INTRODUCTION

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f A INTRODUCTION
L'ANALYSE INFINITESIMALE,
PAR LÉONARD EULER;
Traduice du latín en francais, avec des Notes & des ÉclairciíTements,
PAR J. B. L A B E Y,
c
Profefléuc de Mathématiques aüx Écoles Centrales du Départemenc de la Seine.
TOME PREMIER.
A P A R I S,
Chez BARROIS, aíné, Libraire, rué de Savoye, n° 23.
Z,'Í4A Quatfieme de ¿a Républíque Fran$aife. ( 17p 5.)
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A BONAPARTE,
C I T O Y E N GENERAL,
Cejl moins au jeune Héros qui a conquis Challe
& pacifié le Continent , quau Philofophe ami &
protetleur éclalré des Sciences & des Arts, quej'adrejfe
cene Tradu&ion. Le goüt des Mathématiques, que j'ai
été a portee de reconnoítre en vous dans un age moins
avancé, & que vous ave^ conjervé au milieu des travaux
glotieux qui ajjurent d votre nom l'immortalité', m'a
paru un titre fufffant pour vous en faire l'hommage.
En l'agréant, vous mette^ le comble a mes voeux„
EuLER, Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. a

i
•
puifque vous moffre\ theureufe occajion de vous exprimer
a la fois les fentimens de ma reconnoiffance, & ceux
d!admiration que je partage avec toute L'Europe.
:JX'J[.' I ifLiuíJ.u'.,.' i :
L A B E Y.
AVIS.
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AVIS.
O N paroiíToit déíirer, il y a long-temps, une Traducción
complette de l'Xntroduétion á l'Analyíe
infinkéílmale d'EuLER , tant a caufe de la difficulté de
fe procurer cet Ouvrage devenu rare depuis plufieurs
années, que parce que beaucoup de jeunesGens qui fe
livrent á letude des Mathématiques, n'entendent pas
la langue dans laquelle il a été écrit. Je défire, en
pubiiant aujourd'hui cette Traducción, avoir rempli
Tattente & le vceu du Public. Au moins n ai-je rien
négligé pour la rendre la plus claire poflible, & la
mettre a la portee de ceux méme qui ne íauroient que
les Éléments ordinaires d'Algebre. Ceft dans cette vue
que j'ai ajouté quelques éclairciílements & quelques
notes íur différents endroits de l'Ouvrage, foit pour en
faciliter l'intelligence, foit pour fuppléer á des démonf
trations, que l'Auteur renvoie quelquefois au Calcul
differentiel. Ces notes, étant pour la plupart de fimples
explications, qui ne peuvent intéreííér que ceux qui
font moins avances dans la connoiíTance de l'Analyfe,
devoient étre placees naturellement au bas des pages,
oü fe trouvent les arricies, auxquels elles appartiennent;
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¡M-Í AhñW
mais comme les premieres feuilles ont été imprimees,
fans qu'on ait eu cette attention, j'ai été obligé de
renvoyer le tout a la fin de l'Ouvrage.
Si le Public accueille favorablement la Traducción
que je lui préfente aujourd'hui, & manifeíte le defir
d'avoir dans la méme langue les autres Traites du
méme Auteur , qui font la íuite de celui-ci, favoir,
fon Traite de Calcul différentiel, celui de Caled integral,
Sí méme fa Théorie du Mouvement des Corps durs, j'en
pubiierai fucceíTivement la traducción avec des additions
, qui feront connoitre les prcgrés que l'Analyfe
a faits depuis Fépoque oü ees Ouvrages ont para. En
joignant a cette précieufe collecCion la Mécanique
analytique du C. Lagrange & la Mécanique célefte
que le C.Laplace fe propofe de faire bientót imprimera
on aura en francas le corps de DocCrine analytique
le plus complet qui ait para jufqu'ici, & qui reunirá
ce que l'Analyfe orTre de plus ingénieux dans la théoriQ
& de plus fublime dans l'application.
PRÉFACE DE LAUTEUR.
J 'A i vu fouvent que les difficultés, qui arrétent les Commencans,lorfqu'ils
fe livrent á l'étude du Calcul infinitéfimal ,
viennent en trés-grande partie de ce qu'ils veulent s'élever a
la connoiíTance de cette nouvelle branche de l'Analyfe ,
n'ayant encoré qu'une teinture aííez légere de l'Algébre
commune. II arrive de-la que non-feulement ils fe trouvent
arrétés des les premiers pas qu'ils font, mais encoré qu'ils fe
forment des idees fauíTes de l'infini , dont la vraie notion
doit les guider dans leurs opérations & dans l'objet de leurs
recherches. Or quoique l'Analyfe infinitélimale n'exige pas a
la rigueur une connoiíTance approfondie de l'Analyfe ordinaire,
6c de tous les moyens ingénieux qu'on a trouvés jufqu'i
préfent pour la perfe£tionner , on ne peut cependanc
nier qu'il y ait beaucoup de queftions dont le développement
eft propre a préparer les efprits a l'étude de cette
fcience fublime , & qu'on chercheroit en vain dans la plupart
des Traites élémentaires d'Algebre , ou qui, fi elles s'y
trouvent, y font traicées d'une maniere aflez peu exacCe.
Ceft pourquoi je ne doute pas que les matieres que j'ai raffemblées
dans les deux Livres qui compofene cet Ouvrage»
ne fuppléent abondamment a ce défaut. Car non-feulement
j'ai fait enforte de ne rien omettre de ce qu'exige abfolument
l'Analyfe des infinis, & del'expofer avec plus d'étendue
& plus de ciarte qu'on ne le fait ordinairement; mais j'ai de
plus réfolu un aííez bon nombre de queftions , qui mettronc
les Lecteurs a portee de fe familiarifer infenílblement , 8c en
quelque forte contre leur attente avec l'idée de l'infini. J'ai

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vj P R É F A C E
auíli "traite par les méchodes de l'Algébre commune pluíieurs
queftions, qui font ordinairement l'objet de l'Analyfe
infinitéfimale , afín de rendre plus fenfible 8c plus frappanc
l'accord parfait qu'on remarquera dans la fuite entre les deux
méthodes.
J'ai divifé ce Traite en deux Livres. Le premier embrafle
ce qui a rapport a l'Analyfe puré. Dans le fecond je développe
"plufieurs queftions géométriques, dont la connoiíTance
m'a paru néceíTaire ; parce qu'ordinairement en traitant de
l'Analyfe infinitéfimale , on en fait voir en méme temps
l'application á la Géométrie. J'ai fuppofé par-tout Ja connoiíTance
des premiers Éléments ; 8c j'ai cru ne devoir
expliquer dans ees deux Livres que ce qu'on ne trouveroit
pas ailleurs , ou qui du moins y feroit traite d'une maniere ,
qui m'a femblé moins avantageufe, ou bien qui fuppoferoit
des principes difFérents des miens.
Je me fuis fur-tout étendu dans le premier Livre fur les
fonclions de variables, parce qu'elles font l'objet de l'Analyfe
infinitéfimale. J'y ai enfeigné la maniere de les transformer,
de les décompofer, Se de les réduíre en feries infinies.
J'ai faitlenumération de plufieurs efpeces , auxquelles
on doit avoir égard, particulierement dans la haute Analyfe.
Je les ai d'abord divifées en algébriques Si en tranfeendantes.
Les premieres font compofées de quantités variables combinées
entr'elles par les opérations ordinaires de l'Algébre,
8c les fecondes dépendent d'autres opérations, ou des memes
combinaifons que les precedentes , mais répétées une infinité
de fois. La fubdiviíion des fon&ions algébriques , qui
s'oíFre la premiere, eft celle en rationnelles 8¿ en irrationnelles.
Celles-lá peuvent étre décompofées ou en parties
plus fimples , ou en fa&eürs ; j'ai fourni les moyens de Jes
ramener a cet état de fimplicité; &c'eft une opération dont
DE VA V T E U R. vij
le Calcul integral tire un trés-grand fecours. J'ai fait voir
enfuite comment , par des fubftitutions convenables , on
pouvoit donner aux autres une forme rationnelle. Ces efpeces
de fondions peuvent étre converties l'une 8c l'autre
en feries infinies. Les foncCions tranfeendantes font fufeeptibles
de la méme converfion , Se méme on la leur applique
avec le plus grand fuccés. Tout Je monde fait d'ailleurs de
quels progrés la haute Analyfe eft redevable a la doctrine
des feries infinies. Auíli si • je ajouté quelques Chapitres i oü
je me fuis attaché a découvrir les propriétés , Se. a trouver les
fommes de plufieurs feries infinies, dont quelques-unes paroiíToient
de nature a faire croire prefque qu'elles ne pourroient
étre trouvées fans le fecours du Calcul infinitéfimal.
Telles font les feries , dont les fommes font exprimées ou par
les Logarithmes, ou par des ares, de Cercle. Ces fortes de
quantités, qui font tranfeendantes, puifqu'elles font reptéfentées
par la furface de THyperbole ÜC du Cercle , font
partie des matieres qu'on a.coutume de traiter dans l'Analyfe
infinitéfimale. PaíTant enfuite des puiíTances aux quantités
exponentielles , qui font elles-mémes des puiíTances , dont
les expofants font variables , leur développement m'a fourni
une idee fort naturelle 8c \ la fois féconde des Logarithmes ;
d'oü il m'a été facile de conclure leurs difFérents ufages , en
méme temps que j'ai pu en déduire toutes les feries infinies ,
qui repréfentent ordinairement ces quantités; ce qui m'a
donné enfin un moyen tres-expedidf de conftruire les Tables
de Logarithmes. Je me fuis femblablement eonduit dans
l'examen des ares de Cercle ; genre de quantités, qui ,
quoique trés-différent des Logarithmes, leur eft cependant
tellement lié, que lorfqu'une de ees quantités paroít devenir
imaginaire , elle fe change en l'autre. Aprés avoir rappellé
ce que la Géométrie nous apprend fur la valeur des íinus
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viij P R É F A C E
Se des cofinus, tant múltiples que fous-multiples, j'ai tiré de
l'expreífion du íinus ou du cofinus d'un are quelconque celle
du íinus 8c du cofinus d'un are trés-petit Se prefque nul, ce
qui m'a conduit a des feries infinies ; Sí comme un tel are
eft égal á fon finus , tandis que fon cofinus eft égal au rayón ,
j'ai pu, a Taide des feries infinies , comparer un are quelconque
avec fon finus 8c fon cofinus; 8c alors ¡1 s'eft préfenté
naturellement une íl grande variété d'expreílions, foit
finies foit infinies pour ces fortes de quantités , que pour les
connoitre a fond, on pourroit fe difpenfer de recourir au
Calcul infinitesimal. De plus , comme les Logarithmes exigent
un Algorythme particulier , dont l'ufage eft trés-connu
dans toute l'Analyfe ; j'ai ramené de méme les quantités
circulaires a une certaine forme de calcul , qui fait qu'on
peut les employer auíli commodément que les Logarithmes
Se les quantités algébriques méme. II n'eft pas douteux qu'on
en doive retirer le plus grand avantage pour la folution de
queftions trés-difficiles ; on fera a portee d'en juger , en
jettant les yeux fur quelques Chapitres de ce Livre , & c'eft
ce que d'ailleurs il feroit poííible de prouver par plufieurs
eftais tires de l'Analyfe des infinis, s'ils n'étoient pas deja
fuffifamment connus , Se s'ils ne fe multiplioient pas de
jour en jour. Cette recherche m'a été en particulier d'un
grand fecours pour décompofer les fon£tions fra&ionnaires
en facteurs réels. Ce fujet m'a paru mériter quelques détails,
a caufe de fa grande utilité dans le Calcul integral. J'ai
examiné enfuite les feries infinies , qui réfultent du développement
de ces fortes de foncCions , Se qui font connues
fous le nom de feries recurrentes. J'ai donné la maniere de
les fommer , d'en trouver les termes généraux , Se d'en
découvrir plufieurs autres propriétés remarquables; Se comme
je fuis arrivé naturellement a ees réfultats par une limpie
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décompoíition
DE VA UT E UR.
IX
décompoíition en fa&eurs , j'ai voulü voir comment on
pouvoit réciproquement convertir en feries des produits
compofés d'un certaiu nombre, Se méme d'un nombre infini
de facteurs. Ce travail m'a non-feulement mené a la connoiíTance
d'une quantité innombrable de feries , mais ,
parce qu'on pouvoit de cette maniere changer les feries en
produits compofés d'une infinité de facteurs , il m'a de plus
fait trouver des expreflions numériques aíTez commodes , a
l'aide defquelles il eft facile de caltíuler les Logarithmes des
finus , des cofinus Se des tangentes. La méme fource m'a
fourni la folution de plufieurs queftions, qui regardent la
partition des nombres, Se qui fembieroient, fans ce fecours,
étre au-deíTus des forces de l'Analyfe, Cette abondance de;
ñutieres auroit pu facilement fournir plufieurs volumes ;
mais autant qu'il m'a été poííible , j'ai voulu étre concis ,
fans pourtant ceíTer d'étre clair, pour laiíTer a l'induftrie
du Leéieur un champ plus vafte, oii il pourra exercer fes
forces 8c reculer les bornes de l'Analyfe; car je ne crains
pas d'avancer, qu'indépendamment des chofes neuves que
ce Livre renferme , on y trouvera des fources oü peuvent
etre puifées encoré un grand nombre de belles découvertes.
Jai fuivi la méme marche dans le fecond Livre, oii je
traite de ce qui a rapport á la Géométrie des Courbes. Mais ,
avant que de parler des Sedions coniques, qui font ailleurs
prefque l'unique objet de cette branche des Mathématiques,
j'ai donné une théorie des Courbes en general, qu'on puc
employer utilement pour en connoitre la nature. Je n'ai eu
befoin pour cela que de I'équation de la Courbe , qui m'a
lerv, á en. déterminer la figure , Se á en déduire les principales
propriétés. Je crois avoir entiérement rempli mon
but , fur-rout dans les Sedions coniques , qui jufqu'ici
avoteat été traitées par ¡la feule Géométrie, ou quelquefois
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x P R É F A C E
par l'Analyfe, mais d'une maniere trop imparfaite 8¿ moins
ñaturelle. Aiuíi aprés avoir déduit de l'équation genérale
des Iignes du fecond ordre leurs propriétés genérales , j'ai
fous-divifé ces Iignes en genres ou efpeces, examinant íi
elles avoient des branches infinies, ou íi la courbe entiere
étoit renfermée dans un efpace fini. Mais dans íe premier
cas, il falloit encoré avoir égard au hombre 8c a la nature
de leurs branches , 8c s'aíTurer íi elles avoient des afymptotes
redilignes ou non. J'ai obtenu de cette maniere les trois
efpeces connues de Sedions coniques. La premiere eft
l'ellypfe qui eft renfermée toute entiere dans un efpace fini;
la íeconde eft Phyperbole, dont les quatre branches s'éloignent
á l'infini en s'approchant de plus en plus de deux
Iignes droites; Se la troifieme efpece eft la parabole compofée
de deux branches infinies fans afymptotes. Je me fuis
conduit d'une maniere femblable á l'égard des Iignes du
troifieme ordre. Aprés en avoir expofé les propriétés genérales,
je les ai divifées en feize genres, auxquels j'ai rapporté
les foixante-douze efpeces dé ÑEVTON; j'ai expofé ma
fnéthode avec tant de ciarte qu'on pourroit, par fon moyen ,
divifer fans aucune peine toutes les ligne"s en genres, en
paíTant fucceflivément d'un ordre au fuivant. J en ai fait
TeíTai pour les Iignes du quatrieme ordre. Aprés avoir fini
ee que j'avois á diré fur les ordEes des Iignes, }e retourne k
la recherche des affedions genérales de toutes les Iignes.
J'explique la méthode de trouver les tangentes des Courbes,
leurs normales 8c leur courbure , qui s'eftime ordinairement
par la grandeur du rayón oículateur : quoique ces
recherches paroilfent a préfent du reíTort du Calcul différentiel,
j'ai cru cependant utile de m'en oceuper ici fans
émprunter d'autres fecours , que celüi de FAlgébre commune
, pour faciliter d'autant plus dans la fuite le paflage
D E VA V T E U R. ^ xj
de l'Analyfe fies quaptités fiares a ¿elle des quantités injfinies.
Je me fuis aufli arrété a l'examen des points d'inflexion,
des points de rebrouíTement, des points doubles ,
pu múltiples des Courbes, Se j'ai enfeigné la maniere de
déduire facilement ees points /inguliers des équations
memes. J'avoue cependant qu'il eft beaucoup plus facile de
réfoudre ces problémes par le moyen du Calcul différentiel.
J'ai encoré agité la [queftion du point de rebrouíTement de
Ja feconde efpece t x»u deux ares , qui fe terminent en
pointe , tournent leur convexité du méme cote ; Se il rae
femblé l'avoir traitée aíTez a fond pour ne laiíTer plus aucun
doute fur cet objet. Enfiu j'ai ajouté quelques Chapitres, qui
.appnennent á tr©uyer-des Courbes, qui font douées de propriétés
particulieres 8c données ; 8c j'ai ;te,rnlifté le fecond
Livre par la folution de plufieurs problémes relatifs a. certaines
fedions du Cercle. Aprés avoir ainíi parcouru les
diíFérents objets de Géométrie plañe , dont la connoiíTance
m'a paru utile pour faciliter l'étude de l'Analyfe infinitéfimale
, j'ai ajouté en forme d'Appendice une théorie analytique
des folides Se de Jeur furface , 8c j'ai fait voir comment
on pouvoit exprimer la nature d'une furface quelconque
á l'aide d'une équation entre trois variables. Enfuite ,
aprés avoir claíTé les furfaces á la maniere des Iignes courbes
fuivant le nombre de dimenfions, que forment les variables
dans l'équation , j'ai fait voir que la feule fuperficie plañe
appartenoit au premier ordre. Quant aux furfaces du fecond
ordre, je les ai divifées en íix efpeces , eu égard a leurs
parties , qui s'étendent a l'infini. On pourra continuer une
divifion femblable pour les ordres ultérieurs.. J'ai coníidéré
auíli les interfedions que forment entr'elles deux furfaces; Se
comme elles donnent le plus fouvent des Courbes, qui ne font
pas fituées dans un méme plan , j'ai indiqué la maniere de
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xij PREFACE DE VAUTEUR.
fes repréfenter par des équations. Enfin j'ai determiné la
pofition des phns tangents, 8c eelle des droites , qui font
perpendiculaires aux furfaces.
Au refte, comme une grande partie de ces objets a deja
été traitée, j*aurois k m'excufer de n'avoir pas toujours fait
mention honorable de ceux qui m'ont precede dans ce méme
genre de travail; mais outre que j'ai voulu me reílerrer dans
l'efpace le plus étroit poííible, le détail hiftorique de chaqué
probléme m'auroit mené trop loin, Se auroit groíli conlidérablement
ce Traite. Cependant , comme la plupart des
queftions, qui ont deja été réfolues ailleurs, doivent ici leur
folution a d'autres principes, je ferois en droit d'en révendiquer
une bonne partie. Quoi qu'il en foit , j'efpere
que ces difFérents' objets , 8c particuliérement ceux qui par-oiflent
ici pour la premiere fois, feront quelque plaifir a
ceux qui aiment ce genre d'émde.
TABLE DES CHAPITRES
V-i H A P. I.
CHAP. II.
CHAÍ, III.
CHAP. IV.
CHAP. V.
CHAP. VI.
CHAP. VIL
CHAP. VIII.
CHAP. IX.
CHAP. X.
CHAP.. XI.
CHAP. XII.
du Tome premier.
Xlt]
Des Fonclions en general, Pag. i
De la. transformación des Fonclions, 14
De la transformation des Fonclions par
fubflitution, > 3 j ^
Du développement des Fonclions en Series
infinies ,
Des Fonclions de deux ou plufieurs variables
,
Des Quantités exponentielles & des Logarithmes,
Du développement des Quantités exponentielles
& logarithmiques en Series ,
Des Quantités tranfeendantes qui naijfent
du cercle,
De la rechercke des Facleurs trinomes, 106
De l'ufage des Facleurs trouvés auparavant
pour la fommation des Series infinies 3 n6-
Des autres expreffions infinies des Ares &
des Sinus y_ !¿r
Du développement red des Fonclions
fradionnaires, j 5

ií*l
xiv TABLE DES CHAPITRES.
CHAP. XIII. Des Series recurrentes, Pag. 1¿8
CHAP. XIV. Déla Multiplicación & de la Divifion
des Angles, 187
CHAP.
CHAP.
CHAP.
X V. Des Series réfultantes du développement
des Facleurs , 106
XVI. De la Partition des Nombres, 2 34
XVII. De l'ufage des Series recurrentes dans
la rechercke des rocines des Équations
3
157
CHAP. XVIII. Des Fraclions continúes, 277
NOTES 8C ÉCLAIRCISSEMENTS, 3°5
Fin de la Table des Chapitres du Tome premier.
ERRATA du Tome premier,
P A G E 10, lig. 26, au litu de i, mtttt[ Z
P.18, 1.13 . m lleude +

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P. 103, lis. ia,

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% D E S FONCTX. O N S
{ •articulier, les unes étant confidérées comme conftantes, &
es autres comme variables.
i. Une quantité variable eft une quantité indéterminée, ou3
fi fon veut, une quantité univerfelle , qui comprend toutes les
valeurs déterminées.
Une valeur déterminée quelconque pouvant étre exprimée
en nombre, il s'enfuit qu'une quantité variable comprend
tous les nombres de quelque nature qVils foient. II en eft de
la quantité variable, comme du genre Se de l'efpece á l'égard
des individus ; on peut la concevoir comme embrallant
toutes les quantités déterminées. Au refte , on a coutume
de repréfenter les quantités variables par les dernieres lettres
de l'Alphabet %, y, x, Scc.
3. Une quantité variable devient déterminée, lorfquon lui
attribue une valeur déterminée quelconque.
Elle peut done le devenir d'une infinité de manieres , puifqu'on
peut lui fubftituer tous les nombres imaginables. La
fignification d'une quantité variable ne peut étre cenfée
épaifée, qu'autant qu'on aura conc.u en fa place toutes les
valeurs déterminées. Ainfi une relie quantité comprend
tous les nombres tant pofitifs que négatifs , les nombres
entiers & fra£fci©nnaires, ceux qui font rarionnels , irrationmels
Se tranfeendants ; on nedoitpas méme en exclure zéro ,
ni les nombres imaginaires.
4. Une fonclion de quantité variable eft une expreffion ana/yaque
compofée, de quelque maniere que ce foit 3 de cette méme
quantité & de nombres , ou de quantités conftantes.
Ainfi toute expreíTion analytique , qui outre la variable
? contiendra des quantités conftantes, eft une fonction de \.
Par exemple , a -+- yj£r; a\ — ¿r\\i a\-\- bVaa — ^-{¡
el ¡ Scc , font des fonclions de ^.
5. Une fonclion de variable eft done aujfi une quantité
variable.
En effet, comme on peut mettre a la placede la variable
toutes les valeurs déterminées, la fonclion recevra elle-méme
EN GENERAL. 3
une infinité de valeurs, Se il eft impoífible d'en concevoir
aucune, dont elle ne foit fufceptible, puifque la variable
comprend méme les valeurs imaginaires. Par exemple ,
quoique cette fon&ion V{y—\\} ne puiíle donner un
nombre plus grand que 3, tant qu'on mettra des nombres
réels a. la place de \ ; cependant 3 en introduiíant pour ^ des
nombres imaginaires, tels que 5 V— 1 , il n'eft pas poííible
d'afligner une valeur" déterminée, qui ne puifle étre déduite
• de la formule V ( 9 — \\). Au refte , il n'eft pas rare de
rencontrer des expreflions qui ne font que des fonclions
apparentes ; car , quelque valeur qu'on donne a la variable ,
elles confervent toujours la méme valeur, comme ^° ; ií;
"^ ; . Ces expreflions, fous la forme apparente de fonclions
de variables, font réellement des quantités conftantes.
6. La principóle différence des fonclions confifte dans la
combinaifon de la variable & des quantités conftantes 3 qui les
ferment.
Elle dépend done des opérations par lefquelles les quantités
peuvent étre compofées Se combinées entr'elles. Ces
opérations fonc l'Addition & la Souftracüon ; la Multiplication
& laDiviíion ; TElévation aux PuiíTances & l'Extracüon
des Racines; a. quoi il faut ajouter encoré la Réfolution
des Équations. Ou re ces opérations,qu'on appelle algébriques,
il y en a plufieurs autres qu'on nomme tranfeendantes :
comme les exponencielles, les logarithmiques , & d'autres
fans nombre , que le Calcul Integral fait connoitre.
Diftinguons cependant certaines efpeces de fonclions ;
favoir, les Múltiples i%; 3 1; {^;a^,&c. Se les PuiíTances de^;
comme 1*; %*; l*i% '; Scc, quantités formées par une
feule opération, Se qui, comme celles qui réfultent de la
combinaifon de plufieur.s, ne laiflent pas de porter de méme
le nom de fonclions.
7. Les fonclions fe divifent en algébriques & en tranfeendantes
i les premieres font formées par des opérations algébriques
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4 D E S F O N C T I O N S
feulement, & les dernieres fuppofent pour leur formatioñ des
opérations tranfeendantes.
Les múltiples & les puiíTances de \ font done des fonctions
algébriques , ainfi que toutes les expreflions, qui n'admettent
que les opérations algébriques , dont nous avons
parlé ; telle eft la quantité -^-^— l ~ c [ 2 } ~ ttJ . Souvenc
t ' i aa^ — 3^^
Jes foncüons algébriques ne peuvent étre repréfentées explicitement;
telle feroit la fonclion Z de%, íi elle étoit exprimée
par l'équation Z s = a%% Z 5 — b^* Z 1 H- c\* Z — i.
Car, quoique cette équation ne puiíle étre réfolue , il n'en
eft pas moins certain que Z eft égal á une expreflion compofée
de Ja variable \ Se de conftantes, & que par conféquent
Z eft une fonclion quelconque de ^. Pour avoir une rbnction
tranfeendante , il ne fifEt pas qu'il entre dans ion expreflion
une opération tranfeendante, il faut de plus qu'elle
affecle la variable ; car íi elle n'affecloit que des conftantes,
la fonclion n'en feroit pas moins ceníee algébrique. Par
exemple, fi c défigne la circonférence d'un cercle , dont le
rayón = i, la quantité c fera bien une quantité tranfeendante
; cependant ces expreflions c-^-%; c\ z ; 4^ c , &c.
feront des fonclions algébriques de \. Car il importe peu de'
favoir fi ees fortes d'expreílions \ c doivent étre mifes au
nombre des fonclions algébriques ou non. II y a aufli des
Géométres qui ont mieux aimé donner aux puiíTances
de \, dont Jes expofans étoient des nombres irrationnels,
comme z*' a , le nom de fonclions interfeendantes, que celui
de fonclions algébriques.
8. Les fonclions algébriques fe fubdivifent en rationnelles &
en irrationnelles. Dan- les dernieres la variable eft ajfeciée de
radicaux , & dans les premieres elle n'en eft poim ajfeciée.
Par conféquent, les fonclions rationnelles n'admettent pas
d'autres opérations óue l'Addition , la Souftraclion , la
Multiplicaron , la Divifion Se l'Elévation aux PuiíTances ,
dont les expofans font des nombres entiers; ainfi , les quan-.
INGENÉR.AL. 5
c J
títés a •+- 1; a — ^ ; a •{ ; —^ ^ ,a^
s
— b$ , Sec. /ont
des fonclions rationnelles de \; mais ces expreflions V \i
en feront des fonclions irrationnelles.
Cellcs-ci fe divifent commodément en explicites & en implicites.
Les explicites font développées au moyen des radicaux;
nous en avons donné des exemples , Se les implicites dépendent
de la réfolution des équations. Ainfi Z fera une fonction
irrationnelle implicite de 7, fi elle eft repréfentée par
cette équation Z 7 = a ^Z 1 — b^ s . En eflet ,on ne peut en
tirer la valeur explicite de Z, méme en admettant les Iignes
radicaux , par la raifon que l'Algébre n'eft pas encoré parvenue
ÍL ce degré de perfeclion.
9. Les fonclions rationnelles enfin, fe divifent en entieres 0
en fraclionnaires.
Dans celles-lá, il n'entre aucune puiftance négative de la
variable \ , ni aucunes fraclions qui renferment cette variable
dans leurs dénominareurs; d'oii il fuit que Jes fonctions
fraclionnaires font celles qui ont des dénominateurs
affeclés de Ja variable ^, ou dans lefquelles fe rencontrent des
expofans négatifs de cette méme variable. Ainfi la formule
genérale des fonclions entieres fera a + ^ + q' *+. ¿j?*
"t" * * 4 "t"-A S ~*~ & ^- Car on ne peut imaginer aucune fonction
entiere de %, qui ne foit renfermée dans cette expreflion.
Quant aux fonclions fraclionnaires , comme plufieurs fractions
peuvent toujours étre réduites a une feule, elles feront
compnfes dans la formule
•4- hK + ^ + ¿^1 + «**•+- /V H-«fc.
«í «'Y-*- *\* -t- Kv H-&C..
Remarquez ici que les quantités confiantes a,b,c,d, Scc.
«» C, 7, t, Sec. foit qu'on les fuppofe pofitives ou négatives ,
entieres ou fraclionnaires , rationnelles ou irrationnelles , ¿

