(un) la suite définie pour tout entier naturel par

Devoir maison
Exercice 1
u
0 1000
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel par :
.
u
n1
0,
9u
n 90
1°/ Calculer u1 et u2.
2°/ On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn u n 900 .
a) Calculer les deux premiers termes de la suite.
b) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont vous déterminerez la raison.
c) Exprimer vn en fonction de n.
d) En déduire l’expression de un en fonction de n.
3°/ A l’aide de la calculatrice déterminer la valeur vers laquelle se rapproche un lorsque n tend vers +.
4°/ Ecrire un algorithme en langage naturel qui permet d’afficher le plus petit entier n tels que u n 901.
Exercice 2
Partie A.
Une urne contient 3 boules blanches, 5 boules noires et 4 boules rouges, toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur et on la remet dans l’urne. On effectue cette
expérience deux fois de suite. On note Bi, Ni et Ri les événements : « obtenir une boule blanche ou noire
ou rouge au i-ième tirage »avec i=1 ou 2.
1°/ a) Pourquoi peut-on affirmer que l’on ait dans une situation d’équiprobabilité ?
b) Donner les probabilités des événements B1, N1 et R1.
c) Que peut-on dire de l’événement B1 N1
R1
?
d) Justifier que les événements B1, N1 et R1 sont deux à deux incompatibles.
2°/ Représenter un arbre pondéré correspondant à cette expérience.
3°/ Déterminer la probabilité de tirer deux boules blanches lors de cette expérience puis la probabilité de
tirer une boule blanche et une boule rouge.
4°/ Utiliser l’arbre pour déterminer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur. En déduire la
probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
Partie B.
On décide de réaliser N tirages successifs avec remise d’une boule de cette urne. On note X la variable
aléatoire représentant le nombre de fois où l’on tire une boule blanche de l’urne.
1°/ Montrer que l’expérience satisfait aux conditions d’un schéma de Bernoulli.
2°/ Quelle est alors la loi suivie par X et donner ses paramètres.
3°/ Dans cette question on suppose que N = 200.
Variables S, P, R des réels
L’algorithme ci-contre permet de déterminer la plus
N, J des entiers naturels
petite valeur de k telle que P( X k)
S
Début
a) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice. Saisir N, P S
b) A l’aide de celui-ci, déterminer, pour un seuil de 0,95,
0J
l’intervalle de fluctuation correspondant à la loi suivie
(1-P)
par la variable X.
c) Comparer le résultat précédent avec l’intervalle de
fluctuation donné en seconde en rappelant les conditions
d’utilisation de ce dernier.
d) Déterminer E(X) et interprétez le résultat obtenu.
e) Marc affirme que lors de 200 tirages il a obtenu une
8
fréquence d’obtention d’une boule blanche égale à .
25
Son amie Céline lui dit alors « tu as du tricher ! ». Pensez-vous qu’elle a raison ? Pourquoi ?
N R
Répète
J+1J
Combinaison(N,J)*P J *(1-P) N-J +RR
Tant que R

Exercice 3
Partie A : restitution organisée des connaissances
On suppose connu les résultats suivants :
(1) Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction produit (uv) est dérivable
sur I et on a : ( x)
u'(
x)
v(
x)
u(
x)
v'(
x)
uv '
1
(2) Si v est une fonction dérivable sur un intervalle I ne s’annulant pas sur I, alors la fonction est
v
'
dérivable sur I et on a :
2 1 v'(
x)
( x)
.
v v(
x)
Démontrer que si u et v sont deux fonctions dérivables sur I et si v ne s’annule pas sur I alors le quotient
u
u u'(
x)
v(
x)
u(
x)
v'(
x)
est dérivable sur I et x I
on a : ( x)
.
v
v
v(
x)
'
2
Partie B
3
x 2
Soit f la fonction définie sur I 1;
par f ( x)
.
x 1
1°/ Justifier que f est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
3 2
2°/ Soit g la fonction définie sur I par g(
x)
2x
3x
2.
a) Montrer que g est dérivable sur I et calculer g’(x).
b) Etudier le signe de g’ sur I et en déduire les variation de g sur I.
c) En déduire le signe de la fonction g sur I en justifiant clairement celui-ci.
3°/ Déterminer alors le signe de f’ et donner le tableau de variations de f.