerkiksi 11-vuotiaista suomalaisoppilaista vain8 % piti koulusta, mutta samaan aikaan Euroopassakeskimäärin 30 % samanikäisistä oppilaista ilmoittipitävänsä koulusta. Lisäksi Suomessa noin 50 % pojistaei pidä koulusta. Euroopassa vastaava lukumäärä on28 %.Mitä on mahdollista tehdä, jotta oppilaat voisivat hyvinkoulupäivän jälkeen? Oppilaat on saatava innostumaanoppiaineista. Onko mahdollista, että koulunjälkeen lapsi harrastaisi fysiikkaa tai matematiikkaa?Onko se niin outo ajatus tanssin tai musiikin harrastamiseenverrattuna? Suomalaiset lapset ovat tottuneetsiihen, että matematiikan tunnilla on paljon hyödyllisiäasioita. Kiinnostusta tai innostusta tietynlaisiin oppiaineisiinvoisi herättää monilla eri tavoilla. Miten tätäsuuntausta kehitetään?Syksyllä 2005 Pavel Shmakov yhteistyössä FT NikolaiZimakovin kanssa kirjoitti matematiikan kerhon ohjelman.Siihen on kerätty sekä omia ajatuksia ja tehtäviäettä tehtäviä erilaisista kirjoista. Kerho-ohjelma onkoostunut sekä tehtävistä ja ongelmista että oppimispeleistä.On tärkeää muodostaa toiminta niin, että lapsetymmärtävät ja tuntevat kaunista ja hauskaa matematiikkaa.Tehtävien valinta perustuu siihen, että nii-

24 Solmu 2/2007den teksti on vitsin omainen tai pieni hauska tarina.– Kolme etanaa ryömii peräkkäin pylvästä pitkin.– ”Minun takanani ryömii kaksi etanaa”, sanoo ensimmäinenetana.– ”Minun edessäni ryömii yksi etana ja minun takananiryömii yksi etana”, sanoo toinen etana.– ”Minun edessäni on kaksi etanaa ja minun takananion yksi etana”, sanoo kolmas etana.Miten tämä on mahdollista?Ensimmäisestä väitteestä voi ymmärtää, että on olemassakolme etanaa. Mutta, kolmannen väitteen mukaan,on olemassa neljä etanaa. Tästä syntyy kaksi loogistavaihtoehtoista johtopäätöstä.– Neljäs väite on väärin. Toisin sanoen, kolmas etanavalehtelee!– Tai ensimmäinen väite on epätäydellinen! Kolme etanaaryömii. Ja vielä yksi etana on olemassa pylväällä.Se ei ryömi. Tehtävän ensimmäisessä väitteessä on kerrottuvain kolmesta etanasta. Yhteensä niitä on neljä!Matematiikassa on paljon mielenkiintoisia ja mieltäkiehtovia asioita. Tässä tapauksessa syntyy halu tietääheti: ”Mitä tapahtuu sitten?, Mitä pitää tehdä vastauksensaamiseksi?”Marraskuun alusta Pukinmäen peruskoulussa Helsingissäaloitettiin matematiikan kerhotoiminta 7.- ja 8.-luokkalaisille. Kerhokerta kestää noin kaksi tuntia, jaoppilaat harrastavat matematiikkaa noin puolitoistatuntia. Kerhotunnin aikana oppilaita kehotetaan ratkaisemaanhelppoja, mutta hauskoja ja mielenkiintoisiamatematiikan tehtäviä. Esim.: ”Miten voi tehdä paperiliuskastasellaisen reiän, josta ihminen mahtuu läpi?”Kun etevimmät oppilaat ratkaisevat omia tehtäviään,mutta toiset ovat jo väsyneitä, ohjaaja ehdottaa teenvalmistamista ja juomista. Teen juomiseen osallistuumyös ohjaaja. Sellaista muotoa käytetään myös aikuistentapaamisissa. Hyvin järjestetty kahvitauko tiedekonferenssissaauttaa osallistujia tutustumaan toisiinsaja ymmärtämään toisiaan paremmin. Yhteinen teenjuominen on lisäksi mielenkiintoista sen takia, että seei ole Suomen kouluissa tavallista. Kerhotoiminnassateen juonnilla on tarkoitus. On otettava huomioon että,oppilaat oma-aloitteisesti liittyvät kerhotoimintaan jajatkavat harrastusta eri syiden takia.Aiemmin on jo puhuttu niistä keinosta, joilla oppilaatsaadaan aloittamaan harrastus. Mutta millä keinoillakiinnostusta voidaan ylläpitää? Yksi vaihtoehto on,että kerhotunnin aikana säilytetään luova ja informaaliilmapiiri. Lopussa ohjaaja keskustelee oppilaidensakanssa mielenkiintoisista matematiikan asioista: matematiikanhistoriasta, tärkeistä kohdista, yleisistä ongelmista,esim. Fermat’n teoreemasta. Halukkaat saavatkotiin vietäväksi matematiikan hauskoja tarinoita.Pikku hiljaa osallistujien määrä on kasvanut. Nyt kerhoonosallistuu hiukan enemmän kuin kymmenen oppilasta.Jokainen, joka on tullut kerhoon yhden kerran,on tullut uudestaankin. Ei varmaan olisi yhtään hullumpiajatus, että kaikki 7.