Tyypillisiä metallialan ongelmia / Typical Problems for Metal Workers

23OSA 2.TYYPILLISIÄ ONGELMIAMETALLI- JA PINTAKÄSITTELYSSÄ

24OSA 2. TYYPILLISIÄ ONGELMIA METALLI-JA PINTAKÄSITTELYSSÄTässä kirjan osassa sinulla on mahdollisuus oppia luokittelemaan oman työsikeskeisimmät ongelmat, joissa matematiikkaa tarvitaan. Käytännössä nämä ovatjonkin laajemman ongelman osaongelmia, kuten seuraava esimerkki osoittaa.ONGELMA 1: Miten valmistat lieriön, jonka tilavuus on 100 l ?DEMOSoftwareDEMOSoftwareccAnalyysi: On pohdittava ainakin seuraavia kysymyksiä. Mikä on säiliön käyttötarkoitus? Millainen on sen ulkonäön oltava? Millainen lujuus sillä on oltava?Onko se paineastia? Millaista painetta sen on kestettävä? Vaatiiko valmistusviranomaisten hyväksynnän? Onko säiliön kestettävä syöpymistä? Mistä materiaalistase valmistetaan? Millä tarkkuudella se halutaan valmistaa? Mitä yksiköitälaskelmissa käytetään? Mitkä ovat sopivat mittasuhteet? Miten valmistus tapahtuuteknisesti?DEMOSoftwareJos säiliön ei tarvitse kestää painetta, niin sen pohjat voidaan tehdä suoriksi ja nevoidaan hitsata reunoistaan. Jos taas kyseessä on paineastia, niin pohjien on oltavakuperat ja ne on syytä hankkia valmiina. Emme ota laskelmissamme huomioonnäiden kuperien osien sisältämää tilavuutta. Rajoitumme tämän vuoksi tarkastelemaanlieriömäisen säiliön valmistamista.cDEMOcSoftwareOngelman ratkaisemiseksi sinun on kyettävä ratkaisemaan seuraavat osaongelmat,joista jokainen edellyttävää tietynlaisia matematiikan taitoja:

25OsaongelmatHallittavat osa-alueetOsaongelma 1: minkä muotoisetpalat on lensin leikattava?Osaongelma 2: mikä on materiaalija miten palat on leikattava?Osaongelma 3: mitkä näidenpalojen mitat on oltava?DEMOSoftwareohutlevytyöt ja kappaleidenlevityksetpaksulevytyöt,polttoleikkaukset,oikaistu pituustyöstömitatDEMOSoftwarecOsaongelma 4: mikä on mittausjavalmistustarkkuus?cvalmistustarkkuusOsaongelma 5: kuinka paljonpeltiä tai pintakäsittelyä tarvitaan?ainemäärät(alat, tilavuudet)Osaongelma 6: kuinka paljonhitsaussaumaa tarvitaan?ainemäärät(paino, pituus)Osaongelma 7: mikä on säiliönlevyn paksuus ?Osaongelma 8: paljonkovalmistus kaikkiaan maksaa?Osaongelma 9: minkä muotoinensäiliö on edullisinta valmistaa?DEMOSoftwarelujuuslaskelmattyöstöarvotkustannuslaskelmatoptimointilaskelmatDEMOSoftwareccOn tärkeää saada hieman yleiskuvaa siitä, minkä tyyppisiä matematiikan taitojakullakin osa-alueella tarvitaan. Tämän vuoksi kirjan tekijä ratkaisee kanssasiongelman 1 siten, että eri osa-alueilla tarvittavat matematiikan taidot tulevatsamalla esitellyiksi. Näin opit tuntemaan tämän kirjan rakennetta ja etsimäänkulloinkin tarvitsemiasi tietoja kirjan 3. osasta.

26Osaongelma 1: Minkä muotoiset palat on ensin leikattava?Analyysi: Aivan ensiksi on osattava tehdä lieriön levitys. Tällä tarkoitetaan lieriön(ajateltua) hajottamista tasokuvioiksi, joista kappale voidaan valmistaa. Voitharjoitella levityksen tekoa purkamalla vaikkapa valmiita pahvi- tai peltipurkkeja.Ratkaisu:levitysDEMORatkaisun tulkinta: Voit tarkistaa levityksesi, sillä luvussa 3.7. käsitelläänlevityksiä.cSoftwareOsaongelma 2: Mikä on materiaali ja miten palat voidaan leikata?Analyysi: Kuinka paksusta pellistä säiliö halutaan tehdä? Miten levityskuviotvoidaan piirtää? Tarvitaanko polttoleikkausta? Onko käytettävissä polttoleikkauskone?Ratkaisu: Kappaleessa 2.1. on tarkasteltu levityspiirrosten mittoja.Osaongelma 3: Mitkä näiden palojen mitat on oltava?Analyysi: Voit valita lieriön korkeuden tai pohjan halkaisijan vapaasti. Miksi?Tasokuvioita ja niiden pinta-aloja on käsitelty kohdassa 3.6. Kappaleet janiiden tilavuudet löytyvät kohdasta 3.7. Kirjan loppuun (ks. liite) on koottupinta-alojen ja tilavuuksien kaavoja. Voit toimia kaavion mukaisesti. Mitäkaavoja sovellat ?Ratkaisu:1. tapa: Valitse pohjan halkaisijaksi vaikkapa 400 mm. Tällöin pohjan säde on200 mm ja alatilavuudenkaavaDEMOcSoftwarevaadittutilavuus(*)=

27Kirjoita lieriön korkeuden h laskemiseksi yhtälö (pidä laadut koko ajan mukana!):=Ratkaise tästä h:=DEMO2. tapa: Jos aloitat valitsemalla ensin korkeuden vapaasti, esim. h=800 mm,joudut ratkaisemaan yhtälöstä (*) pohjan säteen r. Tämä on r:n suhteen toisenasteen yhtä-lö:cSoftware=josta voit ensin kirjoittaa2rja ratkaista sitten laskimellar==DEMO=SoftwarecRatkaisu: Lieriön korkeus on ...................... ja pohjan halkaisija....................Ratkaisun tulkinta: Millaisen tarkkuuden olet valinnut “100 litran” lieriöntilavuudelle? Millaisella tarkkuudella olet ilmoittanut korkeuden ja pohjan halkaisijan?Näitä tarkkuuskysymyksiä on vielä pohdittava seuraavaan tapaan:

28Osaongelma 4: Mikä on mittaus- ja valmistustarkkuus?Analyysi: Mitkä seikat vaikuttavat valmistetun astian tilavuuden tarkkuuteen?Millaiseen tarkkuuteen mielestäsi pitäisi käytännössä pyrkiä?Ratkaisu: Usein riittää välillä 50 l... 150 l oleva tarkkuus. Mitta-astian tapauksessasuurempaan kuin n. 5 l:n tarkkuuteen on vaikea päästä. Esimerkiksi hitsaustyössäpäästään enintään 3% tarkkuuteen (SFS 3393 B). Pohdi opettajasi kanssa,millaista tarkkuutta tämä merkitsee osaongelmassa 3 lasketuissa mitoissa.Ratkaisun tulkinta: Luvuissa 2.4. ja 2.5. on käsitelty tarkkuuteen liittyviä asioitalaajemmin.Osaongelma 5: Kuinka paljon peltiä tai pintakäsittelyä tarvitaan?Analyysi: Sinun on tutkittava levityskuvioiden pinta-aloja. Mikä on vaippanaolevan suorakulmion kantasivu ja korkeus? Miten vaikuttaa se, onko lieriö suljettuvai avoin?DEMOcSoftwareRatkaisu: Pohjan ala on ympyrän pinta-alan kaavan (ks liite lopussa) mukaan=Sijoita kaavaan aiemmin laskemasi r ja laske ala:=Vaippa on suorakulmio, jonka pinta-ala on kanta x korkeus. Kantasivu on yhtäsuuri kuin pohjaympyrän kehän k pituus, joka on liitteessä olevan kaavan mukaanDEMOc=SoftwareKun sijoitat tähän aiemmin laskemasi

29r =,saatVaipan ala on siiskxkh==DEMOcSoftwareRatkaisu: Avoimen lieriön kokonaispinta-ala on siispohjan ala + vaipan ala =Suljetun lieriön kokonaispinta-ala on2 x pohjan ala + vaipan ala =Ratkaisun tulkinta: Peltiä tarvitaan siis avoimeen lieriöön ainakin..................................... ja suljettun lieriöön ainakin .......................................Tästä voidaan myös laskea pintakäsittelyn menekki. Halutaanko säiliö käsitelläsisä- ja ulkopuolelta? Jos maalin menekki on esim. 0.5 dl neliömetrille, tarvitaansäiliön pintakäsittelyyn sekä sisä- että ulkopuolelta maaliaDEMOcSoftware...............................................................................................................................Ainemäärien laskemista on tarkasteltu luvussa 2.7.

30Osaongelma 6: Kuinka paljon hitsausainetta tarvitaan?Analyysi: Tutki levityskuvioiden ympärysmittoja eli piirejä. Ota huomioonsaumaukseen tarvittava osa. Astiaan tarvitaan korkeussuunnassa kaksi saumaaDEMOSoftwaresaumatcRatkaisu: Sijoita saumauksen pituuksien arvot alla olevaan taulukkoon. Laskesitten hitsausaineen menekki luvun 2.7. alussa olevan taulukon avulla. Suljettuastia on yleensä paineastia, joten voit olettaa ainepaksuudeksi 10 mm. Tällöinhitsausainetta kuluu 62 cm 3 / m.sauman pituusavoin lieriösuljettu lieriöpohjan saumausvaipan saumaussaumaa yhteensähitsausaineenmenekkiDEMOcSoftwareRatkaisun tulkinta: Laske, montako ja millaista hitsauspuikkoa tarvitaan?

Osaongelma 7: Mikä on valmistettavan säiliön lujuus (painekesto)?Analyysi: Paineettoman säiliön seinämän paksuuteen vaikuttaa haluttu jäykkyys(esim. öljytynnyri) tai syöpymiskestävyys (esim. jäteastia). Tarkastelemmesäiliötä paineastiana, jolloin päädyt jätetään huomioon ottamatta ja säiliön oletetaanrikkoutuvan halkeamalla. Lujuuslaskelmien alkeita on esitelty luvussa 2.8.Ratkaisu:31Halkaiseva voimalieriömäisellekappaleelle onF =p d hja halkaiseva voima kohdistuupinta-alaan, jonka suuruus onA =2 s hDEMOcSoftwareds = seinänpaksuushJännitys saadaan kaavastaFR =Aeli F:n ja A:n sijoittamisen jälkeenR =p d h2 s h .Tästä saadaan ratkaistuksi p:p =2 s RdAineelle Fe37 sallittu jännitys R on tässä tapauksessa 100 N/mm 2 . Kun sijoitatviimeiseen kaavaan säiliön halkaisijan d=400m m ja säiliön paksuuden s=10 mm,saat tulokseksiDEMOSoftwarecp =2= 5 N / mm 2 = n. 50 bar

34Ratkaisun tulkinta: Lieriön valmistuksessa kannattaa siis ottaa huomioon pohjanja korkeuden mittasuhteet. Ilmeisesti kaikilla muillakin kappaleilla on omaoptimaalinen muotonsa. Optimointilaskelmien alkeita on tarkasteltu luvussa2.9.Ratkaise seuraava ongelma, jotta oppisit hajottamaan ongelman osaongelmiksi jamenettelemään edellä esitetyllä tavalla. Täydennä puuttuvat osat ottamalla malliaedellisen ongelman ratkaisusta!ONGELMA 2. Miten valmistaisin teräspellistäoheisen suorakulmaisen särmiön muotoisen suljetunsäiliön ?Ongelman analyysi: Säiliöllä voi olla hyvin erilainen muoto. Miksi? Mitkäsuureet voit valita vapaasti? Mistä voin aloittaa mittojen laskemisen? Tarkastelenseuraavia osaongelmia.Osaongelma 1: Millainen on tällaisen säiliön levityskuvio?Analyysi: Osaanko tehdä levityksen heti? Tarvitsenko opastusta kirjan osasta3.7.3? Voin tutkia levitystä hajottamalla vastaavan muotoisia pahvipakkauksia.Ratkaisu: Piirrän levityskuvion:DEMOcSoftwareRatkaisun tulkinta: Onko muunlaisia levityskuvioita?Osaongelma 2: Mitkä ovat levityskuvion työstömitat?Analyysi: Voin valita kappaleen kaksi särmää vapaasti. Kolmannen särmän saanlasketuksi. Työstömitoista löydän tietoa kirjan luvusta 2.2.DEMOSoftwareRatkaisu: Merkitsen pohjasärmiä kirjaimilla a ja b ja korkeutta kirjaimella c.Valitsen näistä ensin:c=ja=

