Sinin yhteenlaskukaava helposti - Helsinki.fi

Solmu 3/2013 1Sinin yhteenlaskukaava helpostiJorma Merikoskiemeritusprofessori, Tampereen yliopistoAluksi”Vanhassa lukiomatematiikassa” sinin yhteenlaskukaavasin (φ + θ) = sin φ cos θ + cos φ sin θ (1)(missä φ, θ ∈ R) johdettiin keskitason lukiolaisen kannaltamutkikkaalla geometrisella tarkastelulla [7], jonkamuunnelma löytyy lähteestä [8]. Sittemmin tämäkaava johdettiin vektoreilla, mutta edelleen keskitasonlukiolaiselle melko vaikeasti. Silloin tutkittiin kantavektorienkahden kierron yhdistämistä [5, 3] tai johdettiinaluksi kosinin yhteenlaskukaava skalaaritulon avulla[6]. Nykyisissä oppikirjoissa sinin yhteenlaskukaavaja muut vastaavat kaavat annetaan ilman perusteluja.Voidaanko sinin yhteenlaskukaava johtaa helposti?Huomaamme, että voidaan. Ne lukijat, jotka eivät tiedäkompleksiluvuista mitään eivätkä tässä vaiheessa haluakaantietää, voivat sivuuttaa luvut Helppo tapa jaVielä Eulerin kaavasta.Helppo tapaMatematiikan kiinnostavimpiin kaavoihin kuuluu Eulerinkaavae iθ = cos θ + i sin θ. (2)Tässä e on Neperin luku, i imaginaariyksikkö (siisi 2 = −1) ja θ reaaliluku. Jos z on kompleksiluku (siisz = x + iy, missä x, y ∈ R), niin e z määritellään esimerkiksisarjakehitelmänäe z = 1 + z + z22! + z33! + . . . . (3)Voidaan todistaa, että reaalimuuttujan eksponenttifunktionkaikki laskusäännöt säilyvät.Eulerin kaavan perusteellae −iθ = cos (−θ) + i sin (−θ) = cos θ − i sin θ. (4)Yhtälöparista (2), (4) saammecos θ = eiθ + e −iθ2, sin θ = eiθ − e −iθ. (5)2iJatkamme yksinkertaisella laskulla. Yhtälöiden (5) perusteellasin φ cos θ = eiφ − e −iφ e iθ + e −iθ2i 2Vastaavasti= 1 4i (eiφ e iθ + e iφ e −iθ − e −iφ e iθ − e −iφ e −iθ )= 1 4i (ei(φ+θ) + e i(φ−θ) − e −i(φ−θ) − e −i(φ+θ) )= 1 2( e i(φ+θ) − e −i(φ+θ)2i= 1 (sin (φ + θ) + sin (φ − θ)).2+ ei(φ−θ) − e −i(φ−θ) )2icos φ sin θ = 1 (sin (φ + θ) + sin (θ − φ)).2