w
6 D E S F O N C T I O N S
méme tranfeendantes , ne changent point la nature des
fonclions.
i o. II faut enfuite remarquer principalement la divifion des_
fonclions en uniformes & en multiformes.
La fonclion uniforme eft celle qui n'obtient qu'une feule
valeur déterminée , quelque valeur dérerminée qu'on donne
á la variable r. La fonclion multiforme eft celle qui, pour
chaqué valeur dérerminée qu on met a la place de la variable
, donne plufieurs valeurs déterminées. Toutes les fonctions
rationnelles foit entieres , foit fraclionnaires , font des
fonclions uniformes , parce que ces fortes d'expreílions ,
quelque foit le nombre qu'on fubftitue á la variable, n'obtiennent
qu'une feule valeur; mais les fonclions irrationnelles
font toutes multiformes, a caufe de fambiguité des
iignes radicaux, Se de la double valeur qu'ils indiquent. II y
a aufli parmi les fonclions tranfeendantes des fonclions
uniformes Se multiformes, on peut méme admettre des fonctions
infinitiformes; tel feroit l'arc de cercle qui répondroit
au finus i, car il y a une infinité d'arcs circulaires qui ont
tous Je méme íinus. Dans ce qui fuic nous fuppoferons que les
lettres P Q R, S yT, Scc. repréfentent chacune des fonc- '
tions uniformes de ^.
n. Une fonclion biforme eft celle qui, par la fubftitution
¿une valeur déterminée de z , recoit deux valeurs.
Tel les font les fonclions déíignées par les racines quarrées,
comme V (i \ -+- \\) i car > quelque nombre qu'on fubftitue
á r, on obtiendra pour lexpreffion V{ **•+•*•*) deux valeurs
, Tune pofitive, l'autre négative. En general, Z fera
une fonclion biforme de ^, fi cette quantité eft déterminée
par l'équation du fecond degré Z'-PZ -4- Q = o; PSc Q
étant des fonclions uniformes de £ En eífet, Z = \ P
4- V í i P 1 Q)'y d ' ou ^ ^ uit ^ u '^ chac l ue valeur déterminée
de \, répondent deux valeurs déterminées deZ; mais
il faut remarquer que l'une'& l'autre valeur de Z eft a la
fois reelle ou imaginaire. D'ailleurs on fait par la théone
!N GENERAL. J
des équations , que leur fomme = P , Sz que leur produit
» Q.
íi. Une fonclion triforme eft celle qui, pour chaqué valeur
de z, recoit trois valeurs déterminées.
Ces fonclions dépendent de la réfolution des équations du
troifieme degré En efTer fi P, Q Se R font des fonclions
uniformes , Se qu'on ait l'équation Z 3 — PZ 1 -+- Q Z —-
R = o , Z fera une fonclion triforme de^, puifque Z recoit
trois valeurs déterminées pour chaqué nombre qu'on fubftitue
á £. Ces trois valeurs de Z feront ou toutes trois réelles.,
ou l'une feulement fera réelle Se les deux autres imaginaires.
Au refte leur fomme =» P, celle de leurs produits deux á deux
c=s Q, Se le produit des trois = R.
13. Une fonclion quadriforme de z eft celle qui, pour une
valeur de cette variable, eft-Jufceptibie de quatre valeurs déterminées.
Elle eft renfermée dans la réfolution des équations du quatrieme
degré. Car, ü. P, Q, R Se S déíignant , comme cidelTus,
des fonclions uniformes, on a l'équation Z 4 — PZ i
"+" QZ % — RZ -+- S =0 , Z fera une fonclion quadriforme
de %; chaqué valeur de ^ donnant pour Z quatre valeurs
dérerminées. Or ces quatre valeurs feront toutes réelles,
ou deux feront réelles Se deux imaginaires , ou elles feront
toutes quatre imaginaires; mais leur fomme = P; la fomme
de leurs produirs deux á deux = Q ; celle de leurs produits
trois a trois = R; Se le produit de toutes = S. II en fera
de méme de la nature Se de la formation des fonclions de
degrés plus eleves.
14. Done ft Z eft determiné par l'équation Z .— P Z n — 1> -+-
QZ n - a -RZ n -3-+-SZ n - 4 , &c. = o-Z fera une
fonclion multiforme de Z, laquelle pour chaqué valeur de cette
variable, prendra autant de valeurs quil y a d'unités dans
l'expofant n.
II faut faire attention que n doit étre un nombre entier;
Se en general, pour pouvoir juger de quel degré la fonclion Z

•
8 D E S F O N C T I O N S
eft multiforme, l'équation qui la renferme , doit étre rendue
rarionnelle; alors l'expofant de la plus haute puiíTance de Z
indiquera le nombre cherché de valeurs de Z correfpondantes
á chaqué valeur de r. II ne faut pas non plus perdre
de vue que les lettres P, Q, R,S, Scc. doivent défígner
des fonclions uniformes de % ; car, fi quelqu'une d'entr'elles
déíignoit deja, une fonclion multiforme de ^ , la fonclion Z
fourniroit pour chacune des valeurs de % beaucoup plus de
valeurs correfpondantes que ne l'indiqueroit le nombre des
dimeníions de Z. Au refte , s'il doit y avoir des valeurs
imaginaires , elles feront toujours en nombre pair. Par
conféquent, fi n eft un nombre impair , il y aura au moins
une des valeurs de Z, qui fera réelle; Se au contraire fi n
eft pair, il eft poííible qu'il n'y en ait aucune de réelle.
15. Si Z eft une fonclion multiforme de z, telle quelle ne
puijfe jamáis obienir qu'une feule valeur réelle , elle fe rapprochera
par ce caradíre des fonclions uniformes, &pourra,pour
cette raifon, étre rangée parmi ces dernieres. K
TeWes font les fondions VP, \TP, y'P, Scc. car elles
n'auront jamáis qu'une valeur réelle, toutes Jes autres étant
imaginaires, pourvu que P foit une fonclion uniforme de r.
m
C'eft pour cette raifon que l'expreflion P n , toutes les fois
que n fera impair, pourra étre mife au nombre des fonctions
uniformes , m étant un nombre pair ou impair; mais
m
íi n eft un nombre pair, alors P n ou n'aura aucune valeur
réelle, ou en aura deux; d'oii il fuit que dans ce dernier
cas, les expreflions telles que P n pourront, avec raifon ,
étre mifes au rang des fonclions biformes; pourvu que la
fraclion — ne foit pas réduclible a une plus fimple expreflion.
16. Si y eft une fonclion quelconque de z , réciproquement z
fera une fonclion de y.
En
EN GENERAL. £
En effet, pulfque y eft une fonclion de £ , foit uniforme ,
foit multiforme , on aura une équation, par laquelley fera
donné en \ Se en conftantes ; mais on pourra réciproquement
conclure de la méme équation la valeur de \ en y Se
en conftantes. Done y érant une quantité variable, la quantité
\ qui fera égale a une expreflion compofée de y Se de
conílanres , fera une fonclion de' y. 11 fera facile d'en
conclure le degré do la fonclion, Se il peut fe faire que y
foit une fonclion uniforme de ^ , tandis que ^ fera une fonction
multiforme de y. Par exemple , fi la valeur de y en ^
eft donnée par l'équation y J *= ay\ — b%%, y fera une
fonclion triforme de 7K, Se ^ une fonclion feulement biforme
de y.
17. Si y & x font des fonclions de z, y fera auffi une
fonclion de x , & réciproquement, x une fonclion de y.
Puifque y eft une fonclion de ^, ^ fera auffi une fonctiondey:
femblablement, % fera uñé fonclion de x. Par
conféquent la fonclion dey fera. égale a une fonclion de x.
Par cette équation la valeur de y fera donnée en x, Se celle
de x en y. II eft done évidentque y eft une fonclion de x,
Se que x eft une fonclion dey. A la vérité , le plus fouvenc
ees fonclions ne peuvent étre repréfentées explicitement, a.
caufe de i'imperfeclion de l'Algébre ; cependant on n'en
appercoit. pas moins la réciprocité des fonclions, comme
s'íl étoit poííible de réfoudre íes équations de tous les degrés.
Au refte les méthodes algébriques nous apprennent que de
deux équations , Tune entre y & ^, & l'autre entre x Se \,
on peut par l'élimination de \ , en former une troifieme qui
exprimera la relación- entre x Se y.
_ 18. Enfin on doit diftinguer des fonclions paires & des fonctions
impaires. Une fonclion paire de z eft celle qui donne la
méme valeur, foit qu'on prenne pour z une valeur déterminée
-t- k ou — k.
Telle eft la fonclion ^; car, fi l'on fuppofe 1 = -+- k
ou — ^ •> d en réfulrera toujours pour ^ ^ la méme valeur,
EULER, Introduclion a lAnal, infin. Tome I. B

¥vr
m
I
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i
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r."
i'o D E S F O N C T I O N S
favoir -f- kk. Pareillement les puiíTances •^,\ 6 ,\ t ,SC en
general toute puhTance ^ m , m étant un nombre pair , foit
poíitif, foit hégatif, fetont des fondions paires de %. De
m
plus, comme la quantité % " peut paffer pour une fondion
uniforme de ^, íi n eft un nombre impair, il eft clair que
m
% n fera une fondion paire de •{ , lorfque m eft un nombre
pair , Se que n eft un nombre impair. Done toure expreflion
compofée de teiles puiíTances , de quelque maniere que
ce foit, íera une fondion paire de %. Ainfi Z fera une fonction
paire de \, fi on a l'équation Z =(?»-+-^(fl4— i*))Sec.
D'oii ilfuit que les fonclions paires peuvent étre définies des
fonclions dezz.
En effet, íi l'pn fuppofey — %% _, & que Z foit une fonction
de y; en mettant ^ a la place de y, Z deviendra une
fondion de %, dans laquelle % aura un nombre pair de dimenfions.
II faut cependant excepter les cas, oü dans l'exprefíion
il entreroit des quantités , relies que Vy, Se d'autres,
dans lefquelles en faifant y = %%, le figne radical difparoírroit.
Car, quoique par exemple, y -t- V ay foit une
fondion dey, cependant en faifant y = ¡j^, la méme formule
ne deviendra pas une fondion paire de \; puifquelíe
devient y -4- Vay = \\-+- \V a. Mais, ces cas exceptes,
Ja derniere définition des fondions paires eft bortne, Se peut
meme lervir a en formen
11. Une fonclion impaire dez efl celle dont la valeur, en
faifant z négatif, devient auffi negative.
Ainfi, on trouvera -aurant de fondions impaires de ?
dans chacune des puiíTances de % , dont les expofans font des
nombres impairs. Teiles font les auantités,£ ??, \\ $% &&
— 1
^ c '¿v? 5 > í" 5 » & c - I-a puiíTance \ n - fera encoré
une fonclion impaire , fi les deux nombres m Se n font des
B ij

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i
Í2 DES F O N C T I O N S
nombres impairs. En general, toute expreflion compofée de
femblables puiíTances fera une fondion impaire de ^, comme
'- 2. — X
a^-i-brj, a%-h a^" l ; Sc % * -+- a %* -4- b % } , Scc. Au refte,
la nature Sc Ja formarion de ces fondions fe reconnoitronc
plus facilement par celles des fondions paires.
22. Si une fonclion paire de z eft multipliée parz, ou par
une jonclion impaire de cette variable, le produit fera une
fonclion impaire de z.
Soit P une fondion paire de i, laquelle, par conféquent,
refte la méme, fi Ton met — ^ á la place de £ Si dans
le produit P % on met — ^ au lieu de ^ , il en réfultera la
quantité— P%. DoncP% fera une fondion impaire de r.
Soit toujours P une fonclion paire de ^, 6c fuppofons Q
une fondion impaire de la méme variable, il eft clair d'aprés
la définition , que fi au lieu de ^ on écrit — i,-' P refte le
méme, & que Q devient — Q; par conféquent le produit
P Q par la fubftitution de •— ^ au lieu de ^, fe changera
en — PQ> c'eft-á-dire , qu'il deviendra négatif. Done
P Q eft une fondion impaire de \. Ainfi la quantité
o -+~y(aa -4-%%) étant une fondion paire, Se %' une
fondion impaire , leur produic a^ 1 •+- ¡j' y (aa-4-%^) fera.
une fondion impaire de %. Semblablement, ? x —"*"
"í n a
g eft une fondion impaire. On voit encoré par-la
que íi , des deux fondions P Se Q, dont la premiere P eft
paire , Sc la íeconde Q impaire, 1 une eft divifée par l'autre,
le quotient -¿y ou -p- fera une fondion impaire de r.
23. Si une fondion impaire eft multipliée ou divifée par une
fonclion impdire , le produit ou le quotient feront des fonclions
paires.
Soient Q Se S des fondions impaires, de maniere qu'en
mettant —• \ a la place de \, Q devienne — Q , Se que S fe
change en — S, iJ eft clair que ni le produit Q S , ni le
EN G E N E R A L . JJ
quotient ~ ne changent de íigne par le changement de
figne de^. Done le quarré d'une fondion impaire eft une
fondion paire; le cube une fondion impaire; la quatrieme
puifTance une fondion paire ; ainfi de fuite.
24. Si y eft une fonclion impaire de z , réciproquement z
fera une Jonclion impaire de y.
En eífet, puifque y eft une fondion impaire de \, fi l'on
¿crit — ^ a la place de •{ , y fe changera en —y. Done , fi
la valeur de \ eíí donnée en y, il faut néceíTairement qu'en
mettant — y au lieu de y, \ devienne auffi —\, Sc par
conféquent % fera une fonclion impaire de y. Par exemple,
fiy es \\y eft une fondion impaire de \ , Se de l'équation
^ 5 =y, ou ^=y T , on conclura de méme que \ eft une
fondion impaire dey; Se parceque, fi y = a\ -h b\ l ,
y eft une fondion impaire de \, on vena que réciproquement
la valeur de % tirée de l'équation b\ l -+- a ^ = y, eft
une fondion impaire de y.
15. Si la nature de la jonclion y eft exprimée par une équation
, telle que dans chacun des termes feparément, la fomme
des expofans de y & de z , foit par~tout un nombre pair ou un
nombre impair, dans ce cas, y fera une fonclion impaire de z.
Car fi dans cette équation on écrit parto ut — \ au lieu de %,
Sc en méme temps •— y au lieu dey, tous les termes de
l'équation ou refteront les memes, ou deviendront tous né-
Dans.les deux cas, féquation demeurera la méme.
fatifs. )'ou il fuit que — y fera determiné par — ^, de la méme
maniere que -4- y i'eft par -+- ^. Par conféquent, fi pour ^
on met— ^, y deviendra —y; c'eft-á-dire, que y fera
une fondion impaire de ^. Ainfi dans les deux équations
y* = ay^-\-b^-+-c; Se y 1 •+• ayy \ , =^byw -\-cy-\-d\,
y fera une fondion impaire de 7.
2 6. Suppofons que Z 0 Y foient refpeclivement des fonclions
de z & de y ,• & que Y foit determiné par la variable y
0 par des conftantes , de la méme maniere que Z l'eft par la
(*)

T&
ib 1
u
•i
D
16 DE LA TRANSFORMATION
champ qu'elle devient sss o dans trois cas , favoir_, lo^ 11 ®
-, = i, ou i = 2 , ou ^ = — 3 ; propriétés , qu'il eut ete
moins aifé de conclure de la premiere forme 6 — 7 ^ -f- 7 •
Ces fortes de fadeurs, dans lefquels il n'entre aucune puiifance
de Ja variable $, font appellés fadeurs fimples , pour
les diftinguer des fadeurs compoféj, qui renferment le
quarré, ou le cube, ou une autre puiffance plus élevée de
Ja variable. Ainfi la forme genérale des fadeurs fimples
íera.f'+'gx; celle des fadeurs doubles , f-^g\ -+> h\r ;
celle des facleurs triples , f-hgl -4- htf -+• i\ l , ainfi des
autres. II eft clair d'ailleurs qu'un fadeur double renferme
deux fadeurs fimples ; un fadeur triple, trois fadeurs
fimples, ainfi de fuite. Done une fondion-entiere de •{,
dans laquelle l'expofant de la plus haute puifTance = n,
contiendta n fadeurs fimples, Se par conféquent, le nombre
des fadeurs, s'il y en a de doubles, ou de triples", fera en
méme-temps connu.
29. Les facleurs fimples d'une fonclion entiere Z de z fe
trouvent, en égalant la fonclion Z a -{ero, & en cherchant
toutes les racines de cette équation ; car elles donneront chacune
ib) autant de facleurs fimples de la fonclion Z.
Eneffet, foit l'équation Z = o, laquelle ait pour racine
3, =/, ;£ —f fera un divifeur-, Se par conféquent un fadeur
de la fondion Z. Ainfi, en déterminant toutes les racines
dfe l'équation Z = o , que je fuppofe étre 5 = /, \ =*£,
% = k; la fondion Z fera décompoíée en fes fadeurs fimples,
Sc prendra la forme du produit Z => (? —/) ¡K.— g)
(y _ ¿ ) Sec: mais il faut obferver que, fi le coefficient de
la plus haute puüTance de 1 dans Z n'étoit pas l'unité, il
(c) faudroit de plus multiplier le produit par ce coéfHcient.
Par exemple, fi ¿fe* A{ «4- B?*~W ' £$*' a -+- Scc , on
auraZ = ^U-/)fí— £)(*-*) & c i ou hienüZ = A
^.Bi -+• C£-h Di s .-\-£%*-¥• Scc, Se que les racines 1 de
l'équation foient f,g, h •> i i &c, on aura Z = A (1 — y\
( 1 -
D ES FONCTIONS. *7
fi é¿ 4- V (1 *-) Scc. Concluons de-la réciproquement
que, fi l'un des fadeurs de la fonclion Z eft { —/ou 1 — -jr»
la valeur de la fonclion fe réduit á zéro, fi on écrit /a la
place de * Car en faifant * =/, un fadeur \ -/ou 1 - -j>
de la fondion Z doit s'évanouir, Se par fuite la fondion Z
elle-méme.
,0 Les facleurs fimples feront done ou réels 'ou imaginaires,
&fi la fonclion Z a des fadeurs imaginaires, ils feront toujours
en nombre pair. . . .
Car, comme les fadeurs fimples proviennent des racines
de l'équation Z = o, les racines réelles fourmront des facteurs
réels, Se les racines imaginaires des fadeurs imaginaires;
mais comme dans toute équation , le nombre des
racines imaánaires eft toujours pair, il s'enfuit que la ronction
Z n'aura aucun fadeur imaginaire, ou quelle en aura
deux, ou quatre, ou fix, &c. Si la fondion Z renferme
feulement deux fadeurs imaginaires , leur produit lera reel,
Se donnera conféquemment un fadeur double reel. Car
rolt p— a u produit de tous les fadeurs réels, le produit
des fadeurs imaginaires fera|-, Se par conféquent réel.
Semblablement, fi la fondion Z renferme quarré, ou fix,
ou huit, &c. fadeurs imaginaires, leur produit lera toujours
réel & égal au quotient de la fonclion Z, divifée par le
produit de tous les fadeurs réels.
31. Si Q eft un produit réel de quatre facleurs fimples imaginaires
, je dis que ce méme produit pourra étre réfolu en deux
facleurs doubles réels. '
Car la fondion Q aura cette forme f 4- A £ -+• tí \ -h
Cr .4- D. Si l'on nie qu'elle puiíTe erre décompoíée en
deux fadeurs doubles réels, elle pourra l'étre du moins en
deux fadeurs doubles imaginaires, qui auront cette forme :
VT--i{D-+-qif—i)x-*-r+si/'--i9&Cll--¿ip--qV'-- 1 .K
\. r— sV— 1; car on ne peut concevoir d'autres formes
EULER , Introduclion a [Anal, infin. Tome I. C
4
5
?
I

m
V)
xl DE L A. TRANSFORMA-TÍO»
imaginaires , dont
Y •+• A^ -+• Bf
le produit foit réel , c'eft-k-diré,
-4- t?. ¿£-4- D. Or on tirera de ces fadeurs
imaginaires doubles les quatre fadeurs imaginaires fimples
de Q, comme il fuit.
I. \ — ip+qV— \)-+-V{pp-t'ipqV— i— qq—r—sV— i)
II. i— {p-^qV— 0— ^(pp-í-ipqlS— I — qq—r—sV— i)
IIl,l--(p--qi' , --i)-+'P r [pp--ipqV r --i--qq--M'Slf--i)
lY.Z—(p—qV—i)—v r {pp—ipqv r -~i—qq—r-*-sv r —i)
Si Ton multiplie f un par l'autre , le premier Se le troifieme
de ces fadeurs, en faifant, pour abréger, t =pp — qq — r,
Seu=ipq — s, on aura un produit réel, qui fera = \\ —
(xP -—Kzt4-aK(t i -+-« i )) i -*~PP -+- qq —P K** -i- 2» (*'-+- B* )
• u 7 -) -4- q V-
de méme le produit du fecond 6c du quatrieme fadeur fera
réel, & = \\ — {tp •+- /M + »^(t'4-»') ) K •+- /Y 7 •+• ??
-4- /> ^¡mTTTT^) •+• KF+7» Donc le P roduic P ro '
•+• q V— »t+iV(c+«')
pofé @ qu'on fuppofoit n'étre pas décompofable en deux
fadeurs doubles réels, fe trouve par le fait décompofé en
de tels fadeurs.
32. Quelque foit le nombre de facleurs fimples imaginaires,
dont une fonclion Z de z eft compofée, on pourra toujours en
eombiner deux, de maniere qu'il en réfídte un produit réel.
Le nombre des racines imaginaires étant toujours pair,
fuppofons le = t n, d'abord il eft clair que le produit de
toutes ces racines imaginaires eft réel. S'il y a feulement
deux racines imaginaires, leur produit fera certainement
réel; Se s'il y a quatre fadeurs imaginaires, leur produit,
comme nous venons de le voir, peut étre décompofé en
deux fadeurs doubles de la forme f\ % -*-g% -+- k. Quoique
la méme maniere de démontrer ne s'étende pas aux puiffances
plus élevées, il paroít cependant hors de doute que
cette propriété convient également a un nombre quelconque
•2Í
DESFONCTIONS. 19
de fadeurs, de forte qu'a la place de 2 n fadeurs fimples
imaginaires, on pourra fuppofer un nombre n de fadeurs
doubles réels. Done toute fondion entiere de ^ pourra étre
décompofée en fadeurs réels, ou fimples , ou doubles. Si
la. vérité de cette propolition n'eft pas démontrée ici en toute
rigueur, elle acquerra dans la fuite un nouveau degré de
forcé, quand nous décompoferons efíedivement en fadeurs
doubles réels les fondions de cette forme: a-+- b\ ; a >4- b-£
+ c^ n ;a~*-b^-hcf"-hd^ n , Scc.{Foyé-{l'art. 154, &
¿a note qui y eft relative).
33. Si une fonclion entiere Z , en faifant z= a, prend la
valeur A , ¿V en faifant z =« b, prend ¿a valeur B ; en mettant
a la place de z, des valeurs moyennes entre a. & b, la fonclion
Z peut prendre toutes les valeurs moyennes qu'on voudra,
entre A & B.
Puifque Z eft une fondion uniforme de \, quelque valeur
réelle qu'on donne a ^, la fondion Z aura auffi une valeur
réelle, & fi la quantité Z, dans le premier cas, oü ^ => a,
prend la valeur A, Sc dans le fecond cas oü \ — b, Ja
valeur B, elle ne pourra paíTer de A kB, qu'en pallanr par
toutes les valeurs inrermédiaires. Donc, fi l'équation Z — A
r= o, & l'équation Z — B = o , ont une racine réelle,
l'équation Z — C = o , en aura une auffi, pourvu que C
foit renferme entre A Sc B. Done, fi les expreflions Z — A
Sc Z — B ont un fadeur fimple réel , J'expreflion Z — C
en aura un auíli, toutes les fois que C fera renferme enrre
A Se B.
34. Si dans la fonclion entiere Z l'expofant de la plus
haute puifjance de z eft un nombre impair 2 n -4- 1, la fonclion Z
aura au moins un fadeur fimple réel.
La fondion Z aura cette forme ^ anH " 1 *\-a r ln -t-e? 1 " -1
•4- > \ -4- dcc. Si l'on fait \ — 06 , tous les termes difpa-
roírront devant le premier, Se elle deviendra Z = ( co ) ín ~ hI
?s= 00. Donc Z — 00 aura un fadeur -fimple réel, favoir,
C ij

i
•
10 DE LA TRANSFORMATION
^ — oo. Mais fi on fuppofe % = — oo, Z deviendra ( — oo )
= — oo , Se par conféquent Z -4- oo aura pour fadeur fimple
réel, •{ •+• oo- Puis donc que Z — oo 6c Z -4- °° ont chacun
un fadeur fimple réel, il s'enfuit que Z-\-C aura un facteur
fimple réel, pourvu que la valeur de C foit renfermée
entre les limites -4- oo Sc — oo ; c'eft-á-dire,_ pourvu que C
foit un nombre réel quelconque, ou pofitif, ou négatif.
Donc, fi C = o, la fondion Z aura un fadeur fimple réel
^ — c , Se la quantité c fera comprife entre -+-. oo Sc — oo ;
c'eft-á-dire, fera ou une quantité poíitive, ou une quantité
négative, ou zéro.
35. Done une fonclion entiere Z, dans laquelle l'expofant
de la plus grande puiffance de z eft un nombre impair, aura
ou un fadeur fimple reel, ou trois , ou cinq, ou fept, &c.
11 vient d'etre demontre que la fondion Z avoit au moins
un fadeur fimple réel, $ — c. Suppofons qu'elle en ait encoré
un autre \ — d, Se divifons cette fondion Z , dans laquelle
la plus haute puiffance de ^ eft \ %n x , par ( \ — c) (% — d),
la plus haute puifTance du quotient fera =¿= % , dont
l'expofant impair annonce encoré un fadeur fimple réel.
Donc, fi la quantité Z a plus d'un fadeur fimple réel, elle
en aura ou trois , ou (en continuant de raifonner de la
méme maniere) cinq ou fept, &c. c'eft-á-dire, qu'il y aura
un nombre impair de fadeurs fimples réels; & comme le
nombre de tous les fadeurs fimples = 2 n -4- 1, ceJui des
fadeurs imaginaires fera pair.
3 6. Une fonclion entiere Z, dans laquelle l'expofant de la
plus haute puijfance de z eft un nombre pair in, aura ou deux,
ou quatre, ou fix, ou, &c. facleurs fimples réels.
Car fuppofons que le nombre des fadeurs fimples réels
de Z foit impair Se = xm -4- 1; fi 011 divife la fondion Z
par leur produit, la plus haute puifTance du quotient fera
B* f**t"í*""% dont l'expofant eft impair. La fondion Z
aura donc encoré au moins un fadeur limpie réel. Donc le
DES FONCTIONS.
mhre des fadeurs fimples réels fera au moins = 4m H-1,
nombre oes ráete r ¿ fadeurs imaginaires fera
& par c o f X Done leí fadeurs fimples imaginaires d'une
t í ^ ^ J ^ c o ^ e f o n , toujours en,nombre p«r;
C ° ~ 7 n s 7 f i n Z L l'expofant de la plus haute puifi
faVcJ,7unI:mLpair, O que le terme abfolu ouconftant
^oTtaffedétfigne^, hJMion Z aura au moins deux fae-
UV L f &£% dont il s'agit ici, aura donc cette forme:
L í - l Z ívieUa, c^mme ci-deílus,= 00 , & fi Yon
f \ "o Z deviendra = - A. Done Z - 00 aura \ehc-
; a e'Lr\éel z - 00 , Se Z -4- A le fadeur réel z. - o d ou ü
fu ir nue o étan renferme entre les limites - 00 Se -4- A,
Z^a'un fldeur fimple réel z - C c étant comáis en re
les limites o Sc 00. En faifant enfuite K ==•- ~ , Z devient
íes iimiw.» fadeur ^ -4- «o , ÍSC
t ^ Z iZ'jfroí fafteur Z-'o, a senfuit que z+-o
t . -„. n„¡ confíate a vente de la propofition. Un voit
L-Ti'queTz eft une fondicn, «Ue^íE eft: f«ppo«.
Fci réqüation Z = o a au moins deux racnes réelles 1 une
l'autre négative.
,8 5¿ ¿«5 une fonaion fradionnoire la variable z a a««w«
ou plus de dimenfions dans le numérateur que dans le denomtnateur
cette fondion pourra étre decompofee en deux pames,
l'uneaui rLn entier, & l'autre une fraclion dans le nume-
Zur^de laquelle la variable z aura moins de dimenfions que
"tn e f i & X t de la plus haute puiíTance de * étant
moindre dans Fe numérateur que dans le denommat^
divifons á la maniere ordinaire le numérateur par le déno-
aI