- ja 8.-luokkalaiset tulisivattutustumaan kerhotoimintaan. Emme halua, että kerhommetoimii vain suppeassa piirissä.Ensimmäinen koeluontoinen matematiikan kilpailujärjestettiin varsinaisen oppitunnin aikana Pukinmäenperuskoulussa 12.4.2006. Kilpailun tavoite oli antaalapsille uusi mukava vapaa-ajan viettotapa ja kehittääoppilaiden ajattelukykyä. Oppilaille annettiin ratkaistavaksihauskoja matematiikan tehtäviä. Ratkaisutsaattoivat yllättää, tuottaa uusia ajatuksia. Kilpailuunosallistui 189 oppilasta 7. ja 8. luokilta. Kilpailun kestoon 20 minuuttia. Esittelemme koetehtävät tässä antaaksemmelukijalle mahdollisuuden koetella omia hoksottimiaan.1. Puoli puolesta = 1/2. Mikä luku? Perustele.2. Tässä on kolme väärää lausetta.2 + 2 = 43 · 6 = 178 : 4 = 213 − 6 = 55 + 4 = 9Näytä ympyröimällä, missä ne ovat.3. Neljä miestä söi neljän tunnin aikana neljä vesimelonia.Kuinka monta vesimelonia syö kahdeksan miestäviiden tunnin aikana?4. Kahdessa lompakossa on yhteensä kaksi kolikkoaniin, että ensimmäisessä lompakossa kolikkojenmäärä on kaksinkertainen toisen lompakon kolikkojenmäärään verrattuna. Miten tämä on mahdollista? Perustele.Kaikki tehtävät ovat erityyppisiä. Ensimmäinentehtävä kuuluu tyyppiin, jossa määritelmän tiedoistauupuu jotakin, nimenomaan x. (x/4 = 1/2, x = 2).Kolmas tehtävä on sanallinen, ja monet oppilaat ovatratkaisseet sen. Näin iso oppilaiden määrä voi johtuasiitä, että sen tyyppiset tehtävät ovat oppilaille tuttuja.Jotta voisi ratkaista toisen ja neljännen, pitäisiajatella vähän toisella tavalla, eli ratkaisun saavuttamistapaei ole tavallinen. Toisessa tehtävässä pitäisiymmärtää, että myös ehto on otettava huomioon ja sevoi olla väärin. Neljäs tehtävä vaatii enemmän hoksaavaisuutta.Tehtävien ratkaisu on odottamaton. Pitäisisoveltaa uutta ajatuksenkulkua, niin että yksi osa voiolla toisen sisällä. Vain 4 oppilasta ratkaisi neljännentehtävän.

Solmu 2/2007 25Diagrammi 1 esittää paremmin asiaharrastusten yhdenmukaisuuden7.- ja 8.-luokkalaisilla.Diagrammi 2 esittää paremmin 7.- ja 8.-luokkalaistentulosten erilaisuuden. 4. tehtävän tulos on riippumatonluokka-asteesta. 1. ja 2. tehtävän tulokset kasvavat,koska oppilaiden logiikka ja algebran taito myöskehittyy. Sen sijaan erinäiset taidot heikkenevät (3.tehtävä). Verrantoa on opiskeltu 7. luokalla. Se unohdetaan8:nnelle ehdittäessä.Diagrammi 1.Mitä kilpailun tulokset kertovat? Oikea matematiikkaei ole vain laskemista. Ongelmaratkaisuunkäytetään vielä liian vähän aikaa. Koulussa pitäisi antaaenemmän opetusta, joka auttaisi matematiikan olemuksenoivaltamista. Kiinnostusta matematiikkaan jaoppilaiden ajattelukykyjä pitää kehittää.Oppilaiden ratkaisemat tehtävät on lähetetty kotiin.Lasten ja vanhempien on ehkä mielenkiintoista keskustellatästä asiasta. Samanlaisia kilpailuja voitaisiinjärjestää muissakin kouluissa lähitulevaisuudessa. Senjälkeen voidaan analysoida enemmän menetelmämmetuloksia ja oppilaiden reaktioita.Diagrammi 2.

