PDF-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Solmu 2/2007 19käyttöön sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Funktioidenmäärittelyn kannalta olennaista yhdenmuotoisuudenkäsitettä ei ole tässä vaiheessa käytössä. Sininja kosinin määritelmät laajennetaan suoran kulmanja oikokulman välille. Sinilause perustellaan kolmionalan kirjoittamisella eri tavoin muotoon 1 ab sin γ. Sinilauseestaluvataan hiukan liikaa: kolmion muita osia2ei toki voi sen avulla laskea, jos yksi pari sivuja ja vastaisiakulmia tunnetaan.Yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta käsittelevä lukumäärittelee yhtenevyyden kuvioiden ominaisuutenaolla asetettavissa päällekkäin niin, että kuviottäysin yhtyvät. Kolmioiden viisi yhtenevyyslausettaluetellaan ja luettelon jälkeen kerrotaan,mitä on todistaminen ja todistetaan kolme esimerkkilausetta.Yhdenmuotoisuuden määritelmäksi esitetäänkaikkien vastinjanojen verrannollisuus. Tästä sanotaanseuraavan kaikkien vastinkulmien yhtäsuuruuden.Määritelmän mukaan yhdenmuotoisuuden testaaminenvaatisi äärettömän monien janaparien mittaamisen.Määritelmän jälkeisessä esimerkissä on monikulmioitaja esitellyt vastinjanat monikulmioiden kärkienvälisiä. Määritelmästä siirrytään virkkeeseen, jossa luetellaankolmioiden yhtenevyyslauseet (vain kirjainlyhenteinä)ja kirjoitetaan auki yhdenmuotoisuuslausekk, jonka totuuden kerrotaan olevan ilmeinen. Lukuunon vielä sisällytetty kolmion merkillisten pisteiden luetteloja yhdenmuotoisuuden sovelluksena pisteen potenssinkäsitteen esittely.Avaruusgeometria-luku alkaa suorien ja tasojenkeskinäisten asentojen esittelyllä. Tason normaalimääritellään suoraan kahta tason suoraa vastaan kohtisuoranasuorana. Säännölliset monitahokkaat luetellaan.Lieriön määritelmä on tyypillisen epämääräinen:”Kun suora liikkuu avaruudessa suuntansa säilyttäenja palaa takaisin lähtökohtaansa, syntyy suljettu lieriöpinta.Entä jos suora liikkuisi vaikka ”paikallaan”edestakaisin? Kartion määritelmä antaisi vastaavastimahdollisuuden erilaisiin tulkintoihin. Prismat japyramidit esitetään lieriöiden ja kartioiden erikoistapauksina,niin kuin toki mahdollista onkin. Pallostaannetaan vain erilaisia mittalukuja.Calculuksen esitys ei sisällä ylimääräisiä koristeluja senenempää tekstin kuin kuvituksenkaan puolella. Calculuksenlukija oppii laskemaan geometristen kuvioidenmittalukuja. Geometria loogisena oppirakennelmanatuskin kovin selvästi lukijan eteen avautuu.LaudaturLaudaturin ote aiheeseen on selvästi lennokkaampija myös lukijaa kosiskelevampi, alkaen esipuheenpäiväyksestä ”Keuruulla mäntyjen siitepölyn liidellessäpilvinä”. Värejä käytetään ja kirjassa on myös muutamalöyhästi tekstiin liittyvä värivalokuva, esimerkiksisarvikuonoista, kun tehtävänä on laskea pennun jatäysikasvuisen massojen suhdetta. Parista kuvasta tunnistaaoululaistaustan. Lisäksi kirjan sivuille on ripotelturunsaasti pieniä eläinaiheisia karikatyyrejä. Kirjanyleisasu on levoton: eritummuisia ja reunuksin koristetutlaatikot täyttävät monien aukeamien pinta-alastayli puolet.Laudaturin harjoitustehtävien määrä, 574, on suurinvertailtavien kirjojen joukossa. Mukaan on poimittumuutamia hyvinkin vanhoja ylioppilastehtäviä. Jokunenharjoitustehtävä on kirjoitettu englanniksi, ruotsiksi,saksaksi, ranskaksi tai viroksi. Tehtävistä noin 15on luonteeltaan todistustehtäviä. Laskutehtävien numeerisetvastaukset kerrotaan vastausluettelossa.Kirjan alkaa lähtötaitotesti, jossa kysytään samojaasioita, joita kirjassa sitten opiskellaan. Sitten seuraajohdanto, jossa mm. väitetään paralleeliaksiooman todistamisenolleen keskiajalla kullan valmistuksen ohellamuotiongelma ja käytetään vastaoletuksesta nimitystävastaväite. Varsinaiset asiat on ryhmitelty 11 lukuun.Luku peruskäsitteitä alkaa todistuksen rakenteenesittelyllä. Saamme tietää, että perustelu ei oletäysin pätevä todistus. Pisteen määritelmää ”suureena,jolla on paikka, mutta ei ulottuvuutta” seuraa ilmoitus,että ”pistettä tai oikeastaan sen kuvaa merkitäänisoilla kirjaimilla A, B, . . . ” Suoraa ei sittenenää määritelläkään, sanotaan vain, että se voidaanusealla tavalla määritellä. Kirjan ilmaisu on useastikiusallisen epätäsmällistä: ”Aste voidaan kirjoittaa desimaalilukunakuten mikä tahansa luku, esimerkiksi54,25 ◦ ”.Laudatur siirtyy jo toisessa luvussa yhdenmuotoisuuteen,joka määritellään ominaisuutena olla samanmuotoinen,muttei välttämättä samankokoinen.Sen kummemmin filosofoimatta ilmoitetaan, että yhdenmuotoisuusseuraa vastinjanojen ja vastinkulmienyhtäsuuruudesta. Yhdenmuotoisten kuvioiden pintaalasuhteestaloikataan sujuvasti yhdenmuotoisten kappaleittentilavuussuhteeseen.Kolmas luku käsittelee kolmioita. Luvun ensimmäinenvirke ilmoittaa, että kolmion kärjet nimetään isoillakirjaimilla aakkosjärjestyksessä vastapäivään.Käytäntöä ei ole helppo noudattaa kuvioissa, joissaon useita kolmioita. Kolmioiden yhtenevyysmääritellään päällekkäin asettamisen kautta ja yhtenevyyslauseettodistetaan. Kolmioiden yhdenmuotoisuudenmääritelmäksi esitetään vastinkulmien pareittainenyhtäsuuruus. Yhdenmuotoisuuskriteerien olemassaoloilmoitetaan, mutta vain ”kk” mainitaan. Kolmionmerkillisiä pisteitä luetellaan, mutta niiden perustelujaei esitetä. PS-tietona annetaan kuitenkin Heronin kaavaja sanotaan, että se on ainoa tapa laskea kolmion alatuntematta trigonometriaa. Kaava A = 1 ah on edel-2