11
DE LA TRANSFORMATION
minateur, jufqua ce que nous trouvions au quotient un
expofant négatif pour ?, 6c rerminons la l'opération de Ja
diviíion, nous aurons un quotient compofé d'une partie
entiere Se d'une fradion , dans le numérateur de JaqueJle
le nombre des dimenfions de % fera plus petit que dans le
dénominateur; & ce quotient lera égal a la fondion propopofée. Prenons, pour exemple, la fondion fradionnaire -
en faifant la diviíion, comme on le voit ici : » + tt
• a*
Nous trouverons -l±il = n _ x .4- -_L_. Ces fortes de
fondions fradionnaires, dans Iefquelles la variable? a autant
ou plus de dimenfions au numérareur qu'au dénominateur
peuvent etre appellées, comme en Arirhmétique, des fractions
jmproprement dites, pour Jes diftinguer des véritables
íractions, dans le numérareur defqueJIes Ja variable ? a
moins de dimenfions que dans Je dénominateur. Ainfi une
fondion fraclionnaire improprement di te pourra étre réfolue
en une fondion entiere, & en une fondion fradionnaire
proprement díte; Si cette réfolution fe fera par la diviíion
ordmaire.
39. Si le dénominateur d'une fonclion fradionnaire eft compoje
de deux fadeurs premiers ent/eux , cene fonctwn pourra
etre decompofée en deux fradions, dont les dénominateurs Joient
refpedtvement égaux a ces deux fadeurs.
Quoique cetre décompoíition convienne également aux
deux efpeces de fondions fradionnaires, doiunous venons
de parler; nous l'appliquerons particuliérement aux fonctions
fradionnaires proprement dites. Ayant donc décompofé
le dénominateur de la fondion en fes deux fadeurs
premiers entr'eux , la fondion propofée fe changera en deux
DES Fo NCTI ON S. 23
autres, qui font véritablement fradionnaires, & dont les
dénominateurs feront refpedivement égaux á ces deux facteurs
; de plus cette téíolution, pourvu qu'il s'agifle de
véritables fradions, ne pourra s'effeduer que d'une feule
maniere. Un exemple fera mieux fentir que le raifonne.ment,
la vérité de ce que nous avancons; foit donc pro­
pofée la fonclion fradionnaire , ^ ^ t l ? ' ^ >
donc Ie
dénominateur 1 -h 4 f eft égal au produit (i + i | + m )
f!^^^.!^); cette fradion fe décompofera en deux
autres , dont l'une aura pour dénominateur! -+-2^-4-2^,
Se l'autre 1 i?4-in. Comme ce font de vraies fractions,
fuppofons, pour les trouver, le numérateur de Ja
premiere = *-+-£?, e£ celui de la feconde = 7-+-**, nous
r , , c 1 — H+3U- 4V •»-*-»!
aurons par hypothele , ^^^ H-H-*. nt
—v±_h—. Aioutons ces deux fradions, aprés les avoir
réduites au méme dénominateur; leur fomme aura pour
Numérateur , Dénominateur
•4-tt— 2 «^-4-2*^^
H-^í -4- 2 *ix •+• i¿V
Le dénominateur étant donc égal á celui de la fradion
propofée, il eft néceíTaire de renore auíli égaux les numérateurs,
ce qui pourra toujours fe faire, Sc cela d'une
maniere feulement, a caufe qu'il y a précifément autant
de letttes inconnues * , £, y, f que de termes á égaler. Ainfi
nous aurons les quatre équations fuivantes :
I. «-4-^=1 III. 2*— 2C-f-Z5,-f-2^=J
II.—2a>i-c+i>^-1r = —1 iv. 2e-h2

3
24 DE LA TRANSFORMATION
propofée 1 — a ^-«-3t? —4t_. efl. transformée en ees deux-ci:
'. • , H — ! —,—. II eft facile de voir que dans
tout autre cas la décompoíition doit de méme réuífir,
parce qu'il y a toujours aurant de lettres inconnues qu'il
eft néceíTaire, pour trouver chaqué numérateur. Mais la
(e) théorie ordinaire des fradions nous apprend que cette
réfolution ne peut avoir lieu que dans les cas ou les fadeurs
du dénominateur font premiers entr eux.
40. La fondion fradionnaire -jr- pourra done fe réfoudre en
autant de fradions fimples de la forme • 9 que le dénominateur
N renferme de fadeurs fimples , inegaux entr'eux.
Cette expreflion — repréfente une fondion fradionnaire
quelconque proprement dite , telle que M Se N foíent des
fondions entieres de \, Se que la plus haute puifTance de ^
dans M foit moindre que dans N. Décompofons done le
dénominateur N en fes fadeurs limpies, Se fuppofons-les
inégaux entr'eux, lexpreUion -rr fera transformée en autant
de fradions qu'il y a de fadeurs fimples dans le dénominateur
N, parce que chaqué fadeur devient le dénominateur
d'une fradion partidle. Si donc p — q ^ eft un fadeur de JY,
il fera le dénominateut d'une des fradions partidles, Se
comme le nombre des dimenfions de ^ doit étre plus petit
dans le numérateur que dans le dénominateur/»—q\, le
numérateur fera néceíTairement une quantité confiante.
Donc chaqué fadeur fimple p — q^ du dénominateur N
don ñera une fradion fimple , de maniere que la
p —11
fomme de toutes ces fradions foit égale á la fradion propofée
ir-
EXEMPLE.
DES
F O N C T I O N S .
EXEMPLE.
Soit propofée la fondion fradionnaire '_" > les fadeurs
limpies du dénominateur étant ^,1 — \, Sí 1 -4- %, cette
fondion fe décompofera en ces trois fradions limpies —•
.+. B _i ~ na •' **" K -» dont il s'agit de déterminer
1 — ? i + t ' i — V
les numérateurs conflants A, B Sc C. Réduifons ces fradions
au méme dénominateur, ^ —£ 3 , la fomme des numérateurs
devra étre égale á 1 -h^; ^oii na * c l'équation
A-hBx — A ^1=1 4-n= I "«- o; [ + U'
Nous tirerons de-lá, en comparant les coéfficiens des puiffances
égales, autant d'équations qu'il y a de lettres inconnues,
A, B, C, favoir,
I. A-= 1.
II.5-4-C=o.
III. —^-f-J5—C= 1.
Donc B~C= %iA^* 1 j'J&s- 1,U C«¿^-Vía fradion
propofée prendra donc cette forme — -4- j - — - + » On
voit femblablement que, quelque foit le nombre de fadeurs
fimples, inégaux entr'eux, du dénominateur N, la fradion
— fe décompofera toujours en autant de fradions limpies;
mais, s'il y a quelques Üdeurs égaux entr'eux, on s'y prendra
d'une autre maniere qui fera expliquée ci-aprés.
41. Chaqué fadeur fimple du dénominateur N, fourniffant
une fradion fimple pour la réfolution de la fondion propofée w >
il s'agit de faire voir comment la connoijfance d'un fadeur
fimple du dénominateur N donne celle de la fradion fimple
correjpondante.
E-ULER , Introdudion a l'Anal, infin. Tome I. D
*5

' p f- JM
i
1
Ȓ DE LA TRANSFO R'M A T I O N
Soit jP — «7^ un fadeur fimple de A 7 ", de maniere que
jY = (p — q ^) S, Se que «5" foit une fondion entiere der;
fuppofons la fradion qui derive du fadeur^ — q ^, = ~—, Sc
foit —- la fradion qui réfulte de l'autre fadeur S du
dénominateur, de maniere que (art. 39 ) -^- =
Af -p. P M — AS „ ~*<

i
I
a8 DE LA TRANSFORM ATI ON *
a pour fadeur ( p — qz) l ;o« trouvera de la maniere fuh'ante
les fradions partidles qui réfultent de ce fadeur.
Nous avons montré comment on trouvoit les -fradions
partidles qui dérivoient des fadeurs fimples , inégaux entr'eux.
Suppofons a préfent qu'il y ait deux fadeurs égaux,
ou , en les réunifíant, qu'un fadeur du dénominateur
JVfoic(/> — q\Y,- Suivant l'art. précédent, il en réfultera
ces deux fradions partidles (
^
M M
B
P — íi .OrfoitJVaa
nyS, on aura -^ = Jf=JWI TT^TW
-4- J. L- £-, — défignant la fomme de toutes les
fradions fimples qui proviennent du fadeur S du dénomi-
P M-AS-Bjp-gQS
nateur. Donc on aura ~- = 7p-V¿ 1 ^' " ' &
p „ M-AS-B(p-gQS __ ^ une fond¡on entiere. fl
faut- donc que la quantité M — A S — 5 (/» — 9 ^) 5 foit
divifible par (/» — q %) \ Elle le fera donc d'abord par/»— q%>
Sc l'expreffion totale M — AS—- B{p— q\) S s'évanouira,
filón fait/ — qi =0, ou z, = -^-. Ecrivons donc partout
-£-a la place de •{; nous aurons M — ^S on doit faire cette
DES FONCTIONS. *9
divifion avant de faire la fubftitution de -^- á la place de 5;
ou bien fuppofé M ~_ AS = T, on aura B = — , en faifant
r—, -£-; les numérateurs A Sc B étant ainfi trouvés , on
f A B
connoltra les fradions (p _ ?tjl -4- ^ _gI , que donne le
fadeur (p— q\) % du dénominateur A'.
EXEMPLE I.
Soit propofée la fondion fradionnaire—^"^^y, &
confidérons le fadeur quarré de r^-du dénominateur, nous
aurons 5=i-f-?r, Se M = 1 — n; foient les fradions
partidles qui en dérivent : —— -4- — ; nous aurons- A = —
— Inü. le fadeur 7 étant fuppofé = o. Donc A = 1.
— i-t-{? ' .-—-• x rr
Enfuite M — AS = — 2 ^r, quantité , qui divifée par le
fadeur fimple de ^ , donne T = —- 2 ^, & par conféquent
D __ /_ __ —J±. Done, á caufe de r = o, B = o; &
•° s i-*-{t ^
il ne proviendra du fadeur ^ du dénominateur que la
fradion partidle — •
EXEMPLE II.
Soit propofée la fondion fradionnaire (l_,y (t .+• t
donr les fradions partidles qui naiíTent du fadeur quarré
(i-0\foient(-^+ —• IdM-*S& *>=
! _+. i* Par conféquent ^4 = -j = 7^7 — i, en faifant
! —^ = 0, ou* — 1. Done M — AS « jr» -— i —-?* 4
s— JL '"*- »' '— -sX 4 ' S 11 ^^» ^ divifée par 1 — \,
donne r = - j - i í - J U + ií 5 ' & conféquemment

30 DE LA TRANSFORMA TION
B = T = ""¡^T "«"*"*' = < en faiíant «-—*•«•) -»**»
fradions partidles demandées font donc —-—** — -— x —-#
"Í "~S a ( x -í)
44. Si le dénominateur N de la fradion — renferme un
fadeur, tel que (p—qz)'; on déterminera de la maniere
fiuvante les fradions partidles qui naiffent de ce fadeur i
r '_¿i A íi KJ
I avoir, 7 .7—h -. rr- H .
J » ( p_ q z)l -7- (p_q Z)* -T- p _ q z
P
Soit A r = (D — 77)' 5, & foit — la fradion qui derive
j c o c D J^—AS — B (p — q r) S — C(p — qzY S
du fadeur S , on aura P = —^—f^ *•— ¥1 - ; - -
\P — 11)'
= a. une fondion entiere. Le numérateur M — AS —
B{p — q\ ) S —t C(p— q-[) z S doit donc avant tout étre
en
divifible
faifant
par
p
p
—q^
— q\\ par
o ,
conféquent
ou z = —. Alors
il fe réduira
M — AS
1 a zéro = o ,
1
Se A = — , en fuppofant ^ -. A ayant été determiné
de cette maniere, M — AS fera divifible parp—q^. Soit
M— AS
j Ti T—BS — C(p — q%) S fera encoré divi-
p — 11
íible par (p—q %)*, Se deviendra. = o, .fi l'on fuppofé
— q ^ = o. Donc B en mettant — a la place
S • q
, de \. Aprés avoir trouve B; T— BS fera auffi divifible par
T— BS
p — q\- Suppofons'——-— = yt y— CS refte encoré
11
divifible par/—q%. Donc V—-CS = o, Sc C v
en
faifant toujours \ = -j-. Les numérateurs A, B, C ayant
donc été ainfi determines, on connoítra les fradions par-
A R C
tielles --. CT--+- -, TÍ—* > °\ ue donne le
(PriS)' (P-IK-Y p-11 * ^
fadeur (/ — q^)' du dénominateur' iV.
r
DES F O N c T I O N s.
EXEMPLE.
Soit la fradion íí , dont le dénominateur
renferme le fadeur cubique (1—^) 3 , qui donne les frac-
• 11 A B c T\
tions partidles ; r-, -4- r~—"~r, -+- • -L/ans ce cas
Af = :[:{,&»S=i -4- %i- Done on aura d'abord A =
= 7 , en faifant 1 — % = o, ou •{ 1. Soit fait
tí
I H
r =
tant
11
M—AS
» —t
. Done T =^ii-^-= —
1 — 1
3*
-1^, &par-
5 = —!—HL = — 7, en faifant ? = 1. Soit enfuite
r—^5 T-HÍ
» —t »-? '
: 011 aura V. I^.{ " 1 1'
& par conféquent C= — = - 9 —i, a caufe de %
= 1. Ainfi les fradions partidles qui naiílent du fadeur
cube (1 — ^) J du dénominateut , font—-,———ry —
2(1 - O 1 4(1 — {) '
45. Si le dénominateur N de la fondion fradionnaire a pour
fadeur ( p — q z) n , on déterminera de la maniere fuivante
les fradions partidles qui en réfultent, favoir , 7—^—r-5
'"
c
n— I 4-- ^——: -í
P— 11
(p~iO (p—iO
Soit le dénominateur N=**(p — q\) n Z, on trouvera,
en raifonnant comme ci-deíTus
P. c.:.p_
,
'_. done
ir' v ?
,°. ^ = 4,Tétant = -^.SoitP==4=r
¿ 5=|-,?étant=:f.Soit(?= -^:f
K
P — BZ ; done
3°. C = -|,íétant=-^.Soit/e = - f ^ f ; done
4 o . 2>=-f-'? étanc== f -Soit5== R pZ. D 5 i done
5°. 2s=a-Tj-, ^ étant ==—. &c.
?í

I
3*
DE LA TRANSFORMATION
Donc, fi Ton determine de cette maniere tous les numérateuts
conftants^4,2?, C,D,Sec, on aura trouve toutes
les fradions parridles qui naifTent du fadeur (/—q\) n -
du dénominateur N.
EXEMPLE.
I -f-ít
Soit propofée la fondion fradionnaire yr^+^rp Le
.fadeur V du dénominateur doit donner les fradions partidles
é—-3r- — _i \ 1 . Pour trouver les numérateurs
í 7 ^ i 4 t' t! l
conftants de ees fradions, vous obferverez que M= H- ?[ r_,
Z = i H- z } , SC — = o. Faites donc le calcul fuivant :
: = i , en faifant ^ = o.
r
%— r 1 ; donc
Sok g » p ~* z =-1^11= ? r j ; done
C = -^- = ' ~ c - =i,a caufe de j( «= o. .
Z?
Soit i( =^l^ = s_l_^= — i —??; done
— i — ti
—= — i, a caufe de % o.
i 4-t»
S0k ¿ = *=£í¡^3£±É«, _ ?-4-^; done
.t í
. P __ _ 5 _. _. "—L±S1 = o , á caufe de ? == o.
Les fradions cherchées font donc -^--t--^--H-p- ^ ""^y •
4^. Do/zc f uf//e que foit lo fondion rationnelle fradionnaire
-—- , en vous y prenant de la maniere fuivante , vous la
décompofere^ en fes parties , & la ramenere\ a fa forme la
plus fimple. j ^
r r Cherchez
r D E S F O N C T I O N S . 33
Cherchez tous les fadeurs fimples foit réels, foit imaginaires
du dénominateur N; traitez féparément ceux qui n'ont
point leurs pareils, Sc calculez la fradion partidle qui ^derive
de'chacun par la méthode donnée ( an. 41.)' Si le méme
fadeur fimple rcyient deux fois ou davantage, formez de leur
produit une puifTance qui aura la forme (/ — q\) n ,Sc
cherchez les fradions partidles qui en découlent ( art. 45 ).
Aprés avoir ainfi déduit de tous les fadeurs fimples du dénominateur
les fradions partidles qui en réfultent , vó\is en
ferez une fomme qui fera égale á la fondion propofée -^ ;
á moins que cette fondion ne fut pas une fradion proprement
dite; car alors il faudroit extraire la partie entiere ,
Sc Tajouter á la fomme des fradions partidles que vous .
aurez trouvées, pour avoir fóus la forme la plus fimple la
valeur de la fondion ~. Au refte , il revient au méme. de
chercher les fradions parridles avant ou aprés l'extradion
de Tender. Car chaqué fadeur du dénominateur fournira(/J
toujours la méme fradion partidle , foit que vous employiez
le numérateur M, foit que vous employiez le méme
numérateur augmenté ou diminué d'un múltiple du dénominateur
N, comme il eft aifé de s'en convaincre a quiconque
aura examiné les regles que nous avons données.
-EXEMPLE.
Qu'il foit queftion d'exprimer de la maniere la plus fimpie
la valeur de la fondion
-r-. Preñez d'abord
le fadeur fimple'uñique• 1 -4- \ du dénominateur,
vous aurez -?-= — 1, M=i,& Z = ^ ~ z? -4- ? f ;
1 . A
done pour déterminer la fradion
vous aurez A
— — i. á caufe de z=» — 1 , & par confé-
EULER, Introdudion a lAnal, infin. Tome I. E

m
má
1
I
u
34 DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS.
quent le facleur i -4- jjdonnera la fradion partidle — 4(1_f_ly
Preñez enfuite le fadeur quarré ( i — $*, Iequel donne
£-— i M= í, &: Z = ;(' -4- ;[ 4 . Repréfentez les frac-
? A B
tions partidles qui en réfultent par (l_t), -l- -7^7 > vous
trouverez ^ = , ' = r> en faifant ^ = 1. Soit P =3
t'-t-r
M-kZ _ -^JZili = M - í 4 - f 4-^'. Donc 5 =
_}_ Jl •j+l±¿±lil = 1, á caufe de r
& les
fradions partielles demandées feront , t _ ,, rr -1- •+- - , _.)'•
Enfin le troifieme fadeur cubique £ donne — = o ; M = 1,
& Z = 1 — %-*- í*-*-?'. Suppofez qu'il fourniífe ces trois
/?
fradions partielles —7
—; vous trouverez d'abord
í
= 1 , en faifant 7 - o. Soit P =a
i-{-V +
Ai— Z
1-*-$--%%', done B =*-%-— 1, a caufe de
5 = o. Enfin , foit (2 = ? ~ Z = z ~ íí» vous trou ~
verez C= -%- = 2, en faifant toujours ^ = o. Ainfi la
fondion propofée aura pris la forme — -4- —r H—-—h
. .1 1 -1 : -—-. II n'y aura point d'entier
a ajourer, parce que la quantité , dont il sagic , eit une
véritable fradion.
7
DE LA TRANSF. DES FONCT. PAR SUBSTIT.' ,35
C H A P I T R E III.
De- la Transformation des Fonclions
par Subjlitution,
46. Si y eft une fondion quelconque de Z , & que z foit
exprimé par une nouvdle variable x, y pourra tétre de méme
par x. . . .
Ainfi, fuppofant quey foit une fondion de \, en íntroduifant
une nouvdle variable x, on repréfente les deux
premieres au moyen de cette troifieme. Par exemple, fi
1 —j^_ Sc qu'on fafFe % *-, cette fubílitution
y
tt
a. la place de % donnera y = Donc une valeur
I -+- X X
quelconque déterminée, prife pour x, déterminera celle
de y Sc de ^, Se fera connoitre conféquemment la valeur
de y correfpondante á celic de %. Si l'on fait , par exemple,
x = ~ , on aura ^ = 7, Se y = f ; on tronveroit de méme
y •= j , fi dans l'équation y = -•*•-" ** , on faifoit £ = 7.
Cette introdudion d'une nouvdle variable a deux ufages.
En effer, lorfque l'expreffion par laquelle y eft donnée
en £ renferme des radicaux, c'eft un moyen de s'en débarraíTer;
ou bien, lorfque l'équation qui exprime la relation
entte y 6c ^ , eft d'un degre trop elevé pour qu'on en puifíe
tirer une fondion explicite de •{ égale a y, on introduit
une nouvdle variable x, par le moyen de laquelle on puiíle
exprimer commodément -Sc y Se 7C On peut donc par-la
juger d'avance du grand ufage des fubftitutions ; mais la
fuite en fera mieux fentir encoré l'importance.
47. Si y = /(a + bzjjOs trouvera de la maniere fuivante
la •nouvdle variable x , qui rendra rationnelles les valeurs
dey & de z.
E ij

I
•i?
•
\
\
36 DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
Puifqu'on fe propofe de rendre á la fois y Sc •{ une fonction
rationnelle de x, il eft clait qu'on remplira ce but en
faifant V (a -4- ¿^) =¿.x. D'abord on aura y = bx , Sc
a-±- ¿? = b z x\ Donc * =bx* ~. Ainfi y Se % deviennent
des fondions rationnelles de x, lorfque y étant
== \T{a-\-b-{), on fait^ix 1 f; car alors y = b x.
m
¿S, 5¿ y *= (a -4- b z) **", o^ trouvera de la maniere fuivante
la nouvelle variable x , qui rendra rationnelles les valeurs de
y b dez. -
Soit fait y = x m , {a-+-bz) H deviendra = x m , Se par
conféquent 'a -4- ¿ x)" =» *« Donc a-+-¿*— *% &*«
.** ~ ' . Done on aura en x des valeurs rationnelles pour
b
les quantités y Sc •{, en faifant £ •» -J- 2 -, ce qui donne
y _,, y] Ainn quoiqu'on ne put obtenir fous une forme
rationnelle Ja valeur de y en ^ , ni celle de r en y; cependant
on eft veuu á bout au moyen d'une.íubílitution convenable
, de rendre ees deux quantités une fonclion rationnelle
d'une méme variable x.
m
49. Si y =(" H " bz )~, on demande une nouvelle qnantité
variable x qui rende rationnelles les valeurs de y & de z.
11 eft évident qu'on fatisfera á la queftion, en fuppofant
m
alots (7^) " = * m > & P ar confé q uen x t
m : car
tL « **, d'oii l'on tire 5 ^ ^ t t i fubftitution qui
donne y = x m .
On voit encoré par-la que ii {^7f~y } ~~~ \ f+ gi /
on 'aura pour y & pour r des quantités rationnelles , en
fuppofant Tune & l'autre formule = *"-?', car on trouvera
y A R S U B S T I T U T I O N . -
¿ — f* !
., _ «-v* ffl fe y s- -f" *" **-. .Ces cas ne préfentent
aucune difKculté.
5¿ y=:{/[(a+bz) (c-Hdz)],^4row£m

