DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA1

2 DISKREETTI MATEMATIIKKASisällysluettelo1. Relaatio ja funktio 31.1. Karteesinen tulo 31.2. Relaatio ja funktio 32. Kombinatoriikkaa 82.1. Tulo- ja summaperiaate 92.2. Kombinaatiot ja toistokombinaatiot 122.3. Lokeroperiaate 212.4. Seulaperiaate 222.5. Partitiot 252.6. Yhteenveto (pallot ja laatikot) 322.7. Generoivat funktiot 32

1.1. Karteesinen tulo.DISKREETTI MATEMATIIKKA 31. Relaatio ja funktioSellaista kahden alkion a, b joukkoa, jossa alkioiden järjestys on määrätty sanotaanjärjestetyksi pariksi. Merkitään (a, b). Järjestettyjen parien yhtäsuuruus siismääritellään näin:(a, b) = (c, d) ⇔ (a = c) ∧ (b = d).Yleisesti, jos alkiot a 1 , a 2 , . . . , a n muodostavat joukon jossa alkioiden järjestys onmäärätty, sanotaan tällaista joukkoa järjestetyksi n-jonoksi, merkitään (a 1 , . . . , a n ).Määritelmä 1.1. Joukkojen A 1 , . . . , A n karteesinen tuloA 1 × · · · × A n = {(a 1 , . . . , a n ) | a 1 ∈ A 1 , . . . , a n ∈ A n }Sopimus: Merkitsemme karteesista tuloa A}× ·{{· · × A}= A nn kertaaEsimerkki 1.1. Olkoot A = {x}, B = {1, 2}. Nyt A × B = {(x, 1), (x, 2)} jaB × A = {(1, x), (2, x)}. Täten A × B ≠ B × A.Esimerkki 1.2. R n = {(x 1 , . . . , x n ) | x 1 , . . . , x n ∈ R}.1.2. Relaatio ja funktio.Määritelmä 1.2. Binäärinen relaatio joukosta A joukkoon B on karteesisen tulonA × B osajoukko R. Jos A = B sanotaan, että R on relaatio joukossa A.Esimerkki 1.3. Olkoon A = {1, 3, 5, 7} ja B = {2, 4, 6}. Relaatio R = {(x, y) |x + y = 9} A:sta B:hen muodostuu järjestetyistä pareista (3, 6), (5, 4), (7, 2). SiisR = {(3, 6), (5, 4), (7, 2)}.Esimerkki 1.4. Relaatio {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1} joukossa R 2 koostuu kaikistareaalisen yksikköympyrän pisteistä.Sopimus: Merkitään lyhyesti aRb jos (a, b) ∈ R.Määritelmä 1.3. Olkoon R relaatio joukosta A joukkoon B. Relaation R käänteisrelaatioon relaatioR −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}.

4 DISKREETTI MATEMATIIKKAOlkooon lisäksi S relaatio joukosta B joukkoon C. Relaatioiden R ja S yhdistettyrelaatio on relaatioS ◦ R = {(a, c) | (a ∈ A, c ∈ C) ∧ ( (aRb) ∧ (bSc) jollakin b ∈ B ) },joukosta A joukkoon C.Huomautus 1.1. S ◦R muodostetaan siis seuraavasti: valitaan jokaista relaation Rparia (a, b) kohti kaikki relaation S muotoa (b, c) olevat parit. Nyt S ◦ R on kaikkientällaisten parien (a, c) muodostama joukko.Esimerkki 1.5. Olkoot A, B ja R = {(3, 6), (5, 4), (7, 2)} kuten esimerkissä 1.3.Olkoon C = {a, b, c} ja S = {(2, a), (2, b), (6, c)} relaatio B:stä C:hen. Nyt S −1 ={(a, 2), (b, 2), (c, 6)} ja S ◦ R = {(3, c), (7, a), (7, b)}.Esimerkki 1.6. Relaation A = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 +y 2 = 1} käänteisrelaatio on A itse.Olkoon B = {(x, y) ∈ R 2 | x ≥ 0}. Nyt A ◦ B = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1, x ≥ 0}.Määritelmä 1.4. Funktio (tai kuvaus) f joukolta A joukkoon B on sellainen relaatiojoukosta A joukkoon B, jossa jokainen joukon A alkio on relaatiossa täsmälleenyhden joukon B alkion kanssa. Merkitään f : A → B. Jos (x, y) ∈ f, niin merkitääny = f(x).Esimerkki 1.7. Relaatio {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} joukossa A := {1, 2, 3} on funktiojoukolta A joukkoon A. Relaatiot {(1, 1), (2, 2)} ja {(1, 1), (2, 2), (2, 3)} eivät olefunktioita joukolta A joukkoon A.Esimerkki 1.8. Relaatio {(x, y) | x ∈ R, y = x 2 } joukossa R 2 on funktio. Relaatio{(x, y) | y ∈ R, x = y 2 } ei ole funktio, sillä esim. (1, 1) ja (1, −1) kuuluvat siihen.Kertauksena funktioihin liittyvää terminologiaa:Määritelmä 1.5. Olkoon f : A → B. f(a) on alkion a kuva kuvauksessa f (tai f:narvo pisteessä a). A on funktion f määrittelyjoukko ja B on funktion f maalijoukko.Joukkof(A) := {f(a) | a ∈ A} ⊆ Bon funktion f kuvajoukko (tai arvojoukko). Sitä merkitään myös symbolilla Im f.

DISKREETTI MATEMATIIKKA 5Määritelmä 1.6. Olkoot f : A → B ja A ′ ⊆ A, B ′ ⊆ B. Joukon A ′ kuva (kuvauksessaf) on joukkof(A ′ ) := {f(a) | a ∈ A ′ }.Joukon B ′ alkukuva (kuvauksessa f) on joukkof −1 (B ′ ) := {a ∈ A | f(a) ∈ B ′ }Huomautus 1.2. Yhden alkion joukon {b} alkukuvaa merkitään tavallisesti symbolillaf −1 (b), ja kutakin joukon f −1 (b) alkiota sanotaan alkion b alkukuvaksi (kuvauksessaf).Esimerkki 1.9. Tarkastellaan funktiota g = {(a, 1), (b, 1), (c, 3)} joukolta A ={a, b, c} joukkoon B = {1, 2, 3}. Nyt a:n kuva g(a) = 1, g:n kuvajoukko g(A) ={1, 3}, joukon {1, 2} alkukuva g −1 ({1, 2}) = {a, b}, alkion 1 alkukuvat ovat a ja b jag −1 (1) = {a, b} ja alkion 2 alkukuvien joukko g −1 (2) = ∅.Määritelmä 1.7. Funktio f : A → B on injektio, jos jokaisella joukon B alkiollaon korkeintaan yksi alkukuva kuvauksessa f. Se on surjektio, jos jokaisella joukonB alkiolla on vähintään yksi alkukuva. Se on bijektio, jos se on sekä injektio ettäsurjektio ts. jokaisella joukon B alkiolla on täsmälleen yksi alkukuva.Esimerkki 1.10. Tarkastellaan funktiota f : R → R, f(x) = 4x + 2. Olkoon y ∈ R.Yhtälöllä y = 4x + 3 on täsmälleen yksi ratkaisu, nimittäin x = (y − 3)/4. Täten fon bijektio.Lause 1.1. Olkoon f : A → B. Funktio f on injektio jos ja vain jos kaikille joukonA alkioille a, a ′ pätee f(a) = f(a ′ ) ⇒ a = a ′ .Todistus. Oletetaan, että f on injektio. Oletetaan, että joillakin a, a ′ ∈ A väitteenimplikaatio ei päde. Silloin f(a) = f(a ′ ) ja a ≠ a ′ . Nyt alkiolla f(a) on kaksialkukuvaa, mikä on vastoin injektiivisyyden määritelmää. Siispä implikaatio on tosi.Oletetaan, että väitteen implikaatio pätee. Tällöin pätee myös sen kontrapositioa ≠ a ′ ⇒ f(a) ≠ f(a ′ ). Täten jokaisella joukon B alkiolla on korkeintaan yksialkukuva.□

6 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 1.11. Tarkastellaan funktiota f : R → R, f(x) = x 3 +x+1. Osoitetaan,että f on injektio. Oletetaan, että f(a) = f(b). Nyta 3 + a + 1 = b 3 + b + 1a 3 − b 3 = b − a(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = b − a ⇔(a − b)(a 2 + ab + b 2 + 1) = 0.Täten a − b = 0 tai a 2 + ab + b 2 + 1 = 0. Näistä jälkimmäisellä yhtälöllä ei oleratkaisua a sillä, sillä sen diskriminantti a:n suhteen = −3b 2 − 4 < 0. Täten a = bja f on injektio. Funktio f on myös surjektio, sillä jos a ∈ R, niin f(x) − a < 0riittävän pienellä x:n arvolla ja f(x) − a > 0 riittävän suurella x:n arvolla, ja koskaf on jatkuva, niin f(x 0 ) = a jollakin x 0 ∈ R. Siispä f on bijektio.Seuraavaksi annetaan funktioiden yhdistämiseen perustuvat riitävät ehdot surjektiivisuudenja injektiivisyyden toteamiseksi. Funktioiden yhdistäminen tapahtuuseuraavasti: olkoot f : A → B ja g : B → C. Silloin g ◦ f on funktioA → C, (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Tämä seuraa suoraan yhdistetyn relaation määritelmästä.Lause 1.2. Olkoot f : A → B, g : B → A funktioita. Silloin pätevät(1) Jos g ◦ f = id A niin f on injektio,(2) Jos f ◦ g = id B niin f on surjektio,missä id A on A:n identiteettifunktio A → A, id A (x) = x ja id B on B:n identiteettifunktio.Todistus. (1) f(a) = f(a ′ ) ⇒ g(f(a)) = g(f(a ′ )) g◦f=id A⇒ a = a ′ .(2) Olkoon b ∈ B. Nyt f(a) = b, kun valitaan a = g(b), sillä f ◦ g = id B . □Esimerkki 1.12. Olkoot f ja g funktioita Z ≥0 → Z ≥0 ,f(n) = n + 1,{0 jos n = 0,g(n) =n − 1 jos n ≥ 1.⇔⇔Nyt g(f(n)) = g(n + 1) = n, sillä n + 1 ≥ 1. Näin ollen g ◦ f = id Z≥0injektio ja g on surjektio.ja siispä f on