35Etsin kirjan lopusta tilanteeseen sopivan kaavan, sijoitan särmien arvot paikalleenja muodostan yhtälön:===DEMOSoftwareTulos: Särmien työstömitat ovat:....................., ..................... ja ........................cRatkaisun tulkinta: Vertaan omaa ratkaisuani oppilastoverieni ratkaisuun.Huomaan, että muiden ratkaisut ovat...............................................................................................................................Ilmeisesti ratkaisuja on ............................................................................. määrä.Osaongelma 3: Miten piirrän ja leikkaan levityskuvion?Analyysi: Käytän apunani seuraavan taulukon jäsentelyä:Tarvitsenko apua pirtämiseen kirjan kohdasta 10? Tarvitsenko tietoa levytöistäkirjan luvusta 2.1?Ratkaisuni:käytänkö tätä kyllä ei miten menettelen?geokolmioastemittaviivoitinharppijokin muuDEMOcSoftware

36Ratkaisun tulkinta:Millä muulla tavoin voin piirtää ja leikata levityskuvion?Osaongelma 4: Mikä on mittaus- ja valmistustarkkuus?Analyysi ja ratkaisu: Käytännössä voidaan päästä ilmeisesti korkeintaan 5prosentin tarkkuuteen. Tämä vastaa ............ litran tarkkuutta.Osaongelma 5: Kuinka paljon peltiä tai pintakäsittelyä tarvitaan?Analyysi: Vastaus löytyy levityskuviosta. Se koostuu tasokuvioista, jotkaovat................................. Osaanko näiden kuvioiden pinta-alojen kaavat? Löytyvätköne kirjan osasta 3?Ratkaisu: Sijoitan osaongelmassa 1 laskemani työstömitat seuraaviin kaavoihin:pohjatDEMOc=Softwaresivut=päädyt=Tulos: Levityskuvion pinta-ala on ........................................................................Ratkaisun tulkinta: Mitä yksiköitä on mielekkäintä käyttää? Mikä on edellälaskemani pinta-alan tarkkuus? Entä mahdolliset saumanvarat? Mikä on pintakäsittelyyntarvittava ala a) ulkopuolisesti b) molemmin puolin käsiteltäessä?Osaongelma 6: Kuinka paljon hitsaussaumaa tarvitaan?DEMOSoftwareAnalyysi: Saumattava matka on vähintään särmien yhteenlaskettu pituus.cRatkaisu: Hitsaussaumaa tarvitaan suljetun säiliön tapauksessa yhteensä vähintään

37Ratkaisun tulkinta: Mitä pituusyksikköä on mielekkäintä käyttää? Kuinkatarkka on edellä laskemani pituus? Katson kohdan 2.6 taulukoista, kuinka paljonhitsauspuikkoja tarvitaan ja kirjoitan tähän vastaukseni:Osaongelma 7: Kuinka paksusta levystä valmistan säiliön?Analyysi: Käytän apunani kirjan osassa 2.7 esitettyjä lujuuslaskelmien alkeita.Ratkaisuni:DEMOSoftwareRatkaisun tulkinta: Kuinka paljon tällainen säiliö painaa? Etsin raudantiheyden ja lasken laskimellani:Tulos:.................... kg.cOsaongelma 8: Paljonko valmistus kaikkiaan maksaa?Analyysi : Käytän kohdassa 2.8 esitettyjä tietoja ja alla olevaa taulukkoavälittömien kustannusten laskemiseksi.Ratkaisu:kustannustekijämäärä hinta yhteensälevytyösaumauspintakäsittelymuutpeltityöpuikottyöainetyöDEMOcvälittömät kustannukset yhteensäSoftwareRatkaisun tulkinta: Olisiko säiliö mahdollista ostaa? Kannattaisiko se ostaa?Voisiko sen teettää? Missä? jne. Entäpä, jos säiliöitä pitäisi valmistaa suurempimäärä?

38Osaongelma 9: Minkä muotoinensäiliö on edullisintavalmistaa?Analyysi: Minkä muotoinen säiliöolisi matemaattisesti tarkasteltunaedullisinta valmistaa? Ilmeisestisellainen 100 litran säiliö,jonka pinta-ala on mahdollisimmanpieni!Ratkaisu: Voin valita vapaasti erilaisia särmien pituuksia tai verrata oppilastoverienilaskemia arvoja ja sijoittaa ne alla olevaan taulukkoon:pituus leveys korkeus ala tilavuus(cm) (cm) (cm) (dm2) (dm3)DEMO46.4 46.4 46.4 108 100cSoftware46.4 23.2 92.8 140 100kommenttejaTaulukon perusteella voin päätellä, että särmiö on ilmeisesti alaltaan pienin, kun.................................................................................................................................Voin käyttää kirjan kohdassa 1.8 esitettyä valmista tietokoneohjelmaa ja todetayleisemminkin, ettätilavuudeltaan samoista särmiöistäon kuutio pinta-alaltaan pienin!DEMOctoisin sanoenSoftwarepinta-alaltaan samankokoisista särmiöistäon kuutio tilavuudeltaan suurin

39Ratkaisun tulkinta: Käytännössä valmistuskustannuksiin vaikuttavat muutkintekijät kuin pelkästään matemaattisesti laskettu pellin menekki. Kirjoitan tähänjoitakin tällaisia tekijöitä:.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Olen nyt ratkaissut koko ongelman 2. Huomaan, että on tärkeää erottaa toisistaansuljetun ja avoimen särmiön tapaukset! Käyn vielä läpi osaongelmat 1-9 jakirjoitan seuraavaan taulukkoon havaintoni.osaongelma1mitä ratkaistaan suljettu säiliö avoin säiliölevityskuvion muotoDEMOcSoftware2345678levityksen työstömitatlevityksen leikkaaminenvalmistustarkkuuspellin menekkisauman pituuslevyn paksuus (lujuus)valmistuskustannukset9optimaalisin muotoONGELMA 3: Miten valmistankuution muotoiset astiatteräspellistä, kun halututtilavuudet ovat 1 ml, 1 cl, 1 dl,1 l ja 100 l ?DEMOSoftwarec

40Analyysi: Kyseessä on ongelmaa 2 täysin vastaava ongelma, joten osaan kootaosaongelmat ja niiden ratkaisut suoraan seuraavaan taulukkoon:.osaongelma 1:levityskuvio?työstömitat?tilavuusosaongelma2:litroinakuutiomittoinayhtälöratk.särmänpituusV= x 3A = 6x 21.0 ml 1.0 cl 1.0 dl 1.0 l 100 l 1000 l3x =3x =3x =3x =3x =x = x = x = x = x = x =DEMOcSoftware3x =osaongelma 3:leikkaus./piirto?osaongelma 4:tarkkuus?osaongelma 5:pinta-ala?osaongelma 6:saumaus?osaongelma 7:pellin valinta?osaongelma 8:kustannukset?DEMOSoftwaremuitahuomioitac

412.1. Levityspiirrosten mitat ja tavallisimpienkappaleiden valmistaminenDEMOSoftwarecDEMOSoftwarec

42Edellä laskimme muutamien tavallisimpien kappaleiden levityskuvioiden mitatperinteisellä tavalla geometrian perustietojen avulla. Näitä on koottu kirjan osaan3.6. Nyt sinulla on tilaisuus opetella tämäntapaisia laskutoimituksia seuraavientehtävien avulla.Tehtävä 1. Laske oheisestalevityspiirroksesta pisteidenA, B, C ja D koordinaatitpisteen O suhteen.PisteKoord.x = R cos ay = R sin aDEMOcSoftwareDEMOA B C DcSoftwareTehtävä 2. Laske oheisestalevityspiirroksesta pisteidenA, B, C ja D koordinaatitpisteen O suhteen.(Opastus: laske ensin kulmaa radiaanin määritelmästäkeskuskulma = kaari /säde)DEMOcSoftwareDEMOcSoftwarePisteKoord.x = R cos aA B C Dy = R sin a

43Tehtävä 3. Laske vihkoosi alla olevassa levityskuviossa kirjaimilla merkitytsuureet. (Vihje: Sektorin kaaren pituus on sama kuin kartion pohjaympyrän kehä.Tästä voit laskea ensin kulman a.).DEMOcSoftwareDEMOcSoftwareTehtävä 4. Laske vihkoosi alla olevassa levityskuviossa kirjaimilla merkitytsuureet. (Vihje: Kannattaa edetä seuraavassa järjestyksessä: Kartion helmat ovatyhtä suuret kuin levityssektorien pituudet. 1. Laske kulma a. 2. Laske d. 3. LaskePythagoraan lauseen avulla s1 ja s2. 4. Laske kulma g. 5. Laske kulma b. 6.Laske f ja e.)DEMOcSoftwareDEMOcSoftware

44Tämä luvun alussa tutustuit jo lieriön ja särmiön valmistamiseen. Hyvin yleisiänäiden ohella paljon kartion, katkaistun kartion ja katkaistun pyramidin muotoisetkappaleet. Näiden kappaleiden perustiedot löydät kirjan osista 3. 7.3 ja 3.7.4ja niiden avulla voit ratkaista seuraavat ongelmat.ONGELMA 1: Miten valmistan oheisen 1.0dl:n suppilon?Osaongelma 1: Mitkä ovat työstömitat?Analyysi: Voin valita joko kartion korkeuden tai pohjanhalkaisijan vapaasti. Kumpi on edullisinta valita ensinvapaasti?Ratkaisu: Kaavan löydän kirjan lopusta (ks. liite). Sijoitan muuttujat kaavaankartion tilavuus 1.0 dlDEMOSoftwarecValitsen r:nvapaastisaan 1. asteenyhtälönhrValitsen h:nvapaastisaan 2. asteenyhtälönValitsen esimerkiksi säteeksi r:rTällöin saan yhtälönelikartion tilavuus 1.0 dlDEMORatkaisen tästä laskimella korkeuden h:SoftwarechTulos: Kartion korkeus on .......................... ja pohjan säde ................................

45Ratkaisun tulkinta: Osaisinko laskea kartion pohjan säteen myös siten, ettävalitsen ensin kartion korkeuden? Kokeilen tätä valitsemalla korkeudeksi juuriäsken laskemani h:n. Toisen asteen yhtälön ratkaisuksi pitäisi tulla sama kuinaiemmin valitsemani r!Osaongelma 2: Millainen on vaadittavan kartion levityskuvio?Ratkaisu: Piirrän kartion levityskuvion:levitysDEMOSoftwareMiten lasken kartion levityskuvion mitat? Voin menetellä seuraavasti:ctiedän korkeuden hja pohjan säteen rhrslasken kartion sivujanan ss =s on myös vaipanlevityssektorin sädeslasken sektorinkeskuskulman α2 2s = r + h ==sektorin kaarenpituusα360okartion pohjankehäDEMO2 Π s 2 Π rcSoftwareαjostaαr= 360 o= =s

46Tulos: Voin valmistaa kartion ympyräsektorista, jonka säde on........................ja keskuskulma............................ astetta.Ratkaisun tulkinta: Tiedän nyt kartion levityskuvion mitat, joten voin ratkaistasuoraan seuraavat osaongelmat.Osaongelma 3: Miten piirrän ja leikkaan levityskuvion?Ratkaisu: Kirjoitan tähän tyhjään tilaan sanallisen selvitykseni. Harjoittelenmyös piirtämällä paperille harpin ja astemitan avulla!DEMOOsaongelma 5: Paljonko peltiä (tai pintakäsittelyä) tarvitaan?cSoftwareRatkaisu: Levityskuvion ala on tietty osa s-säteisestä ympyrästä:osuus kokoymp. alastavaippanaαolevan sektorinala360 Π s2o360 oDEMOcSoftware

Tarkastelen vielä pääpiirtein jäljellä olevien osaongelmien ratkaisuja:47osaongelmatratkaisuni lyhyesti46789valmistustarkkuussauman pituuslevyn paksuus (lujuus)valmistuskustannuksetoptimaalisin muotoDEMOcSoftwareONGELMA 2: Miten valmistan oheisenkatkaistun kartion muotoisen 10 l:n peltiämpärin?Analyysi: Mistä kaikista seikoista ämpärin tilavuusja pinta-ala riippuu? Montako näistä voinvalita itse vapaasti?Osaongelma 1: Mitkä ovat työstömitat?Ratkaisu: Piirrän mallikuvan ja merkitsen siihen kirjainsymboleilla nemuuttujat, joista tilavuus riippuu:DEMOSoftwarec

48Etsin katkaistun kartion tilavuuden kaavan ja sijoitan nämä muuttujat siihenLvalitsenjavapaastisaan yhdenmuuttujanyhtälön:n:nDEMOcSoftwaredmcm33lasken:ncmTulos: Ämpärin korkeus on ...................................................................................Pohjien halkaisijat ovat ...................................... ja .............................................Ratkaisun tulkinta: Mitaan, kuinka suuret nämä vastaavat mitat ovat yleensä10 l:n muoviämpäreissä. Vertaan tulostani niihin.Osaongelma 2: Millainen on ämpärin levityskuvio ja mitkä ovat senmitat?DEMOSoftwareAnalyysi: Voin tutkia levityskuviota esimerkiksi hajoittamalla kertakäyttömukejatai vanhoja muoviämpäreitä. Löydän tietoa myös kirjan osasta 3.7.3.cRatkaisu: Piirrän seuraavalle sivullelevityskuvion muodon (pääpiirtein) jamerkitsen siihen jo laskemani mitat.

