Analyse de structures répétitives dans les séquences musicales

THÈSE
présentée à
L’UNIVERSITÉ BORDEAUX 1
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET D’INFORMATIQUE
Soutenue le 12/12/12
par
Benjamin MARTIN
pour obtenir le grade de Docteur en Informatique
Analyse de structures répétitives
dans les séquences musicales
Devant la commission d’examen composée de
Président Cédric Chauve Professeur
Rapporteurs Frédéric Bimbot Directeur de Recherche
Thierry Lecroq Professeur
Directeurs Myriam Desainte-Catherine Professeur
Pascal Ferraro Maître de Conférences
Examinateurs Jean-Julien Aucouturier Maître de Conférences
Pierre Hanna Maître de Conférences
Matthias Robine Maître de Conférences

Résumé
Cette thèse rend compte de travaux portant sur l’inférence de structures répétitives
à partir du signal audio à l’aide d’algorithmes du texte. Son objectif principal est
de proposer et d’évaluer des algorithmes d’inférence à partir d’une étude formelle
des notions de similarité et de répétition musicale.
Nous présentons d’abord une méthode permettant d’obtenir une représentation séquentielle
à partir du signal audio. Nous introduisons des outils d’alignement permettant
d’estimer la similarité entre de telles séquences musicales, et évaluons l’application
de ces outils pour l’identification automatique de reprises. Nous adaptons
alors une technique d’indexation de séquences biologiques permettant une estimation
efficace de la similarité musicale au sein de bases de données conséquentes.
Nous introduisons ensuite plusieurs répétitions musicales caractéristiques et employons
les outils d’alignement pour identifier ces répétitions. Une première structure,
la répétition d’un segment choisi, est analysée et évaluée dans le cadre de
la reconstruction de données manquantes. Une deuxième structure, la répétition
majeure, est définie, analysée et évaluée par rapport à un ensemble d’annotations
d’experts, puis en tant qu’alternative d’indexation pour l’identification de reprises.
Nous présentons enfin la problématique d’inférence de structures répétitives telle
qu’elle est traitée dans la littérature, et proposons notre propre formalisation du
problème. Nous exposons alors notre modélisation et proposons un algorithme permettant
d’identifier une hiérarchie de répétitions. Nous montrons la pertinence de
notre méthode à travers plusieurs exemples et en l’évaluant par rapport à l’état de
l’art.
Mots-clés : Recherche d’Informations Musicales, Structure musicale, Répétitions
musicales, Algorithmique du texte

Abstract
The work presented in this thesis deals with repetitive structure inference from audio
signal using string matching techniques. It aims at proposing and evaluating
inference algorithms from a formal study of notions of similarity and repetition in
music.
We first present a method for representing audio signals by symbolic strings. We introduce
alignment tools enabling similarity estimation between such musical strings,
and evaluate the application of these tools for automatic cover song identification.
We further adapt a bioinformatics indexing technique to allow efficient assessments
of music similarity in large-scale datasets.
We then introduce several specific repetitive structures and use alignment tools to
analyse these repetitions. A first structure, namely the repetition of a chosen segment,
is retrieved and evaluated in the context of automatic assignment of missing
audio data. A second structure, namely the major repetition, is defined, retrieved
and evaluated regarding expert annotations, and as an alternative indexing method
for cover song identification.
We finally present the problem of repetitive structure inference as addressed in literature,
and propose our own problem statement. We further describe our model
and propose an algorithm enabling the identification of a hierarchical music structure.
We emphasize the relevance of our method through several examples and by
comparing it to the state of the art.
Title: Repetitive structure analysis in music sequences
Keywords: Music Information Retrieval, Music structure, Musical repetitions,
String matching

Préface
Cette thèse de doctorat a été effectuée au Laboratoire Bordelais de Recherche en
Informatique (LaBRI) de l’université Bordeaux 1, de 2010 à 2012. Je tiens à remercier
dans un premier temps mon équipe d’encadrement Pascal Ferraro, Pierre
Hanna, Matthias Robine et Myriam Desainte-Catherine pour toute l’aide qu’ils
m’ont apportée et pour m’avoir laissé une certaine liberté dans mes recherches,
indispensable à mon sens pour mener à bien des travaux scientifiques, tout en assurant
un encadrement de qualité. J’adresse ensuite des remerciements particuliers
à mes rapporteurs, Frédéric Bimbot et Thierry Lecroq, qui m’ont fait l’honneur de
relire mon manuscrit ainsi qu’aux autres membres extérieurs de mon jury de thèse,
Jean-Julien Aucouturier et Cédric Chauve, qui ont accepté d’évaluer mon travail.
Un grand merci également à toute l’équipe de chercheurs du LaBRI sur le son
et l’analyse de la musique avec qui j’ai pu échanger et collaborer, ainsi qu’aux
co-auteurs des publications auxquelles j’ai participé : Pierre, Pascal, Matthias, Myriam,
Julien Allali, Thomas Rocher, Vinh-Thong Ta, Dan Brown, David Janin,
Florent Berthaut. Plus généralement, je remercie tous les doctorants et collègues
du laboratoire avec qui j’ai pu échanger durant ces quelques années, notamment à
travers les associations AFoDIB ou Labruit : Olivier, Thomas M., Florent, Julien,
Allyx, Simon, Noémie-Fleur, Vincent, Stanislaw, Dominique, Thomas R., Antoine,
Xavier, Sylvain, Gabriel, Ève, Anne-Laure, Nicolas, Rémi, Émilie, Anaïs, Pierre,
Lætitia... et j’en oublie probablement beaucoup. Ce sont aussi ces échanges, scientifiques,
associatifs, musicaux ou autres, qui rythment le travail de doctorant et le
rendent passionnant. Je souhaite également remercier les différents responsables de
modules d’enseignement avec lesquels j’ai travaillé à l’ENSEIRB-MATMECA pour
leur soutien pédagogique, et principalement Aymeric Vincent, Georges Eyrolles,
Floréal Morandat, Toufik Ahmed et Denis Lapoire.
En outre, je tiens à remercier chaleureusement tous les doctorants de diverses disciplines
avec lesquels j’ai échangé, notamment à travers l’association AquiDoc des
jeunes chercheurs d’Aquitaine. M’inpliquer dans cette dernière a été particulièrement
enrichissant à la fois d’un point de vue humain et pour mon expérience
professionnelle, en me donnant notamment un certain recul sur le doctorat et sur
la condition des jeunes chercheurs. Je souhaite inciter tout doctorant lisant ces
quelques lignes à s’intéresser de près et à s’impliquer, autant qu’il le peut, dans
cette association.
Mes derniers remerciements, et non les moindres, vont à tous mes amis qui se
reconnaîtront et qui m’ont soutenu tout au long de ma thèse, ainsi qu’à ma famille
et mes parents qui m’ont toujours poussé à poursuivre les sujets qui me passionnent,
dans mes études comme dans ma vie professionnelle. C’est en grande partie grâce à
eux que j’ai réussi dans ces travaux à réunir mes passions pour l’informatique et la
musique, et c’est avec une certaine fierté que je leur dédie aujourd’hui ce manuscrit.

Table des matières
Résumé i
Abstract iii
Préface v
Introduction 1
1 Contexte 5
1.1 Recherche d’Informations Musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Recherche basée contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Recherche basée contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Répétition musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Enjeux et intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Algorithmique des séquences musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Méthodes algorithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Efficacité calculatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Représentation séquentielle de l’information musicale 17
2.1 Critères de description musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Tempo, rythme et métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Timbre et instrumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Information tonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Représentation tonale du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Signal audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Représentation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Relation hauteur/fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4.1 Transformée de Fourier Discrète . . . . . . . . . . . 24
2.2.4.2 Spectre d’amplitude et spectre de phase . . . . . . . 25
2.2.4.3 Spectrogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.5 Définition du chroma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.6 Calcul du chroma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.7 Traitements possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Représentation séquentielle pour la comparaison . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Traitement par trames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Comparaison entre descripteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Comparaison de séquences musicales 35
3.1 Édition et alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Notations et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Distance d’édition et alignement global . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2.1 Transcription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2.2 Alignement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

viii
3.1.2.3 Pondération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2.4 Distance d’édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2.5 Calcul pratique de la distance d’édition . . . . . . . 40
3.1.3 Alignement local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3.1 Similarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3.2 Similarité locale et alignement local . . . . . . . . . 42
3.1.3.3 Calcul pratique de la similarité locale . . . . . . . . 42
3.1.4 Implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4.1 Matrice de programmation dynamique . . . . . . . . 43
3.1.4.2 Graphe d’édition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.4.3 Obtention des transcriptions optimales . . . . . . . 45
3.1.4.4 Complexité algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.5 Variante robuste aux transpositions locales . . . . . . . . . . 47
3.2 Application à la similarité musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Recherche de reprises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Passage à l’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Principe de BLAST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 Méthode d’indexation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2.1 Repérage de graines d’alignement . . . . . . . . . . 58
3.3.2.2 Sélection de graines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2.3 Extension des graines . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Indexation de séquences tonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3.1 Contraintes de représentation . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3.2 Bases de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3.3 Analyse statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.4 Stratégie d’indexation et résultats . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Identification de répétitions musicales 73
4.1 Répétition d’un segment choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Reconstruction d’un extrait audio . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1.1 Présentation du problème et travaux antérieurs . . . 74
4.1.1.2 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1.3 Problème et algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.1.4 Application à l’audio . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1.5 Protocole d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.1.6 Tests perceptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Répétition majeure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 Travaux antérieurs et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.3 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.3.1 Premier algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.3.2 Deuxième algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.3.3 Autres optimisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.4 Évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.5 Application à l’indexation pour la recherche de reprises . . . 99

4.2.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.5.2 Évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Inférence de structures répétitives 107
5.1 Segmentation structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Matrice d’auto-distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 Détection des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2.1 Approche état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.2.2 Approche séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.3 Limitations et subjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.4 Vers une approche hiérarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Modèle hiérarchique des répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.1 Caractérisation musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.2 Modélisation hiérarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2.2 Représentation et exemples . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Inférence hiérarchique de répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.2 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.3 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.3.1 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.3.3 Exemple d’exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.4 Expériences et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.4.1 Évaluation de segmentations structurelles . . . . . . 130
5.3.4.2 Bases de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.4.3 Métriques d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.4.4 Évaluation des frontières . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.4.5 Évaluation des motifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.4.6 Évaluation de l’échelle de description . . . . . . . . 136
5.3.4.7 Évaluation multi-échelles . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.4.8 Temps d’exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.4.9 Bilan expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Conclusion et perspectives 143
6.1 Résultats majeurs et contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Publications 149
Bibliographie 151
ix

Introduction
Depuis une quinzaine d’années, la musique est au cœur d’un changement radical
d’accès à l’information. Conséquence du développement fulgurant d’internet,
des technologies numériques et de la multiplication des plateformes de distribution
dématérialisée, la musique n’a jamais été aussi largement accessible qu’à l’heure
actuelle. La quantité considérable de morceaux disponibles, de l’ordre de plusieurs
millions de titres, a entraîné un effort conséquent des acteurs de l’industrie musicale
pour développer des méthodes de parcours efficace des bases de données musicales,
permettant à tout utilisateur de retrouver, de trier ou de découvrir les titres qui lui
plaisent. Il est cependant impossible pour un humain de garder une trace de l’ensemble
des morceaux existants et des relations entre ceux-ci. Ce constat est l’une
des raisons qui a poussé les chercheurs et fournisseurs de contenu à utiliser l’outil
informatique pour l’analyse et la comparaison automatiques des données musicales.
En particulier, un enjeu majeur de l’analyse de l’information musicale consiste à
utiliser les éléments acoustiques des morceaux de musique pour déduire certaines
propriétés perçues par l’oreille humaine, et ainsi comparer ou représenter les œuvres
par leur contenu même et sans l’aide d’annotations supplémentaires.
La similarité est une notion clé en analyse du contenu musical. Lorsqu’elle est
constatée entre des morceaux distincts, elle peut témoigner d’une volonté de la part
du compositeur ou de l’interprète de ressemblance à une œuvre, en proposant une
reprise ou une nouvelle interprétation par exemple. Elle peut également être relevée
entre morceaux d’un même style musical, d’un même auteur, d’un même interprète,
d’une même époque etc., et joue ainsi un rôle essentiel dans l’accès à la donnée musicale
basé sur le contenu. En outre, lorsqu’elle est constatée entre différents extraits
à l’intérieur même d’un morceau, la similarité est susceptible de mettre en évidence
des répétitions musicales. Ces structures répétitives, présentes à différentes échelles,
caractérisent une certaine organisation temporelle du morceau de musique. Cette
dernière est un aspect fondamental dans la culture musicale occidentale. Ainsi, certains
styles musicaux sont construits autour d’un agencement caractéristique de
structures répétitives, composé par exemple de couplets et refrains en musique populaire,
ou encore d’une forme répétitive prédéfinie comme dans les fugues, sonates
ou menuets en musique classique. Plus généralement, la répétition musicale se produit
à de nombreuses échelles temporelles, allant par exemple dans le cas de la
musique classique depuis la note jusqu’au mouvement en passant par la phrase, le
thème ou encore le motif. C’est pourquoi l’analyse des structures répétitives d’un
morceau est une source d’informations riche sur le contenu musical qui ouvre un
large éventail d’applications, dont certaines sont exposées dans ce document.
La musique a ceci de spécifique que l’auditeur humain est généralement capable
dans sa perception de combiner et prendre en compte simultanément de nombreux
critères acoustiques, quelle que soit sa culture musicale. La tâche de modélisation
mathématique de la musique polyphonique, en revanche, présente une complexité
importante. Ainsi, à l’heure actuelle, l’analyse automatique de la musique pour
identifier des notes, des rythmes ou des instruments par exemple n’atteint pas les
niveaux de performance de la perception humaine. En particulier, la détection au-

2 Introduction
tomatique de similarités musicales est un problème difficile et lié à de nombreux
facteurs, alors même que le cerveau humain est souvent en mesure de comparer
implicitement et de qualifier aisément les ressemblances et les répétitions musicales
perçues.
Ce document rend compte des travaux de thèse effectués sur le thème de l’analyse
du contenu musical pour l’inférence de structures répétitives. L’objectif principal
de cette thèse est ainsi de proposer des méthodes d’analyse de répétitions caractéristiques
dans les morceaux de musique occidentale. L’aspect non trivial des notions
de similarité et de répétition musicale pour l’analyse nous amène à utiliser des techniques
d’identification adaptées aux nombreuses variations musicales susceptibles
d’apparaître entre motifs perceptivement jugés comme similaires. En particulier, les
travaux présentés dans cette thèse se basent à de nombreuses reprises sur des outils
d’algorithmique du texte et de segmentation des séquences biologiques. Le bienfondé
d’une telle adaptation pour l’analyse musicale est justifié plus précisément
dans la suite de ce document par la richesse de la représentation séquentielle et de la
structuration répétitive dans les deux cadres applicatifs, biologique et musical. Ces
recherches s’inscrivent dans une approche scientifique validée par des évaluations
concrètes. Ainsi, pour l’ensemble des problèmes que nous définissons, une solution
algorithmique est apportée et évaluée sur des données musicales. En particulier, la
concordance de l’analyse effectuée avec des éléments liés à la perception musicale est
cruciale. Dans les travaux exposés dans cette thèse, la mise en application n’est pas
systématiquement effectuée sur des bases de données à l’échelle du contenu disponible
dans l’industrie musicale, pour des raisons pratiques d’obtention des données
ou de droits d’auteur. Cependant, l’efficacité calculatoire est discutée dans les différents
systèmes proposés, et plusieurs techniques de réduction significative du temps
de calcul sont étudiées.
Les travaux présentés dans ce document sont organisés de la manière suivante.
Le Chapitre 1 introduit plus précisément le contexte des travaux présentés. Les
chapitres suivants décrivent et évaluent les différentes étapes menant à l’extraction
de structures répétitives depuis le signal audio. Le Chapitre 2 décrit et justifie la
méthode permettant de représenter le signal audio par une séquence de symboles
représentative d’un critère musical. Le Chapitre 3 présente les outils de comparaison
adaptés à de telles séquences permettant d’identifier des similarités musicales. Le
Chapitre 4 emploie ces techniques de comparaison pour identifier des structures
répétitives simples. Le Chapitre 5 propose alors un algorithme d’inférence de la
structuration d’un morceau de musique à partir d’une combinaison de structures
répétitives simples. Les conclusions, travaux en cours et perspectives sont enfin
présentés en Chapitre 5.4. Les paragraphes suivants décrivent plus en détail la
composition de chaque chapitre.
Chapitre 1
Ce chapitre introduit d’abord les enjeux majeurs de la problématique de recherche
dans laquelle ces travaux s’inscrivent. Nous décrivons le contexte actuel de distribution
et d’accès à la donnée musicale, et présentons les approches relatives à
nos travaux pour l’analyse automatique d’informations musicales en les illustrant
par plusieurs cas d’utilisation. Ce chapitre introduit ensuite la notion de répétition

en musique, et présente différentes applications à son analyse automatique. Nous
justifions le choix d’une représentation séquentielle de la musique, et exposons les
principes algorithmiques utiles à la détection efficace de structures répétitives.
Chapitre 2
Ce chapitre décrit une méthode de représentation de l’information musicale sous la
forme de séquences. Nous discutons et justifions notre choix du critère musical de
représentation dans le cadre de la recherche de répétitions. La suite du chapitre décrit
les outils de traitement du signal audio permettant de le représenter sous forme
de séquence de descripteurs musicaux. Afin de permettre d’estimer des similarités
musicales, nous détaillons alors des techniques issues de l’état de l’art permettant
de comparer ces descripteurs entre eux.
Chapitre 3
Ce chapitre introduit les notations et techniques algorithmiques nécessaires à la
comparaison de séquences de symboles, inspirées notamment par les outils d’analyse
de séquences biologiques. Nous détaillons une application à l’estimation de la
similarité musicale et l’évaluons dans le cadre de la recherche de reprises. Nous
introduisons ensuite une technique d’identification à l’efficacité calculatoire élevée
en adaptant une méthode bio-informatique d’indexation heuristique, BLAST, à
l’information musicale, que nous testons sur plusieurs bases de données de taille
conséquente.
Chapitre 4
Ce chapitre étudie plusieurs types de répétitions dans les séquences musicales. Pour
un extrait donné au sein d’un morceau de musique, nous présentons d’abord une
méthode d’identification de la meilleure répétition de celui-ci dans le même morceau,
que nous évaluons par un test perceptif dans le cadre applicatif de la reconstruction
de données audio manquantes. Nous étudions ensuite la répétition musicale dans un
cas plus général et sans fixer l’une de ses occurrences. Nous introduisons alors une
répétition particulière, dite majeure, et proposons un algorithme d’identification de
celle-ci. Nous comparons cette répétition analysée à des éléments de perception de
la structure musicale, puis l’utilisons pour l’indexation d’un système de recherche
de reprises.
Chapitre 5
Ce chapitre décrit des méthodes d’inférence des structures répétitives contenues
dans des morceaux de musique. Nous étudions tout d’abord les travaux existants
et mettons en valeur plusieurs limitations dans la position du problème que nous
proposons de redéfinir. Nous proposons ensuite une modélisation pour la structuration
répétitive d’un morceau de musique sans pré-connaissance particulière sur ses
répétitions. Nous présentons alors un algorithme d’inférence et le confrontons aux
techniques de l’état de l’art dans le cadre d’une comparaison avec des annotations
perceptives des structures musicales.
3

Chapitre 1
Contexte
La démocratisation de l’informatique et les avancées technologiques en termes
de réseau, de puissance de calcul ou encore de capacité de stockage de données,
associées à l’avènement de formats de compression audionumérique, ont précipité
ces dernières années le développement de bases de données musicales de l’ordre de
plusieurs millions de titres. D’abord stocké sur les supports personnels tels l’ordinateur,
le lecteur nomade ou le téléphone mobile, le contenu musical a été au centre
de changements majeurs tant dans son mode de distribution que dans les habitudes
d’écoute [Don09]. En particulier, la multiplication ces dernières années de solutions
de stockage à distance, souvent désignées par le terme anglais cloud, repoussent les
limites du stockage personnel et permettent à un utilisateur de bénéficier de bibliothèques
musicales numériques de plusieurs dizaines de milliers de titres depuis
n’importe quel appareil de lecture compatible.
En outre, faisant écho au développement de connexions internet dites “hautdébit”
et à une popularité croissante des services internet, de nombreux serveurs et
plateformes de téléchargement ont été mis en place, proposant des millions de contenus
musicaux accessibles à tout utilisateur de manière quasi-instantanée. Dans cette
configuration, l’utilisateur n’est plus nécessairement propriétaire de la ressource numérique
mais a accès à un catalogue complet d’œuvres accessible via des plateformes
de téléchargement ou de diffusion (streaming). Ainsi, l’Observatoire de la Musique 1
recense notamment en février 2012 [Nic12] plus de 78 sites et portails accessibles
depuis la France, classés en quatre catégories : les plateformes de téléchargement,
les services de radios et de diffusion, les sites communautaires et les sites éditoriaux,
de création ou innovants.
Ces récentes avancées dans la dématérialisation du contenu musical et dans
l’accès à celui-ci ont provoqué une explosion du nombre de titres disponibles. Par
exemple, en juillet 2012, on compte plus de 23 millions de titres [Spo12] sur une
plateforme de streaming telle que Spotify 2 , et plus de 28 millions de titres [Dig12]
pour les plateformes de téléchargement telles que l’Itunes Store 3 . La mise à disposition
d’une telle quantité de morceaux a ceci de paradoxal qu’elle est décorrélée
du temps pratique d’écoute, et peut même dépasser en temps cumulé l’échelle de
plusieurs vies humaines [CVG + 08].
1.1 Recherche d’Informations Musicales
Le constat d’une telle profusion de l’information musicale a incité le développement
de méthodes pour permettre d’organiser, de trier et de parcourir ces bases de
données suivant des critères musicaux suffisamment pertinents pour permettre de
1. http://rmd.cite-musique.fr/observatoire/
2. http://www.spotify.com
3. http://www.apple.com/fr/itunes/whats-on/#music

6 Chapitre 1 : Contexte
(i) Trouver toutes les œuvres d’un compositeur donné
(ii) Trouver tous les enregistrements d’un interprète donné
(iii) Trouver le titre d’une chanson à partir de quelques paroles,
ou vice-versa
Fig. 1.1 – Exemples de requêtes adaptées à l’approche par métadonnées (selon
[Dow03]).
discriminer les quelques titres qui intéresseront un utilisateur donné. La Recherche
d’Informations Musicales, ou Music Information Retrieval, rassemble ces méthodes.
1.1.1 Recherche basée contexte
À l’heure actuelle, la grande majorité des dispositifs de lecture permet d’organiser
et de chercher à travers des collections musicales à partir d’informations
éditoriales, telles que le titre, l’artiste, l’album, le numéro de piste ou encore la date
de parution [CVG + 08, Dow03, Par06b]. Ces informations sont parfois enrichies de
données complémentaires comme la localisation de l’enregistrement ou le lien hypertexte
menant au site internet du compositeur. Ces métadonnées, juxtaposées à
l’information musicale, fournissent des descriptions annexes au contenu musical luimême,
et sont destinées à indexer facilement les titres afin de les retrouver aisément
sur les plateformes internet, en magasin ou encore au sein de sa propre bibliothèque
musicale. Ainsi, leur spécification permet par exemple de répondre aux requêtes
indiquées en Figure 1.1.
Dans le cas des plateformes de diffusion, par exemple, et contrairement aux
collections personnelles, il est très probable qu’un utilisateur donné ne connaisse
qu’une petite partie des morceaux accessibles. Or, bien que l’étiquetage par métadonnées
présente un intérêt évident pour retrouver directement un titre dont
on connaît précisément les caractéristiques, l’approche tombe vite en défaut lorsqu’il
s’agit, par exemple, de découvrir de nouveaux morceaux. Dans un système
de recherche contextuel, on formule en effet l’hypothèse qu’un utilisateur connaît
et est capable d’expliciter la métainformation recherchée. Les requêtes citées en Figure
1.1 s’avèrent non pertinentes si le compositeur, le titre et l’album sont inconnus
de l’utilisateur. Ainsi, les possibilités offertes à l’utilisateur pour identifier des titres
musicalement proches s’avèrent fortement limitées en n’employant que cette simple
métainformation.
L’apparition de bases de données de l’ordre de centaines de milliers, voire de millions
de titres a donc amené le besoin de développer de nouvelles technologies afin
de permettre une interaction plus aisée et plus significative avec une telle quantité
d’information, en particulier pour découvrir de nouveaux titres. L’approche la plus
utilisée à l’heure actuelle consiste à enrichir l’ensemble des métadonnées caractérisant
les morceaux de musique, en fournissant par exemple des étiquettes culturelles,
subjectives, permettant de rapprocher les morceaux en fonction de traits musicaux
communs. Ainsi, des outils tels que All Music Guide 1 , Gracenote 2 ou encore MusicBrainz
3 sont en mesure de fournir une catégorisation des morceaux de musique
1. http://www.allmusic.com
2. http://www.gracenote.com
3. http://www.musicbrainz.com

1.1 Recherche d’Informations Musicales 7
(i) Identifier un morceau pouvant intéresser un utilisateur à partir
des préférences de son entourage
(ii) Identifier un ensemble de morceaux du même genre musical
à partir des habitudes d’un groupe de personnes
(iii) Identifier des artistes similaires à partir de statistiques
d’écoute
Fig. 1.2 – Exemples de requêtes adaptées à l’approche sociale (adapté de [SK09]).
à partir de centaines d’étiquettes subjectives, ou tags, attribuées par des experts
et/ou des utilisateurs. Ces étiquettes peuvent concerner différents aspects liés au
contexte de l’œuvre, à des éléments culturels ou encore à l’émotion ressentie à son
écoute, comme le style, l’humeur, le contexte d’écoute favori, etc. [KSM + 10, SK09].
Elles constituent également des métadonnées qui sont adjointes au contenu musical.
Bien que très largement utilisée à l’heure actuelle, cette approche souffre de
plusieurs limitations qui la rendent difficile à mettre en pratique. D’abord, une
telle prolifération du contenu musical suppose un effort considérable d’annotation
manuelle dans le cas de l’annotation de métadonnées, qu’il s’agisse de fournir des
informations éditoriales ou des étiquettes subjectives. Ainsi, pour le service de webradios
automatique Pandora 1 qui se base sur une large source de métadonnées
développée dans le cadre du Music Genome Project, la durée d’annotation d’un
nouveau morceau par un expert est estimée entre 20 et 30 minutes [CVG + 08]. À
l’échelle des plus grandes bases de données audionumériques, une telle annotation
doit alors être effectuée par de nombreux individus, rendant l’approche extrêmement
coûteuse et risquant de générer une certaine variabilité de la qualité des annotations
subjectives [CVG + 08, Fre06].
Pour contourner ce problème et permettre un accès plus large aux bases de données
musicales, une approche récente consiste à considérer l’information musicale
dans son contexte social d’utilisation [SK09]. Dans cette approche, les préférences
musicales de la masse sont appliquées à l’individu. Par exemple, en analysant automatiquement
les statistiques d’écoute et en les combinant à des métadonnées
indiquées par la communauté d’utilisateurs, le système LastFM 2 est capable d’extrapoler
les morceaux favoris d’un utilisateur et ainsi de découvrir de nouveaux
titres. L’utilisation de contenu extrait de moteurs de recherche [WL02], l’analyse de
listes de lecture [PWL01] ou encore la prise en compte des statistiques d’utilisation
de réseaux pair-à-pair [EWBL02] sont d’autres exemples de stratégies basées sur le
contexte pour établir des mesures de similarité au sein de grandes bases de données
musicales. La Figure 1.2 illustre plusieurs exemples de requêtes pouvant être
satisfaites par une approche considérant le contexte social d’écoute.
Cette approche est particulièrement développée à travers une intégration sur
des réseaux sociaux spécifiques tels que SoundCloud 3 ou Exfm 4 , notamment, où
l’échange et le partage de musique permettent d’enrichir le parcours de grandes
bases de données audionumériques. Cependant, plusieurs limites sont liées à cette
logique : ici, le parcours de bases de données est motivé par imitation d’un compor-
1. http://www.pandora.com (disponible uniquement depuis les États-Unis)
2. http://www.lastfm.com
3. http://www.soundcloud.com
4. http://www.ex.fm

8 Chapitre 1 : Contexte
(i) Trouver toutes les reprises, ou enregistrements par différents
artistes, d’une même chanson d’origine
(ii) Identifier tous les morceaux dont l’orchestration comporte un
ensemble donné d’instruments de musique
(iii) Identifier tous les titres de même style, ou de même forme
qu’un morceau donné
(iv) Étant donné une mélodie, l’air d’une chanson ou le thème
d’une symphonie par exemple, identifier le morceau d’origine
(v) Ne pas jouer le refrain à la lecture d’un morceau
(vi) Masquer la voix du chanteur lors de l’écoute d’un morceau
Fig. 1.3 – Exemples de requêtes adaptées à l’approche basée sur le contenu (selon
[Dow03] et [Par06a]).
tement social, et non par la donnée ou métadonnée du contenu numérique. L’aspect
social de la découverte de nouveaux morceaux est ainsi intrinsèquement lié à la
popularité des morceaux de musique, donnant par exemple plus de crédit à un morceau
présent dans la base de données depuis une longue durée qu’à un morceau
qui vient d’être publié (effet de démarrage à froid, ou cold start). Cette approche
fait également l’hypothèse d’une certaine uniformité du goût musical à travers les
utilisateurs. De ce fait, la connaissance musicale d’un groupe est partagée entre ses
membres, la découverte d’œuvres se limitant à cette connaissance commune.
Plus généralement, les approches basées sur le contexte des œuvres musicales
présentent plusieurs limites conceptuelles qui ont motivé le développement de méthodes
alternatives de recherche d’information. L’inconvénient majeur est une fréquente
inadéquation des métadonnées, liées au contexte, et à la recherche d’information
souhaitée, souvent liée au contenu. Les données contextuelles peuvent ainsi
s’avérer non pertinentes, non fiables ou incomplètes [Ori06]. L’approche basée sur
le contenu musical permet de contourner ces problèmes liés à l’insuffisance des métadonnées
en permettant un parcours de la donnée musicale indépendamment de
son contexte.
1.1.2 Recherche basée contenu
Une solution au problème de parcours de grandes bases de données musicales
consiste à décrire la musique par son contenu musical même, et non plus par des
informations relatives au contexte. Une telle approche possède l’avantage crucial de
donner une description automatique pertinente sur le plan musical. La recherche
basée contenu s’intéresse à l’analyse automatique du contenu audionumérique selon
des critères musicaux, tels que les instruments, les notes ou les rythmes présents
dans un enregistrement. Elle se concentre en particulier sur la détermination des
structures musicales abstraites encodées dans les signaux [Par06a], et permet ainsi
de nouvelles interactions avec l’information musicale. La Figure 1.3 présente un
ensemble de requêtes pouvant être satisfaites en employant une approche basée sur
le contenu musical.
La recherche basée sur le contenu musical s’effectue sur des critères de caractérisation
des morceaux de musique déduits du support de codage musical, tel que

1.1 Recherche d’Informations Musicales 9
le signal audionumérique. Par conséquent, elle ne requiert pas d’effort d’annotation
manuelle et reste indépendante de la popularité des morceaux de musique. De ce
fait, l’approche par le contenu élargit le champ d’interaction et de parcours avec
des grandes bases de données musicales en ouvrant la recherche d’information à différentes
familles d’applications. Les paragraphes qui suivent décrivent brièvement
plusieurs cas d’utilisation pratique d’une approche basée contenu.
Identification et requête par l’exemple
Les techniques dites d’identification audionumérique, ou fingerprinting, cherchent
à associer au contenu audionumérique d’une œuvre une empreinte (ou signature) liée
au contenu musical, qui permet de l’identifier de manière unique au sein d’une base
de données [CBKH05, GMS12]. Par exemple, le système Shazam 1 [Wan03] permet
à un utilisateur équipé d’un téléphone mobile d’obtenir le titre d’un morceau en
cours de lecture au bout de quelques secondes d’enregistrement, même en présence
d’un environnement bruyant ou d’un système d’enregistrement peu performant. Les
systèmes d’identification audionumérique commencent par isoler un ensemble de caractéristiques
du signal avant de comparer celles-ci à une base de données située
sur un serveur central. Même s’ils peuvent permettre certaines variations dans la
qualité de l’enregistrement, les techniques de fingerprinting à proprement parler ne
sont en mesure d’identifier un extrait joué que si l’exacte copie est présente dans
la base de données centralisée. La technologie d’identification est aujourd’hui particulièrement
développée dans une optique de gestion des droits numériques, sur des
plateformes de lecture de flux vidéo par exemple [CE10].
La requête par l’exemple permet à un utilisateur de rechercher une œuvre musicale
à partir d’un extrait audionumérique qui présente un nombre significatif de
ressemblances avec l’œuvre originale. Par exemple, les systèmes de requête par fredonnement
proposent à un utilisateur de chanter ou fredonner quelques secondes
d’une mélodie, puis essaient d’identifier le morceau d’où provient celle-ci [DBP + 07].
Ainsi, le programme SoundHound 2 permet d’effectuer une telle recherche par fredonnement
à partir d’un appareil mobile en enregistrant et comparant les extraits
fredonnés par les différents utilisateurs.
Classification
La classification de morceaux de musique intègre des techniques d’identification
de similarité musicale afin de former un nombre fini de groupes ou classes
de similarité. Au niveau applicatif, les algorithmes d’estimation de similarité musicale
sont presque systématiquement adjoints à des techniques de classification pour
identifier une caractéristique de haut niveau de l’œuvre musicale. Par exemple,
les travaux du projet CUIDADO [VHP02] visent notamment à qualifier de manière
automatique des échantillons sonores en fonction de leur instrumentation (voir
par exemple [HBPD03]), afin de fournir des structures de description pertinentes
permettant d’assister la production sonore. L’identification du compositeur d’une
œuvre [PS01], le regroupement par style [TC02] ou encore l’inférence de concepts
1. http://www.shazam.com
2. http://www.soundhound.com

10 Chapitre 1 : Contexte
affectifs tels que l’humeur [LLZ06] ou l’émotion [KSM + 10] sont d’autres exemples
d’applications à la classification basée sur le contenu musical.
Recherche par similarité musicale
D’une manière générale, la perception humaine de la musique nous permet souvent
d’estimer facilement et implicitement si deux morceaux de musique sont similaires.
Un tel jugement est basé sur de nombreuses facettes de l’information musicale
[Dow03], liées à la fois à des critères éditoriaux (titre, artiste), culturels (style,
langue), musicologiques (mélodie, harmonie, structure), perceptifs (énergie, texture)
ou encore cognitifs (expérience, mémoire) [Jeh05a, AP02, HAE03]. La similarité musicale
consiste à estimer la ressemblance entre plusieurs œuvres à partir de critères
musicaux. Face à la complexité de la perception de similarité, la recherche basée
contenu n’utilise que le signal audionumérique pour analyser les ressemblances. La
recommandation d’œuvres similaires ou encore la détection de reprises ou de plagiats
sont des exemples d’applications de l’estimation de la similarité musicale.
1.2 Répétition musicale
La répétition musicale est une notion centrale pour la recherche d’informations
musicales basée sur le contenu. La musique est une information structurée autour de
caractéristiques perçues par l’oreille humaine. En fonction de son expertise musicale,
un auditeur est en mesure de percevoir, par exemple, une mélodie chantée, une
ligne d’accompagnement instrumentale, une partie rythmique, un accord etc. Les
ressemblances et contrastes entre ces différentes entités sonores forment un ensemble
de structures répétitives dont l’apparition, la transformation ou l’évolution décrivent
tout au long d’un morceau une architecture spécifique à l’œuvre musicale [Ong07].
Middleton [Mid99] constate cet aspect fondamental de la répétition en musique :
« La répétition joue un rôle particulièrement important en musique - quel
que soit le style musical considéré. Dans le cas de la musique populaire,
les procédés de répétitions sont particulièrement développés. »
À l’image d’un bâtiment, un morceau de musique est construit selon une certaine
architecture. Que celle-ci soit explicite ou implicite, elle est présente dans la
quasi-totalité des styles de musique. Ainsi, Levitin [Lev08, p.167] explique que la
mémorisation des motifs musicaux et leur agencement jouent un rôle prépondérant
dans notre perception de la musique :
« La musique est basée sur la répétition. La musique fonctionne parce
que nous retenons les tons que l’on vient d’entendre et les mettons en
relation avec ceux qui sont en train d’être joués. Ces groupes de tons –
phrases – peuvent survenir plus tard dans le morceau dans une variation
ou une transposition qui excite notre système de mémoire en même
temps qu’il active nos centres émotionnels. [...] La répétition, lorsqu’elle
est effectuée avec talent par un compositeur exercé, est émotionnellement
satisfaisante pour notre cerveau et rend l’expérience d’écoute aussi
plaisante qu’elle peut l’être. »
Dans cet extrait, Levitin [Lev08] souligne également l’aspect approché de la répétition
de motifs musicaux, qui peuvent dans son exemple être altérés par des

1.2 Répétition musicale 11
variations ou transpositions. Les répétitions musicales ne sont pas nécessairement
effectuées de manière exacte. Un motif répété peut ainsi avoir subi une série d’altérations
musicales telle qu’une transposition de ses notes, une modification de sa
durée, la suppression ou l’ajout de notes etc. L’altération peut également être liée
à des paramètres acoustiques, dus par exemple à la grande difficulté à reproduire
des sons exactement identiques sur les instruments de musique acoustiques. Les variations
résultantes dans les motifs musicaux peuvent être volontaires, c’est-à-dire
souhaitées par le compositeur ou l’interprète du morceau de musique, ou involontaires,
dues à des limites physiques ou des éléments sonores imprévus. Dans les deux
cas, cette grande variété susceptible d’apparaître au sein de structures répétitives
implique de considérer des techniques d’analyse robustes à de telles inexactitudes.
La musique occidentale, en particulier, est composée de nombreuses structures
répétitives. Par exemple, les termes de “couplet” ou “refrain” désignent des sections
fréquemment répétées dans les morceaux de musique populaire. La musique
classique compte également un large vocabulaire de sections répétées pouvant être
caractéristiques de méthodes de composition, sous les noms de “motif”, “thème”,
“phrase”, “cadence” ou “mouvement”, par exemple [Ste79]. Bien que ces termes ne
soient pas forcément définis uniquement par leur caractère répétitif, leur récurrence
joue un rôle central dans la perception de l’œuvre musicale [Esc88].
1.2.1 Enjeux et intérêt
Analyser la structuration d’un morceau de musique revient à décrire l’organisation
temporelle des éléments musicaux qui la composent. L’analyse des répétitions
d’un morceau de musique fournit ainsi une sorte de “dé-composition”, abstraite, des
processus musicaux mis en œuvre au long de ce morceau. Par exemple, l’aspect
répétitif du Boléro de Ravel relève notamment d’un choix de composition, l’auteur
souhaitant donner une impression de « Danse d’un mouvement très modéré et
constamment uniforme » [Esc88]. Dans le cas idéal d’une analyse parfaite de la répétition,
les structures identifiées correspondent alors, dans une certaine mesure, aux
motifs arrangés par le compositeur. Dès lors, les répétitions identifiées dans un morceau
prennent une signification musicale forte reflétant sa composition. L’intérêt de
l’analyse de celles-ci est d’exploiter directement cette signification, afin par exemple
de restructurer le morceau de manière automatique et cohérente, d’identifier une
forme caractéristique de celui-ci, de le simplifier ou de simplement enrichir sa description
analytique. La suite de cette section décrit plus en détail ces différentes
applications.
Enrichissement du contenu audio
La possibilité d’analyser et de repérer des structures répétitives ouvre un large
éventail d’applications. Détecter les répétitions est d’abord utile à l’enrichissement
du parcours de contenu musical, en permettant par exemple à un utilisateur
d’écouter un morceau de musique en évitant certaines sections [Got03, Vin05].
Bien que la visualisation des structures répétitives ne soit pas encore proposée sur
les plateformes commerciales, quelques outils développés par des laboratoires de
recherche ont été proposés à cet effet, dont SemanticHIFI [Vin05], SmartMusi-

12 Chapitre 1 : Contexte
cKIOSK [Got03], ou encore plus récemment Songle 1 [GYF + 11]. Pour une revue
des supports qui existent pour la visualisation de structures répétitives, le lecteur
est invité à consulter [BPMW12].
Une telle analyse peut également apporter un support à la manipulation du son
dans différents contextes, en fournissant par exemple à l’ingénieur du son un outil
de traitement permettant d’assurer une cohérence musicale, à l’image de [TC99],
ou encore en aidant le concepteur lumière à synchroniser avec précision des effets
visuels [KAC05].
Restructuration du signal
La connaissance de structures répétitives dans un morceau de musique peut
être utilisée dans un objectif de recomposition du morceau. Bien que peu considérée
pour le signal audio musical, cette application est fréquemment utilisée dans
le cas de l’image ou de la vidéo, et fait appel à la notion de textures [SSSE00,
Ash01]. En analysant les structures répétitives d’un extrait vidéo [SSSE00] ou d’une
image [Ash01, EL99], les textures identifiées permettent de reconstruire des sections
de l’objet considéré, de le prolonger (dans le temps pour la vidéo ou dans l’espace
pour l’image), ou encore de synthétiser de nouveaux objets à partir de ces structures.
Bien que la notion de texture soit également introduite dans le cadre des
objets sonores [LWZ04b], elle est rarement utilisée dans un but de recomposition
d’œuvres musicales. L’analyse des structures répétitives peut cependant permettre
de restaurer un signal audio ou encore de le prolonger en identifiant les répétitions
les plus attendues par un auditeur [Hur06], comme proposé par exemple par Jehan
[Jeh05a]. Une utilisation des structures répétitives pour cette application est
proposée en Section 4.1 du Chapitre 4.
Identification de formes musicales
Certains morceaux de musique sont caractérisés par l’agencement de segments
structurels caractéristiques, ou forme musicale. C’est le cas par exemple des œuvres
de formes sonate, rondo ou menuet, dont la composition suit généralement une série
de règles structurelles précises [Eme98]. L’analyse des structures répétitives peut
ainsi être appliquée à la classification automatique de tels morceaux en fonction de
l’agencement de leurs répétitions [MK07]. De plus, la structuration répétitive des
morceaux de musique peut être employée afin de comparer plusieurs morceaux en ne
tenant compte que de leur aspect répétitif. Cette approche, proposée dans plusieurs
études récentes [MRH09, Bel11, GSMA12], s’avère pertinente pour identifier des
ressemblances de composition de morceaux dont les répétitions sont proches alors
que le contenu musical-même peut fortement varier.
Résumé musical et thumbnailing
L’analyse de la répétition permet également d’identifier des sections jugées représentatives
d’une œuvre musicale, appelées thumbnails [LC00, BW05, AS02]. Les extraits
audio sont utilisés par les plateformes de téléchargement, telles qu’Amazon 2 ,
1. http://www.songle.jp
2. http://www.amazon.fr

1.3 Algorithmique des séquences musicales 13
qui proposent aux utilisateurs d’écouter une portion audio avant l’achat. La mise
en place d’une analyse des répétitions permettrait, pour un tel système, de sélectionner
le segment le plus caractéristique du morceau souhaité, et ainsi donner un
aperçu représentatif de l’œuvre à l’acheteur potentiel. De tels extraits audio peuvent
aussi être utilisés afin d’identifier rapidement des similarités entre morceaux de musique
[GOH06], comme expliqué plus précisément en Section 4.2.
En outre, cette analyse permet en identifiant les processus compositionnels mis
en jeu de générer un résumé musical de l’œuvre [Pee04]. Dans le cas de répétitions
très similaires et particulièrement récurrentes, l’analyse structurelle peut également
être utilisée pour factoriser des sections de morceaux de musique et ainsi compresser
sensiblement leur représentation [Rao04].
Amélioration de méthodes d’analyse
La connaissance de structures répétitives au sein d’un morceau de musique peut
également être employée comme technique d’amélioration de méthodes d’analyse
annexes. Par exemple, Mauch et al. [MND09] parviennent à améliorer de manière
significative une méthode d’analyse des accords notamment en prenant en compte
la répétition de sections identifiées dans des morceaux de musique. Rocher [Roc11]
relève également une augmentation de la précision de son système d’identification
des accords en prenant en compte les structures répétitives proposées dans le cadre
de cette thèse.
1.3 Algorithmique des séquences musicales
L’analyse du signal audio ainsi que sa description musicale automatique sont
des procédés complexes débouchant sur de nombreuses applications, telles que celles
présentées dans les sections précédentes. Malgré une certaine progression de la recherche
en analyse du signal au cours des dernières années, l’efficacité de l’analyse
automatique du signal audio n’atteint pas à ce jour la performance de l’oreille
humaine [DG09]. Devant l’incapacité à représenter de manière précise un critère
musical, il semble inenvisageable de représenter de manière fiable toute abstraction
musicale de plus haut niveau, en particulier la structuration d’un morceau de
musique.
Cependant, la représentation de la musique sous forme de séquences permet
de contourner cette limitation conceptuelle pour le cas particulier de l’analyse de
structures répétitives. Tout morceau de musique peut être représenté comme une
suite de sons organisés dans le temps. En pratique, l’analyse automatique du signal
peut fournir une séquence de symboles décrivant un aspect particulier de la musique.
Dans cette approche, chaque symbole représente une portion de signal, de
durée constante ou variable. La modélisation séquentielle permet alors de modéliser
la temporalité de la musique : deux symboles se suivant dans la séquence correspondent
à deux instants consécutifs dans le signal. En particulier, si le morceau
étudié contient une répétition musicale, alors il est très probable que les séquences
correspondant à celle-ci soient similaires sous réserve d’une fiabilité suffisante de
la représentation symbolique. Les répétitions musicales peuvent ainsi être analysées
même si les symboles calculés à partir du signal ne donnent qu’une description grossière
de l’information musicale souhaitée [DG09]. Pour cette raison, la représentation

14 Chapitre 1 : Contexte
de la musique sous forme de séquences, particulièrement privilégiée pour l’analyse
automatique du contenu musical [CS06], est tout à fait adaptée pour l’analyse de
structures répétitives. Le Chapitre 2 détaille notre technique d’obtention d’une séquence
représentative d’un critère musical à partir d’un signal audio.
1.3.1 Méthodes algorithmiques
Comme détaillé en Section 1.2, la notion de répétition en musique sous-entend
une possible variation du contenu musical. Représenter la musique par des séquences
pour l’analyse de la répétition suppose donc de considérer des méthodes de comparaison
dites approchées qui soient robustes à certaines variations. Plus précisément,
on sous-entend par le terme approché que le système de comparaison permet
d’identifier comme similaires des séquences présentant un certain nombre de symboles
différents, et tolère ainsi des erreurs qui peuvent figurer entre les séquences
comparées.
Les problèmes de comparaison approchée de séquences sont étudiés dans de
nombreux contextes applicatifs distincts de l’analyse musicale, tels que l’analyse du
texte, la compression de données ou encore la bio-informatique [CIR98]. En effet, de
nombreux objets peuvent être représentés sous forme de séquences : ainsi, un fichier
texte est une séquence de symboles sur un alphabet ASCII, un fichier binaire est
une séquence sur un alphabet d’un nombre fini de valeurs possibles et un code ADN
est une séquence sur un alphabet de quelques symboles représentant des molécules
organiques.
En particulier, les systèmes de comparaison approchée de séquences sont très
étudiés dans le contexte bio-informatique. D’une part, les bio-informaticiens manipulent
des données issues d’expérimentations et comportant un certain nombre
d’erreurs. Ainsi, les séquences moléculaires (l’ADN, l’ARN ou les séquences d’acides
aminés pour les plus connues) sont susceptibles de comporter des incohérences locales
qui conduisent les techniques de comparaison à évaluer la similarité avec une
certaine tolérance [Gus97]. D’autre part, ces séquences biologiques sont par leur nature
issues de processus de mutation que les techniques de comparaison cherchent
à révéler et à modéliser [Gus97]. L’évolution se base sur la réutilisation, la duplication
et la modification des structures biologiques existantes [Gus97] ; l’objectif de
la comparaison de séquences en bio-informatique est ainsi d’identifier ces structures
répétitives afin de caractériser des phénomènes biologiques liés à de fortes similarités
fonctionnelles ou structurelles.
Bien que les séquences moléculaires comparées en bio-informatique et les motifs
comparés en analyse musicale n’aient aucun point de comparaison sur leur nature,
l’analogie entre les deux domaines apparaît lorsque l’on considère la pertinence de
leur représentation séquentielle et de leur structuration répétitive. L’aspect séquentiel
en bio-informatique est lié à la configuration spatiale des molécules, tandis que
l’aspect séquentiel en musique est lié à la configuration temporelle des événements
musicaux. La répétition approchée, quant à elle, est liée à des phénomènes de transcription
et de mutation mis en jeu dans les processus biologiques, alors qu’elle est
utilisée en musique pour correspondre à l’organisation implicite par ressemblance de
notre perception musicale [LJ96, Bre94]. Par conséquent, les méthodes développées
pour la comparaison approchée de séquences biologiques ont un grand intérêt pour
l’analyse des structures répétitives dans les séquences musicales. Les algorithmes