DISKREETTI MATEMATIIKKA 7Määritelmä 1.8. Olkoon f : A → B. Jos käänteisrelaatio f −1 joukosta B joukkoonA on funktio on se f:n käänteisfunktio.Lause 1.3. Funktiolla f on käänteisfunktio silloin ja vain silloin kun f on bijektio.Todistus. Olkoon f = {(a, b) | (a ∈ A)∧(b = f(a))} ja f −1 = {(b, a) | (a ∈ A)∧(b =f(a))}. Nyt f −1 on funktio joss jokaista b ∈ B vastaa täsmälleen yksi a ∈ A jollef(a) = b joss f on bijektio.Esimerkki 1.13. Esimerkin 1.10 käänteisfunktio f −1 : R → R, f −1 (x) = (x −3)/4. Esimerkin 1.11 funktiolla on käänteisfunktio f −1 , mutta sen laskeminen onhankalanpaa. Seuraavaan lauseeseen perustuen voidaan kuitenkin osoittaa, että√f −1 : R → R, f −1 (x) = −6 + 3 2(27(y − 1) + √ 108 + 729(y − 1) 2 ) 23 3 √4(27(y − 1) + √ 108 + 729(y − 1) 2 )Lause 1.4. Olkoon f : A → B and g : B → A. Silloin g on funktion f käänteisfunktiojos ja vain jos g ◦ f = id A ja f ◦ g = id B .Huomautus 1.3. Tarvitsemme todistuksessa seuraavaa pientä havaintoa: funktionf ja sen käänteisrelaation g = {(f(x), x) | x ∈ A} yhdistetty relaatio g◦f = {(x, x ′ ) |x ∈ A ja x ′ ∈ f −1 (f(x))} ja yhdistetty relaatio f ◦ g = {(f(x), f(x)) | x ∈ A}.Todistus. Oletetaan, että g on f:n käänteisfunktio. Nyt f = {(x, f(x)) | x ∈ A} jag = {(f(x), x) | x ∈ A}. Koska f on injektio lauseen 1.3 nojalla niin f −1 (f(x)) ={x}, joten g ◦ f = {(x, x) | x ∈ A} = id A . Koska f on surjektio lauseen 1.3 nojalla,niin f ◦ g = {(f(x), f(x)) | x ∈ A} f surjektio= {(y, y) | y ∈ B} = id B .Oletetaan nyt, että g ◦ f = id A ja f ◦ g = id B ja osoitetaan että g = f −1eli että {(y, g(y)) | y ∈ B} = {(f(x), x) | x ∈ A}. Olkoon (y, g(y)) ∈ g. Koskaf ◦ g = id B , niin y = f(g(y)). Täten (y, g(y)) = (f(g(y)), g(y)) = (f(x), x) ∈ f −1 .Olkoon (f(x), x) ∈ f −1 . Koska g ◦ f = id A , niin x = g(f(x)). Täten (f(x), x) =(f(x), g(f(x))) = (y, g(y)) ∈ g.□Esimerkki 1.14. Olkoon g : R \ {1} → R, g(x) =x . Helposti nähdään, ettäx − 1g(R \ {1}) = R \ {1}. Täten f ei ole surjektio eikä sillä ole käänteisfunkiota. Olkoonnyt f : R \ {1} → R \ {1}, f(x) =xx − 1 . Koska(f ◦ f)(x) = f(x)f(x) − 1 =xx−1xx−1 − 1 = x.□

8 DISKREETTI MATEMATIIKKAniin f −1 = f.Esimerkki 1.15. Näimme että esimerkin 1.12 funktioille f ja g pätee g ◦f = id Z≥0 .Nyt kuitenkin f ◦ g ≠ id Z≥0 , sillä f(g(0)) = f(0) = 1 ≠ 0. Täten funktiot f ja geivät ole toistensa käänteisfunktioita.Lopuksi äärellisten joukkojen välisiä kuvauksia koskeva tulos:Lause 1.5. Olkoon f : A → B ja |A| = |B| < ∞.(1) Jos f on injektio, niin se on bijektio.(2) Jos f on surjektio, niin se on bijektio.Todistus. (1) Jos f on injektio, niin |f(A)| = |A| = |B|. Täten f on myös surjektio.(2) Oletetaan, että f on surjektio. Koska A = ⋃ b∈B f −1 (b), missä f −1 (b)∩f −1 (b ′ ) =∅ aina kun b ≠ b ′ , niin |A| = ∑ b∈B |f −1 (b)|. Koska f on surjektio, niin |f −1 (b)| ≥ 1kaikilla b ∈ B. Mutta |A| = |B| joten |f −1 (b)| = 1 kaikilla b ∈ B. Täten f oninjektio.□2. KombinatoriikkaaTällä kursilla kombinatoriikalla tarkoitetaan lukumäärien laskemista äärellisissäjoukoissa. Sovellusalueita:• algoritmien analysointi• todennäköisyyslaskenta• tilastotiede• virheitä korjaavien koodien teoria• laadunvalvonta• perinnöllisyystiedeSeuraavaksi muutama valmistava esimerkki:Esimerkki 2.1. Matti ja Teppo pelaavat tenniksessä ottelusarjan jonka voitaa se,joka ensiksi voittaa kaksi peräkkäistä ottelua tai kolme ottelua. Montako erilaistaottelusarjaa on olemassa?Ratkaisu: Liitetään pelattuun otteluun symboli 1 jos Matti voitti, ja 0 jos Teppovoitti. Havainto: ottelusarja voi olla korkeintaan viiden ottelun mittainen. Ottelusarjatjoissa Teppo voittaa ensimmäisen pelin: 00, 011, 0100, 01010, 01011. Tätenmahdollisia ottelusarjoja on 10 kpl.

DISKREETTI MATEMATIIKKA 9Esimerkki 2.2. n tenniksen pelaajaa pelaa ottelusarjan, jossa kullakin kierroksellaarvotaan pelaavat parit, ja seuraavalle kierrokselle pääsevät parien voittajat. Josjollakin kierroksella on pariton määrä pelaajia, pääsee arvonnassa paritta jäänytsuoraan seuraavalle kierrokselle. Montako ottelua on pelattava, jotta löydetään ottelusarjanvoittaja?Ratkaisu: Kun ottelusarja on pelattu, on yksi pelaaja jäljellä, nimittäin voittaja.Täten n−1 kpl pelaajaa on pudonnut ottelusarjan kuluessa. Siispä pelejä on pelattun − 1 kpl.2.1. Tulo- ja summaperiaate.Esimerkki 2.3.(1) Montako 3-pituista merkkijonoa voidaan muodostaa kirjaimista a, b, c, d?(2) Entäpä jos kukin merkki saa esiintyä vain kerran?Ratkaisu:(1) Ensimmäinen merkki voidaan valita neljällä tavalla. Jokaista tällaista merkkiäkohti toinen merkki voidaan valita neljällä tavalla. Siis 2-pituisia merkkijonojaon 4 · 4 kpl. Jokaista tällaista merkkijonoa kohti kolmas merkkivoidaan valita neljällä tavalla. Siis 3-pituisia merkkijonoja on 4 · 4 · 4 = 64kpl.(2) Jälleen ensimmäinen merkki voidaan valita neljällä tavalla, mutta toinenmerkki vain kolmella ja kolmas merkki kahdella tavalla. Vastaus: 4·3·2 = 24kpl.Edellisen esimerkin yleistyksenä saadaan:Tuloperiaate: Oletetaan että valintatehtävä voidaan jakaa n:ään toisistaan riippumattomaanvaiheeseen ja 1. vaiheessa valinta voidaan suorittaa k 1 tavalla, 2. vaiheessak 2 tavalla, . . . , n. vaiheessa k n tavalla. Silloin valintatehtävä voidaan suorittaak 1 k 2 · · · k n tavalla.Esimerkki 2.4. Merkitään F 2 = {0, 1}. Kuinka monta järjestettyä n-jonoa kuuluujoukkoon F n 2 ?

