DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA 35Lauseen 2.12 nojalla T (n, k) on yhtälön x 1 + 2x 2 + 3x 3 + · · · + kx k= n einegatiivistenkokonaislukuratkaisujen lukumäärä. Koskaniin(1 + x + x 2 + x 3 + · · · )(1 + x 2 + x 4 + x 6 + · · · ) · · · (1 + x k + x 2k + x 3k + · · · )∞∑ ∞∑ ∞∑∞∑= · · · x i 1+2i 2 +···+ki k= T (n, k)x n = f(x),i 1 =0 i 2 =0i k =0f(x) =n=01(1 − x)(1 − x 2 )(1 − x 3 ) · · · (1 − x k ) .Esimerkki 2.44. Olkoon k ∈ Z + . Lasketaan jonon p(1, k), p(2, k), . . . generoivafunktio g(x), missä p(n, k) on luvun n partitioiden lukumäärä k:hon osaan.Lauseen 2.11 nojalla p(n, k) = 0, jos n < k, ja Lauseen 2.12 nojalla p(n + k, k) =T (n, k), jotenSiispäx −k g(x) = x −k=∞∑n=kp(n, k)x n =∞∑p(n, k)x n−k =n=k∞∑T (n, k)x n = f(x).n=0g(x) = x k f(x) =∞∑p(n + k, k)x nn=0x k(1 − x)(1 − x 2 )(1 − x 3 ) · · · (1 − x k ) .