1.3 Algorithmique des séquences musicales 15
adaptés de comparaison de séquences sont décrits précisément dans le Chapitre 3.
1.3.2 Efficacité calculatoire
L’approche basée sur le contenu musical demande d’analyser automatiquement
des informations musicales de haut niveau à partir du signal. Elle implique alors
une capacité calculatoire importante, qui peut s’avérer problématique pour certains
traitements complexes sur de grandes bases de données.
La requête par fredonnement, ou query by humming, par exemple, est une application
consistant à retrouver automatiquement un morceau de musique dans
une base de données à partir d’un extrait chanté, sifflé ou fredonné de ce morceau
[DBP + 07]. D’importantes variations peuvent exister entre le morceau original
et l’extrait fourni : des différences dans la hauteur des notes chantées, dans le rythme
ou même des erreurs de chant ajoutant des notes ou en supprimant. La prise en
compte d’un tel faisceau d’altérations possibles a un coût calculatoire élevé, l’algorithme
d’analyse devant alors travailler sur de nombreux paramètres interdépendants.
Or, le passage à l’échelle des méthodes d’analyse, c’est-à-dire l’application
d’une telle requête sur une base de données importante, de l’ordre de milliers voire
de millions de titres, représente un enjeu crucial pour une utilisation pratique sur
le matériel audio disponible à l’heure actuelle.
Pour cette raison, l’efficacité calculatoire est discutée pour plusieurs des méthodes
de recherche d’informations basée sur le contenu présentées dans cette thèse.
Sur une perspective à long terme, nos méthodes ont pour objectif d’être utilisées
sur un grand nombre de données. Plusieurs études d’optimisation d’algorithmes
ou d’améliorations basées sur des heuristiques proposées dans les Chapitres 3 et 4
permettent ainsi d’améliorer sensiblement le temps d’analyse des informations musicales.
Outre la multiplicité des données à traiter, le calcul en temps réel est également
une contrainte calculatoire susceptible d’être examinée dans le cadre de certaines
méthodes d’analyse. Dans ce cas, on impose que l’analyse des données soit effectuée
dans des contraintes temporelles strictes, correspondant par exemple au temps de
lecture du matériel audio. Un exemple de tel système, proposé par Cont [Con08]
sous le nom d’Antescofo 1 , permet à un musicien de bénéficier d’un accompagnement
orchestral synchronisé sur son propre jeu. Ainsi, à chaque instant, le système permet
d’identifier les notes jouées par le musicien, de repérer la position du jeu dans un
morceau et d’adapter l’accompagnement de manière immédiate.
1. http://repmus.ircam.fr/antescofo

Chapitre 2
Représentation séquentielle
de l’information musicale
Les œuvres musicales sont composées d’un ensemble de sons organisés dans le
temps. Pour la vaste majorité des études musicologiques [Tem04, Eri75] ou cognitives
[LJ96, Hur06, Kru01, Eme98, Bre94] traitant de la structuration musicale, la
perception des entités sonores de la musique est intrinsèquement liée à son déroulement
temporel. Par exemple, Tenney et Polansky [TP80] désignent comme « les
facteurs primaires de cohésion » de la perception musicale les notions de proximité
temporelle et de simultanéité des éléments musicaux. Afin d’analyser automatiquement
à partir du signal audio des structures musicales, comme les répétitions
approchées, il est donc primordial de représenter l’information musicale en respectant
l’ordre temporel inhérent à la musique [CVG + 08]. Comme introduit dans le
chapitre précédent, la modélisation séquentielle de l’information est une technique
d’analyse efficace et souvent employée afin d’estimer les similarités dans la musique
en respectant cette temporalité [CVG + 08].
Dans ce chapitre, nous décrivons une méthode de représentation d’un signal
audio sous la forme d’une séquence de symboles comparables décrivant une information
musicale. L’objectif du modèle exposé ici est de capturer l’évolution d’une
information musicale riche afin de permettre une analyse ultérieure des structures
répétitives perçues. Par conséquent, chaque symbole, ou descripteur, doit représenter
une information liée à un aspect de la perception primordial dans la répétition
musicale. La Section 2.1 justifie le choix d’un critère de représentation de l’information
musicale, puis la Section 2.2 détaille une méthode permettant de représenter
ce critère, et ainsi d’estimer une information musicale pertinente sur une portion de
signal. La Section 2.3 présente ensuite l’obtention de la séquence décrivant tout le
signal audio, et définit une mesure de similarité appropriée permettant de comparer
des éléments de cette séquence.
2.1 Critères de description musicale
En raison de la complexité et de la diversité de la donnée musicale, l’analyse
automatique du signal audio musical est liée à de nombreux critères. Cette section
présente brièvement les trois principales familles de critères de description musicale
et justifie les choix de représentation effectués dans cette thèse.
2.1.1 Tempo, rythme et métrique
Les aspects musicaux du tempo, de la pulsation et du rythme jouent un rôle
fondamental dans la perception et l’interaction avec la musique [MEKR11, Par94].
La pulsation peut être décrite comme un accent qui intervient de manière cyclique
au début de chaque temps. Sa perception est intuitive pour l’oreille humaine,

18 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
entraînée ou non [LJ96], et se traduit par exemple par un battement de pied accompagnant
l’écoute d’un morceau. Le terme tempo désigne la vitesse de référence de la
pulsation d’un morceau et se mesure en pulsations par minute (ou beat per minute,
BPM ). En fonction du style et de la volonté de composition, les valeurs habituelles
de tempo se situent entre 40 et 260 pulsations par minute [Jeh05a, p.55–57].
En musique populaire occidentale, les notes sont organisées dans le temps autour
de la pulsation. Le placement de ces notes en fonction de la celle-ci, communément
appelé rythme, conduit à la perception de structures rythmiques. La présence de
motifs réguliers (percussions, ligne de basse etc.) permet une distinction intuitive
entre des pulsations fortes (ou temps forts) et faibles. De tels motifs induisent une
structure rythmique récurrente, appelée métrique. Cette métrique est fondamentale
pour l’interprétation musicale, permettant notamment aux musiciens de synchroniser
leur jeu. La structure métrique est hiérarchique. Par exemple, une métrique 4/4
divise un morceau en mesures de 4 temps, constituant le niveau du temps musical.
Le premier et le troisième temps sont généralement perçus comme plus forts que
les deuxième et quatrième, et forment un autre niveau métrique. Enfin, le premier
temps est perçu comme plus fort que le troisième, et constitue également un autre
niveau métrique.
Comme souligné par Lerdahl et Jackendoff [LJ96], d’autres structures non nécessairement
liées à la métrique sont fondamentales dans la perception humaine du
rythme. Basée sur des éléments cognitifs, leur théorie souligne que notre cerveau
effectue naturellement un découpage des événements selon des groupes en se basant
sur de nombreux critères liés aux éléments percussifs, à la dynamique, à la hauteur
des notes ou encore au timbre du son. La difficulté d’un tel découpage dépend de
la correspondance entre l’organisation des événements dans la musique, d’une part,
et des intuitions et connaissances personnelles pour le regroupement de ceux-ci,
d’autre part [LJ96]. Par conséquent, l’analyse des informations rythmiques est une
opération complexe et liée à de nombreux autres paramètres musicaux.
2.1.2 Timbre et instrumentation
La notion de timbre est fortement dépendante du contexte d’application. Le
timbre est défini par [Ter60] comme « l’attribut de la sensation auditive qui permet à
un auditeur de juger comme dissimilaires deux sons présentés dans les mêmes conditions
et possédant la même dynamique sonore et la même hauteur ». Cet énoncé,
qui définit le timbre par ce qu’il n’est pas, est fortement lié à la notion de reconnaissance
de sources sonores et d’instruments [Auc06]. Par exemple, la distinction
entre le son d’un piano et d’une guitare jouant la même note au même volume
peut aisément être effectuée par n’importe quel auditeur humain, quelle que soit
son expérience musicale, grâce à la différence de timbre perçue. De plus, le musicien
à l’oreille expérimentée peut être capable d’identifier chacun des instruments intervenant
dans un mélange musical, et ainsi d’isoler chaque source musicale à partir
de ses caractéristiques timbrales. Cette perception “analytique” des caractéristiques
timbrales est complétée par une perception plus globale, dans laquelle l’oreille considère
le signal audionumérique comme un ensemble cohérent et homogène. Le timbre
polyphonique, également appelé timbre en cas de non ambiguïté, correspond au mélange
timbral d’un signal musical [MEKR11]. Cette fois, le timbre correspond à
une perception générale de l’instrumentation d’un morceau de musique plutôt qu’à

2.1 Critères de description musicale 19
une unique source. Cette notion du timbre est fréquemment utilisée pour déduire
une texture globale sur un morceau de musique dans un but d’identification du
style musical, de l’émotion ressentie à l’écoute, ou encore pour la reconnaissance
automatique d’étiquettes, ou tags [MEKR11].
L’espace de description du timbre est intrinsèquement multidimensionnel. Contrairement
à la sensation de hauteur tonale ou à la sensation de volume sonore, la
perception du timbre est liée à de nombreux facteurs acoustiques [Auc06]. Par
conséquent, la mesure du timbre dans le signal audionumérique s’avère complexe à
représenter sur un espace continu de description des instruments ou des textures
sonores.
2.1.3 Information tonale
La perception humaine de la musique est fortement liée à la notion de hauteur
et de ton musical.
La plupart des instruments de musique, incluant les instruments à cordes pincées
(guitare, harpe...), frappées (piano...), frottées (violon, contrebasse...), les instruments
à vent (bois, cuivres) ou encore la voix humaine émettent des sons à une
ou plusieurs hauteurs caractéristiques [KD06]. En théorie musicale, la hauteur d’un
son est identifiée par une note, qui définit un niveau standard, du plus grave au plus
aigu. Cet aspect tonal est essentiel dans la musique occidentale [G´06]. Bien que la
dénomination explicite de notes ou d’une gamme ne semble pertinent que pour les
utilisateurs exercés à la musique, la perception des tons musicaux, implicite, est
naturellement développée chez toute personne, musicienne ou non [TB02]. De plus,
la hauteur est une notion indépendante du timbre musical : deux instruments de
timbres très distincts peuvent jouer des notes facilement identifiables comme ayant
la même hauteur.
La mélodie correspond à une succession temporelle de hauteurs [KD06]. La mélodie
est monophonique, c’est-à-dire que toute mélodie ne comporte qu’une note à
un instant donné. Dans la culture occidentale, la mélodie est généralement perçue
comme le critère musical le plus caractéristique d’un morceau de musique : elle est
souvent facile à identifier, et c’est en fredonnant sa mélodie que l’on peut se référer
à une œuvre musicale.
La combinaison de plusieurs hauteurs distinctes à un même instant est appelée
accord [KD06]. La notion d’harmonie fait référence à la formation des accords et
aux relations entre eux [KD06]. Plus précisément, le terme fait référence à la fois aux
hauteurs et accords en jeu, mais également aux principes structurels qui régissent
leur combinaison [G´06, p.15]. Distinguer la mélodie et l’harmonie dans un morceau
de musique occidentale est une tâche complexe, car les deux concepts font référence
à une combinaison de hauteurs et dépendent l’un de l’autre [Kru04].
La notion d’harmonie est fondamentale dans la culture musicale occidentale.
Pendant plusieurs siècles, les compositeurs et théoriciens de la musique ont codifié
les simultanéités les plus courantes en systèmes exhaustifs de représentation
[Dow03]. Selon Temperley [Tem04, p.117], le jeu de l’harmonie dans un morceau
donne à la musique « une impression de dimension spatiale et de mouvement dans
l’espace qui représente une partie indispensable de l’expérience musicale, et contribue
grandement au pouvoir expressif et dramatique de la musique tonale ». La très
grande majorité des œuvres de musique occidentale est composée autour de sys-

20 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
tèmes harmoniques obéissant à des règles de composition musicale qui caractérisent
les progressions d’accords de chaque morceau. Ainsi, les processus de répétitions
mélodiques et harmoniques sont au centre de la perception d’une structuration de
la musique [LJ96, Hur06, Ste79]. L’harmonie en musique occidentale encode ainsi
une structure riche et bien-fondée d’un point de vue musical théorique.
Les algorithmes d’analyse présentés dans cette thèse sont axés sur une description
tonale de la musique. Pour résumer, trois raisons principales motivent ce choix
de l’information tonale :
- Elle correspond à un critère perceptif prépondérant pour la musique ;
- Elle encode des structures musicales riches ;
- Elle est soutenue par une théorie musicale bien connue et étudiée.
2.2 Représentation tonale du signal
Nous décrivons dans cette section un modèle permettant de représenter l’information
tonale d’un morceau de musique à partir de son signal audio.
2.2.1 Signal audio
D’un point de vue physique, un signal audio est généré par une entité vibrante
telle que les cordes vocales d’un chanteur, la corde d’un violon ou encore la membrane
d’une enceinte. Associées au reste de l’instrument, ces entités vibrantes engendrent
des déplacements et oscillations des particules d’air, résultant en un phénomène
ondulatoire, qui se propage dans l’air et se mesure par une variation de la
pression acoustique. L’onde sonore qui arrive à l’oreille humaine provoque alors la
vibration du tympan qui, avec l’aide de l’oreille interne, transforme l’onde perçue
en signal nerveux pour interprétation par le cerveau.
À l’instant où elle arrive à l’oreille humaine, l’onde sonore peut être représentée
par la variation de la pression acoustique en fonction du temps, représentation également
appelée forme d’onde du signal audio. La Figure 2.1-haut montre un exemple
de forme d’onde correspondant à 7 secondes d’un morceau joué à la clarinette. Les
variations de pression acoustique dessinent des zones montantes ou descendantes,
indiquant grossièrement les modifications d’amplitude du signal.
Mathématiquement, une forme d’onde est caractérisée par une fonction continue,
définie en tout point du temps. Lorsque la variation de pression acoustique se fait
sous forme de motifs réguliers, la forme d’onde est dite périodique. La fréquence f
(en Hertz) est alors définie comme le nombre de répétitions d’un motif par seconde,
et la période T comme l’inverse de cette fréquence : T = 1/f. Un exemple simple
de signal audio, le son pur, est caractérisé par la formule :
x(t) = a · sin(2πft + Φ), (1)
où a désigne l’amplitude du signal, f sa fréquence et Φ la phase initiale du signal.
La Figure 2.1-bas représente un tel signal sur une seconde, pour une amplitude fixe
de 1, une phase initiale nulle et une fréquence de 4 Hz.
La plupart des signaux audibles dans la musique occidentale sont des formes
d’ondes beaucoup plus complexes. En particulier, les sons qualifiés d’harmoniques
sont en général composés de sons purs de fréquences dites harmoniques, multiples

2.2 Représentation tonale du signal 21
1
0,5
-0,5
Amplitude
1
0,5
0
-0,5
Pression acoustique (Pa)
0
-1
-1
1
Temps (s)
7
Temps (s)
Fig. 2.1 – Haut : Forme d’onde d’un extrait audio. Bas : Son pur d’amplitude 1, de
phase initiale nulle et de fréquence 4 Hz.
d’une fréquence f0, appelée fréquence fondamentale. Les sons naturels, tels que
produits par exemple par un instrument de musique ou une voix humaine, correspondent
à des signaux plus complexes, souvent formés de composantes harmoniques
et de composantes non périodiques. En outre, les paramètres des composantes périodiques
de tels signaux sont susceptibles d’évoluer dans le temps, les rendant
potentiellement non-stationnaires.
2.2.2 Représentation numérique
Le signal sonore peut être représenté sous la forme d’une fonction mathématique
continue, définie à chaque instant. Cependant, dans le cadre d’une analyse informatique
du son, il est nécessaire de représenter numériquement le signal audio afin de
permettre sa manipulation par l’unité logique d’un ordinateur, d’un microcontrôleur
ou de tout autre calculateur numérique. Cette opération, appelée numérisation,
est réalisée par un composant appelé convertisseur analogique-numérique, CAN (ou
analog-to-digital converter, ADC). La numérisation consiste en deux étapes successives
: l’échantillonnage et la quantification. L’échantillonnage est une discrétisation
de la dimension temporelle du signal, et correspond généralement à l’enregistrement
d’un échantillon du signal continu à intervalles de temps réguliers. Il est caractérisé
par une fréquence d’échantillonnage, notée Fe. La quantification correspond à
l’opération de discrétisation de la valeur d’amplitude du signal pour un échantillon
donné. Cette quantification est généralement effectuée sur un nombre fini q de bits,
qui limitent la résolution du signal.
Une telle méthode de codage a notamment été mise au point dans le cadre

22 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
Amplitude
Amplitude (quantification)
1
Temps (s)
Temps
(Echantillonnage)
Fig. 2.2 – Numérisation d’une seconde d’un signal audio. Haut : Le signal continu
est représenté en traits pleins. Le quadrillage pointillé représente l’espace des valeurs
numériques qui peuvent être codées, pour une fréquence d’échantillonnage Fe = 31Hz
et une quantification sur 8 valeurs possibles. Les cases grisées montrent les échantillons
représentant le signal sous ces conditions. Bas : Signal numérisé représenté
sous la forme d’un peigne de valeurs discrètes. La représentation du signal original
en pointillés souligne l’erreur commise par les opérations d’échantillonnage et de
quantification.
d’une technique appelée Pulse Code Modulation (PCM) [BE47]. Bien que d’autres
techniques de codage, telles que Direct Stream Digital (DSD) [RN01] proposent une
représentation différente, PCM reste aujourd’hui la technique de codage audio la
plus largement utilisée. Par exemple, le format CD audio comprend des données
enregistrées en codage PCM à la fréquence d’échantillonnage de 44100 Hz et selon
une quantification sur 16 bits. Ainsi, 44100 mesures définissent le signal à chaque
seconde, chacune étant égale à l’une des 65536 valeurs possibles pour l’amplitude
du signal. En combinant les opérations d’échantillonnage et de quantification, le
signal continu est ainsi représenté par un ensemble fini de valeurs, matérialisé par
un quadrillage dans l’exemple de la Figure 2.2-haut. La seconde figure présente le
signal discret obtenu sous la forme d’un peigne de valeurs discrètes.
Mathématiquement, l’opération de numérisation est une discrétisation du signal
faisant apparaître deux paramètres :
- Fe, la fréquence d’échantillonnage qui définit la résolution temporelle ;
- q, le nombre de bits utilisés pour la quantification, qui définit la résolution d’amplitude.
Bien que les paramètres Fe et q soient généralement définis comme des constantes,
ils peuvent prendre des valeurs variables dans le cadre de systèmes de codage plus

2.2 Représentation tonale du signal 23
perfectionnés. Par commodité, on supposera dans la suite ces deux paramètres
constants.
Il convient de noter que l’opération de numérisation peut être destructrice d’information,
et qu’il n’est pas forcément possible de reconstruire la forme d’onde initiale
à partir de la représentation numérique [Mül07, p.24]. Les erreurs introduites à
la reconstruction sont appelées effets d’aliasing, ou encore erreurs de quantification,
et peuvent introduire des effets audibles dans le signal reconstruit, comme des claquements
ou des bruits indésirables. Pour cette raison, le choix des paramètres de
numérisation est capital pour une représentation numérique fidèle du signal audio.
En particulier, le théorème de Shannon-Nyquist indique que la fréquence d’échantillonnage
Fe doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale composant
un signal afin de représenter numériquement celui-ci de manière correcte et
de permettre une reconstruction correcte du signal continu.
Le son pur décrit dans le domaine continu par l’équation 1 est caractérisé sous
sa forme numérisée par la formule :
x[n] = ⌊2 q−1 · a · sin(2πf n
+ Φ)⌋, (2)
où a désigne l’amplitude du signal, f sa fréquence, n le numéro d’échantillon numérique
considéré, Φ la phase initiale du signal, Fe la fréquence d’échantillonnage
et q le nombre de bits de quantification.
2.2.3 Relation hauteur/fréquence
Afin d’identifier les caractéristiques tonales d’un signal audio, il convient de caractériser
mathématiquement la notion de hauteur du son. La hauteur d’un son
pur est liée à sa fréquence : plus sa fréquence est faible, plus il est perçu comme
grave ; à l’inverse, plus sa fréquence est élevée, plus il est perçu comme aigu. La
hauteur perçue pour un son harmonique est fortement liée à sa fréquence fondamentale.
L’écart perçu entre deux hauteurs est appelé intervalle. Plus précisément,
la hauteur est perçue de manière logarithmique par rapport à la fréquence des signaux
[Kru01]; par exemple, la variation de hauteur perçue entre deux signaux purs
de fréquences 220 Hz et 440 Hz est identique à celle perçue entre deux signaux de
fréquences 880 Hz et 1760 Hz. L’intervalle entre un son de fréquence f et un son
de fréquence 2 × f est appelé octave. La musique occidentale divise chaque octave
en un ensemble de 12 intervalles, appelés demi-tons, le ton musical correspondant
à un intervalle de deux demi-tons. Ainsi, 12 notes sont définies pour chaque octave,
l’ensemble formant la gamme chromatique. La répartition des différents intervalles
sur une octave est appelée tempérament. Ainsi, le tempérament égal, le plus utilisé
à l’heure actuelle en musique occidentale, divise chaque octave en 12 demi-tons de
ratio égal. Plus précisément, deux fréquences f1 et f2 sont séparées de n demi-tons
si et seulement si :
f2
f1
Fe
= 2 n
12 . (3)
Par conséquent, l’intervalle I(f1,f2) en demi-tons entre deux fréquences f1 et f2
est défini par :
I(f1,f2) = 12 · log2( f2
). (4)
f1

24 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
Nom français Nom anglo-saxon Fréquence
(Hz - Référence La4-440Hz)
Do C 261.63
Do♯/Ré♭ C♯/D♭ 277.18
Ré D 293.66
Ré♯/Mi♭ D♯/E♭ 311.13
Mi E 329.63
Fa F 349.23
Fa♯/Sol♭ F♯/G♭ 369.99
Sol G 392.00
Sol♯/La♭ G♯/A♭ 415.30
La A 440.00
La♯/Si♭ A♯/B♭ 466.16
Si B 493.88
Tab. 2.1 – Dénominations usuelles des notes de la gamme tempérée, et correspondances
fréquentielles sur la quatrième octave du piano, avec pour référence la note
La4 à 440Hz. La notation “/” indique que les deux dénominations de part et d’autre
du symbole peuvent être utilisées, le choix dépendant de règles de notation musicale.
Le Tableau 2.1 précise la dénomination des notes de la gamme tempérée ainsi
que les valeurs fréquentielles standard sur une octave.
Dans la culture occidentale, la perception de hauteur est fortement liée à la
gamme chromatique. Ainsi, une légère variation de la fréquence d’une forme d’onde
par rapport à une fréquence standard ne provoque pas de changement dans la
perception de hauteur. Par exemple, en considérant 440Hz comme fréquence de
référence pour le cinquième La du piano, un son pur de fréquence 443 Hz est intuitivement
perçu comme la note La, malgré cette légère variation. Pour la plupart
des auditeurs, cette variation par rapport à la fréquence de référence est inaudible ;
mais si les oreilles les plus exercées sont capables de la détecter, la note de La associée
reste naturellement identifiée. Il est donc commun d’associer à une note de la
gamme tempérée une plage de fréquences, centrée sur la fréquence de référence.
2.2.4 Analyse spectrale
La perception musicale d’un signal audio est fortement corrélée aux fréquences
des composants de celui-ci. La transformation de Fourier est une technique très
répandue permettant d’analyser de manière précise le contenu fréquentiel du signal.
2.2.4.1 Transformée de Fourier Discrète
Le théorème de Fourier indique que toute fonction périodique peut être représentée
comme la somme de composantes sinusoïdales d’amplitudes, de phases et de
fréquences déterminées, ces dernières étant en relation harmonique. La Transformée
de Fourier permet ainsi d’estimer les composantes fréquentielles d’un signal audio.
En particulier, la Transformée de Fourier Discrète (TFD)[SPA07, p.22–23] X(k)

2.2 Représentation tonale du signal 25
-
(dB)
20
0
-20
-40
0 16 31
0 4
16 27 31
(Hz)
Fig. 2.3 – Haut : une seconde d’un son pur d’amplitude 1, de phase initiale nulle
et de fréquence 4Hz, numérisé à la fréquence d’échantillonnage 31Hz. Bas : spectre
d’amplitude correspondant tel que calculé par transformée de Fourier discrète.
d’un signal numérique x[n] fini est donnée par la formule :
X[k] =
N−1
n=0
x[n] · exp −j·2·π·n·k/N pour k ∈ 0,N − 1, (5)
où N correspond au nombre d’échantillons du signal numérique à analyser.
La complexité temporelle de l’algorithme de calcul de la TFD est quadratique :
O(N 2 ). Cependant, le calcul pratique de la TFD peut être accéléré par des méthodes
optimisant le nombre d’opérations effectuées, comme l’algorithme de Cooley
et Tukey [CT65]. Ces techniques de calcul optimisé de la TFD sont appelées Transformées
de Fourier Rapide, ou FFT. La complexité algorithmique de la FFT est
linéarithmique : O(N log N), où N est le nombre d’échantillons à analyser [GR98,
p.34–38].
2.2.4.2 Spectre d’amplitude et spectre de phase
Chaque valeur calculée par transformation de Fourier est un nombre complexe
pouvant s’écrire sous la forme X[k] = Xr[k] + j · Xi[k]. Le spectre d’amplitude A du
signal correspond au module de sa transformée, soit :
A[k] = |X[k]| =
Xr[k] 2 + Xi[k] 2 pour k ∈ 0,N − 1. (6)
Le spectre de phase ϕ du signal correspond à l’argument de sa transformée, soit :
ϕ[k] = arg(X(k)) = arctan Xi[k]
Xr[k]
pour k ∈ 0,N − 1. (7)
Le spectre d’amplitude indique la répartition des composantes fréquentielles
du signal analysé. La Figure 2.3-bas présente le spectre d’amplitude du son pur

26 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
Fréquence (Hz)
1
-1
20000
15000
10000
5000
0
Amplitude
Temps (s)
Temps (s)
Fig. 2.4 – Exemple de spectrogramme d’un enregistrement audio.
-10 dB
Amplitude
représenté au-dessus (f = 4Hz, φ = 0, a = 1, Fe = 31Hz). La FFT des N échantillons
de signal fournit N valeurs spectrales. Les indices des composantes du spectre
d’amplitude peuvent être représentés sur un axe des abscisses en valeurs fréquentielles
avec un pas de Fe
N Hz entre deux points du spectre. En d’autres termes, pour
k ∈ 0,N − 1, la composante X[k] correspond à une valeur de fréquence de k Fe
N .
Le spectre d’amplitude du signal présente ainsi une composante non nulle pour la
valeur f = 4Hz, qui correspond à la fréquence du signal initial. La composante non
nulle visible à la valeur Fe − f est due à l’opération de numérisation, qui entraîne
une réplique du spectre au-delà de la fréquence Fe
2 . Le spectre visible entre les fréquences
Fe
2 et Fe correspond alors à une version renversée du spectre entre 0 et Fe
2 ;
en d’autres termes, la droite d’équation x = Fe
2 est un axe de symétrie du spectre
d’amplitude obtenu. Or, sous l’hypothèse que la condition de Shannon-Nyquist est
respectée (voir Section 2.2.2), les composantes fréquentielles visibles au-delà de Fe
2
ne correspondent pas à des composantes présentes dans le signal. Il est donc possible
d’appliquer un filtre sur les fréquences non pertinentes, et ainsi de retirer cette
duplication pour ne conserver que la section [0, Fe
2 ].
Afin de correspondre à des propriétés de la perception humaine, l’amplitude est
classiquement donnée en décibels (dB) sur une échelle logarithmique donnée par
AdB[k] = 20 log10( 2·A[k]
2
N ). Dans cette formule, le facteur N permet de normaliser le
résultat de la FFT afin de faire correspondre dans le spectre une amplitude de 0
décibels à la fréquence fondamentale d’un son pur (voir Figure 2.3-Bas).
2.2.4.3 Spectrogramme
La transformée de Fourier rapide permet d’obtenir la répartition des composantes
fréquentielles sur une portion de signal, en renvoyant une représentation
fréquence/amplitude de l’extrait analysé. Le spectrogramme est une visualisation
temps/fréquence/amplitude qui permet de représenter l’évolution des composantes
fréquentielles du signal [Hay95]. Il permet ainsi de visualiser l’évolution du contenu
fréquentiel sur plusieurs portions de signal. La Figure 2.4 montre un exemple de
spectrogramme obtenu par TFD sur des portions d’environ 23 ms. Le temps est in-
-70 dB

2.2 Représentation tonale du signal 27
diqué en abscisse, de gauche à droite, tandis que le contenu fréquentiel est indiqué
en ordonnée, de bas (basses fréquences) en haut (hautes fréquences). La valeur de
l’amplitude des composantes fréquentielles est représentée sur une palette de couleurs,
sur une mesure en décibels. Les lignes jaunes parallèles mettent en avant les
composantes harmoniques qui composent l’extrait audio.
2.2.5 Définition du chroma
Plusieurs types de descripteurs peuvent être utilisés pour représenter l’information
tonale d’un signal audio. Ainsi, la centroïde tonale [HSG06], les Profils Qconstants
[Pur05, p.120–123] ou encore les Profils de Classes de Hauteurs [Fuj99]
sont différentes représentations symboliques possibles de l’information tonale. Une
revue détaillée des techniques existantes peut être consultée en [G´06, p.35–62].
La représentation par spectre d’amplitude exposée en Section 2.2.4.2 donne accès
au contenu fréquentiel de la portion de signal analysée. Le spectre d’amplitude
fournit donc une information sur l’ensemble des hauteurs perçues dans l’extrait
analysé. Afin de caractériser précisément les informations tonales de l’extrait, il
convient alors de projeter ce spectre sur un espace de description des hauteurs musicales.
Comme souligné par Shepard [She82], les hauteurs sont perçues de manière
cyclique, où un cycle recommence à chaque octave. Dès lors, la hauteur d’un son
peut être décomposée par la hauteur de l’octave à laquelle elle appartient, et la
classe de la note au sein d’une octave, ou classe tonale. Particulièrement développée
chez les musiciens entraînés, cette perception par classes tonales est réputée
présente chez tout auditeur habitué à la musique occidentale [Deu82, Kru04].
Le Profil de Classes Tonales [Fuj99], ou Chroma [BW01], propose une représentation
des classes tonales perçues dans un extrait audio. Le chroma peut être défini
comme un vecteur de nombres réels dont chaque coefficient indique la prépondérance
de l’une des divisions de la gamme tempérée dans l’extrait analysé.
La Figure 2.5 présente plusieurs exemples de chromas correspondant à différentes
informations tonales. On suppose que ceux-ci caractérisent des extraits musicaux
à l’échelle des accords. Ces chromas sont calculés avec une dimension égale
au nombre de demi-tons de la gamme chromatique (12) ; par conséquent, chaque
coefficient indique la prépondérance d’un demi-ton dans l’extrait. Les trois valeurs
les plus élevées correspondant au La, au Do et au Mi dans (i) et (ii) soulignent
la prépondérance d’un accord particulier dans l’extrait analysé (accord de La mineur
[Bit87]). L’absence de coefficient prépondérant dans (iii) suggère que l’extrait
sélectionné ne comporte pas d’harmonie facilement identifiable. Enfin, l’apparition
de nouveaux coefficients importants dans (iv) peut correspondre, par exemple, à la
présence d’une harmonie complexe à 5 notes (Accord de neuvième de dominante
de la gamme de Sol [Bit87]), à la juxtaposition de deux accords (Ré majeur et La
mineur [Bit87]) ou encore à une simple série de 5 notes jouées successivement dans
l’extrait analysé.
La résolution du chroma correspond au nombre de dimensions, ou de valeurs
contenues dans le vecteur. Correspondant en Figure 2.5 au nombre de demi-tons
présents dans la gamme chromatique, cette résolution peut être ajustée en fonction
de l’application afin de régler la robustesse aux problèmes d’accord et aux légères
oscillations de fréquence susceptibles d’apparaître dan les signaux acoustiques [G´06,
p.49]. Ainsi, le choix d’une résolution plus élevée permet par exemple une forte amé-

28 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
C C# D D# E F F# G G# A A# B
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
C C# D D# E F F# G G# A A# B
(i) (ii)
C C# D D# E F F# G G# A A# B
(iii)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
C C# D D# E F F# G G# A A# B
(iv)
Fig. 2.5 – Exemples de chromas de dimension 12. (i) : Triade en La mineur, cas
idéal. (ii) : Triade en La mineur en présence de bruit harmonique. (iii) : Pas d’harmonie
facilement identifiable. (iv) : Superposition de tons dans le chroma, ou harmonie
complexe.
lioration de la qualité de la description harmonique sur un morceau entièrement ou
partiellement désaccordé pour l’identification des accords [PBO00, Góm06]. Cette
résolution peut facilement être réduite au nombre de demi-tons dans le cas de comparaison
avec un modèle tonal, ou par commodité de visualisation. Dans la suite,
la résolution du chroma sera abstraite à un entier B, classiquement multiple de 12.
Si la nature de l’information contenue dans le chroma reste identique, sa définition
mathématique diffère légèrement selon les études. Fujishima [Fuj99] puis, plus
tard, Gomez [G´06] introduisent le descripteur à partir de fonctions de pondération
du spectre d’amplitude obtenu par transformée de Fourier discrète. La définition
par banques de filtres [Pee06, Got06], à travers la fréquence instantanée dérivée
de la phase [EP07] ou encore à travers une transformée Q-constante remplaçant
la transformée de Fourier [ZKG05, BP05, HS05] sont d’autres approches possibles
pour construire le chroma. Une comparaison des différentes approches d’obtention
du chroma peut être trouvée en [Oud10] ou [G´06].
Dans la suite de ce travail, nous utilisons la formulation du chroma telle que
proposée par Gómez [G´06]. Le choix de ce descripteur est principalement motivé
par une performance significativement supérieure aux approches antérieures, relevée
par Gómez [G´06, p.80–99] en comparant les chromas obtenus selon chacune
des approches depuis le signal audio avec les profils de notes obtenus depuis une
représentation symbolique (partition).

2.2 Représentation tonale du signal 29
(i)
(ii)
(iii)
Amplitude
+
Fréquence (échelle logarithmique)
C# D# F# G# A#
C D E F G A B
Fig. 2.6 – Calcul schématique du premier coefficient du chroma de dimension 12.
(i) : À partir du spectre d’amplitude d’un signal, chaque bande fréquentielle de la
note Do est repérée. (ii) : Cette procédure est effectuée pour toutes les occurrences
du Do sur toutes les octaves. (iii) : Le coefficient correspondant dans le chroma
est affecté à la somme pondérée des contenus fréquentiels calculés pour les bandes
repérées.
2.2.6 Calcul du chroma
Soient T un signal audio, et A[k] le spectre d’amplitude de T . On pose N le
nombre d’échantillons dans T ; A est donc défini pour k ∈ 0,N.
Soit h = {h[1],h[2], . . . ,h[B]} le chroma du signal T . Un coefficient b de h est obtenu
en sommant toutes les contributions dans le spectre à la note b. La Figure 2.6
illustre le principe du calcul de l’un des coefficients du chroma. Sa définition mathématique
est décrite ci-dessous.
Soit b une note de la gamme. Pour calculer le coefficient h[b] du chroma correspondant
à cette note, il est nécessaire d’identifier dans le spectre d’amplitude toutes
les fréquences contribuant à celle-ci.
Soit fb la fréquence de référence correspondant à la note b de la gamme (par
exemple telle qu’indiquée dans le Tableau 2.1). L’intervalle en demi-tons entre fb et
une fréquence quelconque f est I(f,fb), tel que donné par l’Équation 4. Or, comme
décrit en Section 2.2.3, la perception cyclique des hauteurs implique que la note
b peut correspondre à une ou plusieurs octaves, donc aux fréquences fb, 2fb, 4fb,
etc. Chacune de ces fréquences doit donc être prise en compte pour le calcul du
coefficient b du chroma. La taille en demi-tons de l’intervalle entre une fréquence
quelconque f et la fréquence de la note b la plus proche est donc donnée par :
Ib(f) = 12 · log2( f
) mod 12, (8)
où x mod y désigne le reste de la division euclidienne de x par y.
Une estimation simple ˆ h des classes tonales peut alors être calculée en sommant
les contributions des différentes occurrences de la note b dans le spectre, selon la
fb

30 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
formule :
ˆh[b] =
k t.q. Ib(fk)=0
A[k], pour b ∈ 1,B. (9)
Cependant, afin de prendre en compte la perception par plage de fréquences des
hauteurs (voir Section 2.2.3) ainsi qu’une possible légère variation des composantes
fréquentielles, la contribution dans le coefficient b du chroma est étendue à des
bandes de fréquences centrées autour des occurrences de b dans le spectre [G´06], représentées
par des sections grisées sur la Figure 2.6-(i). Les coefficients ainsi repérés
sont pondérés et contribuent ensuite au calcul du coefficient b de h. La fenêtre de
pondération d’une fréquence f relativement à la note b est donnée par la formule :
cos2 (π · Ib(f)
l ) si |Ib(f)| ≤ l
2
w(b,f) =
0 si |Ib(f)| > l , (10)
2
où l est la largeur de la fenêtre de pondération, paramètre de la méthode. Le réglage
de l permet de modifier la taille des bandes fréquentielles considérées pour chaque
note.
Le chroma h correspond alors à la somme des contributions des bandes fréquentielles
ainsi définies :
h[b] =
N
w(b,fk) · A[k] 2 pour b ∈ 1,B. (11)
k=1
Avec cette formalisation, plusieurs réglages permettent d’adapter le descripteur
chroma à l’application considérée.
- La résolution B du chroma. Les valeurs couramment utilisées sont 12 (division
de la gamme en demi-tons), 24 (division en quarts de tons) et 36 (division en
sixième de tons) [G´06]. Les valeurs les plus élevées apportent une plus grande
précision des systèmes de comparaison, mais augmentent le temps de calcul de
la comparaison de descripteurs [SGHS08].
- La largeur l de la fenêtre de pondération. Gómez [G´06] indique un paramétrage
empirique à 2
3 de ton. La modification de ce paramètre permet de faire varier la
plage de fréquences correspondant à une hauteur.
2.2.7 Traitements possibles
Afin de représenter le plus précisément possible l’information tonale, le calcul du
chroma peut compter plusieurs étapes de traitements supplémentaires. En effet, le
chroma défini jusqu’ici peut présenter des limitations qui détériorent sa représentativité
de l’information tonale. En particulier, la présence de nombreuses composantes
harmoniques ou un important problème d’accord peuvent rendre la détection tonale
inefficace [G´06]. La liste des principales améliorations implémentées est donnée cidessous.
Nous invitons le lecteur à se référer aux ouvrages cités pour de plus amples
détails, ainsi qu’à l’article [MEKR11, p.1091–1092] pour un descriptif général de
ces améliorations.
- Réduction de la plage fréquentielle analysée [MEKR11] ;
- Correction de l’accord [EP07] ;
- Prise en compte des fréquences harmoniques [G´06, p.77] ;

2.3 Représentation séquentielle pour la comparaison 31
(i)
(ii)
(iii)
Signal audio
Découpage en trames
Analyse des trames
Algorithmes de traitement
(FFT, banques de filtres, auto-corrélation…)
(iv) Séquence de descripteurs Fig. 2.7 – Méthode de représentation du signal audio. Le signal (i) est découpé
en trames de tailles prédéfinies (ii), chacune étant ensuite analysée (iii) pour produire
un descripteur musical. Cette méthode produit une séquence de descripteurs
correspondant à l’analyse successive des trames (iv).
- Blanchiment de spectre et correction de timbre [SR99, ME10] ;
- Normalisation [G´06, p.79].
Les chromas utilisés dans les expériences décrites dans ce document ont été
calculés implémentant plusieurs de ces améliorations, telles que proposées par Gómez
[G´06]. L’évaluation de ces chromas a souligné leur robustesse face à des facteurs
d’erreurs communs en analyse tonale [G´06, p.80–99], tels que la présence de bruit ou
de notes désaccordées, le changement d’instrumentation ou encore la modification
de la dynamique. En outre, une étude comparative de ce descripteur avec l’état de
l’art a mis en avant la qualité de la représentation tonale obtenue pour des applications
comme l’analyse de la tonalité [G´06] ou l’alignement de séquences [SGHS08].
2.3 Représentation séquentielle pour la comparaison
Le descripteur tonal introduit et défini dans la section précédente permet de représenter
une information musicale riche depuis une portion de signal audio. Cette
analyse peut être combinée à un traitement par trames afin d’obtenir une représentation
séquentielle de l’information tonale au sein d’un morceau de musique, comme
décrit ci-dessous.
2.3.1 Traitement par trames
Les algorithmes d’analyse du signal numérique suivent généralement une approche
de traitement par blocs [KD06, p.68–77]. Cette technique consiste à enregistrer
dans un tampon mémoire un nombre prédéterminé d’échantillons du signal
audio, puis à analyser l’information reçue à chaque fois que le tampon mémoire est
rempli. Cette méthode consiste donc à diviser le signal audio analysé en segments,
chaque segment ainsi défini étant appelé trame. L’algorithme d’analyse produit alors
un descripteur qui caractérise chaque trame selon un paramètre musical, se rattachant
aux critères définis en Section 2.1. La Figure 2.7 représente schématiquement
le processus d’analyse du signal audio utilisé.

32 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
Le choix des durées de trames de signal dépend de multiples facteurs :
- Les limites théoriques des outils mathématiques utilisés, comme la transformée
de Fourier décrite en Section 2.2.4.1, imposent des contraintes sur le découpage
effectué afin de conserver une analyse de bonne qualité ;
- En outre, la nature du signal analysé, et notamment son caractère stationnaire à
l’échelle de temps considérée, induit également des limitations sur le découpage
en trames ;
- Enfin, la durée des trames est influencée par l’information musicale à représenter.
Par exemple, dans le cas de l’analyse tonale d’un morceau, il convient de
choisir une durée de trame supérieure à la note la plus courte du morceau analysé
afin de conserver une certaine pertinence musicale. À l’inverse, dans le cas
d’une détection des attaques de notes d’un morceau (ou onsets), les durées de
trames doivent être suffisamment faibles pour permettre l’identification précise
des portions de signal correspondant aux débuts de notes, ou transitoires.
Selon l’application considérée, les durées des trames peuvent être définies de manière
constante ou dépendre d’un paramètre musical, comme les attaques de notes ou le
tempo (voir par exemple [EP07, Jeh05a]).
À l’issue de ce traitement, le morceau de musique est représenté par une séquence
de descripteurs qui décrivent l’évolution d’un critère musical, les informations tonales
dans notre cas.
2.3.2 Comparaison entre descripteurs
L’analyse de structures répétitives requiert un mécanisme permettant de comparer
les descripteurs entre eux. Il convient donc de définir une mesure permettant
d’estimer la ressemblance entre deux chromas. Le choix effectué pour comparer des
chromas dans le cadre de ces travaux est issu notamment du travail de Serrà et
al. [SGHS08], qui met en avant la qualité de ces mesures pour l’estimation de similarités
séquentielles par rapport aux autres techniques existantes (voir [SGHS08,
p.5] ainsi que l’annexe en ligne 1 ).
La mesure utilisée pour comparer deux chromas h1 et h2 de dimension B est
le coefficient de corrélation de Pearson (voir par exemple [RN88]), défini selon la
formule :
r(h1,h2) =
Bb=1 (h1[b] − h1)(h2[b] − h2)
Bb=1
(h1[b] − h1) 2
, (12)
Bb=1
(h2[b] − h2)
où h1 et h2 désignent respectivement la valeur moyenne des coefficients des chromas
h1 et h2.
Le coefficient r permet d’estimer la ressemblance entre deux chromas. Cependant,
comme souligné par Serrà et al. [SGHS08, p.9], il est préférable dans le
contexte de comparaisons tonales d’utiliser une mesure de similarité binaire, c’est-àdire
prenant une décision de type similaire/dissimilaire. Plusieurs raisons justifient
ce choix :
- Comme l’explique Krumhansl [Kru01, p.40–49], il semble erroné de décrire les relations
entre accords dans un espace euclidien. Il est donc important de conserver
une mesure de similarité non euclidienne ;
1. http://mtg.upf.edu/∼jserra/chromabinsimappendix.html, accédé en août 2012

2.3 Représentation séquentielle pour la comparaison 33
- La définition d’une échelle continue de similarité tonale à partir de considérations
musicales et perceptives semble particulièrement complexe à réaliser sur des
critères objectifs, et indépendants du style musical considéré [SGHS08] ;
- La réduction à une décision binaire représente un choix simple (similaire ou non
similaire) permettant une analogie avec les symboles alphabétiques.
La méthode de comparaison binaire proposée par Serrà et al. [SGHS08] consiste
à vérifier si deux chromas h1 et h2 correspondent à la même information en comparant
h1 avec toutes les transpositions possibles de h2.
Pour calculer cette comparaison, il convient donc de définir la notion de transposition
d’un chroma. Puisque chaque coefficient d’un chroma de dimension 12
correspond à un demi-ton de la gamme tempérée, transposer h de k demi-tons
revient à effectuer un décalage circulaire d’ordre k sur les coefficients de h. Plus
généralement, en notant B la résolution du chroma h, on définit la transposition de
h d’un nombre k ∈ 1,B de divisions, notée h ↑k , par la formule :
∀p ∈ 1,B,h ↑k [p] = h[(p + k) mod B]. (13)
Afin d’estimer la similarité entre deux chromas h1 et h2, h1 est comparé aux B
transpositions de h2. L’indice de la transposition correspondant à la plus forte corrélation
est appelé Indice de Transposition Optimale (OTI) [SGH08]. Formellement,
l’OTI de deux chromas h1 et h2 est donné par la formule :
OTI(h1,h2) = argmax{r(h1,h
k∈1,B
↑k
2 )}. (14)
Si l’indice de transposition optimale correspond à la version non transposée de
h2 (soit k = 0 si B = 12), alors les deux chromas sont déclarés similaires. Dans le cas
contraire, ils sont déclarés dissimilaires. De plus, si les chromas sont d’une dimension
supérieure aux 12 demi-tons de la gamme tempérée, il est judicieux d’étendre la
décision de similarité à toute transposition inférieure au demi-ton. De cette façon,
une trame de signal suivant une légère variation des composantes fréquentielles est
tout de même considérée comme similaire à la version bien accordée. La mesure
binaire de similarité λ chr entre deux chromas h1 et h2 est finalement définie par la
formule :
⎧
⎪⎨ λ+ si OTI(h1,h2) <
λchr (h1,h2) =
⎪⎩
B
2·12
ou si |OTI(h1,h2) − B| < B
2·12
λ− sinon
, (15)
où λ+ et λ− sont des paramètres, à définir en fonction de l’application, correspondant
aux valeurs associées respectivement à la décision de similarité et à la décision
de dissimilarité entre chromas.