I
1
3$ DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
*= a -\- x\ , nous aurons b -4- c\— zax -4- xxz_ ; d'oíi
£ = —— J 5: par conléquenty = a -4- JC ?_ = - .V* — c
expreflions dans Icíquelles £ 8c y font des fondions rationnelles
de x. Soit maintenant
II. y=V(«fl^-4-^-4-f); & fuppofons •foa ^-H ¿^-4- c) =
a^H-x, nous aurons /^ -4- c = zax%-±- xx, Se % = v*^~
Donc _y = ¿r^ «4- x =
• .ac-4- £x — axx
b— tt
Jir. Si / Sc /-font des'quantités négatives, alors a moins
qu'on n'air. ^ 4//", la valeur de y Cera, toujours imagi-
(g) «aire; mais íi qq eft >4/>r, Texpreffion / •+- Q\ -4- r\%
pourra étre décompofée en deux fadeurs ; ce qui reviene
au cas de Tart. précédent. Au refte , ii cíl íouvent plus
commode de ramener á cette forme: y = V \ao -4- (b -4- c\)
((/+«?)]; dans ce cas, pour faire difparoítre le radical,
on fera y = a-h(b-+-c%) x, Sc on aura*/-+-«•£= zax-\-bxx
., , . ¡/ — áa* — ¿** o. —at-+-(cd — be)x—acxx
-f-cxx*; d ou r — _ _ — — * ocy = CVK —

I
40
DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
III. Soit « n = y n -4- * ou n = ^— , en divifant
l'équation par ¡f ", on aura ax" -4- b%
4- cx
= o; d'oü l'on tire \ = (-^ w -^ w ) e^"^. .
_ ^
^-a*«'*-C*V M N ,gJgvl«J fej/gX»^-«s*"-c**"^ag_gv_,J 4
On a donc obtenu de trois manieres différentes des fonctions
de' x égales á ^ Sc á y. De plus? on peut prendre
pour m une valeur arbitraire, excepte zéro, & par ce
moyen les formules pourront étte ramenées á rexpreífion
la plus commode.
EXEMPLE.
Suppofons que la nature de la fondion y foit exprimée
par cette équation y J -4-7/ — cy^ = o, Sc chetchons les
fondions de x égales a y Se á 5. Nous aurons donc a =— 1;
¿-a— i;* = 3; e= 5 ; 7= i, &í=l.
La premiere maniere, en. faifant m == 1 , donnera £ —
C X X
ir -+-*'
La feconde donnera ces valeurs : ^ = Cri?) '* &
y = x ( c ^ ) f ;ou { = - ^ ( a - i ) & 7 ^
La troifieme fournira les réfultats fuivants : ;< = (cx —x') T >
&yc«x (cx — X J ) ».
53. On comprend par-la, qu'en fuivant une marche retrograde
, on pourra former des équations entre y ¿> z, fi" indiquer
la maniere de les réfoudre, en introduifant une nouvelle
variable x. • •
Car fuppofons que la réfolution ait deja été faite , Sc
qu elle
P A R S U B S T I T U T I O N . 4 1
- p
. , . Sax a +bx'°+cxV+.Slc. \ r
qu'elle ait donné ces valeurs z=> { —— , ) »
• „ r — ) • D o n c / = * i>
ni, - 4*" + ¿*ff+c*y-4-8cc. /-
& * - * * ' P^que^ = A ^ B x ^ C x , ^ ^
nous mettons au lieu de x fa valeur y \~¿ > ü en
— *? — gg 7-yf
— *>"* T-^-h^K. p 4-^y y t p -4- &c :
réfulteral'équation i p — _. _rí
^4-¿A—£- •+• Cy t"~7+ &c -
qui fe réduit á celle-ci :AiJ + By"X P " -*" ty'* P
—•*? ,» — e? ~" y?
.+. &c. = oy*r ~f -+- ¿V c í ~7~ -4- cy y * p • -*- «c:
-Í , . - A Z±±L
laquelle érant multipliée par ^ ~f deviendra A\ P
tcq — «« + r ' aq—»q •+• r
.4- By*\ p•— -4- Cy^ >— -+- &c. ...
N ay" -4-¿y e * "V" 1 - -f- ¿y** ~p— -+- &c.- Sup- (*)
pofons -^-— = w , & -Í2-ZÍ2 = n : / deviendra
¿= a _. 4"; o = TZ; SC r=a.m — Gm ^- *n; d'oü naítra
l'équation ^ m -í-^y^x "^r? -4- Cy'i a-Q -4- &c.
^ ay* ^ by^if- -4- cy y ^ T=T* -+* &c -. laquelle
par conféquent fe réfoudra de maniere & avoir.....
/ g«* -I- bx$ -t- c«V -f- &c. \ „ m . u - .„ ¿
*~ ^ ^ + 5^-f- cV-h&c. ^
V:=3( /" *** -f- ¿^g 4- c« y -4-&c N •„», — ?»»-.«* ^
^ A •+• Bx^ -f- C*' -t-Scc'
EULER , Introdudion a ¿'Anal, infin. Tome I. F

4*
DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
*I — I"Í •+• r
ou bien fuppofons n, nous
r
Sc - =
ciq ~*~ T = m, Sc
11
p p
aurons m — n = — L , oc - - =
P
m _, , aW ~ t "•**,. Done /? devient = M , ? = ra — /z; & r =»
^^2 — «m 4-

\M
•
•
44 DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
H- €x n "" s -4- yx n 2 -f- &c. d'oü vous conclurez . .
(
" 4- Cx « — i
m m — i
4* 4- ¿x
/• aX n
y= x K.—n
+ yx" - 2 + ix a ~ 3 -H &c.N ^Z~„
cx dx m — 3 &c. )
Sx n — i -f- yx» - * 4- *«" ~ 3 -f. &c.>y ¿TZT
ax
, m — i
•+bx
m — a
+cx
dx m—3 &c. )
Cette réfolution a lieu toutes les fois que l'équation
entre x Sc y renferme un nombre de dimenfions double;
comme dans. le cas précédent, ou le nombre des dimenfions
dans chacun des termes eft ou m ou n.,
58. S'il fe trouve dans l'équation trois fortes de dimenfions,
de maniere que la plus grande futpajfc la moyenne, autant que
celle-ci furpajfe la plus petite ; on pourra toujours déterminer y
O z en x par la réfolution d'une équation du fecond degré.
Car, íi l'on fait y = x^; aprés avoir divifé par la plus
tetite puifTance de \, la valeur de ^ en x, depondrá de
Í'extradion d'une racine quarrée, comme on le verra par
les exemples fuivants.
EXEMPLE I.
Soit ay* •+• by*i -4- cy\\ •+• d^ — zeyy -4- zfy\
-4- 2g\\ -4- hy -4- i^; faifóns y. asa xz;, - aprés avoir
divifé par £, il refiera (ax* -4- bxx -4- cx •+*• d) 7^ =
z (exx -4- fx -4- g) £ •+• hx >4r i i d'ou nous tirerons
par la valeur de 7 . . . .
gxx-f fx-¥-g-J-y/[(,exx+fx-i-gy-
X~~" ax 1 • 'ax' -t-¿x» -j-cx-j-d) (ftx-f-i)].
•+• bxx -j- ex -+- d
ce qui donnera y = x\. /
EXEMPLE II.
Soit y* = zai£ -4- by -4- c%; nous ferons y '== x^.
Donc x y ?/*=*

W •
I
I
M. •
4¿ Dü DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS
autres fondions, quoique le nombre des termes de la fuite
foit infini. Au refte, il eft évident qu'une fondion non
entiete de ^ ne peut étre repréfentée par un nombre fini
de termes de cette forte: A -4- B \ -4- C^ -4- Scc; car íi
elle pouvoit l'étre, elle feroit par cela méme une fondion
entiere; Sc fi quelqu'un doutoit qu'elle püt étre exprimée
par une telle ferie d'un nombre infini de termes, le développement
méme de chaqué fondion ne kii laifTera aucun
doute; mais pour plus de généralité, outre les puiíTances
de >[, qui ont des expofans pofitifs Se entiers, on doit
admettre des puiíTances quelconques. Ainfi il ne refiera
aucun doute, que toute fondion de •{ ne puifTe étre transformée
en une ferie infinie de cette forme: A\ -\-B-{ •+<
C\ v -4-*DT/_, les expofans *,£, y, S, Scc. exprimant des
nombres quelconques.
6o. On fait qu'au moyen d'une divifion continué, la frac-
tion
a
aí'z !
n r ,r . . . - . a agz ag'z 1
-=- le refout en cette fuite intime: r + '—r-
• a ° z * — &c, laquelle nomme une progreffion
gz
géométrique}parce que choque terme a un rapport conftant i: —>
avec celui qui le fuit.
II y a une autre maniere dG trouver cette ferie; c'eft de
la fuppofer d'avance, quoique inconnue , toute développée:
car, foit = A 4- 57 -4- Cf -f- D-C 4- E?4- &c. Pour
gt
produire l'égalité , cherchons les coéfficiens A3 B, C, D, Scc ;
nous aurons a = («4- f *) ( A -4- B^-4- Cf -4- D? -4- Sec.)
Sc aprés la mulriplication faite, . . . . . . . . .
a = *A 4- *Bi -4- «Cf-H ^ { ! + «JFr^4- &c.
-4- eA^ -4- eBf 4- fC^-4- CD? 4- &c.
Par conféquent nous devons avoir a = « ^í, donc A = ~-\
il faudra enfuite égaler a zéro la fomme des coéfficiens de
chaqué puifTance de \; ce qui donnera les équations:
• - - m
EN S E R I E S I N F I N I E S . 47
*B 4- €A = o chaqué coéfficient trouve fera donc con-
*C-4-£.fí = o noírre facilement le fuivant. Car fi le
«D-+- £ C = o coéfficient d'un terme quelconque = P,
*E-t- £D=o & le fuivant = @; onaura* Q-+-£P =
G P
Scc. o , ou Q = — —• Ainfi le premier
terme A = — > étant une fois determiné, on en conclura
ct
les valeurs des lettres fuivanres B, C, D, Sec. qü'on tiouvera
les memes que celles que donne la divifion. Au refte,
on voit a Tinfpedion , que dans la ferie trouvée pour •• • „ - >
le coéíficient de la puifTance % fera = H^ -7—[>l e «gne 4-
te
ayant lieu lorfque n eft un nombre pair , Sc le figne —
lorfque n eft impair , ou íi l'on veut, le coéfficient
61. On peut de méme, au moyen d'une divifion continué,
convertir en une ferie infinie la fradion —^—5 •
.Mais comme la divifion eft une opération ennuyeufe, Sc
qu'elle ne fait pas connoitre fi facilement la nature de la ferie
infinie, il fera plus commode de préfuppofer. la ferie qu'on
doit avoir, Se de la déterminer de la maniere precedente.
Soit donc -1t*I- • =A-+-BK-Í-CT 1 -+-V?-I-ET* + SCC.
a-+-g{-4-yíí X X X X
multipliez depart 6c d'autre par ••{•{, Sc vous aurez
a -f- bi = *A-\-«Bi-k-*C^ -4-«Z>^ J -4- «.E^-f- Scc.
-t- 6Ai -4- eB£ 4- cC£ -4- eDf -+- &c.
+ > ^ + yBf 4- y C$* •+• Scc.
Done * A = a; «B 4- CA = b; d'oii A = -> Se B = -
a ^
— - " • Les autres lettres feront déterminées par les équations
fuivantes:

1
i 48
I l
•
Dü DÉVELOPPEMENT DES FoNCTlONS
*.C-+"GB-+~yA= o On peut donc, au moyen de deux
«D-+-cC-t-yB = o coéfficiens confécutifs quelconques,
a.E-^-CD-+-yC== o trouver le fuivant. Par exemple,
«F-hGE~{-yD= o fi les deux coéfficiens confécutifs font
P Se Q, Sc le fuivant R , on aura
&c>
«R-i-£Q + yP= o, ou R = ~ s Q.- vP .. Ainfi les deux
premieres quantités A Sc B une fois calculées, les autres
dériveront fucceffivement de celles-ci; Sc on aura la ferie
infinie A -4- B$ 4- Cf 4- D? 4- &c. égale á la fradion
P r °P° fée "> + cT-t t r«*
£" X £ Jtf P L E.
Soit la fradion -,1*1^» & prenons pour la repréfenter
la ferie ^ -H B{ -4- Cf -+- D £ -4- &c. a caufe de o = 1;
A = 2- tt= i* £ = — i;> ——1, nous aurons dabord-íís— 1;
Sc B = 3 ; enfuite . . . . . . '
C — 5 -t- J[ Done chaqué coéfficient eft égal a la fomme
D=C-i-B des deux précédents. Ainfi, en fuppofant
E =* D -4- C connus les deux coéfficiens confécurifs P Se Q,
p= E+-D le fuivant fera R = P 4- Q. Puis donc
Scc. que les deux premiers coéfficiens AScB fonc
connus, la fradion propofée 7=—"*- fe chan e en cette
S
ferie infinie f.~*> 5 \ •+• 4*- *i-T-tf «*":*?** -4- 18 */ -*- &c,
qu'on peut prolonger fans peine auffi lom qu on voudra.
62. Ce que nous venoris de diré fuffit pour roettre k
portee de bien connoitre la nature des feries infinies , qutproviennent
du développement des fondions fradionnaires;
car elles obfervent une telle loi, que chaqué terme peut
étre determiné par quelques-uns de ceux qui précedent.
Par exemple, fi le dénominateur de la fradion propofée
eft z;4-Jz»,
on obtiendra la valeur d'un coéfficient quelconque $ de la
ferie, au moyen des trois précédents R, Q Sc P, en faifant
«.S -4- GR 4- y Q 4- ¿P = °» u en ^ era & méme des autres.
Ainfi dans ces fortes de feries, chaqué terme eft determiné
par quelques - uns des termes qui précedent, íuivant une
cerraine loi confiante , qui fe conclut naturellement du
dénominateur de la fradion qui produit la ferie. Le célebre
MOIVRE, quia examiné plus particuliéremenr la nature de
ces feries, les appclle Recurrentes} par la raifon' qu'il faut
recourir aux termes qui précedent, pour trouver ceux qui
fuivent.
63. Au refte, pour la formation de ces feries, il faut
que le terme conftant * du dénominateur ne foit pas = o;
.car, ayant trouve le premier terme de la ferie A = -,
celui-ei Sc tous les fuivants feroient infláis íi * étoit = o.
Excepté donc ce cas que je traiterai dans la fuite, la fondion
fradionnaire, qui doit étre transformée en une ferie infinie
c a "*" ¿ t -+- e t % •+• ^í' + &c - T-
récurrente, aura cette rorme: \_al_-t,_y{!_^+
_&c. * JC
fuppofé le premier terme du dénominateur = 1, car une
fraclión peut toujours étre ramenée a cet état, á moins que
le premier terme ne foit =- o;. & je regarde tous les autres
termes du dénominateur comme négarifs, afín que tous les
termes de la ferie qui en deriven; loient poíitifs. En eñet,
ü la ferie recurrente , dont il s'agit, eft repréfenrée par
j _t_ Bi -+- Cf -t- Df -4- Ev£ 4- Scc 3 les coéfficiens fe
détermineront comme il fuit :
EULER , Introduclion d l'Anal, infin. Tome I. G

i
50 Du DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS
A = a
B = *A -hb
C — ctB -hCA -+• c
D•'= *C-^cB-h7A+-d
E = aD-^-CC^yB^-^A 4-¿
Scc.
Chaqué coéfficient eft donc égal a la fomme de quelques
múltiples des précédents , i/ointe a un certain nombre que
donne le numérateur; mais a moins que ce numérateur
n'ait une infinité de termes, cette addition ceííera bientót,
Sc dés-Iors chaqué terme fera formé fuivant une loi confiante
par quelques-uns des précédents. Mais pour que la
loi de la progrefiion ne foit pas troublée, il conviendra
d'employer une fondion fradionnaire proprement dite ; car
íi on en employoit une autre, la partie entiere que celle-ci
contiendroit, entreroit dans la ferie, Se interromproit la
loi de la progrefiion dans les termes qu'elle augmenteroit
ou diminueroit. Par exemple, cette fradion improprement
dite I "t_ 2t ~ t ; y donnera la ferie 1 + 3{ + 4f + 6{'
-4- 107 4 H- ió^ f -H 26** 4 1 - 427J-4- Scc; oii le quatrieme
terme fait exception a la loi, par laquelle chaqué coéfficient
eft la fomme des deux précédents.
64. Les feries recurrentes méritent une áttention particuliere,
lorfque le dénominateur de la fradion, d'oü elles
naifTent, eft une puifTance. Par exemple, la fradion , *_ *.;
iéduite en ferie donnera
a-*-z*a -4- 3 «*ÍZ I-4-4*'ÍZ 3 4- 6a*a-4 4- &c.
-f- b -V 2 «.b -f- $*b -4-4*'^
ferie dans laquelle le coéfficient de la puifTance %" eft
(n _j- 1)

..-"
52 Du DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS
cette ferie renfermera tourcs les progreílions algébriques
du troifieme ordre, dont les diíTérences troifiemes íont
conftantes. Done toutes les progreílions de cet ordre que
je repréfente par A -4- B -+- C-^-D -4- E -4- F-+- Scc. feront
des feries recurrentes dépendantes du dénominateur i — 47
_}_ ¿7* —, 4^'-4- T* ; d'oii il s'enfuit que E — 4.D — 6 C
.4. 4 ¿ _ A;F = A.E—6B -+- A

m
I
'ríT*"
54 Du DÉVELOPPEMENT DES FoNCTIONS
. ^ ^ ^ = 4 4- £ 4- C-f- DK 4- i? r* -4- &C¿
Sc en sénéral
4-
-I- ¿{4- c{'+ &c.
A
= — 4 -
"{*(i-«t - «Y-vt ! -& alors v = • ~~ z ~ zx ., Se par conféquent y =.— 2 —
H-# y 1—4* — #* * * • /
iox— 42XX—178X 3 —• 754/c 4 — Scc. On peut de cette
maniere trouver pour y autant de feries recurrentes qu'on
voudra.
71. Les fondions irrationnelles font ordinairement transformées
en feries infinies, au moyen du Théoreme general:
m
— m
(P4-0 "=.P"4-^P
m(m— n)
n. ÍÍ f 0*
m(m-n)(m-2n) p 1!_11 O' -h Scc : en effet, a. moins que *
n. 2 n. 3 n " *"- n
ne foit un nombre entier pofitif, le nombre des termes eft
infini. Ainfi, en mettant pour m Sc n des nombres determines
, on aura . . , .
t_
(P+Q)-í=P~í-±P~ÍQ+ yp-r £*—iiMp--5- Qi+. scc,
E N
S E R I E S I N F I N I E S . 5?
(P+0 w ^p^e-^p-^^^p-v^^scc.
(P^^í^p-f-ip^^^e-^"^ e+ía.
(P-4-0 W ^p-T^_.^Q I 4-^p-^
1 + n
" " p j Sc en multipliant
m
le réfultat pat P » , nous obtiendrons la ferie ci-detTus. Mais
íi w ne défigne pas feulement des nombres entiers, mais
auíli des nombres fradionnaires, on pourra en toute süreré
prendre l'unité pour n. Cela pofé, fi nous écrivons Z au
lieu de 2.» qui eft une fondion de ^, nous aurons (i -4- Z) n
== x ^ ^.2 4- , "; (w 7 l) Z*-H w -("-Q('"-^ Z J 4- Scc.
Mais pour bien obferver les loix fuivanr.es des progreflions,
il fera bon d'avoir remarqué cette conveffion en ferie de la
formule genérale (i -f- Zf~ = i -+- fc^^fcí&í Z'
(m-i)(w--a)(w-3) z ? ^ &C>
2.
73. Soit d'abord Z a *:{; nous aurons (1 4-

56 Du DÉVELOPPEMENT DES FoNCTIONS
_f_ ( 7 "~ 1 ) - j _ («—*)(» — ») ai ?* . (*—i)(»» —a)(m —3) aj y
4- Scc. Au lieu de cette ferie, écrivons la formule genérale
j _+_ Ai -+-Bf 4- Cz r 4r 4- Af %; a 7 x 4- A 7 "/'-»- Scc.
Chaqué coéfficient A -dépendra du précedent M, Sc fe
trouvera au moyen de l'équation A r = - * M. Ainfi en
faifanr n = i, comme M eft = i , nous aurons N =
m —i
a., Faifant enfuite. n = z, a caufe de M —
A = -—- «, nous "trouverons A 7 " = B = * M ^
(«-OO»-*) ,»• & en fuivant le meme ptocédé, C ==*
I. 2 * 4
* a. B = K — — * J ; comme le fait voir la
3 i. 2. 3
ferie trouvée ci-deíTus.
74. Soit Z •=> a-\-\-^\\\
m— i
nous aurons (i—H «^4-^7 7)
Difpofons donc les puiíTances de ^ par ordre de grandeur,
ce qui donnera (i4-*{4-^{)"' I = . . . . . . .
i4("- , ) n+ M ( "" > ) » , f+ M ( ""- f a ) « , ? i +&C.
1 x 1. a «• 1. 2. 3
denrs par l'équation N = " "^ " "Af 4 ~7~ ^> ^**fi
tous les termes pourront fe conclure du premier, qui eft 1.
En effet, on aura •
¿ = Cjfci) ¿
£ ¡==>
, fm — i) , , (m—1) (m — 2) . .1. .
4- V ¿ « £ 4- ^7 ¿ 2aC^ 3 -f- SCC
Écrivons, pour cette ferie, la formule genérale : . . .
1 + ^4.5^4-^4- 4-Z {"- í +M^- I +
JV"7' l 4- Scc; chaqué coéfficient fe déduira des deux précé­
(m _ a)V
'.¿
( » — 2)
/
EN SERIES INFINIES. 57
c s- kmSl «B 4- fc^- } c¿
r)==fclii*C4- ( ^=^g5
4 N • 4
8cc. x '
75. Si Z «= «?_ 4- r^^C4- ( ^^c5+ ( ^ ) ^
£ _ fcáú ,D 4- t ^ c c+ ( -^f- 5) \B
Scc.
EULER , Introduclion a lAncd. infin. Tome I. H

_II
58 Dü DÉVELOPPEMENT DES FoNCT. ÉN SERIES INFINIES.
76.' Done, en general, íi nous fuppofons (i4~, les feries
troúvées fe conviendront parfaitement. Au refte, ce n'eft
pas ici Je Jieu de démontrer diredement la loi de cette
progrefiion: ce qui pourra fe faire facilement dans la fui re
par les principes du calcul difFérentiel; il fuffira donc en
attendant d'en avoir prouvé la vérité par Tapplication que
nous en avons faite á toutes fortes d'cxemples.
DES FONCTIONS DE DEUX OU D'UN PLUS GRAND, SCC. 5*
CHAPITRE V.
Des Fonclions de deux ou d'un plus grand nombre
de Variables.
77. Les quantités variables que nous avons confidérées
jufqu'ici, avoient entr'eües une telle liaifon, qu'elles étoient
toutes des fondions d'une íéule variable, Se que la détermination
d'une feule emportoit celle des autres; mais nous
allons traiter á préfent des quantités variables qui n'ont
aucune dépendance reciproque, de maniere qu'en fubftituant
k Tune d'elles une valeur déterminée, les autres
reílent encoré indéterminées Sc variables. Ces fortes de
quantités que je repréfente par x, y, %, quant á leur fignification
ne changent point de nature, chacune renfermant,
comme á Pordinaire, toutes les valeurs déterminées, mais
en les comoarant on remarquera entr'elles cette difTérence,
que ñ l'on met pour 7, par exemple, une valeur quelconque
déterminée , les autres x Sc y auront une fignification
auffi indéfinie qu'auparavant. La difTérence entre les
quantités variables, dépendantes ou indépendantes les unes
des autres, confifte donc en ce que, pour les premieres la
valeur déterminée d'une feule donne cdles des autres, Sc
que pour les dernieres la décermination de Pune ne limite
nullement la fignification de ceiles qui reílent.
78. Done une fonclion de deux ou d'un plus grand nombre
de variables x, y, z, efi une expreffon compofée de ees
quantités, de quelque maniere que ce foit.
Ainfi l'expreííion * s 4- x\\ 4- af fera une fondion des
trois variables x,y, £. Si dans.cette quantité on determine
une variable, par exemple % , en mettant un nombre cenftant
en fa place, elle demeurera encoré une quantité variable,
favoir, une fondion de x Sede y; mais fi, outre ?,yeíl
H ] )
I

m
>
I
I
I
1
ío DES FONCTIONS DE DEUX
auffi determiné, il ne refiera plus qu'une fondion de x. Une
fondion de plufieurs variables n'obtiendra donc une valeur
déterminée ,• qu'aprés que chacune des quantités indéterminées
qui la ccmpofent Catira recu une valeur donnée.
Donc une quantité variable pouvant etre déterminée d une
infinité de manieres, Une fondion de'deux variables, qui
pour chaqué valeur de Pune d'elles ," eft encoré fufceptible
d'une infinité de valeurs, admettra une infinité de fois un
nombre infini de dcterminations. Le nombre de dérerminations
fera encoré une infinité de fois plus grand dans
une fondion de trois variables,¡Sc. croítra á proporción.'
pour un plus grand nombre d'indéterminées.
"70. les fonclions de plufieurs variables fe divifent commodémeht
comme celles d'une feule, en algébriques O en
tranfeendantes. - , -.
Les premieres font celles dont lacompofition ne dépend
que d'opérations algébriques; les dernieres font celles dans
la form'ation defquelles il entre des opérations tranicendantes.
On pourroit encoré á l'égard de celles-ci en diitinguer
de plufieurs efpeces, felón que les opérations transcendantes
aífedent toutes les variables, ou quelques-unes
feulement, ou méme une feule. Ainfi Pexpreflion ?í 4-y
loe. 7, qui renferme le logarithme de ^, fera bien une
fondion tranfeendante de y Se de" r; mais elle doit etre
regardée cependanr comme moins-tranfeendante, parce que
la variable 7 une fois déterminée la fonclion devient algébrique.
Au refte, il eft inutile de multiplier ces fortes de
fubdiviíions.
8 o Les fonclions algébriques fe divifent enfuite en rationnelles
& en irrationnelles i O les rationnelles en entieres & en
La° raifon de ces dénominations eft fuffifamment expliquée
dans le premier Chapitre. La fondion rationnelle eft dégagée
de toute irrationnalité, qui affede les quanutés variables,
dont elle eft dite fondion. Elle fera entiere s'il n'entre point
I
ou D'UN PLUS GRAND NOMBRE DE VARIABLES. 6I
de fradion dans fa compofition, Sc dans le cas contraire
elle fera fraplionnaire. Telle fera done la forme genérale
d'une fondion entiere de deux variables y &^:« + íy +
7* 4- *y
Donc fi P
O défignent des fonclions entieres, íoit de
Se
deux, foit d'un plus grand nombre de variables, -^ feral:
forme venérale des fondions fradionnaires. Enfin une fonction
irrationnelle eft ou explicite ou implicite ; celle-la fe
reconnoit aux radicaux qu'elle met en évidence; Sc cclle-ci.
eft donnée par une équation infoluble. Ainfi V~ fera une
fondion implicite-irrationnelle "dey Sc de \, fi l'on a /^' =
(ayí4-í 3 )^4-(y 4 4-í 4 )/ >r 4-/4-lízy^4-f.
%\. On veut auffi difiinguer des fonclions multiformes de
plufieurs variables comme d'une feule.
Ainfi les fondions rationnelles feront uniformes, parco
qu'a chaqué détermination des variables elles ne recoivent
qu'une feule valeur. Soient P,Q,R,S,Scc. des fondions
rationnelles ou uniformes des variables x, y , 7; V fera une
fondion biforme des memes variables, fi V*~P V-\-Q= o;
car quelques valeurs déterminées qu'on fubftitue aux quantités
x, y Se \, la fondion V aura toujours non une fimple,
mais une double valeur. De méme V fera une fondion
triforme ,fi V — P V* 4- Q V— R = o, Sc une fonclion
quadriforme, fi V"— P V 4- Q ^ - R V-+ S == o On
afli

