TD 3 - La Mécanique à l'Université de Caen

Université de Caen UFR des Sciences 1
Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1)
Transferts de chaleur et de masse
TD3 - Convection Thermique II 1
Exercice III.1 : Dans les piles à combustible, il est préférable de maintenir la surface de
membrane électrolyte à une température uniforme. Cela est particulièrement vraie quand
les membranes sont fabriqués de matériaux à base de céramique fragile ou cassant pour
des piles fonctionnant à haute température. Les membranes électrolytes génèrent d’énergie
thermique (due aux réactions électrochimiques) et sont refroidis par des courants de gaz sur
leurs surface supérieures (notée 1) et inférieure (notée 2). Le concepteur de pile pourrait
définir les écoulements sur les deux surfaces dans la même direction, dans des directions
opposées ou dans des directions orthogonales. Dans une étude préliminaire de l’effet des
directions relatives de l’écoulement on considère une plaque très mince (150 mm×150 mm,
de même matériau de membrane) et produisant un flux thermique uniforme de 100 W/m 2 ,
refroidie (aux surfaces 1 et 2) par l’air ( dont la température et vitesse de courant libre
sont respectivement 25 ◦ C et 2 m/s).
(a). Déterminer les valeurs locales minimale et maximale de la température de membrane
pour les écoulements sur les deux faces, quand ils sont (i) dans la même direction, (ii)
dans les direction opposées et (iii) avec des directions orthogonales. Quelle configura-
tion de l’écoulement conduit à la valeur minimale de la température de membrane ?
Indication : Pour les cas d’écoulement opposés ou orthogonales, les couches limites
sont soumises aux conditions qui ne reflètent ni une température uniforme ni un flux
thermique uniforme. Néanmoins, il est raisonnable d’anticiper que les températures
conséquentes seraient dans l’intervalle de vos réponses basées sur des conditions aux
limites de constant flux thermique et constantes températures.
(b). Tracer la distribution de température de la surface T (x) pour des cas d’écoulements
dans des directions opposées et dans la même direction. Notez que les contraintes
thermiques sont indésirables et sont reliées aux gradients spatiales de température le
long de membrane. Quelle est la configuration qui minimiserait les gradients spatiales
de températures ?
1 Ces exercices sont tirés de Chapitre 7 du livre :
Incropera, Dewitt, Bergman, Lavine, Fundamentals of heat and Mass Transfer, Wiley
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Exercice III.2 : Dans le processus de production de tôle (en métal ou plastique), il
s’avère nécessaire de refroidir le matériau avant le stockage ou l’expédition pour le client.
Typiquement, le processus est continu et se présente sous la forme d’une tôle d’épaisseur δ
et de largeur b refroidie lors de son transit à la vitesse −V −→ x sur la distance L entre deux
rouleaux (comme montré sur la figure). Dans ce problème on considère le refroidissement
d’un alliage d’aluminium (2024-T) par un courant d’air à la vitesse U∞ −→ x sur la surface
supérieure de tôle. Un arrangement standard est utilisé pour déclencher une couche limite
turbulente sur toute la surface.
Ti
b
δ
L
Alliage
−V −→ x
d’Aluminium
x, −→ x
V
To
Air
U∞ −→ x ,
T∞
Promoteur,
déclencheur
de turbulence
(a) Trouver une équation différentielle régissant la distribution de température en appli-
quant le principe de conservation d’énergie à un volume de contrôle différentiel de
longueur dx, qui est soit en mouvement avec le tôle, ou soit stationnaire à travers
lequel le tôle passe. Compte tenu de la faiblesse d’emissivité de l’aluminium on peut
négliger les effets de rayonnement. Exprimer votre résultat en fonction de la vitesse,
l’épaisseur, et les propriétés de tôle (V, δ, ρ, cp), le coefficient local de transfert ther-
mique hx associé avec l’écoulement à contre courant, et la température d’air T∞.
Déterminer la température To pour une température de tôle (Ti) connue au départ de
processus de refroidissement, on suppose l’effet de la vitesse de tôle est négligeable
par rapport au développement de la couche limite.
(b) Déterminer la température To à la “sortie” du processus de refroidissement pour
δ = 2 mm, V = 0, 01 m/s, L = 5 m, b = 1 m, U∞ = 20 m/s, T∞ = 20 ◦ C, et
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Ti = 300 ◦ C. On se donne aussi pour l’alliage d’aluminium à T ≈ 500 K :
ρ = 2770 kg/m 3 , cp = 981 J/kg. K, λ = 186 W/m.K.
Exercice III.3 : On considère un élément de chauffage électrique sous la forme d’un
long cylindre (de diamètre D = 10 mm, conductivité thermique λ = 240 W/m.K, densité
ρ = 2700 kg/m 3 , et de chaleur spécifique cp = 900 J/kg.K) installé dans un conduit et
soumis à un écoulement croisé où la température et vitesse de l’air sont respectivement
27 ◦ C et 10 m/s.
1. Dans cette partie les effets de rayonnement sont supposés négligeables.
(a) Estimer la température de surface à l’état staionnaire qunad l’élément dissipe
1000 W/m.
(b) Si l’élément est mis en fonctionnement à une température initiale de 27 ◦ C,
estimer le temps nécssaire pour que la température de surface atteint une valeur
10 ◦ C près de la température de surface à l’état staionnaire.
