TD 7 - La Mécanique à l'Université de Caen

Université de Caen UFR des Sciences 1
Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1)
Transferts de chaleur et de masse
TD7 - Rayonnement 1
Exercice VII.1 : Le rayonnement solaire incident sur la terre peut se diviser en deux
composantes suivant la distribution directionnelle. Une composante directe, qui consiste de
rayons parallèles incidents à un angle azimutale fixe γ, et une composante diffuse qui consiste
de rayonnement à distribution diffuse avec un angle γ.
On considère des conditions d’un ciel
découvert où le rayonnement directe est inci-
dent à γ = 30 ◦ , avec un flux total (basé sur
une surface orthogonale aux rayons solaires)
de ϕdir = 1000 W/m 2 ; l’intensité totale de
l’irradiation (ou de l’éclairement) diffuse est
Idiff = 70 W/m 2 .sr.
Directe
Déterminer l’éclairement solaire total à la surface de terre.
ϕdir
−→ n
Idiff
Diffuses
Exercice VII.2 : Pour initialiser l’operation d’un processus industriel, on utilise un cap-
teur de rayonnement infrarouge pour détecter l’approche d’une chaude pièce sur un système
de courroie de transmission. Pour étalonner l’amplificateur de signale du capteur, l’ingénieur
en charge se trouve en besoin d’une relation entre le signale de réponse du senseur, S, et
la position de pièce sur la courroie. Le signale du senseur est proportionnel à l’irradiation
incidente sur le senseur.
Ld = 1 m
Senseur (capteur)
de mouvement, S
00000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111
Courroie
O
de transmission
Pièce chaude
x1
x
(a) Si Ld = 1 m, à quelle position x1 le
signale serait-il à 75% du signale cor-
respondant à la position directement au
dessous du senseur, S0(x = 0) ?
(b) Tracer le rapport de signales S/S0 en
fonction de la position x dans l’intervalle
0, 2 ≤ S/S0 ≤ 1, 0 pour les valeurs
Ld = 0, 8, 1, 0 et 1, 2 m. Comparer la
position des x quand S/S0 = 0, 75.
Exercice VII.3 : L’œil de l’homme ainsi qu’un constituant chimique (sensible aux
1 Ces exercices sont tirés du livre :
Incropera, Dewitt, Bergman, Lavine, Fundamentals of heat and Mass Transfer, Wiley
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couleurs) intégré au film photographique, réagissent différemment aux différentes distribu-
tions spectrales. L’éclairage en lumière du jour correspond à la distribution spectrale du
disque solaire, qui peut être traité comme un corps noir à 5800 K. L’éclairage incandescent
d’une lampe correspond approximativement à la distribution spectrale d’un corps noir à
2900 K.
1. Calculer la bande d’émission correspondant à la région visible, du 0, 47 mµ (bleu) au
0, 65 mµ (rouge), pour chaque source d’éclairage.
2. Calculer la longueur d’onde correspondant à l’intensité spectrale maximale pour chaque
source. Commenter les résultats du calcul du point du vu d’interprétation de vraie
couleurs sous des conditions différentes de l’éclairage.
Exercice VII.4 : Un élément de chauffage
électrique, de forme annulaire, et maintenue à
une tempéraure Tc = 3000 K, est utilisé dans
un processus de fabrication pour chauffer une
petite pièce de surface Ap = 0, 007 m 2 . La
surface de l’élément peur être traitée en tant
que surface noir.
Déterminer le flux d’énergie radiative émis par
l’élément et incident sur la pièce pour γ1 =
30 ◦ , γ2 = 60 ◦ , L = 3 m, et b = 30 mm.
Chauffage
radiatif, Tc
Exercice VII.5 : Les distributions spectrales de Wein et Rayleigh–Jeans sont des approx-
imations de la loi de Plank pour la puissance d’émission spectrale, utilisées pour les limites
extrêmes à basse et haute valeurs de produit λT , respectivement.
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L
γ1
γ2
γ1
Ap
b

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(a) Montrer que la distribution spectrale de Plank se réduit à
En,λ(λ, T ) ≈ C1π
exp −
λ5 C2
λT
quand C2/λ ≫ 1 et déterminer l’erreur, en comparaison avec la loi de Plank, pour la
condition λT = 2898 µm.K. On appelle cette forme la loi de Wein.
(b) Montrer que la distribution de Plank se réduit à
En,λ(λ, T ) ≈ C1π
quand C2/λ ≪ 1 et déterminer l’erreur conséquente en comparaison avec la loi de
Plank, pour la condition λT = 10 5 µm.K. On appelle cette forme la loi de Rayleigh–
Jeans.
Exercice VII.6 : Un dispositif réagissant au flux radiatif dans un intervalle spec-
trale prescrit, constitue un thermomètre de rayonnement qui est étalonné pour indiquer
la température du corps noir produisant le même flux.
(a) Quand exposé à un fourneau à température élevée Ts et à émissivité inférieure à l’unité,
(b)
le thermomètre indique une température apparente dite la température de luminosité
ou de radiance spectrale, Tλ. Est-ce Tλ plus grande que, inférieure à, ou égale à Ts ?
Écrire une expression pour la puissance d’émission spectrale pour la surface en fonction
de la distribution spectrale de Wein (voir l’exercice précèdent) et l’émissivité spectrale
de surface.
