L'équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement ...

Université se Caen-Basse NormandieUFR des Sciences2009 - 2010Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1)Dynamique des Fluides réels : Td1 - RappelÉquation intégrale de la conservation de quantité de mouvement,Équation de Bernoulli, Équation d’énergie et Perte de chargeL’équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement(S)(V )dS−→ n−→ v• (V ) : volume de contrôlefixe• ρ −→ v dV : quantité de mouvement d’un élément du volumedV• (S) : surface de contrôle• −→ n : vecteur normalextérieur à S• −→ v : vitesse du fluide• −→ −→ σ : tenseur de contraintes.(V )} {{ }taux de varitaion de laquantité de mouvement(S)• −ρ −→ v ( −→ v · −→ n )dS : force exercée par un flux massiqueρ( −→ v · −→ n )dS entrant le volume de contrôle à travers dS• −→ σ = −→ −→ σ · −→ n : Force surfacique s’exerçant sur un élémentde surface dS• ρ −→ f dV : force à distantce s’exerçant sur un élément devolumeLe principe fondamental de la dynamique appliqué à V :∫∫∫Dρ −→ ∫∫v dV = − ρ −→ v ( −→ v · −→ ∫∫∫n )dS + ρ −→ f dVDt} {{ }force engendrée parle flux dela quantité de mouvement(V )} {{ }force du volume∫∫+(S)−→−→ σ · −→ n dS} {{ }force de surfaceD’où on tire∫∫∫DDt(V )ρ −→ ∫∫v dV +(S)ρ −→ v ( −→ n · −→ ∫∫∫v )dS =(V )ρ −→ ∫∫f dV +(S)−→ σ dS1

Équation de BernoulliPour un écoulement permanent et incompressible l’équation de Bernoulli affirme que la quantitéreste constante le long d’une ligne de courant.12 v 2 + gz + p ρ = Cte. = CPerte de chargeIl est commode et utile d’appeler la constante au deuxième membre charge; elle s’exprime sous laforme d’une hauteur de la colonne du liquide :h = C g . (1)Alors que l’équation de Bernoulli a été démontrée pour un fluide parfait, les fluides réels sontvisqueux et l’écoulements non uniformes. Par conséquent, pour l’écoulement dans une conduiteon utilise la vitesse moyenne U calculé à partir de débit volumique Q divisé par la section S :U = Q/S.De plus, dans un écoulement permanent le fluide perd d’énergie pour vaincre les forces defrottement interne (viscosité/turbulence) ce qui conduit à une chute de pression appelée perte decharge. Il est commode d’appeler la perte de charge liée à la longueur, la rugosité de la conduiteet la viscosité, perte de charge ”linéaire” (ou ”linéique”) ou régulière h r . Quand les pertes decharge sont dues aux formes géométriques de canalisation (coude, tés, élargissement ou contractionbrusque, cônes, joints, clapets, passage à travers une grille, vanne, robinet, ...) on parle alors deperte de charge singulière, h s .Lignes de charges : représentation graphiquePour interpréter graphiquement l’équation de Bernoulli on note d’abord que p ∗ = p+ρg représentel’énergie potentielle par unité de volume dans le champs de pesanteur, g, en presence de la pressionp; il s’agit de la charge obtenue au repos. C’est pourquoi on appelle p ∗ /ρg charge piézometriqueou ligne piézometrique en lequel p/(ρg) représente la charge due à la pression et z la chargepotentielle.2

ligne piézometriqueplan de charge; ligne de charge totalev 2 1 /2g v 2 /2gv 2 2/2gp 1 /ρp/ρCanalisationp 2 /ρhligne moyennez 2zz 1plan de référence000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111Figure 1: Représantation graphique de charge d’un écoulement dans une conduite.plane de chargefluide parfaith r + h sfluide réelv 2 1/2gv 2 2 /2gp 1 /ρlignes de courantzv 1z 1 p 2 /ρ v 2z 2x000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111Figure 2: Représantation graphique de charge d’un écoulement à surface libre.3

