DISKREETTI MATEMATIIKKA

34 DISKREETTI MATEMATIIKKAEsimerkki 2.42. Ratkaistaan Esimerkki 2.28 uudelleen, nyt generoivien funktioidenavulla: monellako tavalla voidaan 24 samanlaista tehtävää jakaa neljälle tietokoneelle,jos kullekin koneelle on tultava 3 − 8 tehtävää?Ratkaisu: Olkoon a n niiden tapojen lukumäärä joilla neljälle koneelle voidaan jakaan tehtävää. Nyt siis a n on ehdon 3 ≤ y i ≤ 8 (i = 1, . . . , 4) toteuttavien yhtälöny 1 + y 2 + y 3 + y 4 = n kokonaislukuratkaisujen (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) lukumäärä.Mikä on jonon a n generoiva funktio? Havainto: kun sulkeet poistetaan tulossaT := (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ) 4 ,niin päädytään muotoa x y 1x y 2x y 3x y 4= x y 1+y 2 +y 3 +y 4olevien monomien summaan,missä kukin 3 ≤ y i ≤ 8. Siispäa n on monomin x n kerroin tulossa T .Siispä alkuperäiseen ongelman ratkaisemiseksi riittää laskea monomin x 24 kerrointulossa T . Ensinnäkin( ) 1 − x(x 3 + · · · + x 8 ) 4 = x 12 (1 + x + · · · + x 5 ) 4 = x 12 6 4,1 − xjoten on siis laskettava termin x 12 kerroin tulossa(1 − x 6 ) 4 (1 − x) −4( ( ( )4 4= 1 − x1)6 + x2)12 − + · · · ×( ( ) ( )1 + 4 − 1 2 + 4 − 11 +x +x 2 + · · · +12joka on( ) ( )( ) ( 12 + 4 − 1 4 6 + 4 − 1 41 ·−+ · 1 =12 1 6 2)( 12 + 4 − 112) )x 12 + · · · ,( ) ( 15 9− 4 + 6 · 1 = 125.12 6)Siispä tehtävät voidaan jakaa koneille 125 tavalla.Esimerkki 2.43. Olkoon k ∈ Z + . Lasketaan jonon T (1, k), T (2, k), . . . generoivafunktio f(x), missä T (n, k) on luvun n partitioiden lukumäärä korkeintaan k:honosaan.