26 Solmu 2/2007Alabaman paradoksiPekka AlestaloTeknillinen korkeakouluKevään eduskuntavaalien jälkitunnelmissa heräsijälleen keskustelu vaalipiireistä ja siitä, kuinka helppoatai vaikeaa ehdokkaan on päästä läpi kustakinpiiristä. Erityistä huomiota kiinnitti Vihreän liitonkohtalo Pohjois-Karjalan vaalipiirissä, jossa puolueenkannatus kasvoi edellisistä eduskuntavaaleista 5,1 %-yksikköä, mutta se menetti ainoan edustajansa. Tätäei tietenkään voida laskea pelkästään ”vaalimatematiikan”syyksi, sillä edellisten vaalien vaaliliiton sijastapuolue oli tällä kertaa yksinään.Vaikka tämä kuuluisa vaalimatematiikka perustuuvain ala-asteella opittuihin laskutoimituksiin ja yksinkertaiseenprosenttilaskentaan, siihen liittyy ennaltaarvaamattomia piirteitä. Tämän kirjoituksen tarkoituksenaei ole esittää kattavaa analyysiä erilaisistavaalijärjestelmistä, eikä edes Suomessa käytetystäd’Hondtin vaalitavasta. Yritän sen sijaan kuvailla, millaisiayllätyksiä liittyy jopa ”alkeellisimpiin” vaalitapoihin.Vaalimatematiikan historiassa tämä tunnetaannimellä Alabaman paradoksi, koska asia tuli esille kyseisenYhdysvaltain osavaltion kohdalla yli sata vuottasitten; katso 1. linkki kirjoituksen lopussa.Ehdokkaiden kannatuksen sijasta tarkastellaan kokovaalipiirijaon keskeisintä kysymystä: Kuinka montaedustajapaikkaa kullekin vaalipiirille pitäisi antaa?Lähtökohtana on se, että ainoastaan vaalipiirin asukaslukuvoidaan ottaa näissä päätöksissä huomioon,sillä muuten järjestelmän demokraattisuutta voidaanpitää kyseenalaisena. Esimerkiksi Yhdysvaltain perustuslaissasanotaan yksiselitteisesti, että edustajainhuoneenpaikkamäärien täytyy olla verrannollisia osavaltiodenasukaslukuihin.Oletetaan, että maassa on viisi vaalipiiriä, joiden asukasmäärätovat A = 9 061, B = 7 179, C = 5 259, D= 3 319 ja E = 1 182, jolloin koko maan asukasluvuksisaadaan tasan 26 000; nämä luvut ovat peräisin lopussamainitusta artikkelista Balinski & Young, 1975. Tilanteenyksinkertaistamiseksi oletetaan vielä, että kokomaasta valitaan 26 edustajaa, yksi kutakin 1 000kansalaista kohti. Jos ryhdymme näiden lukujen perusteellamiettimään paikkajakoa vaalipiirien kesken, niintuntuu luonnolliselta laskea asukaslukuja vastaava suhteellinenpaikkaluku kullekin vaalipiirille. VaalipiirilleA kuuluisi siis9061 · 26 = 9,06126000paikkaa, ja muille 7,179, 5,259, 3,319, 1,182 paikkaa.Ongelmaksi muodostuu se, mitä tehdään tulostenmurto-osille: edustajia ei voi jakaa edes kahtia, saati sittentuhannesosiin! Murto-osat voitaisiin ehkä hyvittäämuuttamalla vaalipiirin edustajien lukumäärää sopivassakohdassa kesken vaalikautta, mutta tietääkseninäin ei ole missään tehty, vaan murto-osat on pyrittymuuntamaan kokonaisiksi paikoiksi tietyille vaalipiireille.Eräs suoraviivainen tapa on pyöristää kaikki paikat

Solmu 2/2007 27ensin alaspäin, ja jakaa jäljellä olevat paikat suurimmandesimaaliosan mukaisessa järjestyksessä. Esimerkissämmesaadaan pyöristyksen jälkeen paikkamäärät9, 7, 5, 3 ja 1, jolloin yksi paikka jää jäljelle. Se annetaansiis vaalipiirille D, jonka desimaaliosa 0,319 onsuurin. Näin kaikki paikat saadaan jaettua. Tämä menetelmäon peräisin Yhdysvaltain historiasta tutultaAlexander Hamiltonilta, ja se kantaa hänen nimeään.Millaisia ominaisuuksia Hamiltonin menetelmällä on?Ensimmäinen havainto on se, että jokaisen vaalipiirinlopullinen paikkamäärä saadaan pyöristämällä suhteellinenpaikkaluku joko alas- tai ylöspäin lähimpään kokonaislukuun,sillä kukin vaalipiiri voi saada korkeintaanyhden lisäpaikan