34 Chapitre 2 : Représentation séquentielle de l’information musicale
2.4 Conclusion du chapitre
Ce chapitre présente notre méthode de représentation d’un signal audio sous la
forme d’une séquence de descripteurs. Nous justifions le choix de représentation de
l’information tonale par la richesse des structures musicales qu’elle possède. Nous
présentons alors le descripteur chroma tel qu’il est défini dans la littérature et
détaillons son obtention à partir du signal audio. Enfin, nous exposons un outil de
comparaison entre ces descripteurs en nous appuyant sur une méthode existante et
adaptée à la comparaison séquentielle.
Ce chapitre ne décrit qu’un type d’information musicale, l’information tonale.
Une perspective majeure de nos travaux est d’examiner une autre information musicale
et ainsi d’aboutir à une séquence de descripteurs fondés sur un critère musical
distinct. La combinaison de différents critères de description est alors un enjeu important
des travaux futurs, dans l’objectif d’extraire depuis le signal audio une
représentation encore plus précise et pertinente d’un point de vue musical.

Chapitre 3
Comparaison de séquences
musicales
Analyser les structures répétitives dans la musique exige de pouvoir estimer la
similarité musicale. Par similarité, nous entendons l’impression subjective de percevoir
un contenu musical ressemblant, quelles que soient les variations acoustiques
des signaux identifiés comme similaires. Cet aspect fondamental de la notion de
similarité la rend difficile à définir d’une manière universelle, et sa perception reste
propre à la sensibilité de chaque auditeur.
La représentation séquentielle de la musique permet de modéliser la temporalité
des œuvres musicales, et constitue pour cette raison une modélisation précise
des événements musicaux (voir la Section 1.3). C’est pourquoi de nombreuses techniques
de comparaison de séquences sont adaptées et utilisées dans un contexte
de recherche en information musicale [Lem00, CI04]. Elles sont par exemple employées
pour identifier des requêtes par fredonnement [HFR07, ABSW04], synchroniser
des morceaux similaires [DW05, Mül07] ou encore détecter des structures
répétitives [CCI + 02, DH02, HCC04]. Si les champs d’application et la formalisation
des outils peuvent varier entre ces différentes études, elles ont en commun une prise
en compte de l’aspect approché des comparaisons effectuées par des techniques dites
d’alignement.
Nous décrivons dans ce chapitre des outils d’alignement de séquences adaptés
à l’estimation de la similarité musicale. Nous montrons que ces outils, d’abord introduits
de manière formelle et décorrélée de tout contexte applicatif, permettent
alors une évaluation pertinente de la similarité entre séquences musicales. La suite
de ce chapitre introduit les notations formelles et les algorithmes de comparaison
de séquences, et détaille leurs applications à l’analyse de séquences musicales. La
Section 3.1 définit les outils d’algorithmique du texte utilisés pour l’analyse de séquences
musicales. À partir de la notion simple d’édition de séquences de symboles,
plusieurs techniques d’alignement sont présentées, chaque variante permettant une
meilleure robustesse du système face à de possibles variations dans les séquences
musicales. Les techniques d’alignement sont ensuite évaluées dans le cadre d’une application
musicale en Section 3.2. Dans le contexte de l’estimation de la similarité
entre séquences musicales, un cas pratique d’identification de reprises est décrit et
évalué. Face au coût calculatoire élevé imposé par les techniques d’alignement, nous
examinons une stratégie d’indexation en Section 3.3. Nous proposons une accélération
du système de comparaison en nous inspirant d’une méthode heuristique mise
au point pour la comparaison efficace de séquences biologiques, que nous adaptons
aux spécificités des séquences musicales.

36 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
3.1 Édition et alignement
Nous introduisons dans cette section les techniques existantes et le vocabulaire
d’algorithmique du texte utiles à la comparaison de séquences musicales. Dans la
mesure où ces techniques sont largement formalisées et réputées correctes dans la
littérature, les preuves d’algorithmes ne font pas l’objet de cette thèse et ne seront
pas fournies. Nous invitons le lecteur à se référer par exemple aux ouvrages de
Gusfield [Gus97] ou Crochemore et al. [CHL07] pour plus d’informations sur les
algorithmes et notations détaillés ci-dessous.
3.1.1 Notations et définitions
Un alphabet Σ est un ensemble fini de symboles. Une séquence de symboles, ou
plus simplement séquence u définie sur un alphabet Σ est une suite d’éléments de Σ.
La taille d’une séquence u, notée |u|, désigne le nombre de symboles qui constituent
u. L’ensemble des séquences finies de symboles définis sur Σ est noté Σ ∗ . On appelle
séquence vide, et on note ε, la séquence ne comportant aucun symbole (de taille
nulle).
On note u[i] le i-ème symbole de u, u pouvant ainsi être écrite comme une
séquence de ses symboles : u[1]u[2] . . . u[|u|]. Une séquence v est dite facteur de u si
et seulement s’il existe deux séquences w1 et w2 telles que u = w1vw2. Un facteur
v d’une séquence u est dit propre si v = u.
Le facteur de u commençant à l’indice i et finissant à l’indice j avec 1 ≤ i ≤
j ≤ |u| est noté u[i . . . j] = u[i]u[i + 1] . . . u[j]. Par convention, si i > j, alors
u[i . . . j] = ε. Une séquence v est dite suffixe (respectivement préfixe) de u si et
seulement s’il existe une séquence w telle que u = wv (resp. u = vw). Tout suffixe
ou préfixe v d’une séquence u est dit propre si v = u. En particulier, les séquences
u et ε sont toutes deux facteurs, préfixes et suffixes de la séquence u. L’ensemble
des facteurs d’une séquence u est noté S(u).
Deux facteurs non vides v = u[k . . . l] et w = u[m . . . n] de u sont dits disjoints
dans u si et seulement s’ils ne partagent aucune position de u, c’est-à-dire si et
seulement si [k,l] ∩ [m,n] = ∅. En outre, on dit que les facteurs v et w sont chevauchants
dans u si et seulement si un suffixe propre de v est un préfixe propre de w,
ou si un suffixe propre de w est un préfixe propre de v. On désigne par intersection
de v et w, et on note v ∩u w, le facteur de u correspondant aux symboles communs
de v et w dans u : v ∩u w = u[max(k,m) . . . min(l,n)]. En particulier, l’intersection
de facteurs disjoints dans u est ε, l’intersection de u et d’un facteur v de u est v
et l’intersection de u et u est u. On peut facilement montrer que deux facteurs v
et w d’une séquence u se chevauchent dans u si et seulement si (i) ils ne sont pas
disjoints dans u, (ii) v /∈ S(w) et (iii) w /∈ S(v).
L’exemple suivant illustre la notion de facteurs, préfixes, suffixes et intersections
dans la séquence musicalement :
Séquences Propriétés
u = musicalement v1,v2,v3,v4,u,ε ∈ S(u),v5 /∈ S(u)
v1 = musicale v1 préfixe de u
v2 = ment v2,v3 suffixes de u
v3 = calement v1 ∩u v2 = ε, v1 ∩u v3 =cale, v1 ∩u v4 = sical
v4 = sical v1 et v3 chevauchants dans u, v2 et v4 disjoints dans u
v5 = amusical v1 et v4 non chevauchants et non disjoints dans u

3.1 Édition et alignement 37
Transcription 1 Transcription 2 Transcription 3
u = cabaaab u = cabaaab u = cabaaab
aabaaab R cabaaab D cabaaab D
acbaaab R abaaab C abaaab D
acbaaab C acbaaab I baaab D
acbaaab D acbaaab C aaab C
acbbab R acbbaab R acaab I
acbbaab C acbbaab C acbab R
acbbaab D acbbaab C acbbb R
acbbaa R acbbaab D acbba R
acbbaa I
v = acbbaa v = acbbaa v = acbbaa
t1 = RRCDRCDR t2 = DCICRCCD t3 = DDDCIRRRI
Tab. 3.1 – Trois exemples de transcriptions de deux séquences u et v.
3.1.2 Distance d’édition et alignement global
L’édition [Lev66] est une formalisation simple et fréquemment employée qui permet
de calculer une distance entre deux séquences [Gus97]. Éditer une séquence u
en une séquence v consiste à transformer u en v en effectuant une série d’opérations
élémentaires sur les symboles de ces séquences, appelées opérations d’édition.
Les opérations usuelles incluent l’insertion d’un symbole de v, la suppression d’un
symbole de u et la substitution d’un symbole de u par un symbole de v. Plus précisément,
la substitution d’un symbole de u par le même symbole dans v est appelée
correspondance, et la substitution d’un symbole de u par un symbole distinct dans
v est appelé remplacement. Lors de l’édition d’une séquence u, on appelle opération
d’édition stricte toute opération d’édition qui modifie u (telle que l’insertion, la
suppression ou le remplacement), et opération d’édition non stricte toute opération
qui ne modifie pas u (correspondance).
Il convient de noter que d’autres opérations peuvent être considérées pour
prendre en compte une édition plus sophistiquée entre des séquences de symboles.
Par exemple, les opérations de consolidation et de fragmentation, telles qu’introduites
par Mongeau et Sankoff [MS90], peuvent être employées pour représenter
des transformations usuelles sur une description symbolique des notes de musique.
Bien que ces différentes opérations ne soient pas considérées dans la suite de nos travaux,
leur prise en compte pour l’estimation de similarité constitue une perspective
importante de cette thèse.
3.1.2.1 Transcription
Afin de représenter l’édition entre deux séquences u et v, une solution simple
consiste à décrire la série d’opérations d’édition effectuée pour une transformation de
u en v. Pour ce faire, on attribue à chaque opération d’édition possible un symbole,
et on introduit l’alphabet des opérations d’édition Σo comme l’ensemble de ces
symboles. Par exemple, l’alphabet Σo = {C,R,D,I} représente les quatre opérations
usuelles : la correspondance notée C, le remplacement noté R, la suppression notée
D et l’insertion notée I.

38 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
Définition 1 (Transcription) On appelle transcription de l’édition de u en v
toute séquence de symboles définie sur un alphabet d’opérations d’édition Σo qui
décrit une série d’opérations permettant d’éditer une séquence u en une séquence v.
Il existe de nombreuses transcriptions de l’édition de deux séquences u et v.
Ainsi, dans le Tableau 3.1, t1, t2 et t3 sont des transcriptions possibles de l’édition
de u en v sur Σo = {C,R,D,I}.
Pour deux séquences de symboles u et v, on note T (u,v) l’ensemble des transcriptions
de l’édition de u en v. Il convient de noter que lors d’une transcription
de l’édition d’une séquence u en une séquence v, on applique une et une seule opération
d’édition à chaque position de u et une et une seule opération d’édition à
chaque position de v (l’opération de correspondance étant assimilable à la fonction
identité). En conséquence, la séquence vide ε ne peut pas transcrire l’édition de
séquences non vides ; formellement, ε transcrit l’édition de u en v si et seulement si
u = v = ε.
3.1.2.2 Alignement global
La transcription d’édition est la représentation de la transformation d’une séquence
en une autre. Une alternative pour visualiser l’édition consiste à expliciter
les opérations d’édition effectuées dans la transformation en plaçant en correspondance
les symboles substitués. Ainsi, l’alignement global est défini de la manière
suivante :
Définition 2 (Alignement global) Soient Σo un alphabet d’opérations d’édition,
u et v deux séquences. Un alignement global entre u et v est une séquence z sur l’alphabet
(Σo ∪{ε})×(Σo ∪{ε})\{(ε,ε)} dont la projection sur la première composante
est u et la projection sur la seconde est v.
Chaque symbole (a,b) d’un alignement de u en v représente une opération de
l’édition entre les deux séquences : une substitution si a et b sont des symboles respectifs
de u et v, une suppression si b = ε et une insertion si a = ε.
En pratique, l’alignement global A de deux séquences de symboles u et v pour
une transcription donnée t s’obtient en matérialisant le symbole ε par un symbole
spécial d’alignement φ (un tiret par exemple). Ainsi, on ajoute φ dans u et dans v,
puis on place les deux séquences résultantes ut et vt l’une en-dessous de l’autre de
telle sorte qu’à chaque symbole de ut est associé un symbole de vt qui vérifie les
opérations de t. Plus précisément, dans le cas de l’insertion d’un symbole s de v,
un symbole spécial φ est ajouté dans ut de telle sorte que s et φ soient alignés l’un
en-dessous de l’autre; dans le cas de la suppression d’un symbole s de u, un symbole
spécial φ est ajouté dans v de telle sorte que s et φ soient alignés l’un en-dessous de
l’autre; enfin, dans le cas d’une substitution d’un symbole s1 de u par un symbole
s2 de v, s1 dans ut et s2 dans vt sont alignés l’un en-dessous de l’autre.
L’exemple suivant décrit une transcription t des séquences u = aabcdaaabda et
v = abbccdaacda (ii) ainsi que l’alignement global correspondant (i), avec le tiret
comme symbole spécial d’alignement φ :
(i)
ut
vt
a
a
a
b
b
b
c
c
-
c
d
d
a
a
a
a
a
-
b
c
d
d
a
a
(ii) t C R C C I C C C D R C C

3.1 Édition et alignement 39
Ce processus définit une équivalence entre la transcription t et l’alignement
global A : à toute transcription correspond un unique alignement, et réciproquement.
Malgré cette équivalence, l’interprétation et l’utilisation de l’alignement et
de la transcription diffèrent en pratique. La transcription représente la série de
changements nécessaires à la tranformation d’une séquence en une autre, alors que
l’alignement explicite la transformation des séquences elles-mêmes. La première représentation
est ainsi centrée sur le processus de transformation, alors que la seconde
met en avant le produit de cette transformation.
Comme dans le cas de la transcription, il existe un nombre important d’alignements
globaux d’une séquence de symboles sur une autre. Afin de différencier ces
alignements, il convient d’introduire une pondération des opérations d’édition.
3.1.2.3 Pondération
À chacune des opérations élémentaires d’édition est associé un poids, qui dépend
des symboles comparés. Formellement, on définit une fonction de pondération δ :
Σ × Σ → R + qui traduit le coût de l’alignement de deux symboles.
Par exemple, pour deux symboles x et y alignés,
- si x est un symbole spécial, alors δ(x,y) correspond à un coût δI d’insertion de
y;
- si y est un symbole spécial, alors δ(x,y) correspond à un coût δD de suppression
de x;
- si x et y sont identiques, alors δ(x,y) correspond à un coût de correspondance
δC;
- si x et y sont différents, alors δ(x,y) correspond à un coût de remplacement δR.
La spécification de la fonction de pondération δ est appelée schéma de coûts de
pondération. En pratique, le schéma des coûts de pondération est souvent défini par
la donnée des fonctions de pondération de chaque opération élémentaire δE pour
E ∈ Σo.
Définition 3 (Coût de transcription) Soient u et v deux séquences, et t une
transcription non vide de l’édition de u en v. On pose ut et vt les séquences respectives
u et v alignées selon la transcription t. On appelle coût de la transcription t,
et on note ∆(t), la somme des coûts d’opérations d’édition :
|t|
∆(t) = δ(ut[i],vt[i]).
i=1
Par convention, le coût de transcription de la séquence vide ε est nul : ∆(ε) = 0.
Le coût de transcription permet ainsi de différencier et de pondérer les éditions
possibles de u en v.
3.1.2.4 Distance d’édition
La pondération par coûts permet d’introduire un critère optimal pour les transcriptions
d’édition. On définit alors une transcription de coût optimal entre deux
séquences de symboles u et v comme une transcription de l’édition de u en v de
coût minimal.

40 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
Définition 4 (Distance d’édition) Soient u et v deux séquences. On appelle distance
d’édition entre u et v, notée d(u,v), le coût d’une transcription optimale de
l’édition de u en v :
d(u,v) = min ∆(t) .
t∈T (u,v)
Le coût optimal peut être atteint pour plusieurs transcriptions d’édition, ainsi
il n’y a pas forcément unicité des transcriptions optimales de l’édition de u en v.
La méthode pratique de calcul de la distance d’édition est généralement attribuée
à Needleman et Wunsch [NW70] (ou Levenshtein [Lev66] dans le cas de coûts
unitaires). Elle est basée sur un principe de programmation dynamique pour calculer
cette distance de manière efficace.
3.1.2.5 Calcul pratique de la distance d’édition
Soient u et v deux séquences définies sur un alphabet Σ et de longueur respective
n = |u| et m = |v|. Pour tout (i,j) ∈ 1,n × 1,m , on désigne par di,j la distance
d’édition entre u[1 . . . i] et v[1 . . . j].
Le calcul de di,j est effectué par récurrence sur i et j. Son initialisation se fait
selon la proposition :
Proposition 1 (Initialisation) Pour tout (i,j) ∈ 0,n × 0,m,
di,0 = i
d0,j = j .
La récurrence sur i et j est donnée par la proposition :
Proposition 2 (Récurrence) Soient φ le symbole spécial d’alignement et δ un
schéma de coûts de pondération. Pour tout (i,j) ∈ 1,n × 1,m,
⎧
⎪⎨ di−1,j + δ(u[i],φ) (i)
di,j = min di,j−1
⎪⎩
di−1,j−1
+
+
δ(φ,v[j])
δ(u[i],v[j])
(ii)
(iii)
Le calcul par programmation dynamique permet ainsi de déduire la distance di,j
à partir d’une optimisation locale entre (i) la distance di−1,j majorée d’un coût de
suppression du symbole i de u, (ii) la distance di,j−1 majorée d’un coût d’insertion
du symbole j de v, ou (iii) la distance di−1,j−1 majorée d’un coût de substitution
(correspondance ou remplacement) du symbole i de u par le symbole j de v. La
preuve de cet algorithme peut être trouvée, par exemple, dans [Gus97, p.218-219].
di,j correspond à la distance d’édition entre les i premiers symboles de u et les
j premiers symboles de v. Par conséquent, la distance d’édition recherchée d(u,v)
de u et v est simplement donnée par :
d(u,v) = dn,m. (16)
.

3.1 Édition et alignement 41
3.1.3 Alignement local
Pour de nombreuses applications en analyse de séquences biologiques comme en
analyse musicale, deux séquences peuvent ne pas présenter de forte ressemblance
dans leur globalité mais contenir des régions de grande similarité. L’alignement
local [SW81] est une variante de la distance d’édition qui permet de localiser dans
les deux séquences les régions les plus similaires.
3.1.3.1 Similarité
La similarité est une notion duale de la notion de distance. Les deux mesures
diffèrent sur leur logique : à deux symboles identiques est associée une faible distance
et une forte similarité, alors qu’à deux symboles distincts est associée une distance
élevée et une faible similarité. En pratique, la notion de similarité entre séquences
convient mieux à l’évaluation d’alignements locaux, comme décrit ci-après.
Formellement, on définit une fonction de pondération λ : Σ × Σ → R qui représente
le score de l’alignement de deux symboles. Comme pour la fonction δ dans
le cas de la pondération par coûts, la définition de λ peut être divisée en plusieurs
définitions de fonctions de score λE pour chacune des opérations d’édition possibles
E ∈ Σo. La spécification de λ, donc de l’ensemble des fonctions de pondération de
chaque opération élémentaire, est appelée schéma de scores de pondération.
Il convient de noter que, contrairement aux coûts de pondération qui sont définis
sur R + , un score de pondération peut correspondre à n’importe quel réel, positif ou
négatif. On introduit alors la notion de bonne formation d’un schéma de scores de
pondération :
Définition 5 (Schéma de scores bien formé) Un schéma de scores de pondération
est dit bien formé si à toute opération d’édition stricte est associé un score
négatif, et à toute opération d’édition non stricte est associé un score positif.
Définition 6 (Score de transcription) Soit u et v deux séquences, et soit t une
transcription non vide de l’édition de u en v. On pose ut et vt les séquences respectives
u et v alignées selon la transcription t. On appelle score de la transcription t,
et on note Λ(t), la somme des scores d’opérations d’édition :
|t|
Λ(t) = λ(ut[i],vt[i]).
Par convention, le score de la transcription vide est nul : Λ(ε) = 0.
i=1
Définition 7 (Score de similarité) Soient u et v deux séquences. On appelle
score de similarité entre u et v, noté s(u,v), le score d’une transcription optimale
de l’édition de u en v :
s(u,v) = max Λ(t) .
t∈T (u,v)
Comme dans le cas de la distance d’édition, le score optimal peut être atteint
pour plusieurs transcriptions d’édition ; ainsi, il n’y a pas forcément unicité des
transcriptions de score optimal de l’édition de u en v.

42 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
3.1.3.2 Similarité locale et alignement local
Le problème de la similarité locale [SW81, Gus97] peut être formulé comme
suit :
Problème 1 (Similarité locale) Soient u et v deux séquences définies sur un
alphabet Σ, et S(u) et S(v) leurs ensembles de facteurs respectifs. Le problème de la
similarité locale consiste à trouver deux séquences u ′ ∈ S(u) et v ′ ∈ S(v) vérifiant :
s(u ′ ,v ′ ) = max s(x,y)
(x,y)∈S(u)×S(v)
.
Ce score optimal est noté s ∗ (u,v), et appelé score de similarité locale de u et v.
Par convention, on notera u ∗ et v ∗ les facteurs respectifs de u et v effectivement
alignés, c’est-à-dire tels que s ∗ (u,v) = s(u ∗ ,v ∗ ). L’alignement global de ces deux
facteurs u ∗ et v ∗ de score s ∗ (u,v) est appelé alignement local optimal de u et v, ou
simplement alignement local de u et v en l’absence d’ambiguïté.
L’exemple suivant décrit un alignement local optimal de u = babcbaaabcbb et
v = ccccbcababccacc (i) ainsi que la transcription des facteurs alignés en noir (ii),
avec φ = “- ′′ comme symbole spécial d’alignement :
(i) u ∗ t b a b c - b a a a b c - b b
v ∗ t c c c c b c a b - - a b c c a c c
(ii) t C C I C D D C C C
Il convient de noter que les symboles grisés ne sont pas alignés dans cet exemple,
et seule la similarité locale des facteurs symbolisés en noir est finalement prise en
compte.
La méthode pratique de calcul de l’alignement local est attribuée à Smith et
Waterman [SW81]. Comme dans le cas de la distance d’édition, elle est basée sur
un principe de programmation dynamique.
3.1.3.3 Calcul pratique de la similarité locale
Soient u et v deux séquences définies sur un alphabet Σ de longueur respective
n = |u| et m = |v|. Afin de déterminer les deux facteurs de u et v de similarité
optimale, Smith et Waterman [SW81] proposent de parcourir tous les préfixes de u et
v, et de déterminer pour chaque couple de préfixes, par programmation dynamique,
les deux suffixes qui optimisent le score de similarité. Plus précisément, pour tout
(i,j) ∈ 1,n × 1,m, on désigne par s + i,j le score de similarité optimal entre un
suffixe de u[1 . . . i], potentiellement vide, et un suffixe de v[1 . . . j], potentiellement
vide. Dans le cas où les deux suffixes optimaux correspondent à la séquence vide,
leur score de similarité est nul. Par conséquent, s + i,j est égal au score s de similarité
maximale entre un suffixe de u se terminant en i et un suffixe de v se terminant en
j si s > 0, à 0 sinon. Formellement,
s + i,j
= max{0} ∪ {s(u[k . . . i],v[l . . . j])|(k,l) ∈ 1,i × 1,j}. (17)
Le calcul pratique de s + i,j est réalisé par récurrence sur i et j. Son initialisation
se fait selon la proposition :
Proposition 3 (Initialisation) Pour tout (i,j) ∈ 0,n × 0,m,
+
s i,0 = 0
.
= 0
s + 0,j

3.1 Édition et alignement 43
La récurrence sur i et j est donnée par la proposition :
Proposition 4 (Récurrence) Soient φ le symbole spécial d’alignement et λ un
schéma de scores de pondération bien formé. Pour tout (i,j) ∈ 1,n × 1,m,
s + i,j
⎧
s
⎪⎨
= max
⎪⎩
+ i−1,j + λ(u[i],φ) (i)
s + i,j−1 + λ(φ,v[j]) (ii)
s + i−1,j−1 + λ(u[i],v[j]) (iii)
0 (iv)
Comme précédemment, le calcul par programmation dynamique permet de déduire
le score de similarité s + i,j à partir d’une optimisation locale entre (i) le score
s + i−1,j amoindri d’un score de suppression du symbole i de u, (ii) le score s+ i,j−1
amoindri d’un score d’insertion du symbole j de v, (iii) le score s + i−1,j−1 additionné
à un score de substitution (correspondance ou remplacement) du symbole i de u
par le symbole j de v, et (iv) la condition d’alignement local 0 qui permet d’aligner
des suffixes vides de u et v, et dont le choix marque ainsi le début d’un nouvel alignement.
La preuve de cet algorithme peut être trouvée, par exemple, dans [Gus97,
p.233-234]
s + i,j correspond au score de similarité optimal entre un suffixe des i premiers
symboles de u et un suffixe des j premiers symboles de v. Par conséquent, le score
de similarité locale recherché s∗ (u,v) de u et v est donné par :
3.1.4 Implémentation
s ∗ (u,v) = max s + i,j . (18)
(i,j)∈1,n×1,m
Nous explicitons dans cette section plusieurs points d’implémentation qui permettent
de calculer les alignements précédemment définis. Cette section se place
dans un contexte pratique, où une certaine efficacité calculatoire doit être assurée.
3.1.4.1 Matrice de programmation dynamique
Les points d’implémentation décrits dans cette section sont analogues pour la
procédure d’alignement global et d’alignement local. La suite de cette section détaille
le calcul dans le cas global, les explications étant facilement transférables à
l’alignement local.
Les formules de récurrence données en Propositions 2 et 4 peuvent aisément être
implémentées par une procédure récursive. Une approche récursive simple consiste
à calculer dn,m en appelant récursivement le calcul de di−1,j, de di,j−1 et de di−1,j−1
pour tous les indices i de n à 0 et j de m à 0. Cependant, le nombre d’appels récursifs
nécessaire au calcul de dn,m croît dans ce cas de manière exponentielle par rapport
à n et m, ce qui rend la distance d’édition particulièrement coûteuse en temps de
calcul. Or, en remarquant qu’il n’existe que (n + 1) × (m + 1) couples (i,j) distincts,
on déduit qu’au plus (n+1)×(m+1) appels récursifs distincts peuvent être effectués.
Par conséquent, il est plus efficace de calculer la distance dn,m en obtenant di,j pour
.

44 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
a
b
c
c b c
Fig. 3.1 – Graphe d’édition entre abc et cbc.
des indices i et j croissants et en mémorisant les distances à mesure qu’elles sont
calculées. Il s’agit d’un principe de programmation dynamique.
Formellement, on introduit une matrice de programmation dynamique M de
taille (n + 1) × (m + 1) dont chaque coefficient (i,j) correspond au résultat di,j
d’une étape de la Proposition 2 :
∀(i,j) ∈ 0,n × 0,m,M[i][j] = di,j. (19)
La ligne 0 et la colonne 0 de M sont directement renseignées à partir des conditions
initiales de la récurrence (Prop. 1). Les valeurs de M sont ensuite calculées
ligne à ligne de haut en bas à partir du coefficient M(1,1) jusqu’au coefficient
M(n,m). Dans chaque ligne, les valeurs de M sont calculées de gauche à droite.
Le calcul progressif de M permet ainsi d’obtenir, pour i et j croissants, toutes
les distances di,j nécessaires à l’évaluation par programmation dynamique de dn,m.
Cette procédure assure d’évaluer exactement n × m fois la formule de la Proposition
2, et permet ainsi le calcul exact de la distance d’édition de u en v par un
nombre suffisant d’opérations [Gus97].
Le calcul par programmation dynamique permet d’obtenir la distance d’édition
entre deux séquences u et v. Outre cette distance, en fonction de l’application, la
comparaison de séquences implique souvent de transcrire l’édition optimale effectuée
pour obtenir cette distance, afin d’expliciter l’alignement global entre u et v.
3.1.4.2 Graphe d’édition
L’espace parcouru pour le calcul par programmation dynamique de l’alignement
de deux séquences u et v peut être visualisé en représentant toutes les opérations
d’édition possibles entre les séquences sous forme d’un graphe. Formellement, on
introduit le graphe d’édition de u de taille n et v de taille m comme le graphe
acyclique orienté défini par :
- (n + 1) × (m + 1) nœuds, chacun étiquetés par (i,j), correspondant à une paire
de positions dans u et v ;

3.1 Édition et alignement 45
- À chaque nœud (i,j) sont associés un arc a1 vers le nœud (i,j + 1), un arc a2
vers le nœud (i + 1,j) et un arc a3 vers le nœud(i + 1,j + 1), si ceux-ci existent ;
- Chaque arc est pondéré par le poids de l’opération qu’il représente : le poids de
la suppression de u[i] pour a1, le poids de l’insertion de v[j] pour a2 ou le poids
de la substitution de u[i] en v[j] pour a3.
À titre d’exemple, le graphe d’édition entre les séquences abc et cbc est donné
en Figure 3.1.
Ainsi, tout chemin dans le graphe d’édition de u et v depuis la position (0,0)
jusqu’à la position (n,m) décrit un alignement global de u en v, et le chemin de
score minimal correspond à la transcription optimale.
La représentation sous forme de graphe d’édition est ainsi équivalente à la définition
de la matrice de programmation dynamique. La première est plus adaptée
pour visualiser les alignements effectués, tandis que la seconde est utile pour les descriptions
plus formelles de l’implémentation associée à l’alignement des séquences.
3.1.4.3 Obtention des transcriptions optimales
Selon le cadre applicatif, il peut être utile de disposer non seulement de la valeur
associée à l’alignement (distance d’édition ou score de similarité), mais aussi de la
transcription optimale effectuée.
Transcription de l’alignement global
Une fois la distance d’édition d(u,v) obtenue pour deux séquences u et v, il est
possible d’expliciter les transcriptions d’édition optimales de coût d(u,v) par une
procédure appelée tracé arrière. Son calcul suppose d’enregistrer, pour chaque coefficient
de M évalué dans le calcul par programmation dynamique, un pointeur
d’édition indiquant les coefficients voisins qui correspondent aux opérations d’édition
optimales pour le coefficient en cours. Formellement, pour tout coefficient (i,j)
de M,
- si i > 0 et di,j = di−1,j + δ(u[i],φ) (choix (i) dans la Prop. 2), alors un pointeur
vertical est créé de (i,j) vers (i − 1,j) ;
- si j > 0 et di,j = di,j−1 + δ(φ,v[j]) (choix (ii) dans la Prop. 2), alors un pointeur
horizontal est créé de (i,j) vers (i,j − 1) ;
- si i > 0, j > 0 et di,j = di−1,j−1 + δ(u[i],v[j]) (choix (iii) dans la Prop. 2), alors
un pointeur diagonal est créé de (i,j) vers (i − 1,j − 1).
Cette évaluation est effectuée à chaque calcul d’un nouveau coefficient de M. Par
définition de M, au moins un pointeur est défini pour chaque coefficient (i,j) de
M. De plus, pour chaque coefficient, plusieurs pointeurs peuvent être définis en cas
d’égalité des poids d’édition.
Le graphe formé par tous les pointeurs d’édition peut ainsi être vu comme un
sous-graphe du graphe d’édition de u et v dont les arcs sont inversés. Grâce à l’ensemble
des pointeurs ainsi définis, les transcriptions optimales de u en v peuvent
être reconstruites en suivant un tracé arrière. En effet, d’après la définition du
calcul par programmation dynamique, à tout chemin C qui suit les pointeurs d’édition
depuis la position finale (n,m) jusqu’à la position initiale (0,0) correspond une
transcription t de coût optimal. Cette transcription peut aisément être déduite du
chemin C en interprétant chaque pointeur horizontal comme une insertion, chaque

3.1 Édition et alignement 47
Cette procédure permet d’obtenir le chemin de transcription locale optimale
entre u et v. Comme dans le cas de l’alignement global, les arêtes de celui-ci peuvent
être interprétées comme différentes opérations d’édition. Il convient de noter que
l’unicité de la transcription optimale dans le cas d’alignement local n’est pas assurée,
l’ensemble des transcriptions pouvant être obtenu en suivant tous les chemins
possibles en remontant de l’indice (k,l) à l’indice de coefficient nul (i,j).
3.1.4.4 Complexité algorithmique
Complexité temporelle
Soient u et v deux séquences de longueurs respectives n et m. Dans le cas global
ou local, le calcul de l’alignement de u et v par programmation dynamique requiert
le calcul des coefficients de la matrice M. Chacun de ces coefficients est évalué en
réalisant un nombre constant de calculs : 3 comparaisons et 3 opérations arithmétiques
pour l’alignement global, 4 comparaisons et 3 opérations arithmétiques pour
l’alignement local. La procédure d’alignement global ou local a donc une complexité
de Θ(nm).
Comme précisé en Section 3.1.4.3, le calcul des pointeurs d’édition peut être
effectué au fur et à mesure du calcul des coefficients de M. Pour chaque case de la
matrice, un nombre constant de 3 pointeurs est mis en place, ainsi l’établissement
de ceux-ci n’augmente pas la complexité du calcul par programmation dynamique.
La procédure de tracé arrière requiert ensuite le parcours d’un chemin de la dernière
case de M à la première case, dans le cas d’un alignement global et dans le pire des
cas d’un alignement local. Par conséquent, le tracé arrière engendre une complexité
temporelle de O(n + m) dans le cas global et local.
Complexité spatiale
Le calcul d’un alignement global ou local requiert le stockage de toutes les
valeurs de la matrice de programmation dynamique M, impliquant un besoin en
espace de Θ(nm). Or, cette contrainte s’avère problématique pour la comparaison de
longues séquences dans de grandes bases de données. Cependant, cette complexité
peut aisément être réduite à O(min(n,m)) en observant que lors de l’évaluation
d’un coefficient de M à la ligne i, seuls les coefficients de la même ligne et de la
ligne i−1 sont nécessaires. Par conséquent, le calcul par programmation dynamique
peut être réalisé en ne conservant que les deux dernières lignes de M au cours de
son évaluation. De plus, dans le cas où la transcription d’alignement est requise,
l’algorithme d’Hirschberg [Hir75] permet, par une approche Diviser pour régner,
de réduire également la complexité spatiale à Θ(min(n,m)) en conservant le même
ordre de complexité temporelle.
3.1.5 Variante robuste aux transpositions locales
Le phénomène de transpositions locales de séquences tonales introduit une variation
tonales susceptible de faire tomber en échec les techniques d’alignement décrites
précédemment. Dans le cadre de la comparaison de séquences tonales, une variante
de l’alignement proposée par Allali et al. [AFHI07] assure une prise en compte des

48 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
transpositions locales. La variante est présentée dans le cas de l’alignement global,
avec l’indication qu’elle peut aisément être adaptée à l’alignement local. Cette
section décrit donc le principe de cette méthode dans le cas de l’alignement local.
Définitions complémentaires
Définition 8 (Fonction de transposition) Soit Σ un alphabet. On appelle fonction
de transposition toute fonction γ : Σ × N → Σ qui à un symbole et une valeur
de transposition associe un autre symbole de Σ.
Par exemple, la fonction γ(x,n) = x + n pour x et n entiers correspond à une
fonction de transposition simple dans l’alphabet des entiers positifs.
Dans le cas d’un alphabet tonal, comme expliqué en Section 2.3.2, le nombre
de transpositions possibles d’un symbole est susceptible d’être réduit à un sousensemble
fini de N, noté 1,B, où B est le coefficient entier de transposition maximale
(par exemple B = 12 pour une division en demi-tons de l’octave). Une fonction
de transposition peut correspondre à un décalage du profil de classes tonales, comme
défini par la Formule 13, par exemple.
Définition 9 (Transposition globale) Soient u une séquence de taille n, k un
entier et γ une fonction de transposition. On appelle transposition globale de u de
k symboles, et on note u k γ, la séquence de longueur n obtenue en transposant par γ
chacun des symboles de u :
∀i ∈ 1,n,u k γ[i] = γ(u[i],k).
Définition 10 (Transposition locale) Soient u une séquence de taille n, i et j
deux entiers positifs tels que i ≤ j ≤ n et γ une fonction de transposition. On
appelle transposition locale de u sur l’intervalle [i,j] toute séquence v pouvant être
obtenue par transposition globale par γ du facteur u[i . . . j]. Formellement, v sur Σ
est une transposition locale de u par γ sur l’intervalle [i,j] si et seulement si
∃k ∈ N : v = u k γ[i . . . j].
Définition 11 (Transposition locale recouvrante) Soient u une séquence de
taille n et γ une fonction de transposition. On appelle transposition locale recouvrante
de u toute séquence v composée d’une concaténation de transpositions locales
de u sur des intervalles disjoints deux à deux et d’union [1,n]. Formellement, une
séquence v sur Σ est une transposition locale recouvrante de u si et seulement si
∃m ∈ N + ,(k1, . . . ,km) ∈ N m ,(i1, . . . ,im) ∈ 1,n m :
v = u k1
γ [1 . . . i1]u k2
γ [i1 + 1 . . . i2] . . . u km
γ [im−1 + 1 . . . n].
Le nombre de transpositions locales m est appelé rang de la transposition locale
recouvrante v, et noté r(v). Enfin, on note Γ(u) l’ensemble des transpositions locales
recouvrantes de u.

3.1 Édition et alignement 49
Problème
Pour deux séquences u et v définies sur Σ, le problème de similarité locale avec
transpositions locales est défini comme une optimisation du score de similarité locale
entre v et une transposition locale recouvrante de u :
Problème 2 (Similarité locale avec transpositions locales) Soient u et v deux
séquences, et λT un score d’édition stricte. Trouver le score de similarité locale avec
transpositions locales s ∗ γ(u,v) défini par :
s ∗ γ(u,v) = max
u ′ ∈Γ(u) {s∗ (u ′ ,v) + (r(u ′ ) − 1) · λT}.
En pratique, le score λT est spécifié par le schéma de scores de pondération.
Calcul pratique de la similarité locale avec transpositions
Le calcul par programmation dynamique de l’alignement local avec transpositions
locales entre deux séquences u et v sur Σ consiste à calculer simultanément
des matrices de programmation dynamique correspondant à l’alignement entre v
et toutes les transpositions locales recouvrantes possibles de u. Dans la suite, on
suppose que le nombre de transpositions possibles d’un symbole de Σ est fini, et
noté B.
Pour tout (i,j) ∈ 1,n × 1,m, on désigne par s + k i,j le score de similarité
maximale entre un suffixe de v se terminant en j, et un suffixe de u se terminant
en i transposé tel que la dernière transposition appliquée est de k symboles.
Le calcul pratique de s + k i,j est réalisé par récurrence sur i, j et k. Son initialisation
se fait selon la proposition :
Proposition 5 (Initialisation) Pour tout (i,j,k) ∈ 0,n × 0,m × 1,B,
s + k i,0 = 0
s + k 0,j
= 0 .
La récurrence est alors donnée par la proposition :
Proposition 6 Soient φ le symbole spécial d’alignement et λ un schéma de scores
de pondération bien formé. Pour tout (i,j,k) ∈ 1,n × 1,m × 1,B,
s + k i,j
⎧
⎪⎨
= max
⎪⎩
s + k i−1,j + λ(u k γ[i],φ) (i)
s + k i,j−1 + λ(φ,v[j]) (ii)
s + k i−1,j−1 + λ(uk γ[i],v[j]) (iii)
s + l i−1,j−1 + λ(uk γ[i],v[j]) + λT ∀l ∈ 1,B\{k} (iv)
0 (v)
Comme précédemment, le calcul par programmation dynamique permet ainsi
de déduire le score de similarité s + k i,j à partir d’une optimisation locale entre (i)
le score s + k i−1,j
amoindri d’un score de suppression du symbole i de la séquence
u transposée, (ii) le score s + k i,j−1
amoindri d’un score d’insertion du symbole j de
.

50 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
v, (iii) le score s + k i−1,j−1 additionné à un score de substitution (correspondance ou
remplacement) du symbole i de u transposée par le symbole j de v, (iv) les scores
s + l i−1,j pour tout l ∈ 1,B\{k} amoindris d’un score de transposition, et (v) la
condition d’alignement local 0 qui permet de débuter un nouvel alignement. La
preuve de cet algorithme est indiquée par [AFHI07] comme directement liée à celle
donnée par Gusfield dans [Gus97, p.233-234].
Le score de similarité locale recherché s∗ γ(u,v) de u et v est donné par :
s ∗ γ(u,v) = max s + k i,j . (20)
(i,j,k)∈1,n×1,m×1,B
Comme précédemment, la complexité de ce calcul par programmation dynamique
est de O(mn) en temps et en espace. Cependant, l’introduction de la robustesse
aux transpositions locales induit une multiplication du nombre d’opérations
effectuées d’une constante B correspondant au nombre de transpositions possibles
pour chaque symbole. Si cette constante ne change pas la complexité théorique, elle
peut s’avérer problématique pour l’application pratique de cet algorithme.
Pour plus de détails sur l’implémentation optimale de cette méthode, nous invitons
le lecteur à consulter [AFHI07].
3.2 Application à la similarité musicale
Le système de comparaison introduit dans la section précédente permet d’estimer
la similarité entre des séquences quelconques. Dans cette section, nous proposons
d’évaluer la pertinence de ce système dans le cadre de l’analyse musicale en
l’utilisant pour l’estimation de la similarité entre séquences de descripteurs tonaux
dans le cadre applicatif de la recherche de reprises.
3.2.1 Recherche de reprises
La recherche de reprises est une application suscitant un intérêt croissant de la
communauté scientifique d’analyse de la musique [SGH10]. La place importante de
celle-ci dans la production musicale ainsi que la multiplication de réinterprétations
sur des plateformes sociales populaires telles que Youtube 1 ou spécialisées dans le
recensement de reprises comme SecondHandSongs 2 incitent en effet à développer
des systèmes d’indexation automatique des reprises.
La reprise musicale peut être définie comme toute version, interprétation, ou enregistrement
d’une œuvre musicale déjà enregistrée [Lar98], cette dernière étant appelée
version canonique. Les reprises sont très employées par exemple dans le but de
traduire une œuvre dans un langage différent de celui d’origine, pour introduire un
nouvel artiste, pour adapter le style musical d’un morceau, ou encore pour le simple
plaisir d’interpréter une chanson connue [SGH10]. Pour l’analyse musicale, la dénomination
de reprise varie selon les études de la littérature [TYW08, G´06, SGH10].
Dans cette thèse, on associe à cette notion une définition perceptive très large : une
reprise d’un morceau est un autre morceau pouvant être identifié comme tel par une
majorité d’auditeurs humains. Par exemple, tous les termes suivants peuvent être assimilés
à des reprises : enregistrement concert, réinterprétation, version acoustique,
1. http://www.youtube.com
2. http://www.secondhandsongs.com

3.2 Application à la similarité musicale 51
version instrumentale, version a capella, remix, pot-pourri, re-master, adaptation,
parodie etc. (voir [SGH10] pour une description précise de la plupart de ces termes).
L’ensemble des reprises dérivant de la même version canonique est alors désigné par
le terme de classe de reprises. La version désigne un type particulier de reprises.
Deux versions sont deux interprétations différentes d’une même musique [SGHS08].
Les différentes versions d’un morceau présentent ainsi des caractéristiques musicales
proches, alors que les reprises au sens large sont plus susceptibles de différer de leur
morceau canonique.
Les reprises et versions d’un titre peuvent prendre de nombreuses formes et
présenter des signaux musicaux très variés. Néanmoins, lorsque l’œuvre canonique
ou l’une de ses reprises est connue, notre perception nous permet généralement
d’identifier très aisément une reprise de manière non équivoque et indépendante du
contexte [SGH10]. Il est donc possible de constituer une vérité terrain décrivant des
classes de reprises. Pour cette raison, l’identification de reprises présente l’intérêt
d’être une application de la similarité musicale pouvant être évaluée en pratique.
Les mécanismes cognitifs mis en jeu lors de l’identification d’une reprise par un
auditeur ne sont à ce jour pas clairement identifiés [SGH10]. Cependant, il est établi
que le signal audio d’une reprise présente de nombreuses caractéristiques musicales
communes avec le morceau d’origine permettant d’identifier les deux enregistrements
comme proches [Lev08]. Ainsi, plusieurs méthodes proposent de retrouver les
reprises à partir d’une estimation des caractéristiques musicales partagées par les
morceaux. En particulier, la similarité tonale semble jouer un rôle important dans
le processus d’identification de reprises [SGHS08, Whi60]. D’une manière générale,
une hypothèse-clé pour cette identification consiste à supposer qu’une reprise identifiable
par un auditeur humain possède des variations harmoniques et mélodiques
similaires avec celles de la version canonique.
Problématique et travaux antérieurs
Dans une première approche, la recherche de reprises peut être assimilée à un
problème d’identification des morceaux dérivés d’un morceau canonique :
À partir d’un morceau M (la requête), identifier tous les morceaux de la base de
données correspondant à des reprises de M.
Cependant, la recherche de reprises est généralement formulée d’une manière
plus ouverte comme un problème de classification de tous les morceaux de musique
d’une base de données :
À partir d’un morceau M (la requête), identifier tous les autres morceaux de la
base de données correspondant à des reprises du morceau canonique dont M est
lui-même une reprise.
Cette seconde formulation du problème est celle utilisée dans le cadre d’évaluations
standards, telles que le Music Information Retrieval Evaluation eXchange 1 (MI-
REX) [DBEJ08]. Ainsi définie, l’identification des reprises peut alors être ramenée
à un problème de recherche par similarité entre tous les morceaux d’une base de
données [SGH10]. Cette deuxième formulation du problème permet en outre de correspondre
à un cadre d’utilisation pratique plus large que la première, un utilisateur
1. http://www.music-ir.org/mirexwiki

52 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
pouvant obtenir la classe de reprises à laquelle se rapporte un morceau quelconque
sans nécessairement connaître sa forme canonique.
Les méthodes d’identification de reprises existantes emploient différentes techniques
afin d’identifier des similarités musicales en présence de fortes variations
tonales, timbrales, rythmiques ou encore structurelles [SGH10].
La robustesse aux changements tonaux et timbraux est généralement assurée
par le calcul d’un descripteur mélodique [Mar06, SD06] ou tonal (chroma) [EP07,
GH06, JCEJ08, KN08] permettant d’isoler les tons joués du reste du signal, adjoint
à une représentation ou une technique de comparaison relative rendant possible
l’identification de reprises transposées ou désaccordées [SGH10].
La robustesse aux variations liées à la temporalité du signal (comme le tempo
et le rythme) est assurée dans les méthodes existantes par différentes techniques :
- L’une d’entre elles consiste à calculer des contractions et expansions temporelles
dans les signaux comparés [KM08, MKC05]. En ré-échantillonnant le signal à différentes
échelles temporelles musicalement plausibles, plusieurs représentations
peuvent être comparées et le meilleur compromis choisi pour estimer la similarité
entre deux morceaux sur la même unité de temps [SGH10]. Cette technique
présente cependant l’inconvénient de requérir un nombre élevé de calculs, chaque
distorsion de l’échelle temporelle exigeant une nouvelle estimation des descripteurs.
- Une alternative à cette technique consiste à estimer le tempo afin de calculer des
descripteurs sur une même unité de temps [EP07, Mar06, NKM02]. Les séquences
descriptives peuvent alors être comparées sur une représentation indépendante
du tempo.
- Une troisième stratégie consiste à utiliser des techniques d’alignement de séquences
afin de calculer les variations temporelles en éditant les séquences représentatives
(voir section précédente). Plusieurs systèmes d’identification des
reprises mettent en avant la robustesse de cette technique face à de fortes altérations
de la temporalité des séquences musicales [SGHS08, Bel07, GH06, G´06,
Mar06]. En outre, des études de Serrà et al. [SGHS08] ou Bello [Bel07] rapportent
une performance significativement meilleure de cette approche d’utilisation de
techniques d’alignement par rapport à la précédente de calcul et prise en compte
du tempo.
Enfin, la robustesse aux variations structurelles est prise en compte dans les systèmes
les plus performants [SGH10, p.14][DBEJ08]. Un résultat majeur est l’amélioration
significative des résultats d’identification des reprises en considérant une
mesure locale de la similarité [SGHS08]. Ainsi, il semble plus efficace de ne considérer
que l’extrait le plus ressemblant dans deux reprises de la même version canonique
pour établir un score de similarité pertinent. Cette approche a été mise en œuvre
avec succès dans plusieurs systèmes d’identification de reprises [SGHS08, SSA09,
Yan01, MHRF11b]. Une autre amélioration notable de la prise en compte de la
structuration des reprises consiste à exploiter le résultat d’une inférence de structures
répétitives avant de comparer les morceaux entre eux, afin de les indexer ou
de les résumer [GH06, Mar06, MHRF11a]. Une telle approche se basant sur une
structure répétitive particulière est présentée et évaluée en Section 4.2.5.

