L'équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement ...

More documents

Recommendations

Info

L’équation de l’énergie−→ n−→vdSSurface de contrôle, S , délimitant le volume de contrôle VFigure 3: Volume de contrôle V C délimité par la surface de contrôle SC.dans Une des conséquences du première principe de la thermodynamique est l’affirmation quepour un système en mouvement, (une masse de fluide) :dQ + dW = dE (2)où dQ est la chaleur reçue par un système thermodynamique, dW le travail effectué sur le système(d’où le signe positif) et dE est le changement de l’énergie totale du système en mouvement, soit∫ ∫E systèm = e dm = e ρ dV (3)systèmeoù e = E/m est l’énergie massique, donnée parsystèmee =12 v2}{{}Énergie cinétique+ }{{} u + gz}{{}Énergie interne Énergie potentielle(4)où u est l’énergie interne du système par unité de masse.Le travail reçu/fait par le système est constitué de travail fait par la force de pression dW p =−pdV et de travail mécanique dW m , où V est le volume du système.La chaleur dQ apportée au fluide est seulement importante dans les écoulements avec transfertthermique.Copmte tenu du fait que le fluide est en mouvement, on écrit :dQdt + dW dt4= dEdt(5)
À partir de cette équation on peut montrer que pour un écoulement dans un tube de courant,˙Q + Ẇm + Ẇp = ∂ ∫(u + gz + 1 ∂t V C 2 v2 )ρdV +∫(u + gz + 1SC 2 v2 )ρ −→ v −→ n dS (6a)∫˙Q + Ẇm − p −→ v · −→ n dS = ∂ ∫(u + gz + 1SC ∂t V C 2 v2 )ρdV +∫(u + gz + 1SC 2 v2 )ρ −→ v −→ n dS (6b)˙Q + Ẇm = ∂ ∫(u + gz + 1 ∂t V C 2 v2 )ρdV +∫(u + gz + p ρ + 1 2 v2 )ρ −→ v · −→ n dS (6c)D’où˙Q + Ẇm = ∂ ∂t∫V CSC(u + gz + 1 2 v2 )ρdV +∫(h + gz + 1 2 v2 )ρ −→ v · −→ n dS (6d)SCoù V C désigne le volume de côntrole délimatant le système (le fluide dans le tube de courant), etSC est la surface de contrôle corréspondant, h = u + p/ρ est l’enthalpie massique du fluide.àSi l’écoulement est permanent et uniforme dans le tube de courant, cette équation se simplifie˙Q + Ẇm = (ρvS) 2(h + gz + 1 2 v2 )où,ici , S représente la section du tube de courant.Or, de l’équation de continuité (ρvS) 1 = (ρvS) 2 = ṁ.2− (ρvS) 1(h + gz + 1 2 v2 )Ainsi, en fonction de valeurs intensives q = ˙Q/ṁ, w m = Ẇm/ṁ, l’équation (7) s’écrit sous laforme (h + gz + 1 2 v2 )1=(h + gz + 1 )2 v221(7)− q − w m (8)Relation entre l’équation de Bernoulli et la conservation d’énergieL’équation (8) peut s’écrire sous la forme( pρ + gz + 1 ) ( p2 v2 =ρ + gz + 1 )2 v212− q + (u 2 − u 1 ) − w m (9)Il est immédiat que cette équation est reliée à l’équation de Bernoulli en l’absence de transfertthermique et de changement d’énergie interne. Le terme en parenthèse au premier membrereprésente la charge disponible ou charge totale dont une partie est dissipée pour vaincre les forcede frottement. C’est pourquoi on appelle cette dernière perte de charge. Notons aussi que 1 ◦ ) les5
Page 1 and 2: Université se Caen-Basse Normandie
Page 3: ligne piézometriqueplan de charge;
Page 8 and 9: ExercicesExercice I : On considère
Page 10: K 2DPompe, PDdLH2DH 0K 1K 0DL 1Figu

L'équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?