TF, DIRAC, CONVOLUTION, ET TUTTI QUANTI - ESIEE Paris

1. Rappels et compléments sur la transformée de Fourier Page 7
Exercice 1 : En vous servant des résulats donnés dans l’exemple 2 et de la propriété de linéarité, montrez
que les transformées de FOURIER de
valent respectivement
g1(t) = exp (−a|t|) = exp (−at) u(t) + exp (at) u(−t)
g2(t) = exp (−a|t|) sign(t) = exp (−at) u(t) − exp (at) u(−t)
G1(f) =
G2(f) =
2a
a 2 + (2πf) 2
−j4πf
a 2 + (2πf) 2
Représentez les module et phase de G1(f) et G2(f), et examinez ce que deviennent ces paires de transformées
de FOURIER lorsque a → 0.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1.5
-1.5
-1
-1
-0.5
-0.5
0
0.5
e −|a|x (a = 2)
e −ax u(x) − e ax u(−x) (a = 2)
Propriété 2 Propriété d’échelle.
Lorsque l’on effectue une contraction ou une dilatation temporelle, on a
x(at) ⇀ ↽
0
1
|a| X
f
.
a
Cette propriété se montre directement à partir de la définition de la transformée de FOURIER.
0.5
1
1
1.5
1.5
2
2