3.2 Application à la similarité musicale 53
3.2.2 Évaluation
À l’instar de la technique proposée par Serrà et al. [SGHS08], notre système
d’identification des reprises, décrit dans cette section, est basé sur une estimation
de la similarité entre morceaux de musique en utilisant les techniques d’alignement
local introduites précédemment. L’objectif de cette section est d’évaluer dans notre
cadre expérimental spécifique la performance d’un système d’identification de reprises
basé sur les algorithmes d’alignement.
Technique de comparaison
Soient u et v deux séquences. Le score de similarité entre u est v, noté sim(u,v),
est obtenu par le calcul :
sim(u,v) = s ∗ γ(u,v) (21)
Le score ainsi obtenu présente une robustesse aux transpositions locales entre u et
v.
Le schéma de scores de pondération employé pour ce calcul est le suivant :
Insertion, suppression : λ(h1,φ) = λ(φ,h2) = −0.5
Substitution : λ(h1,h2) = λ chr (h1,h2) (voir Éq. 15)
Correspondance : λ+ = 1
Remplacement : λ− = −0.7
Transposition locale : λT = −10
La détermination de ce schéma de scores est effectuée de manière empirique sur
un sous-ensemble de la base de données présentée ci-dessous. Celui-ci est composé
de 2 morceaux choisis aléatoirement dans chaque classe de reprises, pour un total
de 32 morceaux. Une légère variation des scores de correspondance et de remplacement
d’une part, de suppression et d’insertion d’autre part ne provoque pas de
baisse significative des mesures d’évaluation. Un constat similaire a déjà été effectué
par Serrà et al. [SGHS08]. La valeur du score de transposition λT est également déterminée
de manière empirique, en considérant quelques paires de reprises incluant
des transpositions locales, et en optimisant les facteurs alignés afin que ceux-ci
correspondent à des sections similaires dans chacune des paires de reprises.
Bases de test
Afin d’évaluer notre système de recherche par similarité, on considère une base
de données audio formée de trois ensembles extraits de collections personnelles.
Cette base de données, notée T SD, est constituée de 2514 morceaux distincts. Le
Tableau 3.2 liste l’ensemble des classes considérées, ainsi que le nombre de versions
et de reprises dont elles sont composées.
- Le premier ensemble, noté Dv, contient 7 classes de versions comprenant chacune
entre 4 et 10 morceaux correspondant à la même version canonique, pour une
moyenne de 6 morceaux par classe. Cette base de données est ainsi constituée
afin d’évaluer la robustesse de la recherche par similarité sur des versions peu
altérées d’un morceau d’origine.
(22)

54 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
Morceau de référence Taille classe
A Aha - Take on me 8 v, 8 r
B The Beatles - Yesterday 5 v, 39 r
C The Animals - The House of the Rising Sun 5 v, 85 r
D Ben E. King - Stand By Me 4 v, 23 r
E Pachelbel - Canon in D 10 v, 34 r
F H. Mancini - The Pink Panther 9 v, 27 r
G T. Wynette - Stand By Your Man 4 v, 17 r
H The Beatles - Across The Universe 0 v, 15 r
I Nirvana - Smells Like Teen Spirit 0 v, 21 r
J G. Jones - Tainted Love 0 v, 29 r
K B. Dylan - All Along The Watchtower 0 v, 14 r
L Big Joe Williams - Baby Please Don’t Go 0 v, 31 r
M A. Villoldo - El Choclo 0 v, 30 r
N C. Granda - La Flor De La Canela 0 v, 44 r
O S. Linda - The Lion Sleeps Tonight 0 v, 30 r
P M. Reynolds - Little Boxes 0 v, 41 r
Q R. Thomas - Walking the Dog 0 v, 26 r
Tab. 3.2 – Classes de reprises et de versions de la base T SD utilisées pour les
évaluations. La dernière colonne indique le nombre de versions (v) et de reprises
(r) appartenant à chacune des classes.
- Le deuxième ensemble, noté Dr, contient 17 classes de reprises comprenant chacune
entre 8 et 85 morceaux correspondant à la même version canonique, pour
une moyenne de 30 morceaux par classe. Cette base de données est ainsi constituée
afin d’évaluer la robustesse de la recherche par similarité sur des reprises
très diverses, celles-ci étant choisies d’une manière très variée et conforme à la
définition de la reprise exposée précédemment.
- Le troisième ensemble comprend un ensemble de 2000 morceaux choisis de manière
arbitraire parmi des œuvres de styles musicaux similaires aux reprises et
versions des deux autres bases de données. Cette base est constituée afin de
prouver la robustesse du système de recherche par similarité en présence d’un
contenu musical homogène.
Méthode d’évaluation
Comme souligné par Serrà et al. [SGH10], l’évaluation des systèmes de recherche
de reprises est une tâche complexe dont la méthodologie varie en fonction des études
proposées dans la littérature. La méthode d’évaluation décrite dans cette section
suit la seule tentative de standardisation proposée jusqu’ici, établie dans le cadre du
Music Information Retrieval Evaluation eXchange (MIREX) 1 [Dow08, DBEJ08].
Soit C une classe de reprises de Dr. Chaque élément i de C est soumis comme
requête du système de recherche par similarité. On obtient donc une liste Li de
scores de similarité pour chacun de ces éléments indiquant un degré de similarité
entre ces morceaux et la requête.
1. http://www.music-ir.org/mirexwiki

3.2 Application à la similarité musicale 55
Classe A B C D E F G H I
Nb éléments 8 39 85 23 34 27 17 15 21
MAP 74.3 86.5 82.3 45.2 90.4 17.2 77.7 80.9 56.0
R-précision 71.4 81.6 75.0 45.5 78.8 11.5 68.8 78.6 50.0
Classe J K L M N O P Q Tout
Nb éléments 29 14 31 30 44 30 41 26 514
MAP 54.9 50.19 22.3 72.14 13.0 57.8 53.7 28.7 56.7
R-précision 53.6 53.8 20.0 69.0 11.6 55.2 50.0 32.0 53.3
Tab. 3.3 – Résultats de l’identification de reprises (en pourcentages) par recherche
de similarité avec alignement local sur T SD.
La première métrique que nous utilisons est une variante de la technique rappelprécision
à différents rangs [MRS08]. Pour un rang donné k, on relève le nombre
d’éléments appartenant à C parmi les k morceaux les plus similaires identifiés dans
Li, et on calcule les taux de rappel et précision. La répétition de cette technique
pour tous les rangs possibles donne une information précise sur la qualité du système
d’identification [MRS08].
La précision moyenne, ou Mean average precision (MAP), correspond à la moyenne
sur l’ensemble des classes de reprises des scores moyens obtenus à partir des
valeurs de précision aux différents rangs possibles [MRS08]. Cette évaluation a
l’avantage de présenter une mesure de la qualité d’un système de recherche par
similarité sous la forme d’une unique valeur.
Une troisième métrique régulièrement employée est la R-précision. Celle-ci est
obtenue pour une classe C comportant N reprises en calculant le rappel parmi les
N morceaux les plus similaires, valeur alors égale à la précision au même rang.
Cette valeur peut être calculée pour chacune des classes de reprises et moyennée
afin d’obtenir à nouveau une mesure de la qualité d’un système de recherche par
similarité. Il convient de noter qu’en pratique la R-précision moyenne et la valeur
MAP semblent corrélées [MRS08].
Résultats
Les résultats d’un système d’identification des reprises dépendent très fortement
de la taille de la base de données, du type de reprises et des styles musicaux considérés
[SGH10]. Par conséquent, notre objectif n’est pas ici d’évaluer la performance
de notre système par rapport à l’état de l’art, mais d’évaluer sa précision et la
rapidité de son exécution en guise d’indicateurs de référence. Ces indicateurs sont
utilisés dans la suite du document comme une base d’améliorations de la recherche
par similarité, ainsi que décrites en Sections 3.3.4 et 4.2.5.
Le Tableau 3.3 présente les résultats obtenus sur chacune des classes de reprises
de T SD. Les mesures MAP et R-précision sont indiquées. Comme dit précédemment,
ces deux mesures semblent en pratique suivre une distribution proche pour
chaque classe.
On remarque que les mesures de précision varient en fonction des classes de
reprises. Par exemple, pour la classe Yesterday (B), le système semble correctement

56 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
identifier les reprises avec une précision moyenne de 86.5% et une R-précision de
81.6% ; en revanche, la classe The Pink Panther (F) est identifiée avec une précision
beaucoup plus faible, avec une valeur MAP de 17.2% et une R-précision de 11.5%.
La précision générale du système peut être représentée par la moyenne des précisions
moyennes sur les différentes classes de reprises. Ainsi, le système a une valeur
MAP globale de 56.7% et une R-précision de 53.3%. Il convient de noter que si
ces mesures permettent d’avoir un aperçu général de l’efficacité du système, il est
important en pratique de dissocier chacune des classes de reprises, dont la précision
d’identification peut fortement varier.
Le temps d’exécution des calculs de similarité locale sur T SD requis pour l’obtention
de ces résultats est de plus de 18 heures sur notre configuration matérielle 1 ,
pour un temps moyen d’exécution constaté de 129 secondes par requête. Cette durée
élevée impose une forte contrainte sur l’utilisation d’un tel système dans une
application pratique. En particulier, appliquer l’analyse sur une base de données
sensiblement plus grande que T SD, de l’ordre du million de titres, semble inenvisageable.
Afin de permettre à notre méthode d’être utilisable en pratique, il est donc
primordial de la passer à l’échelle des bases de données disponibles à l’heure actuelle.
3.3 Passage à l’échelle
Les techniques d’alignement permettent une évaluation précise de la similarité
entre des séquences musicales. Cependant, comme expliqué en Section 3.1.4.4, elles
sont calculables en un temps proportionnel au produit des tailles des séquences
comparées. Cette propriété peut s’avérer problématique dès lors que les séquences
musicales comparées sont de grandes longueurs, ou encore dès que de nombreux
alignements doivent être calculés rapidement à travers des bases de données de
taille conséquente.
Afin de permettre une utilisation pratique des systèmes de comparaison musicale,
de nombreuses approches proposent d’améliorer l’efficacité calculatoire des
méthodes d’estimation de la similarité (voir [Sch12] pour une revue des systèmes les
plus utilisés). Cependant, peu d’approches visant une grande efficacité calculatoire
considèrent les techniques d’alignement pour la comparaison musicale.
La comparaison de séquences biologiques, fortement basée sur les techniques
d’alignement, est pourtant évaluée sur de très grandes bases de données, de l’ordre
de millions de séquences [KYB03]. La mise en place de méthodes de calculs rapides
d’alignement est donc critique pour ce type d’évaluations.
La technique Basic Local Alignment Search Tool [AGM + 90], ou BLAST, répond
à ce besoin en proposant une méthode heuristique d’évaluation efficace de l’alignement
local. BLAST a été adaptée à de nombreux contextes applicatifs différents en
bio-informatique, menant à la définition de plusieurs outils spécialisés pour différentes
tâches communes de séquençage biologique. En particulier, BLASTN permet
de comparer des séquences d’ADN pour l’analyse génomique, alors que BLASTP,
BLASTX, TBLASTN et TBLASTX comparent des séquences de protéines notamment
pour l’analyse génomique ou phylogénétique [KYB03].
L’approche présentée ici explore un nouveau champ applicatif, la comparaison
1. Processeur Intel Xeon X5675 à 3.07 GHz, 12M mémoire cache, 32Go mémoire RAM

3.3 Passage à l’échelle 57
Fig. 3.3 – Espace de recherche entre u et v. Le chemin de transcription optimale
est représenté en pointillés. Les séries de correspondances successives sont matérialisées
par des traits pleins. La surface grise représente l’ensemble des coefficients de
programmation dynamique à calculer pour obtenir le chemin optimal.
de séquences de descripteurs audio musicaux. Si la méthode BLAST a déjà été
appliquée avec succès pour évaluer la similarité entre extraits de musique symbo-
lique [KH04], son utilisation pour l’indexation de signaux audio musicaux, suggérée
en perspective dans [Kil04], n’a à notre connaissance pas été mise en œuvre jusqu’ici
[MBHF12].
3.3.1 Principe de BLAST
Afin de décrire le principe de BLAST, on considère un cas pratique d’utilisation
de techniques de comparaison pour analyser une grande base de données de
séquences musicales. Étant donné une séquence-requête, on souhaite identifier dans
la base de données toutes les séquences localement similaires. Avec les outils présentés
précédemment, une solution mise en œuvre en Section 3.2.1 consiste à calculer
la similarité locale de la séquence-requête avec chacune des séquences de la base de
données, puis à choisir le meilleur de ces alignements.
L’amélioration apportée par BLAST repose sur une hypothèse d’hétérogénéité
de la base de données, qui peut être résumée par l’assertion suivante : il est probable
qu’une grande majorité des séquences de la base de données soient très différentes
de la requête. Ainsi, il est probable qu’un temps de calcul important soit consacré à
l’évaluation précise d’alignements non pertinents. Pour éviter de tels calculs inutiles,
la technique BLAST peut être implémentée comme un filtre à plusieurs niveaux sur
les séquences comparées. Chaque niveau de filtrage agit alors comme une méthode
heuristique qui élimine les séquences les moins similaires de la base de données dans
une évaluation nécessitant un nombre faible de calculs. La section suivante décrit
en détail ces différents niveaux de filtrage, ainsi que le gain en nombre d’opérations
induit par l’indexation.
3.3.2 Méthode d’indexation
Soient u et v deux séquences de tailles respectives n et m définies sur un alphabet
Σ. On désigne par espace de recherche entre u et v l’ensemble des paires d’indices
dans u et v, de taille nm. L’espace de recherche comprend toutes les positions

58 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
Fig. 3.4 – Graines de l’espace de recherche pour une taille minimale fixée. Les
graines significatives appartiennent à l’alignement optimal, et sont représentées par
des traits pleins. Les graines non significatives n’appartiennent pas à l’alignement
optimal et sont matérialisées par des pointillés.
desquelles peuvent démarrer ou terminer tout alignement entre u et v. L’objectif
de l’indexation est d’évaluer la similarité locale entre u et v à partir de l’espace de
recherche sans avoir à calculer l’ensemble du graphe d’édition.
Dans une première étape, la technique BLAST consiste à repérer et indexer
rapidement des régions de similarité exacte de l’espace de recherche de u et v, telles
que décrit dans la section suivante.
3.3.2.1 Repérage de graines d’alignement
La Figure 3.3 montre l’espace de recherche des séquences u et v. Le chemin
de la transcription optimale pour l’alignement local entre u et v est représenté
en pointillés. Comme expliqué précédemment, le calcul de cette similarité locale
nécessite le calcul de l’intégralité du graphe d’édition. Le fond grisé de la Figure 3.3
souligne ainsi le nombre de cases de programmation dynamique nécessaires à ce
calcul.
Le premier filtre BLAST, tel que défini par Altschul et al. [AGM + 90] en 1990
pour l’alignement de séquences biologiques, repose sur la supposition que tout alignement
local entre séquences similaires inclut de nombreuses séries de correspondances
successives. Chaque section diagonale du chemin représenté sur la Figure 3.3
indique une série de substitutions successives entre u et v. Parmi ces substitutions,
les séries de correspondances successives sont représentées par des traits pleins.
On définit un entier naturel positif W pour désigner une taille arbitraire minimale
de correspondances successives. La première étape de BLAST consiste à
repérer toute paire de facteurs identiques dans u et v de taille au moins W . En
d’autres termes, l’algorithme détecte toute section diagonale dans le graphe d’édition
de u en v correspondant à une série de correspondances de taille supérieure à
W . Chacune de ces séries de correspondances étant susceptible de faire partie de
l’alignement local optimal entre u et v, cette étape permet de repérer des points
de départ potentiels pour déclencher le calcul d’alignement des séquences. Chaque
série de correspondances de taille suffisante est ainsi appelée graine de l’espace de
recherche.

3.3 Passage à l’échelle 59
Fig. 3.5 – Trajectoire pseudo-diagonale. Les graines en traits pleins sont organisées
selon une trajectoire pseudo-diagonale comprise dans le bandeau représenté en
pointillés.
Le premier filtre consiste à identifier rapidement ces séries de correspondances
successives, et ainsi à éliminer toutes les comparaisons ne présentant pas suffisamment
de graines. La Figure 3.4 illustre la sélection automatique des graines d’une
taille minimale W sur l’espace de recherche de u et v. Parmi les graines identifiées,
certaines, marquées en traits pleins, correspondent à un extrait de l’alignement optimal
t ; elles sont dites significatives. À l’inverse, des graines marquées en traits
pointillés sont localisées dans des régions étrangères à l’alignement optimal ; elles
sont dites non significatives.
Le premier filtre appliqué par BLAST, noté F1, est donc caractérisé par l’heuristique
suivante :
Deux séquences similaires ont un nombre de graines significatives de taille W plus
élevé que deux séquences dissimilaires quelconques
La seconde étape de BLAST consiste à filtrer l’ensemble des graines identifiées
afin d’écarter les graines non significatives.
3.3.2.2 Sélection de graines
Le deuxième filtre BLAST présenté dans cette section a été introduit dans le
cadre de cette thèse pour l’indexation de données musicales [MBHF12]. Il a pour but
d’éliminer les graines n’appartenant pas à l’alignement local optimal. Une solution
simple consiste à regrouper les graines de l’espace de recherche en fonction de leurs
positions relatives, tentant ainsi de reconstruire le chemin le plus probable pour
l’alignement local.
Une première propriété des séries de correspondance appartenant à un alignement
local entre u et v est leur disjonction dans u d’une part, et leur disjonction
dans v d’autre part. Ainsi, seule une graine par colonne et seule une graine par ligne
de l’espace de recherche peut correspondre à un alignement local. Cette propriété
permet de distinguer facilement des graines n’appartenant pas à un même chemin.
Afin d’établir cette seconde propriété, on considère t la transcription d’alignement
optimal entre les séquences u et v, et C le chemin correspondant dans le graphe
d’édition. Par définition, t est formée :
- De séries de substitutions, se traduisant par des sections diagonales dans C,

60 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
- De séries d’insertions, se traduisant par des sections horizontales dans C,
- De séries de suppressions, se traduisant par des sections verticales dans C.
Si u et v sont similaires, on formule l’hypothèse que chaque série d’insertions
et chaque série de suppressions a une longueur faible. En effet, dans ce cas, t est
susceptible de comporter de multiples séries de correspondance témoignant de la
forte similarité des séquences comparées, séparées de courtes opérations de décalage
dues à l’insertion ou la suppression de symboles. Graphiquement, C est composé
d’une série de courtes diagonales et suit une trajectoire qui dévie légèrement à
chaque nouvelle série de correspondances analysée.
Plus précisément, pour un entier positif k et un chemin C du graphe d’édition
de deux séquences, on dit que C suit une trajectoire k-pseudo-diagonale s’il s’inscrit
dans un bandeau de largeur k centré sur ses graines. Dans ce cas, on dit que les
graines du chemin C sont organisées selon une trajectoire pseudo-diagonale.
La Figure 3.5 représente ainsi un ensemble de graines (en traits pleins) organisées
selon une trajectoire pseudo-diagonale située dans le bandeau (en pointillés) de
largeur constante centré sur ces graines.
Cette observation heuristique est mise à profit dans le cadre d’un filtre BLAST
en introduisant un entier naturel positif K qui décrit la largeur de bandeau considérée
pour le regroupement des graines. Ce seuil correspond donc à la déviation
maximale autorisée entre deux graines successives pour les considérer membres d’un
même groupe. Ainsi, toutes les graines repérées par F1 sont regroupées selon des
bandeaux pseudo-diagonaux de taille K. D’après notre hypothèse, on considère
alors que le bandeau contenant le plus de graines contient l’alignement optimal
des séquences comparées. Par conséquent, à l’issue de ce filtre noté F2, seules sont
conservées les graines appartenant à ce bandeau optimal.
Le filtre F2 peut ainsi être résumé par l’heuristique suivante :
Les graines de l’espace de recherche de deux séquences similaires sont organisées
selon une trajectoire pseudo-diagonale
Les graines de l’espace de recherche identifiées à l’issue du filtre F2 sont supposées
correspondre à la région contenant le plus probablement l’alignement optimal.
Le troisième filtre BLAST, plus précis, permet de déterminer la pertinence du
groupe de graines identifié, et ainsi d’estimer la probabilité que celui-ci correspond
effectivement à un alignement optimal de séquences similaires.
3.3.2.3 Extension des graines
L’étape d’extension de graines présentée dans cette section est un raffinement
de la méthode BLAST introduit par Altschul et al. [AMS + 97] en 1997 pour les
séquences biologiques.
Soient u et v les deux séquences comparées de tailles respectives n et m. L’étape
précédente a permis d’identifier les graines les plus significatives de l’espace de recherche.
Le groupe de graines ainsi identifié est supposé être proche de l’alignement
local optimal des deux séquences comparées. Ce troisième filtre permet de s’assurer
de la pertinence de cet ensemble de graines en déclenchant de courts alignements
autour de chacune d’entre elles. Cette opération de transformation d’une graine en
une portion d’alignement est appelée extension.

3.3 Passage à l’échelle 61
Fig. 3.6 – Résultat de l’extension des graines significatives. Les pointillés indiquent
les extensions optimales calculées. Les régions grisées matérialisent les coefficients
de programmation dynamique devant être évalués.
Soit g une graine de l’espace de recherche débutant aux coordonnées (i,k) et
(j,l) ; on a alors u[i . . . j] = v[k . . . l]. On introduit un seuil d’extension X entier et
positif.
Étendre g vers la fin des séquences u et v peut être obtenu en calculant un
alignement optimal entre u[j . . . n] et v[l . . . m] débutant en (j,l). Afin d’éviter un
alignement trop coûteux, BLAST impose que l’extension soit stoppée dès que le
score de similarité devient trop faible. Plus précisément, lors de l’extension d’une
graine, si la valeur de similarité s d’un coefficient de programmation dynamique
passe au-dessous du seuil smax − X, où smax est le score maximal de similarité
calculé pour le chemin en cours, alors l’extension est stoppée [AMS + 97]. L’extension
de score maximal qui respecte cette condition est alors appelée extension droite de
la graine g.
De manière analogue, la graine g est étendue à partir de (i,k) vers le début
des séquences en un alignement optimal respectant la condition d’arrêt, définissant
alors l’extension gauche de la graine g.
Pour chaque graine significative, les extensions gauche et droite sont calculées.
Le score correspondant à l’alignement ainsi généré à partir de la graine g, appelé
score d’extension de g, est défini comme la somme des scores des deux extensions.
Finalement, le score d’indexation de l’espace de recherche de u et v est obtenu
en sommant les scores d’extension des graines précédemment identifiées comme
significatives.
La Figure 3.6 représente un exemple d’extension des graines significatives de
l’espace de recherche. Les régions grisées correspondent aux coefficients de programmation
dynamique devant être calculés pour évaluer les extensions. On remarque
qu’à l’issue de ce filtre, l’ensemble de chemins identifiés est proche du chemin optimal
de l’alignement local, représenté en Figure 3.3. Cependant, dans le cas de
la Figure 3.6, un nombre sensiblement inférieur de coefficients de programmation
dynamique, en gris, ont dû être évalués.
En introduisant un seuil S de sensibilité d’indexation, le troisième filtre, noté
F3, consiste à ne conserver parmi toutes les comparaisons effectuées que celles dont
le score d’indexation est supérieur à S.

62 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
Le filtre F3 est caractérisé par l’heuristique suivante :
La somme des scores d’extension de graines significatives de deux séquences est
proche du score d’alignement local optimal de ces séquences
3.3.3 Indexation de séquences tonales
Afin d’appliquer les principes de BLAST aux séquences musicales, il convient
d’abord d’analyser leur distribution et d’optimiser les réglages heuristiques à ces
données. Cette section décrit la stratégie d’indexation de séquences tonales, et expose
les résultats expérimentaux menant à une indexation efficace dans le cadre
applicatif de l’identification des reprises. L’étude présentée dans cette section a fait
l’objet d’une publication dans les actes de la conférence International Society for
Music Information Retrieval (ISMIR) 2012 [MBHF12] 1 .
3.3.3.1 Contraintes de représentation
Comme expliqué en Chapitre 2, le chroma est un vecteur comprenant B valeurs
indépendantes représentant l’information tonale d’un extrait audio. L’espace de
définition du symbole chroma est donc l’espace non fini
Σ chr = R B . (23)
Comme expliqué dans la section précédente, l’indexation effectuée par BLAST
repose sur la détection rapide de graines de l’espace de recherche, donc de correspondances
exactes entre symboles. Il est donc crucial pour l’indexation de représenter
les symboles sur un alphabet fini et de faible taille, afin d’identifier des correspondances
exactes dans les séquences musicales.
Une possibilité de réduction de l’espace de représentation des chromas à un alphabet
fini consiste à transformer ceux-ci en accords. Ainsi, de nombreuses études
de la littérature proposent des techniques de conversion de chromas en accords, par
exemple en utilisant une analyse par profils de référence (voir [Roc11, p.71–76] pour
une revue des techniques existantes). Ces techniques sont généralement dédiées à
l’inférence précise des accords joués, et évalués en comparant ceux-ci à des annotations
manuelles pour différentes bases de données audio [Roc11]. Cependant, dans
le cadre de BLAST, si cette quantification sur l’espace des accords doit nécessiter
peu de calculs et conserver une pertinence musicale, une grande précision n’est pas
requise. En effet, puisque BLAST permet d’indexer de courtes graines de l’espace
de recherche, on peut supposer que la méthode est tolérante à quelques erreurs
d’analyse pouvant être introduites par cette quantification.
Une quantification simple consiste à représenter chaque chroma par sa triade
prépondérante [G´06], c’est-à-dire en repérant le triplet (tonique, tierce (majeure
ou mineure), dominante) [Bit87] dont la somme de coefficients dans le chroma est
maximale. On quantifie alors un chroma h en le substituant par la tonique de
l’accord correspondant à ce triplet prépondérant.
Cette opération de quantification réduit alors l’espace de description à un alphabet
Σacc de B symboles, que l’on peut représenter comme l’ensemble des toniques
possibles sur la gamme tempérée. Par commodité de notation, on associe une
1. Les résultats numériques présentés dans cette section diffèrent légèrement de ceux publiés, les
expériences et réglages ayant été approfondis dans le cadre de cette thèse

3.3 Passage à l’échelle 63
lettre à chaque tonique possible. Par exemple, pour une résolution de 12 demi-tons
(B = 12), l’alphabet Σacc peut être défini comme :
Σacc = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l }
C, C♯, D, D♯, E, F, F♯, G, G♯, A, A♯, B
, (24)
la seconde ligne indiquant la correspondance entre chaque symbole et la notation
musicale usuelle.
Cette quantification des chromas en accords est susceptible d’introduire des erreurs
d’analyse. Par exemple, la projection du chroma illustré Figure 2.5-(iv) sur
Σacc induit la suppression d’une partie de l’information tonale, et peut conduire à
une mauvaise interprétation de l’harmonie. Ainsi, ce chroma risque d’être interprété
sur Σacc comme un accord simple (Ré ou La), tandis que le reste de l’information
tonale est ignoré. En conservant la représentation sous forme de chroma, l’ensemble
de l’information est préservé et le descripteur caractérise plus précisément les informations
tonales de l’extrait. D’une manière générale, la représentation sur l’espace
de définition du vecteur chroma Σ chr permet de conserver toute l’information tonale
présente au sein du descripteur, tandis que la projection sur l’alphabet des
accords Σacc ne conserve qu’une partie de cette information. Une estimation de
l’erreur introduite par cette quantification peut être consultée en [G´06, chap.4].
Malgré une perte de précision de la description tonale du signal, une telle projection
a plusieurs avantages pour l’application d’indexation :
- Elle permet de définir comme mesure de similarité la comparaison triviale entre
symboles ;
- Elle facilite l’interprétation musicale des symboles identifiés ;
- Elle augmente fortement la probabilité de correspondances successives dans l’espace
de recherche.
En outre, comme expliqué en Section 3.2.1, la transposition (locale ou globale)
est une variation courante que les techniques de comparaison doivent prendre en
compte. Ainsi, comme souligné par Kurth et Müller [KM08], une stratégie d’indexation
efficace pour la similarité musicale doit identifier des progressions harmoniques
relatives plutôt que des informations tonales absolues. Par exemple, les séquences
bcbbfd et deddhd peuvent être considérées comme identiques puisque la seconde n’est
qu’une transposition de 2 tons de la première. En pratique, une technique permettant
de comparer de manière relative est de transposer chaque séquence avant toute
comparaison afin qu’elle commence par un même symbole, a par exemple.
3.3.3.2 Bases de données
Afin d’évaluer l’utilité de la méthode d’indexation, nous considérons un ensemble
de morceaux de taille conséquente, de l’ordre du million de morceaux de musique.
Deux bases de données sont donc utilisées pour évaluer notre technique. La première,
notée T SD et introduite en Section 3.2.2, correspond à un ensemble de 2514
morceaux de musique, comprenant 514 reprises réparties en 17 classes. Celle-ci est
utilisée comme témoin de la précision du système d’identification. La seconde, notée
MSD, est extraite de la base de données Million Song Dataset 1 [BMEWL11]
et correspond à un ensemble d’un million d’œuvres de différents styles musicaux.
1. http://labrosa.ee.columbia.edu/millionsong/

64 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
(i)
(ii)
TSD MSD
Taille Faux Faux Faux Faux
graine négatifs positifs négatifs positifs
3 0.00 8.91 0.11 4.70
4 0.03 3.69 4.28 1.15
5 0.84 1.68 18.3 0.39
6 4.50 0.82 37.2 0.16
7 11.7 0.44 54.7 0.08
8 21.8 0.25 68.6 0.04
3 0.00 1.06 0.84 1.33
4 0.21 0.41 7.08 0.23
5 2.59 0.18 22.6 0.06
6 6.67 0.08 41.8 0.02
7 14.9 0.04 58.9 0.01
8 26.0 0.02 72.1 .003
Tab. 3.4 – Compromis sensibilité/spécificité sur les bases de données TSD et MSD.
Les scores sont donnés en pourcentages. Dans (i), tous les mots de la base de données
sont indexés. Dans (ii), les mots mono-symboliques ne sont pas indexés.
Parmi ces morceaux, la base Second Hand Songs dataset 1 comprend 18196 reprises
réparties en 5854 classes. Cette base de données est à notre connaissance la plus
grande collection disponible de descripteurs audio calculés à partir de reprises.
Pour les morceaux des deux bases de données, la description tonale sous forme
de séquences de chromas est utilisée. Néanmoins, il convient de noter que la représentation
sous forme de chromas varie pour l’une et l’autre. Pour T SD, notre
implémentation des chromas telle que décrite en Section 2.2.5 est appliquée avec
une taille de trame constante et une résolution B = 36. Pour MSD, la représentation
est obtenue grâce au framework EchoNest 2 , et est calculée sur des trames dites
segment-synchronized, de durées non constantes et une résolution B = 12, comme
décrit plus précisément dans [Jeh05a, p.57–59]. Ainsi, chaque chroma de MSD représente
l’information tonale sur 12 dimensions pour une trame de durée variable
(entre 80 et 300ms sans chevauchement [Jeh05a]), tandis que chaque chroma de
T SD représente l’information tonale sur 36 dimensions pour une trame de durée
fixe (743ms avec un chevauchement de moitié).
3.3.3.3 Analyse statistique
Les heuristiques formulées par la technique BLAST reposent sur la sélection de
graines, ou séries de correspondances entre deux séquences comparées. Un point
clé de la méthode est de déterminer un compromis raisonnable entre une bonne
sensibilité du filtrage, indexant autant d’alignements optimaux que possible, et une
bonne spécificité de celui-ci, qui doit introduire aussi peu d’alignements non pertinents
que possible. La suite de cette section décrit l’étude statistique permettant
d’évaluer ce compromis.
1. http://www.secondhandsongs.com
2. http://the.echonest.com/

3.3 Passage à l’échelle 65
Sensibilité
La sensibilité peut être évaluée en analysant des alignements de séquences similaires.
On pose N un entier positif, correspondant à une taille de graine. Un
alignement donné ne peut être indexé par BLAST que s’il contient au moins une
graine de taille N. Connaître la sensibilité du test pour N consiste donc à évaluer
combien d’alignements de séquences similaires ne peuvent être indexés par une
graine de taille N.
Pour chaque classe de reprises C de T SD et de MSD, on calcule les alignements
locaux optimaux entre toutes les paires de séquences de C. Chaque alignement est
alors considéré comme correctement indexé s’il contient au moins une série de N
correspondances successives. Dans le cas contraire, il n’est pas indexé par BLAST
et est dit faux négatif. Les deuxième et quatrième colonnes du Tableau 3.4-(i) présentent,
en fonction de la taille de graine N, le taux de faux négatifs correspondant
à la probabilité qu’un alignement ne soit pas indexé par la méthode.
Spécificité
Pour une taille de graine N, la spécificité du test correspond à la probabilité de
trouver une série de N correspondances dans deux morceaux de séquences choisis
aléatoirement dans la base de données.
En pratique, on évalue cette probabilité en comptant le nombre d’occurrences
de chacune des séquences de N symboles sur Σacc, ou mots de taille N, dans la
base de morceaux quelconques (ne correspondant pas à des reprises). Les nombres
d’occurrences sont calculés pour tous les mots possibles et stockés dans une liste L.
Ainsi, un élément de L indique le nombre d’instances d’un mot particulier, et
i L[i]
est le nombre total de mots de taille N dans la base de données. La probabilité de
trouver un mot w dans une séquence choisie aléatoirement correspond à la valeur
L[j]
L[i],
où j est l’indice dans L correspondant au mot w. La probabilité de trouver
i
deux mots w dans deux séquences choisies aléatoirement correspond alors au carré
de cette valeur. Par conséquent, la probabilité de trouver deux mots identiques de
taille N (donc une série de N correspondances) dans des séquences aléatoires de la
base de données est donnée par :
1
P r[faux positif] =
(
i L[i])2
L[j] 2 . (25)
Les troisième et cinquième colonnes du Tableau 3.4-(i) présentent les résultats
de calcul de cette probabilité en fonction de la taille des mots indexés, pour chacune
des bases de données.
Distribution des mots
Le Tableau 3.5 présente les quinze mots de taille 7 apparaissant le plus souvent
dans T SD et MSD. Le mot le plus probable est une succession de 7 fois le même
symbole, qui apparaît dans 6.36% des séquences dans T SD et 14.1% des séquences
dans MSD. La probabilité d’apparition de ce mot mono-symbolique est significativement
plus élevée que celle de tous les autres. Sa contribution au taux de faux
j

66 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
TSD MSD
Mot % Mot %
aaaaaaa 6.36 aaaaaaa 14.1
ahhhhhh 0.55 aaaaaah 1.45
aaaaaah 0.53 aaaaaaf 1.31
affffff 0.49 affffff 1.13
aaaaaaf 0.46 ahhhhhh 0.98
aahhhhh 0.46 aaaaaaj 0.81
aaahhhh 0.46 aaaaahh 0.77
aaaahhh 0.43 aaaaaha 0.77
aaaaahh 0.41 aaaaaff 0.75
aaaaaff 0.34 aafffff 0.74
aafffff 0.34 aafffff 0.74
aaaafff 0.33 aaaafff 0.68
aaaffff 0.32 aaaaaad 0.67
aaaaaae 0.26 aahhhhh 0.67
aaaaaaj 0.25 aaaffff 0.66
Tab. 3.5 – Les quinze mots les plus probables dans TSD et MSD, et leur fréquence
d’apparition (en % des mots de chaque base de données) pour une graine de longueur
7 et un alphabet à 12 symboles.
positifs, donné par l’équation 25, est donc très importante. Plus précisément, 91.2%
des faux positifs dans T SD (respectivement 88.8% dans MSD) estimés en colonne
3 (resp. colonne 5) du Tableau 3.4 correspondent à des mots mono-symboliques.
Ainsi, les mots mono-symboliques sont responsables de l’indexation de nombreuses
séquences non similaires tout en ne représentant pas de régions particulièrement
caractéristiques dans les alignements de séquences similaires. La partie (ii) du Tableau
3.4 présente les taux de faux positifs et faux négatifs induits par une indexation
ne tenant pas compte des mots mono-symboliques. Comme espéré, la non
indexation de ces mots augmente la spécificité d’un facteur 4 à 10, signifiant qu’un
nombre important de correspondances erronées est évité. Cette nouvelle indexation
a également un impact sur le taux de faux positifs, en diminuant la sensibilité
d’environ 3% sur chaque base de données.
En outre, il est intéressant de remarquer que les mots les plus fréquents indiqués
dans le Tableau 3.5 dans les deux bases de données correspondent à des variantes
de progressions harmoniques très répandues en musique occidentale [Roc11] : par
exemple, la quinte juste montante (a vers h), quinte juste descendante (a vers f)
ou encore la tierce mineure descendante (a vers j) (voir [Bit87] pour une définition
précise de ces termes).

3.3 Passage à l’échelle 67
Méthode
Base de MAP Durée
données (%) (s/requête)
(i)
TSD 56.66 129
(ii)
(iii)
Alignement
MSD2k
TSD
5.71
6.15
388
273
(iv) MSD - 193765
(v)
(vi)
BLAST-{F1}
TSD
MSD
3.70
-
0.09
4.58
(vii)
(viii)
BLAST-{F2}
TSD
MSD
19.23
-
0.24
12.20
(ix)
(x)
BLAST-{F2,F3}
TSD
MSD
33.08
-
0.33
16.90
Tab. 3.6 – Résultats (précision moyenne) et temps de calcul de la tâche d’identification
des reprises pour les bases de données T SD et MSD.
3.3.4 Stratégie d’indexation et résultats
Les résultats statistiques présentés dans les Tableaux 3.4 et 3.5 mettent en avant
une différence significative entre les deux bases de données T SD et MSD. D’abord,
les alignements de reprises partagent sensiblement moins de mots communs dans
MSD que dans T SD. Par exemple, pour une graine de taille 7, seuls 41.1% des
alignements de reprises dans MSD partagent des mots non mono-symboliques,
contre 85.1% pour les reprises de T SD. L’identification de reprises dans MSD est
donc susceptible d’être plus complexe que dans T SD. On remarque également une
différence du taux de faux positifs entre les bases MSD et T SD, qui suggère que
la distribution des mots dans les deux bases de données est différente et donc que
l’indexation de celles-ci doit être effectuée séparément.
Identification par alignement
Afin de tester la pertinence du système d’indexation, les résultats indexés sur
T SD sont comparés aux résultats d’identification des reprises avec techniques d’alignement,
tels que présentés en Section 3.2.2. Comme précédemment, chaque classe
de reprises est recherchée par similarité parmi 2000 morceaux non corrélés. La valeur
de précision moyenne du système sur T SD est de 56.7%, comme indiqué en
ligne (i) du Tableau 3.6. La distribution des scores en fonction des classes de reprises
est représentée sous la forme de barres noires en Figure 3.7. Comme expliqué en
Section 3.2.2, la précision de l’identification varie fortement en fonction de la classe
considérée.
Une évaluation similaire est appliquée sur MSD ; cependant, face à la forte
complexité calculatoire des techniques d’alignement (évaluée à environ 53 heures
par requête pour MSD, voir ci-dessous), l’ensemble du jeu de données MSD ne
peut être comparé en pratique. Pour permettre d’évaluer une partie de MSD, un
sous-ensemble, noté MSD2k, est constitué en choisissant aléatoirement 30 classes de
reprises ainsi que 2000 morceaux non corrélés. De cette façon, MSD2k est de taille
équivalente à T SD, et son évaluation peut être effectuée en un temps raisonnable.
La valeur de précision moyenne du système d’identification de reprises obtenue

68 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
sur MSD2k est de 5.71% (Tableau 3.6-(ii)). Cette valeur de précision très faible
suggère que le système d’évaluation de la similarité par alignement ne permet pas
d’identifier les reprises dans MSD. Nous identifions deux causes qui peuvent justifier
une précision si faible :
1. Les reprises de MSD (MSD2k en particulier) présentent des variations tonales
trop importantes pour être identifiées par les techniques d’alignement ;
2. Les chromas de la base MSD ne constituent pas de séquences pouvant être
comparées par les techniques d’alignement.
Ces alternatives sont également envisagées dans [BME11] pour expliquer une limitation
de l’identification des reprises sur la base MSD. Si les auteurs relèvent une
précision du système plus faible sur MSD que sur une base de données personnelle
évaluée dans [EP07], leur étude ne permet pas de discriminer laquelle des deux
alternatives cause cette baisse de précision.
Les détails de l’implémentation des chromas MSD ne sont pas accessibles à ce
jour. Néanmoins, le principe général décrit dans [Jeh05a] nous permet de conjecturer
que ce problème est dû à des différences importantes d’implémentation, telles que la
résolution des chromas, le filtrage temporel ou la normalisation effectués. En outre,
comme souligné par Serrà et al. [SGHS08], le calcul des chromas sur des trames de
durées non constantes peut avoir un effet négatif sur les techniques d’alignement.
Afin de vérifier cette hypothèse par l’expérience, une solution consiste à isoler les
deux alternatives en représentant les morceaux de la base MSD avec l’implémentation
des chromas utilisée pour T SD ; cependant, la non disponibilité des données
audio dans MSD rend cette opération impossible. En revanche, puisque les descripteurs
de MSD sont calculés grâce au framework EchoNest 1 , l’opération inverse
consistant à représenter T SD avec l’implémentation des chromas de MSD est possible.
On représente donc T SD avec l’API EchoNest pour obtenir une nouvelle
base de séquences, notée T SD. La tâche d’identification de reprises est à nouveau
évaluée pour T SD. La valeur de précision moyenne obtenue est de 6.15%, comme
indiqué en ligne (iii) du Tableau 3.6. La distribution des précisions en fonction des
classes de reprises est représentée sous la forme de barres blanches en Figure 3.7.
Cette baisse significative de la précision de l’identification entre T SD et T SD pour
chacune des classes appuie notre hypothèse en montrant que la cause d’échec du
système sur MSD est due à l’implémentation des chromas, et non à la complexité
des reprises.
Le Tableau 3.7 représente pour deux exemples les 50 premiers symboles de
séquences obtenues par projection des chromas pour notre implémentation et celle
d’EchoNest. La différence forte entre les deux implémentations et la plus grande
variabilité des symboles dans les séquences de la seconde implémentation renforcent
la conclusion de limitation de ces dernières pour l’alignement.
Identification par BLAST
La stratégie d’indexation introduite dans la Section 3.3.2 est appliquée sur les
bases de données T SD et MSD. Les techniques d’alignement ne permettant pas
de réaliser l’identification des reprises sur MSD, la méthode heuristique BLAST
est également non pertinente. Les résultats sur MSD présentés dans la suite ne
1. http://developer.echonest.com

3.3 Passage à l’échelle 69
Blues Brothers - The Pink Panther
Séquence T SD : aglafaagaiiiiialaiiliiiiiliaifliiaiglgaiiaiaifgag
Séquence T SD : acbbchjbgbbkkakckickkakckickkaackdckkaackkgjcckad
The Beatles - Accross the Universe
Séquence T SD : aiiiidfdaaaaaaaaaaadddkkdkciiiidaadaafaaaadafikbk
Séquence T SD : aieeeeleliiblblblijlglldddgeeeedbblflibclbibigggl
Tab. 3.7 – Les 50 premiers symboles de deux morceaux avec notre propre implémentation
des chromas (T SD) et l’implémentation d’EchoNest ( T SD).
doivent donc être considérés que comme un indicateur suggérant la performance
calculatoire du système sur une base de données de l’ordre du million de morceaux.
À partir de l’étude statistique présentée dans le Tableau 3.4, on choisit la taille
de graine W = 7 qui présente un compromis raisonnable avec un taux de faux
négatifs de 14.9% pour un taux de faux positifs de 0.04% sur T SD. Ce choix est
justifié par le faible nombre de reprises dans la base de données au regard d’un grand
nombre de morceaux non pertinents ; ainsi, choisir un taux de faux positifs très faible
assure de n’indexer que peu de morceaux non pertinents. De plus, comme expliqué
précédemment, les classes de reprises considérées présentent une grande variabilité
musicale ; ainsi, chacune d’entre elles est susceptible de comporter une certaine
proportion de morceaux particulièrement complexes à détecter, même en utilisant
des techniques d’alignement. C’est pourquoi le taux de faux négatifs d’environ 15%
constitue une valeur raisonnable pouvant correspondre à l’élimination des reprises
les moins identifiables pour chaque classe.
La base d’indexation est construite sous la forme d’une table de hachage associant
à chaque mot w de taille W les positions où w apparaît dans la base de
données. Pour une requête u donnée, le filtre F1 est d’abord appliqué en attribuant
au score de similarité entre u et une séquence v le nombre de graines de l’espace
de recherche correspondant. La valeur de précision moyenne constatée pour l’identification
de reprises dans T SD est alors de 3.7%, comme indiqué en ligne (v) du
Tableau 3.6. Cette faible précision souligne l’insuffisance du filtre F1 seul pour l’indexation
des reprises.
On applique à présent le filtre F2 afin de sélectionner les graines significatives
dans l’espace de recherche entre u et chaque morceau de la base de données (voir
Section 3.3.2.2). Ce deuxième filtre peut être évalué en assignant comme score de
similarité entre u et une séquence v le nombre de graines significatives conservées
après application du filtre F2. La valeur de précision moyenne alors obtenue sur la
base T SD est de 19.23%, comme indiqué en ligne (vii) du Tableau 3.6. La distribution
des précisions moyennes est donnée par la première barre grise (la plus à
gauche) pour chaque classe de reprises sur la Figure 3.7. La précision de F2 semble
améliorer l’identification proposée par F1. Elle reste cependant sensiblement inférieure
à celle de la technique d’alignement pour chacune des classes.
On applique enfin le filtre plus précis F3 de sélection des graines identifiées par
F2 par extension de celles-ci. Le score de similarité entre deux séquences u et v
correspond alors à la somme des scores d’extension de graines, telle que décrite en
Section 3.3.2.3. La précision moyenne obtenue est de 33.08%, comme indiqué en
ligne (ix) du Tableau 3.6, soit une perte de précision de 23.58% par rapport à la

70 Chapitre 3 : Comparaison de séquences musicales
MAP (%)
MAP (%)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A B C D E F G H I
J K L M N O P Q
Fig. 3.7 – Distribution des précisions moyennes (MAP) avec différentes indexations
calculées pour chaque classe de reprises. Les lettres en abscisse désignent la
classe considérée (voir Tableau 3.2). Noir : aucune indexation (alignement), gris :
de gauche à droite, application de BLAST-{F2}, application de BLAST-{F1,F2},
blanc : alignement avec implémentation des chromas EchoNest.
technique précise d’alignement. La répartition des précisions moyennes est donnée
par la deuxième barre grise (la plus à droite) pour chaque classe de reprises sur la
Figure 3.7. Ce filtre permet d’améliorer l’identification par rapport au précédent
pour chaque classe de reprises. Son efficacité reste inférieure à la technique d’alignement,
avec une perte de précision moyenne comprise entre 7 et 55%. On peut
conclure que l’application des filtres BLAST correspond à une perte d’environ un
tiers de la précision d’un système par alignement de séquences.
Efficacité calculatoire
À cause d’un nombre élevé de mots différents à indexer sur l’ensemble de la base
de données, l’implémentation de BLAST est effectuée sous la forme d’un système
d’association clé/valeur en langage C. Il convient de préciser qu’aucun mécanisme
de parallélisme n’a été mis en place pour ces évaluations, afin d’estimer l’efficacité
calculatoire du système grâce aux seules heuristiques mises en œuvres par BLAST.
L’indexation de la base de données MSD dans son intégralité nécessite environ
16 minutes de calcul sur notre configuration matérielle 1 . Les temps de calcul moyens
par requête sont indiqués pour chaque tâche sur la dernière colonne du Tableau 3.6.
Comme attendu, les opérations d’alignement nécessitent de longs calculs, requérant
129 secondes par requête sur T SD et 388 sur MSD2k. En comptant le nombre de
symboles dans la base MSD, cette durée est extrapolée à 193765 secondes (soit
environ 53 heures) par requête sur MSD. Notons que le retrait de la variante
robuste aux transpositions locale permettrait de ne réduire cette durée que par un
1. Processeur Intel Xeon X5675 à 3.07 GHz, 12M mémoire cache, 32Go mémoire RAM

3.4 Conclusion du chapitre 71
facteur 12, toujours insuffisant pour une utilisation pratique du système.
Grâce à l’indexation de BLAST, le temps de calcul est très fortement diminué,
avec un temps de calcul de seulement 12.2 secondes par requête sur MSD (0.24
sur T SD) pour le filtre de sélection F2 seul, et 16.9 secondes par requête sur MSD
(0.33 secondes sur TSD) pour les filtres F2 et F3 combinés, en moyenne. Ce temps
d’exécution est donc sensiblement inférieur à celui constaté pour la technique d’alignement,
et rend possible l’utilisation d’une logique de comparaison de séquences
pour la recherche par similarité dans de grandes bases de données musicales.
Il convient de noter que, malgré l’échec du système à identifier les reprises avec
une précision suffisante sur MSD, la durée d’exécution de BLAST sur cette base
de données correspond tout de même au résultat d’une indexation pratique de
MSD. BLAST étant basé sur des heuristiques permettant d’éliminer rapidement
les alignements non significatifs, on ne peut garantir l’exactitude du gain en temps de
calcul estimé sur MSD si les séquences de cette base de données ne représentent pas
une information pertinente. Néanmoins, cette estimation suggère qu’une stratégie
d’indexation fondée sur les heuristiques de BLAST pourrait, à condition de disposer
de séquences adaptées, être appliquée à MSD pour identifier la similarité musicale
en un temps de l’ordre de quelques secondes grâce à une logique d’alignement de
séquences.
3.4 Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons introduit un formalisme de manipulation de séquences
de symboles et décrit des techniques existantes pour la comparaison de
telles séquences. Ce formalisme a ensuite été mis en pratique pour la recherche par
similarité musicale. Son évaluation dans un cadre applicatif particulier, la recherche
de reprises, a permis de mettre en avant la pertinence et la précision des techniques
de comparaison de séquences pour le contenu musical. Face au coût calculatoire
élevé de ces techniques qui empêchent leur utilisation pour le traitement de grandes
bases de données musicales, une méthode d’indexation existante pour les données
biologiques a été adaptée pour le contenu musical. Son évaluation avec les séquences
de bases de données musicales conséquentes a permis de réduire de manière drastique
le temps d’exécution en diminuant d’environ un tiers la précision du système
d’identification.
Une perspective majeure des travaux présentés dans ce chapitre consiste à définir
des opérations ou des heuristiques plus spécifiques à l’information tonale manipulée,
afin d’identifier des similarités musicales plus complexes. Pour l’alignement, il
convient d’étudier l’ajout d’opérations d’édition supplémentaires. Pour l’indexation
adaptée de BLAST, des résultats préliminaires suggèrent que la définition de graines
espacées [MTL02] augmente dans certains cas la sensibilité de la méthode.