-1,
6z DES FONCTIONS DE DEUX
fera déterminée par les deux autres, Sc deviendra une
fondion de celles-ci. II en feroit de méme, fi on égaloit la
fondion non a zéro, mais a une quantité confiante, ou
méme- a une autre fondion ; car, dans toute équation
quelque foit le nombre de variables qu'elle renferme , la
valeur d'une feule dépend toujours des autres, Sc en devient
une fondion. De méme au moyen de deux équations différentes
entre les memes variables, deux variables font déterminées
par les autres; ainfi de fuite.
83. La divifion la plus remarquable des fonclions de deux ou
d'un plus grand nombre de variables, eft la divifion en homogenes
& en héterogenes.
S'il regne par-tout un égal nombre de dimenfions, la
fondion eft dite homogene ; finon elle eft hétérogene.
Chaqué variable eft cenfée former une dimeníion ; le quarré
d'une variable, ou le produit de deux forme deux dimenfions;
le produit de trois variables répétées ou non, trois,
ainfi de fuite; les quantités conftantes naugmentent point
le nombre des dimenfions. Par exemple, dans ces formules
«y, f£, on ne compre qu'une dimenfion; on en
compte deux dans celles-ci: «y 1 ; Gy^; y£; rrois dans ces
autres «y'; Cy*r^; yyg; *•£; 6c quatre dans ees dernieres:
".y 4 » ^'X'» yy % "C » AXX 1 > e I 4 » a " in ^ ^ es autres.
84. Appliquons d'abord cette diftindion aux fondions
entieres, Sc fuppofons qu'il n'y air que deux variables; car
ce que nous allons en diré conviendra a un plus grand
nombre.
Une fonclion entiere fera homogene , fi chaqué terme a un
égal nombre de dimenfions.
II fera donc ttés-commode de fubdivifer ces forres de
fondions, fuivant. le nombre des dimenfions que forment
les variables. Ainfi «y 4- C ^ fera la forme genérale des fonctions
entieres d'une dimeníion; «y 1 -!- Cy\ 4- yr* la forme
genérale des fondions entieres de deux difnenfions. La
forme genérale des fondions de trois dimenfions fera
ou D'UN ruis GRAND NOMBRE DE VARIABLES. 6$
comprife dans Pexpreflion «y 3 4- Gy 1 ^ 4- yy\ 2 -+- f^; celle
de quatre dimenfions dans ay 4 4-£y J £ 4- *****•+• ¿y 7 5 4-
«jr 4 , ainfi des autres. Par analogie la quantité confiante «
fera une fondion de dimenfion nulle.
85. Une fonclion fradionnaire Iiomogene, eft celle dont ¿e
numérateur & ¿e dénominateur font eux-mémes des fonclions
homogenes.
Ainfi cette fradion ^--—J~ fera une fondion homogene
dey Sc de ^. Or on connoírra le nombre de dimenfions, en
fouftrayant du nombre des dimenfions du numérateur celui
des dimenfions du dénominateur; on trouvera d'apiés cela
que la propofée eft une fondion d'une dimenfion. Cette
autre fradion £—— fera -une fondion de ttois dimenfions.
yy-*-¿i
Donc, s'il y a le méme nombre de dimenfions dans le numérateur
Se dans le dénominateut, la. fradion fera une fonction
de dimenfion nulle; comme dans la quantité - y **-• J
ou dans celles-ci: |; ¿0-; Jl. S'il y a plus de dimenfions
dans le dénominateur que dans le numérateur, le nombre
des dimenfions de la fradion fera négatif: ainfi ¿L fera une
0
tí
fondion de — 1 dimenfion.' ~~¡. une fondion de — x
' ¡r-r- r
dimenfions: -— une fondion de— 5 dimenfions, parce
qu'il n'y a aucune dimenfion dans le numérateur. Au refte,
il eft évident que plufieurs fondions homogenes, dans lcfquelles
il regne un méme nombre de dimenfions , étant
ajoutées ou foufttaites, donnent toujours une fondion homogene
du méme nombre de dimenfions. Par exemple, cette
expreflion * y 4 -/- 4- ~~-~: fera une fondion d'une
1 J
y yy\-*ryn
feule dimenfion, Sc celle-ci * 4- -& 4- -^ 4- ^±-"- fera
x y y yy — tz
une fondion de dimenfion nulle.
86. La nature des fondions homogenes s'étend auíli aux

,i ii i
I
M -
64 DES FONCTIONS DE DEUX
expreflions irrationnelles. Car fi P eft une fondion quelconque
homogene de n dimenfions, par exemple, VP íera
une fondion de \ n dimenfions; \¡ P lera une fondion de f n
dimenfions, Sc en general P T fera une fondion de -^ n
dimenfions. Ainfi V{yy 4- \\) fera une fondion d'une
dimenfion ;V (y 9 4- f) fera une fondion de trois dimenfions:
(y?4-?í) 7 fera une fonclion de i dimenfions,
& HL±JS- felra Une fonclion de dimenfion nulle. D'aprés
cela /sc* ce qui precede , on comprendra facilement que
„ (r -1 . yV(yy + u) y _,, Z^í .
1 expreflion - 4 g ¡/(y'-t?) ^ iWy + V fondion
de — 1 dimenfion, en faifant y = u%, /^deviendra =
\~ '. ( """*",•')» Les fondions irrationnelles ne font pas plus
exception; car fi F= ?j!foffiffi > °l u[ eft une f o n & ion
¿e — 1 dimenfions; en faifant y = u\, on obtiendra l'équa-
tion V=* T~ » (• U J¡us+ U 1y ° )' Ainfi, de cette maniere, les
fondions homogenes de deux variables feulement feront
ramenées á des fondions d'une feule variable; car la puiffance
de •{ érant un fadeur, eft cenfée ne pas altérer Ja
fondion de u.
89. Done une fonclion homogénea des deux variables y & z
d'une dimenfion nulle, aprés la fubftitution de y =* uz fe changera
en une fonclion puré de la feule variable u.
Car le nombre des dimenfions étant nul, la puiffance
de \, qui multipliera la fondion de u fera \° = 1 ; Se dans
ce cas la variable \ fort tout-a-fait de Pexpreflion. Par
exemple,foit F= 5~& > en faifant y=u \, on aura V= ^ ;
Sc pour les fondions irrationnelles ,fi on a ^«á^^í^Ilíí/.,
en fuppofant y = u %, V deviendra = u — V (u u — 1). .
90. Une fonclion homogene & entiere de deux variables y & z,
pourra étré décompofée en autant de facleurs fimples de la
forme *y 4- £z, qu'elle aura de dimenfions.
EULER, Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. I
•
IJ
I
P

66 DES FONCTIONS DEDEUX
Car la fondion étant homogene, fi Pon fait y == u\, elle
fe changera en un produit de ^"par une certaine fondion
entiere de u, laquelle par cette raifon pourra étre décompofée
en fadeurs limpies de la forme ¿u 4- C. Multipliant
chaqué fadeur par £, chacun aura la forme a.u\ 4- £;[ =
«y4-C¡[, á caufe de u^ =y; mais a caufe du multiplica-
teur T", il y aura autant de fadeurs de cette forme, que
l'expofant n contient d'unités, Sc ces fadeurs fimples, feront
ou réels ou imaginaires, fuivant que les coéfficiens * Sc C,
feront ou réels ou imaginaires.
II fuit donc de-la qu'une fondion de deux dimenfions
a yy 4- i'yi •+• C IK. renferme deux fadeurs fimples de la
forme *y 4- £r_; Sc qu'une fondion relie que ay i -\-by x -{ 4cyT¿-\-di¿
aura trois fadeurs fimples de la forme «y 4- £>£.
II en fera de méme des fondions entieres homogenes, qui
auront plus de dimenfions. •
91. Done cette expreflion «y +£? comprend la forme
genérale des fondions entieres d'une dimenfion, comme la
quantité (*y4-Sz) (-,y4-x)(Jy4-«i[4- %x); Sc les fondions d'un
ou D'UN PLUS ORAND NOMBRE DE VARIABLES. 6y
plus grand nombre de dimenfions font encoré moins fufeeptibles
d'étre ramenées á de femblables produits.
92. On comprend par ce que nous venons de diré des
fondions homogenes, ce que c'eft qu'une fondion hétérogene;
c'eft , comme nous Pavons dit, celle dans laquelle
tous les termes n'ont pas le méme nombre de dimenfions.
Les fondions hétérogenes peuvent étre divifées fuivant^ la
multiplicité des dimenfions. Ainfi nous appellerons fondion
bifide , celle qui renferme un nombre double de dimenfions
; elle fera par conféquent un afTemblage de deux
fondions homogenes, dans lefquelles les nombres des dimenfions
font diíTérents ; par exemple >y r 4- zy'f 4-yy 4- ;[£
fera une fondion bifide, parce qu'eíle contient partie cinq ,
partie deux dimenfions. Une fondion trifide, eft celle dans
laquelle il fe trouve trois nombres diíTérents de dimenfions,
ou qui peut étre partagée en trois fondions homogenes,
comme y 6 4- y*í a 4- z 4 4- y — 7.
II y a en outre des fondions hétérogenes fradionnaires
ou irrationnelles,telIement compliquées, qu'on ne peut les
décompofer en fondions homogenes ; teiles font les expreffl0ns
£fc¡aL; jg-V(rrf«).
H -+- tí yy — b i
93. Quelquefois une fondion hétérogene, au moyen d'une
fubftitution convenable, faite á la place d'une ou de deux
variables, peur devenir homogene. 11 n'eft pas fí facile d'indiquer
dans quels cas ce changement a lieu. II fuffira donc
de préfenter quelques exemples qui en faflent connoitre Ja
poífibilité. Soit propofée , en conféquence, la fondion
yí _f_ ?yy 4-y' ¡j 4- — j avec une legere attention on vena
qu'elle devient homogene en faifant ^t==xx; car alors elle
devient y s 4- x 4 y 4- y J x*4- *—j fondion homogene de cinq
dimenfions des variables x Sc y. De méme la fondion
« 4.y , x + _y ! x'+y t x 4 +- fera rendue homogene en
I
«t.

¥ 7
•
•
m
n
9
68 DES FONCT. DE DEUX OU D'UN PLUS GRAND NOMBRE, SCC.
faifant x = — • car elle devient la fondion d'une dimen-
fion y 4- — 4- — 4- — 4- a ?• II y a d'autres cas oü une
fubftitution auffi fimple ne fuffit pas pour rendre la fondion
homogene, Sc qui préfentent beaucoup plus de difficultés.
94. Enfin on doit avoir égard a. une autre diviíion aljez
ufitée des fondions entieres ; je veux parler de kur divifion
en ordres. L'ordre eft determiné par fe plus grand nombre
des dimenfions qui fe trouve dans la quantité. Par exemple,
xx _4_ y y -4- rr -h ay — aa eíl une fondion du íecond
ordre, parce qu'elle a des termes de deux dimenfions;
& y4+y^—ay* \ 4- aby•{ — a*y l -¥- b* appartient aux
fondions du quatrieme ordre. On a égard a cette .divifion,
fur-tout dans la théorie des Iignes courbes; d'oii réfulte
encoré une nouvelle divifion des fondions enrieres.
95. Refte a parler de la divifion des fondions entieres
en complexes Sc en incomplexes. Une fondion complexe,
eft celle qui peut .étre décompofée en fadeurs rarionnels,
ou qui eft le produit de deux ou d'un plus grand nombre
de fondions rationnelles ; telle eíl la fondion y* — •£
.+. 2a7_ J — zbyii — a*?4- zab^y—b*y\ qui réfulte
de la multiplication de ees deux fonclions . - . . . .
•(yy .4. u— a^4- by) (yy — ?*-+-.** ~ ¿y). Nous
pouvons donc conclure que rou-e fondion entiere homoo-ene,
qui renferme feulement deux variables, eft une Jonenon
complexe, parce qu'elle a autant de fadeurs fimples
de la forme «y -+- C\ qu'elle contient de dimenlions. Par
la raifon contraire une fondion entiere fera ineomplexe,
fielle ne peut fe décompofet en fadeurs rarionnels; telle eft
la quantité yy 4- \\ — aa, qui ne renferme point de facteurs
rarionnels, ainfi qu'il eft aifé de s'en convamcre. Au
refte, c'eft par la recherche des divifeurs qu'on pourra s'affurer
fi' une fonclion donnée eft complexe ou ineomplexe..
DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES ET DES LOGARITH. 69
CHAPI.TRE VI.
Ves Quantités exponentielles & des Logarithmes.
«6 Quoique la connoiíTance des fondions tranfeendantes
¿Vive faire un des objets du calbul integral, cependant il
fera a propos de traiter ici de quelques eípeces qu. fe préfentent
plus fréquemment, Se qui preparent la voie a plufieurs
«cherches. Nous confidérerons. done dabo.d les
quantités exponentielles, ou les pu.ffances dont 1expo ant
eíl une quantité variable; car il eíl clair que ees íortes de
quantités' ne peuvent étre rapportees aux fonclions a gé-
¿riques, puifque celles-ci n'admettent que des expofans
conftants. On diftmgue plufieurs efpeces de q"*^"P?nentielles,
fuivant que l'expofant feul , ou que 1 expofant
avec le nombre qu'il affecle eft une quantité variable; aS eft
de la premiere efpece , Se y" de la feconde. Deplus,l'expofant
méme peut étre une quantité exponentielle, comme
dans les formules ¿* /} / 5 ¿' Nous ne multiplierons
pas davantage les efpeces de ces grandeurs; car leur nature
fera fuffiíarnment connue, aprés que nous aurons traite
feulement la premiere efpece.
Q7 Soit donc propofée la quantité exponentielle a\ ou
ce qui reviene au méme, une puifTance de la confiante a,
qui ait pour expofant la variable 7. Cec expofant z renfermanr
tous les nombres determines, il eft ev.dent que fi a
la place de *_, on fubftitue fucceílivement tous les nombres
entiers pofitifs, on obtiendra pour a* les valeurs déterminées
¿; a 1 1 a?; a*; a", a 6 ; Scc; Sc 11 Pon met pour x les nombres
né¡atifs - 1, - 2, - 3 , Scc, la quantité a\ deviendra fuc-
/

i
1
MF"~^
70 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
ceflivement -; -i-; -\', \ l Scc; Sc fi Pon fait 7 = 0, on
aura toujours a° = 1. Mais fi Pon fubftitue a \ des fradions,
comme \; }; ~; ^; ^, Scc, on aura pour réfultats les quantités
Va;\Ja; \¡c?; y a; \¡a>; Scc; lefquelles confidérées
en elles-mémes, ont deux ou un plus grand nombre de
valeurs, puifque Pextradion des racines en fournit toujours
plufieurs. Cependant on n'admet ordinairement dans ce cas,
que les valeurs qui fe préfentent les premieres, c'eft-a-dire,
celles qui font réelles Se politives, parce que la quantité aS
eft regardée comme une fondion uniforme de \. Ainfi a"
tiendra un certain milieu entre a* Sc a?, Se fera par conféquent
une quantité du méme genre; Sc quoique a' ait la double
valeur —aaVa Sc 4- aaVa, cependant on ne tient compte
que de la derniere. II en eft de méme fi l'expofant \ a des
valeurs irrationnelles ; mais comme il eft difhcile dans ce
(p) cas de concevoir le nombre de valeurs que renferme la
quantité propofée, on fe contente de coníidérer la feule
valeur réelle. Ainfi ar 7 fera une valeur déterminée comprife
entre les limires a* Sc a 1 .
98 Les valeurs de la quantité exponentielle a 1 dépendent
fut-tout de la grandeur du nombre conftant a; car, fi
a=\, Oj fera toujours = 1, quelque valeur qu'on fubftitue
á l'expofant % ; mais fi a eft > 1, la valeur de a 1 fera d'autant
plus grande, qu'on fubftiruera á ^ un plus grand nombre,
jufqu j¿ ce qu'elle devienne «= 00 , en faifant % =• «=; fi
^ ^ 0 j ai deviendra = 1, Sc fi \ eft

t
72 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
politive qu'on premie pour y, il y aura pour g une valeur
correfpondante, qui fatisfera á la condition a 1 =* y; mais fi
on donnoit a y une valeut négative, 1 expofant % ne pourroit
avoir une valeur réelle.
101. Soit doncy = a í , y fera une certaine fondion de £,
Sc on verra facilement par la nature des puiíTances quel
rapport il y a entre y Se |. En effet, quelque foit" la valeur
qu'on donne á %, celle de y eft par-la déterminée. On a auffi
yy==íZH.y==a3l. & en general y" = a^; d'oii Vy~
K
'• y
-í.
yy
ainfi des autres. De plus fi v -= a*•> on aura vy = a
Se — == a*~ l Ces confidérations font propres á facilitet les
y
moyens de trouver la valeur de y, celle de \ étant donnée.
E X E M P L E .
Soit a = 10 ; a. caufe de PArithmétique décimale dont
nous nous fervons, il fera facile d'avoir les valeurs dey,
lorfqu'on prendra pour \ des nombres entiers. En efTet, on
aura 10 10; 10
Sc 10 = 1; de méme 10
s 100; io 3 = 1000; io 4 = 10000,
1
10
o, 1; 10
0,01; 10 -' ==> -^ => o, 001 : Sc fi Pon prend pour % des
1000
fradions, les valeurs dey pourront étre indiquées a Paide de.
Pextradion des racines; ainfi io T = V"\o = 3, 162277 Scc.
102. Si étant donné le nombre a , on peut conclure de
chaqué valeur de %, celle de y; réciproquement ayant pris
pour y une valeur quelconque pofitive , on concoit qu'il
exilie pour \ un nombre convenable pour que a K -=y; cette
valeur de %, en tant qu'elle peut étre regardée comme une
fondion de y, s'appelle ordinairement le LOGARITHME
de
1
100
ET DES L O G A R I T H M E S . 73
de y. La théorie des logarithmes fuppofé donc Pexiftence
d'un nombre conftant repréfente par a, que pour cette
raifon on appelle la Bofe des logarithmes. Cette bafe une
fois choiíie, le logarithme d'un nombre y n'eft autre chofe
que l'expofant de la puifTance a* égale a. -ce nombre y. On a
coutume d'indiquer le logarithme du nombre y de cette
maniere ly. Conféquemment, fi a í =*y, \= ly- 11 s'cnfuit
de-lá que la bafe. Jogarithmique, quoique arbitraire,
doit cependant étre plus grande que Puniré, Sc qu'il n'y a
que les nombres pofitifs qui puiiTent avoir des logarithmes
réels.
103. Ainfi, quelque nombre qu'on prenne pour la bafe
logarithmique a , / 1 fera toujours = o; car, fi dans l'équation
aS =y, qui revient a celle-ci ^ = ¿y , on fuppofé y =— r,
on a 1 — o. Enfuite les logarithmes des nombres plus grands
que Puniré feronr poíirifs Sc dépendants de la valeur dé la
bafe a; ainfi ¿a = 1, la a = 2 ; la} ^. 3 ; /.
¿y % = — — ly, ainfi des autres; d'oü il s'enfuit qu'étant
• donné le logarithme d'un nombre quelconque, on pourra
EULER > Introducción a ¿'Anal, infin. Tome I. K

\l
74 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
trouver les logarithmes de toutes les puiíTances de ce méme
nombre. Suppofons á préfent deux logarithmes connus;
faveir, /y = 7, Sc Iv = x; puifque y == ar'; Se v = a", nous
aurons Ivy = x 4- T_ = / V + ly. Donc le logarithme du
produit de deux nombres eft égal» a la fomme des logarithmes
des fadeurs; nous aurons de méme / — ==•{ — x,=*
¿y — ¿v; donc le logarithme d'une quantité fradionnaire
eft égal au logarithme du numérateur diminué de celui du
dénominateur. Ces regles fervent á calculer les logarithmes
de plufieurs nombres, lorfqu'on en connoít deja quelques-uns.
105. D aprés ce que nous venons d'expofer , il eft clair
qu'il n'y a de logarithmes rarionnels que ceux des puiflances
de la bafe a j car i\ un autre nombre b n'eft pas une puiffance
de la bafe a , fon logarithme ne peut erre exprimé
par un nombre rationnel , le logaritnme de b ne fera pas
non plus un nombre irrationnel; car fi on avoit Ib === V'n,
on auroit auíli a* n — b; ce qui eít impoffible, puifque les
nombres a Se b font fuppofés rationnels. Or ce font les
logarithmes des nombres rationnels Sc entiers dont on a
fur-tout bofoin, parce qu'ils feryent á trouver. ceux des
fradions Sc éeux des nombres fourds. Puifqu'aucun nombre,
foit rationnel, foit irrationnel, ne peut repréíenter les logarithmes
des nombres, qui ne font pas des puiflances de la
bafe, on a done raifon de les rapporter aux quantités tranfeendantes;
Sc c'eft Ja caufe pour laquelle on a coutume de
ranger les logarithmes parmi ces dernieres.
106. On ne peut donc obtenir les logarithmes des nombres
que par approximation au moyen des fradions decimales;
Sc ils approcheront d'autant plus d'étre exads, qu'ils auront
¿té calcules avec plus de chiffres décimaux. II fera pofíible,
de cette maniere, d'avoir á-peu-prés le logarithme de tout
nombre, par la feule extradion d'une racine quarrée. En
effet, puifqu'en fuppofant ly wa \, Se Iv = x; lyvy = —~ i
ET DES LoG_ARITHMES. 7J
fi le nombre propofé b tombe entre les limites o, 7031150; / =s VFH
/ = 4,958069; // == o, 6,53125; K = VHI
K = 5,001865; IK =•- o, 6992187; Lr= y IK
L === 4,980416; IL =?= o, 6972656; M - VKL
4,901627; IM = o, 6982421; N= VKM
K ij

•3
II
76 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
o =
P «=
p =
r =
IV ^
r =
z =
242; IN — o, 6987304; O = ^-ÁTAT
5,000052; 10 « o, 6989745; P = j/#0
4,998647; /P = o, 6988525; () = KOP
4,999350; / £ = O, 6989135; P : : v o q
4,999701; /P = o, 698944©;
4,999876; IS = 0, 6989592;
4>9999 6 3i /I* ~ o» 6989668;
5,000008; ¿V=* o, 6989707;
S = VOR
T = VOS
r= VOT
W^ V-TV
4,999984; //^= o, 6989687; X=» vwv
4*999997> lX = °> *9*9*9?i Y = K/^f
5,000003; IY = o, 6989702; Z = j/'X.F
5,000000; /Z = o, 6989700;
Ainfi, en prenant des moyennes proportionnelles, on eft
parvenú a trouver Z = 5,000000, a quoi rép.ond le logarithme
cherché 0,698970, en fuppofant la bafe logarithmique
= 10. Par conféquent 10 10000 ° = 5 a-peu-préa C'eft de
cette. maniere que BRIGGS SC ÚLACQ ont calculé
la table ordinaire des logarithmes, quoiqu'on ait imaginé
depuis des méthodes plus cxpéditives pour les trouver.
107. II ya donc autant de fyftémes difFérents de logarithmes
qu'on peut prendre de nombres diíTérents pour la
bafe a, Sc conféquemmcnt le nombre de fyftémes logarithmiques
fera infini. Aú refte, dans deux Jyftémes, les '
logarithmes d'un méme nombre ont toujours entr'eux un
meme rapport. Car foit la balé d'un fyftéme = a , celle
d'un autre = ¿, le logarithme d'un nombre n dans le premier
= p, dans le fecond ='' q, on aura- N " , équation
qui ne renfermant plus la bafe a , fait voir clairement que
la fradion — a une valeur indépendante de la bafe a. En
efTet, foient /* Sc ? les logarithmes des mémes nombres M
Se Af pour une autre bafe b, on en concluía parcillement que
M = N>'DoncN» = A r ' «í^feuffi:/,::/,:,. C'eft
ainfi que nous avons deja vu que dans tout fyftéme de lo£arithmes,
Jes logar, de différentes puiíTances du méme nombre
comme y m , Sc y" font entr'eux comme les expofans m : n.
109. Ainfi, pour conftruire une table de logarithmes pour
une bafe quelconque a, il fuffit d'avoir calculé par la méthode
que nous avons donnée ci-delTus , ou par une autre plus
commode, feulement les logarithmes des nombres premiers;
car les logarithmes des nombres compofés" étant é«aux á la
fomme des logarithmes de tous les fadeurs, les logarithmes
•
V

l
78 DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
de ees nombres fe trouveront par la feule addirion. Par
exemple, les logarithmes des.nombres 3 Sc 5 étant connus,
on aura /15 = ¿3 «*• ff ; ¿41 = i¿3 4- /5, Sc comme
nous avons trouve pour la bafe
¿xo = 0,014240439 ; donc 100/il= 1,4140439, ajoutant
/100000= '5, le logarithme du nombre cherché des
habirans = 6,4240439, auquel répond le nombre = 2654874.
Done au bout de cent ans le nombre des habifctns fera plus
de vingt-fix fois Sc demi plus confidérable.
EXEMPLE III.
La terre ayant été*repeuplée aprés le déluge par fix
hommes; fuppofons qu'au bout de deux eens ans le nombre
des hommes fe foit elevé á 1000000, 011 demande de quelle
partie il a dú augmenter tous les ans. Suppofons que pendan
t ce temps le nombre des hommes fe foit accru tous les
ans de — > le nombre des hommes pendant deux eens ans
fera néceflairemenr monté a ( 1 -~-\ 6= 1000000, d'ou
pon tire L±i = ( 1222222) -~. Done / l±í = ±. / li 0000 ?
* \ 6 ) x 200 6
¿== lil8 8
í^o* 5» 4 7 — 0,0261092 ; conféquemment iíú
=
1061963 «.
u IOO
Toooooo °°oo = 6i