10 DISKREETTI MATEMATIIKKARatkaisu: Tuloperiaatteen nojalla jonoja on } 2 · 2 {{· · · 2}= 2 n kpl.n kertaaMääritelmä 2.1. Olkoon A joukko jossa on n alkiota, ja olkoon k ∈ Z, 1 ≤ k ≤ n.Joukon A k-permutaatio on sellainen k-jono (a 1 , a 2 , . . . , a k ), jossa a i ≠ a j aina kuni ≠ j. Jos k = n, niin k-permutaatiota sanotaan permutaatioksi.Lause 2.1. n-alkioisen joukon k-permutaatioden lukumäärän!P (n, k) =(n − k)! .Erityisesti, permutaatioiden lukumääräP (n, n) = n!.Todistus. Jonossa (a 1 , . . . , a k ) ensimmäinen komponentti voidaan valita n, toinenkomponentti n − 1, . . . , ja k:s komponentti n − k + 1 tavalla. Tuloperiaate:n!P (n, k) = n(n − 1) · · · (n − k + 1) =(n − k)!□Esimerkki 2.5. Montako osajoukkoa on n-alkioisella joukolla?Ratkaisu: Kahden alkion joukon {a, b} osajoukot ovat ∅, {a}, {b}, {a, b}; näitä vastaavat2-pituiset bittivektorit (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1). Kolmen alkion joukon {a, b, c}osajoukot ovat ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}; näitä vastaavat 3-pituisetbittivektorit (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),(1, 1, 1).Vastaavasti n-alkioisen joukon A osajoukkojen ja n-pituisten bittivektorien välillesaadaa bijektiivinen vastaavuus: kuvataan kukin k:n alkion osajoukko {a i1 , a i2 , . . . , a ik }bittivektoriksi jossa on ykkönen täsmälleen niissä paikoissa joiden indeksit ovati 1 , i 2 , . . . , i k .Siispä Esimerkin 2.4 nojalla n-alkioisen joukon osajoukkojen lukumäärä on 2 n .Esimerkki 2.6. Olkoon A m-alkioinen ja B n-alkioinen joukko. Montako(1) relaatiota on joukosta A joukkoon B?(2) funktioita on joukolta A joukkoon B?(3) injektiota on joukolta A joukkoon B?

DISKREETTI MATEMATIIKKA 11Ratkaisu:(1) Karteesisessa tulossa A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} on tuloperiaatteennojalla mn alkiota. Nyt Esimerkin 2.5 nojalla joukolla A × B on 2 mn osajoukkoa.Täten relatioita joukosta A joukkoon B on 2 mn kpl.(2) Olkoon A = {a 1 , . . . , a m }. Funktioita f = {(a 1 , f(a 1 )), . . . , (a m , f(a m ))} onsama määrä kuin vektoreita (f(a 1 ), . . . , f(a m )). Kukin arvoista f(a i ) voidaanvalita n tavalla, joten tuloperiaatteen nojalla funktioita joukolta A joukkoonB on n } · n {{· · · n}= n m kpl.m kpl(3) Jos f on injektio, niin m = |f(A)| ≤ n. Siispä:(a) Jos m > n niin ei ole olemassa injektiota A → B.(b) Jos m ≤ n, niin jono (f(a 1 ), f(a 2 ), . . . , f(a m )) voidaan valita n · (n −1) · · · (n−m+1) = P (n, m) tavalla eli injektioita on tapauksessa m ≤ nP (n, m) kpl.Summaperiaatteeseen johdutaan seuraavan esimerkin kautta.Esimerkki 2.7. Tietokoneen salasanassa on 6-10 merkkiä aakkostostaA = {a, A, b, B, . . . , z, Z, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.(1) Montako tällaista salasanaa voidaan muodostaa?(2) Montako sellaista salasanaa voidaan muodostaa, jossa yksikään merkki eitoistu?(3) Montako sellaista salasanaa voidaan muodostaa, jossa jokin merkki toistuu?Ratkaisu:(1) Tuloperiaatteen nojalla k-pituisia merkkijonoja on 62 k kappaletta. Täten 6-10 pituisia salasanoja on 62 6 + 62 7 + 62 8 + 62 9 + 62 10 = 62 6 (62 5 − 1)/61 =85305837093503046 ≃ 8.53 × 10 17 kpl.(2) Sellaisten k-pituisten salasanojen lukumäärä jossa yksikään merkki ei toistuon P (62, k). Täten sellaisia 6-10 pituisia salasanoja joissa yksikään merkkiei toistu onP (62, 6)+P (62, 7)+P (62, 8)+P (62, 9)+P (62, 10) = 397665153770704560≃ 3.98 × 10 17 kpl.

12 DISKREETTI MATEMATIIKKA(3) Vastaus: 853058370935030464−397665153770704560 = 455393217164325904 ≃4.55 × 10 17 kpl.Summaperiaate: Olkoon A pareittain erillisten joukkojen yhdiste ts.A = A 1 ∪ · · · ∪ A k ,missä A i ∩ A j = ∅ aina kun i ≠ j. Silloin A:sta voidaan valita alkio |A 1 | + · · · + |A k |tavalla.2.2. Kombinaatiot ja toistokombinaatiot.Tarkastellaan seuraavaksi valintatehtäviä, joissa valittujen objektien keskinäiselläjärjestyksellä ei ole merkitystä.Esimerkki 2.8. Monellako tavalla kymmenen ihmisen joukosta voidaan valita kolmenhengen työryhmä?Ratkaisu: Olkoon kysytty lukumäärä x. Jokaisesta valitusta työryhmästä saadaan3-permutaatioita 3! = 6 kpl. Toisaalta, näin saadaan kaikki ko. ihmisjoukon 3-permutaatiot. Siispä 6x = P (10, 3) eli kolmen hengen työryhmä voidaan valitatavalla.P (10, 3)3!=10!(10 − 3)!3!Määritelmä 2.2. Olkoon A joukko jossa on n alkiota. Jokainen A:n k-alkioinenosajoukko on sen k-kombinaatio.Edellinen esimerkki yleistyy välittömästi seuraavaksi lauseeksi:Lause 2.2. Jokaisesta n:n alkion joukosta voidaan valita k-kombinaatio täsmälleen( n n!:=k)(n − k)!k!tavalla.Lukuja ( nk)sanotaan binomikertoimiksi.Esimerkki 2.9.(1) Montako ehdon 1 ≤ a < b < c ≤ 10 toteuttavaa kokonaislukukolmikkoa(a, b, c) voidaan muodostaa?

DISKREETTI MATEMATIIKKA 13Ratkaisu:(2) Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja k ehdon 1 ≤ k ≤ n toteuttava kokonaisluku.Montako ehdon 1 ≤ i 1 < i 2 < · · · < i k ≤ n toteuttavaa k-jonoa(i 1 , i 2 , . . . , i k ) voidaan muodostaa?(1) Ehdon 1 ≤ a < b < c ≤ 10 toteuttavat kolmikot (a, b, c) ovat bijektiivisessävastaavuudessa 3-kombinatioiden {a, b, c} kanssa. Täten kyseessä oleviakolmikoita on ( 103)kpl.(2) Kyseessä olevia k-jonoja on täsmälleen sama määrä kuin n-alkioisen joukonk-kombinaatioita eli ( nk)kpl.Esimerkki 2.10.(1) Monessako 6-pituisessa bittijonossa ei ole kahta perättäistä nollaa?(2) Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Monessako n-pituisessa bittijonossa eiole kahta perättäistä nollaa?Ratkaisu:(1) Kysyttyjä jonoja joissa ei ole yhtäkään nollaa on 1 kpl ja jonoja joissa onyksi nolla on 6 kpl. Entäpä ko. jonoja joissa on kaksi nollaa? Tällöin siisykkösiä käytetään 4 kpl ja nyt kaksi nollaa nollaa voidaan sijoittaa merkin _osoittamiin ( paikkoihin jonossa _1_1_1_1_. Eli ko. jonoja joissa on kaksi) (5nollaa on2 = 6−2+1)2 kpl. Vastaavasti ne ko. jonot joissa on kolme nollaa (jasiis kolme ykköstä) saadaan sijoittamalla ( ne merkin _ osoittamiin paikkoihin) (4jonossa _1_1_1_. Tällaisia jonoja on3 = 6−3+1)3 kpl. Jos 6-pituisessabittijonossa on enemmän kuin kolme nollaa, on siinä välttämättä (vähintään)kaksi perättäistä nollaa.Täten kysyttyjä jonoja on) (+6−1+1) (1 + 6−2+12( 6−0+10)+( 6−3+13)= 1 + 6 + 10 + 4 = 21 kpl.(2) Samalla päättelyllä saadaan, että kysyttyjä jonoja on⌊(n+1)/2⌋∑i=0( ) n − i + 1kpl.i

14 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.11. Valitaan uudet pää-, ulko-, valtiovarain-, opetus- ja sisäministeri.Virkoihin on tarjolla viisi naista joista pääministeriksi voidaan valita kaksi, ja neljämiestä joista pääministeriksi voidaan valita yksi. Monellako tavalla valinta voidaantehdä, jos ministereistä kolmen on oltava nainen?Ratkaisu: Oletetaan ensin että pääministeriksi valitaan nainen. Nyt pääministerivoidaan valita kahdella tavalla. Muut kaksi naisten ministerin salkkua voidaan valitajoukosta {ulko,valtiovarain,opetus, sisä} ( 42)= 6 tavalla, ja näihin virkoihin voidaanvalita nainen 4 · 3 = 12 tavalla. Jäljellä oleviin virkoihin valitaan mies 4 · 3 = 12tavalla. Tuloperiaate: Sellaisia valintoja joissa pääministeriksi valitaan nainen on2 · 6 · 12 · 12 = 1728 kpl.Oletetaan sitten, että pääministeriksi valitaan mies. Nyt pääministeri voidaanvalita yhdellä tavalla. Kolme naisten ministerin salkkua voidaan valita ( 43)= 4tavalla, ja näihin virkoihin voidaan valita nainen 5·4·3 = 60 tavalla. Jäljellä olevaanvirkaan voidaan valita mies kolmella tavalla. Tuloperiaate: Sellaisia valintoja joissapääministeriksi valitaan mies on 1 · 4 · 60 · 3 = 720 kpl.Summaperiaate: valinta jossa kolme ministereistä on naisia voidaan tehdä 1728 +720 = 2448 tavalla.Binomikertoimien ominaisuuksia:Lause 2.3.( ) (n(1)k = n)( n−k(n(2) 0)=nn)= 1( ) (n(3)1 = nn−1)= n(4) Pascalin kolmio: ( ) (nk = n−1) (+n−1)Todistus.k−1k(1) Jokaista k:n alkion osajoukkoa kohti on täsmälleen yksi (n − k):n alkionosajoukko.(2) Tyhjä joukko on ainoa 0-alkioinen osajoukko.(3) Yksi alkio n:stä mahdollisesta voidaan valita n tavalla.(4) Olkoon A n-alkioinen joukko ja a jokin sen alkio. Olkoon A ′ mikä tahansaA:n k-alkioinen osajoukko. On kaksi mahdollisuutta: joko a ∈ A ′ tai a ∉ A ′ .

