DISKREETTI MATEMATIIKKA

18 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.16. Laatikossa on punainen (P), sininen (S) ja valkoinen (V) pallo.Suoritetaan kaksi nostoa ja palautetaan aina nostettu pallo takaisin laatikkoon.Montako nostojakaumaa on olemassa?Ratkaisu: Mahdolliset jakaumat on luetteloitu alla olevassa taulukossa, missä esim.neljäs rivi tarkoittaa jakaumaa "yksi punainen pallo ja yksi sininen pallo":P S V2 0 00 2 00 0 21 1 01 0 10 1 1Täten kysyttyjä jakaumia on 6 kpl.Määritelmä 2.3. n-alkioisen joukon {a 1 , . . . , a n } k-toistokombinaatio (tai k-jakauma)on joukko {(m 1 , a 1 ), (m 2 , a 2 ), . . . , (m n , a n )}, missä m i ∈ Z ≥0 , ja m 1 + m 2 +· · ·+m n =k.Huomautus 2.3. Määritelmästä seuraa että n-alkioisen joukon k-toistokombinaatiotovat bijektiivisessä vastaavuudessa sellaisten n-monikkojen (x 1 , . . . , x n ) kanssa, missäx 1 + x 2 + · · · + x n = k ja x i ∈ Z ≥0 kaikilla i = 1, . . . , n.Montako k-toistokombinaatiota on n-alkioisella joukolla? Tähän kysymykseenvastataan kohta. Todistetaan ensin pieni aputulos:Lemma 2.1. Olkoot k ja n ei-negatiivisia kokonaislukuja. Aakkostosta {◦, |} voidaanmuodostaa täsmälleen ( )n+k−1n−1 muotoa| } ◦ ◦ {{ · · · ◦}| } ◦ ◦ {{ · · · ◦}| . . . | } ◦ ◦ {{ · · · ◦}|x 1 kpl x 2 kplx n kplolevaa merkkijonoa, missä x 1 + x 2 + · · · + x n = k.Todistus. Ko. merkkijonoja varten tarvitaan k paikkaa symbolille ◦ ja n + 1 paikkaasymbolille |. Koska ensimmäisen ja viimeisen |:n paikat ovat kiinnitetyt, niin lopuillen − 1 symbolille | ( )n+k−1voidaan valita paikkan−1 tavalla, ja loput paikat täytetäänkinsitten symboleilla ◦.□Seuraus 2.1. Yhtälöllä x 1 + · · · + x n = k on täsmälleen ( ) (n+k−1n−1 = n+k−1)k einegatiivistakokonaislukuratkaisua (x 1 , . . . , x n ) (ts. x i ∈ Z ≥0 kaikilla i = 1, . . . , n.)