8o DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
le genre-humain fe füt accru rous les ans d'un feizieme; ce
que la durée de la vie des premiers hommes rend vraifemblahle.
Si la méme augmentation eüt continué d'avoir lieu
pendant 400 ans., le nombre des hommes füt monté a.
1000000. ^222 = 166666666666. Ce nombre d'habitans
eft fi confidérable , que toute la terre n'eíit pas fuffi pour
les nourrir.
EXEMPLE IV.
Si le nombre des hommes eft double á chaqué fiecle,
quel eft 1'accroiíTement annuel? Suppofons que le nombre
des hommes fe foit accru tous les ans de fa partie - 9 Sc
qu'au commencement le nombre des habitans ait été = n ;
au bout de cent ans il fera = ( — ) n > le< uel
I
devant
\ * / t
étre = 1 n , donnera l'équation l -^ ¿= i ' Sc / -4*
1000000a
= — ¿ z =0,0030103. Done -— =» rzrzzzzi **• x 10000000
100
— ''9555
== 144 environ. II fuffit done que le nombre des hommes t
ait augmenté tous les ans de -^ On voit par-la combicn r ont
ridicules lesobjedions de ces incrédules, qui nient que toute
la terre ait pu étre peuplée en fi peu de temps par un feul
homme.
ni. L'ufage des logarithmes eft particuliérement eíTentiel
pour réfoudre les équations, dans lefquelles l'inconnue fe
trouve en expofant. Si, par exemple, on arnve a 1 équation
a" — b , d'oü il faille tirer la valeur de l'inconnue x ;
on ne pourra y parvenir qu'en employant les logarithmes.
En effet, puifque a* = b3 on aura la* = xla =- Ib, Sc
partant x = £ Au refte, il importe peu ici dequel fyftéme
de logatithmes on fe fetvíra, puifque dans tous les fyftémes
° les
ET DES L O G A R I T H M E S . SI
les logarithmes des nombres a Sc b ont toujouts entr'eux un
méme rapport.
EXEMPLE I.
Si un nombre d'hommes augmente tous íes ans de fa
centieme partie, on veut favoir aprés combien d'années le
nombre en íéra decuple. Suppofons que ce foit aprés x
années, Sc que le nombre des hommes au commencement
air été = n; aprés x années, il fera (121 \ n, lequel devant
étre ion, donne l'équation (—} — 10 , Se par confé-
quent x¿— = lio, Se x = . ;— d'oii Ton con-
1
100 ' 1101 —ÍIOO
clura- x = i0000000
43214 = 231. Donc au bout de 231 ans, un
nombre d'hommes, dont TaccroiíTement annuel eft de ía
centieme partie, devient dix fois plus grand ; au bout de 462
ans il fera devenu cent fois, Se au bout de 693 ans, miJle
fois plus grand.
EXEMPLE II.
Un particulier doit 400000 florins, dont il eft convenu
de payer tous les ans l'intérét á 5 pour cent; il acquitte
tous les ans 25000 florins; on demande aprés combien
d'années fa derte fera entierement éteinte. Écrivons a pour
la fomme due 400000 ñ. Se b pour la fomme 2 5000 tí. pavee
tous les ans; il devra donc au bout d'un an — a — b: au
100 *
X
bout de deux ans (121 \ a — ( l 21 \ b — b\ au bout de
\ 100 / \ 100 /
trois ans (121) o -(121) ¿-( 121 )b-b;Sc en mettant,
Vioo/ V 100 / \ 100 /
pour abréger, n au lieu de — , il refiera dü aprés un nombre x
\> 1 x x ~~ 1 t * — a, * — 3 . ,
d années na — n b — n b — n b — b
EULER , Introduclion a ¿'Anal, infin. Tome I. L

! ¡
íi DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
*=n a — ¿(i+fl + « 4 + 4-** -1 )- Mais comme 1
par la nature des progreílions géométriques i 4-/z4-/z 4-
^_ n* ~ l — 'L^LL; aprés x années, il fera dun a — " ^ * A.,
n — 1
quantité, qui égalée á zéro donnera cette équation na**.
*J^k¡t oü(n — i)n X a = n b •— b , Sc par conféquent
n— i
; d'oii x Jb—l[b—(n—\)a].
(¿ — na-\-a)n =¿,SC/z = £_(„_,)„
mais, puifque fl = 400000, b
n = —2 ; on
ioo'
nombre 7 d'années", aprés lequel la dette eft entierement
/ ^5°?£zli^ = i-5-=í 6 25000 ,
o, Sc¿—(/z —0 a = 5000, Sc le
eteinte= —
-fe-:donc x fera un
2I an893
/ * *. * -—
100
peu moindre que 33; c'eft-a diré qu'au bout de 33 ans ,
la dette feta. non-feulement acquíttée, mais le creancier
r J J „ (*" — 1) , J3 ÍÜ-] ,5000 — 25000
fera renu de rendre b— n a= y l°' =*
n — 1 1
1 o
lOóóóof"^ — 500000 florins. Or/—= 0,0211892991 ;
\ 20 / 10
par conféquent ¿(~) == 0,69924687; Sc /100000 (íl) '
= 5,6992469; á quoi répond le nombre 500318, 8; done au
bout de 33 ans révolus le creancier doit rendre 318 -f florins.
112. Les logarithmes ordinaires calcules pour la bafe =10,
outre l'ufagequi leur eft commun avec tous les autres, jouiíTent
dans rarithmétique décimale d'un avantage particulier, Sc
méritent par cette raifon la préférence fur ceux des autres
fyftémes. En effet, les logarithmes de tous les nombres,
excepté les puiíTances de 10, étant exprimes en decimales,
les logarithmes des nombtes compris entre 1 Se 10 feront
renfermés entre o Sc 1, Sc ceux des nombres contenus
In
io<
ET DES L O G A R I T H M ES. 83
entre 10 Sc 100 feront compris entre 1 Se 2; ainfi de fuite.
Chaqué logarithme eft donc compofé de deux parties; la premiere
eft un nombreenrier, Se fe nomme CAR ACTÉRISTIQUE,
Sc Ja feconde eft une fradion décimale. La caradériftique
eft moindre d'une uniré que le nombre de chifFres dont
chaqué nombre eft compofé; ainfi le logarithme de 78509
aura 4 pour caradériftique , parce que ce nombre eft compofé
de 5 chifTres ou figures. On verra donc fur le champ
á J'infpedion d'un logarithme de combien de chifTres eft
compofé le nombre correfpondant. Par exemple, le nombre
auquel appartient le logarithme 7,5804631 renfermera 8
figures.
113. Si deux logarithmes fe conviennent par leurs parties
decimales, Sc ne différent que par la caradériftique, les
nombres correfpondants feront entr'eux comme une puiffance
de 10 a Puniré; Sc s'accorderont par les figures dont ils font
•compofés. Par exemple, les . logarithmes 4,9130187, Sc
6,9130187 appartiennent refpedivement aux nombre 818

i
I
•
ir-'
84 DES QUANTITÉS EXPONENT. ET DES LOGARITH.
EXEMPLE.
Si laprogreflion 2,4, 16, 256, Scc. dont chaqué terme
eft le quarré du précedent, eft continuée jufqu'an vmgtcinquieme
tetme; on demande la grandeur de ce dernier
terme. II fera plus commode d'exprimer les termes de cette
, 1 1 4 8
prooreífion par des expofans,de cette maniere i ,2 ,2 ,2 ,&c.
II eft évident que les expofans forment une progrefiion géométrjque,
Sc que celui du vingt - cinquieme terme fera
16777216
i 24 as 16777216; de forte que le terme cherché =• 2
Son logarithme fera donc = 16777 216 / 2; Sc comme lx » a,
301019995663981195, le logarithme du nombre demandé
fera = 5050445,25973367; dont la caradériftique nousapprend
que le nombre en queftion exprimé de la maniere
ordinaire fera compofé de" 5050446 chifTres. La partie décimale
259733675952 cherchée dans la table des logarithmes
donnera les premiers chifTres du nombre demandé , qui
feront 181858. Quoique ce nombre ne puiffe aucunement
étre exprimé, au moins eft-il certain qu'il eft compofé de
5050446 chifTres, Sc que les fix premiers font 181858 , lefquds
doivent étre encoré fuivis vers la droite de 5050440
autres, dont quelques-uns pourroient étre determines avec
des tables de logarithmes plus étendues; c'eft ainíi qu'on
trouveroit pour les onze premiers chifTres 18185852986.
CHAPITRE VII.
Du Développement des Quantités exponentielles
& logaruhmiaues en Series.
114. Puifqu'on a a°= 1, &C qu'a mefure que l'expofant
de a augmente, la valeur de la puiffance augmente auíli,
pourvu que a foit un nombre plus grand que Puniré; il
Du DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPON, ET LOG. SCC. SJ
s'enfuit que fi l'expofant furpaffe infiniment peu zéro, la
puiffance furpaíTera Puniré auíli infiniment peu. Soit &> un
nombre infiniment petit, ou une fradion fi petite, qu'elle
difTere infiniment peu de zéro, on aura a =i+4,4 étant
un nombre infiniment petit; car il eft conftant par le Chapitre
précedent, que fi 4 n'étoit pas infiniment petit, &> ne poutroit
pas Pétre non plus. 4 fera donc ou = *>, ou >- «, ou < *>,
rapport qui dépendra toujouts de la valeur de la lettre a.
Comme ce rapport eft encoré inconnu, faifons 4 = ku, de
maniere que a" = 1 4- ka; C\ nous prenons a pour la bafe
logarithmique, nous aurons »=/(i4-A - «).
EXEMPLE.
Pour faire voir plus clairement comment le nombre k.
dépend de la bafe a; fuppofons ¿z=io, Sc cherchons au moyen
des tables ordinaires, le logarithme d'un nombre qui excede
de trés-peu Puniré, par exemple, celui de 1*4-
IOOOOOO '
I
maniere que k¿»
I000000 nous trouverons '( 1000000 )
/ L ocooo l ss-, 0,00000043.429 = w. Done a, caufe de k»
IOOOOOO
1 43429 o 1 100000
2,30258. On
= 0,00000 IOOOOO , -r = ——- SC K =
voit ' par-Iá que ^eft ' un * nombre 100000 fini dépendant 43429 de la valeur de
la bafe a; car fi nous euífions pris un autre nombre pour Ja
bale a, le logarithme du méme nombre 1+ A», auroit eu
un rapport donné avec le premier, Sc il en feroit réfulte une
autre valeur pour k.
la
115. Puifque a — 1 4- k » , on aura a = ( 1 4- ka) 1 ,
lu
quelque nombre qu'on prenne pour i. Donc a =i + ií«
.H_i(i-0(i-2) ¿¿_^ &c> ^ 1>on lk ¿
1. 2 k ,j. 2.
—, Sc que 5 repréfente un nombre quelconque fini, a
de
m

I L
H
A 1
•
i
S6 Du DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
caufe de " infiniment petit, i deviendra un nombre infiniment
grand, Sc par conféquent « = 4, étant une fradion
dont le dénominateur eft infini, fera une quantité infiniment
petite , telle qu'elle a été fuppofée. Écrivons done * á la
place de », Sc nous aurons a = (i -\--S\ 3= 1 + - Á ^
-!•*(*-') ¿V-H^- 1 )^-') A: , 7 J 4- l( í-'l (; - 2)(i - 3) ^7 4
1. 2¿ A 'l i. ai. 3 i . 1. a*. 3i- 4'
4- Scc; équation, qui fera vraie, íi Pon prend pour i un
nombre infiniment'grand , Sc alors k fera un nombre determiné
dépendant de la valeur de a, comme nous venons de
le voir.
116. Comme i eft un nombre infiniment grand; il s'enfuit
que l -^- = 1 ; car il eft évident que plus le nombre
qu'on fubftituera á i íéta grand, plus la valeur de la fraction
l -^ approchera de Puniré; donc fi i eft un nombre
ilus grand quaucune quantité aflignable , la fradion
.1 — i
¿galera Puniré. Par une raifon femblable; '-p = 1 ; '—^
= 1 Scc. Concluons de-la que ^r = 7 ; —¡ = y; —- =\;
ainfi des autres. Ces valeurs étant donc fubftituées, il en
réfultera a c = 1 4- -*í 4- M. 4- *Ü' 4- : J&L 4- Scc. á Pin-
1. 2
1,2.3
1.2.3.4
üni. Cette équation exprime en méme-temps la relation entre
les nombres a Se k; car, en fuppofant ^ =s 1, on auraa= 1
k k l , k< , * 4
Scc, Sc pour que a = 10, il
1. 2 1.2.3 1.2.3.4
faut que k foit environ =
trouve ci-deffus.
2,30258; comme nous Pavons
117. Suppofons b = a", en prenanr le nombre a pour la
bafe logarithmique, nous aurons Ib = n; Se puifque b ==>
ET LOGARITHMIQUE S EN SERIES. 87
a , nous obtiendrons par une ferie infinie b = 1 4- *"*.
H- *!_!L_L.4- *Lfl¿4- íl^-i- 4- Scc, Se en écrivant Ib au
1. a 1.2.3 1. 2.3.4
lleuden,^ ==r-h ^- Ib + £J_(lb) 1 + £ ¿ (#)' 4-
.< * 4
* (/¿) 4- Scc. Ainfi, la valeur de la lettre k étant une
1.2.3.4
fois connue par celle de la bafe a, une quantité exponentielle
quelconque b pourra étre exprimée par une ferie infinie,
dont les termes marchenr fuivant les puiíTances de r.
Cela pofé, faifons voir a préíent comment les logarithmes
peuvent étre développés en feries infinies.
118. Comme a" = 1 •+-ku,u étant une fradion infiniment
petite, Se que la relation entre a Se k eft donnée par
cette équation: a = i + - + __ 4- _Í_ _+- Scc; en pre-
1.2 1.2.3
nant a pour la bafe logarithmique, nous aurons u = ¿( 14-k m)
Sc m = /(1 4- km) ; or il eft vifible que plus le nombre
fubftitue a i fera grand, plus la puifTance (i + ía )' furpaflera
Puniré, Se qu'en faifant i = á un nombre infini, la
valeur de la puiffance (1 4-^)' s'élevera au-deffus de Punité,
Done íi Pon fuppofé (1 4- £«.)**=* 1 4-x, on aura /(i4-xj=!
ia. II fuit de la que le nombre i», étant fini, puifqu'íl eft le
logarithme du nombre 14- x, i doit étre un nombre infiniment
grand; car autrement ia> ne pourroit avoir une valeur finie.
119. Ayant fait (I4-A-»)' —1 -+-x; i + L = (i4-jc)7a
1 i r 1
Sc A:«=(n-x) ¡ — i;d'ou/&>=~L(i4-x) ¡—ij. Oria^s
1
./(H-jf);donc/(n*x) = -i(i-hx)7_ LJ i étant fuppoíc
1

('
I
88 DU DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
infiniment grarid; mais(r 4-x) '
,(1-0(2;-.) x,_. «(.•-o(»ir»)(3;-») x*+ &c. & i
l. 2 1. 1. 1 I. 4'
/- • 1 • • l- • J ' — 1 I 2Í—I í XI I
caufe de i infiniment grand —.- = T; —— = *•;• —— ~
i Scc. Donc¿(i4-*) T -¿4- 7 — T + 7— 7 4-Scc,Sc
par conféquent /(i+x)=}( 7- T^J"" 7 "+ &c ) *
a étant toujours la bafe logarithmique, Sc k défignant le
nombre relatif á cette bale, de. maniere qu'on ait l'équation
a = , _+- £ _*_ Ü H_ JL _+. &c.
1 1. a 1. 2. 3
120. Puifque nous avons trouve une ferie égale au logarithme
du nombre 1 4-x, nous pourrons a. fon aide, la bale a
étant donnée, repréfenter la valeur du nombre k. En effet,
fuppofons 1 4- x = a, á caufe de la =•= 1, nous aurons
1 /a — i (±-jy + (V-í? __ &£& + &c^ &
a 3
r, r t—i («i — iY (a — i) 1
(—O 4
par conféquent ; *> figniriant une
quantité infiniment petite, Se, comme en vertu de cette
propriété, k = 1, on pourra obtenir les logarithmes hyperbohques
de tous les nombres. Ainfi, en écnvant e á la place
du nombre trouve ci-deffus, on aura toujours e~ = i + I
EULER, Introduclion a ¿Anal, infin. Tome I. M

s
90 DU DÉVELOPP. DES QUANTITÉS EXPONENTIELLES
C j . ?' - JL. * 4 - 4- Scc. Quant aux logatithmes hyper*
bolioues, on les calculera au moyen des lenes l(i 4- x)
* ..< _ r J- v ?I 2*' 2* 1 a* 5
íi
3
4 T>;VS?-- 3
. 4. If! -H Scc; lefquelles feront tres convergentes, fi
l'cn 7 prend 9 pour x une fradion trés-petite Ainfi avec la
derniere ferie on rrouvera fans peine les loearithmes des
nombres, qui ne font pas beaucoup plus grands que 1 uniré.
En eífet, eri faifant x =» f, on aura /{ = li = — -h 771
.. _±_ -H -i- 4. Scc: en faifant x = f, on trouvera /f
^ í. f 7- 3 7 ^
_ * .+.JL-I.-1-4- — 4-&c,&en faifant x =» f, on
obtiendra pareillement ^^T^" 4 "^"*'^"*"^?
Or les logarithmes de ces fradions feront trouver ceux des
nombres entiers; car par la nature des logarithmes_lT £
/z4-/5 =/io,
£" X E M P L E.
Voici calcules d'aprés ces principes les logarithmes hyperbohques
des nombres depuis 1 juíqu'* io.
/ 1=0, 0000000000000000000000000
/
/
/
/
/
¿
¿
¿ 9 «
/ 10 ém
o, 693i47i8o5 5?9453°94i7 i 3H
1, 0986122886681096913952452
3
i, 3862943611198906188344642
4
? = I, 60943791x4341003746007593
6=1, 7917594692280550008124773
7 == 1, 945910149055^133051054639
8
2, 0794415416798159282516964
x, 1972245773362193827904905
1, 302 58509i994045 68 4 OI 75>9 1 4-
T
ET tGGAMTHMIQÜES EN SERIES. 91
J'ai déduit tous ces logarithmes des trois feries precedentes
excepté ¿j, que j'ai calculé de cette maniere : j'ai fait
dans la derniere ferie x = — 8c j'ai óbrenu /— =3
99 . 9 8
l¿2 = 0,0202027073175194484078230, lequel éranr fouf-
49
trait de l^o = 1/5 -h¿z =3,9120230054281460586187508,
donne pour refte /49, dont la moitié donnely.
124. Faifons le logarithme hyperbolique de 1 4- x ou
/(i 4-X) — y» nous aurons y = — 4- 4- Scc.
Prenons a préfent le nombre a pour la bafe logarithmique,
Se foit dans cette hypothefe, = v le logarithme du méme
nombre I + Í, nous aurons, comme nous l'avons vu, v =
K 7 - T ' - f - f + *«.) =4> Done *-*; ce qui
fournit un moyen tres-commode de determiner la valeur
de A correfpondanre á la bafe a, puifqu elle fe rrouve égale
au logarithme hyperbolique d'un nombre quelconque, divifé
par le logarithme du meme nombre formé fur la bafe a.
Ainfi, en fuppofant ce nombre = a, on aura v = 1, Sc par
conféquent k •= au logarithme hyperbolique de la bafe a.
Donc dans le fyftéme des logarithmes ordinaires, ou a = 10,
k Cera = au logarithme hyperbolique de 10 •, ou k •=>
2,3025850929940456840179914; valeur dont nous avions
deja approché d'aflez prés. Si donc on divifé tous les logarithmes
hyperboliques par ce nombre k, ou ce qui revient
au meme, fi on les multiplie par la fradion décimale
0,4342944819032518276511289, on aura les logarithmes
ordinaires , qui conviennent á la bafe «= 10.
125. Puifque e { = i+-4- ~ 4 — 4- Scc; fi Pon
' * - 1 1. a i, a. 3 '
v 7
fuppofé a = e ; on aura, en prenant les logarithmes hyper-
• boliques, y ¿a = ^, á caufe de ¿e =* 1. Cette valeur fubftituée
a ? donnera a y =i+ y -^+. ^ 4- y ' (U) ~ SCC
1. 2 1. a. 3
Done une quantité exponentielle quelconque peut étre con*
M ij .

H
• i
92 DES QUANTITÉS TRAN.SCEN D A NTÍS
vertie en une ferie infinie, a Paide des logarithmes hyperbcliques
; mais auffi,/ défignant un nombre infiniment grand,
les quantités exponentielles Sc les logarithmes peuvent étte
repréfentés par des puiíTances. En efíet, e = ( 1 4- 4-.^ , Sc
par conféquent a = ( i + í - j ; d'ailleurs, 011 a pour les
1
logarithmes hyperboliques / (1 4- x) = i T (1 4- x) 7 — 1 "1
Au furplus, Pufage des logarithmes eft demontre plus en
détail dans le calcul integral'.
C H A P I T R E VIII.
Des Quantités tranfeendantes qui naijjtnt du Cercle.
126. Aprés la coníidération des logarithmes Sc des quantités
exponentielles , vient celle des ares de cercle, Sc de
leurs. íinus Sc cofinus , tant. parce qu'ils forment une autre
efpece de quantités tranfeendantes, que parce qu'ils dérivent
des quantités logarithmiques mémes Sc des quantités
exponentielles, lorfquelles renferment des imaginaires, ce
qu'on verra plus clairement ci-aprés.
Suppofons done Je rayón du cercle ou le finus total = 1,
il parolt aíTez clair que Ja circonférence de ce cercle ne peut
étre exprimée exadement en nombres rationnels *, mais on
a trouve par' approximation la demi-circonférence de ce
cercle = .
3, i4 I 59*653'5 s 9793*3 8 4 6i ¿433 8 3 179502
88419716939937510582097494459x307816
4062862089986x80348253421 170679 82 1 48 o
865132723066470938446 4-. Pour abréger j'é-
• Cene propoíition a été iMmoñuce par Lambert, Mémoins d¡ B¡r¡'m¡ mais on en trourer» nnc dímoaílrv
tiui ploi fimple días le» Éllmaa de Ciomctríe du C. tejendre, qui oni pa.ru depuia peu.
QUI NAISSENT DU CERCLE. 93
crirai » au lieu de ce nombre , de forte que it = a la
de mi circonférence d'un cercle dont le rayón = 1 ; ou wfera
la longueur d'un are de 180 degrés.
127. Soit^ un are quelconque de cercle dont je fuppofé
toujours le rayón = 1 ; on a coutume de conlidérer plus
particuliérement les íinus Sc cofinus de cet are r. Pour
repréíenter dans la fuite le íinus d'un ate r, j'écrirai fin. A.r,
ou íimplement fin. 3. Et pour repréfenter le cofinus j'écrirai
cof. A:^, ou feulement cof %. Ainfi comme -i exprime un
are de 180 o , fin. o w = o ; cof. o •n = 1 ; fin. 7 v = 1 ; cof § it
a= o ;fin. -a = o •, cof.v=~ 1 ; fin. -f w = — 17 cof •*• 7t=¡Q¡
fin. z 7t •=. o , Sc cof. % ir sai. Tous les finus Sc cofinus font
donc renfermés dans les limites 4- 1 Sc — 1. Or cof \ =
fin. (\, — K) Se fin. t = cof. (¿WT:^).: 'sX{fin. rj*'^
(cof.^y = 1. Outre ces dénominations il faut diítinguer
celles-ci : tang. % , qui défigne la tangente de Pare % , Sc
cot. % , qui défigne la cotangente de Pare ^; on fait d'ailleurs
"^'^"^•^"S tang. l
eft connu par la Trigonométrie.
.' Tout cela
1x8. On fait auífi qu'étant donnés "les deux ares ySc r,
fin.(y-*r\) = fin. y. cof sr; 4- cof. y. finí, Se cof (y 4- \) =
cof.y. cof 1 — fin.y. fin %; de méme fin. (y —. ^) = fin. y.
cof. x — cof y. fin.ií Sc cof. (y ~ ?) = cof y. cof 1 4-,
fin. y. fin. 7.
Par coníéquent, en fubftituant á y les ares f», w-; £ v, Scc.
nous obtiendrons
fin. (£. w 4- \ ) = 4- cof. 1
ctf.{\*+-\ ) = —fin. 1
fin. (* 4- \ ) = — fin. 1.
cof( a» 4- \) ^ — cof 1
fin. [\ *-*-1) == — cof. 1
cof.(\-n+ 1) =. 4- fin. 1
fin. ( 2 vr 4- ^ ) = -+- y?/z. ¡j
* — •{) = —fin. 1
cof.(zn--i) BS 4- cof. ^

wz
I
.... I
I
1
•
\
I?
54 DES QUANTITÉS TRANSCENCANTIS
Done íi a défigne un nombre entier quelconque, on
verra que
fin.(^*+t)~+.(y»O
cof y. fin. K - AC^O-.AO-O
De plus á caufe de cof. {y** %) = cof y. cof. \ —fin.y.fin. \,
Se de cof. (y — %) = cof. y. cof. % 4- fin.y. fin %, on aura
femblablement
cof.y. cofix = "*

I
1
I
1
iet
I
96 DES QUANTITÉS TRANSCENBANTES
cof. a 4- cof. ¿ = 2 cof — co/I -^
co/^¿—CO/?ÍZ = 2yT/z.
a
> .
a
a — b
0. J a
Ces réfultats nous donneront, a Paide de la divifion , ees
théo remes :
fin. a -t- fin. b
fin. a — fin. b
fin. a -+- fin. b
cof. a -+- cof. b
fin. a -+• fin. b
cof. b — cof. a
fin. a — fin. b
cof a •+- cof. b
fin. a — fin. b
cof. b — cof. a
cof. a -+• cof. b
cof b — cof. a
ff+ b
a-i-b a—b °' a
= tang. —. cot.
== tang.
= COt. a—b
= tang.
cot.
a
a -f- b
a
a — b
tang.
a — b
Enfin de ces derniers théoremes nous déduirons ceux-ci:
fin. a -f- fin. b
cof. a •+- cof. b
fin. a -r- fin. b
fin. a — fin. b
fin. a -+- fin. b
fin. a — fin. b
X
COt.
cof. b — cof. a
b a — b
— .COt.
fin. a — fin. b
cof. a -+- cof. b / a — b
cof.b — cof. a ~~" V
cof. b — cof. a
cof. a -+- cof. b
/ a -f- b \*
1x1. Puifque (fin. %)*-+•(cof. z) 1 = 1 , en décompofant
en fadeurs, on aura ( cof.^-i- V — i.fin. %) (cof % — y^ — 1
fin. % ) = lí Ces fadeurs, quoique imaginaires , font d'un
grand ufage dans la combinaifon Sc dans la multipiication
des ares. En eíTer, cherchons le produit de ces fadeurs
(cof. l -hV— i.fin. £) ( cof y 4- V — 1. fin,y)9 nous
trouverons cof. y. cof.% — fin. y. fin. % 4- ( cof y. fin. ? -+fin.y.
cof. i)}/"— 1; mais comme cof.y.cof. % —jin*y.fin. ;r=
cof. (y+ i), SC cof y. fin. 1 4- fin. y. cof 1 = fin. (y 4- $ ;
nous obtiendrons ce produit ( cof. y 4- Yj, — 1. fin. y)
(Cof ir
QUI NAlSSENT DU C E R C L E, 57
(cofix + V -« 1. fin. 1) BS cof. (y 4-? ) 4-£ — 1.
fin. (y + í).
Semblablement
( cof y — V~ 1 .fin.y) (cof. % — ]/"— i.fin.i) = fof.(y-hl)
— V — i.fin. (y4-í).
De méme
( cqfix + V— i.jin. x) (cof y + V— 1. fin. y) (cof \ 4_r
V—\.fin. £)»== cof (x -hjy 4- \)^rV— 1 fin. {x -+-y -4- ^).
133. II fuit de-la que ( cof \-$-.V — 1. fin. •{ ) * = cof. 2 ^
4j: V— 1. fin. 2 1, Sc (cofi\±.V"— 1. fin^Y = cof. «
•±:V — 1. fin. i\;Sc qu'en general ( cOf-[ 4- y/'— i.yivz %) n
= cofin^-jjr Vi— 1.-fin.n % : d'oii nous tirerons á caufe du
double figne ,
ccrr*—( eo f- : Í'*~^ — ' l -f m -rf' •*" (cof.i—y'—t.fin.^)" &
/?/? 7 ; - ( a , A + V —l. fin, i? — (cof.^-^-i.fin. 1)"
Done en dévdoppant ces binomes en feries , nous aurons
cof.nK=(cof.Kr- - ( ;- , ) {cof.i)—*(fon) % HR
2.
n.(*-,)(.-a)(,-3H»-4)(n-j) ^ ' )n _ , (^ ; ^ )S £ ^
1. 2. !• *•
&fin.nl= n r(cofily->fin.¡-l(''- l) í n ~>\cofiKy-\
/rm_ y)» _i- »•('-')("—»)(« — 3)(«-4)
1. a.