49Ämpärin korkeuden ja pohjien säteiden mittalukujen perusteella en voi vieläpiirtää levityskuviota tarkasti. Joudun vielä laskemaan seuraavan sivun mallikuviosta säteet K, L sekä keskuskulman α. Nämä voin laskea kartion sivukuvastayhdenmuotoisten kolmioiden avulla.DEMOcSoftwaresLhr1r2KK =2r +12h r21(r - r )1 12L =α3602r +Keskuskulma α saadaan yhtälöstä2sektorin pienemmänkaaren pituusο2h r22(r - r )1 2=DEMO2 Π L =c2Softwareämpärin pienemmänpohjan kehän pituus2 Π r1Lasken laskimella suureet K, L ja α sekä piirrän levityskuvion papreille harpin,viivaimen ja astemitan avulla.Tulos: K = ............................., L = ............................. ja α = ...........................

50Osaongelma 3: Mikä on ämpärin kokonaispinta-ala?pohjan pintaalankaavatulos laskimella=katkaistun kartionvaipan alan kaavasaan laskimellavaipan alansuuruudeksiDEMOc=sijoitan suureidenarvot paikalleenSoftwareTulos: Ämpärin valmistamiseen tarvitaan peltiä (vähintään)........................................ ........................................................................................................................Ratkaisun tulkinta: Luultavasti pellin menekki on pienin silloin, kun pohjiensäteet ja ämpärin korkeus eivät poikkea kovin paljon toisistaan. Miksi?Voin tutkia myös osaongelmia 4-9, kuten aikaisempien kappaleiden valmistuksessa:467osaongelmatvalmistustarkkuussauman pituuslevyn paksuus (lujuus)DEMOratkaisuni lyhyestiSoftwarec8valmistuskustannukset9optimaalisin muoto

51Tällaisen valmistusongelman voi ratkaista myös seuraavan tietokoneohjelmanavulla. On myös melko helppoa laatia ohjelma, jolla ämpärin edullisin muotovoidaan löytää (vrt. kohdassa 1.8 esitetty BASIC-ohjelma)." Kvasialgoritmi ": BASIC-ohjelma:Valitsen pohjien säteiksiR1=10 ja R2= 20 (cm)"kasvatan korkeutta"10 cm:stä lähtien,kunnes tilavuus10 L ylittyy10 E=120 R1=1030 R2=2040 H=1050 U=(3.14*H)(R1*R1+R1*R2+R2*R2)55 V=U/360 IF (V-10000)>0 THEN GOTO 10070 H=H+E80 GOTO 50100 PRINT R1,R2,H110 ENDDEMOSoftwarecONGELMA 3: Miten valmistan oheisenkatkaistun pyramidin muotoisen10 l:n altaan?Analyysi: Katkaistusta pyramidista löydäntietoa kirjan osasta 3.7. Voin ilmeisesti menetelläsamaan tapaan kuin katkaistun kartiontapauksessa. Kaavakokoelmasta löydänsopivat kaavat. Pohdin viereisen kuvionja alla olevan taulukon avulla, mitä seikkojavaadin altaan muodolta:ovatko pohjatsuorakulmioita?ovatko pohjatneliöitä?ovatko pohjatyhdenmuotoiset?kylläeiDEMOb'aa'mitä päätös vaikuttaaaltaan muotoon?Softwarebconko katkaistukartio "suora"?onko katkaistukartio vino?

52Ratkaisu: Osaan erottaa kaikki eri osaongelmat. Ensin selvitän altaan levityksenja tilavuuteen vaikuttavat mitat.levitysOsaan menetellä kuten katkaistun kartion tapauksessa ja laskea altaan mittasuhteetlaskimella:DEMOSoftwareckatkaistun pyramidintilavuuden kaavaLvoin valita esim.pohjien alatvapaastih3(ab + aba'b' + a'b')voin siis valita a:nja b:n vapaasti jaesim. a'=a/2, b'=b/2lasken korkeudenhDEMOcSoftwaredmcm33cm

Osaan myös käyttää alla olevia kuvioita ja suunnitella niiden avulla levityskappaleensekä piirtää sen tarkasti leikkaamista varten.:53b'aa'a'DEMOcbxxb'SoftwarexbaIsomman pohjan lävistäjä d1= a + b =222ja pienemmän pohjan lävistäjä d2= a' +b'Kun merkitään d=d1-d2,saadaan sivujana x = d + h22 2POHDIN VIELÄJÄLJELLÄ OLEVIA OSAONGELMIAJA TEEN SEURAAVAAN TAULUK-KOON YHTEENVEDONDEMOSoftware==c

54osaongelma 1:levityskuvio?työstömitat?tilavuusosaong.2:litroinakuutiomittoinayhtälöratkaisusärmätosaongelma 3:leikkaus/piirto ?a=b=3 310 L = dm = cmDEMOca'=b'=Softwarekorkeus(h=)osaongelma 4:tarkkuus?osaongelma 5:pinta-ala?osaongelma 6:saumaus?osaongelma 7:pellin valinta?osaongelma 8:kustannukset?osaongelma 9:optimimuoto?Kaava ja sijoitukset siihen:DEMOcRatkaisu:Software

Harjoitustehtäviä551. Kuorma-auton 6 m 3 metallilava valmistettiin 8 mm teräspellistä. Kuinkapaljon peltiä kului ja kuinka paljon lava painoi, kun raudan tiheys on 7.8 kg/dm 3 ?Lavan pituus oli 4,60 m ja leveys 1,80 m. Jos lava pintakäsiteltiin ympäriinsä, niinkuinka paljon tämä kokonaispinta-ala oli?2. Oletetaan, että lieriön korkeus on sama kuin pohjan halkaisija, jotka molemmatovat kuution särmän suuruiset. Kumpi on tilavuudeltaan suurempi? Perustelusi!3. Kuinka paljon peltiä säästät kuutioon verrattuna, josvalmistat sen asemasta 1.000 l:n suuruisen lieriönmuotoisen astian, joka on 10.0 cm korkea?4. Valmista rautalangasta tai pellistä oktaedri ja ikosaedri,joiden mallit löydät luvun 3.7. lopusta. Mitäarvelisit näiden muotojen “optimaalisuudesta” kuutioonverrattuna. Entä palloon verrattuna?DEMOcSoftware5. Kerrottiin, että kuljettaja oli nukahtanutja täysperävaunullnen tankkiauto syöksynytjärveen lastinaan 20.000 litraa polttoöljyä.Arvioi auton kahden säiliön mittoja ja päättele,voiko kertomus pitää paikkansa. Olivatko säiliöttäysiä?6. Oletetaan, että kaikki öljy valui järveen ja muodosti0,001 mm:n paksuisen kerroksen veden pinnalle. Kuinkalaajan järven öljy kykenisi saastuttamaan?7. Kottikärryjen lava on suoran katkaistun pyramidin muotoinen. Pohjan mitatovat 450 mm x 600 mm ja reunojen mitat 600mm x 800 mm. Laske tilavuus, joskorkeus on 380 mm.8. Pakettiauton kuormatilavuuden on oltava vähintään 3 m 3 . Täyttääkö tämänvaatimuksen sellainen tavaratila, jonka pituus on 180 cm, korkeus 123 cm jaleveys 132 cm?9. Paloturvallisuusmääräykset vaativat omakotitalonkattilahuoneeseen 60 litran hiekkalaatikon.Kuinka korkeaksi se on tehtävä,kun pohjan alaksi sopii 400 mm x 500 mm?DEMOSoftwarec10. Kuorma-auton lavan pohjan mitat ovat2480 mm x 5710 mm ja korkeus 2300 mm.Kuinka paljon alumiinipeltiä tarvitaan lavankattamiseksi, kun hukkapaloihin onvarattava 15 % ?

562.2. NC (Numerical Control) polttoleikkauksenkoordinaatitDEMOSoftwarecDEMOSoftwareNykyisin koneet hoitavat yhä useammin levyn leikkaamisen. Leikkauskoneelleon osattava antaa levityskuvion tiedot. Tämä tarkoittaa käytännössä tiettyjenpisteiden koordinaattien laskemista jonkin kiinteän pisteen suhteen. Nämä syötetäänohjelmaan, jolla on seuraavat ominaisuudet:c

1. Polttoleikkausohjelma koostuu suorista ja ympyränkaarista.572.Ohjelmaa varten on laskettava kunkin viivan päätepisteen koordinaatit tämänalkupisteeseen nähden (ns. inkrementaalinen ohjelmointitapa). Ympyrän kaarenohjelmoimiseksi tarvitaan lisäksi ympyrän keskipisteen koordinaatit.Ohjelmassa siirrytään rivillä aina pisteestä seuraavaan ( 0-->1, 1-->2, jne.).3. Laskelmat tehdään 0,01 mm:n tarkkuudella, jotta ohjelma olisi kirjoitettavissa0,1 mm:n yksiköissä (Huom. pilkkua ei käytetä!).Esimerkki 1.yx100301001 2DEMOc3SoftwareorigoYllä oleva leikkauskuvio ohjelmoidaan seuraavalla tavalla:Ohjelma: (mitat 0,1 mm)loppupiste keskipiste suunta012alkupisteloppupiste123X Y I(X) J(Y)+1300 + 0+ 0-1000-1000+1000 + 0 +1000 -DEMOSoftwarecSeuraavalla sivulla on esimerkki polttoleikkausohjelman kirjoittamisesta yhdenmuotoistenkolmioiden avulla.