DISKREETTI MATEMATIIKKA 15Sellaisia osajoukkoja A ′ joihin a ( n−1kuuluu on täsmälleenk−1)kpl (miksi?), jasellaisia osajoukkoja A ′ joihin a ( )n−1ei kuulu on täsmälleenk kpl (miksi?).Nyt summaperiaatteen nojalla A:n k-alkioisten osajoukkojen lukumäärä on) (+n−1( n−1k−1k).□Huomautus 2.1. Pascalin kolmio nimitys tulee siitä, että se voidaan esittää muodossa( 0( 1) 0)( 1( 0 2) ( 2) 1)( 2( 013) ( 3) ( 3) 2)( 3( 0124) ( 4) ( 4) ( 4) 3)( 401234).11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1.Lause 2.4 (Newtonin binomilause). Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja x, y ∈ C.SilloinTodistus. Ensinnäkin(x + y) n =n∑i=0( ni)x i y n−i .(x + y) n = (x + y)(x + y) · · · (x + y) = ∑ i,j≥0i+j=na i,j x i y j .Koska tulo x i voidaan muodostaa valitsemalla tulossa (x+y)(x+y) · · · (x+y) n:stämahdollisesta x:stä i kpl, ja tämän jälkeen tulo y j voidaan muodostaa valitsemalla(n − i):stä mahdollisesta y:stä j kpl, niin( )( ) n n − ia i,j =.i jniinKoskaSopimus: 0 0 = 1.( )( ) n n − i=i j(x + y) n = ∑ i,j≥0i+j=nn!i!j!(n − (i + j)! = n!( )i!j! = n! ni!(n − i)! = ,i( ni)x i y j =n∑i=0( ni)x i y n−i .□

16 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.12. Newtonin binomilauseen ja Pascalin kolmion nojalla(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 .Newtonin binomilause yleistyy välittömästi multinomilauseeksi.Lause 2.5 (Multinomilause). Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja x 1 , x 2 , . . . , x k ∈C. Silloin(x 1 + x 2 + · · · + x k ) n =missä (∑n 1 ,...n k ≥0n 1 +···+n k =n)n=n 1 , . . . , n k()nx n 11 x n 22 . . . x n kkn 1 , . . . , n ,kn!n 1 !n 2 ! · · · n k ! .Todistus. Ks. binomilauseen todistus.( )nLukujan 1 ,...,n sanotaan multinomikertoimiksi.kEsimerkki 2.13. Lasketaan (a + b + c) 2 . Seuraavassa taulukossa on luetteloitukaikki yhtälön i + j + k = 2 ei-negatiiviset kokonaislukuratkaisut sekä vastaavatmultinomikertoimet ja monomit:i j k ( )2i,j,k a i b j c k2 0 0 1 a 2Nyt multinomilauseen nojalla0 2 0 1 b 20 0 2 1 c 21 1 0 2 ab1 0 1 2 ac0 1 1 2 bc(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)Huomautus 2.2. Multinomilause (ja täten erityisesti binomilause) pätee myös silloinkun C korvataan millä tahansa kommutatiivisella renkaalla.Yleisesti johdumme multinomikertoimiin seuraavan tyyppisissä tehtävissä:Lause 2.6. Olkoot n 1 , n 2 , . . . , n k ei-negatiivisia kokonaislukuja ja n = n 1 +· · ·+ n k .Silloin n-alkioinen joukko A voidaan jakaa pareittain erillisten n i -alkioisten osajoukkojenA i yhdisteeksi□täsmälleen (nn 1 ,...,n k)tavalla.A = A 1 ∪ · · · ∪ A k

DISKREETTI MATEMATIIKKA 17Todistus. A ( ) ( n1 voidaan valitan 1tavalla. Tämän jälkeenn−n A2 voidaan valita 1)n 2tavalla jne. Tuloperiaatteen nojalla koko valintatehtävä voidaan suorittaatavalla.( )( )n n − n1. . .n 1 n 2( )n − (n1 + · · · + n k−1 )=n kn!n 1 !n 2 ! · · · n k !Esimerkki 2.14. Kalevan kisojen 200 metrin juoksuun osallistuu 23 kilpailijaa,jotka jaetaan kolmeen alkuerään: 1. ja 2. erään 8 juoksijaa, ja 3. erään 7 juoksijaa.Monellako tavalla jako voidaan tehdä?□Ratkaisu: 23 alkion joukko voidaan ( jakaa pareittain erisuurien 8-,8- ja 7-alkioisen)23osajoukon yhdisteeksi täsmälleen8,8,7 =23!= 3155170590 tavalla.Esimerkki 2.15.8!8!7!(1) Montako erilaista sanaa saadaan sanasta MISSISSIPPI kirjainten järjestystävaihtamalla?(2) Montako sellaista sanaa saadaan joissa ei esiinny peräkkäisiä I-kirjaimia?Ratkaisu:(1) Tehtävänä on siis kirjaimien M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I sijoittaminen 11 paikkaan.Nämä paikat muodostavat 11-alkioisen A joukon jonka jaamme neljän pareittainerisuuren osajoukkon A M , A I , A S ja A P yhdisteeksi, missä |A M | = 1,|A I | = 4, |A S | = 4 ja |A P | = 2. Tämä jako voidaan tehdä( ) 11= 11!1, 4, 4, 2 1!4!4!2! = 34650tavalla. Vastaus: 34650 sanaa.(2) Sanoja joissa I-kirjainta ei esiinny saadaan ( 71,4,2)kpl. Eräs tällainen sanaon _M_S_S_S_P_P_S_, jossa I-kirjain voidaan sijoittaa merkin _ osoittamiinpaikkoihin. Täten neljä I:tä voidaan sijoittaa ( 84)paikkaan ja niinpäsellaisia sanoja joissa ei ole peräkkäisiä I-kirjaimia on ( 71,4,2)( 84)= 1050 kpl2.2.1. Toistokombinaatiot.Lauseen 2.1 nojalla n-alkioisesta joukosta voidaan valita k alkiota ( nk)tavalla.Tarkastellaan seuraavassa vastaavaa valintatehtävä ¤ , kun valittu alkio palautetaanaina takaisin joukkoon.

18 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.16. Laatikossa on punainen (P), sininen (S) ja valkoinen (V) pallo.Suoritetaan kaksi nostoa ja palautetaan aina nostettu pallo takaisin laatikkoon.Montako nostojakaumaa on olemassa?Ratkaisu: Mahdolliset jakaumat on luetteloitu alla olevassa taulukossa, missä esim.neljäs rivi tarkoittaa jakaumaa "yksi punainen pallo ja yksi sininen pallo":P S V2 0 00 2 00 0 21 1 01 0 10 1 1Täten kysyttyjä jakaumia on 6 kpl.Määritelmä 2.3. n-alkioisen joukon {a 1 , . . . , a n } k-toistokombinaatio (tai k-jakauma)on joukko {(m 1 , a 1 ), (m 2 , a 2 ), . . . , (m n , a n )}, missä m i ∈ Z ≥0 , ja m 1 + m 2 +· · ·+m n =k.Huomautus 2.3. Määritelmästä seuraa että n-alkioisen joukon k-toistokombinaatiotovat bijektiivisessä vastaavuudessa sellaisten n-monikkojen (x 1 , . . . , x n ) kanssa, missäx 1 + x 2 + · · · + x n = k ja x i ∈ Z ≥0 kaikilla i = 1, . . . , n.Montako k-toistokombinaatiota on n-alkioisella joukolla? Tähän kysymykseenvastataan kohta. Todistetaan ensin pieni aputulos:Lemma 2.1. Olkoot k ja n ei-negatiivisia kokonaislukuja. Aakkostosta {◦, |} voidaanmuodostaa täsmälleen ( )n+k−1n−1 muotoa| } ◦ ◦ {{ · · · ◦}| } ◦ ◦ {{ · · · ◦}| . . . | } ◦ ◦ {{ · · · ◦}|x 1 kpl x 2 kplx n kplolevaa merkkijonoa, missä x 1 + x 2 + · · · + x n = k.Todistus. Ko. merkkijonoja varten tarvitaan k paikkaa symbolille ◦ ja n + 1 paikkaasymbolille |. Koska ensimmäisen ja viimeisen |:n paikat ovat kiinnitetyt, niin lopuillen − 1 symbolille | ( )n+k−1voidaan valita paikkan−1 tavalla, ja loput paikat täytetäänkinsitten symboleilla ◦.□Seuraus 2.1. Yhtälöllä x 1 + · · · + x n = k on täsmälleen ( ) (n+k−1n−1 = n+k−1)k einegatiivistakokonaislukuratkaisua (x 1 , . . . , x n ) (ts. x i ∈ Z ≥0 kaikilla i = 1, . . . , n.)

