PDF-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

22 Solmu 2/2007Pitkän matematiikan lopussa on vielä aukeaman mittainensanasto, jossa on 38 hakusanaa.Pitkä matematiikka ei ole geometrian esittelyssään erityisenkunnianhimoinen. Kirjaa lukee kuitenkin luottavaisinmielin: se vaikuttaa ammattitaitoisesti tehdyltä.PyramidiPyramidi on värikäs. Tekstiä korostetaan sekä keltaisinettä kevyesti vihertävänharmain pohjin, lukujen numerotovat valkoisia karmiinilla pohjalla ja kuvioissaon eri värejä. Kirjassa on vielä aika suurikokoisiakinmustavalkoisia karikatyyrinomaisia piirroksia ja yksi eikovin tiukasti asiaan liittyvä värivalokuva, yhden kirjantekijän Thaimaan-matkalta kameraan jäänyt. Harjoitustehtäviäon 331, mikä on vertailun kirjojen pieninmäärä. Vain numeeriset vastaukset on esitetty vastausluettelossa.Pyramidi esittää laskuesimerkit ”taulutekniikalla”,laskujen algebralliset välivaiheet tarkkaanläpikäyden.Kirja alkaa lyhyellä historiallisella johdannolla, jossamainitaan antiikin kolme vaikeaa konstruktioongelmaa.Varsinainen asia esitetään kymmenessä luvussa,jotka on vielä jaettu yleisotsikoiden Tasogeometriaja Avaruusgeometria alle. Ensimmäisessä Tasogeometrianperuskäsitteitä -luvussa on omana osastonaanjanan jakosuhteen käsittely. Luvussa Monikulmiot esitetäänmm. lauseke n-kulmion lävistäjien lukumäärälleja toisaalta peruspinta-alakaavat sekä kolmion merkillistenpisteiden ja suunnikkaiden faktat ilman todistuksia.Ympyrää käsittelevä luku motivoi asiaa yllättävästitaitoluistelijan pakollisten kuvioiden kautta. Hetipäästään kuitenkin nimityksiin ja laskukaavoihin.Kehäkulmalause seurauksineen esitetään todistuksetta.Sen sijaan Hippokrateen puolikuiden ominaisuus todistetaan.Yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta käsitellään samassaluvussa. Yhtenevyys määritellään samanlaisella nostetaanitseä hiuksista -tempulla kuin yhdenmuotoisuusPitkässä matematiikassa: ”Kuviot K ja K ′ ovat yhtenevät,kun kuviosta K saadaan kuvio K ′ yhdellätai useammalla yhtenevyyskuvauksella (siirto, kiertoja peilaus)”. Kolmioiden yhtenevyyteen riittävät kuitenkinyhtenevyyskriteerit, jotka esitetään huolellisesti.Yhtenevyyslauseiden seurauksista todistetaan muutamiaesimerkkeinä. Näiden joukossa on myös tasakylkisenkolmion kantakulmalause. Yhdenmuotoisuudenmääritelmä perustetaan vastaavasti yhdenmuotoisuuskuvauksiin.kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseetesitellään kaikki. Ja vaikka tasogeometrian otsikon allamennään, ilmoitetaan myös yhdenmuotoisten kappaleidentilavuussuhdekerroin.Luku Kolmion ratkaiseminen alkaa Pythagoraanlauseesta ja tuo kolme trigonometrista funktiota suorakulmaisenkolmion avulla, ilman varoittelua yhdenmuotoisuudentarpeesta. Trigonometriset funktiot tulevatPyramidissa vastaan huomattavasti myöhemminkuin muissa kirjoissa. Pyramidi ei myöskään näe vaivaafuktioiden arvojen laajentamiseksi tylpille kulmille.Kaavat sin(180 ◦ −α) = sin α ja cos(180 ◦ −α) = − cos αannetaan ilmoitusasioina. Kirja ei käytä termiä muistikolmio.Muista kirjoista poiketen Pyramidi esitteleeensin kosinilauseen ja vasta sitten sinilauseen.Avaruusgeometriaosuus alkaa tasojen ja suorien suhteidentarkastelulla ja siirtyy kohta monitahokkaisiinja Platonin kappaleisiin. Lieriö ja kartio määritelläänmelko selkeästi, mutta samalla tavalla suoraa liikuttaenkuin muissakin kirjoissa. Prismat käsitellään lieriöinäja pyramidit kartioina. Pallon esittely on lyhytja asiallinen.Varsinaisen tekstin jälkeen Pyramidissa on 30 sivunmittainen Lisätietoa-osasto. Se alkaa epäeuklidisengeometrian esittelyllä ja Beltramin ja Kleinin mallinkuvailulla. Sitten seuraakin katsaus piirtämiseen harpillaja viivoittimella, pinta-alan tarkempi käsittely,ympyränmitannon perustelua ympyrän sisään piirretynmonikulmion sivun pituuden laskemisen kautta.Yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuskuvaukset esitelläänja kolmioiden yhtenevyyslauseet perustellaan niidenavulla. Ongelmaa, joka syntyy siitä, että yhtenevyyskuvaustenmäärittely – jos se halutaan osaksi geometrianjärjestelmää – vaatii yhtenevyyslauseisiin perustuvaatietoa, ei kuitenkaan pohdita. Monikulmion kulmiensummalauseelle esitetään varsin hieno, yleisen monikulmiontapaukseen käyvä todistus. Kolmion merkillisiäpisteitä koskevat lauseet todistetaan samoin kuinkehäkulmalause. Avaruusgeometrian puolelta todistetaanvielä tason normaalisuoraa koskeva peruslause.Liiteosa tekee Pyramidista kaksijakoisen. Varsinainentekstiosa on samaan tapaan kuin Calculus, Pitkä matematiikkatai Laudatur laskennollisesti orientoitunut,mutta loppuosa kertoo geometriassa olevan matematiikkaakin,ja paljon.