a singular nonlinear eigenvalue problem: bifurcation in non ... - EPFL

Version abrégée
Dans ce travail, on étudie le flambage d'une colonne effilée. Ce phénomène physique
mène au problème non-linéaire aux valeurs propres suivant (appelé problème P):
{A(s)u'(s))'+psinu(s) = O pour tout s E (0'1)'
où A(s) E C([0,1]) est une fonction continue sur [0,1] telle que A(s) > O pour tout s > O
et lim,,o A(s)/sp = L pour des constantes p 2 O et L E (0,m). On étudie l'ensemble
des solutions de ce problème et, plus particulièrement, on recherche
-
les points p E IR+
tels qu'une bifurcation se produit en (p,O).
Stuart a montré (voir [18]) qu'il existe un nombre A(A) 2 O tel que, pour O 5 p <
A(A), le problème P admet uniquement la solution triviale u O et que celle-ci minimise
l'énergie dans l'espace de Hilbert (que l'on note HA) de toutes les configurations admissibles.
Pour p > A(A), il existe une solution non-triviale du problème P qui minimise
l'énergie. De plus, A(A) > O pour p E [0,2], tandis que A(A) = O pour p > 2.
Pour O < p < 3, le problème P peut s'écrire sous la forme F(p,u) = O, où F :
IR+ x HA -+ HA est un opérateur de la forme F(p,u) = u - pGA(u) et G,q : HA + HA
est un opérateur complètement continu.
Si O < p < 2, l'opérateur F est différentiable au sens
-
de Fréchet et, en utilisant
des outils standards tels que le théorème de Crandall-Rabinowitz sur la bifurcation des
valeurs propres simples et le théorème de Rabinowitz concernant la bifurcation globale,
Stuart a prouvé qu'une bifurcation globale de la solution u O se produisait uniquement
en l'ensemble discret des valeurs propres {pz1 : i E IV)' où pl = A(A), p,i < pi+l pour
tout i E W et limi,, pi = m. De plus, ces valeurs propres sont fortement liées au
spectre de la linéarisation (au sens de Fréchet) de GA.
Pour p = 2, F n'est plus
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différentiable au sens de Fréchet, mais seulement différentiable
au sens de Gâteaux. Ainsi, les outils standards comme ceux mentionnés ci-dessus ne
s'appliquent plus. Toutefois, Stuart a montré l'existence d'un nombre &(A) E [A(A),m)
tel qu'une bifurcation de u O se produit en chaque valeur p E [A,(A),oc~).
Une grande partie de ce travail est consacrée au cas p = 2, où l'on suppose que
A(A) < A,(A). Dans ce cas, il existe des valeurs propres {p;' : i E I IV) liées
au spectre de la linéarisation (mais maintenant au sens de Gâteaux) de GA telles
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que
A(A) = pl, pi < pi+l et A(A) 5 pi < A,(A) pour tout i E I. On démontre qu'une
bifurcation (locale) de la solution triviale se produit en pi pour tout i E I. De plus, sous
une hypothèse additionnelle sur A(s), on montre également qu'une bifurcaiion de u O