DISKREETTI MATEMATIIKKA 19Lause 2.7. n-alkioisen joukon k-toistokombinaatioiden lukumäärä on ( )n+k−1n−1 =).( n+k−1kTodistus. Yhtälöllä x 1 +· · ·+x n = k ( n+k−1onn−1Seurauksen 2.1 nojalla. Väite seuraa nyt Huomautuksesta 2.3.Esimerkki 2.17.)ei-negatiivista kokonaislukuratkaisua(1) Monellako tavalla voidaan jakaa seitsemän omenaa ja kaksi banaania neljällelapselle?(2) Entäpä jos asetetaan lisäehto, että jokaisen lapsen on saatava vähintään yksiomena?□Ratkaisu:(1) Yhtälöllä x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7 ( )4+7−1on7 = 120 ei-negatiivista kokonaislukuratkaisua.Täten omenat voidaan jakaa 120 tavalla. Vastaavasti banaanit)= 10 tavalla. Tuloperiaatteen nojalla omenat ja ba-( 4+2−1voidaan jakaa2naanit voidaan jakaa lapsille 120 · 10 = 1200 tavalla.(2) Nyt etsimme yhtälön x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 7 kokonaislukuratkaisujen (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )lukumäärää missä kukin x i ≥ 1. Muuttujien vaihto y i = x i − 1 johtaa ekvivalenttiinyhtälöön y 1 + ( y 2 + y 3 + y 4 = 7 − 4, y i ≥ 0. Seurauksen 2.1 nojalla)4+7−4−1omenat voidaan jakaa7−4 = 20 tavalla, ja täten omenat ja banaanit20 · 10 = 200 tavalla.Esimerkki 2.18. Tietoliikenneviesti koostuu 12 eri symbolista. Se lähetetään kanavaansiten, että kahden peräkkäisen symbolin välissä on vähintään 3 blankoa.Monellako tavalla viesti voidaan lähettää kanavaan, jos yhteensä 45 blankoa käytetään?Ratkaisu: Merkitään viestissä niitä paikkoja joihin tulee blanko symbolilla ◦, janiitä paikkoja joihin tulee viestisymboli symbolilla |. Nyt tarkasteltavat merkijonotovat muotoa| } ◦ ◦ {{ · · · ◦}| } ◦ ◦ {{ · · · ◦}| . . . | } ◦ ◦ {{ · · · ◦}|x 1 kpl x 2 kplx 11 kplmissä x 1 + · · · + x 11 = 45 ja x i ≥ 3. Muuttujien vaihdolla y i = x i − 3 päädymmeekvivalenttiin yhtälöön y 1 + · · · + y 11 = 45 − 11 · 3 = 12, y i ≥ 0. Seurauksen 2.1

20 DISKREETTI MATEMATIIKKA( ) (11+12−1nojalla tällä yhtälöllä on12 = 2212)ratkaisua, ja täten ko. merkkijonoja on( 22) (12 kpl. Täten annettu tietoliikenneviesti voidaan lähettää 2212)tavalla.Esimerkki 2.19. (Vertaa Esimerkkiin 2.9)(1) Montako ehdon 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 10 toteuttavaa kokonaislukukolmikkoa(a, b, c) voidaan muodostaa?(2) Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja k ehdon 1 ≤ k ≤ n toteuttava kokonaisluku.Montako ehdon 1 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ · · · ≤ i k ≤ n toteuttavaa k-jonoa(i 1 , i 2 , . . . , i k ) voidaan muodostaa?Ratkaisu:(1) Esimerkiksi kolmikkoa (a, a, c) vastaa joukon {1, 2, . . . , 10} toistokombinaatio{(2, a), (0, b), (1, c)}. Näin saadaan bijektiivinen vastaavuus kolmikkojenko. (a, b, c) ja joukon ( {1, 2, . . . , 10} 3-toistokombinaatioiden välille. Siispä ko.)10+3−1kolmikoita on3 = 240 kpl.(2) Kyseessä olevia k-jonoja on ( täsmälleen sama määrä kuin n-alkioisen joukon)n+k−1k-toistokombinaatioita elik kpl (Lause 2.7).Esimerkki 2.20. Montako kertaa seuraava ohjelma tulostaa sanan VY.for i:=1 to 100 dofor j:=1 to i dofor k:=1 to j doPrint("VY")Ratkaisu: Sana VY tulostetaan täsmälleen niin monta kertaa kuin on kolmikoita1 ≤ k ≤ j ≤ i ≤ ( )100+3−1100. Esimerkin 2.19 nojalla sana VY tulostetaan siis3 =171700 kertaa.Esimerkki 2.21. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Lasketaan summan∑t 2 .t=1Kolmikoita 1 ≤ k ≤ j ≤ i ≤ n ( )n+3−1on3 = n(n + 1)(n + 2)/3 kpl. Olkoon t ehdon1 ≤ t ≤ n täyttävä kiinnitetty kokonaisluku. Kolmikoita 1 ≤ k ≤ j ≤ i = t on

( t+2−1)2 = t(t + 1)/2 kpl. Siispä( ) n + 3 − 1elija tätenn(n + 1)(n + 2)3n∑t 2 =t=1DISKREETTI MATEMATIIKKA 213= 1 2=n∑( ) t + 2 − 1t=1n∑t(t + 1) = 1 2t=12n(n + 1)(n + 2) − 3n(n + 1)62n∑t 2 + 1 2t=1=· n(n + 1)2n(n + 1)(2n + 1).62.3. Lokeroperiaate.Seuravaalla havainnolla on yllättävän paljon epätriviaaleja sovelluksia:Lokeroperiaate: Jos m esinettä sijoitetaan n:ään lokeroon ja m > n, niin johonkinlokeroon tulee vähintään kaksi esinettä.Esimerkki 2.22. Sokealla miehellä on laatikossa 10 harmaata ja 10 mustaa sukkaa.Kuinka monta sukkaa hänen täytyy ottaa laatikosta, jotta niiden joukossa olisivarmasti kelvollinen pari?Ratkaisu: Lokerot: harmaa ja musta, esineet: nostetut sukat. Lokeroperiaatteenmukaan riittää nostaa kolme sukkaa.Esimerkki 2.23. Onko Helsingissä kaksi ihmistä joilla on tarkalleen yhtä montahiusta päässään.Ratkaisu: Ihmisellä on korkeintaan 60000 hiusta. Lokerot: eri hiuslukumäärät, esineet:helsinkiläiset. Koska esineitä on enemmän kuin lokeroita, niin lokeroperiaatteennojalla vastaus on kyllä.Lokeroperiaattetta voidaan hivenen yleistää:Yleistetty lokeroperiaate: Olkoon A = A 1 ∪ · · · ∪ A k ja A i ∩ A j = ∅ aina kun i ≠ j.Jos |A| ≥ kn + 1, niin ainakin yhdelle osajoukolle pätee |A i | ≥ n + 1.

22 DISKREETTI MATEMATIIKKATodistus. Jos |A i | ≤ n kaikilla i = 1, . . . , k, niin |A| ≤ kn.□Esimerkki 2.24. Sokean miehen sukkalaatikossa on nyt sukkia viittä eri väriä.Kuinka monta sukkaa on otettava, jotta saataisiin varmasti jotakin väriä kaksi paria?Ratkaisu: Lokerot: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 (sukkien värit), esineet: nostetut sukat.Jossakin joukoista A i on oltava vähintään 4 = n + 1 sukkaa. Riittää siis nostaa5 · (4 − 1) + 1 = 16 sukkaa.Esimerkki 2.25. Osoita että kuuden ihmisen joukossa on aina sellainen kolmikko,jossa joko kaikki ovat keskenään ystäviä tai kukaan ei ole kenenkään ystävä.Ratkaisu: Otetaan henkilö A erilleen muista. Kaksi lokeroa: A:n ystävät, A:n eiystävät;esineet muut viisi henkilöä. Yleistetyn lokeroperiaatteen nojalla jommassakummassa lokerossa on vähintään kolme henkilöä.Oletetaan ensin että tämä lokero on A:n ystävien lokero. Jos ko. lokerossa olevistayksikään pari ei ole keskenään ystäviä, olemme löytäneet ei-ystäväkolmikon. Josjokin pari C, D on muodostuu ystävyksistä, niin olemme löytäneet ystäväkolmikonA, B, C.Tapaus jossa kolme henkilöä kuuluu A:n ei-ystävien lokeroon, käsitellään lähessamoin: jos ko. lokerossa kaikki ovat keskenään ystäviä olemme löytäneet ystäväkolmikon.Jos taas jokin pari C, D muodostuu ei-ystävistä, niin olemme löytäneetei-ystäväkolmikon A, B, C.2.4. Seulaperiaate.Esimerkki 2.26. Yliopistossa on 1543 opiskelijaa, joista 35 pelaa jalkapalloa, 15pelaa koripalloa ja 30 pelaa jääkiekkoa. Edelleen 4 pelaa sekä jalka- että koripalloa, 8sekä jalkapalloa että jääkiekkoa, 7 sekä koripalloa että jääkiekkoa ja 1 pelaa kaikkiakolmea.(1) Kuinka moni pelaa ainakin jotakin?(2) Moniko ei pelaa mitään?Ratkaisu: Seuraava kuva havainnollistaa tilannetta:

