TF, DIRAC, CONVOLUTION, ET TUTTI QUANTI - ESIEE Paris
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4. Échantillonnage Page 21<br />
La transformée de Fourier de cette distribution est Xe(f) :<br />
<br />
+∞<br />
<br />
Xe(f) = X(f) ∗ T F δ (t − nTe)<br />
n=−∞<br />
La formule de Poisson, cf. page 15, permet de montrer que :<br />
<br />
+∞<br />
<br />
T F δ (t − nTe)<br />
n=−∞<br />
= 1<br />
Te<br />
+∞ <br />
n=−∞<br />
δ (f − n<br />
)<br />
ce que l’on formule généralement par « la transformée de Fourier d’un peigne d’impulsions de Dirac est un<br />
peigne d’impulsions de Dirac ».<br />
On a alors<br />
Xe(f) = 1<br />
1<br />
Te<br />
+∞ <br />
Te n=−∞<br />
X(f) ∗ δ<br />
1/Te<br />
t f<br />
<br />
f − n<br />
Te<br />
1/Te<br />
<br />
= 1<br />
Te<br />
+∞ <br />
n=−∞<br />
X<br />
Te<br />
<br />
f − n<br />
La transformée de Fourier de la distribution Xe(t) est donc une distribution Xe(f) périodique, de période 1/Te.<br />
-1/Te<br />
|Xe(f)|<br />
1/Te<br />
Deux cas peuvent se présenter suivant la valeur de Te :<br />
• 1 er cas :<br />
1<br />
Te<br />
≤ 2fmax<br />
On a alors recouvrement de spectre, « aliasing » dans la littérature anglo-saxone, et il est généralement impossible<br />
de recontruire le signal de départ sans erreur :<br />
2/Te<br />
Te<br />
f<br />
<br />
.
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