Chapitre 4
Identification de
répétitions musicales
La musique est composée de nombreuses structures répétitives à plusieurs niveaux.
Les répétitions peuvent être effectuées sur différents critères musicaux et
à des échelles temporelles distinctes. En guise de première étape de l’étude de la
répétitivité des signaux musicaux, nous proposons dans ce chapitre d’identifier plusieurs
types de répétitions particulières dans un morceau quelconque représenté de
manière séquentielle.
Les outils algorithmiques utiles à la comparaison de séquences musicales ont
été présentés en Chapitre 3 et leur utilité pour estimer la similarité musicale entre
plusieurs séquences tonales, notamment pour l’identification de reprises, a été détaillée.
Dans ce chapitre, nous proposons d’utiliser les mêmes outils afin d’identifier
des similarités musicales au sein même d’une séquence, et ainsi d’analyser sa structuration
répétitive. Pour un morceau donné, l’objectif général de ce chapitre est ainsi
de qualifier et d’extraire une répétition prépondérante au sein du morceau. Pour
chaque répétition étudiée, nous proposons dans la suite un algorithme d’extraction
et l’évaluons dans le cadre d’une application musicale concrète.
Ce chapitre étudie deux problèmes d’analyse de structures répétitives musicales.
Dans un premier temps, sous l’hypothèse qu’un segment est choisi dans un
morceau de musique donné, nous proposons de définir et d’identifier la “meilleure”
répétition de ce segment au sein du morceau. Nous étudions ce problème en
Section 4.1 dans le cadre de l’application à la reconstruction musicale du signal
audio. Nous détaillons une solution algorithmique et l’évaluons dans des conditions
de tests subjectifs [MHT + 11].
Dans un deuxième temps, sans hypothèse particulière, nous proposons de définir
et d’identifier la “meilleure” répétition au sein d’un morceau de musique. Nous
introduisons ainsi dans la Section 4.2 le problème de la répétition majeure, définie
selon un critère d’optimalité. Nous proposons alors une méthode d’extraction de
cette répétition et comparons nos résultats à des annotations de la structure perçue
[MHRF11a], avant de les évaluer en tant que méthode d’indexation pour la
recherche de reprises [MHRF11b].
4.1 Répétition d’un segment choisi
Notre première approche de l’étude de structures répétitives dans les œuvres
musicales consiste à étudier la répétition d’un segment donné dans un morceau de
musique. Ainsi, pour un morceau donné et un segment particulier de ce morceau, on
cherche à identifier la “meilleure” répétition de ce segment selon un certain critère.
On peut alors définir grossièrement le problème abordé ici comme l’extraction dans
un morceau de musique du segment distinct le plus similaire au segment donné.

74 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Cette formulation du problème n’induit aucune contrainte particulière sur le
segment à identifier. En particulier, celui-ci peut chevaucher ou non le segment
choisi. Dans la suite du problème, pour correspondre à une définition commune de
la répétition musicale, on suppose que les deux segments de la répétition identifiée
sont disjoints. Cependant, la prise en compte d’un chevauchement, qui peut avoir
un sens musical dans certains cas, constitue une perspective de notre problème.
Afin de vérifier la pertinence musicale de la répétition analysée, nous plaçons
dans la suite le problème dans le contexte applicatif de la reconstruction audio. Dans
cette application, un ensemble de données audio manquantes, dont la position est
connue, doit être reconstitué à partir du reste du morceau auquel il appartient. Cette
application, présentée plus précisément dans la suite, a l’avantage de correspondre
à un cas d’utilisation pratique : reconstruire un signal détérioré. En revanche, cette
application requiert la définition d’un problème plus spécifique, décrit ci-dessous.
4.1.1 Reconstruction d’un extrait audio
4.1.1.1 Présentation du problème et travaux antérieurs
La reconstruction est un problème particulièrement connu et étudié en traitement
du signal audio [Ett96, GR98, LMR05, LRKO + 08]. Il consiste à reconstituer
un segment manquant dans un signal audio détérioré. Ce problème est principalement
motivé par le souhait de corriger automatiquement les dégradations auquel
peut être exposé le signal audio, pouvant être causées par de mauvaises conditions
d’enregistrement, des erreurs liées à la numérisation ou des problèmes de transfert
des données sonores, par exemple. Les effets indésirables incluent de courtes interférences
d’amplitude (ou clics), des effets de larsen, des distorsions, des bruits
parasites ou simplement l’absence de son [GR98, p.6–7].
Ces détériorations induisent une transformation locale d’un segment du signal
audio qui ne peut généralement pas être facilement inversée. Dans cette application,
la position et la durée exacte du segment altéré sont généralement connues.
La section altérée est alors considérée comme manquante, l’objectif des algorithmes
de reconstruction étant de combler cette section par un extrait perceptivement satisfaisant.
Enfin, même si cette contrainte est implicitement admise dans les études
existantes, on considère généralement que la temporalité du signal existant ne doit
pas être modifiée par l’opération de reconstruction : la position temporelle des échantillons
antérieurs et ultérieurs à la section manquante reste identique avant et après
reconstruction, et ainsi le morceau reconstruit est de durée identique au morceau
original.
En fonction du contexte applicatif, ce problème de reconstruction de données
manquantes est traité sous différentes dénominations : interpolation, extrapolation,
imputation, induction, extension ou encore occultation du signal audio [AEJ + 11].
D’une manière générale, cette opération est réalisée en mettant en relation le contenu
audio du morceau analysé (ou provenant d’autres œuvres) avec le voisinage du segment
manquant, comme décrit plus précisément dans la section suivante.
La Figure 4.1 représente le problème général de reconstruction de données manquantes
sur le domaine temporel (i) ou sur le domaine temps-fréquence (ii). Dans les
deux cas, il s’agit de reconstruire une partie de l’information audio non disponible,
dont la taille peut varier de quelques millisecondes à plusieurs secondes.

4.1 Répétition d’un segment choisi 75
(i)
(ii)
Fréquences (Hz)
1
-1
0
Amplitude
?
?
Temps (s)
Temps (s)
Fig. 4.1 – Vue schématique du problème de reconstruction audio. (i) : Approche
temporelle (forme d’onde). (ii) : Approche temps-fréquence (spectrogramme).
La reconstruction audio peut d’abord être calculée par interpolation des composantes
sinusoïdales du signal. Par exemple, Maher [Mah94] propose une technique
basée sur l’interpolation linéaire de l’amplitude et cubique de la phase du signal.
Cette technique permet d’obtenir des reconstructions fidèles au signal original pour
des sections manquantes durant entre 20ms et 100ms. Lagrange et al. [LMR05]
étendent la méthode en appliquant directement une prédiction linéaire afin d’extrapoler
le contenu fréquentiel précédant la partie manquante d’une part, et celui suivant
la partie manquante d’autre part. Un seuil de correspondance permet ensuite
d’apparier les deux extrapolations, et une opération de fondu linéaire fréquentiel
assure une transition progressive, créant ainsi une interpolation continue d’un des
composants du signal. Sous l’hypothèse d’une modélisation sinusoïdale stationnaire
des signaux, cette amélioration permet de reconstruire des sections manquantes de
tailles plus importantes, allant jusqu’à 450ms dans le cas de signaux polyphoniques.
Une technique d’interpolation similaire est proposée sur le domaine temporel par
Esquef et al. [EVRK03], testée dans le cadre de parties manquantes d’environ 50ms.
De nombreuses approches statistiques ont été développées pour la reconstruction
de signaux audio. Celles-ci incluent l’utilisation d’algorithmes de poursuite (orthogonal
matching pursuit) [AEJ + 11], le calcul d’estimateurs Bayésiens au voisinage
de la section manquante [GR98] ou encore la factorisation en matrices non négatives
[LRKO + 08]. Bien qu’utilisant des modèles distincts, ces méthodes comblent
les données manquantes en se basant sur des tendances statistiques locales à la
section altérée ou globales au morceau analysé [SRS10].
Ces différentes approches sont basées sur une analyse précise des composantes
du signal. Or, l’aspect non stationnaire de l’audio musical rend la tâche de reconstruction
impossible pour des parties manquantes de durées élevées. La durée des
sections manquantes est ainsi limitée à quelques centaines de millisecondes, voire à
la seconde dans le cas d’hypothèses particulières de stationnarité [LMR05].
Quelques études de la littérature s’intéressent au problème de reconstruction

76 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Fig. 4.2 – Image originale (gauche) et résultat d’une reconstruction (droite) après
suppression de la silhouette, d’après [CPT04].
de plus larges sections manquantes (de plusieurs secondes) dans une optique de
reconstruction du signal audio. Lu et al. [LWZ04b] proposent une technique de
restauration fondée sur la segmentation de descripteurs timbraux par courbe de
nouveauté et l’estimation de probabilités de transitions entre ceux-ci. Citons également
Jehan [Jeh05a, p.103–106] qui suggère, sans l’implémenter ou l’évaluer, une
approche similaire en prenant en compte des structures répétitives sur des niveaux
d’abstraction plus élevés.
Les objectifs des approches de reconstruction diffèrent selon l’application considérée.
D’une part, les méthodes existantes de traitement du signal audio reconstituent
des sections de quelques centaines de millisecondes en minimisant une mesure
entre le signal obtenu et le signal d’origine. D’autre part, la reconstruction à l’échelle
de plusieurs secondes n’est pas de reconstituer un signal altéré sous sa forme originale,
mais de produire un signal dont la section reconstruite est perceptivement
satisfaisante, c’est-à-dire ne perturbe pas notre perception de la musique. La qualité
de la reconstruction effectuée est donc recherchée sur le plan subjectif, et non sur
une comparaison objective des signaux.
Si la reconstruction de grandes parties manquantes est peu étudiée en signal
audio, elle est particulièrement développée en analyse et synthèse d’image, sous le
nom d’inpainting. Motivé notamment par la restauration d’œuvres picturales ou
d’anciennes photographies dégradées, l’inpainting a pour but de reconstituer des
régions manquantes au sein d’images ne présentant pas une forme facilement reconnaissable
[BSCB00]. De nombreuses méthodes dédiées à la restauration d’images se
basent, comme dans le cas du signal sonore, sur des techniques d’analyse statistique
des variations du signal [MM98, BSCB00, TD05]. Cependant, une autre technique
répandue en synthèse de texture utilise la notion d’auto-ressemblance en considérant
que l’image comprend un nombre élevé de répétitions locales. Cette technique peut
être vue comme un procédé de reconstitution par l’exemple [CPT04, EL99, Ash01].
L’avantage majeur de cette approche est la taille importante des motifs manquants
qui peuvent être reconstruits [BSCB00]. La Figure 4.2 montre, à partir d’une image
originale (à gauche), un exemple de reconstruction de l’image (à droite) après retrait
de la silhouette et reconstruction par l’exemple des pixels manquants [CPT04].

4.1 Répétition d’un segment choisi 77
(i)
(ii)
Fig. 4.3 – Modélisation du problème de reconstruction audio. (i) : Séquence de symboles
t1vϕt2. (ii) : Introduction des contextes locaux.
Dans cette section, on se pose le problème de reconstruction de grandes parties
manquantes dans le signal audio, de l’ordre de plusieurs secondes. Notre approche
du problème de reconstruction est fondée sur une description du signal audio sur un
niveau musical. La reconstruction de données audio avec une telle approche est aussi
connue sous le nom de restauration de textures audio [LWZ04b]. Comme expliqué
par Jehan [Jeh05a, p.103–106], utiliser une représentation musicale du signal audio
permet d’identifier des répétitivités structurelles de textures musicales, et permet de
considérer la restauration de sections beaucoup plus longues qu’avec les approches
de traitement du signal. En résumé, l’étude présentée dans cette section se concentre
sur la reconstitution perceptivement satisfaisante de grandes parties manquantes.
Notre approche est inspirée du procédé de reconstruction par l’exemple développé
dans le cadre de l’analyse d’image.
La méthode détaillée dans la suite de cette section a été publiée dans les actes
de la conférence International Society for Music Information Retrieval [MHT + 11].
4.1.1.2 Représentation
Soit x un signal audionumérique comprenant N échantillons. On suppose que
x contient une section de signal manquante, c’est-à-dire qu’il existe deux indices
d’échantillons ni et no tels que ni < no ≤ N et ∀i ∈ ni,no,x[i] = 0.
L’étape de représentation décrite Sections 2.3.1 et 2.2.5 fournit pour le signal
connu une séquence de vecteurs h1h2 . . . hk qui décrivent l’évolution d’un critère musical,
ici l’harmonie, chaque vecteur étant défini sur l’alphabet des chromas Σ chr .
La section manquante est représentée par un symbole spécial ϕ, qui indique l’absence
d’information audio. Ce symbole est attribué à toute trame de x qui contient
au moins un échantillon audio manquant. On représente ainsi le signal x par la
séquence de symboles :
u = t1vϕt2 définie sur l’alphabet Σ = Σ chr ∪ {ϕ}, (26)
où vϕ = ϕ . . . ϕ représente la section manquante de x et les séquences de chromas
t1 et t2, définies sur Σ chr , représentent les sections de signal audio bien définies
(Figure 4.3-(i)).

78 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
(i)
(ii)
Fig. 4.4 – Solution algorithmique au problème de reconstruction. (i) : Les deux
alignements locaux calculés. (ii) : Facteurs alignés résultants.
D’une manière générale, les méthodes de reconstitution par l’exemple utilisent le
caractère local répétitif du signal pour identifier les sections à reproduire [CPT04].
Dans le cas du signal audio, on peut ainsi considérer le contexte tonal local d’un
instant t, qui peut être vu comme la description de l’harmonie présente juste avant
(contexte gauche) et juste après (contexte droit) l’instant t. Formellement, on introduit
un seuil δ correspondant à la taille de chaque contexte, en nombre de symboles.
Le contexte gauche vl est défini comme le suffixe de t1 de longueur δ, et le contexte
droit vr est défini comme le préfixe de t2 de longueur δ. La Figure 4.3-(ii) illustre
la représentation de u avec les contextes tonaux locaux de vϕ.
La séquence v = vlvϕvr contient à la fois l’information manquante et ses contextes
tonaux locaux. C’est de cette séquence que l’on souhaite trouver une répétition musicale
approchée afin de combler la section manquante.
4.1.1.3 Problème et algorithme
Problème 3 (Reconstruction par l’exemple) Soient Σ un alphabet, ϕ un symbole
absent de Σ et u = t ′ 1vlvϕvrt ′ 2 une séquence définie sur Σ ∪ {ϕ} vérifiant :
⎧
⎪⎨ t
⎪⎩
′ 1 ,vl,vr,t ′ 2 ∈ Σ∗
vϕ = ϕϕ . . . ϕ
|vl| = |vr| = δ
Le problème de reconstruction par l’exemple consiste à identifier le facteur v de u
tel que :
⎧
⎨
⎩
v ∈ Σ∗ (i)
s∗ (v,vlvϕvr) = max
w∈S(u),w∩uvϕ=ε {s∗ (w,vlvϕvr)} (ii) .
Le problème de reconstruction est résolu par le calcul de la similarité locale
entre v et t1 d’une part et la similarité entre v et t2 d’autre part. La Figure 4.4-(i)
représente les deux alignements locaux effectués : align 1, représentant l’alignement
de t1 et de vlvϕvr et align 2, représentant l’alignement de t2 et de vlvϕvr.
.

4.1 Répétition d’un segment choisi 79
(i)
(ii)
Amplitude
Amplitude
Temps
Fig. 4.5 – Reconstruction du signal audio. (i) : Signal d’origine avec données manquantes
(silence). (ii) : Forme d’onde reconstruite. Les sections noires indiquent
la recomposition effectuée. Les régions entourées de pointillés correspondent à la
reconstruction par chevauchement audio.
Formellement, on calcule la répétition de score de similarité locale optimal s r
avec v par la proposition :
Proposition 7 (Calcul de reconstruction) Avec les notations du Problème 3,
on calcule le score optimal s r de la manière suivante :
s r = max{s ∗ (t1,vlvϕvr),s ∗ (t2,vlvϕvr)}.
On note u ∗ le facteur de t1 ou t2 effectivement aligné avec le facteur noté v ∗ de
vlvϕvr lors du calcul d’alignement local optimal de score s r . u ∗ est alors solution du
problème de reconstruction.
Preuve 1 Le score s ∗ (t1,vlvϕvr) correspond à la similarité maximale entre vlvϕvr
et t1, le préfixe de u avant vϕ, tandis que le score s ∗ (t2,vlvϕvr) correspond à la
similarité maximale entre vlvϕvr et t2, le suffixe de u après vϕ. s r correspond donc
au score de similarité maximale entre vlvϕvr et un facteur de u disjoint de vϕ, d’où
la propriété (ii). On en déduit également que u ∗ est disjoint de vϕ, ce qui assure
que u ∗ est défini sur Σ, d’où la propriété (i).
Un exemple de répétition identifiée est représenté en Figure 4.4-(ii) : le facteur u ∗
de t2 a un score de similarité avec la séquence v ∗ optimal, et constitue une solution
au problème de reconstruction.
4.1.1.4 Application à l’audio
Afin de satisfaire une contrainte pratique de reconstruction, il convient de favoriser
l’alignement de l’intégralité de vϕ, c’est-à-dire d’assurer, si possible, que vϕ est
bien un facteur de v ∗ . Pour ce faire, on définit un schéma de scores de pondération
particulier. Pour deux chromas h1 et h2 de Σ chr , le schéma de scores de pondération

80 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
est le suivant :
Insertion, suppression :
Substitution :
⎧
⎪⎨
Correspondance sur Σ chr : λ+ = 1
Remplacement sur Σ chr : λ− = −0.9
⎪⎩
λ(h1,φ) = λ(φ,h2) = −0.7
λ(ϕ,φ) = λ(φ,ϕ) = 0
λ(h1,h2) = λ chr (h1,h2)
λ(h1,ϕ) = λ(ϕ,h2) = 0.1
λ(ϕ,ϕ) = −∞
La définition d’un score positif pour la substitution d’un symbole avec ϕ impose
que la substitution d’un symbole de Σ avec ϕ soit toujours choisie dans le calcul de
similarité. De plus, la définition d’un score infiniment faible pour la correspondance
de symboles ϕ assure que les données manquantes ne sont jamais alignées entre elles.
Une fois cet algorithme appliqué sur les séquences de chromas, la dernière
étape de la technique de reconstruction consiste à utiliser la répétition identifiée
pour reconstituer la section manquante, comme illustré par la Figure 4.5. Notons
x[n1 . . . n2] les échantillons intervenant dans le calcul des symboles de la séquence
u ∗ , et x[n3 . . . n4] les échantillons (éventuellement nuls) intervenant dans le calcul
des symboles de la séquence v ∗ . La section manquante dans x est comblée en insérant
à la place des échantillons de x[n1 . . . n2] ceux de x[n3 . . . n4]. Afin d’assurer
des transitions progressives entre les composantes sinusoïdales, les sections chevauchantes
entre v ∗ et t1 d’une part et v ∗ et t2 d’autre part sont modifiées selon une
technique simple d’overlap-add [Cro80], qui effectue un fondu croisé linéaire entre
les deux sections. La Figure 4.5-(ii) représente l’opération de reconstruction des
échantillons audio. Les zones entourées de pointillées mettent en valeur les sections
de chevauchement par overlap-add.
Formellement, le signal reconstruit x est donné, pour n ∈ 1,N, par la formule :
⎧
⎪⎩
x[n] si n < n3
ni−n n−n3
x[n] + ni−n3 ni−n3 x[n1 + n − n3] si n3 < n < ni
⎪⎨
x[n] = x[n1 + n − n3] si ni < n < no
n−no n4−n
x[n] + n4−no n4−no x[n1 + n − n3] si no < n < n4
x[n] si n > n4
(27)
. (28)
Il convient de noter que l’on suppose dans cette formule que n4 − n3 = n2 − n1,
c’est-à-dire que |u ∗ | = |v ∗ |. Cependant, l’alignement local n’imposant pas l’égalité
des tailles de séquences résultantes, il est possible que cette assertion soit fausse. Ce
cas est susceptible d’arriver, par exemple, lorsque x[n1 . . . n2] est une répétition de
x[n3 . . . n4] jouée à un tempo différent. Dans ce cas, le facteur aligné de plus grande
taille est tronqué afin de conserver l’égalité des longueurs. La prise en compte de
séquences de différentes longueurs, par exemple en utilisant une technique de time
stretching [MC90, Fer99] à la reconstruction, est laissée en perspective de ce travail.

(i)
4.1 Répétition d’un segment choisi 81
(ii)
(iii)
(iv)
I C C R C C R P C O
Fig. 4.6 – Illustration de la contrainte de répétitivité. Les motifs répétés dans (i)
sont encadrés en gris. Les sections vertes représentées en (ii) satisfont la contrainte
de répétitivité, alors que les sections rouges en (iii) et (iv) ne satisfont pas cette
contrainte.
4.1.1.5 Protocole d’évaluation
L’algorithme décrit dans les sections précédentes est appliqué à une description
tonale du signal audio (voir Chapitre 2) pour déterminer la reconstitution optimale.
Des variations du timbre, du rythme ou des paroles, par exemple, peuvent
intervenir entre des sections identifiées comme répétées. Un signal d’origine et sa reconstruction
par l’algorithme peuvent donc différer fortement sur leurs composantes
tout en restant perceptivement proches. Comme expliqué en introduction du problème,
l’objectif de notre étude de la reconstruction est de reconstituer une section
perceptivement satisfaisante, c’est-à-dire qui ne gêne pas la perception musicale.
Occultation
Pour tester l’algorithme de reconstruction, il convient tout d’abord de constituer
un corpus de morceaux possédant des sections manquantes. Pour ce faire, on propose
d’effacer artificiellement, ou d’occulter des données audionumériques dans une base
de données. Ainsi, la génération de données manquantes est effectuée de manière
aléatoire afin de constituer un corpus de test aussi représentatif que possible de
l’ensemble des altérations susceptibles d’apparaître dans les enregistrements audio.
Cependant, puisque notre algorithme se base sur un procédé de reconstitution par
l’exemple, les données manquantes peuvent être reconstruites si elles font partie
d’une répétition approchée au sein d’un morceau. Afin d’évaluer rigoureusement
la méthode dans son champ d’application, on ne souhaite donc pas occulter les
sections non répétées. Plus précisément, on introduit une contrainte de répétitivité
par l’assertion suivante :
Une section ne peut être occultée que si elle appartient à un segment audio répété,
selon la vérité structurelle correspondante.
La Figure 4.6 illustre cette contrainte sur un exemple de structure de musique
populaire occidentale. La séquence de symboles ICCRCCRPCO représentée en (i)
indique la forme structurelle que suit ce morceau au cours du temps, telle qu’annotée
par un expert. Les symboles correspondent aux motifs classiquement identifiables
en musique populaire occidentale : l’introduction I, le couplet C, le refrain R, le
pont P et la conclusion O. Dans cette séquence de symboles, les motifs compris
dans un cadre gris C, R, CC, CR et CCR sont répétés. Tout segment compris dans

82 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
l’un de ces motifs, à l’image de ceux représentés en vert Fig. 4.6-(ii), satisfait donc
la contrainte de répétitivité. En revanche, les segments inclus dans une section non
répétée, comme les sections matérialisées en rouge en Fig. 4.6-(iii), ne satisfont pas
cette contrainte. De même, tout segment chevauchant une frontière non répétée, tel
que ceux représentés en Fig. 4.6-(iv), ne satisfait pas la contrainte.
Cette contrainte induit une restriction sur l’étendue de l’application de la méthode
; celle-ci est évaluée précisément sur la base de tests ci-dessous. Dans le cas
où la contrainte n’est pas respectée, le résultat de la reconstruction de sections
non répétées est susceptible de fortement varier en fonction des signaux musicaux
manipulés et de leur structure. Ainsi, dans l’exemple de la Figure 4.6, on peut raisonnablement
supposer que les motifs définis comme uniques peuvent difficilement
être reconstruits d’une manière perceptivement satisfaisante dans le cas général.
Néanmoins, il est envisageable que l’occultation du motif P et son remplacement
par un motif C, par exemple, produise un résultat acceptable car conservant une
cohérence musicale. La contrainte de répétitivité semble donc nécessaire si l’on souhaite
conserver une indépendance entre les résultats et la nature des morceaux
reconstruits.
Pour un morceau donné, le processus d’occultation est effectué selon le protocole
suivant :
1. Choix aléatoire d’une durée d’occultation l comprise entre des bornes fixées
lmin et lmax ;
2. Sélection aléatoire d’une section répétée (d’après la vérité structurelle) de
durée L > l ;
3. Choix aléatoire d’une date de début t dans cette section telle que t ≤ L − l ;
4. Occultation du son : mise à zéro des échantillons compris entre les dates t et
t + l.
Base de données
La contrainte de répétitivité nécessite l’utilisation d’une base d’annotation des
répétitions musicales. Cependant, aucune base de données annotant rigoureusement
la répétition au sens de notre étude n’est disponible. On choisit alors d’utiliser des
annotations de la structure répétitive perçue telles qu’annotées par des experts. Pour
chaque morceau de musique, ces bases de données proposent un découpage répétitif
binaire en segments caractérisés par des étiquettes. La récurrence d’une étiquette
indique une répétition musicale, tandis que deux étiquettes différentes soulignent
des segments dissimilaires. La méthode d’annotation ainsi que la précision de telles
bases annotées sont discutées plus en détail en Section 5.3.4.2.
La base de données considérée, notée ST RUCT , correspond un ensemble de
données de différents laboratoires (voir Section 5.3.4.2) et est notamment distribuée
par le projet OMRAS2 1 [MCD + 09]. Les données utilisées dans nos expériences se
composent de 252 annotations de la structuration des morceaux de musique de
trois artistes différents : un ensemble ST RUCT B de 180 morceaux du groupe The
Beatles, un ensemble ST RUCT Q de 34 morceaux du groupe Queen et un ensemble
ST RUCT J de 38 morceaux du chanteur Michael Jackson.
1. http://isophonics.net/content/reference-annotations

4.1 Répétition d’un segment choisi 83
Fréquence d’apparition du segment (%)
80
70
60
50
40
30
20
0 5 10 15
Durée d’un segment (s)
Fig. 4.7 – Restriction induite par la contrainte de répétitivité sur les différentes bases
annotées. Le graphique représente la fréquence d’apparition d’un segment répété
choisi aléatoirement dans l’ensemble de la base de données en fonction de la taille
du segment. Carrés : sous-base DQ, cercles : sous-base DJ, triangles : sous-base DB,
croix : moyenne sur D.
L’application de la contrainte de répétitivité sur ces annotations est alors effectuée
selon l’algorithme suivant :
1. Retirer les segments dont les étiquettes ne sont pas répétées ;
2. Retirer les frontières répétées, c’est-à-dire fusionner deux segments consécutifs
qui se répètent de manière consécutive.
À l’issue de cet algorithme, les segments restants correspondent aux sections pouvant
être occultées. Les sections manquantes sont générées en appliquant sur chaque
morceau correspondant à une annotation de ST RUCT le processus d’occultation
tel que défini à la section précédente. La base de morceaux partiellement occultés
est notée D, les sous-bases regroupées par artistes étant désignées par DB, DQ et DJ
selon la nomenclature précédente. À l’issue de cette étape, 252 morceaux partiellement
occultés sont donc présents dans la base de tests D ; la section effectivement
occultée dans chaque morceau alors d’une durée comprise entre 1 et 16 secondes,
avec une moyenne constatée de 8.2 secondes sur D.
Mesure de la répétitivité
Afin d’évaluer la restriction induite sur la base de tests par la contrainte de
répétitivité, on peut calculer le nombre de sections dans les morceaux de la base
de tests qui satisfont cette contrainte. La Figure 4.7 représente la fréquence d’apparition
d’une section répétée, choisie aléatoirement, d’après la vérité structurelle,
en fonction de la taille de la section. La courbe en traits pleins indique la moyenne
sur tous les morceaux de la base D (les lignes verticales représentant l’écart-type
de la mesure), tandis que les courbes pointillées détaillent les résultats par artiste :

84 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Score Qualité Imperfections
5 Excellente Imperceptibles
4 Bonne À peine perceptibles
3 Passable Acceptables
2 Médiocre Dérangeantes
1 Mauvaise Très dérangeantes
Tab. 4.1 – Échelle subjective définie pour établir la note moyenne d’opinion.
points en carrés pour DQ, en cercle pour DJ et en triangle pour DB. Par exemple,
si l’on choisit aléatoirement une section de 5 secondes dans un morceau de la base
de données, alors la section est répétée, en moyenne, dans 56% des cas sur D, dans
42% des cas sur DQ, dans 48% des cas sur DJ et dans 70% des cas sur DB. La répétitivité
semble fortement varier en fonction des artistes dans la base de données ;
ainsi, la fréquence de sections répétées dans un morceau de The Beatles est entre
8.7% et 16.2% plus élevée que dans un morceau de Queen. Cette différence, qui peut
être due aux choix d’agencements structurels différents selon les compositeurs, est
également liée à un manque d’homogénéité des annotations structurelles, comme
souligné notamment par Peeters et Deruty [PD09] et discuté plus précisément en
Section 5.3.4.2.
En respectant la contrainte de répétitivité, l’occultation est donc effectuée sur
une partie des segments de la base de données. Ainsi, 64.6% des morceaux en
moyenne peuvent être occultés par des sections d’une seconde, 50.8% par des sections
de 7s et jusqu’à 34.7% pour des sections de 15s.
Génération des données
Chaque morceau de D est partiellement occulté selon le processus décrit précédemment.
L’algorithme de reconstruction est alors appliqué sur chaque morceau.
Le paramètre δ de durée des contextes tonaux locaux doit être fixée à une valeur
suffisamment élevée afin de capter une progression harmonique représentative, mais
suffisamment faible pour que le contexte conserve un caractère local à la section
manquante. Des tests préliminaires sur un sous-ensemble de morceaux de D suggèrent
la valeur δ = 4s comme compromis raisonnable pour reconstituer les sections
occultées. Ce réglage, obtenu de manière empirique, dépend fortement de la base
de données et de la durée des structures répétitives qui la composent.
À l’issue de cette étape, on dispose ainsi de 252 morceaux partiellement occultés,
de manière aléatoire, puis reconstruits par notre algorithme.
4.1.1.6 Tests perceptifs
Notre protocole d’évaluation subjective est inspiré du test de Note moyenne
d’opinion (ou Mean Opinion Score, MOS), telle que définie par l’Union Internationale
des Télécommunications 1 [IT94]. Cette technique correspond à un standard
particulièrement utilisé pour évaluer la qualité des algorithmes de codage, notamment
dans le domaine de la parole pour la téléphonie, la transmission réseau ou
1. http://www.itu.int/fr

4.1 Répétition d’un segment choisi 85
la synthèse vocale (voir par exemple [VV05] et les références incluses). Cette technique
de test simple est particulièrement adaptée à l’évaluation perceptive du signal
audio.
Méthode d’évaluation
Conformément au test MOS, on commence par définir une échelle d’évaluation
comprenant 5 niveaux de satisfaction, le niveau 5 représentant la meilleure qualité
et le niveau 1 la plus mauvaise. Le Tableau 4.1 détaille les différents niveaux.
La spécification du test [IT94] précise en outre qu’il est important que l’auditeur
soit exposé à de courts extraits audio sur une période relativement courte, de l’ordre
de la dizaine de minutes. Afin de réduire la durée d’écoute de chaque extrait, on
effectue une opération additionnelle sur les données de test consistant à retirer
une grande partie de l’information audio inchangée. Formellement, on considère un
morceau de D occulté sur une durée d à partir de la date t. En tirant aléatoirement
deux durées t1 et t2 comprises entre 5 et 10 secondes, on réduit l’extrait à écouter à
l’intervalle [t−t1,t+d+t2]. De cette façon, la durée de l’extrait résultant correspond
à la durée de la reconstruction plus 10 à 20 secondes de données non reconstruites.
Cette technique permet ainsi de concentrer l’écoute sur la section reconstituée, tout
en introduisant un minutage aléatoire qui ne permet pas de connaître a priori les
bornes de cette reconstruction. Notons que si cette technique permet de rendre
l’écoute des extraits moins fastidieuse, elle tend à concentrer l’attention des sujets
autour de la reconstruction et rend plus exigeante l’évaluation de sa qualité.
De cette manière, 252 extraits sont ainsi générés, chacun durant entre 10 et 30
secondes pour une durée moyenne de 21.8s.
Pour réduire la durée de test à une dizaine de minutes d’écoute, chaque sujet
est soumis à l’évaluation de 26 extraits. Parmi ceux-ci, 21 sont tirés aléatoirement
parmi les 252 extraits reconstruits, et 5 morceaux, proposés à tous les testeurs,
correspondent à des extraits originaux non reconstruits (ou extraits-témoins). La
présence de ces derniers a pour objectif d’éliminer un éventuel effet-individu en
détectant par exemple les sujets répondant de manière aléatoire selon la règle suivante
: si un sujet juge la qualité de 3 extraits non altérés ou plus comme perfectible
(note différente de 5), alors son jugement est qualifié de non pertinent, et est écarté
de l’évaluation.
Il est également important, d’après le test MOS, de prêter attention à l’expertise
du sujet pour l’évaluation d’extraits audio. En s’inspirant de ce principe, on propose
de distinguer les sujets du test en deux catégories : les musiciens et les non musiciens,
le sujet déclarant à quelle catégorie il appartient.
Résultats
Les tests d’écoute ont été menés sur 80 auditeurs distincts, dont 34 se déclarant
comme musiciens et 46 comme non musiciens. Chaque extrait audio a été écouté en
moyenne 7.1 fois, avec un minimum d’une écoute et un maximum de 15 écoutes par
extrait. Les écoutes des 5 extraits-témoins ont donné lieu à 400 observations dont
10 ont été évaluées de manière inexacte (imperfections perçues). Cependant, ces
10 notes invalides ont été attribuées par 10 utilisateurs distincts. Par conséquent,
tous les jugements des 80 testeurs peuvent être considérés comme pertinents. Les

86 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Base de données Musiciens Non musiciens Total
DB (The Beatles) 3.95 4.13 4.05
DJ (Michael Jackson) 4.21 4.26 4.24
DQ (Queen) 3.40 3.94 3.71
D (Tous morceaux) 3.92 4.13 4.04
Tab. 4.2 – Résultats d’évaluation subjective de la reconstruction, regroupés par base
de données et par classe d’évaluateurs. Les valeurs sont données sur une échelle
subjective telle que présentée dans le Tableau 4.1.
statistiques présentées dans la suite ne comptabilisent pas ces 400 observations de
morceaux-témoins, afin de ne pas introduire de biais dans l’évaluation des reconstructions
effectuées.
Les résultats globaux de la reconstruction sont résumés dans le Tableau 4.2. La
moyenne des notes attribuées aux morceaux de chacune des bases de données est
présentée, pour chaque classe de sujets. La note moyenne globale des extraits évalués
est de 4.04, jugeant ainsi la qualité de la reconstruction comme bonne avec des
imperfections à peine perceptibles en moyenne. La perception des sujets musiciens
semble légèrement plus exigeante, avec une note moyenne inférieure de 0.21 points
par rapport aux sujets non musiciens.
On remarque également que les résultats semblent varier selon les artistes. Ainsi,
les reconstructions semblent moins satisfaisantes sur l’ensemble d’extraits de Queen
que sur les extraits de Michael Jackson, avec un écart de 0.53 points sur la note
moyenne. La raison de cette variabilité en fonction des artistes n’est pas triviale
et peut être expliquée par de nombreux facteurs. D’abord, les compositeurs sont
susceptibles d’employer différemment la répétition de motifs structurels, en amenant
plus ou moins de variations musicales entre deux couplets, sur la mélodie ou
les instruments par exemple. Ces différences impactent la reconstruction, qui est
d’autant plus perceptible que la répétition détectée comporte de variations. En
outre, rappelons que les sections occultées puis reconstruites sont choisies en fonction
d’une annotation par différents experts, dont les normes et règles de notation
sont réputées peu homogènes selon les bases de données, donc selon les artistes
(voir Section 5.3.4.2). Enfin, les habitudes d’écoute des sujets de test ont un impact
direct sur leur exigence face aux reconstructions. Ainsi, un auditeur connaissant
parfaitement bien un morceau est susceptible d’être plus critique à l’écoute d’une
reconstitution de celui-ci. Dans un souci de simplification de la tâche de test et de
réduction de sa durée, la pré-connaissance des extraits n’a pas fait partie du protocole
des tests menés. Néanmoins, il est important que les futurs travaux sur la
reconstruction renseignent cette information pour chaque observation effectuée afin
d’évaluer l’importance de ce critère.
Les notes moyennes attribuées par les sujets de test suggèrent une bonne qualité
de la reconstruction. La figure 4.8 décrit plus précisément la distribution des notes
attribuées pour chaque observation, tous morceaux confondus, en détaillant chaque
classe d’évaluateurs : tous les sujets (noir), sujets musiciens (gris foncé) et sujets
non musiciens (gris clair). Cette figure présente la tendance de notation générale à
l’écoute des reconstructions. Ainsi, pour plus de la moitié des observations (55.4%),
tous morceaux et tous utilisateurs confondus, la note 5 est attribuée. Cela signifie

4.1 Répétition d’un segment choisi 87
5
4
3
2
1
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
5,0%
14,8%
12,9%
12,0%
Tous Musiciens Non musiciens
55,4%
Fig. 4.8 – Répartition des notes attribuées pour chaque classe de sujets
que plus de la moitié des observations évaluent comme excellente (non perceptible)
la reconstruction effectuée. La note 5 est moins fréquente pour les sujets musiciens,
dont 49.8% des observations se voient attribuer cette note.
En regroupant les scores par extrait et en calculant leur note moyenne, on peut
mesurer la qualité de reconstruction perçue par extrait. La Figure 4.9 présente la
répartition des notes moyennes par extrait, en détaillant chaque classe de sujets. On
rappelle que les observations effectuées par chaque sujet sont tirées aléatoirement
parmi l’ensemble des reconstructions ; de ce fait, certains extraits ont été notés uniquement
par des non musiciens, certains uniquement par des musiciens et certains
par les deux types de sujets. Le score moyen d’évaluation par tous les sujets (en
noir) ne correspond donc pas forcément à la moyenne des scores moyens des deux
classes (en gris). Cette figure souligne donc que 31.2% des reconstitutions sont notées
5 par tous les sujets les ayant évaluées. La reconstruction est donc qualifiée
d’excellente pour un tiers de la base de données. En outre, pour 33% des extraits,
la reconstruction semble à peine perceptible avec un score compris entre 4 et 5.
Le jugement des sujets musiciens semble à nouveau plus critique avec une notation
relative aux non musiciens plus faible de 6.37% des extraits notés 5, plus forte de
3.8% des extraits notés entre 3 et 4 et plus forte de 6.9% des extraits notés entre 2
et 3. Les scores les plus faibles semblent rarement attribués dans les deux cas, avec
seulement 4.5% des extraits et 5% de toutes les observations.
Les imperfections détectées dans les extraits reconstruits sont liées à différents
critères musicaux comme le rythme, la voix, la dynamique ou encore le timbre perçu.
La liste suivante détaille les imperfections les plus rapportées par les sujets de test,
et propose une explication à leur apparition :
- Légers décalages rythmiques. De faibles changements dans le rythme sont fréquemment
rapportés, particulièrement dans le cas d’une accélération du tempo
perçu (voir par exemple [Wan84] pour une explication plus complète). Ceux-ci
sont provoqués par la présence de sections répétées jouées à un tempo légère-

88 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
5
Entre 4 et 5
Entre 3 et 4
Entre 2 et 3
Entre 1 et 2
0% 10% 20% 30% 40% 50%
4,5%
11,8%
19,5%
31,2%
Tous Musiciens Non musiciens
33,0%
Fig. 4.9 – Répartition des moyennes par morceau et pour chaque classe de sujets
ment différent à chaque occurrence, et dont l’insertion apporte des modifications
soudaines du tempo dans la section reconstruite. Cette imperfection est particulièrement
rapportée pour la reconstruction d’extraits provenant de morceaux
réputés pour n’avoir pas été enregistrés en suivant une pulsation régulière (métronome).
- Modifications timbrales subites. Le changement rapide (quelques secondes) d’instruments
est également souvent perçu comme anormal au cours de transitions
reconstruites. Cet effet est dû à l’utilisation de répétitions comportant une harmonie
similaire mais une instrumentation différente.
- Incohérences des paroles chantées. Cette imperfection est régulièrement rapportée
dans les cas où l’occultation supprime en partie une phrase chantée, puis où
la reconstruction assigne une section similaire d’un point de vue tonal, mais dont
les paroles ont été modifiées. Il convient de noter que sur les 80 sujets soumis à
l’évaluation, 78 ont pour langue maternelle le français, alors que les morceaux
proposés sont tous en langue anglaise. On peut donc supposer que le nombre
d’incohérences sur les paroles détectées serait supérieur dans le cas de sujets
anglophones.
Bilan expérimental
Cette évaluation met en avant le succès de la méthode à reconstruire de manière
parfaitement satisfaisante 31.2% des extraits audio, et de manière à peine perceptible
33% d’entre eux. De plus, bien que l’expertise musicale rende l’évaluation plus
exigeante, le fort taux d’attribution de la note maximale (plus d’une observation
sur deux) suggère que la méthode est très efficace pour une majorité des signaux
pour le panel de testeurs, résultat appuyé par la note moyenne de 4.04 sur 5 pour
l’ensemble des extraits reconstruits.
Ce résultat est à nuancer par le caractère subjectif de notre évaluation, dont la
fiabilité est nécessairement liée à l’échantillon de sujets (ici 80 personnes) et aux

4.2 Répétition majeure 89
bases de données évaluées. Une perspective de cette étude consiste à s’intéresser
à un mode d’évaluation plus objectif, par exemple en définissant des métriques
d’évaluation robustes à un certain nombre de variations musicales, ou en spécifiant
plus les critères d’évaluation de la procédure subjective.
4.1.2 Conclusion
Dans cette section, nous avons décrit une technique basée sur l’alignement de
séquences tonales pour l’identification de la meilleure répétition d’un segment choisi
dans un morceau de musique. Dans le cadre de la reconstruction de données audio,
un algorithme adapté a été présenté et évalué par des tests subjectifs. Le jugement
des reconstructions calculées met en avant la pertinence de la méthode pour
restaurer de manière perceptivement satisfaisante les données manquantes.
En choisissant un segment dans un morceau de musique, la méthode présentée
permet donc d’identifier une répétition significative au sein du même morceau.
Nous proposons à présent de relâcher la contrainte de choix d’un segment, et ainsi
d’étudier un problème plus général de détection d’une répétition significative au
sein d’un morceau : la répétition majeure.
4.2 Répétition majeure
Afin d’automatiser la détection de la structuration répétitive d’un morceau,
il est nécessaire de désigner et d’extraire une répétition significative de celui-ci.
Contrairement à la section précédente, on s’intéresse dans cette deuxième approche
à l’identification d’une répétition musicalement significative dans un extrait audio
sans aucune pré-connaissance sur celle-ci.
La répétition que nous choisissons d’étudier dans cette section est caractérisée
par un critère d’optimalité. En effet, devant la complexité de la structuration répétitive
des morceaux de musique, il semble naturel, sans connaissance a priori sur
un morceau de musique, de rechercher d’abord sa “meilleure” répétition selon un
certain critère.
On peut ainsi définir grossièrement le problème abordé ici comme l’extraction
dans un morceau de musique quelconque de la répétition prépondérante du morceau,
c’est-à-dire des deux extraits répétés les plus significatifs. Cette formulation imprécise
du problème sous-entend l’importance de deux critères de sélection distincts :
le degré de similarité et la taille des extraits répétés. Ainsi, pour deux répétitions
de durées identiques, si l’information musicale est plus proche entre les occurrences
de la première répétition qu’entre celles de la seconde, alors la première répétition
peut être considérée comme plus significative que la seconde pour le morceau de
musique. De la même manière, pour deux répétitions d’une quantité d’information
musicale équivalente, si la durée des occurrences de la première est supérieure à
celle des occurrences de la seconde, alors la première répétition peut être considérée
comme plus significative que la seconde pour le morceau de musique. Chacun de ces
deux critères présentent une importance dans le choix d’une répétition optimale.
En supposant connue une mesure de la similarité entre séquences musicales, on
considère dans cette section la répétition majeure d’un morceau de musique, correspondant
de manière informelle aux parties disjointes du morceau qui présentent le
meilleur compromis entre un fort degré de similarité et une longueur importante.