C2
Écrire l’expression équivalente qui utilise la température de radiance spec-
trale de surface et montrer que
1
Ts
T
λ 4
= 1
+
Tλ
λ
ln ελ
C2
où λ représente la longueur d’onde à laquelle le thermomètre fonction.
(c) On considère un thermomètre de rayonnement qui réagit au flux spectrale centré au-
toure la longueur d’onde 0, 67 µm. Que sera la température indiquée par le ther-
momètre quand il est exposé à un fourneau avec ελ = 0, 9 (à λ = 0, 65 µm) et
Ts = 1000 K ? Vérifier que dans ce cas, la distribution spectrale de Wein fournit
une approximation raisonnable pour la loi de Plank.
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Exercice VII.7 : On considère un petit
disque (5 mm en diamère) placé au centre d’un
enclos hémisphérique et isotherme. Le disque
qui est diffuse, gris et d’émissivité 0, 7, est
maintenue à 900 K. L’enclos hémisphérique, de
rayon 100 mm et d’émissivité 0, 85, est main-
tenue à 300 K.
Déterminer la puissance radiative quittant une
ouverture, de diamètre 2 mm, située sur la sur-
face de l’enclos comme montré ci-contre.
R = 100 mm
a
Disque
Ouverture
Un enclos
hémisphérique
Exercice VII.8 : Le 50-mm œilleton d’un grand fourneau s’opérant à 450 ◦ C est cou-
vert par un matériau de transmissivité τ = 0, 8 et réflectivité ρ = 0 pour l’irradiation
(éclairement) provenant du fourneau. Le matériau est d’émissivité 0, 8 et est opaque à
l’irradiation provenant d’une source à la température ambiante. La surface extérieure de
la couverture est exposée à l’environnement et à l’air ambiant à 27 ◦ C avec un coefficient
de transfert thermique par convection de 50 W/m 2 .K. En supposant que le transfert par
convection est négligeable à l’intérieur du fourneau, calculer la déperdition de chaleur par le
fourneau et la température de couverture de l’œilleton.
Exercice VII.9 : La plaque absorbant (“absorber” la lumière) d’un collecteur solaire peut
être induite par un matériau opaque pour laquelle l’absorptivité spectrale et directionnelle
est caractérisée par des relations
αλ,γ(λ, γ) = α1 cos γ λ < λc
αλ,γ(λ, γ) = α2 λ > λc
L’angle azimutale γ est formé par le rayonnement solaire et le normale à la plaque; α1 et α2
sont des constantes.
(a) Obtenir une expression pour l’absorptivité hémisphérique totale, αs, de la plaque au
rayonnement solaire incident à γ = 45 ◦ C. Évaluer αs pour α1 = 0, 93, α2 = 0, 25,
et une valeur d’extinction ou de coupure d’onde, dite “cut-off” 2 de longueur d’onde
λc = 2 µm.
2 il s’agit de seuil au-delà duquel les valeurs de longueur d’onde supérieures ne sont pas prises en compte
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(b) Obtenir une expression pour l’émissivité hémisphérique totale ε de la plaque. Évaluer
ε pour une plaque à Tp = 60 ◦ C avec les valeur prescrites de α1, α2 et λc.
(c) Étant donnée un flux solaire de ϕs = 1000 W/m 2 incident à γ = 45 ◦ et les valeur
prescrites de α1, α2, λc, et Tp, calculer le flux net radiatif ϕnet arrivant à la plaque.
(d) En utilisant les conditions prescrites, explorer l’effet de λc sur αs, ε et ϕnet pour une
longueur d’onde dans l’intervalle O, 7 ≤ λc ≤ 0, 5.
Exercice VII.10 : Un fourneau solaire consiste d’une chambre à vide avec des fenêtres
transparentes, à travers desquelles le rayonnement solaire passe. La focalisation du rayon-
nement peut être accomplie en plaçant le fourneau au point focal (point de convergence)
d’un grand réflecteur courbé qui suit la trajectoire du rayonnement du soleil directement
y incident. Le fourneau peut être utiliser pour évaluer le comportement de matériaux à
températures assez élevées. Un ingénieur d’étude est chargé de monter une expérience
destinée à estimer la durabilité d’un induit diffuse, et spectralement sélectif pour lequel
αλ = 0.95 dans l’intervalle λ ≤ 4, 5 µm et αλ = 0, 03 pour λ > 4, 5 µm. L’induit est appliqué
à une plaque suspendue dans le fourneau.
Fenêtre transparente
Vide
Plaque, T
Ecs Ecs
Direct
rayonnement solaire
Réflecteur à
concentrer le
rayonnement
(a) Déterminer l’éclairement Ecs à fournir pour que l’expérience s’opère à T = 1000 K en
régime permanent. On admet que le rayonnement est uniformément distribué sur la
surface de la plaque, et que tout rayonnement incident d’autre source est négligeable.
(b) L’irradiation solaire peut être réglée pour permettre d’opérer sur l’intervalle de
température de la plaque. Calculer et tracer Ecs en fonction de température pour
500 ≤ T ≤ 3000 K. Tracer les valeurs correspondante de ε et α en fonction de T , sur
le même intervalle.
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