Problème 1

Page 10 DS 5 le 27 février 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3
sur l’axe des Oz :
0=mg − k(ℓeq− ℓ0) à l’équilibre (5)
m ¨z= mg − k(ℓeq+ z− ℓ0)+−h ˙z+ F (6)
lorsqu’il y a mouvement. On en déduit, en soustrayant ces deux équations
O
m ¨z+ h ˙z+ k z= F (7)
Equilibre
En mouvement
On peut en déduire le tableau d’analogie suivant :
z F m h k v
q e L R 1/C i
B - Pour t 0 la forme canonique de l’équation électrique est :
1
avec ω0= LC
R ω0 et L = Q
d 2 q
ω0
+
d t 2 Q
Pour le système mécanique, on a :
d 2 z
ω0
+
d t 2 Q
z
d q
d t + ω20 q = 0 (8)
d z
d t + ω20 z = 0 (9)
k h ω0
avec ω0= m et m = Q
Dans le cas d’un régime pseudo-périodique, les solutions sont de la forme :
z(ou q)=e − ω 0
2Q t A cos
ω0
1− 1
t+ ϕ
4Q 2
Le décrément logarithmique est défini par :
q(t )
δ=ln
q(t+ T )
π 2
ω0 ω0
= T =
2Q 2Q
ω0
2π
1− 1
4Q 2
1
d’où on sort : Q = +
δ2 4 .
Pour δ=0,75, on trouve Qelec= Qméca= 4,2.
A partir de la pseudo–période T , on peut calculer ω0 =
ω 0 méca= 4,5 rad.s −1 et ω 0 élec= 4,5.10 3 rad.s −1 .
A partir de ω0 méca=
on tire h= mω0
Q = 0,1 N s m−1 .
1
A partir de ω0 élec = , on trouve C =
LC
tire R = Lω0
Q
= 10Ω .
T
2π
1− 1
4Q 2
. On calcule
k
m , on trouve k = mω2 0 méca = 2,0 N.m−1 , puis de h ω0
m = Q
C - L’équation électrique (8) peut s’écrire :
L di 1
+ Ri+
d t C
En passant en complexe, on obtient :
1
Lω 2
0 élec
= 4,9 µF , puis de R ω0 = L Q on
i d t = e(t ) (10)
j LωI + R I+ I
= E (11)
jCω
Il y a résonance d’intensité pour la pulsation ω=ω0 lorsque l’amplitude de
l’intensité donnée par I passe par un maximum.
D’après le tableau d’équivalence, cela correspond en mécanique à la réso-
nanse de vitesse qui s’étudie à partir de l’équation :
En passant en complexe, on obtient :
d v
m + hv+ k vd t = F (t ) (12)
d t
j mωV + hV + k
V = F (13)
jCω