DISKREETTI MATEMATIIKKA 23✬✩AB35✬✩4 1518✫✪730✫✪C(1) Vastaus: 35 + 15 + 30 − 4 − 8 − 7 + 1 = 62(2) Vastaus: 1543 − 62 = 1481Seulaperiaate kahdelle ja kolmelle äärelliselle joukolle:|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|Yleisesti:Lause 2.8. Olkoot A 1 , . . . , A n äärellisiä joukkoja. Silloin|A 1 ∪ · · · ∪ A n | = ∑1≤i≤n|A i | − ∑1≤i

24 DISKREETTI MATEMATIIKKARatkaisu: Olkoon a sellaisten takkien jakojen lukumäärä jossa ainakin yksi takkiosuu oikealle henkilölle, ja olkoon b kaikkien mahdollisten jakojen lukumäärä. Onsiis laskettava suhde a/b.Mahdollisia jakoja vastaavat kaikki joukon {1, . . . , n} permutaatiot (j 1 , . . . , j n ),joten b = n!.Olkoon A i niiden permutaatioiden joukko joissa i:s takki on omalla paikallaan, ts.j i = i. Nyt a = |A 1 ∪· · ·∪A n | ja laskemme a:n käyttäen seulaperiaatetta. Ensinnäkin|A i | = (n − 1)! sillä nyt i:s takki on paikallaan ja muut n − 1 voivat olla missätahansa järjestyksessä. Toiseksi |A i ∩ A j | = (n − 2)! eli i :s ja j:s takki paikallaan,muut sekaisin, ja tällaisia termejä on summassa ∑ 1≤i

DISKREETTI MATEMATIIKKA 251, . . . , 4) antaa yhtälön y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 24 − 4 · 3 = 12, missä 0 ≤ y i ≤ 5(i = 1, . . . , 4).Olkoon A tämän yhtälön kaikkien ei-negatiivisten ratkaisujen joukko ja olkoon A iniiden ratkaisujen joukko, joilla y i > 5. Nyt n = |A| − |A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 |. Tässä|A| = ( )12+4−112 = 455.Muuttujanvaihto u = y 1 − 6 antaa yhtälön u + ( y 2 + y 3 + y 4 = 12 − 6 = 6, ja tämän)6+4−1ei-negatiivisten kokonaislukuratkaisujen lkm on6 . Siispä |A1 | = ( )6+4−16 = 84.Samoin nähdään, että |A i | = ( )6+4−16 kun i = 2, 3, 4.Lasketaan |A 1 ∩ A 2 |. Nyt muuttujanvaihto u = y 1 − 6, v = y 2 − 6 antaa yhtälönu + v + y 3 + y 4 = 12 − 2 · 6 = 0, ja tällä on täsmälleen yksi ei-negatiivinen kokonaislukuratkaisu.Samoin nähdään, että |A i ∩ A j | = 1 kaikilla pareilla (i, j) missä1 ≤ i < j ≤ 4.Nyt on selvää että |A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik | = 0 jos k > 2, ja täten seulaperiaatteennojalla n = 455 − 4 · 84 + ( 42)· 1 = 125.2.5. Partitiot.2.5.1. Joukon partitio. Tarkastellaan seuraavaaksi kysymystä monellako tavalla n-alkioinen joukko voidaan partitioida k:n epätyhjän osajoukon yhdisteeksi eli etsimmeesityksiä A = A 1 ∪ · · · ∪ A k , missä kukin A i on epätyhjä ja A i ∩ A j = ∅ aina kuni ≠ j. Lisäksi yhdisteeseen kuuluvien osajoukkojen keskinäisellä järjestyksellä ei olemerkitystä.Esimerkki 2.29. Joukon A = {a, b, c, d} partitiot kahden epätyhjän osajoukonyhdisteeksi ovat {a} ∪ {b, c, d}, {b} ∪ {a, c, d}, {c} ∪ {a, b, d}, {d} ∪ {a, b, c}, {a, b} ∪{c, d}, {a, c} ∪ {b, d}, {a, d} ∪ {b, c}.Esimerkki 2.30. Montako sellaista 2 × 4 bittimatriisia on olemassa, joissa kullakinrivillä on vähintään yksi ykkönen, ja jonka jokaisella sarakkeella on täsmälleen yksiykkönen.Ratkaisu: Liitetään kuhunkin joukon A = {a, b, c, d} osajoukkoon 4-pituinen bittivektoriEsimerkin 2.5 mukaisesti. Nyt kutakin joukon A partitiota kahden epätyhjänjoukon yhdisteeksi vastaa rivien permutaatioiden lukumäärän (eli 2!) verran ko. matriiseja:ehto kullakin rivillä ykkönen tarkoittaa sitä, että vastaavat osajoukot ovatepätyhjiä, ja ehto kullakin sarakkeella täsmälleen yksi ykkönen sitä, että kukin A:n

26 DISKREETTI MATEMATIIKKAalkio kuuluu täsmälleen yhteen osajoukkoon. Esimerkiksi partitiota {a, c} ∪ {b, d}vastaa matriisit ( ) ( )1 0 1 0 0 1 0 1,.0 1 0 1 1 0 1 0Täten Esimerkin 2.29 nojalla ko. matriiseja on 14 kpl.Lemma 2.2. Sellaisten k × n-bittimatriisien, jossa kukin rivi sisältää vähintäänyhden ykkösen ja kukin sarake täsmälleen yhden ykkösen, lukumäärä onk∑( ) k(−1) j (k − j) njj=0Todistus. Olkoon B i sellaisten k × n-bittimatriisien joukko, jossa kunkin matriisinkullakin sarakkeella on täsmälleen yksi ykkönen ja i:s rivi koostuu nollista, ja olkoonB niiden k × n-bittimatriisien joukko jossa kunkin matriisin kullakin sarakkeella ontäsmälleen yksi ykkönen. Nyt B 1 ∪· · ·∪B k muodostuu niistä matriiseista joissa jokinvaakarivi on nollarivi, ja täten väitteen muotoa olevia matriiseja on|B| − |B 1 ∪ · · · ∪ B k | = k n − |B 1 ∪ · · · ∪ B k |kpl. Lasketaan |B 1 ∪ · · · ∪ B k | käyttäen seulaperiaatetta.Nyt |B i | = (k − 1) n sillä i:s rivi koostuu nollista ja täten kullekin sarakkeellevoidaan sijoittaa ykkönen täsmälleen k − 1 tavalla.Vastaavasti |B i ∩B j | = (k−2) n , |B i ∩B j ∩B t | = (k−3) nnojalla:|B 1 ∪ · · · ∪ B k | =ja täten=jne. Nyt seulaperiaatteen( ( ( )k k k(k − 1)1)n − (k − 2)2)n + − · · · + (−1) k−1 (k − k) nkk∑( ) k(−1) j−1 (k − j) n ,jj=1|B| − |B 1 ∪ · · · ∪ B k | = k n −k∑( ) k(−1) j−1 (k − j) n =jj=1k∑( ) k(−1) j (k − j) n .jLause 2.9. n-alkioinen joukko voidaan partitioida k:n epätyhjän osajoukon yhdisteeksitäsmälleenS(n, k) := 1 k!k∑( ) k(−1) j (k − j) njj=0j=0□

DISKREETTI MATEMATIIKKA 27tavalla.Todistus. Jokaista partitiota A = A 1 ∪ · · · ∪ A k , missä kukin A i ≠ ∅, kohti saadaank! sellaista k × n matriisia jossa kullakin rivillä on vähintään yksi ykkönen, ja jonkajokaisella sarakkeella on täsmälleen yksi ykkönen (ks. Esimerkki 2.30). Lemman 2.2nojalla tällaisia matriiseja on ∑ kj=0 (−1)j( kj)(k − j) n kpl. □Lukuja S(n, k) sanotaan Stirlingin toisen lajin luvuiksi.Lause 2.10. Olkoon 2 ≤ k ≤ n − 1. Silloin(1) S(n, 1) = S(n, n) = 1,(2) Stirlingin kolmio: S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k).Todistus. Selvästi S(n, 1) = 1. Koska n alkioinen joukko voidaan partitioida n epätyhjäänosaan täsmälleen yhdellä tavalla (kuhunkin osajoukkoon yksi alkio), niinS(n, n) = 1.Todistetaan lopuksi (2) (vertaa Pascalin kolmion todistukseen): olkoon A n-alkioinenjoukko a jokin sen alkio. Partitioita, joissa {a} on yksi yhdisteeseen kuuluvista osajoukoistaon täsmälleen S(n − 1, k − 1) kpl. Muunlaiset partitiot voidaan muodostaasiten että partitioidaan joukko A \ {a} k:n epätyhjän osajoukon yhdisteeksi ja lisätääna johonkin näistä osajoukoista. Tuloperiaate: näin saadaan kS(n − 1, k).Siispä partitioita on yhteensä S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k) kpl.Huomautus 2.4. Stirlingin kolmio voidaan esittää muodossa:S(1, 1)S(2, 1) S(2, 2)S(3, 1) S(3, 2) S(3, 3).11 11 3 11 7 6 11 15 25 10 11 31 90 65 15 1.Esimerkki 2.31. Monellako tavalla n erilaista palloa voidaan sijoittaa k:hon samanlaiseenlokeroon, jos pallojen järjestyksellä yksittäisessä lokerossa ei ole merkitystäja(1) jokaiseen lokeroon on tultava vähintään yksi pallo?(2) jos lokeroita voi jäädä tyhjäksi?□Ratkaisu:

