TF, DIRAC, CONVOLUTION, ET TUTTI QUANTI - ESIEE Paris

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Page 6 <strong>TF</strong>, Dirac, convolution, et tutti quanti 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -2 -1.5 1.2 Principales propriétés de la transformée de FOURIER Propriété 1 La transformée de FOURIER est une transformation linéaire : si alors, ∀c1, c2 ∈ C, -1 x1(t) ⇀ ↽ X1(f) x2(t) ⇀ ↽ X2(f) c1x1(t) + c2x2(t) ⇀ ↽ c1X1(f) + c2X2(f) e ax (a = 2) -0.5 0
1. Rappels et compléments sur la transformée de Fourier Page 7 Exercice 1 : En vous servant des résulats donnés dans l’exemple 2 et de la propriété de linéarité, montrez que les transformées de FOURIER de valent respectivement g1(t) = exp (−a|t|) = exp (−at) u(t) + exp (at) u(−t) g2(t) = exp (−a|t|) sign(t) = exp (−at) u(t) − exp (at) u(−t) G1(f) = G2(f) = 2a a 2 + (2πf) 2 −j4πf a 2 + (2πf) 2 Représentez les module et phase de G1(f) et G2(f), et examinez ce que deviennent ces paires de transformées de FOURIER lorsque a → 0. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -2 -1.5 -1.5 -1 -1 -0.5 -0.5 0 0.5 e −|a|x (a = 2) e −ax u(x) − e ax u(−x) (a = 2) Propriété 2 Propriété d’échelle. Lorsque l’on effectue une contraction ou une dilatation temporelle, on a x(at) ⇀ ↽ 0 1 |a| X f . a Cette propriété se montre directement à partir de la définition de la transformée de FOURIER. 0.5 1 1 1.5 1.5 2 2
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