I
F
•
•J
I
•
• • " • - " . - •
II."
98 DES QUANTITÉS TR A N SC ENDANTE S
nh. v = v —i'-+- vf ¿v--i &c.
^ 1.2.3 1.2.3.4.5 1. a.3.4.5.6.7
Ainfi Pare v étant donné , on pourra, á Paide de ces
feries, trouver fon finus Sc fon cofinus. Pour rendre Pufage
de ces formules plus general, fuppofons que Pare v foit
au quart de la circonférence ou a 90 o , comme m eft a n ,
ou que v = -— . -^—; comme la valeur de w eft connue,
^ n 2 *
en la fubílituant dans tous les termes , on trouvera
fin. A — 90 o =
4- m -. I , 5707963267948966192313216916
n
«I
* 7T- o, 64596409750624625-36557565636
4- "77—- 0,0796926262461670451205055488
r/,7
— —. 0,0046817541353186881006854632
0,0001604411847873598218726605
m
-777-' o, 0000035988432352120853404580
—77-.
m"
O, 000000056921729219679268 1171
— •—— . 0,0000000006688035109811467224
, m'i
4- • ,• 0,0000000000060669357311061950
— —77-. o, 0000000000000437706546731370
4 ^7r. 0,0000000000000002571422892856
n
m'J
-—. o, 0000000000000000012538995403
—— . O , OOOOOCOOOOOOOOOOOOOO5 I'5 645 50
n' 7
i 1 »
. o,000000000000000000000018123O
•, o,0000000000000000000000000549
QUINAISSENT DU CERCLE.
Et cof. A — 90 o B=
I,OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
m
— -TT- 1, i337°o55 OI 3¿i¿98273543ii3745
4- 77-. 0,2536695079010480136365633659
— -77-. 0,0208634807633529608730516364
« *
4- ——- 0,0009192602748394265802417158
n*
m
— - rr* °»0000252020423730606054810526
4- -77-' 0,0000004710874778818171503665
«'4
— - ,-• 0,0000000063866030837918522408
m'
m"
o, 0000000000656596311497947230
o,0000000000005294400200734620
4- -777. 0,0000000,00.0000034377391790981
•— 77T- OjOOOOOOOOOOOOOOOO1835991652IX
4——-. o , 0000000000000000000820675327
"— - if . 0,0000000000000000000003115 285
JE 1 »
4 -—•'. 0,0000000000000000000000010165
m" '
«— -. 0,00000000000000000000000000 2 6
n ,a
Mais comme il fuffit de connoitre les finus Sc les cofinus
des angles jufqu'a 45 o , la fradion — fera toujours plus petite
que A, Se par conféquent.a caufe des puiíTances de la fraction
— , les íéries que nous venons de donner, feront tresconvergentes
, de forre qu'il fuífira le plus fouvent d'en
prendre feulement quelques termes , fur-tout fi Pon n'exige
Ni i
99
•
1'

I
TOO DES QUANTITÉS TR ANS CENDANTES
pas pour les finus Se les cofinus autant de figures.
135. Les finus Sc les cofinus étant une fois trouvés , on
peut calculer les tangentes Sc les cotangentes parles anaiogies
ordinaires; mais ccmme pour des nombres auíli grands la
multipiication Sc la diviíion re laiíTent pas d'étre tres-fatigantes
, il fera bon d'en donner ici une exprefiion particuíiere.
On aura donc
r V ~~
fin. v
1 —
1 !
1.2.3

I
I
1
102 DES QUANTITÉS TRA NSCEND ANTES
Sc cot. za = tang. (3O4-20I. Donc tang. (30 + i¿) ss
cot. (30 — b) — "tang. (-30 — ¿) . , ~ ,.
—* ; ce qui donne auífi les tangentes
des ares plus grands que 30 o .
Quant aux íécantes Sc aux cofécantes, on Jes conclut des
tangentes par la feule fouftradion ; car on a coféc. % =
(r) cot. \^—cot. %, Sc pártanle. 1 -^cot. (45 o — ~ 5) — tang. r.
On voit clairement par-lá comment on a pu conftruire des
tables de íinus.
138. Suppofons encoré dans les formules précédenres
(an. 133) Pare \ infiniment petit, Sc n un nombre infiniment
grand i3 afín d'obtenir pour Í'JJ une valeur finie v; nous
aurons donc n^ = v, Sc % = 4-, Sc par conféquent
fin. 1 = j , Sc cof ^ = 1 ; ces fubílitutions faites donne-
ront cof. v
O
vV — I
)'-0-*F0'
W-'
Sc fin. v
Or dans le Chapitre précé-
dent, nous avons vu que (14-7J =e , e défignant la
bafe des logarithmes hyperboliques; ayant donc écrit pour r,
d'une part4-ví^—1 Sc d'une autre part —v|/— 1, on aura
cofiv
,-MV->
e 4-e -vy--
Scfin.v =
4-*V—« ¿— •"v'-i
On comprend par lá comment les quantités exponentielles
imaginaires fe ramenent á des finus Sc á des Cofinus d'arcs
réels. On aura auífi e \ = cof. v 4- V— 1 fin. v , Sc
e = co/. v— V — 1 fin. v.
139. Suppofons a.préfent dans Jes mémes formules («2/7.133) a
QUI NAISSENT DU CERCLE. 103-
un nombre infiniment petit, ou n =. 4-, i étant un nombre (s)
infiniment grand , nous aurons cof. n r == cof 4 = 1
Sc /«. /i ^ =yF/z. I = j ; car Je finus d'un are 4-, qui s'évanouir,
eft égal á cet are, Sc fon cofinus = 1. Cela pofé
nous aurons
1 ' if
• I = («>/ ? -

I l
io4 DES QUANTITÉS TRANSCENDANTES
h — 4- — 4-— 4-* Scc; donc en fuppofant x =
1 3 5 7 ,
ÍX
\T— i tang. i, nous aurons * ==^L_ ÍÍSKÍSL 4f¿ Üfütll
— (íí^-JL 4- Scc. Faifons donc tang. % = /, de forre que
r foit Pare dont la tangente eft t, Sc que nous défignerons
ainfi: A. tang. t, ce qui donne ^ = -*4 tang. t. La tangente í
étant connue, Pare correfpondant fera r = i —,
* 3 í
i_ "+" i— — Scc. Puis donc qu'en fuppofant la tangente t
égale au rayón i, Pare % devient = k Pare de 45 o ou ^ =— >
nous troüverons - = 1 — }4 7 — 7 4- Scc; ferie que
LF.IBNITZ a donnée le premier pour exprimer la valeur
de la circonférence du cercle.
141. Mais pour obtenir promptement, au moyen d'une
telle fétie, la longueur d'un are de cercle, il eft clair qu'on
doit prendre pour la tangente t une fradion aíTez petite.
Ainfi, on trouveroit facilement, & Paide dé cette ferie, la
longueur de Pare •{, dont la tangente t feroit-^-; car cet
are íeroit r =
«• 10
— 1 1 Scc. ferie dont on
3000 500000
peut aifément obtenir la valeur par le moyen des decimales;
mais la mefure d'un reí are n'apprendroit rien pour la
longueur de toute la circonférence, parce que le rapport
do Pare, dont la tangente .== -^ , ^ la circonférence entiere
eft inaffignable. C'eft pourquoi, dans cette recherche , on
doit prendre un are qui foit une partie aliquote de la
circonférence, Se dont la tangente aíTez petite puiiTe étre
exprimée commodément. On choifit ordinairement pour
remplir ce but Pare de 30 o dont la tangente =-^-, parce
que les tangentes des ares plus petits, qui ont un rapport
commenCurable avec la circonférence, font trop irrationnelles.
Ainfi,
QUI NAISSENT DU CERCLE. •
Ainfi, a caufe de Pare de 3 o 0 105
== í-, on aura — = - ^_ 4-
6
6 y3
••Jfd
3.3v/3
w>5 Scc. S c . = « B ^ -3-3 33 i -' Vs-3^ ^ _7.3» n ^ &c< Ec c,eft
1
par le moyen de cette ferie, Se avec un travaií incroyable,
qu'on eft venu a bout de trouver la valeur de » que nous
avons donnée ci-deíTus.
142. Ce calcul eft d'autant plus pénible, que tous les
termes, font irrationnels, Se que chacun d'eux n'eft gueres
plus petit, que le tiers de celui qui precede; mais on pourra
remédíer ainfi á cet inconvénient: prenons toujours Pare
de 45 o ou^ Quoique cet are ait une valeur exprimée parune
ferie á peine convergente 1 — j 4-7 — 74- Scc; confervons-le
cependant, Sc imaginons-le partagé en deux ares
a Sc b, de maniere que a 4- b =. - = 45 o . Puis donc que
tang. (a + b) = 1 = ^ t 12g. b' nóus aurons * -fr tang, o
tang. b = tang. a 4- tang. b Sc tang. b = i^ií^. Sok main-
- r "+• tang. a
tenanc tang. a = T; nous troüverons tang. b = £; alors Jes
deux ates a Sc b feront exprimes par une ferie rationnelle
beaucoup plus convergente que la precedente, Sc leur fomme
donnera Ja valeur de J'arc -. Donc . . . .
4
í — *
ir = 4 *i. 3 3-3' f-3 5 7- 3 7 '

H
5
I
i
J
•
io6 D É L A R E C H E R C H E
, CHAPITRE IX.
De Id recherche des Facleurs trinomes.
143. Nous avons fait voir auparavant que c'éroit par la
réfolution des équations qu'on trouvoit les fadeurs fimples
de chaqué fondion entiere. En eíTet, foit propofée la fonction
entiere * 4-^^ 4- >7 1 4-«- «7^4-/"^^, qui foient réels,
DES FACTEURS TRINOMES. 107
tnaís dont les fadeurs fimples foient imaginaires • car il
eft clair que connoiíTant une fois tous les fadeurs doubles
trinomes de la forme p — q% -+. r^, que renferme la
fondion * 4- ^ 4- >?»4- qq, ou ^ < 1. Mais comme les
finus Se les cofinus des angles font plus petits que Punité, la
formulep — q^ 4- r^ aura des fadeurs fimples imaginaires,
fi = au finus ou au
lyy cofinus d'un angle quelconque.
Soit donc -±-r =cof.A?,ouq = z Vpr. cof. 9, Sc le trinóme^—«77/4-rr^
renfermera des fadeurs fimples imaginaires;
mais pour n etre géné par aucun figne radical, je choiíis
cette formepp — zpq^. cof -*-qq\\, dont les fadeurs imaginaires
limpies feront ceux-ci: q% —p (cof.

1
•
IOS D E L A R E C H E R C H E
pourra les effeduer aíTez promptement; car ayant fait voir
que'(cof 9 ± V— i-fin. ?)" = cof nZ-(cof. p-t-y—i fm-• i *)
SCC.
Scc.
Faifons, pour abréger, - = r, nous aurons, aprés la fubfti­
tution faite, les deux équations fuivantes.
* + $rcof.r a y?*. 2 7/ 4- í\* 4-, ^ 4 4- Scc, en íaifant d'abord
pour chaqué puiffance de %, % = r cof. n 9, Se enfuite
*" B= r" 7¿«. n 9; car > de cette maniere, á caufe de fin. 09=0,
DES FACTEURS TRINOMES. 109
Sc de cof o 9 = 1, on écrit 1 dans le terme conftant au
lieu de ^ ou 1 pour le premier cas, Sc pour le fecond on
écrit o. Si donc on tire de ees deux équations les valeurs
des inconnues r Sc 9, k caufe der = ^,on aura le fadeur
trinóme pp— zpq\cof.9~±- qq\\, qui renferme deux facteürs
imagin.-dres limpies.
149. Si Pon multiplie la premiere équation n^r fin.mv,
Se la feconde par cof m9, qu'on ajoute ou qu'on retranche
les produits, on aura les équations:
O = *Jm.m9 + Srfm: (m-f 1) 9 -4-yr'fin (m -+- 29) -t- t^finfm -t- 3 ^ ) -*_ &c.
O = mfin.m9 + erfin.(m— 1)9-h y.r'fin.(m.— *fin.(m — X9) \f¡ &c.
Mais fi l'on multiplie la premiere par cof m 9 Sc la derniere
par..//;, m $, on trouvera par Paddition Sc par la foüftradion
ces deux autres :
0= "Co/.m9-t-Srcof.(m-¡)9^v^cof.(ni-1íl)-i.^Cof(m-3o)^8cc.
O «= «f'n9 + eTc0f.(mH-i)9+yrWof.(m+29)+¿rlcof.(m_hn)_hScc_
Ainfi deux des équations precedentes combíneos entr'díes
derermineront les inconnues r Sc 9, &c comme cela peut fe
faire le plus íouvent de plufieurs manieres, on obtiendra a "la
fois plufieurs facleurs trinomes, Sc par conféquent tous ceux
que la fondion propofée renferme.
150. Pour faire mieux fentir Pufage de ces regles, nous
allons chercher ici les fadeurs trinomes de que/ques fonc
tions qui fe rencontrent plus fréquemmcnt, afin de Jes avoir
fur le champ, toutes les fois que ,1'occafion Pexígera. Soit
done propofée la fondion a" 4- { dont on cherche Jes
fadeurs trinomes de Ja forme pp — zpqKccf.9-+- qqrrz^n
faifant r= L, on aura Jes deux équations 0 = / + /' corn
Sco = r n fin.np, dont la derniere donne fin. n0 = o Done
larc«* aura la forme (2 k r i)>,ouz^,/- déi^nanr Un
nombre entier. Je diftmgue .ees deux cas, parce' que les
\

'#
I
• I
I
no D E LA R E C H E R C H E
cofinus y font diíTérents. En effet , dans Je premier cas,
cof ( 2 A: 4- i) w = — i, Sc dans le fecond cof 2 /c * = 4- 1.
Or il eft clair qu'on doit ptendre la premiere forme
zz ? = ( 2 /c 4- í)?*, parce qu'elle donne cof n9 = — 1» d'oii
réfulte a" — r" = o, Sc par conféquent r = cz = y-
Done/ BJS ¿z, # = 1, Sc 9 = —-* *• D° n c la fondion a 4- \
aura pour fadenr le trinóme a a — 2 a % cof (—„-') " + í{'
Se comme on peut mettre pour k un nombre entier quelconque
, on obtiendra de cette maniere plufieurs fadeurs,
dont le nombre cependant fera limité, puifqu'en fuppofant
a k 4- 1 plus grand que n, les premiers fadeurs reviennent;
c'eft ce que Tes exemples rendront plus fenfi.ble, en obfervant
que cof (2 TT-4- o>) = cof 9- De plus, íi n eft un nombre
impair, en faifant 2 k 4- 1 = n, il en réfulte le fadeur
quarré (a 4- ^) a ; cependant on auroit tort d'en conclure que
le quarré (a-h %)* foit un fadeur de Ja fondion a 4- \ ,
parce que (dans l'art. 148) on a pour réfultat une équation
unique, qui apprend feulement que a 4- \ eft un divifeur
h) de la formule / + {"; cette regle devra toujours étre
obfervée, toutes les fois que cof 9 devient ou 4- 1 ou — r.
EXEMPLE.
Développons quelques cas particuliers, pour mettre fous
les yeux ces difFérents fadeurs; Sc diftinguons-les en deux
claües, felón que le nombre n fera ou pair ou impair.
Si n = 1 Si /z = 2
la formule la formule
a 4- * «' •+- l %
* pour fadeur a pour fadeur
»ES FACTEURS TRINOMES. III
Si n = 3
la formule
a> 4- z'
a pour fadeurs
«2a— za^cofi 7*-f»g{
a 4- *
Si /z = j
la formule
o s 4- ^ f
a pour fadeurs
aa— zazcof.y i"*-\\
aa— 2a % cof. f ir 4- ^^

• '•-'---"
I
•
oí
h
•
112 DE LA RECHERCHE
tous les fadeurs a la fois; mais il faudra faire ici a Poccafíon
des fadeurs quarrés la méme remarque que nous avons deja
faite pour le cas précedent. D'abord la íuppofition de k = o
donne le fadeur aa — za^ -{- ^, pour lequel on doit
prendre feulement fa racine a — %. Semblablement, n étant
un nombre pair, la fuppoíition de 2 k = n donne le fáCteur
ÍZÍZ4- za-{-\-\\, qui nous apprend que a 4- \ eft un
divifeur de la formule a — \ •
E X E M P L E .
En fuivant le méme procede qu'auparavant, on obtiendra
les réfultats fuivants, felón que l'expofant n fera un nombre
ou impair ou pair.
Si n = i
la formule
a ¿- 1
a pour fadeur
a— l
Si n = 3
la formule
a pour fadeurs
a — ?
a a — 2 a \ cof. \ ir 4-U
Si n =* 5.
la formule
a pour fadeurs
a — 1
aa — za% cof. f ir
aa — zai cof.j*
1 .
•+-n .
4-U
íZíZ —
Si n = z
la formule
a pour fadeurs
a — 1
a 4- \
Si n = 4
la formule
a
aa —
aa —
4 — ?_*
a pour fadeurs
a — 1
zar^ cof. f ir4- Sí
a 4- *
Si n =• 6
la formule
a 6 — 7/
a pour facleurs
a
~~" ?
•afl?co/i»4-?í
. ia^co/^+n
a 4- £
152.
DES FACTEURS TRINOMES". 113
152. On voit done par-lá fe confirmer ce que nous avions
avancé; favoir, que toute fondion entiere eft décompofable,
íinon en fadeurs fimples réels, au moins en fadeurs doubles
réels. Car nous venons de voir que cette fondion de dimenfion
indéfinie a" 4: \" peut toujours fe réfoudre en fadeurs
doubles réels, fans compter les fadeurs fimples réels. Pafíbns
donc á des fondions plus compofées, teiles que*4-£:{ -hy\ .
Si cette fondion a deux fadeurs de la forme » 4- 6 \ , la
décompofirion, d'aprés ce qui precede, ne fouffrira point
de difficulré. Refte donc á enfeigner la maniere de décompofer
en fadeurs réels, foit fimples, foit doubles, la formule
* 4- £ í 4- y\ dans le cas oii elle n'a pas deux fadeurs
réels de la forme « 4- 9 \ .
153. Examinons donc cette fondion: a — za ^ cof.g
4-7 , laquelle ne peut íe décompofer en deux fadeurs
réels de la forme » 4- fl/z. Si nous fuppofons le fadeur
double red de certe fondion repréfente par pp— zpqcof.9
^" 1111 '•> en faifant r = —, nous autons a réfoudre les deux
équations fuivantes o = a —xa r cofigcof.n9>+-r :Ln cof.zn9
Sc 0= — za r cof gfin. n9 4- r fin. 2 m ; ou bien au lieu
de la premiere équation, prenons, d'aprés l'art. 149, (en fuppofant
m •=• 2n) celle-ci: o = a fin. zn9 — za r cof gfin.n9.
Comparée avec la feconde, elle donnera r = a ; alors nous
aurons_/7/z. 2 /zp«= 2 cof.gfin. r¡9; mais fin. 2 n9 = zfin.n9Cofn9,
donc cof n9= cof.g. Orón a toujours cof (zkvz+zg) = cof.g;
donc n 9=%kir + g,SC9== * - •« Le fadeur general double
de la formule propofée fera donc = a a — za-[ cof. 2*T±ff
Sc nous obtiendrons tous les fadeurs en mettant
£" *í? fucceffivement pour 2 A: tous les nombres pairs, qui ne font
EULER, Introduclion a ¿Anal, infin. Tome I. P
i

•
1
J
R
ti4 DE LA RECHERCHE
pas plus grands que n; ce qui deviendra facile par Papplicatión
que nous allons en faire á difFérents cas.
EXEMPLE.
Confidérons donc les cas ou n eft i, 2, 3, 4 Scc. Sc voyons
quelle feía la formation des fadeurs.
La formule
aa — za^cofig 4- sft
a pour facleur unique
aa — za$cofig 4- *J
La formule
a* — z a*i 1 cof.g 4- 5*
a pour fes deux fadeurs
aa — za \cof\ 4- ^
2
,2*-±£

k • '
•L
mil
ItS DE LA RECHERCHE
' toutes les fondions entietes, il fera maintenant prefque
(u) entierement levé.
155. Au refte cette réfolution en fadeurs peut encoré
s'appliquer aux feries infinies. En efíet nous avons vu auparavant
que la ferie 1+7 + ^7 + "^~- 4- £~^ -+- &c.
= e", Se que e* = C 1 4- 4-J , i défignant un nombre
infini ; il eft donc clair que la ferie i 4- — "+" - 4-,
— 4- —— h Scc. a une infinité de fadeurs fim-
1.2.3 1. 2.3.4
pies í 4 - égaux entr'eux. Mais fi l'on ote le premier
terme de cette méme ferie, le refte h •——•—t- -777-7
4- Scc. = e x — 1 :== ^ 1 -f- _í-) — j, Comparons cette
formule avec celle de Part. 151, nous aurons a = 1 4- —r- '
n SB i ? Sc ^ B 1, Sc le fadeur general devient = (1 4-y Y
— 2 f I+4-] a?/? ^r— 7T 4- 1 , formule qui donnera tous
les fadeurs a la fois , en fubftituant k z k tous les nombres
pairs. La fuppofition de 2 k = 0 donnera le fadeur
quarré —.- , au lieu duquel on ne doit prendre pour les
raifons rapportées ci-deflus que fa racine —. Donc x fera
un fadeur de Pexpreflion e x — 1, ce qui eft évidenr. Pour
trouver les autres fadeurs, il faut obferver qu'á caufe de
Tare A— * infiniment petit, on a cof
xk,
2 k k TC TC
~ 9
11
(art. 134^, les termes qui fuivent, difparoiíTant k caufe du
nombre i infiniment grand. Done le fadeur general =s
xx ._ 4^>* ^ 4**** x & conféquemment la formule
¡i i»
C* .— i fera divifible par i + 4- H ^—. Ainfi Pex-
1 I 4íK»-?r
DES FACTEURS TRINOMES.
Il 7
Scc),
preílion e I = x(l 4-
1. 2 1.2.3 1.2.3.4
outre le fadeur x , aura cette fuite infinie de fadeurs
(-T-^)('+T-^)('-

•
II
I
1
118 D E LA R E C H E R C H E
donné á chaqué fadeur une forme convenable, pour qu'en
faifant aduellement la multipiication , on ait x pour le
premier tetme.
**-+- t
157. De méme, puifque
Scc.
(tH-4) ; +o-^y
X* X*
= i 4 h
1.2 1.2. 3.4
, la comparaifon de
cette expreflion avec la precedente a* 4- \ n donnera a =
14—-> {=! — — ) & n — i '•> ^e fadeur general fera
donc => a a — 2 a T_ cof
2
fa*
f', XX \ . lí+l
O-ir;^/——
2 i i
(2* •+• 1)»,
2 "A í i »
- , + 7^ =24- -yj
r COJ. . ir B= I
; donc la forme du fadeur fera = 4 f* • 4-;
11
, le terme dont le dénominateur eft i* s'éva-
nouiíTant. Mais comme tout fadeur de Pexpreflion 1 4-
• Scc. doit étre de la forme i'4-«xx,
*. 2 1.2.3.4
pour ramener le fadeur trouve a. cette forme , il faudra
le divifer par ——. .- *""'•. Donc le fadeur de la formule
propofée fera 1 4- ,k 4 *1*y„„ S ^ >ou P°n déduira tous
les fadeurs particuliers en écrivant fucceífivement Sc a l'infini
tous les nombtes impairs á la place de z k -+• 1. On
aura par cette raifon
*•* •+-*• * x x*
1. 2 1. 2. 3. 4
1. 2.3.4. 5. 6
Scc.
\ srw / \ 95T:r / \ l (1 — 4 " ) (i — üí) (} 4 " \
yi -g •) Scc, ou en décompofant ces faéleurs en deux,
atfl-O- '+) '(i*?)J*-jí) («**)
(1 — -** ) (i-H JJ) Scc. On voit auffi par-lá que fi ^ =*
4- ir, on aura alors coj. ^ = o; ce qu 11 étoit encoré
facile de conclure de la natute méme du cercle.
159. D'aprés Part. 153, on peut trouver en outre les
fadeurs de cette expreflion e* — z cof g 4- e~* =Sa
* ( 1 — cof. g 4- - * 4
V
- H Scc. ") En efTet,
J o 1.2 1. 1. 2. 2. x. 3 4 á J '
cette expreflion íe change en celle-ci : (1 4- .-* Y — 2 cof.g
4- (1 ¡— ~i ) f. laquelle étant comparée avec la formule
•
3
•

I
•I
;
t20 DE LA R E C H E R C H E
eitée donne z ns=i, a= i -\—r-, Se \ — i r-. Le
fadeur general de cette formule fera done = a a — zar
,. xktr -4- g . xxx ( xx \
cof —Y=^- + u = * -+- m * v - —>
(xkx^g)
• Or col. 2 ^i .*' = i — 2 ~ . r- **• ¿
J l l i 9
donc le fadeur en queftion íera =~*- 4- 4 (a*5±ffj*
ou de cette forme 1 4- -,—, Si donc on divifé
( a**-±/r) t '
l'expreflipn propofée par 2(1 — cof. g), afín que dans la ferie
infinie le terme conftant = 1 , on trouvera, en raflemblant
tous les fadeurs , " { _" y- B -
-( I -f)( I ^f)( I -^)(^ I -7^)
(i
9*»• •+- (í— c Y ) \ ^ ¿5jr»-4- (¿ — cY ) '
mais fi c'eft le figne inférieur qui ait lieu , qu'en oonféquence
m déligne un nombre pair, Sc que dans le cas ou
m = o , on prenne la racine du fadeur quarré , on aura
b •+- x c — x
j "~ e -(, 1 3 * N (x j . 4tt-c)x4-jxx\
EULER , Introduclion a tAnal. infin. Tome I. Q