2 Solmu 3/2013Koska sin (φ − θ) = − sin (θ − φ), on siissin φ cos θ + cos φ sin θ = 1 (sin (φ + θ) + sin (φ − θ))2+ 1 (sin (φ + θ) + sin (θ − φ))2= sin (φ + θ).Sinin yhteenlaskukaava (1) on näin todistettu.Kirjoitettuani yllä olevan osoittautui, että lyhempi todistus[9, 10] saadaan soveltamalla yhtälöne i(φ+θ) = e iφ e iθkumpaankin puoleen Eulerin kaavaa. Yksityiskohdatjätän lukijalle harjoitustehtäväksi. Päätin kuitenkinsäilyttää alkuperäisen todistuksen, koska se sisältää”bonuksena” kaavat (5), joissa sini ja kosini palautetaankiinnostavasti eksponenttifunktioon. Toisaalta tämälyhempi tapa sisältää oikeastaan paremman ”bonuksen”:saadaan myös kosinin yhteenlaskukaava.Helppo ja alkeellinen tapaEdellinen todistus ei sovi lukioon, mutta satuin löytämään[1, s. 162] keskitason lukiolaisellekin kohtuullisentodistuksen. Kirjoittaja viittaa lähteeseen [2] ja arvelee,että todistus löytyy muualtakin mutta ei ole laajaltitunnettu.Merkitsemme kolmion ABC sivuja ja kulmia tavanomaisesti,ja merkitsemme ∆(T ):llä annetun kolmion Talaa. Kertaamme aluksi, miten ∆(T ) saadaan, kun tunnetaanT :n kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Olkoonsivun BC = a vastainen korkeusjana AD = h. Koskah = b sin γ, onC∆(ABC) = 1 2 ah = 1 ab sin γ.2γbaJohdamme nyt sinin yhteenlaskukaavan. Olkoon kolmionABC sivun AB = c vastainen korkeusjana CE =k. Merkitsemme ∠ACE = φ ja ∠BCE = θ. Jos kulmatα ja β ovat teräviä, niin toisaaltamutta∆(ABC) = 1 2 ab sin γ = 1 ab sin (φ + θ),2hADBtoisaalta∆(ABC) = ∆(ACE) + ∆(BCE)= 1 2 bk sin φ + 1 ak sin θ2= 1 2 ba cos θ sin φ + 1 ab cos φ sin θ2= 1 ab(sin φ cos θ + cos φ sin θ).2Näin saamme kaavan (1) tapauksessa 0 < φ, θ < π 2 .Tyydymme siihen.AαbkCγ = φ + θJos α tai β on tylppä, niin vastaavalla tavalla saadaansinin vähennyslaskukaava.Vielä Eulerin kaavastaKompleksiluvun z sini ja kosini määritellään tavallisestisarjakehitelminäφEsin z = z − z33! + z55! − z77! + . . . ,θcos z = 1 − z22! + z44! − z66! + . . . . (6)Eulerin kaava voidaan havainnollisesti perustella sijoittamallakaavoihin (3) ja (6) z = iθ, tekemällä yksinkertaisialaskutoimituksia ja muuttamalla sarjojen termienjärjestystä. Jätän nämä laskut lukijalle harjoitustehtäväksi.Täsmällisen todistuksen esittäminen tällä tavalla vaatiikuitenkin perehtymistä kompleksianalyysiin. Nimittäinpitää tietää, miksi kyseiset sarjat suppenevat kaikillaz ∈ C. Lisäksi pitää tietää, miksi termien järjestystäsaa muuttaa.Mutta voidaanko Eulerin kaava perustella havainnollisestipelkillä lukion tiedoilla? Voidaan ja monellakintavalla, jotka tosin ovat edellistä mutkikkaampia. Silloinenlukiolainen Timo Kiviluoto [4] esitti kolme tapaa.aβB

Solmu 3/2013 3LopuksiSinin ja kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavoilla ontrigonometriassa erittäin keskeinen merkitys. Itse asiassaniistä ja parista lisäominaisuudesta saadaan koko trigonometria.Siis sini ja kosini voidaan määritellä paitsisarjakehitelmillä myös tällä tavalla. Muitakin tapoja onolemassa.Näiden kaavojen suuri merkitys ei näy nykyisissä opetussuunnitelmissaeikä oppimateriaaleissa. Kuten Halmetoja[3] jo ehdottikin, trigonometrian opiskelu pitäisilukion pitkässä matematiikassa aloittaa ensin kertaamallaperusmääritelmät ja sitten johtamalla nämäkaavat.KiitoksetKiitän Markku Halmetojaa ja Pentti Haukkasta kirjoitustaniparantaneista huomautuksista.Viitteet[1] R. Askey, Mathematical content. – KirjassaS. G. Krantz, How to Teach Mathematics, SecondEdition, Amer. Math. Soc., 1999, s. 161–171.[2] I. M. Gelfand and M. Saul, Trigonometry, Birkhäuser,2001.[3] M. Halmetoja, Lukion trigonometriaa, Solmu2012/1. http://solmu.math.helsinki.fi/2012/1/trigonometriaa.pdf[4] T. Kiviluoto, Eulerin kaavaa johtamassa, Solmu2002/1. http://solmu.math.helsinki.fi/2002/1/kiviluoto/[5] Y. Lehtosaari, J. Leino ja P. Norlamo, Laaja matematiikka2, kurssit 5–8, Kirjayhtymä, 1983.[6] H. Oinas-Kukkonen, J. Merikoski ja R. Niva, Akseli2, Matematiikan laaja oppimäärä, Weilin+Göös,2. p., 1984.[7] K. Väisälä, Trigonometria, 9. p., WSOY, 1967.[8] http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/kirjallisuus/trig.pdf[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_trigonometric_identities[10] http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricAdditionFormulas.html