DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA 31missä keskimmäisen sarakkeen vasemmalla puolella olevat ykkösestä eroavat luvutlasketaan kaavalla p(n, k) = p(n − 1, k − 1) + p(n − k, k) ja muut kaavalla p(n, k) =p(n − 1, k − 1) (n, k > 1) .Esimerkki 2.37. (a) Monellako tavalla kahdeksan samanlaista palloa voidaan sijoittaaneljään samanlaiseen lokeroon, jos jokaiseen lokeroon on on tultava vähintäänyksi pallo?(b) Entäpä jos lokeroita voi jäädä tyhjäksi?Ratkaisu: (a) 8 samanlaista palloa voidaan sijoittaa neljään samanlaiseen lokeroonyhtä monella tavalla kuin luku 8 voidaan partitioida neljään nollasta eroavaan osaaneli p(8, 4) = 5 tavalla.(b) Sellaisia sijoitteluja joissa täsmälleen i lokeroa jää tyhjäksi on p(8, 4 − i) kpl,missä 0 ≤ i ≤ 3. Siispä sellaisia sijoitteluja joissa lokeroita voi jäädä tyhjäksi onp(8, 1) + p(8, 2) + p(8, 3) + p(8, 4) = 1 + 4 + 5 + 5 = 15 kpl.Edellisen esimerkin kohta (b) antaa aiheen seuraavaan määritelmään:Määritelmä 2.5. Olkoot k ∈ Z + ja n ∈ Z ≥0 . Luvun n partitio korkeintaan k:honosaan on mikä tahansa ehdot(a) x 1 + x 2 + · · · + x k = n,(b) 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x k ,täyttävä kokonaislukumonikko (x 1 , x 2 , . . . , x k ). Kaikkien tällaisten partitioiden lukumääräämerkitään symbolilla T (n, k).Lause 2.12. Olkoot k ∈ Z + ja n ∈ Z ≥0 .(a) T (n, k) on yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + kx k = n ei-negatiivisten kokonaislukuratkaisujenlukumäärä.(b) T (n, k) = p(n + k, k) = ∑ ki=1p(n, i),Todistus. (a) Ks. Lemman 2.3 todistus. (b) Nyt siis yhtälöllä x 1 + 2x 2 + 3x 3 +· · · + kx k = n on T (n, k) ei-negatiivista kokonaislukuratkaisua. Muuttujanvaihtox k = y − 1, missä y ≥ 1, antaa yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + ky = n + k. Tälläon p(n + k, k) ratkaisua. Siispä T (n, k) = p(n + k, k). Yhtälö T (n, k) = ∑ ki=1p(n, i)seuraa suoraan p(n, k):n ja T (n, k):n määritelmästä.□