a singular nonlinear eigenvalue problem: bifurcation in non ... - EPFL

A SINGULAR NONLINEAR EIGENVALUE PROBLEM:
BIFURCATION IN NON-DIFFERENTIABLE CASES
PRÉSENTÉE À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE
SECTION DE MATHÉMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
Grégory VUILLAUME
ingénieur mathématicien diplômé EPF
de nationalité suisse et originaire de Grandfontaine (JU)
acceptée sur proposition du jury:
Prof. C.A. Stuart, directeur de thèse
Prof. D. Arcoya, rapporteur
Prof. B. Buffoni, rapporteur
Prof. A. Curnier, rapporteur
Prof. O. John, rapporteur
Lausanne, EPFL
2003

Version abrégée
Dans ce travail, on étudie le flambage d'une colonne effilée. Ce phénomène physique
mène au problème non-linéaire aux valeurs propres suivant (appelé problème P):
{A(s)u'(s))'+psinu(s) = O pour tout s E (0'1)'
où A(s) E C([0,1]) est une fonction continue sur [0,1] telle que A(s) > O pour tout s > O
et lim,,o A(s)/sp = L pour des constantes p 2 O et L E (0,m). On étudie l'ensemble
des solutions de ce problème et, plus particulièrement, on recherche
-
les points p E IR+
tels qu'une bifurcation se produit en (p,O).
Stuart a montré (voir [18]) qu'il existe un nombre A(A) 2 O tel que, pour O 5 p <
A(A), le problème P admet uniquement la solution triviale u O et que celle-ci minimise
l'énergie dans l'espace de Hilbert (que l'on note HA) de toutes les configurations admissibles.
Pour p > A(A), il existe une solution non-triviale du problème P qui minimise
l'énergie. De plus, A(A) > O pour p E [0,2], tandis que A(A) = O pour p > 2.
Pour O < p < 3, le problème P peut s'écrire sous la forme F(p,u) = O, où F :
IR+ x HA -+ HA est un opérateur de la forme F(p,u) = u - pGA(u) et G,q : HA + HA
est un opérateur complètement continu.
Si O < p < 2, l'opérateur F est différentiable au sens
-
de Fréchet et, en utilisant
des outils standards tels que le théorème de Crandall-Rabinowitz sur la bifurcation des
valeurs propres simples et le théorème de Rabinowitz concernant la bifurcation globale,
Stuart a prouvé qu'une bifurcation globale de la solution u O se produisait uniquement
en l'ensemble discret des valeurs propres {pz1 : i E IV)' où pl = A(A), p,i < pi+l pour
tout i E W et limi,, pi = m. De plus, ces valeurs propres sont fortement liées au
spectre de la linéarisation (au sens de Fréchet) de GA.
Pour p = 2, F n'est plus
-
différentiable au sens de Fréchet, mais seulement différentiable
au sens de Gâteaux. Ainsi, les outils standards comme ceux mentionnés ci-dessus ne
s'appliquent plus. Toutefois, Stuart a montré l'existence d'un nombre &(A) E [A(A),m)
tel qu'une bifurcation de u O se produit en chaque valeur p E [A,(A),oc~).
Une grande partie de ce travail est consacrée au cas p = 2, où l'on suppose que
A(A) < A,(A). Dans ce cas, il existe des valeurs propres {p;' : i E I IV) liées
au spectre de la linéarisation (mais maintenant au sens de Gâteaux) de GA telles
-
que
A(A) = pl, pi < pi+l et A(A) 5 pi < A,(A) pour tout i E I. On démontre qu'une
bifurcation (locale) de la solution triviale se produit en pi pour tout i E I. De plus, sous
une hypothèse additionnelle sur A(s), on montre également qu'une bifurcaiion de u O

ne peut pas se produire en p E [O,A,(A)) si p # pi pour tout i E I (ceci n'est pas un
résultat standard car F n'est pas différentiable
-
au sens de Fréchet) et qu'une bifurcation
globale (et pas seulement locale) de la solution triviale se produit en pi pour tout i E 1.
Dans une autre partie de ce travail, on traîte le cas 2 < p < 3. Dans ce cas, A(A) = O
et on prouve qu'une bifurcation de u O se produit en chaque p > 0.