desimaalikilpailussa.Tehtävä 1. Perustele tämä väite osoittamalla, ettäylimääräisiä paikkoja jää aina vaalipiirien lukumääräävähemmän.Muita ominaisuuksia tutkittaessa yksi luonnollinen ehtovoisi olla seuraava: jos väkiluvut pysyvät samoina,mutta edustajien yhteismäärää kasvatetaan, niinminkään vaalipiirin paikkamäärä ei saa pienentyä. Matemaatikkovoisi sanoa, että menetelmä on kasvavapaikkojen yhteismäärän suhteen, muttei kuitenkaan aidostikasvava. Huolimattomasti ajatellen tämä ominaisuusnäyttäisi olevan voimassa, mutta tarkempi miettiminenpaljastaa ongelman: jos desimaalilukuja kerrotaankeskenään, niin tuloksen desimaaliosaan vaikuttavatdesimaaliosien lisäksi myös kokonaisosat. Tämäilmenee esimerkiksi laskussa2,1 · 3,2 = 6 + 2 · 0,2 + 3 · 0,1 + 0,1 · 0,2.Varsinaisessa esimerkissämme sama ilmiö esiintyy, kunverrataan vaalipiirejä B ja D, ja koko maan paikkamäärääkasvatetaan luvusta 26 lukuun 27:B:717926000 · 27 ≈ 7,455; D: 3319 · 27 ≈ 3,447.26000Käytännössä siis vaalipiiri B vie vaalipiiriltä D desimaalikilpailuntuoman paikan, sillä kaikki kokonaisosatpysyvät samoina!Tehtävä 2. Laske kaikkien vaalipiirien luvut ja tarkista,että näin todella käy.Tulos on yllättävä: Hamiltonin menetelmä ei olekaankasvava koko maasta valittavien edustajien määränsuhteen. Toisaalta koko maan edustajien lukumäärääei ole tapana vaihtaa kovin usein, joten voisi ajatella,ettei ongelma ole kovin vakava. Se herättää kuitenkinseuraavan kysymyksen:Onko olemassa menetelmää, joka toteuttaisiseuraavat kaksi ehtoa:• Suhteelliset paikkamäärät pyöristetään joko alastaiylöspäin seuraavaan kokonaislukuun.• Jos asukasluvut pysyvät samoina ja koko maanpaikkamäärää kasvatetaan, niin yhdenkään vaalipiirinpaikkamäärä ei vähene.Lisäksi paikkajako pitäisi suorittaa jollakin etukäteenpäätetyllä menetelmällä (algoritmilla). Hamiltonin menetelmärikkoo jälkimmäistä sääntöä, ja – niin uskomattomaltakuin se kuulostaakin – voidaan osoittaa,ettei ole olemassa sellaista menetelmää, joka toteuttaisimolemmat ehdot!Kuten alussa totesin, en ryhdy vertailemaan Hamiltoninmenetelmän korvanneita muita tapoja. Historiallisenayksityiskohtana voidaan kuitenkin mainita, ettäsiirtyminen Hamiltonin menetelmästä ns. Jeffersoninmenetelmään aiheutti Yhdysvaltain v. 1876 presidentinvaaleissasen, ettei valituksi tullutkaan koko maassaneljännesmiljoonan äänen marginaalilla suosituin SamuelTilden, vaan valitsijamiesten vaalipiirijaon perusteellavoittanut Rutherford B. Hayes.Alla mainittujen linkkien ja kirjallisuusviitteiden avullaasiasta kiinnostuneet voivat tutustua yleisesti käytössäoleviin menetelmiin, joissa ym. ongelmien lisäksi vaalipiirinasukasluvun kasvaminen pienentää sen saamaapaikkamäärää, tai puolueen saamat lisä-äänetvähentävät sen edustajien määrää. Viimeisenä mainittussaHoffmanin kirjassa aihetta käsitellään hyvinyleistajuisesti.Linkkejä:http://www.ctl.ua.edu/math103/apportionment/paradoxs.htmhttp://www.ams.org/featurecolumn/archive/apportion1.htmlhttp://www.ams.org/featurecolumn/archive/apportionII1.htmlhttp://www.wahlrecht.de/http://www.uusikaupunki.fi/∼olsalmi/vaalit/vaalimat.htmlhttp://de.wikipedia.org/wiki/Unmöglichkeitssatz− von − Balinski − und − YoungKirjallisuutta:Michel Balinski, H. Peyton Young: The Quota Methodof Apportionment. American Mathematical Monthly82, 701–30, 1975.Michel Balinski, H. Peyton Young: Fair representation:meeting the ideal of one man, one vote. Brookings InstitutionPress, 2. painos, 2001.Paul Hoffman: Archimedes’ Revenge. Penguin Books,1988.

