PDF-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Solmu 2/2007 27ensin alaspäin, ja jakaa jäljellä olevat paikat suurimmandesimaaliosan mukaisessa järjestyksessä. Esimerkissämmesaadaan pyöristyksen jälkeen paikkamäärät9, 7, 5, 3 ja 1, jolloin yksi paikka jää jäljelle. Se annetaansiis vaalipiirille D, jonka desimaaliosa 0,319 onsuurin. Näin kaikki paikat saadaan jaettua. Tämä menetelmäon peräisin Yhdysvaltain historiasta tutultaAlexander Hamiltonilta, ja se kantaa hänen nimeään.Millaisia ominaisuuksia Hamiltonin menetelmällä on?Ensimmäinen havainto on se, että jokaisen vaalipiirinlopullinen paikkamäärä saadaan pyöristämällä suhteellinenpaikkaluku joko alas- tai ylöspäin lähimpään kokonaislukuun,sillä kukin vaalipiiri voi saada korkeintaanyhden lisäpaikan desimaalikilpailussa.Tehtävä 1. Perustele tämä väite osoittamalla, ettäylimääräisiä paikkoja jää aina vaalipiirien lukumääräävähemmän.Muita ominaisuuksia tutkittaessa yksi luonnollinen ehtovoisi olla seuraava: jos väkiluvut pysyvät samoina,mutta edustajien yhteismäärää kasvatetaan, niinminkään vaalipiirin paikkamäärä ei saa pienentyä. Matemaatikkovoisi sanoa, että menetelmä on kasvavapaikkojen yhteismäärän suhteen, muttei kuitenkaan aidostikasvava. Huolimattomasti ajatellen tämä ominaisuusnäyttäisi olevan voimassa, mutta tarkempi miettiminenpaljastaa ongelman: jos desimaalilukuja kerrotaankeskenään, niin tuloksen desimaaliosaan vaikuttavatdesimaaliosien lisäksi myös kokonaisosat. Tämäilmenee esimerkiksi laskussa2,1 · 3,2 = 6 + 2 · 0,2 + 3 · 0,1 + 0,1 · 0,2.Varsinaisessa esimerkissämme sama ilmiö esiintyy, kunverrataan vaalipiirejä B ja D, ja koko maan paikkamäärääkasvatetaan luvusta 26 lukuun 27:B:717926000 · 27 ≈ 7,455; D: 3319 · 27 ≈ 3,447.26000Käytännössä siis vaalipiiri B vie vaalipiiriltä D desimaalikilpailuntuoman paikan, sillä kaikki kokonaisosatpysyvät samoina!Tehtävä 2. Laske kaikkien vaalipiirien luvut ja tarkista,että näin todella käy.Tulos on yllättävä: Hamiltonin menetelmä ei olekaankasvava koko maasta valittavien edustajien määränsuhteen. Toisaalta koko maan edustajien lukumäärääei ole tapana vaihtaa kovin usein, joten voisi ajatella,ettei ongelma ole kovin vakava. Se herättää kuitenkinseuraavan kysymyksen:Onko olemassa menetelmää, joka toteuttaisiseuraavat kaksi ehtoa:• Suhteelliset paikkamäärät pyöristetään joko alastaiylöspäin seuraavaan kokonaislukuun.• Jos asukasluvut pysyvät samoina ja koko maanpaikkamäärää kasvatetaan, niin yhdenkään vaalipiirinpaikkamäärä ei vähene.Lisäksi paikkajako pitäisi suorittaa jollakin etukäteenpäätetyllä menetelmällä (algoritmilla). Hamiltonin menetelmärikkoo jälkimmäistä sääntöä, ja – niin uskomattomaltakuin se kuulostaakin – voidaan osoittaa,ettei ole olemassa sellaista menetelmää, joka toteuttaisimolemmat ehdot!Kuten alussa totesin, en ryhdy vertailemaan Hamiltoninmenetelmän korvanneita muita tapoja. Historiallisenayksityiskohtana voidaan kuitenkin mainita, ettäsiirtyminen Hamiltonin menetelmästä ns. Jeffersoninmenetelmään aiheutti Yhdysvaltain v. 1876 presidentinvaaleissasen, ettei valituksi tullutkaan koko maassaneljännesmiljoonan äänen marginaalilla suosituin SamuelTilden, vaan valitsijamiesten vaalipiirijaon perusteellavoittanut Rutherford B. Hayes.Alla mainittujen linkkien ja kirjallisuusviitteiden avullaasiasta kiinnostuneet voivat tutustua yleisesti käytössäoleviin menetelmiin, joissa ym. ongelmien lisäksi vaalipiirinasukasluvun kasvaminen pienentää sen saamaapaikkamäärää, tai puolueen saamat lisä-äänetvähentävät sen edustajien määrää. Viimeisenä mainittussaHoffmanin kirjassa aihetta käsitellään hyvinyleistajuisesti.Linkkejä:http://www.ctl.ua.edu/math103/apportionment/paradoxs.htmhttp://www.ams.org/featurecolumn/archive/apportion1.htmlhttp://www.ams.org/featurecolumn/archive/apportionII1.htmlhttp://www.wahlrecht.de/http://www.uusikaupunki.fi/∼olsalmi/vaalit/vaalimat.htmlhttp://de.wikipedia.org/wiki/Unmöglichkeitssatz− von − Balinski − und − YoungKirjallisuutta:Michel Balinski, H. Peyton Young: The Quota Methodof Apportionment. American Mathematical Monthly82, 701–30, 1975.Michel Balinski, H. Peyton Young: Fair representation:meeting the ideal of one man, one vote. Brookings InstitutionPress, 2. painos, 2001.Paul Hoffman: Archimedes’ Revenge. Penguin Books,1988.