DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA 29{4, 5}. Näin saadaan bijektiivinen vastaavuus surjektioiden f : A → B ja kysyttyjenmerkkijonojen välille. Siispä ko. merkkijonoja on 3!S(6, 3) = 6 · 90 = 540.Esimerkki 2.35. Myyntipäälliköllä on sihteeri (henkilö x) sekä kolme muuta alaista(henkilöt y, z, v) jotka toimivat laskutuksessa. Monellako tavalla myyntipäällikkö voijakaa seitsemän laskua alaistensa käsiteltäviksi, jos jokaiselle on tultava ainakin yksilasku ja sihteerille kaikkein kiirellisin lasku?Ratkaisu: Olkoot A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ja B = {x, y, z, v}. Laskettavana on siisehdon f(1) = x täyttävien surjektioiden f : A → B lukumäärä.Olkoon A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 jokin A:n 4-partitio. Nyt 1 kuuluu esim. A 1 :een,joten f(A 1 ) = x. Siispä tätä partitiota kohti saadaan 3! ehdon f(1) = x täyttävääsurjektiota ja näin ollen ehdon f(1) = x täyttävien surjektioiden lukumäärä on3!S(7, 4) = 6 · 350 = 2100.2.5.2. Luvun partitio. Tarkastellaan seuraavaksi luonnollisen luvun n partitiota k:honosaan ts. etsimme sellaisia positiivisia kokonaislukuja n 1 , . . . , n k , että n = n 1 + n 2 +· · · + n k . Tässä myöskään lukujen n i järjestyksellä ei ole merkitystä.Määritelmä 2.4. Olkoot k, n ∈ Z + . Luvun n k-partitio (tai partitio k:hon osaan)on mikä tahansa ehdot(a) x 1 + x 2 + · · · + x k = n,(b) 1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x k ,täyttävä kokonaislukumonikko (x 1 , x 2 , . . . , x k ). Kaikkien luvun n k-partitioiden lukumääräämerkitään symbolilla p(n, k).Esimerkki 2.36. Luvun 8 partitiot neljään osaan:1 + 1 + 1 + 51 + 1 + 2 + 41 + 1 + 3 + 31 + 2 + 2 + 32 + 2 + 2 + 2Täten p(8, 4) = 5.Lemma 2.3. Olkoot k, n ∈ Z + . Sillon p(n, k) on yhtälöny 1 + 2y 2 + 3y 3 + · · · + ky k = n