optimisation et simulation numérique du chauffage par ... - EPFL

OPTIMISATION ET SIMULATION NUMÉRIQUE
DU CHAUFFAGE PAR INDUCTION POUR LE PROCÉDÉ
DE THIXOFORMAGE
PRÉSENTÉE A LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE
Institut d'analyse et de calcul scientifique
SECTION DE MATHEMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ks SCIENCES TECHNIQUES
PAR
Alexandre MASSEREY
ingénieur physicien dip!6rn6 EPF
de nationalité suisse et originaire de Venthbne (VS)
acceptée sur proposition du jury:
Prof. J. Rappaz, directeur de thèse
Prof. J. R. Mosig, rapporteur
Dr M. Plata, rapporteur
Prof. R. Touzani, rapporteur
Lausanne, EPFL
2003

Résumé
Daiis ce travail, nous iious iritéressons au coritrôle optimal du cliaiiffage par iricluctiori.
Cette prol~lérriatique a été posée par notre partenaire iritlustriel Alcan tlaus
le cadre d'iiri procédé iridustriel de fahricatiori de piéces d'alurniiiiiirri appelé tliixoforrriago.
Au cours de la fabricatiori, ori clinuffe par iritliictiori iirie billet,t,e (t'alliage
rl'aluniiriiurri jusqu'à uri état serrii-solide particulier appel6 état tliixotrope, avant de
I'irijecter, sous pression, tlaris uri moule. La qualit,é de la pièce obteriiie (Iéperi

La rriéttiode airisi développée a été iniplaritée daris uri code de sirriulatioii bidirneri-
sionriel de ctiauffage par iritluctiori déjà existant. Nous présentons des tests riuniériques,
des résultats d'optimisation et une coniparaisori avec des résultats expérirnentaux. Nous
rriorit.roiis airisi l'efficacité de notre niéthode pour le coritrole optimal du ctiauffage par
iri(1iictioii. Nous firiissons notre exposé par la corriparaison de résultat,^ ot~teriiis par
la rriétliode (le l'état adjoirit avec ceux obt,erius par diKéreritiatiori autorriatique. Nous
rriettoris ainsi en évidence les avantages et les iriconvériierits de cette dernière.

Abstract
In t,his work, we are interested iri tlie optimal coritrol of tlie inrluctiori heatiiig pro-
cess. This problerri has beeri posed by our iridustrial partrier Alcari withiri the frarrie-
work of ari iritlustrial process of manufacture of aluniiriiurri parts, called tliixoforrnirig.
Duririg the rriaiiufacture, one Iieats by iriciuctiori an aliirrii~iiiirri alloy billet uritil a par-
ticular serni-solid state, called thixotropic state, before injcctirig it, uritler pressure, iri a
mould. Tlie quality of the part obtairied clepends directly on ttie qiiality of the heatirig.
The billet rriust, have t,he rriost. liorriogerieous possihle t.erriperat,itre corresporidirig to
apprmirriately 50 % of solid fraction to guararitee the coriforrriity of the niouldirig.
Thus, it is very sigriificaiit to be able to optirriize the coritrol pararrieters of the iri-
ductiori heatirig iri order to achieve this goal. Otlier pararrieters can also be takeri irito
accouiit to guararitee ttie qualit,y of tlie heat,irig. The coiitrol variables are the frequency
aiid tlie terisiori (or power) siipplirtl to tlie iritlrictor. More precisely, we seek a power
wliose arriplitude varies in tirrie.
We use riurnerical analysis techniques to solve the optirrial coritrol problern. The
whole proceedirig plienonieria, during the heating, are described by non-liriear partial
derivative equatioris. We work withiii a two-dirrierisiorial frarriework. We use t,wo riiirrierical
rnodels allowirig t,o obtairi the rriaguetic field h arid the entlialpy u iti talie piece.
From physical corisitlerations, we huild ari objective functiori J ctiaracteristic of the
control wliicli orle warits to carry out. By a perturbatioris rriethod, we tlieri seek to calculate
the gradierit of tlie cost fuiictiori followirig the coritrol paranieters. This tecliriiqiie
bririgs 11s to tlie calciilatiori of two associated acljoirit problerris, orle for electrorriagrietisrri,
the other for thermies. These problerns heirig solvetl, it is pomible to evaliiate the
gradierit of the ot>.ject,ive fuiictiori. Tlie value of coiitrol variables, the gratlierit and the
furictiori J are theri trarisrriitted to a descerit algoritlirri based or1 a quasi-Newton wliich
gives us the riew set of paranieters. Theri, we reit,erate iiritil satisfyirig a stop criteriori
deperidirig on tlie required precisioii. Firially, we obtairi the optirrial pararrieters. For
solvirig these prohlenis, we use a corribiriatiori of a firiite diff'ererice nietliotl for the the discretixation arid of a finite elemerits niethoti for the space discretiïiation.
The so developetl rriethod was irriple~rieiited iri a already existiiig two-diiiierisioilal
simulation code for iriductioii heatirig. We preserit riiirrierical tests, optirriixatiori results
and a cornparisori with experirrierital results. We show like this the effectiveriess of
our method for t,tie optimal cont,rol of inductioii Iieating. We firiisli our study t>y the

corriparisori of the results obtairied by th adjoi~it
state nietlrod witlr tliose obtaitieci by
autorrlatic differeritiatiori. Il'tius, we tiighligtit the atlvaritages arid the disadvaritages of
this last one.

Table des matières
Résumé i
Abstract iii
Remerciements v
1 Introduction 1
1.1 Bref historique du chauffage électrorriagnétique . ............. 3
1.2 Ut. ilisation actuelle du cliaiiffage par induction et rnotivatioii ...... 5
1.3 Plaiiiticat. iori (lu tlocurrie~it . ........................ 5
1.4 Quelques résultats de sirriiilatioris ..................... 7
2 Le procédé industriel de thixoformage 9
2.1 Le procédé et ses particularités ...................... 9
2.2 Le procédé daris son ut.ilisat. ion cheï, Alcari ................ 14
2.3 Les problèrries liés a ce type de coulée . .................. 15
2.4 But du préserit travail ........................... 17
3 Modélisation 19
3.1 Description pliysiqiie du problèrne ..................... 20
3.2 Préseritatiori tl'iiri nioclèle de cliauffage par iridiictiori bidiriiensio~inel . . 21
3.3 Modélisation (le 1'Clectrorriagiiétisrrie .................... 22
3.4 Modéli~at~iori de le tlier~niqrie . ...................... 34
3.5 Ecriture du problème couplé ........................ 41
4 Problème de contrôle optimal 45
4.1 Ecriture du problénie de corttrôle ..................... 46
4.2 Dérivation du systèrrie d'optirrialité .................... 52
4.3 Piocédure d'optimisation .......................... 64
4.4 Résolution riuniérique du systèrrie tl'optirrialité .............. 73
5 Mise en oeuvre et tests numériques 75
5.1 Mise eri oeuvre sur ordiiiateur ....................... 75
5.2 Tests numériques .............................. 78
5.3 Conclusioris ................................. 104
vii

...
v111 TABLE DES MATIERES
6 Simulation numériquie d'un probléme industriel 105
6.1 Approxirriatioris