28 Solmu 2/2007Minne katosi matematiikka?Juha HaatajaUsein unohdetaan, että matematiikan osaaminen onkynnyskysymys yhteiskunnan toimintakyvylle. Tarkemminajatellen matematiikkaa tarvitaan kaikkialla.Tietokoneen toiminta perustuu matemaattisille periaatteilleprosessoritasolta käyttöliittymään saakka.Tiedon siirto ja esimerkiksi videokuvien esittäminenperustuvat matemaattisille algoritmeille. Ja tiedon salauksessakäytetään pitkälle kehitettyjä lukuteorian jamuiden tutkimusalueiden tuloksia, esimerkiksi elliptistenkäyrien teoriaa.Kun koneeni ottaa yhteyttä langattomaan tukiasemaan,saavat Maxwellin yhtälöt ja Shannonin informaatioteoriahomman pelaamaan. Ja kun haen tietoyhteiskuntastrategianPDF-versiosta sanaa ”matematiikka”,käytän hyväkseni matematiikkaa.Tietoyhteiskuntastrategiasta 2007–2015 puheenollenvoi mainita, että raportista löytyy yksi maininta matematiikasta.Sitä saa etsimällä etsiä. Kyseisessä kohdassapuhutaan Suomen menestyksestä OECD:n Pisatutkimuksessa.Mutta miksi raportissa ei kerrota lukijalle,että matematiikan osaaminen on kynnyskysymystietoyhteiskunnan toimintakyvylle?Tietoteknisten oivallusten kehittäminen vaatii matemaattistaajattelukykyä. Matematiikka rakentaa sillanreaalimaailman ilmiöistä ja prosesseista tietokoneidenvirtuaalimaailmaan.Tieteellisessä tutkimuksessa ja yritysten tuotekehityksessäkäytetään hyväksi laskennallista tiedettä, siis simulointiaja mallintamista, missä matematiikan avullakuvataan todellisuuden luonnetta. Tutkimus tarvitseelaskennallisen tieteen välineistöä kyetäkseen vastaamaanhaasteisiin.Matematiikan osaamista tarvitaan kännyköiden, paperikoneidenja lääkkeiden suunnittelussa. Nanotieteessäkuvataan atomit ja molekyylirakenteet matemaattisellaformalismilla. Bioinformatiikassa matematiikka kytkeegeenien symbolit ja niiden biologisen merkityksentoisiinsa.Usein kehutaan tietotekniikka-alan suuryritystentyöllistävästä vaikutuksesta, mutta ei puhuta pienistäoivalluksista, jotka kyseenalaistavat isojen aseman. Esimerkkejäpienten ideoiden mullistavasta vaikutuksestatarjoavat Google, Wikipedia ja Youtube.Jos haluamme elää tietoyhteiskunnassa, tarvitsemmeihmisiä jotka kykenevät ymmärtämään maailmaa.Tätä ymmärrystä ei saavuteta ilman matematiikkaa.Vankimielisairaalan ylilääkäri Hannu Lauerma kirjoittaateoksessaan ”Usko, toivo ja huijaus” (Duodecim,2006) seuraavasti: ”Kriittinen ajattelu edellyttää kykyäymmärtää numeerisia käsittelytapoja ja niihin pohjaavaatodennäköisyyslaskentaa.”Järjen (ja matematiikan) käyttöä pitäisi suosia tietoyhteiskunnassa.Kirjoittaja työskentelee tiedetuen johtajana Tieteen tietotekniikan keskuksessa CSC:ssä. Kirjoitus on muokattuTietoyhteys-lehdessä ilmestyneestä kolumnista.

Solmu 2/2007 29Matematiikkapäivä lukiolaisille jaopettajille – ”Satunnaisuus jatodennäköisyys”Riitta LiiraMaunulan yhteiskouluHelsingin matematiikkalukioElja Arjas, Jukka Kohonen ja Matti PirinenMatematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoMatematiikkapäivä Maunulassa 14.4.2007Matematiikkapäivän järjestivät Maunulan yhteiskoulunopettajat ja Marjatta Näätänen Helsingin yliopistosta,ilmoittautumiset ja informaation hoiti LUMAkeskus.Rahoitus saatiin LUMA-keskukselta ja Maunulanyhteiskoululta. Päivään osallistui lukion oppilaitaMunkkiniemen yhteiskoulusta, Olarin lukiosta, Ressunlukiosta ja Maunulan yhteiskoulusta ja Helsinginmatematiikkalukiosta.Matematiikkapäivänä joukko nuoria matikisteja kokoontuiMaunulan yhteiskouluun ratkomaan todennäköisyyslaskennanprobleemoja. Aluksi Helsinginyliopiston professori Elja Arjas luennoi aiheesta”satunnaisuus ja todennäköisyys”. Sen jälkeenkoululaiset sovelsivat oppimaansa laskuharjoituksissa,joita ohjasivat tohtoriopiskelijat Matti Pirinenja Jukka Kohonen. Lisäksi Matti ja Jukka kertoivatväitöskirjatöistään, joissa todennäköisyysmalleillaon keskeinen osuus. Näin saatiin aavistus todennäköisyyslaskennankäytöstä nykyaikaisessa biologisessatutkimuksessa. Seuraavassa muutamia osallistujienkommentteja.”Oli hienoa tavata samanhenkisiä matematiikasta kiinnostuneitanuoria.””Päivän anti oli kiinnostava ja innostava.””Maunula tarjosi hyvää ruokaa.”Harjoitustehtäviä1. Erään mikrobin genomin sekvenssissä esiintyy neljääemästä frekvensseillä p G = p C = 0,3 ja p A = p T =0,2. Seuraavassa tarkastellaan kahden emäksen muodostamia”sanoja”, joissa emästen oletetaan esiintyväntoisistaan riippumatta.