28 DISKREETTI MATEMATIIKKA(1) Kun n palloa sijoitetaan k:hon lokeroon, niin lopputulos vastaa n-alkioisenjoukon partitoita k:n epätyhjän osajoukon yhdisteeksi, koska lokeroiden keskinäiselläjärjestyksellä ei ole merkitystä. Vastaus: S(n, k).(2) Havaitsemme, että sellaisia jakoja joissa täsmälleen i lokeroa on tyhjiä onS(n, k − i) kpl, sillä nyt kyseessä on kohdan (1) ongelma, kun k:n paikallaon k − i. Täten summaperiaatteen nojalla on∑k−1S(n, k − i) =i=0tapaa jakaa pallot lokeroihin.k∑S(n, i)i=1Esimerkki 2.32. Köyhä mies kuoli. Häneltä jäi puukko, reppu, sadeviitta, kamiina,avain ja pullo. Kolme perillistä riitaantui ja sovittiin, että pesänhoitaja jakaa pesänkolmeen osaan, jotka sitten arvotaan. Monellako tavalla pesänhoitaja voi tehdätehtävänsä?Ratkaisu: Nyt kuusi erilaista esinettä sijoitetaan kolmeen samanlaiseen lokeroon(=osat). Siispä jako voidaan tehdä S(6, 3) = 90 tavalla (ks. Stirlingin kolmio).Esimerkki 2.33. Olkoon A m-alkioinen ja B n-alkioinen joukko. Montako surjektiotaon joukolta A joukkoon B?Ratkaisu: Jos n > m, niin surjektioita ei ole yhtäkään. Oletetaan, että m ≥ n.Jokaista surjektioita f joukolta A joukkoon B vastaa eräs joukon A partitio n:nepätyhjän osajoukon yhdisteeksi: ⋃ b∈B f −1 (b). Toisaalta jokaista A:n partitioita A =A 1 ∪· · ·∪A n kohti saadaan täsmälleen n! surjektiota: kukin joukon A 1 alkio kuvataanalkiolle b 1 ja b 1 voidaan valita n tavalla; kukin joukon A 2 alkio kuvataan alkiolle b 2ja b 2 voidaan valita n − 1 tavalla jne. Siispä surjektioita joukolta A joukkoon B onn!S(m, n) kpl.Esimerkki 2.34. Montako sellaista 6-pituista merkkijonoa voidaan muodostaa aakkostosta{a, b, c}, missä kukin merkki esiintyy ainakin kerran?Ratkaisu: Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja B = {a, b, c}. Esimerkiksi merkkijonoaabacca vastaa surjektio f : A → B, missä f −1 (a) = {1, 3, 6}, f −1 (b) = 2, f −1 (c) =

DISKREETTI MATEMATIIKKA 29{4, 5}. Näin saadaan bijektiivinen vastaavuus surjektioiden f : A → B ja kysyttyjenmerkkijonojen välille. Siispä ko. merkkijonoja on 3!S(6, 3) = 6 · 90 = 540.Esimerkki 2.35. Myyntipäälliköllä on sihteeri (henkilö x) sekä kolme muuta alaista(henkilöt y, z, v) jotka toimivat laskutuksessa. Monellako tavalla myyntipäällikkö voijakaa seitsemän laskua alaistensa käsiteltäviksi, jos jokaiselle on tultava ainakin yksilasku ja sihteerille kaikkein kiirellisin lasku?Ratkaisu: Olkoot A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ja B = {x, y, z, v}. Laskettavana on siisehdon f(1) = x täyttävien surjektioiden f : A → B lukumäärä.Olkoon A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 jokin A:n 4-partitio. Nyt 1 kuuluu esim. A 1 :een,joten f(A 1 ) = x. Siispä tätä partitiota kohti saadaan 3! ehdon f(1) = x täyttävääsurjektiota ja näin ollen ehdon f(1) = x täyttävien surjektioiden lukumäärä on3!S(7, 4) = 6 · 350 = 2100.2.5.2. Luvun partitio. Tarkastellaan seuraavaksi luonnollisen luvun n partitiota k:honosaan ts. etsimme sellaisia positiivisia kokonaislukuja n 1 , . . . , n k , että n = n 1 + n 2 +· · · + n k . Tässä myöskään lukujen n i järjestyksellä ei ole merkitystä.Määritelmä 2.4. Olkoot k, n ∈ Z + . Luvun n k-partitio (tai partitio k:hon osaan)on mikä tahansa ehdot(a) x 1 + x 2 + · · · + x k = n,(b) 1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x k ,täyttävä kokonaislukumonikko (x 1 , x 2 , . . . , x k ). Kaikkien luvun n k-partitioiden lukumääräämerkitään symbolilla p(n, k).Esimerkki 2.36. Luvun 8 partitiot neljään osaan:1 + 1 + 1 + 51 + 1 + 2 + 41 + 1 + 3 + 31 + 2 + 2 + 32 + 2 + 2 + 2Täten p(8, 4) = 5.Lemma 2.3. Olkoot k, n ∈ Z + . Sillon p(n, k) on yhtälöny 1 + 2y 2 + 3y 3 + · · · + ky k = n

30 DISKREETTI MATEMATIIKKAehdot(a) y 1 , y 2 , . . . , y k−1 ∈ Z ≥0 ,(b) y k ∈ Z + ,täyttävien kokonaislukumonikkojen lukumäärä.Todistus. Tarkastellaan yhtälöä x 1 +x 2 +· · ·+x k = n missä 1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x k .Muuttujanvaihto z 1 = x 1 , z 2 = x 2 − x 1 , z 3 = x 3 − x 2 , . . . , z k = x k − x k−1 johtaayhtälöön z k + 2z k−2 + 3z k−3 + · · · + kz 1 = n, missä z k , z k−1 , . . . , z 2 ≥ 0 ja z 1 ≥ 1.Lause 2.11. Olkoot k, n ∈ Z ≥2 . Silloin(a) p(n, 1) = p(n − 1, n) = p(n, n) = 1,(b) p(n, k) = 0, jos k > n,(c) p(n, k) = p(n − 1, k − 1) + p(n − k, k), jos k < n.Todistus. (a) ja (b) seuraavat helposti luvun p(n, k) määritelmästä. Kohdan (c) todistamiseksitarkastellaan yhtälön x 1 + 2x 2 + · · · + (k − 1)x k−1 + kx kei-negatiivisia kokonaislukuratkaisuja joissa x k ≥ 1.□= n niitäSellaisia ratkaisuja joissa x k > 1, on yhtä monta kuin yhtälöllä x 1 + 2x 2 + · · · +(k − 1)x k−1 + k(y + 1) = n missä y = x k − 1 (≥ 1), siis p(n − k, k) kpl.Sellaisia ratkaisuja joissa x k = 1, on yhtä monta kuin yhtälöllä x 1 + 2x 2 + · · · +(k − 1)x k−1 + (k − 1) + 1 = n eli yhtälöllä x 1 + 2x 2 + · · · + (k − 1)(x k−1 + 1) = n − 1.Nyt x k−1 + 1 ≥ 1, joten tällaisia ratkaisuja on p(k − 1, n − 1).Täten p(n, k) = p(n − 1, k − 1) + p(n − k, k).Huomautus 2.5. Luvut p(n, k), voidaan esittää kolmiona:p(1, 1)p(2, 1) p(2, 2)p(3, 1) p(3, 2) p(3, 3)p(4, 1) p(4, 2) p(4, 3) p(4, 4).11 11 1 11 2 1 11 2 2 1 11 3 3 2 1 11 3 4 3 2 1 11 4 5 5 3 2 1 1.□

DISKREETTI MATEMATIIKKA 31missä keskimmäisen sarakkeen vasemmalla puolella olevat ykkösestä eroavat luvutlasketaan kaavalla p(n, k) = p(n − 1, k − 1) + p(n − k, k) ja muut kaavalla p(n, k) =p(n − 1, k − 1) (n, k > 1) .Esimerkki 2.37. (a) Monellako tavalla kahdeksan samanlaista palloa voidaan sijoittaaneljään samanlaiseen lokeroon, jos jokaiseen lokeroon on on tultava vähintäänyksi pallo?(b) Entäpä jos lokeroita voi jäädä tyhjäksi?Ratkaisu: (a) 8 samanlaista palloa voidaan sijoittaa neljään samanlaiseen lokeroonyhtä monella tavalla kuin luku 8 voidaan partitioida neljään nollasta eroavaan osaaneli p(8, 4) = 5 tavalla.(b) Sellaisia sijoitteluja joissa täsmälleen i lokeroa jää tyhjäksi on p(8, 4 − i) kpl,missä 0 ≤ i ≤ 3. Siispä sellaisia sijoitteluja joissa lokeroita voi jäädä tyhjäksi onp(8, 1) + p(8, 2) + p(8, 3) + p(8, 4) = 1 + 4 + 5 + 5 = 15 kpl.Edellisen esimerkin kohta (b) antaa aiheen seuraavaan määritelmään:Määritelmä 2.5. Olkoot k ∈ Z + ja n ∈ Z ≥0 . Luvun n partitio korkeintaan k:honosaan on mikä tahansa ehdot(a) x 1 + x 2 + · · · + x k = n,(b) 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x k ,täyttävä kokonaislukumonikko (x 1 , x 2 , . . . , x k ). Kaikkien tällaisten partitioiden lukumääräämerkitään symbolilla T (n, k).Lause 2.12. Olkoot k ∈ Z + ja n ∈ Z ≥0 .(a) T (n, k) on yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + kx k = n ei-negatiivisten kokonaislukuratkaisujenlukumäärä.(b) T (n, k) = p(n + k, k) = ∑ ki=1p(n, i),Todistus. (a) Ks. Lemman 2.3 todistus. (b) Nyt siis yhtälöllä x 1 + 2x 2 + 3x 3 +· · · + kx k = n on T (n, k) ei-negatiivista kokonaislukuratkaisua. Muuttujanvaihtox k = y − 1, missä y ≥ 1, antaa yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + ky = n + k. Tälläon p(n + k, k) ratkaisua. Siispä T (n, k) = p(n + k, k). Yhtälö T (n, k) = ∑ ki=1p(n, i)seuraa suoraan p(n, k):n ja T (n, k):n määritelmästä.□

