Problème 1

Page 8 DS 5 le 27 février 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3
En HF, on a
H ≃ 1 −j
= d’où ϕ=−π
j RCω RCω 2 et
GdB ≃−20log RCω asymptote à -20dB/déc
Ce qui permet de tracer le diagramme de BODE
−2
−2
Gain du filtre
−1−10
−20
−30
−40
GdB
1 2
Déphasage du filtre
−1
2
1
−1
ϕ
1 2
log ω
ω0
log ω
ω0
6 - La fonction de transfert peut se réécrire sous la forme :
d’où on tire
où ω0= 1
RC .
H = s
e =
1
3+ j RCω+ 1
j RCω
j ω/(RC )
=
1/(RC ) 2 + 3j ω/(RC )−ω 2
−ω 2 s+ 3j ωω0s+ ω 2 0s= j ωω0e
La dérivation correspond à la multiplication par j ω en représentation complexe.
On retrouve ainsi l’équation différentielle :
d2s ds
+ 3ω0
dt 2
dt + ω2 0
de
s = ω0
dt
7 - On considère maintenant le montage ci-dessous :
On a i1= dq1
dt
= C d(e− s)
dt
ce qui s’écrit encore :
e
i1
q1
R
C
et i2= dq2
dt
d(e− s)
C
dt
A
i2
q2
C
R
s(t)
ds
= C . La loi des nœuds en A s’écrit :
dt
+ e− s ds s
= C +
R dt R
2RC ds
de
+ 2s = RC + e
dt dt
Cela correspond à l’équation demandée :
ds
2 + ω1s =
dt de
+ ω1e
dt
où ω1= 1
RC .
8 - La fonction de transfert de ce montage vaut ici, avec Y 2 = 1
+ jCω :
R
H = S
E =
1
Y 2
1
Y +
2
1
Y 2
La relation temporelle que l’on pourrait en déduire est 2s(t )=e(t ), ce qui n’est
pas du tout l’équation différentielle du montage.
En revanche, l’équation différentielle donne en complexe :
= 1
2
2(j RCω+1)S = (j RCω+1)E