30 Solmu 2/2007a) Esitä näihin sanoihin liittyvät todennäköisyydettaulukkomuodossa.b) Emäkset A ja G ovat puriineja ja emäkset Cja T pyrimidiinejä. Olkoon E tapahtuma ”sananensimmäinen emäs on pyrimidiini” ja Ftapahtuma ”sanan toinen emäs on A, C taiT ”. Määritä todennäköisyydet P (E), P (F ),P (E ∪ F ), P (E ∩ F ).c) Olkoon G = {CA, CC}. Määritä silloin todennäköisyydetP (G | E), P (F | G ∪ E) jaP (F ∪ G | E).2. Kyläkaupan kahdesta pysäköintipaikasta kumpikinon keskimäärin 40 minuuttia tunnista varattuna jaloput ajasta vapaana. Keskimäärin 32 minuuttiatunnista ovat molemmat pysäköintipaikat yhtaikaavarattuina. Kaupalle saapuu samalla hetkellä kaksiautoilijaa. Mikä on todennäköisyys, että molemmatpääsevät heti näihin pysäköintipaikkoihin? (Ylioppilastehtävä,kevät 98)3. Koulusta myöhästynyt oppilas myöhästyyseuraavankin koulupäivänä 30 prosentin todennäköisyydellä.Jos oppilas on tullut ajoissa kouluun,hän myöhästyy seuraavana koulupäivänä 10prosentin todennäköisyydellä. Kuinka suuri on todennäköisyys,että oppilas tulee keskiviikkona ajoissakouluun, jos hän saman viikon maanantainamyöhästyi koulusta? (Ylioppilastehtävä, kevät 92)4. Punavihersokeuden aiheuttaa yksi X-kromosomissasijaitseva geeni. Punavihersokeus määräytyy genotyypistäresessiivisesti, joten punavihersokean naisenmolemmissa X-kromosomeissa on oltava punavihersokeudenaiheuttava geenivariantti eli alleeli.Miehellä punavihersokeuteen sen sijaan riittää yksitällainen alleeli, koska Y-kromosomissa ei ole sillevastinalleelia. Millä todennäköisyydellä perheeseensyntyvä lapsi on punavihersokea, josa) molemmat vanhemmat ovat punavihersokeita?b) isä ei ole punavihersokea, ja äiti on punavihersokeudenaiheuttavan alleelin kantaja, ts. vaintoisessa hänen X-kromosomeistaan on punavihersokeudenalleeli?5. Hatussa on pallo, joka on joko musta tai valkoinen(yhtä suurella todennäköisyydellä kumpaakin). Hattuunlaitetaan valkoinen pallo, jonka jälkeen sieltänostetaan umpimähkään pallo, joka on valkoinen.Millä todennäköisyydellä hatussa oleva pallo on valkoinen?6. Eräällä laboratoriotestillä pyritään turvallisuussyistäselvittämään sitä, ovatko verta luovuttamaantulleet henkilöt mahdollisesti HIV-viruksenkantajia. Käytännössä tämä tapahtuu tutkimallakaikkien verenluovuttajien osalta, sisältääkö veriHIV:n vasta-aineita. Oletamme testin herkkyydenolevan 0,997, ts. testitulos on positiivinen tällä todennäköisyydellä,jos luovuttajalla todella on veressäänvasta-aineita. Toisaalta oletetaan, että testiantaa todennäköisyydellä 0,015 (väärän) positiivisentestituloksen silloinkin, kun vasta-aineita ei oikeastiole. Oletamme, että HIV:n vasta-aineita onväestössä noin yhdellä tuhannesta ja että verenluovuttajateivät ole valikoitu otos väestöstä. (Tämäoletus voi käytännössä olla hyvin epärealistinen!)Millä todennäköisyydellä positiivisen testituloksensaaneen henkilön veri sisältää oikeasti HIV:n vastaaineita?7. Naapuriin on muuttanut perhe, josta sinulle on kerrottu,että heillä on kaksi lasta. Tarkastele seuraaviatilanteita:a) Haluat tutustua heihin hieman lähemmin jasoitat naapurin ovikelloa, jolloin avaamaan tuleenoin kymmenvuotias poika, arvatenkin toinenperheen lapsista.b) Talonmies, joka on nähnyt perheen molemmatlapset, kertoo sinulle hieman arvoituksellisesti,että ”ainakin toinen lapsista on poika”.c) Vastaa kummassakin tapauksessa kysymykseen:Mikä on todennäköisyys, että molemmatperheen lapset ovat poikia? Oletamme tässä,että syntyvän lapsen sukupuoli määräytyy kullakinkerralla riippumattomasti ja että se onmolemmille sukupuolille 1/2.8. (”Monty Hallin ongelma”) Otat osaa viihdeohjelmaan.Edessäsi on kolme laatikkoa. Juontaja piilottaayhteen laatikoista palkinnon (kaikki laatikotovat tässä yhtä todennäköisiä). Pelin säännöt ovatseuraavat: Sinun tulee ensin valita yksi laatikoista.Sitä ei avata heti, vaan seuraavaksi juontaja avaajommankumman muista laatikoista, valiten sen niin,että se on tyhjä. Jäljelle jää kaksi suljettua laatikkoa.Nyt saat avata jommankumman niistä. Kannattaakosinun avataa) alunperin valitsemasi laatikko vaib) toinen jäljellä oleva suljettu laatikko?Mikä on todennäköisyytesi saada palkinto valinnoillaa ja b?9. (”Monty Hallin ongelman muunnelma”) Edessäsi onkolme laatikkoa. Juontaja piilottaa yhteen laatikoistapalkinnon (kaikki laatikot ovat tässä yhtä todennäköisiä).Sinun tulee ensin valita yksi laatikoista.Sitä ei avata heti, vaan juontaja avaa summamutikassajommankumman muista laatikoista. Laatikkoosoittautuu tyhjäksi. Kannattaako sinun nytavataa) alunperin valitsemasi laatikko vaib) toinen jäljellä oleva suljettu laatikko?Mitkä ovat voittotodennäköisyydet?