L’équation de l’énergie−→ n−→vdSSurface de contrôle, S , délimitant le volume de contrôle VFigure 3: Volume de contrôle V C délimité par la surface de contrôle SC.dans Une des conséquences du première principe de la thermodynamique est l’affirmation quepour un système en mouvement, (une masse de fluide) :dQ + dW = dE (2)où dQ est la chaleur reçue par un système thermodynamique, dW le travail effectué sur le système(d’où le signe positif) et dE est le changement de l’énergie totale du système en mouvement, soit∫ ∫E systèm = e dm = e ρ dV (3)systèmeoù e = E/m est l’énergie massique, donnée parsystèmee =12 v2}{{}Énergie cinétique+ }{{} u + gz}{{}Énergie interne Énergie potentielle(4)où u est l’énergie interne du système par unité de masse.Le travail reçu/fait par le système est constitué de travail fait par la force de pression dW p =−pdV et de travail mécanique dW m , où V est le volume du système.La chaleur dQ apportée au fluide est seulement importante dans les écoulements avec transfertthermique.Copmte tenu du fait que le fluide est en mouvement, on écrit :dQdt + dW dt4= dEdt(5)

À partir de cette équation on peut montrer que pour un écoulement dans un tube de courant,˙Q + Ẇm + Ẇp = ∂ ∫(u + gz + 1 ∂t V C 2 v2 )ρdV +∫(u + gz + 1SC 2 v2 )ρ −→ v −→ n dS (6a)∫˙Q + Ẇm − p −→ v · −→ n dS = ∂ ∫(u + gz + 1SC ∂t V C 2 v2 )ρdV +∫(u + gz + 1SC 2 v2 )ρ −→ v −→ n dS (6b)˙Q + Ẇm = ∂ ∫(u + gz + 1 ∂t V C 2 v2 )ρdV +∫(u + gz + p ρ + 1 2 v2 )ρ −→ v · −→ n dS (6c)D’où˙Q + Ẇm = ∂ ∂t∫V CSC(u + gz + 1 2 v2 )ρdV +∫(h + gz + 1 2 v2 )ρ −→ v · −→ n dS (6d)SCoù V C désigne le volume de côntrole délimatant le système (le fluide dans le tube de courant), etSC est la surface de contrôle corréspondant, h = u + p/ρ est l’enthalpie massique du fluide.àSi l’écoulement est permanent et uniforme dans le tube de courant, cette équation se simplifie˙Q + Ẇm = (ρvS) 2(h + gz + 1 2 v2 )où,ici , S représente la section du tube de courant.Or, de l’équation de continuité (ρvS) 1 = (ρvS) 2 = ṁ.2− (ρvS) 1(h + gz + 1 2 v2 )Ainsi, en fonction de valeurs intensives q = ˙Q/ṁ, w m = Ẇm/ṁ, l’équation (7) s’écrit sous laforme (h + gz + 1 2 v2 )1=(h + gz + 1 )2 v221(7)− q − w m (8)Relation entre l’équation de Bernoulli et la conservation d’énergieL’équation (8) peut s’écrire sous la forme( pρ + gz + 1 ) ( p2 v2 =ρ + gz + 1 )2 v212− q + (u 2 − u 1 ) − w m (9)Il est immédiat que cette équation est reliée à l’équation de Bernoulli en l’absence de transfertthermique et de changement d’énergie interne. Le terme en parenthèse au premier membrereprésente la charge disponible ou charge totale dont une partie est dissipée pour vaincre les forcede frottement. C’est pourquoi on appelle cette dernière perte de charge. Notons aussi que 1 ◦ ) les5

