DISKREETTI MATEMATIIKKA

12 DISKREETTI MATEMATIIKKA(3) Vastaus: 853058370935030464−397665153770704560 = 455393217164325904 ≃4.55 × 10 17 kpl.Summaperiaate: Olkoon A pareittain erillisten joukkojen yhdiste ts.A = A 1 ∪ · · · ∪ A k ,missä A i ∩ A j = ∅ aina kun i ≠ j. Silloin A:sta voidaan valita alkio |A 1 | + · · · + |A k |tavalla.2.2. Kombinaatiot ja toistokombinaatiot.Tarkastellaan seuraavaksi valintatehtäviä, joissa valittujen objektien keskinäiselläjärjestyksellä ei ole merkitystä.Esimerkki 2.8. Monellako tavalla kymmenen ihmisen joukosta voidaan valita kolmenhengen työryhmä?Ratkaisu: Olkoon kysytty lukumäärä x. Jokaisesta valitusta työryhmästä saadaan3-permutaatioita 3! = 6 kpl. Toisaalta, näin saadaan kaikki ko. ihmisjoukon 3-permutaatiot. Siispä 6x = P (10, 3) eli kolmen hengen työryhmä voidaan valitatavalla.P (10, 3)3!=10!(10 − 3)!3!Määritelmä 2.2. Olkoon A joukko jossa on n alkiota. Jokainen A:n k-alkioinenosajoukko on sen k-kombinaatio.Edellinen esimerkki yleistyy välittömästi seuraavaksi lauseeksi:Lause 2.2. Jokaisesta n:n alkion joukosta voidaan valita k-kombinaatio täsmälleen( n n!:=k)(n − k)!k!tavalla.Lukuja ( nk)sanotaan binomikertoimiksi.Esimerkki 2.9.(1) Montako ehdon 1 ≤ a < b < c ≤ 10 toteuttavaa kokonaislukukolmikkoa(a, b, c) voidaan muodostaa?