90 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
La suite de cette section explicite la nature du compromis effectué, et définit formellement
cette répétition.
Afin d’évaluer son sens musical, nous proposons ensuite de la comparer avec la
structure répétitive perçue, telle qu’annotée par des experts. Enfin, nous décrivons
une évaluation concrète de cette répétition pour indexer des morceaux de musique,
dans le cadre de l’application à la détection de reprises.
4.2.1 Travaux antérieurs et motivation
Le problème d’extraction d’un segment caractérisé par sa répétition a été traité
dans le cadre de la détection de segments représentatifs, avec pour objectif de produire
un extrait caractéristique du morceau, ou thumbnail (voir Section 1.2.1).
L’état de l’art se concentre essentiellement sur la détection d’une section caractéristique
du style musical populaire occidental, le refrain [Got03, Got06, BW05,
LC00, CF04].
Le refrain est un segment commun en musique populaire occidentale. Bien qu’il
n’existe pas de définition précise de ce terme au sens de l’analyse musicale, le refrain
peut être caractérisé par plusieurs constats dans certains morceaux. Par exemple,
Peeters et Deruty [PD09] l’assimilent à « une section d’un morceau qui inclut le
chanteur, dans laquelle le titre du morceau est prononcé, et qui se répète au moins
une fois dans le morceau ». Depuis une analyse du contenu musical, le refrain est
généralement identifié automatiquement à partir de la détection des sections les plus
répétées d’un morceau de musique [Got06]. Cooper et Foote [CF04] proposent une
telle détection, identifiant des sections comprenant refrains et couplets, en effectuant
une analyse de la matrice d’auto-distance [Foo99] des descripteurs musicaux d’un
morceau, puis en appliquant une méthode de clustering sur les segments obtenus
pour sélectionner les plus fréquents. Logan et Chu [LC00] utilisent également une
technique de clustering couplé à des modèles de Markov cachés pour regrouper de
courts segments en fonction de caractéristiques audio, puis identifient une “phraseclé”
d’une durée fixée en sélectionnant la séquence la plus fréquente selon plusieurs
heuristiques. De manière analogue, Bartsch et Wakefield [BW05] identifient un extrait
de taille fixée par corrélation optimale de descripteurs audio en respectant une
hypothèse sur leur évolution tout au long du morceau. Goto [Got03, Got06] parvient
à repérer précisément les frontières des occurrences du refrain, potentiellement avec
modulation, en optimisant une mesure de similarité établie sur différents niveaux de
structures répétitives, tout en respectant des hypothèses arbitraires sur la position
ou la durée probable du refrain. L’utilisation d’heuristiques dans l’ensemble de ces
études pour décrire le refrain rend le problème de sa détection difficile à définir dans
le cas général. Bien qu’affichant des résultats satisfaisants, ces techniques cherchent
à travers une série d’hypothèses à résoudre un problème non formellement défini.
En outre, si le refrain est une structure caractéristique de la musique populaire
occidentale, il ne convient pas à de nombreux styles musicaux qui comportent pourtant
des structures répétitives fortes. Par exemple, on retrouve en musique classique
des thèmes caractéristiques et récurrents tout au long d’un morceau mais ne correspondant
pas aux hypothèses de répétitivité du refrain. À l’inverse, il est possible
de citer de nombreuses œuvres considérées comme appartenant à la musique populaire
mais ne comptant pas de refrain. Par exemple, Peeters et Deruty [PD09]
soulignent qu’aucun refrain ne figure sur l’album The Dark Side of The Moon du

4.2 Répétition majeure 91
(i)
Fig. 4.10 – Interprétation graphique de la contrainte de disjonction dans
le graphe
d’édition.
(i) : Un chemin franchissant la diagonale du graphe représente l’aligne-
ment de séquences non disjointes. (ii) : Un chemin non inclus dans un sous-graphe
rectangulaire représente également l’alignement de séquences non disjointes.
groupe Pink Floyd. Dans la même étude, les auteurs remarquent également qu’avec
une telle définition, le refrain n’apparaît que dans moins de la moitié de leur base de
données de 112 morceaux de styles et époques variées [PD09]. L’analyse
du refrain
réduit donc l’ensemble des données musicales exploitables à une petite partie de la
musique populaire occidentale.
C’est pourquoi on se propose dans la suite d’étudier la répétition majeure, définie
de manière moins intuitive mais plus générale que le refrain. L’objectif des sections
qui suivent est de formaliser cette répétition, de proposer un algorithme efficace permettant
de l’extraire puis de justifier sa pertinence vis-à-vis des répétitions perçues
dans un morceau de musique.
4.2.2 Modélisation
Soit u une séquence de symboles. La répétition majeure de u correspond aux
deux facteurs disjoints dans u de score de similarité locale optimal. Formellement,
on cherche donc le score de répétition majeure s ⊛ (u), donné par la formule :
On note u ⊛ 1 et u⊛ 2
tels que s ⊛ (u) = s(u ⊛ 1 ,u⊛ 2 ).
4.2.3 Algorithme
(ii)
s ⊛ (u) = max s ∗ (v,w)
(v,w)∈S(u) 2 . (29)
: v∩uw=ε
les facteurs disjoints dans u effectivement alignés, c’est-à-dire
Une solution au problème d’identification des facteurs disjoints de similarité
optimale a été proposée par Miller [Mil92], puis améliorée peu après notamment
par Kannan et Myers [KM93] et Benson [Ben95].
Dans le cas où la condition de disjonction est relâchée, Miller [Mil92] remarque
que le problème peut aisément être résolu en temps quadratique en effectuant une

92 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Fig. 4.11 – Illustration du premier algorithme d’alignement de séquences disjointes.
modification simple de l’algorithme d’alignement local [SW81]. La difficulté algorithmique
du problème réside donc dans la condition de disjonction.
4.2.3.1 Premier algorithme
Soient u une séquence de symboles de longueur n et G le graphe d’édition de
la séquence u vers elle-même. Supposons connu le chemin P dans G correspondant
à une transcription locale optimale de séquences disjointes dans u. On note (i,j)
les coordonnées du point de départ de P dans G, et (k,l) les coordonnées de son
point d’arrivée. En d’autres termes, P représente l’alignement optimal de u[i . . . k] et
u[j . . . l]. Comme représenté en Figure 4.10, un chemin franchissant la diagonale de G
représente un alignement de séquences possédant au moins un symbole en commun
dans u. Par conséquent, P ne franchit pas la diagonale de G. G étant symétrique par
rapport à sa diagonale, on suppose que P est contenu dans le triangle inférieur de G
(quitte à considérer son image par symétrie), et notamment que j < i et l < k. En
d’autres termes, le facteur u[j . . . l] est antérieur au facteur u[i . . . k] dans u. Puisque
ces deux facteurs sont disjoints dans u, on a l < i. Graphiquement, cette condition
implique que le chemin P ne se termine pas dans une colonne d’indice l supérieur à
celui de la ligne i à laquelle il commence. Comme représenté en Figure 4.10-(ii), si
P ne respectait pas cette condition, il représenterait nécessairement un alignement
de facteurs non disjoints dans u.
Par conséquent, le chemin optimal avec disjonction dans G est contenu dans
un sous-graphe de G rectangulaire et délimité par la ligne i et la colonne i, pour
i ∈ 1,|u|. Cette remarque, représentée en Figure 4.11 pour quelques valeurs de i,
conduit à la définition de l’Algorithme 1 de résolution du problème de la répétition
majeure.
À chaque étape i, une matrice rectangulaire de taille i · (n − i) est calculée. Le
nombre de coefficients de programmation dynamique calculés par l’algorithme 1 est
donc donné par :
n−1
i=1
i(n − i) =
(i)
n(n − 1)(n + 1)
. (30)
6
Par conséquent, la complexité temporelle de ce premier algorithme est de O(n3 ),
coefficients de programmation dynamique à évaluer.
avec précisément n(n−1)(n+1)
6

4.2 Répétition majeure 93
algorithme 1 Répétition majeure, premier algorithme [Mil92]
ENTRÉE Une séquence u
SORTIE Le score de répétition majeure s ⊛ et les deux facteurs u ⊛ 1 et u⊛ 2
s ← 0, v ← ε, w ← ε
pour i = 1 à |u| − 1 faire
v ← u[1 . . . i]
w ← u[i + 1 . . . |u|]
s ∗ ← s ∗ (v,w)
si s ∗ > s alors
s ← s ∗ , u1 ← v ∗ , u2 ← w ∗
s ⊛ ← s, u ⊛ 1 ← u1, u ⊛ 2
retour s ⊛ , u ⊛ 1 , u⊛ 2
← u2
4.2.3.2 Deuxième algorithme
Miller [Mil92] propose un algorithme plus efficace en pratique en modifiant le
calcul de l’alignement local par programmation dynamique. Comme décrit en Section
3.1.3.3, l’alignement local entre deux séquences u et v est obtenu en calculant
par récurrence sur i et j le score de similarité optimal s + i,j entre un suffixe de u[1 . . . i]
et v[1 . . . j]. Dans le cas de recherche de facteurs disjoints dans une seule séquence
u de taille n, Miller [Mil92] définit le score de similarité optimal s + i,j,k entre un suffixe
de u[k . . . i] et u[1 . . . j]. En d’autres termes, pour trois indices i,j,k dans une
séquence u, s + i,j désigne le score du meilleur chemin se terminant ligne i et colonne
j dans le graphe d’édition, tandis que s + i,j,k désigne le score du meilleur chemin se
terminant ligne i, colonne j et commençant à la ligne k dans le graphe d’édition.
Le calcul de la similarité locale dans u est alors effectué selon une récurrence sur
(i,j,k) ∈ 0,n3 . Son initialisation est donnée la proposition :
Proposition 8 (Initialisation) Pour j ≤ k ≤ i,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
s + 0,j,k
s + i,0,k
s + i,j,0
= 0
= 0
= 0
La récurrence se fait alors selon la proposition :
Proposition 9 Soient λ un schéma de scores de pondération bien formé, et φ le
symbole spécial d’alignement. Pour j ≤ k ≤ i,
s + ⎧
s
⎪⎨
i,j,k = max
⎪⎩
+ i−1,j,k + λ(u[i],φ) si i > k
s + i,j−1,k + λ(φ,u[j]) si i ≥ k
s + .
i−1,j−1,k + λ(u[i],u[j]) si i > k
0 si i = k
Le chemin optimal dans le graphe d’édition ainsi calculé débute à la ligne k
et se termine à la ligne i et la colonne j. L’inégalité k ≤ i indique l’ordre naturel
.

94 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Fig. 4.12 – Exemples de chemins dans le graphe d’édition et amélioration du calcul
du chemin optimal telle que proposée par Miller [Mil92] (voir texte).
des lignes de départ et d’arrivée du chemin dans le graphe d’édition. L’inégalité
j ≤ k assure que le chemin optimal est bien situé dans le sous-graphe rectangulaire
délimité par la ligne k et la colonne k. Enfin, par transitivité, l’inégalité i ≤ j assure
que seul le triangle inférieur du graphe d’édition de u vers u est considéré.
Le score de répétition majeure est alors donné par :
(ii)
s ⊛ (u) = max s + i,j,k
(i,j,k)∈1,n3 ,i≤j≤k
. (31)
Le calcul de s ⊛ avec l’algorithme de Miller est effectué par récurrence sur i,j
et k ; comme le premier algorithme proposé, sa complexité temporelle théorique est
donc de O(n 3 ).
Cependant, Miller [Mil92] relève que la complexité peut en pratique être ramenée
à l’ordre quadratique. Pour décrire cette amélioration, on introduit quatre chemins
de la manière suivante :
– Soit P1 le meilleur chemin se terminant en ligne i, colonne j et commençant
en ligne k ;
– Soit P2 le meilleur chemin se terminant en ligne i, colonne j et commençant
en ligne m < k ;
– Soit P3 le meilleur chemin se terminant en ligne i ′ > i, colonne j ′ > j,
commençant en ligne k et passant par le point (i,j) ;
– Soit P4 le meilleur chemin se terminant en ligne i ′ > i, colonne j ′ > j,
commençant en ligne m et passant par le point (i,j).
La Figure 4.12 représente graphiquement un exemple pour ces quatre chemins.
, alors s+ > s+ . En d’autres termes, si
Miller remarque que si s + i,j,k > s+ i,j,m i ′ ,j ′ ,k i ′ ,j ′ ,m
P1 est meilleur que P2, alors P3 est meilleur que P4. On dit que la ligne k domine
la ligne m en (i,j). Ainsi, il n’est pas nécessaire de considérer la ligne dominée m
dans le calcul de tout chemin optimal passant par le point (i,j) et se terminant en
une ligne i ′ > i et une colonne j ′ > j (zone grisée de la Figure 4.12).
Miller propose donc une optimisation du calcul de s + en conservant pour chaque
couple d’indices (i,j) une liste des candidats (c,s + i,j,c ) telle que la ligne c n’est dominée
par aucune autre ligne en (i,j). Cette liste est triée dans l’ordre des c croissants,

4.2 Répétition majeure 95
donc dans l’ordre des s + i,j,c décroissants. L’évaluation par programmation dynamique
d’un score optimal en un point (i,j), décrite par l’Équation 9, n’est alors effectuée
que sur les valeurs de k non dominées, indiquées par les listes de candidats des
coefficients voisins. Or, l’auteur remarque qu’en pratique le nombre de lignes non
dominées en un point donné semble être constant, et lorsque c’est le cas le calcul
de la liste de candidats à partir des coefficients voisins demande un temps de calcul
constant [Mil92, KM93]. Par conséquent, Miller observe une complexité temporelle
de cet algorithme de l’ordre de O(n2 ) en pratique, même si celle-ci peut toujours
atteindre O(n3 ) dans le pire des cas où aucune ligne n’est dominée.
4.2.3.3 Autres optimisations
Des travaux ultérieurs à l’étude de Miller [Mil92] ont réduit la complexité
temporelle du problème à O(n 2 log 2 n) pour Kannan et Myers [KM93], ou encore
O(n 2 log n) pour Schmidt [Sch95]. Cependant, ces algorithmes introduisent
des structures de données spécifiques et s’avèrent particulièrement plus délicats à
mettre en œuvre. Notre implémentation de l’algorithme d’identification de la répétition
majeure suit donc la méthode de Miller. On notera que bien que la complexité
théorique de cet algorithme ne soit pas optimale, le comportement quadratique de
l’algorithme de Miller le rend performant en pratique pour analyser des séquences
musicales.
4.2.4 Évaluation
Nous proposons d’évaluer la répétition majeure sur des séquences tonales afin
de qualifier sa pertinence pour décrire des données musicales. Les résultats préliminaires
de l’évaluation décrite dans cette section ont été publiés dans les actes de la
Joint Conference on Digital Libraries (JCDL) [MHRF11a].
L’algorithme de Miller est appliqué aux séquences de descripteurs tonaux sur
un ensemble de morceaux de musique. Le schéma de scores de pondération utilisé
pour les calculs de similarité locale est identique à celui établi pour l’évaluation de
la similarité tonale en Section 3.2. La taille des trames de signal est déterminée
empiriquement afin de représenter des sections comprenant une information tonale
pertinente et concordante avec l’échelle de description de la répétition majeure.
Chaque trame est ainsi calculée sur un intervalle de 741ms, avec un avancement de
370ms entre deux trames successives (chevauchement des trames de moitié).
Bases de données
Pour les besoins de l’évaluation, on utilise plusieurs bases de données musicales
manuellement annotées et considérées comme vérité-terrain. Le premier jeu de données,
noté Ds, est constitué d’annotations des segments structurels composant un
ensemble de 180 morceaux du groupe The Beatles. Cette base de données est issue
de plusieurs projets de recherche, et plus précisément décrite en Section 5.3.4.2. Le
second jeu de données, noté Dc, consiste en une annotation manuelle des accords
de ces mêmes morceaux, et provient d’un complément de données fourni par le
projet OMRAS2 Metadata [MCD + 09] 1 . Dans cette base de données, chaque mor-
1. http://www.isophonics.net/content/reference-annotations

96 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Évaluation Rp Pp Fp Su So
RM Audio/RM Accords 81.6 77.7 78.5 77.3 73.5
Tab. 4.3 – Robustesse de l’algorithme de détection de la répétition majeure face aux
descripteurs audio. Les scores (pourcentages) correspondent aux moyennes sur la
base de tests, et sont obtenus en comparant les répétitions majeures (RM) calculées
depuis l’audio à celles calculées depuis les annotations manuelles des accords.
ceau est représenté par une séquence de symboles sur l’alphabet des accords Σ r+m
acc ,
chaque symbole représentant la fondamentale et le mode d’un accord (selon une
construction analogue à la Section 3.3.3.1).
Validation de l’algorithme sur des séquences de descripteurs musicaux
La base de données Dc comporte un ensemble de séquences de symboles décrivant
les accords de morceaux de musique annotés par des experts. Afin d’évaluer
la pertinence de la méthode sur des descripteurs audio, on propose donc d’appliquer
l’algorithme de Miller sur ces séquences annotées d’une part, puis sur les séquences
de descripteurs audio d’autre part, avant de comparer les résultats obtenus.
Une convergence des répétitions identifiées soulignerait non seulement la qualité du
descripteur audio à représenter les accords, mais aussi le succès de la méthode à
identifier la répétition majeure à partir de descripteurs audio.
Pour chaque morceau de la base de tests, la répétition majeure est donc calculée
par l’algorithme de Miller à partir de la séquence d’accord annotés et à partir de
la séquence de chromas. Les deux segmentations obtenues sont alors comparées en
utilisant deux métriques standard d’évaluation décrites en 5.3.4.3 : la comparaison
trame-à-trame (scores Rp, Pp et Fp) et la métrique de sur- et sous-segmentation
(scores Su et So). Les résultats de cette première évaluation sont indiqués dans
le Tableau 4.3. Les scores obtenus soulignent une forte correspondance entre les
segmentations depuis ces deux différentes sources, avec une F-mesure trame-à-trame
moyenne de 78.5% pour un rappel de 81.6%. Les scores élevés de sur-segmentation
et de sous-segmentation aux valeurs respectives de 77.3% et 73.5% appuient cette
conclusion. Leur faible écart indique en outre que les deux segmentations comparées
semblent bien décrire un niveau structurel similaire. La méthode semble donc bien
robuste au passage aux descripteurs audio.
Malgré cette forte concordance, les segmentations calculées à partir des accords
et à partir de l’audio ne semblent pas correspondre exactement. Cette différence
peut être due à la segmentation imposée par le découpage du signal en trame,
qui est susceptible de ne pas correspondre à l’annotation des accords. À l’inverse,
le découpage en accords étant réalisé par une oreille humaine, il peut présenter
une relative imprécision temporelle non reproduite par l’analyse du signal. Cette
non correspondance peut également être reliée à différents facteurs liés au signal
audio ; en particulier, la construction du chroma peut introduire des incohérences
locales, en identifiant par exemple une harmonie non pertinente sur une section n’en
comportant pas, telle qu’un solo de batterie.

4.2 Répétition majeure 97
(i)
(ii)
(iii)
A B C B D C B D C E
A B F F C E
G F F H
Fig. 4.13 – Transformation appliquée sur l’annotation représentée en (i). (ii) illustre
le résultat de la première étape de transformation de la plus longue répétition annotée,
puis (iii) présente le résultat après application de la seconde étape de rassemblement
des parties non modifiées.
Concordance avec une structure répétitive perçue
On propose à présent de comparer la répétition majeure analysée dans un morceau
à sa structure perçue. La répétition majeure est définie selon un critère d’optimalité
du score d’alignement local. Ainsi, les parties identifiées par cette répétition
sont déterminées par compromis optimal sur la longueur des séquences comparées
et sur leur ressemblance, grâce aux techniques d’alignement. Dans cette section,
on souhaite comparer ce résultat à une annotation structurelle. Or, cette dernière
ne quantifie la ressemblance entre les parties structurelles identifiées que dans une
relation binaire : deux parties similaires sont représentées par la même étiquette,
et deux parties non similaires sont représentées par des étiquettes distinctes. On
en déduit que si la répétition majeure correspond bien à une répétition dans l’annotation
de la structure, cette dernière ne peut être caractérisée par une longueur
optimale. Dans la suite de cette section, on cherche donc à évaluer dans quelle mesure
la répétition majeure identifiée dans un morceau de musique correspond à la
plus longue répétition de son annotation structurelle.
Chaque annotation de la base Ds correspond à un certain niveau de description
des répétitions de chaque morceau. Dans cette annotation, la plus longue répétition
n’est pas directement accessible. Afin d’obtenir la plus longue répétition annotée,
on applique une transformation simple permettant de la déduire des données disponibles.
Cette transformation, inspirée du processus de roll-up défini par Chai [Cha05,
p.58], est décrite par les deux opérations successives :
1. Trouver dans l’annotation la plus longue suite de parties consécutives exactement
répétées, rassembler les deux occurrences de cette répétition et leur
assigner une nouvelle étiquette ;
2. Rassembler toutes les parties non modifiées par l’étape 1 en un nombre minimal
de nouvelles parties, et assigner à chacune d’entre elles une nouvelle
étiquette.
La Figure 4.13 décrit ce processus sur un exemple. À partir de l’annotation
représentée en (i), les parties CBD correspondant à la plus longue répétition annotée
sont rassemblées en (ii) et assignées à une nouvelle étiquette F (étape 1), puis les
parties restantes sont rassemblées en (iii) en un nombre minimal de parties, assignées
aux nouvelles étiquettes G et H. À l’issue de cet algorithme simple, l’annotation
de chaque morceau ne contient qu’une répétition correspondant à la plus longue
répétition initialement renseignée.

98 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
Évaluation Rp Pp Fp Su So
(i) RM Audio/RL Annotation 76.0 76.9 75.4 73.3 72.7
(ii) RM Accords/RL Annotation 75.0 76.7 74.6 72.9 72.9
Tab. 4.4 – Concordance des répétitions majeures avec les plus longues répétitions
annotées. Les scores (pourcentages) correspondent aux moyennes sur la base de
tests. La ligne (i) est obtenue en comparant les répétitions majeures (RM) calculées
depuis l’audio et les plus longues répétitions (RL) déduites des annotations. La ligne
(ii) est obtenue en comparant les RM calculées depuis les annotations manuelles des
accords et les RL déduites des annotations.
Cette transformation est appliquée à chaque annotation de la base Ds pour
former la base modifiée Ds décrivant les plus longues répétitions annotées. On remarque
que cette transformation n’introduit aucune approximation ou information
supplémentaire, mais consiste en une simplification des informations annotées.
L’évaluation des répétitions majeures estimées est alors effectuée en comparant
pour chaque morceau la répétition majeure obtenue depuis l’audio avec la
plus longue répétition annotée. Les résultats sur la base de données sont présentés
en ligne (i) du Tableau 4.4, sous forme de moyennes exprimées en pourcentages.
Ceux-ci soulignent une bonne concordance des estimations et des annotations, avec
F-mesure trame-à-trame moyenne de 75.4% pour un rappel de 76%. Comme précédemment,
l’importance et la proximité des scores de sous- et de sur-segmentation,
respectivement de 73.3% et 72.7%, témoignent de cette concordance et soulignent
un résultat sur un même niveau de description des structures répétitives. Afin de
proposer une interprétation plus précise de ces scores et de leur non maximalité,
les répétitions majeures obtenues depuis les annotations d’accords sont également
comparées aux plus longues répétitions annotées. Cette évaluation est présentée en
ligne (ii) du Tableau 4.4. Les résultats soulignent à nouveau une bonne correspondance
avec les plus longues répétitions annotés. De plus, les scores de concordance
obtenus semblent particulièrement proches de ceux obtenus pour l’évaluation des
répétitions majeures calculées depuis l’audio, avec un écart de 0.8% pour la Fmesure
trame-à-trame, 0.4% pour le score de sous-segmentation et 0.2% pour le
score de sur-segmentation. Ce résultat indique donc que la correspondance entre la
répétition majeure obtenue depuis l’audio et la plus longue répétition annotée est
comparable à la celle entre la répétition majeure obtenue depuis les accords et la
plus longue répétition annotée. Depuis les deux descriptions de l’harmonie, estimées
depuis l’audio ou annotées par des experts, la concordance semble donc importante
et équivalente. Ce constat suggère que la non-maximalité des scores obtenus est liée
à un aspect des structures répétitives annotées ne pouvant être déduit de l’harmonie,
et met donc en avant une limitation de la représentation tonale pour décrire
les structures annotées dans Ds.
La Figure 4.14 représente trois exemples de répétitions majeures calculées sur
des morceaux du groupe The Beatles mis en correspondance avec la vérité structurelle
répétitive correspondante. Dans l’exemple (i), correspondant au morceau The
Night Before, la répétition identifiée correspond à la plus longue répétition annotée
CPC. Il convient de noter que la répétition CCP est de taille identique. Dans l’exemple
(ii), correspondant au morceau Fixing a Hole, les frontières de la répétition ma-

(i)
(ii)
(iii)
4.2 Répétition majeure 99
I C C P C C P C O
RM RM
I C C P C C P C O
RM RM
I R1 C C R1 C R1 R2 R2 R2 O
RM RM
Fig. 4.14 – Exemples illustrant la correspondance entre l’annotation structurelle
(première ligne) et la répétition majeure calculée (deuxième ligne). Les trois
exemples sont composés par The Beatles : (i) The Night Before, (ii) Fixing a Hole,
(iii) Please Mister Postman. I : introduction ; O : conclusion (outro) ; C : couplet ;
P : pont ; R, R1, R2 : refrain ; RM : répétition majeure.
jeure ne correspondent pas à des frontières dans l’annotation, bien que la répétition
identifiée corresponde effectivement à une répétition annotée. Enfin, l’exemple (iii)
correspondant au morceau Please Mister Postman présente un exemple où la répétition
majeure ne correspond pas à une répétition annotée, cette erreur étant due
au fait que le motif R1 et le motif C possèdent une information tonale très similaire.
Bilan expérimental
Les évaluations de l’algorithme d’identification de la répétition majeure soulignent
le succès de son application aux séquences de descripteurs audio, avec une
forte correspondance des répétitions identifiées depuis l’audio ou depuis des accords
annotés. De plus, la comparaison avec une annotation des structures répétitives souligne
que la répétition majeure correspond à la plus longue répétition perçue, avec
une précision moyenne de 76.9% et un rappel moyen de 76%. Enfin, des résultats
équivalents calculés depuis l’annotation des accords expliquent l’efficacité non optimale
de l’algorithme d’identification par une possible limitation de la représentation
tonale pour décrire les répétitions telles qu’annotées dans la vérité terrain.
4.2.5 Application à l’indexation pour la recherche de reprises
La section précédente montre que la répétition majeure correspond à une certaine
perception de structures répétitives dans la musique. Dans cette section, on
propose d’étudier une application pratique de cette répétition pour l’analyse du
contenu musical.
La répétition majeure effectue, comme défini précédemment, un compromis entre
les deux parties les plus grandes et les deux parties les plus similaires dans un morceau
de musique. Elle est donc prépondérante dans le morceau considéré, chacune
de ses occurrences contenant une information récurrente. On propose alors d’évaluer
dans quelle mesure les répétitions ainsi identifiées dans deux morceaux de musique
caractérisent la similarité entre ces deux morceaux. En d’autres termes, on souhaite

100 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
évaluer dans quelle mesure la similarité entre deux morceaux de musique correspond
à la similarité entre les répétitions majeures de ces morceaux.
Comme expliqué dans le chapitre précédent, l’étude de la similarité peut être
efficacement évaluée dans le cadre applicatif de l’identification de reprises. Dans
cette section, nous étudions donc une application de la répétition majeure comme
indexation du système de détection de reprises décrit en Section 3.2.1. Les résultats
préliminaires de cette étude ont été publiés dans les actes de la conférence Special
Interest Group on Information Retrieval [MHRF11b].
4.2.5.1 Principe
Une étude présentée en Section 3.3 décrit une méthode heuristique permettant
d’accélérer la technique d’alignement en conservant une précision raisonnable de la
détection des reprises. Dans cette section, nous proposons une approche différente
permettant d’accélérer ce calcul en utilisant la répétition majeure.
Gómez et al. montrent en 2006 [GOH06] que réduire l’alignement à des extraits
de morceaux de musique permet de conserver une détection précise des reprises.
Plus précisément, leur approche consiste à extraire par une méthode adaptée de
Goto [Got03] deux répétitions prépondérantes d’une longueur fixée dans chaque
morceau, puis à comparer ceux-ci pour la recherche de reprises. Les auteurs rapportent
alors [GOH06] des résultats d’une précision équivalente pour la détection
des reprises sur une durée de segment fixée à environ 25 secondes, et d’une précision
accrue dans le cas d’une sélection manuelle des segments.
À l’image du travail de Gómez et al., nous proposons dans cette section de
compresser la représentation des morceaux comparés en ne prenant en compte qu’un
extrait, leur répétition majeure. Notre principale contribution par rapport à cette
étude consiste à ne pas fixer de durée d’indexation, celle-ci étant déterminée par
la répétition majeure. Au vu de la grande variété de reprises utilisées, il semble en
effet pertinent de considérer que la durée des segments similaires dans les reprises ne
reste pas constante pour chaque classe. Par exemple, la classe de reprises The Pink
Panther compte de nombreuses réinterprétations jouées par différents orchestres
et proches de la version canonique, où le thème est répété de nombreuses fois ;
en revanche, elle se compose également d’improvisations jazz et de remix qui se
contentent de seulement une ou deux répétitions du thème musical d’origine.
Soient u et v deux séquences de chromas de tailles respectives n et m représentant
deux morceaux de musique distincts. Comme expliqué en Section 3.2.1, le
système de détection de reprises estime la similarité entre u et v à partir du score
d’alignement :
sim(u,v) = s ∗ γ(u,v). (32)
Le nombre de cases de programmation dynamique à calculer correspond alors au
produit des tailles des séquences u et v.
L’indexation des données par leur répétition majeure consiste à calculer la similarité
tonale entre les deux séquences u et v comme le score :
sim MR (u,v) = s ∗ γ(u ⊛ 1 ,v⊛ 1
), (33)
où u ⊛ 1 et v⊛ 1 correspondent aux premières occurrences des répétitions majeures respectives
de u et v. Le nombre de cases de programmation dynamique intervenant
dans ce calcul correspond au produit des tailles des répétitions majeures, inférieur

102 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
R-précision (%)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A B C D E F G
Fig. 4.16 – Distribution des R-précisions avec différentes indexations calculées pour
chaque classe de versions. Les lettres en abscisse désignent la classe considérée (voir
Tableau 3.2). Noir : aucune indexation, gris : indexation par la répétition majeure,
blanc : de gauche à droite, indexations par les méthodes arbitraires I1, I2 et I3.
séquences u et v est finalement estimée à partir des scores d’alignement :
simI1 (u,v) = s∗ (u[1 . . . m],v[1 . . . m]) pour la méthode I1 ;
simI2 (u,v) = s∗ (u[1 . . . mi],v[1 . . . mj]) pour la méthode I2 ;
simI3 (u,v) = s∗ (u[ ni ni
nj nj
2 . . . 2 + mi],v[ 2 . . . 2 + mj]) pour la méthode I3
, (34)
où i correspond à l’indice dans D du morceau représenté par u, et j correspond à
l’indice dans D du morceau représenté par v.
Précision
La précision de la méthode d’indexation est d’abord évaluée sur la base de test
composée uniquement de versions. Le protocole d’évaluation du système de détection
des reprises est identique à celui présenté en Section 3.2.1. Pour chaque classe
composée de N versions, on calcule le taux de R-précision, décrit en Section 3.2.2
et correspondant à la précision du système pour les N morceaux les plus similaires.
On rappelle que dans ce cas la R-précision correspond à la fois au taux de précision
et au taux de rappel du système [MRS08].
La ligne (i) du Tableau 4.5 présente les valeurs de R-précision obtenues en
moyenne sur toutes les classes de versions. La précision du système avec indexation
par la répétition majeure est de 75.7%, soit un score inférieur de 3.5% en moyenne
par rapport au système non indexé. Les indexations arbitraires produisent des scores
Aucune RM I1 I2 I3
(i) Versions 79.2 75.7 57.7 57.1 59.0
(ii) Reprises 53.3 48.0 32.1 31.1 30.1
(iii) Calcul similarité 324 min 41 min 41 min 41 min 41 min
(iv) Calcul indexation - 23 min - - -
Tab. 4.5 – Valeurs de R-précisions moyennes obtenues (pourcentages) et temps
moyen de calcul requis par classe pour chaque méthode d’indexation : aucune indexation
(“Aucune”), indexation par la répétition majeure (“MR”), et indexations
arbitraires 1 à 3 (“I1”, “I2” et “I3”).

4.2 Répétition majeure 103
plus faibles, compris entre 57.1% et 59%. Le détail de la distribution des scores pour
chaque classe est représenté en Figure 4.16 (pour rappel, la liste des classes figure
dans le Tableau 3.2). On constate que pour chacune des classes, les indexations
arbitraires (en blanc) diminuent la précision du système d’identification des versions
non indexé (en noir) de 5 à 25%, et s’avèrent toujours moins efficaces qu’une
indexation par la répétition majeure (en gris). Par exemple, pour la classe C (The
House of the Rising Sun), indexer par la répétition majeure diminue légèrement la
précision du système d’identification non indexé, avec une précision de 88% pour un
système indexé et 93.8% sans indexation ; en revanche, nos indexations arbitraires
affichent des scores sensiblement plus faibles, avec des précisions respectives de 63,
56 et 63% en moyenne pour I1, I2 et I3. Ces résultats suggèrent que la répétition
majeure semble plus pertinente pour indexer un système d’identification de versions
qu’une méthode arbitraire. On remarque néanmoins que, bien que la technique d’indexation
proposée semble discriminante, la suppression d’information engendre une
diminution de la précision globale du système.
L’indexation est ensuite effectuée sur la base de tests composée de reprises au
sens large. La ligne (ii) du Tableau 4.5 présente les valeurs de R-précision obtenues
en moyenne sur toutes les classes de reprises. La reprise est une généralisation de la
notion de version à tout rendu sonore de la même pièce ; en conséquence, la tâche
des systèmes d’identification s’avère plus complexe et les scores sont plus faibles que
dans le cas des versions, avec une précision de 53.3% pour le système non indexé.
Cependant, le score de précision de l’indexation par la répétition majeure est à nouveau
sensiblement supérieur à celui des indexations arbitraires, avec un taux de 48%
pour la méthode proposée contre 32.1% pour la plus performante des indexations
arbitraires. La distribution des scores pour chaque classe de reprises, représentée en
Figure 4.17, conduit à nouveau au constat de précision systématiquement accrue de
l’indexation proposée par rapport aux indexations arbitraires, avec un taux entre 1
et 11% supérieur.
Afin de qualifier la signification statistique de la ressemblance entre les scores
de précision des différentes indexations effectuées, un test t de Student [Ric06] est
calculé avec pour paramètre α = 5%. Sur l’ensemble de la base de données de test
des reprises, on peut conclure de ce test statistique les assertions suivantes :
– Il existe une différence significative entre les scores obtenus sans indexation
et les scores obtenus avec une indexation arbitraire I1, I2 ou I3 (p < 0.0005
dans chaque cas) ;
– Il n’existe pas de différence significative entre les scores obtenus sans indexation
et avec l’indexation par la répétition majeure.
Efficacité calculatoire
La durée moyenne des morceaux de la base de données complète D est de n = 210s.
Les parties indexées par calcul de la répétition majeure ont une durée moyenne
de m = 69s sur D. Le gain moyen de l’indexation sur la longueur des séquences
représentatives est d’environ k = 3.26 1 . Or, comme expliqué précédemment, la
comparaison de deux séquences u et v requiert un nombre d’opérations de l’ordre
de |u| × |v|. Par conséquent, la tâche d’identification des reprises doit impliquer un
1. Pour rappel, cette valeur ne correspond pas au gain de la moyenne des durées mais à la
moyenne des gains.

104 Chapitre 4 : Identification de répétitions musicales
R-précision (%)
R-précision (%)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A B C D E F G H I
J K L M N O P Q
Fig. 4.17 – Distribution des R-précisions avec différentes indexations calculées pour
chaque classe de reprises. Les lettres en abscisse désignent la classe considérée (voir
Tableau 3.2). Noir : aucune indexation, gris : indexation par la répétition majeure,
blanc : de gauche à droite, indexations par les méthodes arbitraires I1, I2 et I3.
gain de l’ordre de k 2 , soit d’environ 8.58 1 dans notre cas.
Les expériences présentées dans cette section nécessitent sur notre configuration
matérielle 2 un temps de calcul de 5 heures et 45 minutes, en moyenne, pour chaque
classe de reprises et sans indexation. Le temps nécessaire à la même évaluation avec
des données indexées par la répétition majeure est de 41 minutes en moyenne pour
chaque classe de reprises. En d’autres termes, grâce à l’étape d’indexation, le temps
de calcul pratique est divisé par 8.4, soit d’un facteur proche de celui escompté. Les
tâches d’indexation I1, I2 et I3 réduisant la quantité d’information dans le même
rapport, leur utilisation dans un système de détection des reprises engendre un
temps d’exécution identique.
La durée totale de la tâche d’identification des reprises inclut le temps nécessaire
à l’indexation des données. Le calcul des répétitions majeures nécessite un temps
de 23 minutes avec notre configuration. Par conséquent, la durée totale d’exécution
du système est réduite d’un facteur 5.4 grâce à l’indexation proposée, avec une
exécution par classe de 345 minutes sans indexation et de 64 minutes avec indexation
par la répétition majeure.
Bilan expérimental
L’évaluation présentée dans cette section souligne la pertinence de la répétition
majeure pour indexer les séquences musicales d’un système d’identification des
reprises. Une telle indexation permet de conserver une précision de la détection
statistiquement proche de celle obtenue sans aucune indexation, avec une perte
moyenne sur la précision globale du système de 3.5% pour les versions et 5.3% pour
1. Cette valeur correspondant à la moyenne des carrés des gains
2. Spécifications : Processeur Intel Core i5 750 2.66 GHz, Mémoire 4Go

4.3 Conclusion du chapitre 105
les reprises. Cependant, cette technique permet de réduire sensiblement le temps de
calcul requis, avec un facteur constaté de 8.4 fois plus rapide sans compter l’étape
d’indexation, et 5.4 fois plus rapide en comptant cette étape.
4.3 Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons décrit l’étude de plusieurs structures répétitives
simples dans un morceau de musique.
En choisissant un segment dans un morceau de musique, nous avons proposé un
algorithme permettant d’identifier une répétition significative de ce segment. Cet
algorithme est construit dans le cadre applicatif de la reconstruction de données
audio manquantes, et évalué par des tests subjectifs. Les résultats mettent en valeur
la précision et la pertinence musicale de la répétition identifiée.
En relâchant la contrainte de choix d’un segment pour l’étude de la répétitivité
dans un morceau, nous avons défini la répétition majeure comme une répétition optimale
d’un morceau sur un critère lié à la similarité et à la longueur des segments
identifiés. Un algorithme d’extraction de cette répétition a été proposé, puis une
comparaison avec des annotations manuelles de la structure répétitive a permis de
montrer la concordance de la répétition majeure avec la structure perçue. Enfin,
une utilisation concrète de cette répétition a été proposée dans un but d’identification
automatique des reprises. L’évaluation de cette dernière a mis en avant la
conservation d’une bonne précision du système d’identification grâce à l’indexation
proposée, qui permet également d’accélérer la recherche des reprises dans une base
de données.
Ce chapitre constitue une première approche de l’étude de l’inférence de la
structuration répétitive des morceaux de musique. Ainsi, il convient de noter que
de nombreuses autres structures répétitives simples et pourvues d’une signification
musicale forte pourraient être étudiées. En particulier, on pourrait relâcher
la contrainte de disjonction afin de prendre en compte un plus large ensemble de
formes musicales.
Plus généralement, les solutions aux problèmes applicatifs posés dans ce chapitre
sont susceptibles d’être améliorées en combinant un ensemble de quelques
structures répétitives simples. Par exemple, dans le cas de la reconstruction audio,
une première étude [BJM12] montre que la prise en compte de plusieurs répétitions
combinées permet d’optimiser la similarité du segment reconstitué. Dans le cas de
l’indexation par la répétition majeure, des tests préliminaires suggèrent également
une plus grande précision du système d’identification des reprises en représentant
chaque morceau par un ensemble de répétitions. Le problème de combiner plusieurs
répétitions simples pour former une structuration plus complète des morceaux de
musique constitue l’objet du Chapitre 5.

Chapitre 5
Inférence de structures
répétitives
La musique se compose de nombreuses répétitions à différentes échelles temporelles
et sur différentes caractéristiques musicales. Dans ce chapitre, nous étudions
le problème de l’identification d’un ensemble de répétitions qui structurent les morceaux
de musique occidentale.
Si l’ensemble des travaux d’analyse de la structure en musique s’accordent sur
son utilité dans le cadre de nombreux champs d’application [PMK10], la définition
du problème d’inférence structurelle n’est pas universelle [PD09]. L’organisation de
multiples répétitions dans un morceau de musique forme en effet une structuration
complexe, dont l’analyse a été abordée avec différents objectifs [Pau10].
Dans la suite de ce chapitre, nous introduisons la problématique d’analyse de la
structure musicale en Section 5.1 en passant en revue les travaux existants. Face à de
nombreuses limitations et difficultés de représentation, nous présentons ensuite en
Section 5.2 notre propre formalisation du problème sous la forme d’une structuration
hiérarchique en nous basant sur le bien-fondé d’une telle description d’un point
de vue musical. En Section 5.3, nous décrivons notre algorithme et les propriétés
des structures répétitives qu’il identifie. Nous détaillons alors une évaluation des
résultats d’inférence obtenus en Section 5.3.4 sur des données musicales.
5.1 Segmentation structurelle
De nombreuses approches pour l’inférence de la structuration répétitive de la
musique depuis le signal audio ont été proposées ces dernières années sous le terme
d’algorithmes de segmentation structurelle. La formalisation précise et l’identification
de la structuration musicale reste un problème ouvert dont la résolution constitue
un enjeu majeur de la recherche d’informations musicales [Mül11]. Dans cette
section, nous décrivons les différentes approches existantes en détaillant leur représentation
de la structuration musicale. Le Tableau 5.1 liste les principaux travaux
antérieurs pour l’analyse de la structure répétitive à partir de données audio.
5.1.1 Matrice d’auto-distance
Foote introduit en 1999 [Foo99] un outil de représentation des répétitions au sein
d’un morceau : la matrice d’auto-distance 1 pour l’analyse de la musique. Construite
1. L’expression auto-similarité est fréquemment employée pour désigner ce type de matrices.
Cependant, ce terme fait référence à un concept mathématique bien connu et désigne un concept
différent [Man83]. Pour éviter toute ambiguïté dans ce document, le terme d’auto-distance est
préféré. Notez que même si la matrice d’auto-distance présente probablement certaines propriétés
d’auto-similarité au sens de Mandelbrot, celles-ci n’ont pas été étudiées.