58Tehtävä 1. Laske kirjaimilla merkittyjen pisteiden koordinaatit Ax, Ay ; Bx, Bymuutoksina edellisestä pisteestä.a)**** kuva toimitetaan painoon erillisenä ****DEMOcSoftwareX Y I(X) J(Y)O--->AA--->BB--->CC--->Db)DEMOSoftware**** kuva toimitetaan painoon erillisenä ****c

59X Y I(X) J(Y)O--->AA--->BB--->Cc)C--->DDEMOSoftwarec**** kuva toimitetaan painoon erillisenä ****O--->AA--->BX Y I(X) J(Y)DEMOSoftwarecB--->CC--->D

60Esimerkki 2. a = 165 - 50 = 1152 2b = 115 - 60**** kuva toimitetaan painoon erillisenä ****= 98,11DEMOSoftwarec50d5060=115c = 26.09b=105cd = 42.66alkupisteloppupisteOhjelma: (mitat 0,1 mm)X Y I(X) J(Y)0--->1 + + 5001--->22--->3 +927(50 + d)+ +1200+261 +500 + -(c)DEMO3--->4 + -1722 -1408 -861 -cSoftware(120+2c) (d+b) (60+c)4--->5 -927 +261 -427 +261(50+d) (c) (d) (c)-

Esimerkki 3. Polttoleikkausohjelman laatiminen trigonometrian avulla.61tan α =300500DEMOc**** kuva toimitetaan painoon erillisenä ****Softwareα = arctan 0,6oα = 30,96sin α =b230b = 230 sin 30,96o= 118,33acos α =230a = 230 cos 30,96o= 197,22Ohjelma: (mitat 0,1 mm)loppupistealkupisteX Y I(X) J(Y)0--->1 +1--->22--->3+2300+328 +1183 +2300 + -(2300-a) (b)+3000 +50003--->4 +3944 -2367 +1972 -1183 -(2a) (2b) (a) (b)DEMOSoftwarec4--->55--->6-3000 -5000-4272 +1183 -1972 +1183 -(-2300-a) (b)

62Tehtävä 2. Laske kirjaimilla merkittyjen pisteiden koordinaatit Ax, Ay ; Bx, Bymuutoksina edellisestä pisteestä.a)DEMOSoftwarecX Y I(X) J(Y)O--->AA--->BB--->Cb)C--->DDEMOSoftwarec

63X Y I(X) J(Y)O--->AA--->BB--->Cc)C--->DDEMOSoftwarecO--->AA--->BX Y I(X) J(Y)DEMOSoftwarecB--->CC--->D

642.3. NC (Numerical Control) koneistuksenkoordinaatitDEMOSoftwarecSoftwareNumerical Control -koneistuksen ohjelmassa ilmoitetaan tavallisesti liikkeenpäätepisteen koordinaatit kiinteän pisteen suhteen. Tätä pistettä kutsutaankappaleen absoluuttiseksi nollapisteeksi, joka on useimmiten joko kappaleennurkassa tai keskiössä. Liike tapahtuu kuten polttoleikkauksessakin pitkin suoriatai ympyränkaaria. Koneistusohjelmia joudutaan usein korjailemaan työstökoneenääressä, joten koneistajan on kyettävä laskemaan koordinaatit laskimella.Ohjelmointitarkkuus on yleensä 0,001 mm, jolloin laskelmat on tehtävä vähintään0,0001 mm:n tarkkudella. Desimaalipilkkua käytetään normaalisti.DEMOc

65Tehtävä 1. On porattava ympyrälevyn kehälle kahdeksan reikää tasajaolla. Laskereikien keskipisteiden koordinaatit levyn keskipisteen suhteen.DEMOSoftwarecTehtävä 2. Laske merkittyjen pisteiden koordinaatit O-pisteen suhteen.DEMOSoftwarec

66Tehtävä 3. Laske merkittyjen pisteiden koordinaatit O-pisteen suhteen.DEMOSoftwareTehtävä 4. Laske merkittyjen pisteiden absoluuttiset koordinaatit pisteen Osuhteen.cDEMOSoftwarec

2.4. Oikaistu pituus67DEMOSoftwarecDEMOSoftwarec

68Metallia joudutaan usein taivuttamaan.Oikaistuksi pituudeksi kutsutaanpituutta ennen taivutusta. Onnopeampaa ja vaivattomampaa leikatakappaleet suorana tehokkaillalaitteilla kuin käsityönä taivutuksenjälkeen. Tarkkuus ei kuitenkaansäily taivutuksessa. Sen vuoksilaskutarkkuudeksi riittää 1 mm.Taivutuksessa ulkolaita venyy jasisälaita supistuu. Neutraaliakselipysyy alkuperäisen mittaisena.Pyöristyksessä neutraaliakseli onkeskellä pyöristettävää levyä, tankoa,putkea tms.DEMOvenyysupistuuSoftwareS/2S/2SneutraaliakselicRPyöristyksessäRS> 4Taivutuksessa neutraaliakseli onsisempänä, n. 1/3 sisäreunasta.S/3SRSärmäys voidaan laskea suorakulmaisensisäreunan mukaanDEMOTaivutuksessaSoftware4 >SRS> 1cRSärmäyksessäRS

69Taivutusvara määräyty materiaalin ja taivutuksen muodonmukaan.Teräkselle pienin suositeltava suhde R/Son 0.65, mutta joskus käytetään myös ns. vahvistustaitosta(ks kuva). Tällöin taivutussäde on itse asiassanolla!Esimerkki 1. Oheisen kuvanmukainen pyöristys lasketaanseuraavasti:DEMOSoftwareS/3150 o S = 5R = 10cL= Πα180ο1( R + S3)= 3,14 x150180oo( 10 +5 )3= 31 ( mm )taivutettavaVoit harjoitella oikaistun pituuden laskemista seuraavan sivun tehtävillä.DEMO31Softwarec

70Tehtävä 1. Laske oikaistupituus viereiselle pyöristykselle.DEMOO 400Software10Tehtävä 2. Laske oikaistupituus viereiselle särmäykselle.c3R 3100200Tehtävä 3. Seitsemänhalkaisijaltaan 260 + 1millimetrin kaasupulloaniputetaan viereisenkuvan mukaisesti8 x 40 teräspannalla.Laske pannan oikaistupituus.DEMOcSoftwareTehtävä 4. Laske vastaava panta 6 mm teräksestä kolmelle pullolle.

2.5. Työstöarvot ja esimerkkejä kustannuslaskelmista71DEMOSoftwarecDEMOSoftwarec

72Kokeellisilla tutkimuksilla on saatu taulukoita, joista ilmenee, kuinka suurellaleikkuunopeudella terällä voidaan leikata ilman ylikuumenemista. Leikkuunopeussaadaan helposti pyörimisnopeudeksi kaavallav = Π d nv = leikkuunopeus(kehänopeus)d = pyörimiskappaleenhalkaisijan = pyörimisnopeus(1/min tai 1/s)DEMOcTästä voidaan ratkaista n, jolloin saadaanSoftwarevn =vπ d=vπ(m / min)d (metreinä)n=1000πxv (m/min)d (milleinä)n= 320vd, missä v = m/min tai m/sja d aina millimetreinä!Tämä kaava on erittäin käyttökelpoinen, joten sinun kannataa opetella se ulkoa!Voit harjoitella kaavan käyttöä seuraavilla tehtävillä.Tehtävä 1. Terä kestää leikkuunopeuden 310 m/min. Mikä on suurin pyörimisnopeushalkaisijaltaan 1300 mm:n sorvaukselle?DEMOSoftwareTehtävä 2. Mikä on edellisen tehtävän terän suurin pyörimisnopeus kappaleille,joiden halkaisijat ovata) 650 mm b) 325 mm c) 160 mm ja d) 20 mm?cTehtävä 3. Jyrsin, jonka halkaisija on 180 mm, pyörii nopeudella 340 kierrostaminuutissa. Mikä on leikkuunopeus?

Työstöaika voidaan laskea seuraavalla kaavalla:73T =1n x sT = työstöaika(n:n mukaisenalaatuna)= työstöpituuss = syöttöEsimerkki 1. Kuinka kauan vie aikaa 8 m pitkän, halkaisijaltaan 1200 mm:nlieriön silityssorvaus 0,25 mm:n syötöllä, kun pyörimisnopeus on 1,5 1/s?Ratkaisu:T =11,5 / sDEMOxc8000 mm0,25 mmSoftware= 21000 s = 5 h 55 minTehtävä 4. Kuinka kauan vie aikaa 0,860 m:n ja halkaisijaltaan 50 mm:n lieriönsilityssorvaus 0,30 mm:n syötöllä, kun pyörimisnopeus on 4/s? Entä kuinka pitkälieriö voidaan sorvata 5 minuutissa?Tehtävä 5. Jos tehtävän 1 sorvissa terän vaihdon jälkeen syöttö lisääntyy 20%,niin kuinka monta prosenttia työstöaika lyhenee?DEMOSoftwarec

74Kustannuslaskennalla selvitetään työn kannattavuus. Siihen liittyy läheisestipalkkojen laskeminen, joka jokaisen työntekijän on hallittava. Nykyisin työntekijänon ymmärrettävä, mistä kustannukset muodostuvat pystyäkseen vähentämäänniitä kireässä kilpailutilanteessa. Kustannuksia lasketaan prosenttilaskennanavulla, koska joudutaan jakamaan yhteisiä menoja osiin ja lisäämään suhteellisiaosuuksia palkkoihin jne.Esimerkki 2. Säiliön valmistamisen urakkahinta on 580 mk. Metalliteollisuudenon lisättävä tähän 70 % työnantajan sosiaalikuluja, joten kustannukset tämänlisäyksen jälkeen ovat1,7 x 580 mk = 986 mk.Yleiskustannukset lisätään usein prosentteina, ellei selvää kustannusmomenttiaole osoitettavissa. Ne voivat olla palkkoja suuremmat, esimerkiksi 220 %. Kun nelisätään edellä saatuihin palkkakustannuksiin, saadaan kokonaiskustannuksiksiDEMO3,20 x 986 mk = 3155 mk.cSoftwareRaaka-aineet ovat yleensä selvästi pienempi kustannuserä. Ne voidaan laskeakilohinnasta ottamalla huomioon hukkaan menevä prosentti. Jos esimerkiksi 3,2mk:n kilohintaista raaka-ainetta tarvitaan 85 kg ja hukkaprosentti on 30 %, ovatraaka-ainekustannukset1,3, x 85 kg x 3,20 mk /kg = 354 mk.Muut pienemmät kustannukset arvioidaan usein kertoimella, esimerkiksi edelläolevassa tapauksessa 20 %:n lisällä:1,2 x (3155 mk + 354 mk ) = 4211 mk.Harjoitustehtäviä1. Suunnittele edellä olevan esimerkin perusteella taulukko, jonka avulla voitnopeasti ja helposti arvioida tämäntapaisia kustannuksia.2. Mitä maksaa 8,50 metriä pitkän lieriön puhtaaksisorvaus0,25 mm:n syötöllä ja pyörimisnopeudella 5,2 1/min, kunasetusaika on 1,2 h ja apuaikaa varataan 10 %? Konekustannuksetovat 620 mk /h. Teristä, sähköstä ja leikkuunesteestätulee vielä 8 % lisäkust annuksia. Sosiaaliturvakustannuksetvoit laskea kuten esimerkissä 2.DEMOcSoftware3. Laadi taulukko, jonka avulla voit tutkia tehtävän 2 kustannusten muuttumistaerilaisilla teränopeuksilla. Keskustele opettajasi kanssa leikkuunopeuden vaikutuksestaterän kulumiseen ja terän vaihtanmiskustannuksista.Luvussa 2.10 on annettu esimerkki tämäntapaisten kustannusten minimoimisesta,joten voit tutustua siihen jo tässä vaiheessa.

752.6. Esimerkkejä lujuuslaskelmistaDEMOSoftwarecDEMOSoftwareLujuusoppi sisältää ongelmia, joiden ratkaiseminen vaatii kaavojen käsittelykykyä.Tällöin laatujen kuljettaminen mukana on tärkeää tuloksen oikeellisuuttakontrolloitaessa.cAinepaksuudet määritetään pääasiassa lujuuden ja jäykkyyden (so. muodonmuutostenvastakohdan) mukaan. Tarkastelemme lujuusopin perusteita pelkästäänesimerkkien avulla.

76Esimerkki 1. Miten paksusta teräslevystä on tehtävä300 mm leveä ja 900 mm pitkä porrasaskelma, jotta setaipuisi 100 kg painavan henkilön alla korkeintaan 1,0mm?Ratkaisu saadaan lujuusopin kaavoilla seuraavasti:f = taipumaF3F = kohdistuva voima(1) f =E I= kappaleen pituusE = aineen kimmomoduliI on jäykkyyden ilmoittava poikkipinnanneliömomentti. Se on eri muotoisille tangoillesaatavissa taulukoista. Pyöreälle tangolle selasketaan kaavasta I = 0,05 d jasuorakul-maisen särmiön muotiselle tangollekaavasta(2) I = b h 3b12hDEMOcSoftwareKaavasta (1) saadaan3FI =48 E f=3 3b = leveysh = korkeus1000 N x 900 mm43 2= 69349 mm48 x 219 x10 x N/mm x 1,0 mmKaavasta (2) saadaanh ==312 Ib=3 12 x 69349 mm300 mm = 14 mmYli 20 mm paksu levy on hankala käsitellä.Onko mahdollista tehdä portaat kevyemmäksitoisenlaisella tekniikalla? Mitä tapahtuu,jos rakennamme askelman oheisenkuvan muotoisesta ritilästä, jossa on pituussuunnassarinnakkain 10 kpl 3 mm leveitäpalkkeja 30 mm välein?10 kplb = 3 mmRitilää voidaan tarkastella laskennallisestiaivan kuin se olisi yhtenäinen 30 mm leveä palkki. Sijoita kaavaan (2) b:narvoksi 30 mm ja laske h:DEMOcSoftwareh = ?h =3=

77Toteamme, että ritiläratkaisu tekee raput kevytrakenteisiksi ja käyttökelpoisiksi.Esimerkki 2. Kuinka korkea päästään kiinnitetty I,5 mpitkä I- palkki on valittava nosturin ulokepalkiksi, jottase kestäisi 25 kN:n kuorman?1,5 mRatkaisu:(3)(4)M = Fσ =MWKaavoista (3) ja (4) saadaan:σ=FWeliSijoittamalla suureet saadaan:W =M = suurin momentti2σ =120 N/mmF = 25 kN= 1,5 mW = taivutusvastustaulukostaDEMOcW =Fσ25000 N x1500 mm= 312500 mm 3120 N/mm 2Taulukosta valitaan korkeudeksi h = 240 mm.Softwareh W x 10 3 I x 10 6mm mm 3 mm 41001201401601802002202402602803003455821171612142783544425426531,73,35,79,414,521,430,642,657,475,998,0IEsimerkki 3. Kuinka korkea edellisessä tehtävässä olevan palkin on oltava, jottase taipuisi 25 kN:n kuormalla korkeintaan 2 mm?Ratkaisu:Taipuma f saadaan kaavastaf =Ratkaisemme tästä suureen II =F3 EF3IDEMO3 E f3.Softwarec=.Taulukosta valitaan korkeudeksi h=280 mm. Suorita laskut!