2. Dans cette partie on prend en compte l’effet de rayonnement. On suppose que
l’échange thermique par rayonnement a lieu entre la surface de l’élément (emissivité
ε = 0, 8) et les parois du conduit dont la température peut être supposée égale à
27 ◦ C.
(a) Calculer la température de la surface à l’état stationnaire.
(b) Si l’élément est mis en fonctionnement à une température initiale de 27 ◦ C,
estimer le temps nécessaire pour que la température de surface atteint une valeur
10 ◦ C près de la température de surface à l’état stationnaire.
(c) Afin de se protéger contre l’effet indésirable produits par des fluctuations de
ventilateur, l’élément est mis sous contrôle pour le maintenir à une constante
température de surface de 275 ◦ C. Déterminer la dissipation nécessaire pour
maintenir cette tempéraure quand la vitesse du courant d’air est dans fourchette
5 ≤ V ≤ 10 m/s.
Exercice III.4 : On fabrique quotidiennement un billion ou plus des billes à souder
utilisées pour l’assemblage des composantes électroniques. La méthode à aérosol uniforme
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de gouttelette utilise un dispositif piézoélectrique pour faire vibrer un manche dans un
pot contenant du métal liquide à souder. Celui-ci, à son tour, sert à éjecter des petites
gouttelettes de liquide à souder via un ajutage fabriqué à haute précision. En suite et lors de
leur passage dans une chambre (servant à leur ramassage), les gouttelettes se refroidissent et
se solidifient. Pour prévenir l’oxydation de gouttelettes la chambre est inondée par l’azote.
Ajutage
Azote
Chambre
à recueillir
les billes
Volume
du pot
Métal liquide
à souder
Oscillateur
piézoélectrique
Dp = 30 µm
V, T∞ = 30 ◦ C
(a) Des gouttelettes de diamètre D = 30 µm sont produites et éjectées à une vitesse de
2 m/s et une température de 225 ◦ C dans l’azote gazeux, la température de l’azote
étant 30 ◦ C et sa pression légèrement plus grande que la pression atmosphérique.
Déterminer la vitesse terminale de gouttelettes et la distance parcourue quand elles
devienne complètement solidifiées.
Les propriétés de métal liquide à souder sont ρ = 8230 kg/m 3 , c = 240 J/kg. K,
λ = 38 W/m.K, hsf = 42 kJ/kg. La température de fusion de soudure est 183 ◦ C.
(b) Le dispositif piézoélectrique oscille à 1,8 kHz et produit 1800 particules par second.
Déterminer la distance de séparation entre les particules lors de leur passages dans
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l’azote. Déterminer aussi le volume du pot nécessaire pour une production sur une
semaine.
On se donne les propriétés suivantes pour l’Azote à Tf ≈ (Ti+T∞)/2 = (225 ◦ C+30 ◦ C)/2 =
127, 5 ◦ C ≈ 400 K :
ρ = 0, 8425 kg/m 3 , ν = 26, 16 × 10 −6 m 2 /s,
à T s = (225 ◦ C + 183 ◦ C)/2 = 205 ◦ C = 477 K:
et à T∞ = 30 ◦ C = 303 K :
µs = 248 × 10 −7 N.s/m 2 ,
ρ = 1, 1233 kg/m 3 , ν = 15, 86 × 10 −6 m 2 /s, λ = 0, 0259 W/m.K,
µ = 178 × 10 −7 N.s/m 2 , P r = 0, 716.
Exercice III.5 : Un procédure de préchauffage emploi la vapeur en phase de condensa-
tion à 100 ◦ C à l’intérieur d’un système à des tubes multiples afin de chauffer l’air qui entre à
la température de 25 ◦ C. L’air est en écoulement croisé sur les tubes et à la vitesse 5 m/s. La
longueur de chaque tube est L = 1 m et son diamètre extérieur est D = 10 mm. Le système
consiste de 196 tubes assemblées en carré de configuration aligné avec ST = SL = 15 mm.
Déterminer le flux total évacué vers l’air et calculer la perte de charge de pression associée
avec l’écoulement de l’air.
Exercice III.6 : On reprend l’exercice précédent, mais avec l’air entrant à T = 25 ◦ C
et V = 5 m/s. Dans ce cas, on connaît la température à la sortie. On ne connaît pas le
nombre de tubes. Déterminer NL nécessaire pour arriver à une température de sortie de
To ≥ 75 ◦ C. Calculer aussi la perte de charge correspondant.
Exercice III.7 : L’air sèche s’écoule sur une plaque mouillée de longueur 500 mm et
largeur 150 mm, la vitesses et la température de l’air étant respectivement 20 m/s et 35 ◦ C.
La température de la plaque est maintenue à 20 ◦ C par un chauffage électrique imbriquée
dans la plaque.
(a) Déterminer le débit d’évaporation (kg/h) de l’eau de la surface de plaque ainsi que la
puissance électrique nécessaire pour maintenir les conditions d’un état stationnaire.
(b) Après un fonctionnement à temps suffisamment long, toute l’eau est évaporée de la
plaque dont la surface devient sèche. Estimer la température de la plaque pour les
mêmes conditions de courant libre et même puissance électrique de question (a).
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