32 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.38. Mainostaja haluaa ostaa mainosaikaa yhden, kolmen tai neljänminuutin paloissa. Monellako tavalla 20 minuuttia mainosaikaa voidaan jakaa näidenpalojen kesken?Ratkaisu: Tehtävänä on siis laskea yhtälönx 1 + 3x 3 + 4x 4 = 20ei-negatiivisten kokonaislukuratkaisujen lukumäärä d.Yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 20 ei-negatiivisten kokonaislukuratkaisujen lkmon T (20, 4). Sellaisia ratkaisuja joissa x 2 ≥ 1, on T (20 − 2, 4) kpl (muuttujanvaihtox 2 = y + 1). Täten d = T (20, 4) − T (18, 4) = p(24, 4) − p(22, 4) = 108 − 84 = 24.2.6. Yhteenveto (pallot ja laatikot). Tarkastellaan yhteenvetona n:n pallon sijoittamistak:hon laatikkoon. Vaihtoehtojen lukumäärä riippuu siitä (a) ovatko pallotsamalaisia (b) ovatko laatikot samanlaisia (c) voiko laatikoita jäädä tyhjäksi:pallot pareittain erilaisia laatikot pareittain erilaisia laatikoita voi jäädä tyhjäksi lkm+ + + k n+ + - k!S(n, k)pallot pareittain erilaisia laatikot samanlaisia laatikoita voi jäädä tyhjäksi lkm∑+ + +ki=1 S(n, i)+ + - S(n, k)pallot samanlaisia laatikot pareittain erilaisia laatikoita voi jäädä tyhjäksi lkm( n+k−1 )+ + +( n n−1 )+ + -n−kpallot samanlaisia laatikot samanlaisia laatikoita voi jäädä tyhjäksi lkm+ + + T (n, k)+ + - p(n, k)2.7. Generoivat funktiot. Tarkastellaan reaalilukujonoa a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Sen generoivafunktio on formaalinen potenssisarja ∑ ∞n=0 a nx n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · .Formaalista potenssisarjaa voi ajatella vain vaihtoehtoisena esitystapana jonollea 0 , a 1 , a 2 , . . . . Jonon esittämisessä formaalina potenssisarjana on kuitenkin se etu,että formaalit potenssisarjat toteuttavat samat identiteetit kuin suppenevat potenssisarjat,ja että niillä voi laskea kuten polynomeilla. Erityisesti, niitä voidaan laskeayhteen ja kertoa kuten polynomeja, ja myös derivoida termeittän.

DISKREETTI MATEMATIIKKA 33Esimerkki 2.39. Jonon 1, 1, 1, 1, . . . generoiva funktio on geometrinen sarja:∞∑x n = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · = 11 − xn=0Esimerkki 2.40. Derivoimalla edellinen yhtälö saadaan0 + 1 + 2x + 3x 2 + · · · =1(1 − x) 2 ,ja täten jonon 1, 2, 3, 4, . . . generoiva funktio on 1/(1 − x) 2 .Kertomalla edellinen yhtälö puolittain x:llä saadaan0 + x + 2x 2 + 3x 3 + · · · =x(1 − x) 2 ,ja täten jonon 0, 1, 2, 3, . . . generoiva funktio on x/(1 − x) 2 .Derivoidaan jälleen:1 + 2 2 x + 3 2 x 2 + 4 2 x 3 + · · · = x + 1(1 − x) 3 ,ja täten jonon 1, 2 2 , 3 3 , 4 2 , . . . generoiva funktio on (x + 1)/(1 − x) 3 .Huomautus 2.6. Ylläesitetyt identiteetit ovat voimassa formaalien potenssisarjojenmuodostaman renkaan osamääräkunnassa.Esimerkki 2.41. Olkoon k ei-negatiivinen kokonaisluku. Minkä jonon a 0 , a 1 , a 2 . . .generoiva funktio on f(x) = 1(1−x) k ?Ratkaisu: Nytf(x) ===:∞1(1 − x) · 1(1 − x) · · · 1(1 − x) = ∑∞∑∞∑· · ·i 1 =0 i 2 =0∞∑a n x nn=0∞∑i k =0x i 1+i 2 +···+i ki 1 =0x i 1∞∑x i2 · · ·missä a n on yhtälön i 1 +i 2 +· · ·+i k = n ei-negatiivisten ratkaisujen lukumäärä. Siispäf(x) on k-alkioisen joukon n-toistokombinaatioiden lukumäärät generoiva funktio,ts. a n = ( )n+k−1n , n = 0, 1, 2, . . . .i 2 =0∞∑i k =0x i k

34 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.42. Ratkaistaan Esimerkki 2.28 uudelleen, nyt generoivien funktioidenavulla: monellako tavalla voidaan 24 samanlaista tehtävää jakaa neljälle tietokoneelle,jos kullekin koneelle on tultava 3 − 8 tehtävää?Ratkaisu: Olkoon a n niiden tapojen lukumäärä joilla neljälle koneelle voidaan jakaan tehtävää. Nyt siis a n on ehdon 3 ≤ y i ≤ 8 (i = 1, . . . , 4) toteuttavien yhtälöny 1 + y 2 + y 3 + y 4 = n kokonaislukuratkaisujen (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) lukumäärä.Mikä on jonon a n generoiva funktio? Havainto: kun sulkeet poistetaan tulossaT := (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ) 4 ,niin päädytään muotoa x y 1x y 2x y 3x y 4= x y 1+y 2 +y 3 +y 4olevien monomien summaan,missä kukin 3 ≤ y i ≤ 8. Siispäa n on monomin x n kerroin tulossa T .Siispä alkuperäiseen ongelman ratkaisemiseksi riittää laskea monomin x 24 kerrointulossa T . Ensinnäkin( ) 1 − x(x 3 + · · · + x 8 ) 4 = x 12 (1 + x + · · · + x 5 ) 4 = x 12 6 4,1 − xjoten on siis laskettava termin x 12 kerroin tulossa(1 − x 6 ) 4 (1 − x) −4( ( ( )4 4= 1 − x1)6 + x2)12 − + · · · ×( ( ) ( )1 + 4 − 1 2 + 4 − 11 +x +x 2 + · · · +12joka on( ) ( )( ) ( 12 + 4 − 1 4 6 + 4 − 1 41 ·−+ · 1 =12 1 6 2)( 12 + 4 − 112) )x 12 + · · · ,( ) ( 15 9− 4 + 6 · 1 = 125.12 6)Siispä tehtävät voidaan jakaa koneille 125 tavalla.Esimerkki 2.43. Olkoon k ∈ Z + . Lasketaan jonon T (1, k), T (2, k), . . . generoivafunktio f(x), missä T (n, k) on luvun n partitioiden lukumäärä korkeintaan k:honosaan.

DISKREETTI MATEMATIIKKA 35Lauseen 2.12 nojalla T (n, k) on yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + kx k= n einegatiivistenkokonaislukuratkaisujen lukumäärä. Koskaniin(1 + x + x 2 + x 3 + · · · )(1 + x 2 + x 4 + x 6 + · · · ) · · · (1 + x k + x 2k + x 3k + · · · )∞∑ ∞∑ ∞∑∞∑= · · · x i 1+2i 2 +···+ki k= T (n, k)x n = f(x),i 1 =0 i 2 =0i k =0f(x) =n=01(1 − x)(1 − x 2 )(1 − x 3 ) · · · (1 − x k ) .Esimerkki 2.44. Olkoon k ∈ Z + . Lasketaan jonon p(1, k), p(2, k), . . . generoivafunktio g(x), missä p(n, k) on luvun n partitioiden lukumäärä k:hon osaan.Lauseen 2.11 nojalla p(n, k) = 0, jos n < k, ja Lauseen 2.12 nojalla p(n + k, k) =T (n, k), jotenSiispäx −k g(x) = x −k=∞∑n=kp(n, k)x n =∞∑p(n, k)x n−k =n=k∞∑T (n, k)x n = f(x).n=0g(x) = x k f(x) =∞∑p(n + k, k)x nn=0x k(1 − x)(1 − x 2 )(1 − x 3 ) · · · (1 − x k ) .