22 <strong>DISKREETTI</strong> <strong>MATEMATIIKKA</strong>Todistus. Jos |A i | ≤ n kaikilla i = 1, . . . , k, niin |A| ≤ kn.□Esimerkki 2.24. Sokean miehen sukkalaatikossa on nyt sukkia viittä eri väriä.Kuinka monta sukkaa on otettava, jotta saataisiin varmasti jotakin väriä kaksi paria?Ratkaisu: Lokerot: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 (sukkien värit), esineet: nostetut sukat.Jossakin joukoista A i on oltava vähintään 4 = n + 1 sukkaa. Riittää siis nostaa5 · (4 − 1) + 1 = 16 sukkaa.Esimerkki 2.25. Osoita että kuuden ihmisen joukossa on aina sellainen kolmikko,jossa joko kaikki ovat keskenään ystäviä tai kukaan ei ole kenenkään ystävä.Ratkaisu: Otetaan henkilö A erilleen muista. Kaksi lokeroa: A:n ystävät, A:n eiystävät;esineet muut viisi henkilöä. Yleistetyn lokeroperiaatteen nojalla jommassakummassa lokerossa on vähintään kolme henkilöä.Oletetaan ensin että tämä lokero on A:n ystävien lokero. Jos ko. lokerossa olevistayksikään pari ei ole keskenään ystäviä, olemme löytäneet ei-ystäväkolmikon. Josjokin pari C, D on muodostuu ystävyksistä, niin olemme löytäneet ystäväkolmikonA, B, C.Tapaus jossa kolme henkilöä kuuluu A:n ei-ystävien lokeroon, käsitellään lähessamoin: jos ko. lokerossa kaikki ovat keskenään ystäviä olemme löytäneet ystäväkolmikon.Jos taas jokin pari C, D muodostuu ei-ystävistä, niin olemme löytäneetei-ystäväkolmikon A, B, C.2.4. Seulaperiaate.Esimerkki 2.26. Yliopistossa on 1543 opiskelijaa, joista 35 pelaa jalkapalloa, 15pelaa koripalloa ja 30 pelaa jääkiekkoa. Edelleen 4 pelaa sekä jalka- että koripalloa, 8sekä jalkapalloa että jääkiekkoa, 7 sekä koripalloa että jääkiekkoa ja 1 pelaa kaikkiakolmea.(1) Kuinka moni pelaa ainakin jotakin?(2) Moniko ei pelaa mitään?Ratkaisu: Seuraava kuva havainnollistaa tilannetta:
<strong>DISKREETTI</strong> <strong>MATEMATIIKKA</strong> 23✬✩AB35✬✩4 1518✫✪730✫✪C(1) Vastaus: 35 + 15 + 30 − 4 − 8 − 7 + 1 = 62(2) Vastaus: 1543 − 62 = 1481Seulaperiaate kahdelle ja kolmelle äärelliselle joukolle:|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|Yleisesti:Lause 2.8. Olkoot A 1 , . . . , A n äärellisiä joukkoja. Silloin|A 1 ∪ · · · ∪ A n | = ∑1≤i≤n|A i | − ∑1≤i