Solmu 2/2007 31Vihjeitä ja vastauksia tehtäviin1. b) P (E) = 0,5; P (F ) = 0,7; P (E ∪ F ) = 0,85;P (E ∩ F ) = 0,35. c) P (G | E) = 0,3; P (F | G ∪ E) =0,7; P (F ∪ G | E) = 0,7.2. Merkitään A = ”Paikka 1 varattu” ja B = ”Paikka2 varattu”. Todennäköisyyksien yhteenlaskukaavallasaadaan laskettua P (A ∪ B). Mikä on tämäntapahtuman komplementti? (Vastaus 1/5.)3. Jos merkitään M = ”myöhässä” ja A = ”ajoissa”,niin P (ke = A | ma = M) = P (ke = A ∩ ti =A | ma = M) + P (ke = A ∩ ti = M | ma = M).(Vastaus 84 %.)4. a) 1. b) 1/4.5. Pallojen väreille on kaksi mahdollisuutta: (v, v)tai (v, m), joissa ensimmäinen v viittaa alussanähtyyn valkoiseen palloon. Ennen nostokoettaP [(v, v)] = P [(v, m)] = 1/2, mutta mitä onP [(v, v) | nostettu v]? Käytä Bayesin kaavaa! (Vastaus2/3).Oppilaat kuuntelevat kiinnostuneina Elja Arjaksenluennointia satunnaisuudesta ja todennäköisyydestä.6. Jos T merkitsee tapahtumaa ”positiivinen testitulos”ja H tapahtumaa ”oikeasti HIV:n vastaaineita”,tehtävänä on laskea ehdollinen todennäköisyysP (H | T ). Käytä Bayesin kaavaa!(Vastaus: 6,2 %.)7. Ongelmaa on käsitelty Wikipediassa http://en.wikipedia.org/wiki/Boy− or − Girl. (Vastaus: a) 1/2. b)1/3.)8.–9. Oikea ratkaisu selityksineen ja hiukan tehtävänvärikästä historiaa löytyy mm. Wikipedia-sivultahttp://en.wikipedia.org/wiki/Monty − Hall − problem.(Vastaus: 8a) 1/3 ja 8b) 2/3. 9a) 1/2 ja 9b)1/2.)Oppilaita tekemässä laskuharjoituksia Matti Pirisen jaPekka Kontkasen (Munkkiniemen yhteiskoulun lukio)ohjauksessa.

32 Solmu 2/2007Kalle Väisälän algebran oppikirjaMarjatta NäätänenMatematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoKalle Väisälän algebran oppi- ja esimerkkikirjalla johdatettiinmonet suomalaiset vuosiluokat algebran maailmoihin,kirjasta ilmestyi vuonna 1963 jo 12. painos.Kirja on myös ekologinen malliesimerkki, kovakantisenase painaa n. 250 grammaa ja opiskeltavaa riitti vuosiksi.Solmu on saanut sekä Väisälän perikunnalta ettäWSOY:ltä oikeuden julkaista kirjaa verkossa. Tässälehdessä on esimerkinomaisesti kirjan harjoitustehtävistä42 ensimmäistä, verkosta löytyy enemmäntehtäviä osoitteesta http://solmu.math.helsinki.fi.Uudet ikäpolvet voivat nyt kokeilla taitojaan vanhempiensaja isovanhempiensa oppikirjan haasteilla.HARJOITUSTEHTÄVIÄI lukuRationaaliset luvutMerkitsemistapoja — yhtälöitä1. Jos 1 kg voita maksaa 4 mk, niin paljonko maksaaa) 3 kg b) k kg?2. Jos 1 kg voita maksaa a kg, niin paljonko maksaa a)3 kg b) k kg?3. Jos p metriä kangasta maksaa a mk, niin paljonkomaksaa 1 metri?4. Jos suorakulmion vierekkäiset sivut ovat a cm ja bcm, niin kuinka suuri on ala A? Saatuun kaavaan onsitten sijoitettava a = 7 cm, b = 9 cm ja laskettava A.5. Jos pyöräilijän nopeus on 16 km/t (kilometriä tunnissa),niin paljonko hän ajaa a) 3 tunnissa b) t tunnissa?6. Jos pyöräilijän nopeus on v km/t, niin kuinka pitkäon se matka s, jonka hän ajaa t tunnissa? Näin saatuuns:n kaavaan on sitten sijoitettava v = 13 1 2 ja t = 2 1 3 jalaskettava s.7. Paljonko on a) 4 % 120:stä b) 4 % luvusta a c)p % luvusta a?8. Jos kauppias osti erään tavaran a mk:lla ja sai siitämyydessään voittoa p %, niin kunka suuri oli hänenmyyntihintansa h? Saadun kaavan avulla on sitten laskettavamyyntihinta, jos a = 42 ja p = 7.9. Kuinka suureksi kasvaa k mk p %:n mukaan t vuodessa?10. Kuinka voidaan kertolaskun vaihdantalaki ilmaistayhtälön avulla?11. Kahden murtoluvun kertosääntö ilmaistava yhtälönavulla?