forces de frottement conduisent aux pertes d’énergie transformée par la suite en chaleur, 2 ◦ ) pourun écoulement dans une conduite le fluide peut recevoire d’énergie sous la forme de travail fait,par exemple, par une pompe, et 3 ◦ ) le fluide fait de travail sur une turbine. Alors, il est commoded’réécrire (9) sous la forme de sum de charges :( pgρ + z + 1 2v 2 ) ( p=g1gρ + z + 1 2Coefficient de perte de charge, Kv 2 )+ h frottement − h popmpe + h turbine (10)g2En générale et dans la plupart des cas on trouve expérimentalement que les pertes de charge sontproportionnelles au carrée de la vitesse moyenne U et s’expriment sous la forme :h frottement = K U22g . (11)On appelle la constante K coefficient de perte de charge dont la valeur est conditionnée par lagéomètrie de conduite, le régime de l’écouement et la rugosité, ǫ. Représentée sur la figure suivantesont les rélations entre le coefficient de frottement, la rugosité relative ǫ/D (D, le diamètre deconduite) et le régime de l’écoulement dans une conduite circulaire6

ExercicesExercice I : On considère l’écoulement d’eau dans une conduite cylindrique horizontale constituéede :(a) une section cylindrique de diamètre D 0 (section 0)(b) un venturi de diamètre D 1 (section 1)(c) une tuyère convergente de diamètre initial D 2 (section 2) et final D e (section 3) débouchantà un jet (dévié par une vanne orientable de diamètre D e ) dans l’atmosphère. La vanne, quidirige le jet dans une direction α par rapport à l’axe de conduite, est vissée sur la tuyèrequi, elle-même, est vissée sur la conduite.On note le débit volumique dans la conduite Q (supposé donné), la densité de l’eau ρ ; on prendla pression atmosphérique p a comme pression de référence.eα0 1 2Tuyèrevanne• Calculer la pression à l’entrée, au col du venturi et à la section initiale de tuyère, notéesrespectivement p 0 , p 1 et p 2 . (On suppose que le fluide est non visqueux et que l’écoulementest stationnaire).• Déterminer la force F à appliquer sur l’ensemble tuyère-vanne en fonction de α (0 < α < π)pour qu’il reste immobile.Exercice II : On considère un charrette sous la forme d’une citerne maintenue en place par uncâble comme montré ci-contre.8

Le charrette est muni d’une tuyère d’éjection àtravers duquel un jet, de sction s m 2 , est ejecté aumilieu ambient où le débit est généré grace à une ˆpapplique à la surface libre de l’eau dans la citerne.• Déterminer la vitesse de jet et en déduire leCâbleAird mh mdébit volumique, Q.• Déterminer la tension dans la câble.αl mExercice III : Accélération et vitesse de fuséeUne fusée initialement au repos est lancée àl’instant t = 0. On note la vitesse du jet,−→ zéchappant de l’éjecteur, w 0 , le débit massique associéṁ, et la masse totale de fusée à t = 0, m 0 .−→ g = −g−→ zLa fusée se met en mouvement dans la directionverticale −→ z . L’injecteur supersonique est conçu detelle mainère que la pression à la sortie de fusée estégale la pression atmosphérique. On admet que lesforce d’entraînement visqueux soit négligeable.1. Déterminer l’accélération initiale de la fusée.2. Calculer la vitesse en t = t 0On se donne w 0 , ṁ, m 0 et −→ g .dansw 0 , ṁExercice IV : On considère une installation hydraulique, reliée à un très grand réservoir àsurface libre comme schématisé sur la figure . L’installation est constitué des conduites circulaires,une pompe de puissance hydraulique P, et un tube convergeant débouchant à l’air libre. L’eaudu réservoir est pompée afin d’alimenter un jet.Dans ce qui suit on suppose que la perte de charge dû à la viscosité est négligeable.1. Calculer la vitesse du jet, U j , et en déduire le débit volumique Q.2. Calculer la force horizontale nécéssaire pour maintenir l’installation équlibre statique.9

K 2DPompe, PDdLH2DH 0K 1K 0DL 1Figure 4: Données numérique : H 0 = 20 m, H = 30 m, K 0 = 0.4, K 1 = K 2 = 0.8,D = 300 mm, d = 50 mm, P = 65 kW, µ = 1.002 × 10 −3 N s/m 2 , p a = 1.013 × 10 5 N/m 2 ,ρ eau = 1000 kg/m 3 . g = 9.81 m/s 2 .10