108 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
Temps
Temps Temps
(i) (ii) (iii)
Fig. 5.1 – Illustration de la matrice d’auto-distance. (i) : Principe d’obtention, (ii) :
Exemple sur le morceau The Show Must Go On du groupe Queen, (iii) Détail d’un
motif répété.
à partir d’une séquence u[1]u[2] . . . u[n], chaque coefficient (i,j) de cette matrice représente
la distance d(u[i],u[j]) entre les symboles u[i] et u[j] de cette séquence. Une
telle représentation de l’auto-distance est utilisée dans de nombreux domaines applicatifs,
et peut être vue comme un cas particulier des graphes de récurrence [EKR87].
Les plus anciennes références à l’auto-distance pour l’analyse de répétitions apparaissent
dans la littérature bio-informatique [Lab], la matrice étant utilisée pour
mettre en valeur différents aspects structurels des séquences moléculaires [ML81].
La Figure 5.1-(i) décrit le principe de calcul de cette matrice à partir d’une
séquence : on calcule pour chaque couple de symboles de u une distance, représentée
sur une échelle de niveaux de gris dans la matrice. Celle-ci représente les distances les
plus élevées par une couleur blanche, et les distances les plus faibles par une couleur
noire. L’illustration 5.1-(ii) montre un exemple d’une telle matrice calculée à partir
d’une représentation tonale du morceau The show must go on du groupe Queen.
Les structures répétitives apparaissent sous la forme de motifs récurrents dans la
matrice. La Figure 5.1-(iii) montre un détail de la figure précédente correspondant
à un exemple de motif récurrent dans la matrice d’auto-distance.
Une grande partie des méthodes de la littérature (voir colonne 3 du Tableau 5.1)
déduisent les structures répétitives de morceaux de musique en analysant cette
matrice d’auto-distance. Deux motifs en particulier sont pertinents pour l’analyse
de la répétition [Foo99]:
– D’une part, les lignes de coefficients faibles représentent la ressemblance entre
deux facteurs ;
– D’autre part, les blocs de coefficients faibles représentent la ressemblance entre
deux facteurs, chacun d’eux étant de plus composé de symboles se ressemblant
entre eux.
La matrice d’auto-distance est parfois transformée en une structure de données
équivalente, appelée représentation temps-retard [Got03, Got06, LWZ04a, BW05,
LWZ04a, Ong07], qui correspond à une déformation de la matrice rendant plus
facilement identifiables les lignes diagonales caractéristiques de celles-ci, mais moins
facilement identifiables ses blocs [Pau10].
Les motifs de la matrice d’auto-distance peuvent être extraits par différentes
Temps

5.1 Segmentation structurelle 109
techniques. Cependant, puisque chaque coefficient de la matrice représente une
valeur de similarité calculée entre deux trames de signal, seule une information
correspondant au niveau de la structuration des trames peut directement être déduite
de celle-ci. En d’autres termes, la matrice peut être vue comme une représentation
bas niveau de l’information structurelle. Les méthodes d’identification de
structures répétitives de plus haut niveau hiérarchique doivent alors utiliser des
techniques adaptées à la détection de motifs approchés dans cette matrice afin
d’assurer une robustesse aux variations musicales. Une approche consiste à utiliser
des techniques de traitement d’images afin d’effacer les variations à court
terme des éléments de la matrice, et ainsi d’adapter la détection au niveau de
répétitions souhaité [MK07, CF04]. Des méthodes adaptées à la segmentation approchée
d’images sont également utilisées afin d’identifier directement des motifs
récurrents [AS02, ET07, Ong07, WCB10, KAS11]. Les structures répétitives
peuvent en outre être repérées à l’aide d’heuristiques sur leur disposition dans
la matrice [Mar06, Pee07, WH03] ou dans la représentation temps-retard équivalente
[Got06, BW05, LWZ04a, Pee04]. En particulier, des relations de transitivité
sur les répétitions permettent d’assurer une cohérence des éléments structurels
identifiés [Pee07, Cha05]. Par ailleurs, plusieurs études identifient un ensemble
de motifs récurrents en optimisant des algorithmes de parcours dans la
matrice [DH02, MK07, Jen07] ou des critères de chevauchement des répétitions
identifiées [MND09]. Enfin, une autre approche consiste à définir des variantes de
la matrice d’auto-distance qui permettent notamment de préciser les frontières des
répétitions identifiées [WCL09, TLX + 09].
5.1.2 Détection des structures
De nombreuses méthodes sont proposées dans la littérature pour la détection de
structures répétitives, cette matrice d’auto-distance étant directement utilisée dans
une majorité d’entre elles. D’une manière générale, les méthodes existantes peuvent
être regroupées en fonction des outils utilisés et de la logique de l’analyse qu’elles
proposent. En particulier, une catégorisation proposée par Peeters [Pee04] divise
ces méthodes en deux grandes approches : l’approche état et l’approche séquence.
5.1.2.1 Approche état
L’approche état considère un morceau de musique comme généré par un automate
d’états finis, chaque état produisant une section du signal [Pee04]. Les structures
identifiées correspondent alors à des segments au contenu acoustique homogène,
pouvant être vus comme des blocs dans la matrice d’auto-distance [PMK10].
Cette approche se décompose généralement en deux étapes complémentaires pour
l’analyse des structures répétitives :
1. Une étape de segmentation du morceau, consacrée à l’identification des instants
de contrastes importants dans le contenu musical ;
2. Une étape de regroupement, où tout ou partie des segments identifiés sont
regroupés en classes homogènes en fonction de la distribution de leurs descripteurs.
L’étape de segmentation peut être réalisée sur un morceau de musique en analysant
l’évolution de la nouveauté audio [Foo00] du morceau. Cette information est déduite
de la matrice d’auto-distance M en calculant pour chaque descripteur audio

Tab. 5.1 – Vue d’ensemble des méthodes d’analyse de structures répétitives. 1Modèle de Markov caché [Rab89]. 2Modèle de texture dynamique
[BCL10]. 3Factorisation en matrices non-négatives [SL01].
110 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
Abdallah et al. 2005 [ANS + 05] État Non Non 1 HMM 1
Aucouturier et Sandler 2002 [AS02] Séquence Oui Oui 1 Image
Aucouturier et al. 2005 [APS05] État Non Non 1 HMM 1
Barrington et al. 2010 [BCL10] État Non Non 2 DTM 2
Bartsch et Wakefield 2005 [BW05] Séquence Oui Non 1 Heuristiques
Chai 2003 [Cha03] Séquence Non Non 1 Pattern matching
Chen et Li 2011 [CL11] État Non Non 2 Clustering, NMF 3 2011
Cooper et Foote 2004 [CF04] État Oui Non 1 Image
Dannenberg et Hu 2002 [DH02] Séquence Non Non 1 Algorithmique du texte
Eronen et Tampere 2007 [ET07] Séquence Oui Non 2 Image
Foote 2000 [Foo00] État Oui Non 1 Nouveauté
Goto 2006 [Got06] Séquence Oui Non 1 Heuristiques
Jehan 2005 [Jeh05a] État Oui Oui 3 Matrices hiérarchiques
Jensen 2007 [Jen07] État Oui Non 3 Chemin matrice
Kaiser et Sikora 2010 [KS10] État Oui Non 2 NMF 3
Levy et Sandler 2008 [LS08] État Non Non 1 Clustering, HMM 1
Logan et Chu 2000 [LC00] État Non Non 1 Clustering, HMM 1
Lu et al. 2004 [LWZ04a] Séquence Oui Non 1 Image, heuristiques
Maddage et al. 2006 [MXK06] État Non Non 1 Heuristiques
Marolt 2006 [Mar06] Séquence Oui Non 1 Heuristiques
Mauch et al. 2009 [MND09] Séquence Oui Non 1 Heuristiques 2010
Muller et Kurth 2007 [MK07] Séquence Oui Non 1 Image, chemin matrice, heuristiques
Ong 2007 [Ong07] Séquence Oui Non 1 Heuristiques
Paulus et Klapuri 2006 [PK06] Séquence Non Non 2 Fonction de coût
Paulus et Klapuri 2009 [PK09] Séquence/État Oui Non 3 Fonction de coût 2009
Peeters 2004 [Pee04] État Non Non 1 HMM 1
Peeters 2007 [Pee07] Séquence Oui Non 3 Heuristiques 2009, 2010, 2011
Rhodes et Casey 2007 [RC07] Séquence Non Oui 1 Algorithmique du texte
Sargent et al. 2010 [SBV10] Séquence/État Non Non 2 Fonction de coût 2010
Sargent et al. 2011 [SBV + 11] Séquence/État Non Non 2 HMM 1 , Fonction de coût 2011
Shiu et al. 2005 [SJK05] Séquence Oui Non 1 Chemin matrice
Tian et al. 2009 [TLX + 09] Séquence Oui Non 1 Heuristiques
Wang et al. 2009 [WCL09] Séquence Oui Non 1 Fonction de coût
Wankhammer et al. 2010 [WCB10] Séquence Oui Non 2 Image, heuristiques
Wellhausen et Hoeynck 2003 [WH03] Séquence Oui Non 1 Heuristiques
Weiss et Bello 2010 [WB10] État Non Non 1 NMF 3 2010
Martin et al. 2010 [MHR + 10] Séquence Non Oui 1 Algorithmique du texte 2010, 2011
Contribution Approche
Matrice d’autodistance
Approche hiérarchique
Nombre de descripteurs
Méthode de détection
des structures
répétitives
MIREX

5.1 Segmentation structurelle 111
une mesure locale obtenue par corrélation le long de la diagonale avec une matrice
K de dimensions inférieures à celles de M [Foo00]. K agit alors comme un
facteur de pondération et met en avant dans M tout contraste important entre
des blocs homogènes. Le choix d’une pondération imposée à K dépend du type de
segmentation recherchée, et peut par exemple être définie sur un modèle binaire
ou Gaussien [Foo00]. La courbe de nouveauté correspond alors au résultat de la
corrélation de M avec K en fonction du point d’application de K sur la diagonale
de M. Cette courbe est souvent utilisée comme une première étape de segmentation
[Foo00, CF04, KS10, PK09, Rao04, Jen07, WCB10].
L’étape de regroupement consiste ensuite à identifier parmi les segments déterminés
par la nouveauté audio des groupes homogènes. Cette étape peut être guidée
par un modèle probabiliste permettant de classer les segments identifiés en fonction
de la distribution de leurs descripteurs. En particulier, l’utilisation de modèles de
Markov cachés [Rab89] permet de représenter chaque partie musicale caractéristique
(couplet, refrain, etc.) par un état, le modèle produisant des segments annotés
dont l’observation est liée à la distribution des descripteurs [GML03]. Après
une phase d’apprentissage du modèle, l’algorithme de Viterbi [Vit67] permet de
déterminer la distribution la plus probable des états pour chaque segment identifié
[LC00, ANS + 05, PBR02, SBV + 11]. L’utilisation d’un modèle Gaussien pour les
probabilités d’émission [Rab89] est souvent privilégiée pour représenter la distribution
statistique des descripteurs audio [LC00, PBR02, APS05, SBV10, PQ11].
Une autre approche du problème consiste à employer des outils de segmentation
d’images afin d’identifier des blocs homogènes à partir de la matrice d’auto-distance.
Par exemple, Cooper et Foote [CF04] utilisent une technique de décomposition en
valeurs singulières [Wei99] afin de rapprocher les motifs similaires de cette matrice.
Plus récemment, Barrington et al. [BCL10] proposent des modèles de textures dynamiques
[DCWS03] pour le signal audio permettant de représenter de manière
précise les états possibles. La détermination des états produisant les sections de
signal peut également être effectuée en utilisant une factorisation en matrices nonnégatives
[LS + 99] appliquée sur la matrice d’auto-distance [KS10, CL11], ou appliquée
directement sur la séquence de descripteurs via un modèle de factorisation
probabiliste [WB10, WB11].
5.1.2.2 Approche séquence
Dans l’approche séquence, une œuvre musicale est vue comme comprenant des
séquences d’événements musicaux répétés. La répétition de ces séquences forme
ainsi des lignes dans la matrice d’auto-distance.
De nombreuses méthodes de la littérature sont dédiées à l’identification de ces
lignes. Face aux distorsions susceptibles d’apparaître entre plusieurs répétitions d’un
motif, ces méthodes emploient différentes approches assimilables à un moyennage
temporel permettant d’atténuer les variations à court terme [PMK10]. Cette opération
peut ainsi être effectuée en appliquant un effet de filtrage, affectant toute
la matrice d’auto-distance [Ong07, Got06, ET07, Pee07] ou uniquement ses diagonales
[WH03, BW05, LWZ04a, MK07].
La détection des lignes de répétition dans la matrice d’auto-distance peut alors
être effectuée par un seuillage de la matrice (ou de la représentation temps-retard
équivalente) ainsi filtrée. Par exemple, dans sa méthode RefraiD, Goto [Got06]

112 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
sélectionne à partir d’un seuillage de la représentation temps-retard les sections
les plus souvent répétées, puis utilise une série de mesures moyennes permettant
d’identifier la partie la plus significative au sens de ces mesures, assimilée au refrain
[Got06, Mar06, Ong07].
Les répétitions peuvent également être analysées à l’aide d’un algorithme de détection
de lignes significatives approchées, afin de prendre en compte les nombreuses
distorsions temporelles pouvant apparaître sur la matrice d’auto-distance [MK07,
MND09, SJK05]. Par exemple, Müller et Kurth [MK07] proposent un algorithme
glouton permettant de déduire, à partir de choix locaux sur les coefficients de la
matrice d’auto-distance 1 , le chemin le plus probable représentant une répétition
importante.
L’analyse peut être menée de manière itérative en caractérisant la structure
par étapes successives, précisant de plus en plus la détection des répétitions [Pee07,
Jeh05a, Cha03]. Ainsi, Peeters [Pee07] propose le calcul de matrices d’auto-distance
de plus en plus informatives en appliquant des relations de transitivité sur les répétitions
apparaissant à plus de deux occurrences dans chaque morceau, et parvient
ainsi à propager la similarité entre deux motifs à l’ensemble des motifs similaires
pour faciliter l’extraction de lignes caractéristiques.
Plus généralement, une telle logique de transitivité est souvent mise en place
dans les méthodes qui suivent une approche séquence. En effet, celles-ci identifient
des paires de motifs similaires en présence de variations musicales ; en conséquence,
si un motif est répété de manière approchée plus de deux fois dans un
morceau, il est probable que les mesures de similarité entre les motifs deux-àdeux
ne soient pas exactement identiques. Afin de conserver une description homogène
des motifs structurels, la transitivité entre les similarités identifiées permet
alors de regrouper toutes les mesures proches en attribuant aux motifs une
même étiquette [Mül07]. Cette logique peut notamment être appliquée en ajoutant
ou retirant de manière itérative des lignes caractéristiques de la matrice d’autodistance
[Got06, Mar06, Ong07, Pee07]. La logique de transitivité est parfois directement
utilisée afin d’identifier un extrait caractéristique [ET07, WH03].
Certaines études correspondent à une approche séquence mais n’emploient pas
la matrice d’auto-distance. En particulier, l’identification de répétitions peut être
effectuée à l’aide d’outils d’algorithmique du texte [DH02, RC07, Smi10, AAF + 09].
Par exemple, Rhodes et Casey [RC07] définissent plusieurs algorithmes du texte
permettant d’identifier des facteurs similaires de mêmes longueurs, en autorisant
un nombre limité de remplacements de symboles. Allali et al. [AAF + 09] formalisent
plusieurs problèmes liés à l’optimisation du recouvrement de la sous-séquence décrivant
la structure répétitive musicale, et présentent les premières approches à leur
résolution.
Il convient de noter que quelques études parviennent à combiner les approches
état et séquence en optimisant des fonctions de score prenant en compte la répétitivité
et l’homogénéité des motifs structurels identifiés [PK09, PLR08]. Dans leur
approche, Paulus et Klapuri [PK09] définissent une mesure de coût de segmentation
prenant en compte des propriétés musicales distinctes ; ainsi, leur méthode permet
1. L’algorithme glouton se différencie du raisonnement par programmation dynamique par la
non optimalité du résultat. Le premier prend des décisions locales figées et non remises en question
par la suite, tandis que le second optimise chaque décision sur l’ensemble des décisions passées.

5.1 Segmentation structurelle 113
d’optimiser à la fois la similarité entre tous les motifs associés à une même étiquette
et la dissimilarité entre des groupes distincts [PK09, PMK10].
Pour plus de détails sur ces différentes méthodes d’inférence des structures répétitives,
nous invitons le lecteur à se référer aux rapports d’état de l’art, tels que
proposés par Dannenberg et Goto [DG09], Müller [Mül07] ou plus récemment Paulus
et al. [PMK10].
5.1.3 Limitations et subjectivité
Les approches existantes pour l’analyse de la structure musicale souffrent de
plusieurs limitations, liées à la fois aux outils utilisés et à la définition peu précise
du problème.
La matrice d’auto-distance présente plusieurs limitations pour l’analyse des
structures répétitives, comme le souligne notamment Chai [Cha05, p.40–42]. Un
premier écueil apparaît dans le cas où une variation musicale modifie l’ensemble de
la répétition musicale d’une section. Par exemple, dans le cas où cette matrice est
calculée à partir d’une séquence de descripteurs tonaux, la présence d’une transposition
entre deux sections répétées peut s’avérer problématique. Ainsi, le couplet
représenté par une zone de pointillés rouges en Figure 5.1(ii) est transposé par rapport
à ses autres occurrences dans le morceau. La structure répétitive interne de
ce couplet est alors respectée, comme représenté par le motif de la Figure 5.1-(iii),
récurrent dans la Figure 5.1-(ii). En revanche, la distance entre ce couplet et le
reste du morceau est importante, comme matérialisé par des bandes horizontales et
verticales blanches en Figure 5.1-(ii).
En outre, identifier les motifs répétés s’avère complexe en présence de forts
changements de tempo entre plusieurs occurrences d’une répétition, comme souligné
notamment par Müller [Mül07]. Dans le cas d’une telle variation, les lignes
caractéristiques des répétitions dans la matrice d’auto-distance ne correspondent
plus à des sous-diagonales et peuvent prendre une forme courbée qui témoigne d’un
changement non linéaire du tempo entre deux motifs. Dans le cas de l’analyse de la
musique classique occidentale, Müller [Mül07] affirme que les changements de tempo
importants mêlés aux fortes variations dans l’instrumentation rendent la majorité
des techniques basées sur l’auto-distance inefficaces pour identifier les structures
répétitives.
Les approches état basées sur la nouveauté du signal audio présentent également
une limitation due à la forte variabilité des frontières structurelles perçues.
En effet, comme le soulignent notamment Bruderer et al. [BMK06], la définition des
frontières entre motifs structurels est associée à des éléments subjectifs multiples.
Les auteurs mettent en avant par une série d’expériences perceptives la présence de
frontières communes, identifiées par tous les sujets, mais liées à des critères musicaux
variables. Ainsi, la tâche d’identifier des points de nouveauté depuis le signal
audio est complexe, et source de nombreuses erreurs pour l’analyse des structures
répétitives.
Une limitation majeure de l’analyse de la structuration de morceaux de musique,
notamment mise en valeur dans des études méthodologiques récentes [BLBSV10,
BDSV11, PD09, PK12], est liée au manque d’une formalisation unique du problème
étudié. L’utilité d’un effort commun vers une définition plus formelle du problème

114 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
de la structuration musicale est communément admise dans la littérature récente.
Néanmoins, l’utilisation des différentes méthodologies proposées pour l’analyse et
l’annotation de structures musicales [BLBSV10, BDSV11, PD09, SBF + 11] reste peu
employée à l’heure actuelle.
Bimbot et al. [BLBSV10] soulignent ainsi que l’absence d’une définition formelle
de la structure musicale soulève un problème méthodologique pour son analyse, qui
limite notamment les possibilités d’évaluation de telles méthodes. Les auteurs proposent
alors une méthodologie présentant les concepts d’un découpage structurel
perceptif en “blocs”, caractérisés en particulier par des propriétés d’autonomie, de
comparaison avec les autres blocs ou encore de régularité tout au long du morceau
[BLBSV10]. Pour faciliter ce découpage, les auteurs [BDSV11] définissent ensuite
plusieurs niveaux de décomposition à examiner d’une manière conjointe afin
de déterminer le meilleur compromis d’annotation structurelle.
L’annotation structurelle sur différents niveaux est également exposée comme un
procédé plus rigoureux par Peeters et Deruty [PD09]. Ces derniers proposent ainsi
une représentation des structures répétitives selon plusieurs dimensions traduisant
des points de vue disjoints, tels que la similarité acoustique, le rôle musical ou encore
le rôle instrumental. Si l’espace de description de la structure ainsi recherchée est
plus complexe que celle correspondant au problème de segmentation structurelle,
son obtention est fondée sur des critères de comparaisons subjectives simples et plus
aisément reproductibles entre différents sujets.
Ces derniers travaux suggèrent qu’une représentation de la structure musicale
sur plusieurs niveaux de description permet de modéliser plus précisément les structures
répétitives.
5.1.4 Vers une approche hiérarchique
La détection d’un ensemble de répétitions perçues à différents niveaux de description
est considérée comme un enjeu important de l’analyse de la structuration
musicale [Jeh05a, Pau10, Cha05]. En particulier, Müller [Mül07] suggère comme
perspective majeure de son étude la description des motifs imbriqués sur plusieurs
niveaux. Il cite alors comme problème non résolu « l’intégration des similarités à
toutes les résolutions temporelles dans un unique modèle hiérarchique pour décrire
au mieux la structure musicale ». Plusieurs autres études récentes citent également
la prise en compte d’une décomposition structurelle hiérarchique comme perspective
majeure (voir notamment [Pau10, KS10, WB10, AS02, MK07]).
Bien que cet aspect soit considéré comme une amélioration significative, il
n’existe que quelques approches proposant l’identification d’une hiérarchie des répétitions
[PMK10]. Jehan [Jeh05b, Jeh05a] définit une construction itérative de
matrices d’auto-distance en déduisant la matrice d’un niveau donné à partir d’un
calcul par programmation dynamique dans les motifs de la matrice du niveau précédent.
Les frontières de chaque matrice étant obtenues par un descripteur différent,
cette technique permet alors d’identifier la structure répétitive sur différents critères
musicaux simultanément. Chai [Cha05] définit une procédure permettant de
déduire un ensemble de hiérarchies structurelles possibles à partir d’une description
séquentielle. Malgré de possibles conflits de cette méthode pour l’assignation
d’étiquettes hiérarchiques (notamment des problèmes de recouvrement), l’étude met
alors en avant la pertinence d’un modèle arborescent pour une évaluation des répé-

5.2 Modèle hiérarchique des répétitions 115
titions analysées, plus fidèle à la représentation de structurations musicales qu’en
considérant un modèle séquentiel. Rhodes et Casey [RC07] proposent un ensemble
d’algorithmes de séquences musicales permettant d’identifier de manière itérative
une construction hiérarchique des répétitions prépondérantes. Leur méthode, évaluée
sur des données symboliques, est basée sur l’inférence approchée de motifs de
même taille en utilisant une distance de Hamming [Ham50]. Enfin, quelques publications
proposent une visualisation de la hiérarchie structurelle, sous la forme d’un
espace instant/durée [MG12] ou d’un diagramme de convergence radiale [SHOB11].
Ces différentes approches permettent d’identifier une représentation de la structuration
de la musique sur différentes échelles. Cependant, aucune de ces études
n’explicite la structuration et le modèle hiérarchique sous-jacent, rendant leur évaluation
complexe.
Dans la suite de ce chapitre, nous introduisons un modèle hiérarchique, définissons
formellement le problème d’identification de structures répétitives par un
critère d’optimisation dans la hiérarchie, et nous proposons un algorithme d’inférence
répondant au problème.
5.2 Modèle hiérarchique des répétitions
Une perspective majeure des travaux existants en analyse de structures répétitives
dans la musique est la prise en compte d’une hiérarchie de répétitions, comme
expliqué en section précédente. Dans cette section, nous examinons les caractéristiques
de la structuration hiérarchique de la musique à partir d’études existantes
avant d’introduire une formalisation de ce problème.
5.2.1 Caractérisation musicale
Considérer un modèle hiérarchique présente une grande pertinence pour décrire
l’information musicale.
Les répétitions d’un morceau de musique apparaissent d’abord à de nombreux
niveaux temporels de composition, formant une structuration hiérarchique. Par
exemple, un ensemble de notes de musique disposées selon des motifs plus ou moins
complexes forme des accords et progressions harmoniques, eux-mêmes décrivant
des phrases musicales sur de plus longues périodes, ces dernières pouvant être à
nouveau regroupées en sections caractéristiques. Des contrastes et ressemblances
apparaissent alors à tous les niveaux de description, la musique étant construite
par les relations entre ces niveaux [Esc88]. Par exemple, le Boléro de Ravel est
fait de neuf répétitions du même thème, chaque thème étant lui-même composé de
neuf phrases de seize mesures chacune. Cet agencement particulier témoigne d’une
volonté du compositeur, comme indiqué en Section 1.2.1.
La structuration hiérarchique n’est pas liée uniquement à la composition musicale,
mais également à sa perception : les répétitions musicales sont perçues d’une
manière arborescente. Cette nature de la musique ne dépend pas de considérations
esthétiques ; au contraire, elle fonctionne dans tous les styles de musique ou même
toute succession de signaux car elle est inhérente à la façon dont nous percevons le
son [Eri75, p.80–82]. Comme souligné par Lerdahl et Jackendoff [LJ96], l’imbrication
hiérarchique de motifs musicaux dans notre perception de la musique est alors

116 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
essentielle :
« La caractéristique la plus fondamentale des regroupements musicaux
est qu’ils sont perçus d’une manière hiérarchique. Un motif est perçu
comme partie d’un thème, un thème comme partie d’un groupe de thèmes,
et une section comme partie d’une œuvre. »
Dans leur étude, Lerdahl et Jackendoff [LJ96, p.16] affirment en outre qu’un aspect
important des répétitions musicales est leur propriété de non chevauchement 1 .
Chaque niveau de la hiérarchie répétitive perçue pour un morceau correspond ainsi
à des extraits disjoints. La théorie des auteurs est applicable à un ensemble de
styles musicaux aussi large que possible. Néanmoins, il convient de noter que cette
considération peut s’avérer non pertinente pour certaines formes musicales particulières
; par exemple, la forme fugue [Esc88] est notamment composée de thèmes se
chevauchant, et ne semble pas correspondre pas à ce modèle.
Une autre propriété importante de la hiérarchie musicale est son aspect dit récursif,
défini comme le fait que chaque niveau hiérarchique « peut être élaboré par
les mêmes règles » [LJ96, p.14]. Par exemple, la contrainte de non chevauchement
est identique quel que soit le niveau considéré. Enfin, Lerdahl et Jackendoff [LJ96,
p.16] définissent la structure hiérarchique comme constituée de groupes d’éléments
contigüs, indiquant ainsi qu’à tout motif identifié dans une séquence u doit correspondre
un facteur de u (et non une sous-séquence).
Les auteurs [LJ96, p.17] résument la structure musicale de regroupement de la
manière suivante :
« La structure de regroupement est hiérarchique d’une façon non chevauchante,
elle est récursive et chaque groupe doit être composé d’éléments
contigüs. »
Cette assertion est utilisée dans la suite comme axiome pour la modélisation et
l’inférence des structures musicales répétitives.
5.2.2 Modélisation hiérarchique
Nous introduisons dans cette section un formalisme de l’identification de structures
répétitives. Celui-ci expose d’abord une formalisation de la segmentation
structurelle avant de présenter notre modèle de structuration des morceaux de musique.
Celui-ci prend en compte les principes d’organisation hiérarchique justifiés
dans la section précédente. Les notations introduites dans cette section sont notamment
adaptées à notre problème notamment à partir des travaux d’Allali et
al. [AAF + 09].
5.2.2.1 Définitions
Dans la suite, on considère deux alphabets distincts notés Σ et Λ. Le premier
désigne l’ensemble des symboles sur lesquels sont définies les séquences comparées.
1. Les auteurs parlent plus précisément d’une « condition de disjonction, avec pour exception
l’inclusion d’un motif dans un autre » ; cela correspond ainsi à notre définition du non chevauchement.

5.2 Modèle hiérarchique des répétitions 117
Le second est utilisé pour nommer les répétitions identifiées en leur donnant une
étiquette, ces notions étant définies formellement dans la suite.
Définition 12 (Motif, occurrence, étiquette) Soient Σ et Λ deux alphabets, et
soit u une séquence de n symboles sur Σ. On appelle motif m de u tout triplet de
la forme (b,e,α) ∈ 1,n × 1,n × Λ tel que b ≤ e ≤ n. La séquence u[b . . . e] est
appelée l’occurrence de m dans u ; le symbole α est appelé étiquette de m. Par
commodité, la taille d’un motif m de u est notée |m| = e − b + 1 et correspond à
la taille de son occurrence dans u. L’ensemble des motifs possibles dans u est noté
M(u) ⊂ 1,n × 1,n × Λ.
En d’autres termes, un motif d’une séquence u contient les positions de début
et de fin d’un facteur de u ainsi qu’une étiquette associée à celui-ci.
On introduit un ensemble Θ ⊂ Λ d’étiquettes particulières. Chaque étiquette
Θi ∈ Θ est appelée étiquette nulle. La notion d’étiquettes est utilisée afin de modéliser
un ensemble de classes d’équivalence, qui caractérisent la similarité ou la
dissimilarité entre motifs. Ainsi, deux motifs de même étiquette non nulle sont dits
similaires et font partie de la même classe d’équivalence, tandis que deux motifs
d’étiquettes différentes et non nulles sont dits dissimilaires et ne font pas partie
de la même classe d’équivalence. Une étiquette nulle ne caractérise pas de similarité
entre motifs. En particulier, deux motifs de même étiquette nulle ne font pas
nécessairement partie de la même classe d’équivalence.
Pour une séquence u de taille n, le motif (1,n,Θ0) est appelé motif initial de u.
Définition 13 (Sous-séquence de motifs) Soit S = {(bi,ei,αi)|1 ≤ i ≤ k} un
ensemble de motifs d’une séquence u. On dit que S est une sous-séquence de u si
et seulement si les occurrences de ses motifs sont disjointes dans u :
∀(i,j) ∈ 1,k,bi < bj ⇔ ei < bj
Définition 14 (Taille de sous-séquence de motifs) Soit S = {(bi,ei,αi)|1 ≤
i ≤ k} une sous-séquence de motifs d’une séquence u. La taille de S, notée |S|,
correspond à la somme des tailles des occurrences de ses motifs :
|S| =
k
ei − bi + 1.
i=1
En fonction des étiquettes de ses motifs, une sous-séquence de motifs peut être
étiquetée complètement ou partiellement :
Définition 15 (Étiquetages complet et partiel) Soit S une sous-séquence de
motifs d’une séquence u. S est dite complètement étiquetée si elle ne contient aucun
motif d’étiquette nulle. À l’inverse, S est dite partiellement étiquetée si elle contient
au moins un motif d’étiquette nulle.
Définition 16 (Recouvrement) Soit S = {(bi,ei,αi)|1 ≤ i ≤ k} une sous-séquence
de motifs d’une séquence u. On dit que S recouvre u si u correspond à la concaténation
des occurrences de tous les motifs de S. Formellement, S recouvre u si
k
[bi,ei] = [1,n].
i=1

118 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
La notion de segmentation structurelle, telle qu’elle est analysée dans les méthodes
existantes, peut alors être formalisée de la manière suivante :
Définition 17 (Segmentation structurelle) Soit u une séquence. Toute sousséquence
de motifs S de u complètement étiquetée et recouvrant u est appelée segmentation
structurelle.
Notre définition de la structuration répétitive correspond à la généralisation de
la segmentation structurelle sous la forme d’une hiérarchie.
Définition 18 (Hiérarchie) Soit u une séquence de longueur n. On appelle hiérarchie
de u tout ensemble non vide de motifs aux occurrences non chevauchantes
dans u. Par convention, on impose que toute hiérarchie de u contienne le motif
initial (1,n,Θ0).
Définition 19 (Domination) Soient m1 = (b1,e1,α1) et m2 = (b2,e2,α2) deux
motifs distincts. On dit que m1 domine m2 si l’occurrence de m2 dans u est un
facteur propre de l’occurrence de m1 dans u, c’est-à-dire si b1 < b2 ≤ e2 < e1. Par
convention, un motif n’est pas dominé par lui-même.
Pour une séquence u, on peut remarquer que la domination est une relation
d’ordre partiel sur l’ensemble M(u) des motifs de u.
Chaque motif d’une hiérarchie est ainsi dominé par un certain nombre d’autres
motifs de la même hiérarchie.
Définition 20 (Niveau) Soient H une hiérarchie et i un entier. On appelle niveau
hiérarchique i de H l’ensemble des motifs de H dominés par exactement i autres
motifs dans H.
Avec une représentation arborescente, un niveau peut être vu comme une hauteur
spécifique dans l’arbre. La notion de domination peut être étendue à un niveau
entier de la manière suivante :
Définition 21 (Hiérarchie dominante) Soient H une hiérarchie et i un entier.
On appelle hiérarchie dominante du niveau i de H la hiérarchie composée de l’ensemble
des niveaux de H strictement inférieurs à i.
Avec une représentation arborescente, la hiérarchie dominante d’un niveau i
correspond au sous-arbre de profondeur i − 1.
Chaque niveau d’une hiérarchie possède la propriété suivante :
Proposition 10 (Niveau et sous-séquence de motifs) Soit u une séquence, et
soit H une hiérarchie de u. Tout niveau hiérarchique de H est une sous-séquence de
motifs de u.
Preuve 2 Soient H une hiérarchie et N un niveau de H. Par définition, tous les
éléments de H sont non chevauchants. On raisonne par l’absurde : supposons que N
ne soit pas une sous-séquence de motifs de u. Il existe donc au moins deux éléments
de N non disjoints dans u. Puisque ces deux motifs sont non disjoints mais non
chevauchants, l’un, noté m1, domine l’autre, noté m2. Par conséquent, m1 est de
niveau hiérarchique supérieur à m2. Cette assertion entre en contradiction avec
l’appartenance des deux motifs au même niveau N , ce qui prouve la proposition.
Cette propriété permet de passer aisément d’une représentation hiérarchique
vers une représentation sous forme de segmentation structurelle, notamment à des
fins d’évaluation, comme expliqué ci-après.

5.2 Modèle hiérarchique des répétitions 119
(i)
(ii)
Fig. 5.2 – Exemples de représentations arborescentes de structures répétitives : (i)
Forme sonate schématisée ; (ii) : Yesterday du groupe The Beatles, d’après [Cha05,
p.58].
5.2.2.2 Représentation et exemples
Pour afficher la nature hiérarchique et non chevauchante des motifs, une hiérarchie
peut être représentée sous la forme d’une structure arborescente, définie de la
manière suivante :
- La racine représente le motif initial
- Chaque nœud représente un motif de H ;
- Chaque arc représente une relation de domination entre deux motifs : m1 est
père de m2 si et seulement si m1 domine m2.
Sur la Figure 5.2, par commodité de lecture, chaque nœud de l’arbre est représenté
sous la forme d’un rectangle dont la largeur est une proportion de la taille de
l’occurrence du motif. De cette manière, l’échelle temporelle des motifs représentés
est facilement lisible sur l’arbre.
La Figure 5.2-(i) schématise l’organisation générale des répétitions d’un morceau
suivant une structure dite forme sonate, très courante en musique classique [BS09].
Elle est organisée de manière hiérarchique, deux niveaux caractéristiques étant présentés
ici. Le niveau 1 de la hiérarchie correspond aux quatre sections principales
de la forme sonate : l’exposition E, jouée deux fois, le développement D, puis la
réexposition correspondant à une répétition de E (éventuellement avec variations)
suivie de la coda C qui conclut le morceau [BS09]. Le niveau 2 indique la présence
des thèmes A1, A2, B et C apparaissant à plusieurs reprises et séparés par des
transitions T et des résolutions O.
La Figure 5.2-(ii) schématise la hiérarchie des répétitions dans un morceau de
musique populaire, Yesterday du groupe The Beatles, d’après Chai [Cha05, p.58].
Le premier niveau correspond au niveau structurel des couplets (C) et refrains (R),
tandis que le second décrit les phrases musicales des refrains.

120 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
Dans ces deux exemples, la hiérarchie structurelle est perçue par tout auditeur
et correspond à une volonté de composition. Dans le cas de la forme sonate, chacun
des deux niveaux a un sens musical fort, et décrire la structure du morceau sur
un unique niveau semble être une simplification conséquente d’un problème plus
général.
Ces exemples suggèrent que la définition d’un algorithme d’inférence de répétitions
sous une forme hiérarchique peut permettre d’identifier une structure riche en
informations sur la composition musicale d’un morceau.
5.3 Inférence hiérarchique de répétitions
Dans cette section, nous proposons un algorithme d’inférence de la structuration
répétitive d’un morceau de musique. Cet algorithme est construit d’une manière
hiérarchique, et correspond au modèle exposé dans la section précédente.
5.3.1 Préliminaires
Avant de décrire l’algorithme d’inférence, nous introduisons plusieurs critères
sur la structuration des séquences.
En premier lieu, on introduit un critère de décision sur la proximité entre scores
de similarité locale. Celui-ci est utile à l’identification de multiples répétitions d’un
même motif.
Critère 1 (∆-Proximité de scores) Soient s1 et s2 deux scores de similarité, et
∆ un seuil décimal. s1 est dit ∆-proche de s2 si et seulement si |s1 − s2| ≤ ∆.
∆ correspond à un seuil de similarité entre motifs qui permet de regrouper ces
derniers en classes d’équivalence. Plus précisément, deux motifs qui sont ∆-proches
sont considérés comme appartenant à la même classe d’équivalence.
En second lieu, on introduit un critère de décision sur la taille des motifs identifiés.
Celui-ci est utile à la terminaison de l’algorithme présenté ci-après.
Critère 2 (Γ-Insuffisance de taille) Soient u une séquence, m un motif de u et
Γ un seuil décimal. On dit que m est de taille Γ-insuffisante si et seulement si
|m − u| > Γ. À l’inverse, on dit que m est de taille Γ-suffisante si et seulement si
|m − u| ≤ Γ
5.3.2 Problème
Cette section formalise le problème de structuration hiérarchique. On commence
par définir la sous-structure optimale de la manière suivante :
Définition 22 (Sous-structure optimale) Soient u une séquence et S une sousséquence
de motifs de u. On note E l’ensemble des facteurs de u non chevauchants
dans u avec les occurrences des motifs de S. On appelle sous-structure optimale de
S, et on note R(S), la paire de motifs {(b1,e1,α1),(b2,e2,α2)} ∈ M(u) 2 vérifiant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(b1,e1,α1) /∈ S
(b2,e2,α2) /∈ S
s(u[b1 . . . e1],u[b2 . . . e2]) = max
(v1,v2)∈E 2s(v1,v2)
α1 = α2
.

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 121
En d’autres termes, R(S) correspond à un ensemble de deux motifs de même étiquette,
dont la similarité entre les occurrences est maximale, et qui ne chevauchent
pas dans u les motifs de la sous-séquence de motifs S.
On définit alors de manière plus générale un ensemble identifiant tous les motifs
de la même classe d’équivalence, dans une sous-structure répétitive ∆-optimale de
la manière suivante :
Définition 23 (Sous-structure k,∆-répétitive) Soient u une séquence, S une
sous-séquence de motifs de u, ∆ ≥ 0 un seuil décimal et k un entier positif. On
appelle sous-structure k,∆-répétitive de S, et on note Rk ∆ (S) toute sous-séquence de
k motifs {(bi,ei,αi) ∈ M(u)|1 ≤ i ≤ k} vérifiant :
∃(i,j) ∈ 1,k 2 ⎧
{(bi,ei,αi),(bj,ej,αj)} = R(S)
⎪⎨
∀(i
:
⎪⎩
′ ,j ′ ) ∈ 1,k2 ,s(u[bi ′ . . . ei ′],u[bj ′ . . . ej ′])
est ∆-proche de s(u[bi . . . ei],u[bj . . . ej])
∀(i ′ ,j ′ ) ∈ 1,k2 .
,αi = αj = α1
En d’autres termes, Rk ∆ (S) correspond à l’ensemble incluant la sous-structure
optimale de la sous-séquence de motifs S ainsi qu’un ou plusieurs motifs de scores
de similarité ∆-proches.
Définition 24 (Sous-structure ∆-répétitive optimale) Soient u une séquence,
S une sous-séquence de motifs de u, ∆ ≥ 0 un seuil décimal et k un entier positif. On
appelle sous-structure ∆-répétitive optimale, et on note R∆(S), une sous-structure
k,∆-répétitive dont la taille est maximale pour toutes les valeurs de k possibles.
Formellement, R∆(S) vérifie :
|R∆(S)| = max
k∈N +|Rk ∆ (S)|.
Le problème de structuration hiérarchique est alors posé de la manière suivante :
Problème 4 (Structuration hiérarchique) Soient u une séquence, ∆ et Γ deux
seuils décimaux et N un entier strictement positif. Identifier une hiérarchie H qui
respecte les critères suivants :
(i) Tous les motifs de H sont de taille Γ-suffisante ;
(ii) Le nombre de niveaux de H est N ;
(iii) Chaque niveau 1 ≤ i ≤ N de H contient la sous-structure ∆-répétitive optimale
du niveau i − 1.
Chaque niveau d’une hiérarchie-solution du problème est donc caractérisé par
un critère d’optimalité sur un ensemble de répétitions qu’il contient.
5.3.3 Algorithme
Soit u une séquence de symboles. L’objectif de l’algorithme d’inférence de structures
répétitives est d’identifier une hiérarchie de répétitions dans u solution du
Problème 4. Cette identification est effectuée par itérations successives, chacune de
ces itérations introduisant une nouvelle répétition caractéristique. On pose H une
hiérarchie de u. Notre algorithme est décrit sous la forme d’une récurrence sur le
niveau i des motifs de la hiérarchie H.

122 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
Séquence de descripteurs
(A) Identification d’une
répétition principale
(B) Identification de
répétitions secondaires
(C) Relations de transitivité
Arborescence de
structures répétitives
Fig. 5.3 – Vue d’ensemble de l’algorithme d’inférence de structures répétitives. A,
B et C désignent les différentes étapes de l’algorithme. Les flèches remontantes
représentent les processus de bouclage, ∆ et Γ désignant les paramètres sur lesquels
sont basées les décisions de fin de boucle.
5.3.3.1 Récurrence
Définition 25 Soient H une hiérarchie et i un entier positif. Pour chaque niveau
i de H, on définit Hi comme l’ensemble de u contenant les motifs de H munis de
l’étiquette nulle Θi :
Hi = {(b,e,α) ∈ H|α = Θi}.
Il convient de noter que puisque pour un i donné, Hi contient les motifs non
étiquetés du niveau i, Hi est une sous-séquence de motifs de u.
À l’initialisation de la récurrence, aucun facteur n’est étiqueté, d’où H = H0 =
{(1,n,Θ0)}.
Le calcul de l’étape i de la récurrence est divisé en trois étapes complémentaires.
La Figure 5.3 schématise le déroulement de ces différentes étapes, décrites en détail
ci-dessous.
Dans la suite de cette section, on pose i l’étape de la récurrence en cours, et Hi
l’ensemble des motifs de H munis d’une étiquette nulle Θi.
Étape A : Calcul d’une sous-structure optimale
Cette étape identifie une paire de motifs et leur attribue une nouvelle étiquette.
Calcul A
∀(b1,e1,α1) ∈ Hi, calculer s ⊛ (u[b1 . . . e1]) Tâche (i)
∀((b1,e1,α1),(b2,e2,α2)) ∈ Hi × H, calculer s ∗ (u[b1 . . . e1],u[b2 . . . e2]) Tâche (ii)
Chacune des deux tâches fournit un ensemble de scores de similarité locale ; à la
fin de cette étape, on identifie le score de similarité maximal smax de cet ensemble.

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 123
Formellement,
smax = max(max s ⊛ (u[b1 . . . e1])
(b1,e1,α1)∈Hi
,max s ∗ (u[b1 . . . e1],u[b2 . . . e2])
((b1,e1,α1),(b2,e2,α2))∈Hi×H
) (35)
On note (b∗ 1 ,e∗1 ) et (b∗ 2 ,e∗2 ) les indices dans u des deux facteurs effectivement alignés
v∗ 1 = u[b∗1 . . . e∗1 ] et v∗ 2 = u[b∗2 . . . e∗2 ].
L’algorithme correspond alors à la suite d’opérations suivante :
- On choisit une nouvelle étiquette, notée α ;
- Les deux motifs m1 = (b∗ 1 ,e∗1 ,α) et m2 = (b∗ 2 ,e∗2 ,α) sont ajoutés à H ;
- On retire de H les motifs d’étiquettes Θi ;
- On ajoute à H le nombre minimum de motifs d’étiquettes Θi afin que le niveau
i de H recouvre u ;
- On modifie Hi afin qu’il contienne exactement tous les motifs d’étiquettes nulles
du niveau i de H.
Étape B : Calcul d’une sous-structure k,∆-répétitive
Cette étape est dédiée à l’identification des autres répétitions dans u de l’occurrence
du motif identifié dans l’étape A.
Calcul B
∀(b3,e3,α3) ∈ Hi, calculer s ∗ (u[b ∗ 1 . . . e∗ 1 ],u[b3 . . . e3])
On identifie tous les facteurs dont le score de similarité locale avec v∗ 1 est ∆proche
du score smax. En utilisant la définition 1, un facteur v = u[b3 . . . e3] est
conservé si et seulement si s∗ (u[b∗ 1 . . . e∗1 ],u[b3 . . . e3]) ≥ ∆ · smax. Dans ce cas, on
note (b∗ 3 ,e∗3 ) les indices dans u du facteur de v effectivement aligné.
L’algorithme correspond alors à la suite d’opérations suivante :
- Le motif (b∗ 3 ,e∗3 ,α) est ajouté à H ;
- On retire de H les motifs d’étiquettes Θi ;
- On ajoute à H le nombre minimum de motifs d’étiquettes nulles Θi afin que le
niveau i de H recouvre u ;
- Hi est modifié afin qu’il contienne exactement les motifs d’étiquettes nulles du
niveau i de H.
Étape C : Calcul d’une sous-structure ∆-répétitive optimale
On note M1, M2 et M3 les motifs de niveau i−1 d’étiquettes respectives β1, β2 et
β3 qui dominent respectivement m1, m2 et m3. On désigne alors par M l’ensemble
des motifs de niveau i − 1 de même étiquette que l’un des motifs M1, M2 ou M3 et
distincts de ces derniers :
M = {(b4,e4,α4) ∈ H\{M1,M2,M3}|α4 ∈ {β1,β2,β3}}.

124 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
Calcul C
∀(b4,e4,α4) ∈ M, calculer s ∗ (u[b ∗ 1 . . . e∗ 1 ],u[b4 . . . e4])
Ce processus est effectué pour chaque motif M de M. Quel que soit le score
de similarité obtenu, le facteur de l’occurrence de M effectivement aligné, noté
v = u[b4 . . . e4], est conservé.
L’algorithme correspond alors à la suite d’opérations suivante :
- Pour chaque motif de M, le motif (b4,e4,α) obtenu par le calcul ci-dessus est
ajouté à H ;
- On retire de H les motifs d’étiquettes Θi ;
- On ajoute à H le nombre minimum de motifs d’étiquettes nulles Θi afin que le
niveau i de H recouvre u ;
- Hi est modifié afin qu’il contienne exactement les motifs d’étiquettes nulles du
niveau i de H.
Conditions d’arrêt
Les trois étapes introduites ci-dessus sont répétées jusqu’à ce que l’une des
conditions d’arrêt sur Hi suivantes soit vérifiée :
(i) L’ensemble des motifs d’étiquettes non nulles du niveau i de H recouvre u :
Hi = ∅ ;
(ii) Toutes les occurrences de motifs d’étiquettes nulles du niveau i de H sont de
taille Γ-insuffisante. Avec le critère défini en 2, on a alors :
5.3.3.2 Propriétés
∀(b,e,α) ∈ Hi, e − b < Γ|u|.
Dans cette section, nous détaillons les propriétés des motifs identifiés par l’algorithme
exposé ci-dessus. Nous exposons formellement ces différentes propriétés et
proposons une interprétation musicale, lorsqu’adaptée.
Caractérisation de l’étape A
L’étape A est divisée en deux tâches. La tâche (i) consiste à calculer les répétitions
majeures pour toutes les occurrences de motifs. La tâche (ii) permet de calculer
la meilleure répétition d’une occurrence de motif non étiqueté. Par conséquent, cette
étape permet de comparer toutes les occurrences de motifs non étiquetés avec le
reste des facteurs de u, en préservant la contrainte de non chevauchement avec une
section déjà étiquetée.
Proposition 11 (Étape A) Le résultat de l’étape A correspond à la répétition non
chevauchante la plus significative entre l’occurrence d’un motif d’étiquette nulle au
niveau i et un autre facteur de u.

