DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA 11Ratkaisu:(1) Karteesisessa tulossa A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} on tuloperiaatteennojalla mn alkiota. Nyt Esimerkin 2.5 nojalla joukolla A × B on 2 mn osajoukkoa.Täten relatioita joukosta A joukkoon B on 2 mn kpl.(2) Olkoon A = {a 1 , . . . , a m }. Funktioita f = {(a 1 , f(a 1 )), . . . , (a m , f(a m ))} onsama määrä kuin vektoreita (f(a 1 ), . . . , f(a m )). Kukin arvoista f(a i ) voidaanvalita n tavalla, joten tuloperiaatteen nojalla funktioita joukolta A joukkoonB on n } · n {{· · · n}= n m kpl.m kpl(3) Jos f on injektio, niin m = |f(A)| ≤ n. Siispä:(a) Jos m > n niin ei ole olemassa injektiota A → B.(b) Jos m ≤ n, niin jono (f(a 1 ), f(a 2 ), . . . , f(a m )) voidaan valita n · (n −1) · · · (n−m+1) = P (n, m) tavalla eli injektioita on tapauksessa m ≤ nP (n, m) kpl.Summaperiaatteeseen johdutaan seuraavan esimerkin kautta.Esimerkki 2.7. Tietokoneen salasanassa on 6-10 merkkiä aakkostostaA = {a, A, b, B, . . . , z, Z, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.(1) Montako tällaista salasanaa voidaan muodostaa?(2) Montako sellaista salasanaa voidaan muodostaa, jossa yksikään merkki eitoistu?(3) Montako sellaista salasanaa voidaan muodostaa, jossa jokin merkki toistuu?Ratkaisu:(1) Tuloperiaatteen nojalla k-pituisia merkkijonoja on 62 k kappaletta. Täten 6-10 pituisia salasanoja on 62 6 + 62 7 + 62 8 + 62 9 + 62 10 = 62 6 (62 5 − 1)/61 =85305837093503046 ≃ 8.53 × 10 17 kpl.(2) Sellaisten k-pituisten salasanojen lukumäärä jossa yksikään merkki ei toistuon P (62, k). Täten sellaisia 6-10 pituisia salasanoja joissa yksikään merkkiei toistu onP (62, 6)+P (62, 7)+P (62, 8)+P (62, 9)+P (62, 10) = 397665153770704560≃ 3.98 × 10 17 kpl.