78Esimerkki 4. Tarkastellaan alla olevissa kuvissa esitettyä kahta tapaa rakentaa3 m pitkistä 22mm x 100 mm laudoista kannatin. Lautoja on 15 kpl.(a)15 kplLaske taipumat 60 kg:n kuormalle kummassakin tapauksessa.DEMORatkaisu: Käytämme edellisen aukeaman kaavoja (1) ja (2):(b)Softwarec(1)f =483FE I(2)I = b h123F = mg/15 = 39,9 N= 3,000 mE = 2KN/mm2a-kohdassa I =b- kohdassa I =3bh12 =bh123Kun nämä sijoitetaan kaavaan (1), saadaana-kohdassa f ====DEMOSoftware=cb-kohdassaf ==Vastaus: a) 126 mm ja b) 6 mm

79Näemme, että b-kohdassa esitetty kannatin on selvästi tukevampi. Jos tällainentyötaso tehdään märästä laudasta, aiheutuu telineen omasta painosta huomattavarasitus. Tasaiselle kuormalle laskettavan taipuman kaavan (1) nimittäjässä olevavakio 48 on korvattava vakiolla 384. Jos haluat, voit harjoitella kaavojen käyttöälaskemalla seuraavan harjoitustehtävän.Tehtävä 1. Kuinka pitkä b-kohdassa mainittu märästä laudasta (tiheys 0,8 kg/l)tehty kannatin voi enintään olla, ettei taipuma ylittäisi 3 mm?Kirjan osan 2 pääongelman osaongelmassa 8 tutustuimme jo kaavaan, jollalasketaan lieriön muotoisen kappaleen paineenkesto. Se on muotoa p = 2sR/d,missä s on seinämän paksuus, d halkaisija ja R aineen suurin sallittu jännitys. Voitlaskea tämän kaavan avulla seuraavat tehtävät:Tehtävä 2. Kuinka paksusta levystä on valmistettava 30 bar kestävä lieriönmuotoinen 100 litran kaasupullo, jos sen korkeus on a) 200 mm b) 400 mm c)800 mm d) 1600 mm?DEMOSoftwareTehtävä 3. Halkaisjaltaan 400 mm ja korkeudeltaan 800 mm kaasupullo halkesi20 barin paineessa. Arvioi laskelmien perusteella, miten paksusta levystä se olitehty? Onko muita syitä?cDEMOSoftwarec

802.7. AinemäärätDEMOSoftwarecAinemäärä voidaan ilmoittaa kahdella tavalla:1) tilavuusyksikkönä, jolloin tilavuus joko mitataan tai lasketaan tilavuudenkaavasta2) painoyksikkönä, jolloin paino joko mitataan tai lasketaan tiheyden kaavasta:DEMOSoftwarecpaino = tiheys x tilavuusm = ρ V

81Usein joudutaan tilanteeseen, jossa ainemäärää ei voida laskea, vaan se onarvioitava. Tällöin käytetään hyväksi kokeellisesti laadittuja taulukoita. Alla onesimerkki hitsausaineen menekkiä kuvaavasta taulukosta 60 asteen V-railonjalkohitsauksessa.Aineenpaksuus( mm )456789101520Teoreettinenhitsin tilavuus3( cm / m)11,516,523,033,542,051,066,5135,0227,0Todellinenhitsintilavuus3( cm / m)11,016,021,532,540,048,062,0123,0208,0DEMOcHitsiainemäärä( kg / m)0,090,130,170,260,310,380,490,971,63*) otettu huomioon poikittaiskutistuminen*)SoftwareOngelma 1. Oheinen painesäiliö on valmistettu10 mm:n teräslevystä.Kuinka paljon hitsausainettakuluu 60 O jalkohitsauksessa?300 mmAnalyysi : On laskettava ensin hitsaussauman pituus.Hitsausaineen määrä voidaan tämän jälkeen katsoa edelläolevasta taulukosta.500 mmRatkaisu : Pohjien kehien yhteenlaskettu pituus on1885 mm ja korkeus 500 mm. Saumaa on siis yhteensä2385 mm. Taulukosta näemme, että hitsausainetta kuluu= 1.4 kg (Laske !)SoftwareRatkaisun tulkinta: Hitsausaineen määrä kasvaa melko nopeasti levyn paksuudenmukana. Esimerkiksi saman säiliön valmistaminen 4 mm levystä vaatisihitsausainetta vain 0,25 kg.DEMOc

82Harjoitustehtäviä1. Laske edellisen taulukon perusteella, kuinka pitkän sauman saat 1 kg:nhitsausainemäärällä, kun hitsattavan pellin paksuus on 8 mm. Arvioi, minkäkokoisen painesäiliön voisit hitsata tällä määrällä kyseisestä pellistä?2. Eräs yritys suunnitteli ongelmassa 1 mainittujenpainesäiliöiden sarjatuotantoa 5 mm:n levystä. Laskettiin,että kyseisen erän hitsaamiseksi tarvittiin150 kg hitsausainetta. Montako säiliötä tässä erässäoli?3. 1000 litran suuruinen kuution muotoinen avoinmetallilaatikko valmistettiin 3 mm:n teräslevystä.Paljonko levyä kului ja paljonko laatikko painoi,kun teräksen tiheys on 7,8 kg/dm 3 ? Paljonko hitsausainettakului saumaamiseen?DEMO4. Öljytynnyrin halkaisija on 560 mm ja korkeus 790 mm. Mikä on tynnyrintilavuus? Miksi sitä kutsutaan "180 litran tynnyriksi" ?c5. Tehtävän 4 tynnyri on valmistettu 1mm:n teräslevystä. Mikä ontynnyrin ala, kun saumoihin menee 5% lisää? Entä paljonko tynnyri painaa, kunteräksen tiheys on 7,8 kg/dm 3 ?6. Kelalla on 3,83 km halkaisijaltaan 0,8 mm MIGhitsauslankaa.Mikä on langan tilavuus? (Vihje:millainen kappale muodostuu, jos lanka ajatellaansuoraksi?)7. Tehtävän 6 lanka on päällystetty 0,5 µm:nkuparikerroksella.Kuinka paljon kuparia on kelalla?8. Kuinka paljon painaa 15 m pitkä alumiinikaapeli, jonka halkaisija on8,5 mm ja jossa on 3,2 mm paksu kumieriste? Alumiinin tiheys on 2,7 ja kumin1,5 kg/dm 3.9. Paljonko painaa pallo, jonka halkaisija on 1,82 mm, jos se on tehtya) kullasta b) lyijystä c) raudasta?10. Laske oheisen teräsalevyn paino.DEMO11. Paljonko painaa 1800 mm pitkäteräsputki, jonka sisä- ja ulkohalkaisijat ovat27 mm ja 62 mm?cSoftwareSoftware1,2 mpaksuus 6 mm1,95 m0,85 m

12. Laske alla olevien hitsausrailojen tilavuudet railokulmalle 60 O .83a) b)12 Y 1850ei ilmarakoapituus 660 mm15 mm3 mm13. Laske likimain hitsin poikkipinta-alat alla olevissa kuvioissa.a) b)20 oR8 45 mmDEMOcSoftware8 mm3 mm14. Painonnostotankoon onvalmistettava 20 mm:n teräslevystä2,5 kg:n, 5,0 kg:n ja 10,0 kg:n painot.Laske halkaisijata) lukuunottamatta keskireikääb) keskireikä mukaanlukienc) Jos painot suhtautuvat 1:2:3, niinmiten suhtautuvat halkaisijat ?d) Mitä 5,0 kg:n painoon vaikuttaa0,20 mm liian suuri halkaisija?15. Eräässä elokuvassa tehtiin pakomatka tyhjistäkaasupulloista kootulla lautalla. Olisivatko todellisetkaasupullot kelluneet (vai olivatko nekenties muovipulloja?), kun pullon ulkohalkaisijaon 230 mm, tilavuus 50 l, seinämän paksuus4 mm ja päädyt ajateltavissa 7 mm paksuiksisuoriksi levyiksi?DEMOSoftwarec

842.8. PintakäsittelyDEMOSoftwarecPintakäsittelyssä ei yleensä tarvita monimutkaista matematiikkaa, kuten esimerkiksipolttoleikkausohjelman tekemisessä. Tämän vuoksi esittelemme vain esimerkeinjoitakin tyypillisiä rutiineja. Voi t harjoitella näitä jakson loppuosanharjoitustehtävillä.DEMOcSoftwareTekstissä litra on lyhennetty kirjaimella L, koska pieni l sekoittuu numeroon 1.

1. Maalin menekin laskeminen85Tärkeimpiä rutiineja on osata arvioida ja laskea maalin menekki tietyn suuruisiaja muotoisia pintoja käsiteltäessä. Tällöin sinun on osattava laskea erilaistenpinta-alojen suuruuksia ja tiedettävä maalin riittoisuus. Se ilmoitetaan yleensä“kuinka monta neliömetriä voidaan käsitellä yhdellä maalilitralla ( m 2 / L ).Tilanteesta riippuen voi olla kätevämpää ilmoittaa riittoisuus toisin päin elilitroina neliömetriä kohti ( L / m 2 ). Pinta-aloihin voit tutustua kirjan luvussa 3.6.ja alojen kaavat löydät nopeasti kirjan lopussa olevasta liitteestä.Esimerkki 1. Erään kattomaalinriittoisuus on 14,3 m 2 / L.a) Kuinka paljon maalia tarvitaanoheisen peltikaton maalaamiseen, kunkaton yhden lappeen mitat ovat 22,5m x 14,2 m?DEMOcb) Paljonko maalia kuluu yhdelleneliömetrille, ts. mikä on maalinriitoisuus yksikkönä L / m 2 ?Ratkaisuni: a) Katon kokonaispinta-ala onSoftwareMaalin menekki onsitenb) Koska 14 m 2: n maalaamiseen tarvitaanyksi litra, niinyhden neliömetrinmaalaamiseen tarvitaanSoftware........................ litraa. Riittoisuus voidaan ilmoittaa siis:DEMOc

862. Maalin kalvon paksuuden laskeminenMaalikalvon keskimääräinen paksuus voidaan laskeakaavallamissäK =K = märkäkalvon paksuusmK =k10 x Vamissä V = maalin kuiva-ainepitoisuus (%)a = maalin riittoisuus ( m / L)K = keskimääräinen kuivakalvonkpaksuus2kJos tunnetaan märän kalvon paksuus, voidaan siitä arvioida kuivan kalvonpaksuus kaavalla:DEMOcKm100x VSoftware1 2 3 4 5 6Esimerkki 2. Maalin kuiva-ainepitoisuus on 55 % ja riittoisuus 13,7 m 2 / L.a) Laske kuivakalvon paksuus.b) Märkäkalvon paksuus on 65 µm. Arvioi kuivakalvon paksuus.c) Kuivakalvon paksuus on 40 µm. Mikä on ollut märkäkalvon paksuus?Ratkaisu: a) Edellä olevan kaavan nojalla saan:SoftwareVastaus: Kuivakalvon paksuus on .................... µm.b) Sijoitan luvut kaavaan ja saan:DEMOc

Vastaus: Kuivakalvon paksuus on ................... µm.87c) Kun sijoitan annetut paksuudet kaavaan (2), saan yhtälönRatkaisen tästä K m=Vastaus: Maärkäkalvon paksuus on .................... µm.DEMOcSoftware3. Ainemäärien arvioiminen ja laskeminen!?Pintakäsittelyssä joudutaan arvioimaan paitsimenekkiä tilavuusyksikköinä, niin myös ainemääriäpainoyksikköinä. Tällöin on syytä osatamm. tiheyden käsite.Esimerkki 3. Erään sinkkisilikaatiyhdistelmäntiheys on 2,7 kg / L. Sillä käsitellään yhteensä35 m x 18 m suuri pinta siten, että märkäkalvonpaksuus on 120 µm. Kuinka paljon maalia kuluua) litroina b) kilgrammoina?Ratkaisu: a) Maalatun alueen tilavuus onpinta-alaxpaksuusTästä saan laskimellani vastaukseksi: Maalin määrä on ................................. L.DEMOSoftwareb) Koska paino on tiheys x tilavuus, niin saan painon laskemiseksi lausekkeen.cTästä lasken vastaukseksi: Maalimäärän paino on ........................................ kg.