Solmu 2/2007 3312. Lausuttava sanallisesti seuraavan yhtälön ilmaisemalaskusääntö:ab : c d = a b · dc13. Yhteenlaskun liitäntälaki voidaan ilmaista lyhyestiyhtälölläa + (b + c) = (a + b) + cjossa a, b ja c saavat olla mitä lukuja tahansa. Lausuttavasanallisesti tämän yhtälön esittämä laki.14. Kuinka kertolaskun liitäntälaki voidaan ilmaistayhtälön avulla?15. Kuinka on merkittävä sitä, että lukujen p ja 3 summaon jaettava niiden erotuksella, käyttäen jakomerkkinäa) kaksoispistettä b) jakoviivaa?16. Kuinka on merkittävä sitä, että luvusta x onvähennettävä lukujen y ja z a) summa b) tulo?17. Lausekkeesta (a + b) − (a · b) − (a − b) on jätettäväpois tarpeettomat sulkumerkit.18. Minkä arvon saa lauseke a) x − 2 · (x − 3) b)(x − 2) · (x − 3), kun x = 5?19. Laskettava x + 3 · [4 − (x − y)], kun a) x = 4, y = 3b) x = 3 1 2 , y = 2 3 .20. Missä järjestyksessä on suoritettava laskut lausekkeessam · [n + 2 · (m − n)]ja niissä kolmessa muussa lausekkeessa, jotka saadaantästä pyyhkimällä pois a) hakasulkumerkit b) kaarisulkumerkitc) kaikki sulkumerkit? Näin saatuihinneljään lausekkeeseen on sitten sijoitettava m = 5,n = 2 ja laskettava lausekkeiden arvot.21. Paljonko on 729 − abc, kun a = 7, b = 2, c = 9?22. Kun x = 1 2ja y = 2, niin kuinka suuri ona) 6y − xy b) 6(y − x)y c) (6y − x)y d) 6(y − xy)23. Kuinka on merkittävä sitä nelinumeroista kokonaislukua,jonka peräkkäiset numerot ovat a, b, c ja d?24. Kaksinumeroisen luvun ykkösten numero on x jakymmenien numero on kolmea pienempi kuin tämä.Kuinka on lukua merkittävä?25. Yksidesimaalisen desimaaliluvun kokonaisosa on aja desimaalia esittävä numero b. Kuinka desimaalilukuvoidaan esittää?Ratkaistava yhtälöt:26. x − 27 = 1627. x − 1 2 3 = 228. x − 0,72 = 2,4529. x + 8 = 2330. x + 1 5 6 = 5 1 431. x + b = a32. 58 − x = 3333. 7 − x = 5,2734. a − x = b35. 6x = 1536. 4 5 x = 2 337. 1,28x = 0,8838. 10x − 7 = 5239. 1 2 3 x − 3 4 = 1 1 340. ax − b = c41. a) x 8 = 12 b) x a= b. Jälkimmäisen yhtälön juurenlausekkeeseen sijoitettava a = 4 1 6 , b = 3 5ja laskettavavastaava juuren arvo.42. a) 42 x = 3 b) a x= b. Jälkimmäisen yhtälön juurenlausekkeeseen sijoitettava a = 0,12, b = 1,5 ja laskettavavastaava juuren arvo.Vastauksia18. a) 1 b) 619. a) 13 b) 720. 40, 16, 50, 1822. a) 11 b) 18 c) 23 d) 630. 3 51236. 5 637. 0,687539. 1 1 441. 2 1 242. 0,08Tehtävien ladonta: Juha Ruokolainen

34 Solmu 2/2007Kaksi Survo-ristikkoaSeppo MustonenSurvo-ristikko 53/2007(Vaikeusaste 1100 ilman vihjettä.)A B C D1 272 133 534 4347 39 29 21© S.Mustonen www.survo.fi/ristikotVihje: Yhtälön 456·X 2 +1416·X −131 = 0 positiivisenjuuren ketjumurtolukukehitelmäX =A1 +B1 +11C1 +11D1 + Xantaa ristikon ensimmäisen rivin. Survossa luvut saalasketuksi esim. seuraavilla rekursiivisilla, editoriaalisenlaskennan kaavoillaY(N,X):=if(N=0)then(X)else(1/(Y(N-1,X)-A(N-1,X)))A(N,X):=if(N=0)then(int(X))else(int(Y(N,X)))Ristikon ratkaisu löytyy sivulta http://www.survo.fi/ristikot/ratkaisut.html#230407.Survo-ristikko 56/2007A B C D1 482 223 564 405 4457 26 90 37© S.Mustonen www.survo.fi/ristikotTämä on kilpatehtävä, josta tarkempia tietoja on sivullahttp://www.survo.fi/ristikot/index.html#230407.Yleistietoja Survo-ristikoista ja mm. niiden pikapeliversioistaon sivulla http://www.survo.fi/ristikot.