Abstract
This work is concerned with the study of the buckling of a tapered rod. .This physical
phenomenon leads to the following nonlinear eigenvalue problem called problem P:
{A(s)ul(s))' + p sin u(s) = O for al1 s E (O, 1) ,
~(1) = lim A(s)ul(s) = O
1
s-io
1
and A(s)u'(s)~~s < ml
where ~(s) E C([O, 11) is such that A(s) > O for al1 s > O and lim,,,, A(s)/sP = L for
some constants p 2 O and L E (O, CO). We study the set of al1 solutions of this problem
and, in particular, find the points p E IR+ such that bifurcation occurs at (p, 0).
Stuart proved in [18] that there is a number A(A) 2 O such that, for O 5 p 5 A(A),
the only solution of problem P is the trivial solution u = O and it minimizes the energy
in the Hilbert space of al1 admissible configurations denoted by HA. For p :> A(A), there
exists a nontrivial solution of problem P minimizing the energy. Moreover, A(A) > O
for p E [O, 21 whereas A(A) = O for p > 2.
For O 5 p < 3, problem P can be written in the form F(p, u) = O, where F :
I$. x HA -+ HA is such that F(p, U) = u - pGA(u) and GA : HA -+ HA is a completely
continuous operator.
If O 5 p < 2, the operator F is Fréchet differentiable and, using standard tools
like the theorem of Crandall-Rabinowitz concerning bifurcation from simple eigenvalues
and the theorem of Rabinowitz concerning global bifurcation, Stuart was able to prove
that global bifurcation from the trivial solution u r O occurs only at a d.iscrete set of
eigenvalues {p~'
: i E IT), where pl = A(A), pi < pi+l for al1 i E IV, and. limi+oo pi =
CO. Moreover, these eigenvalues are strongly related to the spectrum of the linearization
(in the sense of Fréchet) of GA.
For p = 2, F is not Fréchet differentiable anymore, but only Gâteaux differentiable.
Then, standard results like the ones mentioned above do not apply. However, Stuart
was able to show that there is a number &(A) E [A(A), CO) such that bifurcation from
u = O occurs at every value p E [&(A), CO).
A big part of Our work is devoted to the case p = 2, where it is assumed that
A(A) < A,(A). In this case, there exist eigenvalues {,UT' : i E I C N*) related to
the spectrum of the linearization (but now in the sense of Gâteaux) of GA such that
A(A) = pl, pi < pi+l and A(A) 5 pi < &(A) for al1 i E I. We prove that (local)
bifurcation from the trivial solution occurs at pi for al1 i E I. Moreoier, under an
additional assumption on A(s), we also prove that bifurcation from u rz O does not
occur at p E [O, &(A)) if p # pi for al1 i E I (this is not a standard result since F is not

Fréchet differentiable) and that global (and not only local) bifurcation frorn the trivial
solution occurs at pi for al1 i E I.
In another part of this work, the case 2 < p < 3 is discussed. In this case, A(A) = O
and we prove that bifurcation from u r O occurs at every p 2 0.

TABLE OF CONTENTS vii
Table of Contents
Version abrégée i
Abstract iii
Acknowledgment s v
List of figures ix
1 Introduction 1
1.1 Origin of the problem ............................. 1
1.2 Definition of the problem ........................... 5
2 Preliminaries 11
2.1 The energy space HA ............................. 11
2.2 The linearized problem ............................ 13
2.3 Previous work of Stuart ........................... 16
2.4 Genus of a set ................................. 21
2.5 Degree for k-set contractions ......................... 22
3 Tapering of order 2 < p < 3 25
3.1 Some properties of HA ............................ 25
3.2 A useful functional .............................. 27
3.3 Bifurcation for 2 < p < 3 ........................... 32
4 Profiles of order 2 37
4.1 Notation and useful results .......................... 37
4.2 Bifurcation for p = 2 ............................. 41
5 Cl-Profiles of order 2 47
5.1 Concerning P,. ................................ 47
5.2 Global bifurcation ............................... 63
5.3 Shape of the branches ............................ 67

...
Vlll
6 Conclusion
A Example
B Existence of eigenvalues
C Number of zeros of eigenvectors
D Proof of Theorem 5.10
E On the functional
Bibliography
TABLE OF CONTENTS