884. Graafisen esityksen tulkintaEsimerkki 4. Maalauksen ruosteenestoarvo arvostellaan kymmenasteisenasteikon mukaan (Standardi SIS 185111). Se määritteleevalokuvin millaiselta minkin arvoinen maalikalvo näyttää.Alle arvosanan 4 olevaa maalausta on pidettävä jo erittäinhuonona. Oheisessa kuviossa on esitetty maalien 1-5 maalauskäyriä.Tulkitse tämä kuvio ja vertaa eri maaleja keskenään.DEMOcNykyisin esitteissä, ohjeissa jne.käytetään yhä enemmän graafisiaesityksiä. Näillä tarkoitetaan sitä,että tiettyjä riippuvuuksia esitetäänkoordinaatistossa kuvaajien muodossa.Kirjan luvuissa 3.4 ja 3.5.voit tutustua kuvaajien piirtämiseenja tulkintaan. Seuraavaksi parityöhösi liittyvää esimerkkiä.Software10Aruosteenestoarvo501 2 3 4 5aika vuosinaDEMOVastaus: Maalit ................. ja ................ ovat vielä ................ vuoden jälkeencmaaliarvon .............. ylittävässä kunnossa.SoftwareMaalit ........................... ovat jo ........................ vuoden kuluttua ruostuneet niinpahoin, että uudelleenmaalaus on välttämätöntä.Maali ..................... on vastaavanlaisessa tilassa ....................... vuoden kuluttua.BCDE

Esimerkki 5. Ilman suhteellinen kosteus on pintakäsittelyssäerittäin tärkeä. Sitä voidaan kuvata hyvinmonella tavalla. Seuraavaksi esitetään suhteelliseenkosteuteen liittyvää tietoa taulukoiden ja kuvaajienavulla. Keskustele niistä opettajasi kanssa!89Taulukko esittää ilman lämpötilan ja suhteellisen kosteudenvaikutusta sen sisältämään vesimäärään. Selämpötila, jossa ilmassa oleva vesihöyry tiivistyy, onnimeltään kastepiste(lämpötila).ilmansuht.kosteus100%80%60%40%o o o o o o o o o o-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 251.050.850.630.421.581.270.950.63vesihöyryn määrä eri lämpötiloissa ( g / m 3)2.301.841.380.923.372.722.011.354.893.91DEMOc2.941.966.805.444.082.72Software9.407.515.633.7612.8010.247.685.1217.2613.7710.326.9023.0018.4013.009.2020%0.210.320.460.67Allaolevatkuvaajat esittävät ilman kosteutta eri lämpötiloissa. Jos esimerkiksi ilmanlämpötilaksi mitataan + 20 o ja suhteelliseksi kosteudeksi 60%, niin käyriltävoidaan lukea (pisteet A—>B—>C), että ilman kastepistelämpötila on +12 o(vaaka-aselilta). Seuraamalla esim. 80% käyrää (esim. pisteet D—>E—>F taiG—>H—>I) huomataan, että se kulkee n. 4 o kastepistelämpötilan yläpuolella.0.921.361.582.563.454.6024100%2220höyryn osapaine mm Hg1816141210864DEMOcHGBSoftwareAE D C80%60%40%20%suhteellinen kosteus2C F-20 -10 0 I 10 20ilman lämpötilao

905. SeoslaskutSeoslaskelmilla määritetään mm.a) seoksen komponenttien suuruudet, kunkunkin suhteellinen osuus tiedetäänb) kunkin komponentin suhteellllinen osuus,kun sen suuruus tiedetään.Seos on metalli- ja pintakäsittelyalalla useimmiten jokin seuraavista:* yleisesti jokin liuos, jolloin seoslaskut käsittelevät liuoksen pitoisuuttatai väkevyyttä (esim. maali tai pesuliuos)* rahamäärä, jolloin se koostuu eri hintaisista komponenteista (esim. erihintaistenmaalien sekoitus).DEMOcSoftwareTutustut seoslaskelmiin seuraavien esimerkkien avulla:Esimerkki 6. 48 litran maalista 1/3 on muoviosaa, 1/4 kovitetta ja loppuosamuita aineita.a) Mikä on muiden aineiden osuus murtolukuna?b) Kuinka monta litraa maali sisältää kutakin komponenttia?c) Kuinka monta prosenttiyksikköä maali sisältää kutakin komponenttia?Ratkaisu: a) muovin ja kovitteen osuus on yhteensäb) muovia on on, joten muiden aineiden osuus on:sta, eli siisDEMOSoftwarexja kovitetta onc:sta,eli siisx

Tällöin muita aineita on91:sta,eli siisxc) Muovin osuus on .......... %, kovitteen ........... % ja muiden aineiden ..........%Esimerkki 7. Laimennetussa 10 litran maaliseoksessa on 8.5 L maalia, 0,5 Lvernissaa ja 1 L tärpättiä. Mikä on kunkin komponentin osuus ?Ratkaisu:maalia onlDEMOSoftwarel:sta,siisc==,tärpättiä onll:sta,siis==,ja vernissaa onsiislDEMOc=Softwarel:sta,=..Vastaus: Maalia on........, tärpättiä ..........ja vernissaa ............. koko seoksesta.

92Esimerkki 8. Maalari sekoittaa keskenään 5 L halvempaa ja 12 L kalliimpaamaalia. Mikä on seoksen litrahinta, jos edellinen maksaa 58 mk/L ja jälkimmäinen29 mk/L?Ratkaisun löydät helposti täyttämällä seuraavan taulukon laskimesi avulla:halvempikalliimpikoko seosmääräDEMOkilohintaSoftwarehintacEsimerkki 9. Oletetaan, että haluat sekoittaa edellisessä tehtävässä mainituistamaaleista seoksen, jonka litrahinnaksii tulee 40 mk/L. Kuinka paljon sinun onsekoitettava kutakin maalia, jos tarvitset 14 L:n maalierän?Ratkaisun löydät aivan kuten edelisessä ongelmassa täyttämällä ensin seuraavantaulukon ja muodostamalla sitten yhtälön, jossa molemmilla puolilla on kokoseoksen hinta. Yritä ensin ilman opastusta. Ellet osaa edetä, niin lue taulukonjälkeinen opastus.Vihje:1. Merkitse taulukkoon kaikki tunnetut luvut.2. Merkitse kalliimman maalin määrää symbolilla x3. Paljonko on oltava silloinhalvempaa maalia?4. Laske sitten näiden yhteishinnat ( x:n avulla! )5. Merkitse saatu summa yhtäsuureksi kuin kokoseoksen hinta6. Ratkaise yhtälöstä x.halvempikalliimpimääräDEMOcSoftwarekilohintahintakoko seos

93Ratkaisun tulkinta: Edellä oleva ratkaisutapa ei vaadi mitään ulkoaopettelua, vaanon suoritettavissa yksinkertaisilla peruspäättelyillä. Tämän vuoksi tällaisen taulukon(käytännössä toisiaan vastaavien tieojen "allekkain asettamisen") käyttäminenon yleisimminkin ongelmanratkaisussa suositeltavaa.On kuitenkin olemassa muitakin laskennallisia keinoja ratkaista tämäntyyppisiätehtäviä. Eräs näistä on ns. "henkseliperiaate", jonka esittelemme seuraavaksi(emme tässä yhteydessä perustele sen oikeellisuutta matemaattisesti). "Henkseliperiaatteen"idea on siinä, että kun koko seoksen hinnan S (siis "henkselien"keskuskohdan) lisäksi tunnetaan kalliimman komponentin kilohinta K ja halvemmankomponentin kilohinta H, saadaan komponenttien suhteelliset osuudet vähennyslaskulla:KkalliimmankilohintahalvemmankilohintaHSkoko seoksenkilohintaDEMOcSoftwareS - HhalvemmansuhteellinenmääräkalliimmansuhteellinenmääräK - SKalliimpaa ja halvempaa on sekoitettavasuhteessa S-H / K-S. Esimerkin tapauksessaK=58, H=29 ja S=40. Saamme oheiset "henkselit".Kalliimpaa ja halvempaa maalia onsiis sekoitettava suhteessa 11:18.584040-29= 11Koska koko seoksen määrän on oltava 14 L,saamme seuraavan verrannon:2958-40= 18Tästä saamme yhtälönjosta x = n. 5,3.x14 - xDEMOcNäin saimme saman tuloksen 5,3L kuin aiemmin.11=18.Software18 x = 154 - 11x,H U O M. ! "Henkseliperiaatetta" voimme käyttää myös muihin vastaavantyyppisiinseoslaskelmiin, kuten liuosten väkevyyksiin. Otamme tästä seuraavanesimerkin.

94Esimerkki 10. Tarvitset 5 L 3-prosenttista vesiliukoista liuosta. Kuinka paljonmittaat siihen samaa 20-prosenttista liuosta?Ratkaisu "henkseliperiaatteella":20-prosenttinen liuos 203 - 0 = 3vesi 0320 - 3 = 17Liuosta ja vettä on siis otettava suhteessa 3:17. Saamme verrannonx5 - xjosta x = 0,75 L.Liuosta tarvitaan siis 0,75 L ja vettä 4,25 L.=DEMOcSoftware317,Voit ratkaista tehtävän myös ilman henkseliperiaatetta, mikä onkin suotavampaa."Henkeliperiaatteella" lasettaessa nimittäin tuloksen tarkistaminen helposti unohtuutai koko periaate muistetaan väärin!Seoslaskuissa tarvitaan verrannollisuuden käsitettä, joten voit käyttää hyväksesimyös graafista esitystä. Tämä tarkoittaa tehtävien ratkaisemista koordinaatistoonpiirrettyjen suorien avulla. Näitä asioita on käsitelty kirjan luvussa 3.4.Esimerkki 11. Kuvio esittääkahden eri maalin hinnanriippuvuutta maalinmäärästä. Lue kuviostaa) kunkin maalin litrahintab) kuinka paljon kumpaakinmaalia saa 100 mk:llac) kuinka paljon enemmänhalvempaa maalia saa 50mk:llad) jos halvempaa maaliasaa 1,5 L, niin kuinka paljonsamalla summalla saa kalliimpaamaalia?mk120100806040DEMO20c0Software1 2Le) arvioi, kuinka paljon kumpaakin maalia ottaisit, kun haluaisit 2 L seosta,jonka hinta on 45 mk/L.