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 125
L’étape A introduit ainsi un nouveau motif dans la hiérarchie. Ce nouveau motif
est choisi par un critère d’optimalité du score de similarité locale : il correspond à
un compromis entre la répétition de plus fort degré de similarité et de plus longue
taille. L’ordre des répétitions musicales introduites par l’algorithme d’inférence est
donc directement lié à l’aspect significatif des structures répétitives détectées : si une
première répétition est introduite avant une deuxième par l’algorithme d’inférence,
alors la celle-ci est plus significative que la deuxième.
Caractérisation de l’étape B
L’étape B recherche les motifs correspondant à des répétitions multiples des
occurrences des motifs identifiés en étape A.
Proposition 12 (Étape B) À l’issue de l’étape B, toutes les répétitions de l’occurrence
du motif identifié en A dans des motifs non étiquetés ont été identifiées.
Cette étape est construite afin de détecter les répétitions musicales multiples. Le
seuil ∆ est nécessaire pour assurer une robustesse à des variations musicales légères.
Par exemple, afin d’identifier plusieurs couplets dans un morceau, il est important
de considérer une légère tolérance sur le score de similarité calculé, ces couplets
pouvant présenter quelques différences sur les paroles, les instruments, la mélodie
etc.
Caractérisation de l’étape C
La tâche (ii) de l’étape A peut introduire un nouveau motif, étiqueté α, susceptible
d’être dominé par un motif identifié lors d’une itération précédente de la
récurrence, étiqueté β. L’étape C assure que les relations de transitivité hiérarchiques
soient appliquées.
Proposition 13 (Étape C) À l’issue de l’étape C, tous les motifs d’étiquette β
dominent un motif d’étiquette α.
Cette étape est cruciale pour assurer une bonne représentation des niveaux hiérarchiques
de la structure répétitive. En effet, grâce à l’application de la transitivité,
toute création d’un lien de filiation, sous-jacente à la domination d’un motif par un
autre, donne lieu à la création de tous les liens de filiation des motifs similaires.
Terminaison
La terminaison de l’algorithme est assurée par la proposition suivante :
Proposition 14 (Terminaison) La taille de la sous-séquence de motifs Hi est
décroissante suivant i.
Preuve 3 Soit i une étape de la récurrence. La proposition 11 indique que l’étape
A de l’algorithme introduit nécessairement une répétition correspondant à l’occurrence
d’un motif d’étiquette nulle appartenant au niveau i, donc à l’un des éléments
de Hi, noté mΘ. En conséquence, mΘ domine ce nouveau motif m. La redéfinition
dans l’étape A des motifs d’étiquettes nulles supprime alors le motif mΘ, et introduit

126 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
un ensemble E de motifs dont les occurrences sont non chevauchantes avec l’occurrence
de m. Or, E est défini par le nombre minimum d’éléments nécessaires pour
compléter le niveau i ; on en déduit que l’occurrence de m est disjointe de toute occurrence
d’un motif introduit. En conséquence, la somme des tailles de motifs de E
est inférieure à la taille de mΘ, d’où la taille de Hi décroît à l’issue de l’application
de l’étape A.
Puisque l’une des conditions d’arrêt de la récurrence porte sur la taille des
éléments de Hi, la décroissance de celle-ci assure la terminaison de l’algorithme.
Propriétés globales
Soient u une séquence, et H une hiérarchie sur u calculée par l’algorithme cidessus.
Proposition 15 (Recouvrement de H) Chaque niveau de H recouvre u.
Proposition 16 (Niveau d’une itération) À chaque itération de la récurrence,
les motifs introduits par les étapes A, B et C sont tous sur le même niveau hiérarchique
dans H.
Preuve 4 Notons MA l’ensemble des motifs introduits par l’étape A. Par construction,
ces motifs correspondent à la détection d’une nouvelle répétition à partir de
la hiérarchie à l’étape i, donc au niveau i de H. L’étape B recherche des répétitions
entre le motif identifié par l’étape A et un motif de Hi ; par conséquent, l’étape B ne
peut introduire un motif dominé par un motif de l’étape A. D’une manière similaire,
l’étape C n’introduit pas de motif dominé par un motif des deux étapes précédentes.
On en déduit que toutes les occurrences des motifs introduits dans ces trois étapes
sont sur le même niveau hiérarchique dans H.
Proposition 17 (Étiquettes et niveau hiérarchique) Deux motifs de H possédant
la même étiquette appartiennent au même niveau hiérarchique.
Preuve 5 Pour une itération de la récurrence, l’étape A n’attribue à des motifs que
des étiquettes nouvellement choisies. Les étapes B et C, quant à elles, ne peuvent
attribuer que la même étiquette que l’étape A, ou des nouvelles étiquettes. Par
construction, A, B et C n’attribuent donc jamais d’étiquettes déjà attribuées dans
des itérations précédentes : un ensemble d’étiquettes est propre à chaque itération de
la récurrence. Puisqu’à une itération correspond un seul niveau hiérarchique (Proposition
16), on en déduit la propriété souhaitée.
5.3.3.3 Exemple d’exécution
La Figure 5.4 décrit un exemple de l’exécution de l’algorithme défini précédemment.
À chaque étape, l’ensemble Hi des motifs d’étiquettes nulles au niveau
i est représenté par des sections blanches. Les sections noires indiquent les motifs
identifiés à chaque étape.
(i) présente le motif initial (1,n,Θ0) ;
(ii) montre le résultat de l’étape A de la récurrence. Puisque H1 ne contient que
le motif initial, le score s1 de répétition majeure est calculé (tâche (i) de A),
et deux motifs à la même étiquette α sont définis ;

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vii)
(viii)
5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 127
(vi)
(B)
Fig. 5.4 – Exemple d’exécution étape par étape de l’algorithme d’inférence de structures
répétitives (voir texte).
(iii) l’étape B de la récurrence permet d’identifier un nouveau facteur de score de
similarité s ′ 1 avec la section identifiée précédemment. Ce score étant ∆-proche
de s1, un nouveau motif étiqueté α est défini ;
(iv) prend en compte des possibles relations de transitivité, aucune n’étant applicable
à ce point de l’algorithme ;
(v) présente la première étape de l’itération suivante de la récurrence. Une nouvelle
répétition est identifiée comme principale, et deux motifs à la nouvelle
étiquette β sont définis. Cette répétition correspond à l’alignement entre l’occurrence
d’un motif d’étiquette nulle et l’occurrence d’un motif déjà étiqueté
α. Puisque le second motif est dominé par un motif déjà étiqueté, une nouvelle
étiquette γ est ajoutée ;
(vi) montre l’étape B de recherche de répétitions secondaires, qui ne détecte aucune
nouvelle répétition pour cette itération ;
(vii) et (viii) prennent en compte des relations de transitivité pour insérer de nouveaux
motifs étiquetés β pour chaque motif étiqueté α identifié précédemment.
À l’issue de l’étape (viii), les motifs restants dans H2 sont jugés de tailles Γinsuffisantes,
et l’algorithme termine.
La Figure 5.5 représente la structure arborescente ainsi calculée. (ii) représente
le résultat de la première itération de la récurrence, à laquelle l’étiquette α est
introduite, et (iii) représente le résultat de la seconde itération, à laquelle l’étiquette
β est introduite.
La Figure 5.5-(iv) illustre une représentation extraite de l’arbre, définie comme
la sous-séquence de motifs du deuxième niveau hiérarchique dont les étiquettes
nulles ont été remplacées par autant de nouvelles étiquettes.
(A)
(B)
(C)
(A)
(C)
(C)

128 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
(i)
(ii)
(iii)
(iv) A B A C B A D B A E
Fig. 5.5 – Exemple de résultat de l’algorithme d’inférence de structures répétitives.
En (i)-(ii)-(iii) sont représentés les trois niveaux de la structure arborescente calculée,
(ii) correspondant au résultat de la première itération de la récurrence et (iii)
au résultat de la seconde. (iv) montre la représentation séquentielle du niveau 2 de
l’arbre.
5.3.4 Expériences et résultats
La Figure 5.6-(ii) représente un exemple de résultat de la hiérarchie structurelle
calculée par notre algorithme d’inférence sur le morceau Eine Kleine Nachtmusik
de Mozart. Afin de juger du résultat, l’annotation de ce morceau [Wri07] a été représentée
en Figure 5.6-(i) 1 . Ce morceau suit une forme sonate, dont le schéma
général est représenté en Figure 5.2-(i). Seuls les quatre premiers niveaux de la hiérarchie
sont représentés. Le premier niveau identifie la structure correspondant à
la répétition de l’exposition (motifs d’étiquette E). La répétition secondaire correspondant
à la réexposition n’est pas identifiée par notre algorithme, probablement
à cause d’une trop forte variation des séquences tonales dans sa seconde partie (représentée
par les motifs T ′ 2 et T ′ 3 dans l’annotation). Le deuxième niveau représente
l’identification du premier thème T1 de l’exposition. On remarque qu’une répétition
de ce motif T1 est également identifiée dans la réexposition. Ce motif témoigne de
la forte similarité entre les débuts des expositions et réexposition. Le niveau (iii)
introduit le motif A1 correspondant notamment au premier thème de l’exposition.
Ce motif est également identifié au sein du développement (motif D dans l’annotation)
et dans la réexposition. Il convient de noter que notre implémentation emploie
dans cet exemple des calculs de similarité robustes aux transpositions locales (voir
Section 3.1.5), permettant ainsi d’identifier le motif A1 comme répété au sein du
développement D malgré une transposition de celui-ci.
Cet exemple met en avant la pertinence de la hiérarchie structurelle identifiée.
Bien que celle-ci ne soit pas aussi complète et précise que la vérité-terrain, elle
présente de fortes similitudes sur la forme sonate étudiée.
La section suivante évalue plus précisément la qualité des résultats de notre
algorithme d’inférence en les comparant à l’état de l’art.
1. Voir http://oyc.yale.edu/music/musi-112/lecture-9 pour une présentation détaillée et commentée
de cette structure par C. Wright (Accédé en Septembre 2012).

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 129
(i)
(ii)
Fig. 5.6 – Exemple de résultat de l’inférence hiérarchique calculée par notre algorithme sur le morceau Eine Kleine Nachtmusik de Mozart
(forme sonate). (i) : Annotation des répétitions sur différents niveaux caractéristiques de la forme sonate [Wri07]. (ii) : Résultat de l’algorithme
d’inférence hiérarchique.

130 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
5.3.4.1 Évaluation de segmentations structurelles
Comme expliqué précédemment, la structuration répétitive est systématiquement
calculée sous la forme de segmentations structurelles. Il n’existe pas à l’heure
actuelle de procédure d’évaluation de hiérarchies de répétitions. Dans cette section,
nous proposons donc d’évaluer une segmentation structurelle issue de la représentation
hiérarchique obtenue par notre algorithme.
L’obtention d’une segmentation structurelle à partir d’une hiérarchie peut aisément
être effectuée en isolant un niveau hiérarchique et en l’étiquetant entièrement,
comme l’indique la Définition 17.
Les expériences décrites dans les sections suivantes correspondent à des évaluations
de notre algorithme dans le cadre du Music Information Retrieval Evaluation
eXchange (MIREX) 1 [Dow08, DEBJ10]. L’intérêt scientifique de l’évaluation
MIREX est d’assurer des conditions expérimentales identiques entre les méthodes
testées, et ainsi de permettre une comparaison fiable des algorithmes existants. Les
résultats présentés dans cette section correspondent à la tâche d’évaluation de segmentations
structurelles de 2010 2 et au complément d’évaluation de cette tâche,
publié par l’équipe du MIREX en 2011 [EMD + 11].
5.3.4.2 Bases de données
Trois bases de tests sont utilisées dans le cadre des évaluations de segmentation
structurelle MIREX. Puisque l’inférence de structures musicales est étudiée dans
la littérature sous une approche séquentielle, consistant à identifier des segmentations
structurelles, ces bases de tests comprennent des annotations des répétitions
musicales sous la forme de sous-séquences de motifs recouvrantes.
La première base de tests, notée ST RUCTA, correspond à l’agrégation d’annotations
réalisées par différents laboratoires et universités 3 et est notamment distribuée
via le projet OMRAS2 4 [MCD + 09]. Elle se compose d’un ensemble de 297 annotations
de la structuration des morceaux de musique de différents artistes de musique
populaire occidentale, réalisées par des experts.
La deuxième base de tests, notée ST RUCTB, est un produit du projet Quæro 5
et comporte un ensemble d’annotations de segments structurels effectuées selon les
critères d’annotation décrits dans [BLBSV10]. Celles-ci sont réalisées sur les 100
morceaux de la base de données RWC Pop Database [GHNO02] réalisées par des
experts. Il convient de noter que cette base de données n’assigne pas d’étiquettes
aux motifs identifiés, mais renseigne uniquement sur les frontières entre éléments
structurels.
La troisième base de tests, notée ST RUCTC, est fournie par le projet Structural
Analysis of Large Amounts of Music Information (SALAMI) 6 [SBF + 11] et
comporte un ensemble d’annotations de segmentations structurelles réalisées par
1. http://www.music-ir.org/mirexwiki
2. http://www.music-ir.org/mirex/wiki/2010:Structural_Segmentation
3. Dont notamment IRCAM Paris, Queen Mary University of London, Universitat Pompeu Fabra,
Barcelona et Tampere University of Technology, voir [PD09] pour un descriptif des contributions
4. http://isophonics.net/content/reference-annotations
5. http://www.quaero.org
6. http://ddmal.music.mcgill.ca/research/salami/annotations

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 131
(a) Peeters [PBR02, Pee04, Pee07]
(b) Weiss, Bello [WB10]
(c) Méthode proposée [MHR + 10]
(d) Mauch, Noland, Dixon [MND09]
(e) Sargent et al. 1 [SBV10]
(f) Sargent et al. 2 [SBV10]
Tab. 5.2 – Nomenclature des méthodes évaluées.
des experts selon les principes d’annotation exposés dans [PD09]. Cette vérité terrain
annote 1383 morceaux de styles occidentaux variés. Elle possède en outre deux
particularités par rapport aux autres bases de test :
1. Tous les morceaux sont annotés par chaque expert sur 2 niveaux de description
structurelle répétitive ;
2. 1048 morceaux sont annotés par 2 experts différents.
Les méthodes de l’état de l’art auxquelles notre technique est comparée correspondent
aux algorithmes soumis à la tâche MIREX 2010 et sont listées dans le
Tableau 5.2. Pour plus de détails sur chacune des méthodes, nous invitons le lecteur
à se référer à la Section 5.1. Outre l’évaluation sur les bases ST RUCTA et
ST RUCTB dans le cadre de cette tâche, ces méthodes ont également été évaluées
sur la base de données ST RUCTC dans le contexte d’un complément d’évaluation
publié par l’équipe du MIREX [EMD + 11]. Il convient de préciser que les résultats
d’évaluation effectués dans les campagnes d’évaluation MIREX 2011 et MIREX
2012 ne sont pas rapportés dans notre étude, la première campagne ne considérant
pas la base conséquente ST RUCTC comme ensemble de test, et la seconde n’étant
pas finalisée à la date d’écriture de ce manuscrit. Les méthodes de l’état de l’art
présentées dans ces travaux sont ainsi les seules, à la date de septembre 2012, à
avoir été évaluées par l’équipe du MIREX sur les trois bases de données décrites
ci-dessus. Si ce choix nous permet de comparer les méthodes de l’état de l’art sous
des conditions d’évaluation communes, il est important de nuancer les conclusions
expérimentales effectuées dans les sections suivantes par leur relative ancienneté à
la date de publication de ce manuscrit.
5.3.4.3 Métriques d’évaluation
Quantifier la similarité entre deux descriptions structurelles est un problème
complexe [Luk08], comme exposé dans cette section. Les mesures d’évaluation de
segmentations structurelles utilisées dans la littérature peuvent être regroupées en
deux catégories :
- Les mesures d’évaluation des frontières structurelles
- Les mesures d’évaluation des motifs
Deux mesures d’évaluation des frontières sont principalement utilisées.
Rappel et précision des frontières La première mesure permet d’appliquer un
schéma classique de calcul de rappel/précision [MRS08] sur les frontières de deux
segmentations structurelles, en permettant de légères variations temporelles de leur
position [TL07]. Pour une taille de fenêtre fixée x, un faux négatif (respectivement
faux positif ) correspond à une frontière présente à la date t dans la vérité terrain

132 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
F@0.5 P@0.5 R@0.5 F@3 P@3 R@3 M A|E M E|A
(a) 0.23 0.23 0.23 0.57 0.58 0.59 1.57 1.79
(b) 0.29 0.36 0.25 0.58 0.72 0.50 3.60 1.58
(c) 0.20 0.32 0.15 0.49 0.75 0.37 4.36 1.61
(d) 0.36 0.44 0.32 0.61 0.74 0.54 2.66 1.27
(e) 0.23 0.24 0.24 0.61 0.62 0.62 2.12 2.22
(f) 0.24 0.25 0.24 0.61 0.62 0.62 2.73 2.16
Tab. 5.3 – Résultats de l’évaluation MIREX 2010 sur la base de données ST RUCTB
pour les 6 méthodes soumises. L’évaluation ne porte que sur les frontières.
(resp. dans la segmentation estimée), mais absente à une date comprise entre t − x
et t+x dans la segmentation estimée (resp. dans la vérité terrain). À partir de cette
estimation simple, la mesure fournit alors un score de précision P@x, un score de
rappel R@x et une F-mesure F@x.
Écarts médians entre frontières Une alternative à cette mesure pour l’estimation
des frontières consiste à calculer la durée médiane entre les frontières de
l’annotation et les frontières calculées automatiquement, et vice-versa [TL07]. On
obtient alors les deux mesures M A|E et M E|A, désignant respectivement la médiane
des durées entre les frontières annotées et les frontières estimées les plus proches,
et la médiane des durées entre les frontières estimées et les frontières annotées les
plus proches. Aux systèmes les plus précis doivent donc correspondre des valeurs
faibles.
L’évaluation des motifs identifiés peut être effectuée à l’aide des deux mesures
suivantes.
Rappel et précision de l’étiquetage trame-à-trame Afin de comparer les
motifs de deux segmentations structurelles, Levy et Sandler [LS08] proposent une
adaptation du schéma de calcul rappel/précision [MRS08] à l’échelle temporelle la
plus petite, la trame de signal. Plus précisément, on note Fa (respectivement Fe)
l’ensemble des paires de trames dominées par des motifs d’une même étiquette dans
la structure annotée (resp. dans la structure estimée). Les scores de précision Pp et
rappel Rp trame-à-trame sont alors définis [LS08] par :
Pp = |Fe ∩ Fa|
|Fe|
et Rp = |Fe ∩ Fa|
.
|Fa|
Ces mesures de rappel et précision peuvent être résumées en une F-mesure [MRS08],
notée Fp. Cette métrique permet d’obtenir une estimation précise de la similarité
entre deux segmentations structurelles. En revanche, elle ne tient pas compte de
l’échelle temporelle de description de la structure. Comme le soulignent notamment
Paulus et Klapuri [PK06], Chai [Cha05] ou Lukashevich [Luk08], cette mesure fonctionne
par paires de trames mais ne prend pas en compte l’ordre de ces trames. En
d’autres termes, elle ne tient pas compte des différences potentielles d’échelles temporelles
de description (niveaux hiérarchiques) entre les deux segmentations structurelles
comparées [PMK10]. La mesure suivante permet une plus grande robustesse
à cette différence de niveau.

Nombre de morceaux (%)
5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 133
% of pieces
% of pieces
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > 10
Median durations, in seconds
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > 10
Median durations, in seconds
% of pieces
% of pieces
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > 10
Median durations, in seconds
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > 10
Median durations, in seconds
% of pieces
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > 10
(a) (b) (c)
Durées médianes (s)
% of pieces
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Median durations, in seconds
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 > 10
Median durations, in seconds
(d) (e) (f)
Fig. 5.7 – Distribution des durées médianes entre frontières identifiées et annotées
sur les bases de données ST RUCTA et ST RUCTB. La durée M A|E est représentée
en noir, et la durée M E|A en gris.
Information mutuelle La structure musicale ayant une nature hiérarchique, sa
description sous forme de séquence peut être effectuée à différentes échelles temporelles.
Ainsi, il est possible que la segmentation estimée et la segmentation annotée
décrivent chacune une structuration plausible, mais ne se trouvent pas sur une
même échelle de description. Afin de prendre en compte cette éventualité, Lukashevich
[Luk08] introduit deux scores d’évaluation So et Su, respectivement score
de sur-segmentation et score de sous-segmentation pour comparer deux segmentations
structurelles séquentielles sur leur échelle temporelle de description. Ces mesures
sont basées sur le travail d’Abdallah et al. [ANS + 05] qui estime des entropies
conditionnelles dans le cadre d’un estimateur Bayésien et montre que ces grandeurs
quantifient de manière précise et distincte la quantité d’information manquante
d’une part, et la quantité d’information superflue d’autre part pour la comparaison
de segmentation structurelles.
5.3.4.4 Évaluation des frontières
On propose tout d’abord d’évaluer les frontières de la segmentation estimée
et leur correspondance à celles de la vérité terrain. Le Tableau 5.3 présente les
résultats d’évaluation des frontières pour chaque méthode sur la base de données
ST RUCTB. Les colonnes 1 à 6 fournissent les taux moyens de F-mesure, précision et
rappel des frontières pour des fenêtres de 0.5 et 3 secondes. Dans les deux cas, notre
méthode semble relativement peu précise dans son identification des frontières. Sur
cet ensemble de données, la F-mesure des frontières identifiées par notre méthode est
de 20% avec une fenêtre de tolérance de 0.5s, et 49% avec une fenêtre de tolérance
de 3s. Les deux dernières colonnes du Tableau 5.3 indiquent les durées médianes
entre les frontières estimées et annotées. Le score élevé M A|E = 4.36 indique que la
durée médiane entre une frontière annotée et une frontière estimée est de plus de 4
secondes ; le score M E|A = 1.61, en revanche, est beaucoup plus faible. Cette forte

134 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
So Su Fp Pp Rp
(a) 0.60 0.68 0.54 0.63 0.51
(b) 0.67 0.54 0.54 0.53 0.64
(c) 0.68 0.54 0.55 0.51 0.68
(d) 0.76 0.61 0.61 0.55 0.74
(e) 0.59 0.69 0.50 0.60 0.47
(f) 0.71 0.43 0.49 0.42 0.73
F@0.5 P@0.5 R@0.5 F@3 P@3 R@3 M A|E M E|A
(a) 0.18 0.14 0.26 0.50 0.40 0.70 1.90 3.43
(b) 0.20 0.20 0.22 0.48 0.46 0.52 5.55 2.39
(c) 0.19 0.20 0.18 0.51 0.55 0.50 4.05 3.05
(d) 0.32 0.34 0.33 0.61 0.63 0.63 3.04 2.43
(e) 0.22 0.18 0.29 0.57 0.47 0.76 1.83 3.92
(f) 0.22 0.19 0.29 0.56 0.47 0.74 2.80 3.86
Tab. 5.4 – Résultats de l’évaluation MIREX 2010 sur la base de données ST RUCTA
pour les 6 méthodes soumises. L’évaluation porte sur les motifs (haut) et les frontières
(bas).
différence suggère que les annotations de la base de données ST RUCTB comportent
sensiblement plus de frontières. En d’autres termes, notre méthode semble soussegmenter
la structure musicale par rapport à ces annotations.
La Figure 5.8 représente un exemple de résultat sur ST RUCTB 1 . Chaque ligne
correspond à une méthode, la dernière représentant la vérité terrain. Les lignes
pointillées mettent en valeur la concordance entre les frontières estimées et annotées.
Cet exemple met en valeur l’aspect sous-segmenté de notre méthode (c) par rapport
à l’annotation. Cependant, les frontières identifiées restent proches dans ce cas.
Les colonnes 1 à 3 du Tableau 5.4-bas fournissent les taux moyens d’évaluation
des frontières pour la base de données ST RUCTA. La détection des frontières semble
plus proche des autres méthodes pour cette base de données, avec une F-mesure de
19% pour une tolérance de 0.5 secondes, et une F-mesure de 51% pour une tolérance
de 3 secondes. Les valeurs M A|E et M E|A indiquent un écart des frontières estimées
et détectées de valeurs médianes respectives 4.05 et 3.05 secondes. La plus grande
proximité entre ces deux valeurs suggère une meilleure adaptation de l’algorithme
pour la base de données ST RUCTA.
La Figure 5.7 représente la distribution des valeurs médianes calculées sur les
morceaux de la base de données ST RUCTA par chacune des méthodes. L’axe des
abscisses indique les plages de valeurs médianes possibles (entre 1 et 10 secondes,
puis plus de dix secondes pour le dernier coefficient), tandis que l’axe des ordonnées
indique le pourcentage de morceaux concernés. Les barres noires représentent les valeurs
M A|E, tandis que les barres grises représentent les valeurs M E|A. Les méthodes
les plus performantes sont caractérisées par une distribution aux valeurs importantes
dans les premiers coefficients de l’histogramme, puis des valeurs faibles ou nulles
pour les coefficients suivants. Comme précédemment, le déséquilibre entre les scores,
donc les deux types de barres, témoigne d’une tendance à sur ou sous-segmenter.
La méthode (d) semble fournir la plus grande précision pour l’identification des
1. Détail obtenu grâce à l’outil NEMA de l’IMIRSEL : http://nema.lis.illinois.edu/

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 135
B A D A D E O
(a)
A A B
A A B C C
(b)
A A B C C D
(c)
7 3 1 5 1 2 4 2 6 8
(d)
C A A A B B B D B B B B B B B B B E B B B
(e)
C A A D B B B E F B B B B B G H I J B B K
(f)
(GT)
Fig. 5.8 – Exemple de résultats obtenus sur le morceau struct_mrx_10_1 de la base de données ST RUCTB. Le résultat exact des méthodes (a)
à (f) est représenté, la dernière ligne correspondant à la vérité terrain.

136 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
1
1
1
0
0
0
0 1 0 1 0 1
(a) (b) (c)
1
0
0
0
0 1 0 1 0 1
(d) (e) (f)
Fig. 5.9 – Distribution des scores de sous-segmentation et de sur-segmentation pour
les morceaux de la base de données ST RUCTA.
frontières, puisqu’environ 40% des durées médianes sont inférieures à la seconde,
pour les deux scores. Pour toutes les méthodes, les médianes entre frontières annotées
et estimées se situent dans plus de 80% des cas entre 1 et 5 secondes. La
distribution correspondant à notre méthode (c) souligne la relative faible précision
de la détection des frontières.
5.3.4.5 Évaluation des motifs
Les colonnes 3 à 5 du Tableau 5.4-haut présentent les scores d’évaluation de
l’étiquetage trame-à-trame sur la base de tests ST RUCTA. Les colonnes 4 et 5
représentent respectivement la précision et le rappel par paires de trames, et la
colonne 3 résume les deux scores en une F-mesure. L’étiquetage de notre méthode
a un rappel moyen de 68% pour une précision de 51%, soit une F-mesure de 55%.
Seule la méthode (d) semble fournir un résultat plus efficace, avec une F-mesure de
61%. On note cependant que les scores d’évaluation des méthodes semblent proches,
aucune ne présentant a priori de fortes différences.
La Figure 5.10 représente un exemple de résultat pour chacune des méthodes
pour un morceau de la base de données ST RUCTA. Dans cet exemple, notre méthode
fournit un résultat proche de l’annotation. Le motif instrumental S de la vérité
terrain est identifié comme similaire au motif RC. On note également quelques imprécisions
sur les frontières, ainsi que la non détection de la conclusion O. Enfin,
les motifs R et C sont réunis en un unique motif B, qui suggère que l’échelle de description
de la structure estimée est différente de celle annotée. La section suivante
évalue cet aspect sur toute la base de données.
5.3.4.6 Évaluation de l’échelle de description
Les structures répétitives sont de nature hiérarchique. Il est alors pertinent
d’évaluer dans quelle mesure la segmentation structurelle estimée correspond à la
1
1

5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 137
D F A C B A G
(a)
A B C
C
(b)
A B B C D B
B
C
(c)
6 1 3 1 3 1 2 5 1 3 4 7 4 2 5 8
(d)
D A A B B B B C C E F G B C
(e)
A C D B B B B E F G H I B J
(f)
I R C R C P S R C S P O
(GT)
Fig. 5.10 – Exemple de résultats obtenus sur le morceau struct_mrx_09_33 de la base de données ST RUCTA. Le résultat exact des méthodes
(a) à (f) est représenté, la dernière ligne correspondant à la vérité terrain.

138 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
Live Classique Jazz Pop World Moyenne
(a) 0.51 0.43 0.48 0.51 0.48 0.48
(b) 0.56 0.52 0.55 0.55 0.54 0.54
(c) 0.56 0.59 0.57 0.54 0.56 0.56
(d) 0.53 0.56 0.57 0.57 0.55 0.56
(e) 0.50 0.51 0.54 0.52 0.52 0.52
(f) 0.43 0.43 0.40 0.45 0.44 0.43
Moyenne 0.52 0.51 0.52 0.52 0.51 0.52
Tab. 5.5 – Scores d’évaluation Fp calculés pour chaque méthode et chaque style
musical de ST RUCTC (échelle large), d’après [EMD + 11].
même échelle temporelle de description que la segmentation annotée.
Les scores moyens de sur-segmentation et de sous-segmentation sur ST RUCTA
sont présentés en colonnes 1 et 2 du Tableau 5.4-haut. Notre méthode, dont les
scores moyens sont de So = 68% et Su = 54%, semble sous-segmenter légèrement
la base de données, tout comme les méthodes (b), (d) et (f).
Plus précisément, la Figure 5.9 représente le nuage de points des scores So en
fonction des scores Su pour tous les morceaux de la base de données ST RUCTA et
pour les différentes méthodes. Chaque mesure correspond à un morceau, le point
blanc matérialisant la moyenne de tous les scores pour une méthode. Une mesure
dans l’angle supérieur droit représente une correspondance parfaite entre la structure
annotée et la structure estimée. En outre, la présence d’une mesure dans la
région supérieure gauche de ce graphe indique une tendance à la sur-segmentation
de la méthode pour un morceau en particulier. Inversement, la présence d’une mesure
dans la région inférieure droite indique une tendance à la sous-segmentation.
Ainsi, les méthodes (a) et (e) semblent définir des descriptions sur-segmentées. Les
résultats des méthodes (c) et (d), en revanche, semblent être équilibrés autour de la
diagonale et témoignent d’un équilibre moyen entre les deux caractères de sous- et
sur-segmentation. Pour notre méthode (c), les mesures proches des axes montrent
que quelques morceaux ont une segmentation très éloignée de la vérité terrain. Ces
valeurs correspondent en réalité à des morceaux dont l’information tonale ne caractérise
pas de structure répétitive. Par exemple, dans We will Rock You du groupe
Queen, l’absence d’information tonale dans une grande partie du morceau rend la
structuration par notre méthode non pertinente.
5.3.4.7 Évaluation multi-échelles
Afin de se rapprocher d’une évaluation hiérarchique des segmentations calculées,
il est intéressant de considérer la base de tests ST RUCTC. En effet, cette base de
données de 1300 morceaux fournit pour chaque œuvre deux annotations sur des
échelles de temps différentes [EMD + 11] : une échelle temporelle dite large, correspondant
notamment à l’échelle de description couplets/refrains, et une échelle dite
fine.
La base de données ST RUCTC comprend des morceaux de différents styles musicaux,
classés dans 5 catégories : “Live”, “Classique”, “Jazz”, “Pop” et “World”. Le
Tableau 5.5 présente les taux de F-mesures de l’étiquetage trame-à-trame pour chacune
des méthodes en fonction du style musical. Ehmann et al. [EMD + 11] montrent

n some general idea on how a human might
ve to another human using the standard
Échelle
sures, the ground truths of all double-keyed
Fine Large
-human
both the coarse and fine-grained (a) annotations. 0.43 0.49
yed subset allows us to evaluate (b) the human- 0.45 0.55
(c) 0.45o 0.57
man results line in Table 6 was generated (d) 0.44by 0.56
(e) 0.39 ” 0.53
(f) 0.37 The 0.43
e evaluated on only this subset Humain of the 0.63 data to 0.72
ct comparison of the results on the 794
pieces that have both fine and coarse
5.3 Inférence hiérarchique de répétitions 139
Rangs moyens
6.5
3.5
2.5
2
6
5.5
5
4.5
4
3
Humain (c) (d) (b) (e) (a) (f)
Fig. 5.11 – Gauche : Résultats pour chaque méthode sur les deux échelles de
description, d’après [EMD + 11]. Droite : Représentation de la performance des
résultats sous la forme d’un test de significativité (TKHSD, voir [Dow08]),
d’après [EMD + 11]. Le cercle rouge représente le groupe de méthodes ne présentant
pas de différence significative.
qu’il n’existe pas de différence significative sur l’efficacité des méthodes en fonction
du style musical. En d’autres termes, le style musical ne semble pas influencer les algorithmes
de segmentation dans leur ensemble. Sur la base de données ST RUCTC,
notre méthode propose en moyenne la meilleure segmentation structurelle. En particulier,
les structures répétitives de morceaux de style classique sont identifiées avec
une F-mesure moyenne de 59%. On peut expliquer ce score élevé par l’importance
de l’information tonale pour les structures répétitives en musique classique.
Le Tableau 5.11-Gauche présente le résultat de la comparaison des segmentations
structurelles estimées avec les deux niveaux d’annotation. Toutes les méthodes
affichent un score significativement plus élevé dans le cas de l’échelle large,
et semblent donc plus adaptées à cette échelle. La dernière ligne du tableau est
obtenue en confrontant pour chaque échelle les deux annotations d’experts. Pour
l’échelle large, par exemple, aux annotations de deux experts correspond une Fmesure
de 72%. Ce résultat met en avant la subjectivité des annotations manuelles
de la structure répétitive.
Malgré l’aspect subjectif des annotations, la Figure 5.11-Droite souligne que le
résultat des systèmes de segmentation structurelle n’atteint pas les performances
humaines. Cette figure est obtenue en réalisant un test de signification statistique
des résultats obtenus (voir [Dow08, EMD + 11]). L’axe des ordonnées est une mesure
de la performance moyenne des algorithmes. Le cercle rouge matérialise un groupe
de trois méthodes, dont celle que nous proposons, qui ne présentent pas de différence
significative entre elles. En revanche, le test indique une différence entre ce groupe
et chacune des autres méthodes.

140 Chapitre 5 : Inférence de structures répétitives
5.3.4.8 Temps d’exécution
Aucune contrainte n’est imposée par l’équipe MIREX sur les temps d’exécution
des algorithmes, ceux-ci étant renseignés à titre indicatif uniquement 1 . Notre
méthode se situe dans un temps d’exécution moyen compris entre 1 et 3 minutes
par morceau sur les bases de données ST RUCTA et ST RUCTB. La base de données
ST RUCTC semble requérir plus de calculs, avec un temps moyen d’environ
6 minutes par morceau pour notre méthode [EMD + 11]. Si les raisons d’une telle
augmentation pour cette dernière base de données ne sont pas explicites, on peut
supposer que la présence de morceaux (notamment de musique classique) de durée
moyenne plus élevée que les autres ensembles de données implique le calcul d’un
nombre de coefficients de programmation dynamique plus important pour notre
méthode.
Il convient de préciser, cependant, que le temps de calcul n’est pas considéré
dans ces travaux comme un facteur critique pour l’estimation d’un ensemble de
structures répétitives, et que de nombreuses techniques d’optimisation peuvent être
envisagées en perspective afin de réduire significativement cette durée d’exécution.
5.3.4.9 Bilan expérimental
Nous avons exposé dans cette section les résultats d’évaluation de notre méthode
sur trois bases de données annotées en les comparant aux autres algorithmes de l’état
de l’art. Les nombreux tests présentés dans cette section soulignent la difficulté
d’évaluation de segmentations structurelles sous la forme de séquences.
Les frontières des segmentations structurelles identifiées par notre méthode
semblent relativement peu précises par rapport à l’état de l’art. Nous identifions
deux raisons majeures pour ce manque de précision : un niveau de description de
l’estimation souvent différent de l’annotation dans la hiérarchie structurelle, et une
limitation de la pertinence de la structuration tonale pour certains morceaux. Malgré
cette limitation, les résultats d’évaluation des motifs identifiés indiquent que
notre méthode produit des résultats similaires aux meilleurs des algorithmes testés,
notamment par rapport à la base d’annotations ST RUCTC.
1. Voir http://www.music-ir.org/mirex/wiki/2010:Runtime (accédé en décembre 2012).

5.4 Conclusion du chapitre 141
5.4 Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons étudié le problème de l’inférence de structures
répétitives depuis l’audio. Nous l’avons d’abord défini tel qu’il est traité dans la
littérature, sous la forme de la recherche d’une segmentation structurelle. Nous
avons exposé les travaux existants et justifié la nécessité de considérer un modèle
différent, permettant de prendre en compte des relations hiérarchiques.
Nous avons proposé notre propre formalisation du problème sous la forme de
l’inférence d’une hiérarchie de structures répétitives. Nous avons détaillé un algorithme
permettant d’identifier une telle hiérarchie en se basant sur une théorie
musicale bien-fondée. Nous avons enfin présenté une série d’évaluation des résultats
de l’inférence structurelle selon des principes d’évaluation standardisés.
Bien que notre algorithme s’appuie sur un modèle hiérarchique, l’application de
notre méthode pour l’inférence de segmentations structurelles fournit des résultats
comparables à l’état de l’art. Malgré une certaine imprécision sur les frontières
entre motifs identifiés, les tests suggèrent une position crédible de notre méthode
par rapport aux algorithmes de segmentation structurelle de la littérature.
Ce résultat doit cependant être modéré par le caractère subjectif et mal défini des
annotations structurelles. De plus, l’évaluation d’inférences hiérarchiques n’étant
pas définie, les résultats de notre algorithme n’ont été évalués que partiellement.
Ces deux points forment une perspective majeure de nos travaux : construire une
méthodologie d’évaluation et d’annotation de hiérarchies structurelles.

Conclusion et perspectives
Cette thèse décrit un ensemble de travaux autour du problème de l’inférence
de structures répétitives à partir du contenu musical. Notre approche a suivi une
démarche par étapes successives depuis l’étude de la similarité musicale jusqu’à
l’inférence de structures répétitives.
Dans un premier temps, nous avons spécifié dans le Chapitre 1 la notion de
structure répétitive dans la musique et justifié notre choix de représentation de
l’information musicale sous une forme séquentielle, tout en exposant les enjeux
majeurs d’efficacité et de mise en pratique des méthodes que nous proposons.
Nous avons présenté dans le Chapitre 2 un ensemble d’outils mathématiques
permettant de représenter le signal audio sous la forme d’une séquence de symboles
caractérisant l’information tonale, en justifiant ce choix par sa prépondérance dans
la structuration répétitive de la musique.
Nous avons alors défini en Chapitre 3 un formalisme pour l’alignement entre
séquences symboliques, que nous avons appliqué dans le cadre d’un système d’estimation
de la similarité musicale. Nous avons étudié une solution permettant de
réduire significativement le coût calculatoire de ce système afin de rendre possible
son utilisation en pratique sur des bases de données de l’ordre de celles accessibles
au grand public.
Nous avons introduit dans le Chapitre 4 plusieurs types de répétitions dans
les œuvres musicales, et nous avons proposé des algorithmes d’identification de
telles répétitions à partir des outils d’estimation de similarité. Ces méthodes ont
été évaluées en comparant les résultats obtenus à des éléments de la perception
musicale.
Nous avons étudié dans le Chapitre 5 le problème d’inférence de structures
répétitives de morceaux de musique. Après le constat d’une définition insuffisante
du problème dans la littérature, nous avons proposé une formalisation de celui-ci et
avons détaillé un algorithme d’inférence permettant d’identifier une hiérarchie de
structures répétitives. Ce dernier a été confronté à l’état de l’art en comparant les
résultats avec des annotations perceptives de la structuration musicale.
6.1 Résultats majeurs et contributions
Cette thèse est d’abord une contribution à la recherche en information musicale
dédiée aux notions de similarité musicale, de répétition et d’analyse de la structuration
des morceaux de musique. Ces travaux s’appuient sur une approche algorithmique,
généralisant des techniques développées dans le cadre de comparaisons de
séquences biologiques.
Nos expériences mettent en évidence que ces techniques permettent d’estimer
de manière précise la similarité musicale, notamment dans le cadre du problème
de l’identification des reprises. Nous proposons [MBHF12] alors une méthode permettant
de résoudre ce problème de manière efficace en adaptant une technique
de recherche par l’application de filtres heuristiques successifs. Nous évaluons notre
solution sur plusieurs bases de données audio musicales et mettons en évidence une
perte d’environ un tiers de la précision du système tout en proposant un gain sub-

144 Conclusion et perspectives
stantiel sur le temps de calcul, avec une identification évaluée comme environ 400
fois plus rapide en pratique sur notre jeu de données. Ce résultat suggère qu’estimer
la similarité musicale approchée à partir d’heuristiques sur de courtes similitudes
locales est une approche prometteuse pour l’analyse efficace de bases de données
musicales conséquentes.
Nous présentons ensuite l’utilisation de ces techniques de similarité musicale afin
d’identifier des répétitions particulières dans les morceaux de musique.
En premier lieu, nous étudions le cas de la meilleure répétition d’un extrait
musical donné dans un morceau. Nous proposons [MHT + 11] alors une méthode de
reconstruction de données manquantes qui décrit une solution au problème dans
un cadre applicatif particulier. À l’issue d’une évaluation par un ensemble de tests
perceptifs, nous mettons en valeur la qualité de la méthode au sens de la perception.
Ce résultat peut être vu comme la première approche d’un problème plus général
de modification d’un morceau de musique en tenant compte de ses répétitions.
En second lieu, nous définissons une répétition particulière, appelée répétition
majeure, et nous décrivons un algorithme permettant de l’identifier. Nous montrons
[MHRF11a] alors que cette structure répétitive particulière correspond à une
structuration perçue dans la musique.
Nous proposons [MHRF11b] en outre une utilisation de cette répétition majeure
comme alternative à l’amélioration calculatoire de l’estimation de la similarité musicale.
Dans le cadre de la recherche de reprises, nous montrons ainsi que la répétition
majeure permet de conserver une précision élevée pour l’identification des reprises,
avec une perte d’environ 10% de la précision du système, tout en proposant un gain
d’un facteur 8 environ sur le temps de calcul pratique. Cette évaluation montre
donc que l’identification automatique de reprises peut être effectuée à partir d’une
simple partie des signaux.
Nous introduisons notre propre formalisation du problème de structuration de
la musique sous une forme hiérarchique, et nous proposons [MHR + 10] un algorithme
d’inférence de structuration des répétitions. Nous montrons sur quelques
exemples que notre algorithme est capable d’identifier des arbres de descriptions
structurelles correspondant à des règles de compositions musicales bien-fondées. De
plus, nous présentons une évaluation de notre algorithme par rapport à l’état de
l’art qui témoigne de résultats prometteurs de notre technique pour la détection
de segmentations structurelles. Ces résultats soulignent ainsi la pertinence de notre
méthode à la fois pour répondre au problème existant d’analyse structurelle, mais
aussi pour l’identification d’une structuration hiérarchique de la musique.

Conclusion et perspectives 145
6.2 Perspectives
Les travaux décrits dans ce document couvrent plusieurs études successives qui
suggèrent chacune de nombreuses perspectives. Dans la suite, nous décrivons les
principaux axes de recherches futures en indiquant, le cas échéant, les résultats
préliminaires associés à chacun d’entre eux.
Amélioration du calcul de similarité musicale
Le Chapitre 2 décrit une méthode de représentation de la musique sous la forme
de séquences tonales. Nous justifions ce choix dans le cadre de cette thèse par une
volonté de circonscrire le problème et de l’étudier sur un unique critère musical.
La littérature en analyse structurelle [PMK10] suggère néanmoins que l’utilisation
combinée de différents descripteurs audio peut être bénéfique, notamment à la détection
des frontières structurelles. L’utilisation d’un autre critère tel que l’information
timbrale ou rythmique, conjointement à l’information tonale, constitue donc
une perspective de ces travaux. Pour la combinaison des critères, une technique
peut consister à définir pour la similarité locale un schéma de scores de pondération
prenant en compte les symboles de deux séquences, chacune représentant un critère
musical distinct.
Plusieurs améliorations des outils de comparaison présentés en Chapitre 3 sont
envisageables. D’abord, il est nécessaire d’étudier l’impact de la prise en compte
d’opérations d’édition supplémentaires, qui permettent de traduire des correspondances
musicales particulières. Par exemple, on peut considérer l’introduction des
opérations de fragmentation et de consolidation telles que définies par Mongeau
et Sankoff [MS90] dans le cadre de représentations musicales symboliques, ou encore
les opérations de compression et expansion dans le cadre de représentations
audio [KL99]. De telles opérations permettent de donner une signification musicale
plus forte à la comparaison séquentielle calculée, en améliorant par exemple la
robustesse de l’estimation de similarité face à des variations locales de tempo. Le
gain en précision des comparaisons à effectuer reste donc à démontrer. La définition
des scores de pondération peut également être améliorée afin de correspondre
au contenu musical comparé. Par exemple, notre formalisation introduit des coûts
d’insertion, de substitution ou encore de transposition constants. Les travaux futurs
peuvent se concentrer sur l’étude de fonctions de coûts affines voire plus complexes,
ou encore de coûts de transposition dépendant de l’ampleur des décalages locaux
effectués.
L’étude d’indexation BLAST présentée en Chapitre 3 est à notre connaissance
la première approche de cette méthode heuristique pour indexer l’audio musical.
En conséquence, elle débouche sur un ensemble de perspectives faisant écho à des
travaux de comparaison de séquences biologiques qui définissent des raffinements
des heuristiques effectuées par BLAST. En particulier, nos premiers tests indiquent
qu’il semble judicieux de considérer des graines espacées [MTL02] afin d’augmenter
la sensibilité de la détection ; toutefois, la disposition optimale et le nombre d’espaces
idéal dans les graines restent des facteurs à déterminer. Une autre perspective
consiste à utiliser des graines de taille variable [Csű04] afin d’indexer l’espace de

146 Conclusion et perspectives
recherche en ne considérant que les transitions musicales les plus significatives d’un
morceau de musique.
Reconstruction audio avancée
La méthode de reconstruction de données manquantes présentée en Chapitre 4
est un autre axe majeur de travaux futurs et en cours. En particulier, il semble
intéressant d’étendre la reconstruction en permettant qu’un extrait manquant soit
reconstruit par un ensemble de courts extraits placés en série. Nous avons publié
dans [BJM12] une première modélisation de cette alternative en utilisant une algèbre
spécifique pour la combinaison de plusieurs extraits musicaux. Un algorithme
d’optimisation du choix des extraits utilisés pour la reconstruction reste alors à
définir.
Le système de reconstruction peut également être adapté pour une application
en temps réel. Dans ce cas, on suppose que le contenu audio est reçu de manière progressive
(on parle alors de flux entrant) et que l’on n’a connaissance à chaque instant
que d’une partie du signal. Le problème consiste à poursuivre la lecture de son en
cas d’incohérence musicale sur le flux entrant (rupture de flux), en générant un signal
espéré [Hur06] et garantissant une certaine continuité musicale [Con08, Pac02].
Notre étude préliminaire de ce problème suggère qu’il est possible d’utiliser le résultat
d’un alignement local optimal pour identifier le meilleur segment, permettant
ainsi de générer une suite perceptivement cohérente, à l’image de [Jeh05a]. Une
première implémentation montre que la méthode semble être robuste au passage
au temps réel dans une certaine limite sur la durée de signal reçu. La formalisation
précise de cette solution et son évaluation perceptive restent à établir.
Analyse de structures répétitives spécifiques
Outre les répétitions présentées dans le Chapitre 4, plusieurs structurations spécifiques
proches de celles étudiées n’ont pas été formalisées dans cette thèse, et leur
étude approfondie est laissée en perspective. En particulier, on peut s’intéresser au
problème de détection de la “meilleure répétition” d’une taille fixée, ou encore définir
les problèmes d’identification de structures répétitives en relâchant la contrainte
de disjonction, afin de prendre en compte certaines formes musicales particulières
(telles que les fugues).
Le Chapitre 5 décrit l’inférence de structures répétitives sans a priori. Néanmoins,
le problème de l’inférence d’une forme musicale peut être défini avec un
ensemble d’hypothèses sur les morceaux comparés. En particulier, une étude a été
commencée sur un ensemble de morceaux à la forme strophique, ou stanzas, qui désignent
des pièces constituées de répétitions multiples d’un seul et unique motif. Les
séquences représentatives possèdent alors une propriété dite de cyclicité, étudiée en
algorithmique du texte (voir par exemple [GT96, CLS + 06]). Les premières évaluations
de l’inférence de formes strophiques ont été menées sur un corpus de chansons
traditionnelles néerlandaises 1 , et semblent produire des résultats prometteurs au
vu des études existantes [MGW09, BM12, MG12].
1. http://www.liederenbank.nl

Conclusion et perspectives 147
Amélioration du modèle hiérarchique
Le modèle hiérarchique introduit en Chapitre 5 fait l’objet de nombreux travaux
en cours. Notre modèle semble présenter des limitations sur certains morceaux. Il
est donc nécessaire de caractériser plus précisément l’aspect hiérarchique des structures
musicales, et de déterminer l’ensemble des œuvres concernées par une telle
représentation.
En outre, il semble important dans le cadre de travaux futurs de pouvoir évaluer
la validité de l’ensemble de la hiérarchie identifiée, et donc de disposer d’une vérité
terrain arborescente. Une solution envisagée consiste à considérer des arborescences
d’harmonies, tels que définies par exemple par [Roc11] ou [MdH11].
Afin de comparer deux hiérarchies, il convient de définir une métrique spécifique
permettant d’estimer la similarité entre les motifs estimés et les motifs annotés malgré
des différences de niveaux hiérarchiques. Un point de départ d’une telle métrique
est suggéré par Chai dans [Cha05, 58–62], même si la comparaison est effectuée à
partir de séquences et non d’une hiérarchie complète.
Enfin, si l’évaluation du système d’inférence de structures répétitives met en
avant sa bonne précision par rapport à l’état de l’art, la considération de la seule
structure tonale répétitive impose une limitation aux résultats. Dans le cas où les
similarités et dissimilarités entre motifs structurels sont liées à des critères autres
que la répétition ou l’information tonale, il est nécessaire de combiner notre approche
avec une vue complémentaire de la structure musicale prenant en compte
ces critères. Une telle combinaison devra faire l’objet d’une étude approfondie afin
de tenter de réunir les qualités de plusieurs approches parmi les nombreuses techniques
existantes pour l’analyse des répétitions musicales.

Publications
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