95Kohdat a- d ovat helppoja, joten selvinnet niistä yhdessä oppilastoverisi kanssa.Kohdan e ratkaisemiseksi seuraavassa sinulle vihje:1. Laske, paljonko koko seoksen on maksettava ( 90 mk)2. Etsi kokeilemalla kuvion avulla sellaiset määrät kumpaakin maalia, jotta päädytyhteismäärään 2 L ja hintojen summaan 90 mk! (esim. 1,8 kg + 0,2 kg antaasummaksi n. 80 mk, joten kalliimman maalin osuutta on hieman lisättävä.Kokeile!)Harjoitustehtäviä1. Valittavanasi on kaksi teknisiltä ominaisuuksiltaan yhtä hyvää maalia. MaalinA riittoisuudeksi ilmoitetaan 15,3 m 2 /L ja maalin B riittoisuudeksi 8 L/100 m 2 .Kumpi maaleista on riittoisampaa? Ilmoita riittoisuudet samaa yksikköä käyttäen.DEMOSoftwareMAALIKUIVA-AINE%cKUIVA-AINETTA1 L:SSA( L)RIITTOI-SUUSRIITTOI-SUUS2 2( m / L ) ( L / 100 m )A5813,9B0,469,3C42 12,7D0,3613,02. Täytä alla oleva taulukko, jotta voit verrata maaleja toisiinsa.3. Laske maalin menekki kuvan katolle, kun maalin riittoisuus on 12,8 m 2 /L.7,1 m24,6 mDEMOSoftwarec6,2 m12,9 m

964. Laske maalin menekki kuvan katolle, jos maalin riittoisuus on 12L/100 m 2 .10 m15 m12 mDEMO5. Paljonko kaikkiaan kuluu pohjamaalia ja pintamaalia oheisen peräkärrynkäsittelyyn, jos pohjamaalin riittoisuus on 13m 2 /L ja pintamaalin 12 m 2 /L?cSoftware2300343600280460401403206. Laske edellisen tehtävän maalin märkäkalvonpaksuus ( tilavuus : pinta-ala !). Arvioi sitten esimerkissä2 olevan kaavan avulla vastaava kuivakalvonpaksuus.DEMOSoftwarec1 2 3 4 5 6

977. Erään maalattavan alueen kuivakalvon paksuudeksi halutaan 30 µm. Arvioiesimerkissä 2 olevan kaavan avulla, mikä on märkäkalvon paksuus, jos maalinkuiva-ainepitoisuus on 45 %. Mikä on tällöin maalin riittoisuus?(Vihje: valitse maalattavaksi alueeksi esim m 2 -tai miksei mm 2 !)8. Erästä maalia, jonka tiheys on 1,8 kg /L, varattiin 135 kg. Kuinka suuri alue sillävoitiin käsitellä, jos maalin riittoisuus oli 12,7 m 2 /L?9. Eräässä 20 litran maalipöntössä on kuivaainetta8 L. Sillä tulee käsitellä pinta siten, ettäkuivapaksuudeksi tulee 35 µm.a) Kuinka suuri on maalin riittoisuuden oltava?b) Mikä on tällöin märkäkalvon paksuus?DEMOSoftwarec10. 51 L:n maalierässä on 2/3 kuiva-ainetta ja loput liuotinta. Mitkä ovatkuiva-aineen ja liuottimen osuudet a) murtolukuina? b) prosentteina?11. Maalierään on sekoitettava kolmea maalia, joilla on sama kuiva-ainepitoisuus.Sekoitussuhde on 1:2:3. Mikä on seoksen kuiva-ainepitoisuus?(Vihje: älä tee "turhaa työtä"!)12. Maalierään sekoitetaan 42%, 37% ja 66% kuiva-ainepitoisia maalejasuhteessa 6:3:1. Mikä on seoksen kuiva-ainepitoisuus?13. Jos 10 litraan edellisen tehtävän maalia lisätään 2 litraa liuotinta, niin mikä onuuden maalin kuiva-ainepitoisuus?14. Eräs epoksimaali valmistetaan sekoittamalla muoviosaa ja kovetetta suhteessa4 : 1. Kuinka paljon näitä sekoitat keskenään, kun tarvitset 2,5 dl maalia?15. Teknisiltä ja kemiallisilta ominaisuuksiltaantäysin samanlaisten maalien hinnat ovat 18 mk /Lja 29 mk /L. Jos sekoitat näitä maaleja keskenäänsuhteessa 5 : 2 (halvempaa maalia enemmän),minkä hintaista sekoitettu maali on ?DEMO16. Kuinka paljon edellisiä maaleja sinun on sekoitettavakeskenään saadaksesi 10 L maalia, jonkahinta on 20 mk /L ?cSoftware17. Maalausliike on hankkinut suuren erän kahta erilaatuista maalia, joidenlitrahinnat ovat 38,50 mk/L ja 21,40 mk/L. Maalari haluaa sekoittaa näistämaaleista 6 L:n seoksen, jonka litrahinnaksi on tultava 28 mk/L. Miten seos ontehtävä?

9818. Oletetaan, että sinulla on niukalti 20-prosenttistaliuotinta, mutta yllin kyllin 0,5-prosenttista liuotinta. Haluatvalmistaa 2,5-prosenttista liuotinta kaikkiaan 8 L.Miten sinun on sekoitettava 20- ja 0,5-prosenttisetliuottimetkeskenään?19. Miten laimennat 3,2 litran 25-prosenttisen puhdistusliuoksen2,5-prosenttiseksi liuokseksi lisäämällä vettä?20. Kun sekoitetaan viisi kg 12-prosenttista ja 14 kg 30-prosenttista liuosta, niinmikä on saadun liuoksen väkevyys? Entäpä, jos näitä sekoitetaan suhteessa 1:2?21. Jos liuotat 0,800 kg kuiva-ainetta 2,300 kg:aan vettä, niin mikä on saadunseoksen kuiva-ainepitoisuus?22. Liikkeen kokonaistuloista meni eräänäpäivänä työpalkkoihin 7/20, raaka-aineisiin5/16 ja muihin kustannuksiin 2/15. Kuinkasuuri osa tuloista jäi voitoksi? Paljonko tämäon prosentteina?DEMOc23. Maalausliike aikoo työskennellä osanviikosta katteella 65% ja toisen osan katteella30%. Montako päivää sen on työskenneltäväsuuremmalla katteella, jotta koko viikonkeskimääräinen kate on 60% ?Software24. Maalausurakkaan kuluu kolmelta mieheltä neljä päivää. Kuinka kauan samantyön tekemiseen kuluu kahdelta mieheltä? Entä viideltä mieheltä??DEMOSoftwarec

2.9. Esimerkkejä optimointilaskelmista99DEMOSoftwarecOsan 1 lopussa tarkasteltiin tilanteita, joissa piti valmistaa pinta-alaltaanmahdollisimman suuri suorakulmio tai tilavuudeltaan mahdollisimman suurisuorakulmainen särmiö. Valmistusta rajoitti se, että käytettävissä oli vain tiettymäärä peltiä. Molemmat esimerkit ovat tyypillisiä optimointiongelmia.DEMOSoftwareOptimoinnilla tarkoitamme toimenpidettä, jolla haetaan jonkinriippuvuuden (funktion) tietty suurin tai pienin arvo.cMikäli kyseinen riippuvuus on esitettävissä matemaattisessa muodossa (kirjainsymbolienavulla kirjoitettuna lausekkeena), optimointi on puhdas matemaattinenongelma. Otamme tästä seuraavan esimerkin.

100ONGELMA 1. Oletetaan, että timantinarvo on tullissa timantin painon neliökerrottuna 1000 markalla. Miten kultasepänkannattaisi tuoda maahan 6 g:ntimantti?Osaongelma: Yksinkertaistetaan aluksi asiaaajattelemalla hänen jakavan timantin kahteenosaan. Voimme kokeilla, miten "lastin"arvo muuttuu erikoistapauksissa (olkoontimantin arvo = timantin neliö).Osaongelman ratkaisu: Taulukosta voimmepäätellä, että hänen kannattaa ilmeisesti jakaatimantti kahteen yhtä suureen osaan.DEMORatkaisun perustelu: Voimme tutkia samanasian myös matemaattisen täsmällisesti viereisentaulukon perusteella. Jos osat ovat x ja6-x, kuvaa niiden yhteen-laskettua arvoa AlausekeA = x 2 + ( 6 - x ) 2cosatSoftwarearvo26 6 = 365 + 12 25 + 1 = 264 + 22 24 + 2 = 203 + 32 23 + 3 = 18Tällainen toisen asteen riippuvuus on ainaparaabeli, joka on helppo piirtää työvälineohjelmallatai määrittämällä esimerkiksi laskimellaA:n arvo muutamilla x:n arvoilla.Saamme viereisen kuvaajan. Siitä nähdäänheti, että A saavuttaa pienimmän arvonsasilloin, kun x=3. Tällöin myös 6-x =3, jotenosien on oltava yhtä suuret.Ratkaisun tulkinta: Ilmeisesti kultasepänkannattaisi jakaa edelleen molemmat puoliskotkahtia, nämä edelleen kahtia jne.Koko ongelman ratkaisu: Jossakin vaiheessatulee kuitenkin vastaan se raja, jolloin osatovat niin pieniä, että ne muuttuvat arvottomiksi.Ongelmallamme on siis olemassatietyt reunaehdot, joiden vallitessa ratkaisuaetsitään. Osaongelmassa löydetty ratkaisuon ainoastaan matemaattinen perusteluasialle. On eri asia, haluaako kultaseppä ylipäänsäjakaa kaunista ja arvokasta timanttiapienempiin osiin! On vielä selvitettävä, mikäolisi koko timantin arvo hänelle myöhemmin.Kannattaako hänen pitää sitä sijoituskohteenaan,tai myydä edelleen jne?DEMOc302010arvokerrottunak:llaA (x)Softwarealkuperäinentimanttiosiin xja 6-xjaettu2 2 26 x + (6-x)x1 2 3 4 5 6Ratkaisun tulkinta: Huomaamme, että ongelmalle ei ole olemassa yksiselitteistä

101ratkaisua. Voimme ainoastaan tarkastella tiettyjä osaongelmia ja ratkaista niitätietyillä olettamuksilla. Tämä onkin monille erityisesti työssä esiintyville ongelmilletyypillistä. Voimme käyttää matematiikkaa asioiden mallintamiseen, muttakaikkien osatekijöiden mallintaminen johtaa erittäin mutkikkaisiin funktioihin -sitä paitsi koko totuus on harvoin edes matematisoitavissa! Optimointitilanteessakannattaa siis menetellä seuraavasti:1. Erittele kaikki osatekijät, joista tarkasteltava riippuu. Yksinkertaista tarvittaessatilannetta ja tutki erikoistapausta2. Jos riippuvuus voidaan esittää matemaattisena lausekkeena, niin kokeile,laadi tietokoneohjelma tai tutki funktiota laskennallisesti tai työvälineohjelmalla3. Jos riippuvuus ei ole matematisoitavissa, niin muuta yhtä asiaa kerrallaanja tutki muutoksen vaikutusta. Tee yhteenveto muutosten kokonaisvaikutuksesta! Arvioi kriittisesti!DEMOcSoftwareONGELMA 2. Oletetaan, että saatsuunnitella vapaasti 50 kappaleenerän 100 litran painesäiliöitä, joidenon kestettävä 30 barin paine. Mitenmenettelet?Analyysi: Onko tällaisia säiliöitä jo valmistettuteollisesti? Voisiko niistä oppia jotakin?Mitä seikkoja ja vaiheita valmistusprosessissaon muistettava? Kannataakokoko yritykseen lähteä? Jne... .Ratkaisu: Oletaan, että olet analyysin jälkeen päätynyt siihen, että ryhdytvalmistamaan säiliöitä. On tarkasteltava ainakin seuraavia osaongelmia:Osaongelma 1: Sarja on melko iso, joten kannattaa laskea säiliön edullisinmuoto, siis minimoida pinta-ala. Minkä muotoinen säiliö on pinta-alaltaan pienin?Ratkaisuidea: Voit laskea säiliön pinta-alojensuuruuksia erilaisilla pohjan halkaisijanja korkeuden arvoilla ja taulukoida tulokset. Voit myös laatia yksinkertaisentietokoneohjelman, joka tekee tämän työn puolestasi. Luvun 2 pääongelmanyhteydessä ratkaisimmekin jo tämän osaongelman ja esitimme esimerkintällaisesta tietokoneohjelmasta.Tällöin totesimme, että säiliö on pinta-alaltaanpienin silloin, kun sen korkeus on sama kuin pohjan halkaisija.DEMOSoftwarecOsaongelma 2: Paineen keston on oltava suuri, joten se vaikuttaa ilmeisestimyös säiliön muotoon.Säiliön muoto vaikuttaa paineen keston kautta myös levynpaksuuden valintaan ja siten myös työstöön ja hitsauskustannuksiin. Minkämuotoinen säiliö on edullisin valmistaa paineenkesto-ominaisuuksien kannalta?

102Ratkaisuidea: Paineen kesto lasketaan kaavalla p=2sR/d , missä d on säiliönhalkaisija, s paksuus ja R vakio. Koska halkaisija d on nimittäjässä, on paineenkesto sitä suurempi, mitä pienempi on säiliön halkaisija. On siis mielekästälaskea ensin paineen kesto seinämän eri paksuuksilla . Lähdemme osaongelmassa1 optimoidusta lieriöstä, jossa pohjan halkaisija = korkeus. Tämän jälkeenkokeillaan laskimella tai yksinkertaisella tietokoneohjelmalla, milloin saavutetaanse raja, jolloin lieriön korkeutta suurentamalla voidaan samalla ohentaa levynpaksuutta.Sitten verrataan valmistuskustannuksia. On ilmeistä, että näin löydetäänse raja, jota enemmän lieriötä ei kannata "venyttää". Lieriön "latistamista" eikannata suunnitella, koska silloin pinta-ala suurenee ja paineenkesto-ominaisuudetheikkenevät.Osaongelma 4:Säiliön levitys joudutaan leikkaamaan valmiista levystä. Mitenleikkaus suoritetaan siten, että hukkapaloja tulee mahdollisimman vähän?Ratkaisuidea: Koska edellä on laskettu optimaalisin muoto pellin menekin japellin paksuuden kannalta, kannattaa levityskuvio hahmottaa leikattavalta pelliltämahdollisimman optimaalisesti. Tarvittaessa voidaan lasketuista mitoista "tinkiä"hiukan. Tällöin paineen kesto on kuitenkin vielä tarkistettava!DEMOcSoftwareOsaongelma 5:Miten eri työvaiheet järjestetään?Ratkaisuidea: Pohdi asiaa yhdessä opettajasi kanssa.Koko ongelman ratkaisuidea yhteenvetona: Voit laskea paineen kestoa erilaisillahalkaisijan ja korkeuden arvoilla sekä erilaisilla levyn paksuuksilla ja tehdäalla olevan tyyppisen taulukon. Tiedoista voit päätellä edullisimman valinnan.halkaisijakorkeuspinta-alapaksuuspainekestolevykustannuksetsauman pituusDEMOhitsausaineen määrächitsauskustannuksethukkakustannuksetkustannukset yhteensäSoftware

103ONGELMA 3. Millainen pyörimisnopeusNC-sorviin kannattaa valita, jotta työ olisimahdollisimman tuottavaa? Koneen tuottavuuson 420 mk /h, terän vaihto vie aikaa40 s ja terän hinta on 12 mk.Analyysi: Nykyaikaisessa NC-sorvissa on terän kestoiän automaattinen seuranta.Kustannukset on helppo minimoida, jos lastutaan tasaisilla arvoilla. Liian suurinopeus kuluttaa nopeasti terän, jolloin joudutaan vaihtamaan terää usein. Toisaaltaliian hitaalla nopeudella "koneesta ei saada tarpeeksi irti". Kannattaa etsiäoptimaalinen nopeus, jolla kustannukset ovat mahdollisimman pienet. Tätä voisihahmotella karkeasti alla olevalla kuviolla:Ilmeisesti teränvaihdosta ja lastuamisesta aiheutuvat yhteiskustannukset saadaanDEMOSoftwareckustannukset sorvattavaakappaletta kohtilastuamiskustannuksetteränvaihtokustannuksetDEMO"laskemalla nämä käyrät pisteittäin yhteen".cSoftwareleikkuunopeusOlettakaamme, että kokeilemalla erilaisia leikkuunopeuksia on saatu seuraavallasivulla olevan taulukon mukaiset arvot terien kestolle.

104leikkuunopeus100150200250300350leikkuunopeus(m/min)100150200250300350terän kesto( h )16820,50,10,01tuottavuusyhtä tuntiakohti (mk)420630840105012601470Ratkaisu: Esimerkiksi leikkuunopeudella 100 saadaan16 tunnin teränvaihtokustannuksiksi( 12 mk + (40 s / 3600 s) x 420 mk ) = 16,67 mk.Tämä tekee yhtä tuntia kohti 16,67 mk /16 h =1,04 mk /h.Nyt voitkin täydentää vastaavalla tavalla seuraavantaulukonDEMOcteränvaihtokust.yhtä tuntia kohti(mk)Softwarenettotuottoyhtä tuntiakohti (mk)1,04 4192,08 6281670 - 200Taulukosta voit päätellä, että nettotuotto on suurimmillaan, kun teränopeus on..... .................................. ................................... ................................... ...................Ratkaisun tulkinta: Taulukon arvot ovat laskennallisia. Jossakin vaiheessasaavutetaan se raja, jolloin teriä ei esimerkiksi ehditä vaihtaa. Se, että nettotuottolaskee nopeasti leikkunopeuden kasvaessa suureksi, osoittaa että optimaalinennopeus saavutetaan jossakin tietyssä kohdassa. Vastaavalla tavalla voidaan etsiäoptimaalinen leikkuunopeus tarkemmin kuin 50 m/min välein. Tällöin riittää, kuntutkii edullisimman löydetyn leikkuunopeuden läheisiä arvoja.Ongelmamme on yksi mielenkiintoisimpia esimerkkejä metallialan optimointitilanteista.Löytämämme ratkaisu ei tietenkään ole yksiselitteinen, vaan tilanteeseenvaikuttaa vielä yleensä monia muita tekijöitä.DEMOcSoftwarePohdi yhdessä opettajasi kanssa vielä muita koko ongelman ratkaisuun vaikuttaviatekijöitä !

Tutustumme lopuksi hitsauksenmekanisoinnin ja automatisoinninkannattavuuslaskelmiin, erityisestiinvestoinnin takaisinmaksuaikaan.Jos merkitsemme sitä symbolillaN (a) , niin saamme lasketuksisen oheisilla kaavoilla (lähde:Tekninen tiedotus 4/83).N =IT - H, missäI = Investoinnin suuruus (mk)T = Investoinnin tuotto ( mk/a)H = Investoinnin ylääpitomeno ( mk/a)105Investoinnin suuruus I saadaan vähentämällämekanisoidun hitsauksenkone- ja laitekustannuksistavastaavalle työmäärälle tarvittavatkäsinhitsuksen kone- ja laitekustannukset.DEMOIN = , missän b - Hn = työtuntimäärän muutos ( h/a)b = työtunnin hinta ( mk/h)SoftwareTyötunnin hinta vaihtelee sen mukaan, mitä vaihtoehtoja hitsauksen mekanisoinninsijasta voitaisiin käyttää hitsauskapasiteetin lisäämiseksi:cb = 75 mk / h, jos ammattitaitoisia käsinhitsaajia on saatavillab = 100 mk / h, jos voidaan kouluttaa uusia hitsaajia tai käytetäänpitkäaikaista alihankkijaab = 150 mk / h, jos alihankintaa käytetään korkeasuhdanteen aikana.Alla oleva kuva helpottaa eri investointivaihtoehtojen kannattavuuden arvioimista.Vaaka-akselilla on investoinnin suuruus ja pystyakselilla on yhtä vuotta kohtitarvittavien työtuntien vähennys kahden vuoden takaisinmaksuajalla. Ylläpitomenoksiyhdessä vuodessa on otettu 10 % laitteiden hankintahinnasta.60005000400030002000h / aDEMO75 mk / hSoftware100 mk / h150 mk / hc1000200 400 600 800mk

106Esimerkki 1. Yritys 1 käyttää monipalkopystyhitseihin kuljetinta, jolle hitsausaikaon 2-3 h. Kuljetinkiskon asetusaika on n. 20 min ja hinta 50000 mk. Kun työntuottavuus on 2-3 kertainen käsinhitsaukseen verrattuna, niin investoinnin takaisinmaksuaikaonI =50000x2000 100 - 5000= 1 / 4 (a),Siis neljännesvuosi yhdessä vuorossa.Esimerkki 2. Yritys 2 on hankkinut palkkien hitsaukseen kahdella MAG-hitsuaspäällävarustetun 700000 mk maksavan erikoiskoneen seuraavin teknisin ominaisuuksin:- palkin pituus 2,5 m- 2 pienahitsiä / 3,5 mm- hitsausnopeus 1,6 min/m = 5 min/palkki- 2 hitsauskiinnikettä peräkkäin, toisessa vaihdetaan työkappaletta,toisessa hitsataan- työnopeus 14000 kpl/a x 5 min/kpl = 1170 h/aDEMOcSoftwareMAG-käsinhitsauksella olisi hitsausnopeus 4 min/m, jolloin aikaa tarvittaisiin2,5 m/kpl x 2 x 4 min/m x 14000 kpl/a = 4670 h/a.Työajan säästö vuodessa on siis 4670 h - 1176 h = 3500 h. Takaisinmaksuaika onN =7000003500 x 100 - 70000= 2,5 (a)Koska koneella on runsaasti vapaata kapasiteettia, voidaan lisäkiinnittimillänostaa koneen käyttöastetta ja päästä helposti alle 2 vuoden takaisinmaksuaikaan.Esimerkki 3.Yritys 3 valmistaa 2 mm:n teräslevystä 400 mm:n pituisia 60 mmlevyisiä koteloita 80000 kpl vuodessa, yhteensä 10 erässä. Hitsausvaihtoehtoja onkolme:a) Reunaliitoksen MAG-hitsaus, jossa kotelon molemmille puolelle hitsataankatkohitsi 5 x 20 mm. Silloitusaika kiinnittimessä on 10 s/kpl ja hitsausaika115 s/kpl. Investointikulut ovat 10000 mk ja ylläpitomenot 1000 mk/a.DEMOSoftwareb) Pistehitsuas käsisyötöllä, jossa hitsataan molemmille puolille 14 pistettä yksipiste kerrallaan. Silloitus MAG-kiinnittimessä vie aikaa 10 s/kpl ja hitsausaika on65 s/kpl. Investointimenot ovat 50000mk/a ja ylläpitomenot 1000 mk/a.cc) Pistehitsaus syöttölaitteilla varustetussa koneessa, joka hitsaa kummallekinpuolelle pisteen samanaikaisesti. Kotelon puolikkaat syötetään automaattisestimakasiineista, silloitusta ei tarvita. Hitsausaika on 27 s/kpl ja asetusaika valmisterääkohti 1/2 h. Investointimenot ovat 250000 mk ja ylläpitomenot 2000 mk/a.

Tutki eri vaihtoehtojen kannattavuutta.107Ratkaisu: Työmäärät ovat:vaihtoehto a:ssab:ssäDEMOcSoftware= h/a ,= h/aja c:ssä= h/avastaukset: 2800 h/a, 1670 h/a ja 625 h/aVaihtoehtojen a ja b vertailu: Vaihtoehdossa a tarvitaan kaksi MAG-konetta,vaihtoehdossa b yksi MAG-kone ja pistehitsauskone. Vaihtoehdossa..............investointimenot ovat siis ................ mk suuremmat. Ylläpitomenot ovat..............Vaihtoehtojen a ja c vertailu: Vaihtoehdon .................... ivestoinnin takaisinmaksuaikavaihtoehtoon ..................... verrattuna on:DEMOcSoftwareN = = a

108Vaihtoehtojen a ja c vertailu: Vaihtoehdon .................... ivestoinnin takaisinmaksuaikavaihtoehtoon ..................... verrattuna on:N = = aVaihtoehtojen a ja c vertailu: Vaihtoehdon .................... ivestoinnin takaisinmaksuaikavaihtoehtoon ..................... verrattuna on:DEMOcSoftwareN = = a(Vastaukset: 0,5 a, 1,4 a ja 2,4 a). Tuloksista voidaan päätelklä: Jos tuote onainoastaan pistehitsaukseen soveltuva, niin vaihtoehto .................. on paras. Jospistehitsattavaksi löytyy jokin toinen tuote, on vaihtoehto ............ paras.Harjoitustehtäviä1. Tutki, miten sivun 81 ongelma 3 muuttuu, jos terän vaihtoon kuluu aikaaa) 1 min.b) ei yhtään, koska kone vaihtaa sen automaattisesti.2. Miten terän hinta 12 mk vaikuttaa sivun 81 ongelmaan 3? Entä terän vaihtonopeus?3. Millaisen leikkuunopeuden valitsisit miehittämättömään automaattisorvaukseen,josa) sorvissa ei ole automaattista teränvaihtoa?b) jos sorvissa on automaattinen teränvaihto?DEMOcSoftwareEntä millaisen sorvattavan kappaleen tällöin valitsisit?4. Ratkaise sivulla 83 olevasta kaavasta työtuntimäärän muutos n.