I
•
1
I
122 D E LA. R E C H E R C H E
/, -i- 4'b-c)x >t- AXX f 4(.b-c)x + 4
V "** i6** i6xx + (b— (b-cf c) V"*" *S0 *c
1 " V* ~~ r ~ 36T»4-(¿—cj 1
162. Soit fuppofé ¿ == o , hypothefe qui peut fe faire

w
I
•I
•
1
tí^ D E L A R E C H E R C H E
(i^^^-)0--^^)^=(^^)
(i—(, - sy ) C 1 "" Í^ÍF) O—JT^-T) 1 '
(, vv \ (r—~-— vv ^ Scc. La quatrieme
. . .. , cof. v - cof. g _ __
combinaiíon donne — =
i — cof g
i. 2... 6( i — cof.g)
1. 2 ( I — «/. g )
h Scc. =s
"^ 1. 2. 3. 4(1— «/¿O
/ ^ "\ f T , a gv-w\ / -_*A*_^_ V M
r I4-- 2 g v - t,v -K^ "" Y v - vv ) 8cc.= (1 -f)
V 1 ^ io.»,» - c« > v i(,xx~SgJ s <
(• + T^T)(^77^)(V-^7) Scc.
/ vv 'N &r La feconde combinaifon donne
V l — (4«*í)' ^
v?
T"-g -*-fín.v _ __ x — Scc.
fin. g 1. 2. 3 /n. «T 1. z...-
Pareillement, l'autre expreflion, fi l'on multiplie le numérateur
Sc le dénominateur par 1 — ¿~" c , fe change en celle-ci:
ex_ i_ e-x_ ec-x_ e
X — e —e
— C -\-X
fíl
9'
. Cette derniere , en faifant
c=gV-i Scx=^-! donne i ^ ^ ¿ 5 ^ =
,/•-— £jj£± = cof. 7
co
£LL_. On aura done
: l — cot.\g.fin. 1 = 1 — -

I
126 DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,
( I ^L_ ^ Scc. Done fi on fait v = 2 7, ou 7 =s| v ;
on aura cof ^^~ v) = ¿0/ | v 4- /¿/z¿". T £ fin. \ v *=
j£íU±ll =cofiiv-tang.±gfin.iv=(i-Tl-)
^jrfi^ Cofiv-cot.igfin.iv =(l- y)
( fc¿ - ) ( 1 v —) ( ¡ X —^— ) &c
V^^ xx —g J \ xx -+g J \ j.*T 4" — g J
ÉLd^L ^ eofiiv 4- ¿j.*/ jtff * = (x-hf )
(i--l— } (, + -!-) (1 ^-) Scc.
V 2a— g J \ Xx-t-gJ \ 4*—g/
La loi progreflive qu'obfervent ces fadeurs eft alTez fimple
Sc uniforme. Et ces dernieres expreflions redonneront, par le
moyen de la multipiication, celles que nous avons trouvees
dans l'article précedent.
CHAPITRE X.
De l'ufage des Facleurs trouvés ci - dejfus 3 pour
la fommation de Series infinies.
165. Si i 4 - i { + S f + C f +
Dr< 4- &C. eü
( i + ^ ) ( I + C í ) ( I + H ) ( I + ' J ) &C; ces facteurs,
quel qu'en foit le nombre fini ou infini, étant multipliés
les uns par les autres, doivent redonner la fuite
1 + ^ + Bf 4- Cr 1 4- Di* 4- Scc. Le coéfficient A
fera donc égal a la fomme de toutes les quantités « 4- £ 4-
74.^4-1 4- Scc. Pour le coéfficient B, il fera égal a la
TOUR LA SOMMATION DE SERIES INFINIES. 127
fomme des produits des mémes quantités prifes deux a. deux j
c'eft-á-dire, qu'on aura B = *G -+• a.y -+- atr -f-c>-+- %g
4- yS -+- Scc, Se en égalant le coéfficient Cá la fomme
de§ produits de toutes les lettres prifes trois á trois , on
aura C =• «Cy 4- a £ ^ 4- C >

I
128 DE L'USAGE DES FACTEÜRS TROUVÉS CI-DESSUS,
Avec un peu d'attention on appercevra fans peine la vérité
(u) de ces formules; au refte elle fera rigoureufement démontrée
dans le calcul diíTérentiel.
X — *
167. Ayant trouve ci-deíTus e "— =x{* -+• 77^ •+• 1>a#3-4 5
+ rx^r7-^ = (^H) (-";£) ('>*£)
i^ j_ JÜLA Scc. Soit xx ==«?, alors 1 4- -~ ^ -4-
\ ibxxj v 1.2.J
¡xt-ií- , Tiibí ,+iC£ --{ ,+ '£K ,+ iOC ,+ iO
f i4-^>í") (i-r- — K^ &c i en appliquant donc a ce cas
la regle precedente , nous troüverons A = -y; 5 =
4L; C s= —; D B= -¿g- Scc. Suppofons donc . . .
i 3 = 1+ ~ +7 * & * £* i + &c '
Q^ x j-^^j.¿j-_L_+-_l-.4-Scc.
jR
36 a
4* ' 9
i
^^ 4' 9' 16» **' l6«
1 ' *6
1
4- '
4» T"T 91
j-i.j-i.j--L4-J--1--L.4- Scc.
5 BS 1 4- -t 4- A 4- 4; -4- -^ •+• 77; -*- &c.
4» 9* ' 16* 25' 25* 36*
1
^'+í+í 9' + " 16» ¿ ' + 25* ¿ Scc.
' 36»
Scc.
En déterminant les valeurs de ces lettres par celles des
lettres A, B, C, D, Scc. nous troüverons
P • JLZ
r 6
X*
POUR LA SOMMATION CE SERIES INFINIES.
R =
S
aaaaaaaaaflaaaaaaaai
94?
x>
9450
T
935Ü5
Scc.
168. II fuit donc de-la qu'on peut avoir, au moyen de la
demi-circonférence * la fomme de toutes les feries infinies
comprifes dans cette formule genérale 14-~ 4- -¿ 4- ~ 4- Scc.
toutes Jes fois que n fera un nombre pair; car la fomme de
cette ferie aura toujours un rapport rationnel avec 77". Au
refte, pour faire mieux connoitre la valeur de ces fuites,
fajouterai ici plufieurs fommes de ees fortes de feries exprimées
d'une maniere plus commode.
1 4-^4-^4-^4- --4- Scc. = -^- i.^'-
2 3 4 5 2 1. 2. 3 1
1 +¿ + 7. + i + íi + te =ixib !••-•
1 H-¿+f.-4- J"-*^ tov
1 ^¿^^-+-^ + ^4- SCC.
i.2.3....9 j
2 8
1.2.3....n 3
i.*!
2 3 4 5 1.2.3....13 105
!»«•
1 ±T¡k±ft+^jí*' &c. B=-£_M..*
1 4-
3'
1
&+?.+?.+ ?& & c - -ní^i
1,617 K 16
3'° " 4" " 5
X....17 15
I I I
, J--L j-_i_ J-J_J.J_J- &c.
2'
==__f , l_438l7w,s
2" 1222277 ia
: . ÍI
EULER, Introducción a l'Anal, infin. Tome I..
R
129
I

R
130 DE L'USACE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,
1
I •. 1
2
2
1
3 'B+£+£•* «*• -rézt,
1 +¿+¿+¿+7^+ &c -
854513 w».
3
11818204^ „«4
2'+ 7^9779 2 77ra«
j». 1.2.3....27 1
J'exoliquerai ailleurs Tartifice , au moyen duquel on a pu
J expiiquerai ^ d ¿ ¿'avance, parce que
arriver a ees léiultats. Je les ai a r e
la ferie des fractions 1,7, 7, 7» »» '°" ' ' n . /
(*) rrb-irréguKere au premier afped, eft d'un tres-grand ufage
dans beaucoup doccaíions.
i 69 .Traitons de la méme maniete l'équation donnée (att. 157);
1 e'-±-'~* x _L- XX
nous avions trouve -— * -*- —
x* * s
1.2.3.4 1.2-3-4-5- 6
*c.=(i-^) (**«) (5+á£D &*áE)*
Suppofant donc x* = ~¿, nous aurons 1 >*> —7. "*1
fx J- i- ¿A &c; SC faifant l'application de la regle precedente,
nous troüverons A = 7^; 5 => I#1.3.4.4«' = = 1TI3...6.4»» e *
Done, fi nous fuppofons .
1 4-
R BS i 4-
9
1
i 1
1
1
"49"
49 1
Scc.
1
1
_L- - - 4- -ñ-r •+• &C.
25' 49' 8l
5 ^ x j.jLj-_i_j-_l-4-^-r4-SCC.
9* 25+ 49* «i*
Scc.
POUR LA SOMMATION DE SERIES INFINIES. 131
Nous obtiendrons pour P3 Q, R s S 3 Scc. les valeurs
fuivantes:
p — _L £.
*L -~ I # 2> '
l6 1.2.3.4.5 X' *
i?—
7* _ 7936 «•'•.
1.2.3 9* a " '
JTT 22368256 »r'*
W =s 1 , —-•
I.2.3..... 13 2 IS
^ 1.2.} * 2' '
c 2 7 2 ** .
1.2.3....7 2» '
y _„ 35379^
1.2.3.....íi* 2"
170. Les mémes fommes des puiíTances des nombres
impairs peuvent fe déduire des fommes precedentes, dans
lefquelles fe trouvent tous les nombres. En effet, fi
^ = a I + -„+ -„ + -„ + -, 4- Scc. en multipliant tout
par ~, on aura - = ¿ 4- j„ 4- - 4- ¿ 4- Scc, ferie, qui
ne contient que les nombres pairs, Sc qui fouftraite de la
premiere, donnera pour refte tous les nombres impairs;
ainfi on aura M — —n=* ^-¿r^' M B I + -,+-J-, + Í + Í
-^ 4- Scc. Mais fi on fouftrait de M la ferie — prife deux
fois, les fignes feront alternativement pofitifs Sc négatifs,
SconauraM— — MÍIZÍZI. Af=i— - 4- -k — i 4*
.«— I
X ) 1
\ «— -^ 4- Scc. On pourra donc, au moyen des principes
expofés ci-delTus, fommer ces feries
IJ-JL H-JL + Í_J-IJ- +.¿± Scc.
2» 3° -^ 4" J* — 6" 7-
I 4--4- — 4---4-- 4- — 4- Scc
3" 5 a 7" 9 o ii"
pourvu que /z foit un nombre pair; Sc la fomme ferass^w ,
A étant un nombre rationnel.
171. Les expreflions trouvees (art. 164) fourniront auífi
R ij
•
•

. i
t
l i
132 DEL'USAGE DESFACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,
des feries également rcmarquables. Car, puifque cof\ v 4-
Mg.igfin.i^C'-*-^) (—^)0 + J^=¡)to.
fi nous fuppofons v = ^irScgr=-ir,nous aurons (i + ~ J
(«-.-£) 0 + ^) Cl'-¡£¿) t*'+iil=)
t(. ü_ _ _ ? • _ ¿4, M^. - H- -^57. -+- &c. Cette
zan S' in 2.41* 2.4.6/i' o 2/1 2.4.6.8/1+
expreflion infinie comparée avec celle de l'art. 165 don­
nera ces valeurs - ci : A = -¿ tang. -^; B = — —> >
B-i m x j-. w * . F *' •>
C = — 2^6^ ' ^ TÜ > U —2T4- 6.8.»*» ^ ~" 2.4.6.8.10.»'
' ' ^ 17 &C ' maÍS al ° rS * = n~^Tm i e = — ^+T«' * = 37-^'
í s
•>
3 /z -4- m
•
J»-
;;? = - jn-t-m
SCC.
172. Ainfi, d'aprés la regle donnée (art. 166) nous obtiendrons
les feries fuivantes.
4-
„__m ' ' «4-nz 3/2—/« 3/2-4-/72 . 5/2—m 5/1-t-
-4-&c.
n 1 . _JL_4._J_4._J_- + - 4- - +&c;
Y~ ¡n-m) 1 (a-t-my (xn-my (xn+m)* (¡n-m)* 0+»)*
¿2-
1 1
-4
1 * *
(«_-«)«"""(/j-t-m)' (3"— m )] (3"— m ) ! (5"-+-" J )
5-*-^ (n-m)* (n-r-m)* (%n-m)* (}«4-l»)* (5 n - ffi ) 4
r= («—'»»)> (in-in)' (3/2—//-•)' (^-ir"»)'
^ ,
(>' -'»)
_r I I j 1 1
;--+-T :—r„-f-
* (n — m)* (n+my t>—»)' (3"H-«) 4 (?»—»)'
&c.
— &c.
4- &e.
POUR LA SOMMATfON DE SERIES INFINIES. 13 3
Or en faifant tang. ^ =k, nous en conclurons, comme
nous l'avons fait voir,
. P

1
\fl
I
134 DE L'USAGE DES FACTEURS T'ROUVÉS CI-DESSUS ,
formerons les feries fuivantes, Sc nous aflignetons leurs
fommes.
•i
: n •+• ni 4/2 — ni
G
i i
m* ~*~ (xn—m)-
I
~*~ (xn-hm)
^^ 1
1 "*" (4/2—/«)"•
(2/2 — m)í (i/z-t-m) 1 4/2-t-M
1
(ift-fcii*)*
1
(4/2-/72)' ' (4/2-+-"!)'
1 1
I
^ ~~ m* ~*~ (xn—iny ~*~ (xnt-my "*" (4/2—«)+ "*~ (4/2 + /")+
— Scc.
4- Scc.
— Scc.
j . _ J_ 1 1 1 . * o,
' " mi '" (xn— m)i (2/2-+-m)í (4/2—m)S (4»+'») i
Scc.
Or ces fommes Pt Q, R, S Scc. fe trouveront de la maniere
qui fuit.
P= A == —t
C (*¿4-l)a-a-
—
4nnkk
/? — (**+*)»'
f* "' 8/2'*'
T — (2¿ 4 -4- 5 **4-3) «-'
•* — 96/2'*'
IX
xnk
— ( a -+- a **)' T *
2.4. n l k 1
_ (6-t-6kk)x>
2.4.6/2'A*
_ (24-4-32*^4-8^)»-*
8=5 2. 4. 6. 8 w* A*
(l lO -4- 20O X ¿ -h 80 *" ) a-* -
2. 4. 6. 8. IO /2 ! k ¡
j / - _ (2 A* 4-17** 4-30**4-15)** B3 (7ao + i44Q**-l- 8l6 * 4 -t-9 6 *')' r *
' S=S 960 n* A' 2. 4. 6. 8. 10. 12. 72 a A 4
SCC
175. Ces feries genérales méritent que nous prenions
quelques cas particuliets, en déterminant en nombres le
rapport de m a. n. Soit donc d'abord m = i Se n —= 2, k fera
= tang. — = ¿«ng. 45 o = 1; Sc les deux dalles de feries
deviendront les mémes; on aura donc . . . . . . .
__ _ x _ _I_ .+- _ _-+-_!__ &c.
4 3 5 7 9
X X
T J— J-
3 1 ^ 5 l
1
Scc
POUR- LA SOMMATION DE SERIES INFINIES. 13 )*
32
X*
96
1536
x«
960
I
t
1
1
Scc.
4-
4-
4-
4-
1 1
1 4- '
J4 7 +
I I
J_4- —
5 S 7'
4-
4-
4-
4-
1
1
1
1
9 S
— Scc.
4- Scc.
—- Scc.
4- Scc.
Nous avions deja trouve (art. 140) la premiere de ces feries.
Parmi les autres celles qui ont des expofans pairs ont été
calculées (arr. 169), Sc celles dans lefquelles les expofans
font des nombres négatifs fe préfentent ici pour la premiere
"fois. II n'y a donc point de doute qu'on ne puiíTe afligner au
moyen de la valeur de w les fommes de toutes ces feries:
__.4-_J
3*4-' ~^ 5
_.
a 4-' 7"4- 1 9" 4-'
Scc.
176. Soit maintenant m = i,n= y, alors k = tang- ~ =q
tang. 30°=—-^- , Sc les feries de l'art, 172 fe changeront en
celles-ci :
X
* x
*7
1
2
1
1
4
1
1
10
1
1
14
1
¡4*
16
I
4- Scc.
= ^- f -?" 4 -8^- + -7o-^^" í -i- +&e -
__ I___j._ L4.J Lj- &c
162V3 2" 4' ~^ 8' 10' _ i4 ! 16' -
Scc. ou bien
*7
4*'
lia/3
1
4
- , +'f+Í'!-"?-t?'+ ^ &c '
I r 4- -7 —
SCC.
—
1 x
4- Z7
7'
~
1
8'
Scc.
I

• i ; >
«
136 DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS ,
Tous les nombres diviíibles .par trois manquent dans ees
feries. Celles qui ont des dimenfions paires peuvent fe
déduire des feries deja trouvees, en s'y prenant de cette
mauiere: pmíque
ÍT X
6
! ^-.L-í-i-j, i. -4.^-4- Scc, Sc que par conféquent
= -i 4- -V. 4- 14- -,i 4- SCC =
3» 6- O 1 6.9 3 12*
1 ' 6 l * 9 1 • 12 1 " 54
cette derniere ferie qui contient tous les nombres diviíibles
par trois, étant fouftraite de la premiere, donnera pour
refte rous les nombres non-diviíibles par trois: Sc partant
if_= 1ZJL =_I-f-i-4-^4- ^4-p 4-Scc, comme
nous veno 115 de le trouver.
177. La méme hypothefe de m = 1, « == 3, Sc A = 77->
appliquée a l'art. 174 fournira les fommations fuivantes:
2Í/3
iSv/j
1 1 1 I
I
= i _JL-+-4.-.l.>f-_---_4- —-SCC.'
7
1
— X-1-7T-H-
7~
1
11
1
TI 7
5» 7' 11»
I
'3
1
I
~ff
I
W
1
7'"
'3 5 '7'
~*9~
1
SCC
" *9'
4--V — SCC.
Les dénominateurs de ces feries contiennent feulement les
nombres impairs, excepté ceux qui font diviíibles par trois.
Au refte, les dimenfions paires peuvent fe conclure de ce
que nous connoilTons deja: car puifque nous avons
i»i-i-_f-J^-l-.i»f.i. 4-Scc, il s'enfuit que
8
X X
8 -9
t
V 4-
1
9' 4-
1
M' 4-
1
X X
4-SCC. —
J
21 •}%
ferie, qui contient tous les nombres impairs diviíibles par
trois, Sc qui étant fouftraite de la fupérieure, donnera pour
refte la fuite des quarrés des nombres impairs non-divifibles
par trois ; favoir
5T 7T
= 14-^4-^4-^4--^ Scc.
178.
19'
POUR LA SOMMtVTION DE SERIES INFINIES. f37
178. Si on ajoute, ou fi on fouftrait l'une de l'autre les
feries trouvees (art. 172 Sc 174), on en obtiendra d'auttes
également remarquables ; favoir... -
* » . . « • 1 1 1 1 . .1
2/2 xnk
m 2/2-/72 zn-t-m
mx
„c._^-lcr:
xnk
or k = tang. 5£ = fin.
cof
xn
Se 1 4- k k
Done -~TTL = z fin. — coi.— = fin. —, Cette valeur
1 -t- Kk J !«• J 2(2 J n '
étant fubftituée, nous aurons .
* 1 1 1 1 1 1 1
- =
r mx
n fin. —
m
(-n
— m
_.
n-i-m xn—m
1
xn+m
1 i
xn — m
i
xn-i-m
J
n
— Scc. On aura femblablement 1 par la fouftra&ion
—- -4-
xnk " x xn kx (1—AA) xnk x
i ,
m
xn —m 2/2 4-"»
1
0. ,-« 2 A mx m m: x
n — m
xk
-— 4- -—; Scc. Ur — —T7 = tang. z. — == tang. —
3/2—m xn-j-m i—AA o 2n b n
fin. __
= r mx' Done .
CO/.. r
J n
ir. COÍ. m ¿
f" rri TÍ "* '* ~
j —ir
— «* '* -y- *'•
1-
4
zn—m 2/24-7/2 3/2—m •l-Scc.
n. fin. —•
J n
Les feries des quarrés Sc des autres puiflances plus élevées
de ces termes fe trouveront plus facilement par le calcul
diíferentiel.
179. Comme nous avons deja traite les cas oü m =s r,
Sc n — 2 ou 3; fuppofons á préfent m = 1, Sc n = 4,
alors fin. —• = fin. — —> —r Sc coi. •-== -.-• Donc . . .
» •* n J 4 - yjx J 4 1/2
x , t I I I . I I I 1 o. «•
—_ == 1-4-
J J
V I 3 . I í
1
7 I . ' 9 I
1
" '3 »5
h Scc. SC
1 , l X - = 1 \--
1
h
Qr„
Scc.
3 5 7 9 " '3 'T
EULER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. S
i
íl
:: 1

I
138 DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,
Soit m «a 1, Sc n = 8, on aura 2Z. = !L, Sc _/&?. £
Ainfi
__JÍ =_I^._L__.J.___-4.i-4--— &c.
4Vt>-V r ») 7 9 M i7 a 3
'. e_I__i.j_-L--L4----4-Scc.
8(y/2 — 1) 7 9 J S «7 a 3
„ n i 272 a 3 a"
Soit maintenant m — 3 , Sc « = 8; dans ce cas — = -g-,
fcA ¥ -' (v + 17O * ** ^ "*(T-íjs) « **
C( ?/- 8 - —- —-— ; ce qui donnera les feries
• 3 V a -t- 1 ' ^
4v'(*4-v / 2)
*
1
11
1
T" 4 -.-
I
«3
1
1
»9
1
19'
21
1
- a-
8
Scc.
«Cv^tO 3 ;
21
l \ n
180. En combinant ces téries, on trouvera:
V(2 -v ya) __.___.4-L-_-JL —i— •L+IJ.I^.&C-
rV(J-__ll— _
4 3
^4+V*____] _ , +l _.
8 3
li_4¿^y_____3=j _. _ 4-
' 8 3
»[Va-4-i-t-V(4-^V^)?_T . ' +
; 8 3
«[V_____-»^¿)l_t ¡
• 8 *= , - 3-
^3 3 5 7
11 9 11 13 15 17 19
I
On peut aller plus loin, en fuivant un femblable ptocédé Sc
faifant h _ it» SC /n = 1 ou 3 ou 5 ou 7. On tiouvera de
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
—»-.
9 "
1
7
1
y
1
7
1
'7
11
1
11
1
11
1
11
1
13
1
1
«3
1
'3
1
"ñ
1
17
1
•7
1
'7
1
1
Tf
1
19"
1
1
&c.
&c
4-—4 K &c.
15 17 19
'5
1
>7
1
'9* &c.
POUR LA SOMMATION DÉ S¿RIES INFINIES. 139
cette maniere les fommes des feries r, —»—, JL, L &c>
dans lefquelles les variations des iignes 4- Sc — fuivroient
d'autres loix.
i8r. Si dans les feries trouvees (art. 178 ) 011 réunit deux
termes en un feu'l; on aura -
2/72 xm ^^ xm xm
•—-p =« — —t— •—• -4- — .
njin. ?_ m nn—mm 4nn—mm 9/272 —m« i6nn — mm
Sc par conféquent
nn — mm 4/2/2—mm ynn — mm
Scc. =
L'autre ferie donnera
xmnjin. —
71
•&e.-
2/72 2 7/2
•» "• Z /7I
n.tans.—TI nn — mm 4nn — mm 9/272 —mn~"~ ** c i &
par conféquent
—- h — 4 1 4- Scc ís —i- —-
«/j —«172 4nn — mm ynn — mm xmm
De la fomme de ces deux feries réfulte cdle-ci
xmntang.— *-»
n
m
x tang. — *
D an
i . í - . I
• -4- ,. -4. • ;A, grr — _
nn — mm ynn— mm «572/2— 7727» ' 47/2/»
dans cette derniere ferie n =iySc m=szk, nombre pair
quelconque; k caufe de tang. k -a = o, on aura toujours, i
moins que A ne foit =B; o .>
í—7Ti"+• ;;—TFI "+" ,, ' n. •+* ' * ¿. 4-Scc. = o; mais, íi
i —4*A 9—4AA 25—4AA 49—.4AA ' *
dans cette ferie on fait n = z, Sc m , nombre impair quelconque
sj z k 4- i; & caufe de —
772 X
tang. ==
o, on aura
! 4- ' o_ » . flr- -_ ' .
4 — (2*4-1)* 16 — (2A4-i) 1 n ^36-(aA4-i) 1 ^ a(a*4-0»
Sij
Si
J
•i

• I
I
•
14a DE L'USAGE DES FACTEURS TROUVÉS CI-DESSUS,
182. Multiplions les feries trouvees par nn; Sc foit- =/>;
nous obtiendrons ces réfultats : . . . . . . • •
4—PP 9 —PP
1 1
__ L.&C _, Z —.
!Ó— pp^ ' xpfm.px ZPP
1
1 _ i
Scc. x pp xptang.px
T^pp " + ~4— PP~*~ 9 — pp" T 'i6— PP
Soit pp = a Sc ces féties deviendront
¿ ' • I * - - SCC. = T-^TTT « £?
1 — 4 4 —a 9—a 16 — a
xafm.x^a 2

•
I •
I
a
142 DES AUTRES EXERESSIONS INFINIES
lefquelles étant décompofées en fadeurs fimples donnenr
- mx mx fxn—m\ { xn + m\ f 4n — m\ { 4n-*-m\ /6n — m\ R^
f ,n - —n == 7^\-Tn-)\-xir) V-^-A"^"A~67~J
m v sn — m\(n + m\ fxn-m\ fxn-i-m\ (¡n-m\ /. -J- w = 7 9 on aura 7=7 6
"6 " — 2 ' 2 2 5
"7 " 11 "il* 17'19* 23
Si on divifé la formule de Wallis par celle ou f =-- \ 9 on
trouvera ^2
a. 2. 6. 6. io. io. 14- i4- '8. 18. -
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13- 15- »7« '9-
DES A R C S ET DES SINUS. 143
186. Comme la tangente d'un angle eft égale au quotient
du íinus diviíe par le cofinus, on pourra exprimer auffi la
valeur de la tangente par des facleurs infinis. Si l'on divifé la
premiere expreflion du íinus par la feconde du cofinus, 011 aura
tang. — = ¿*L {->»\ /xn+m^ /An^m^ /4nH-ms
2/. n-m\n4-m J \-Kn-mJ K xn 4-/72 J \ j7-) & c »
COt. mw = I—? f___\ / r ?__«N f 3"4-77¡\ • ,*-»*
2/2 /// V*«-«/ \xn-¡-mJ \4n-m) K.4~n~^i) &CC '
Semblablemen t pour les ficantes, Sc pour les cofécantes on aura
coféc. — = IL ( " .•) ( 3" \ /___JV Aj» \ /___\ -
2/2 772 \xn-mj \xn + mj \4n-mJ W'-hW U7=M/ &c '
Mais fi l'on combine les autres expreflions des finus Sc des
cofinus, on trouvera
tang
cot.
fée.
772 a
2/2
772 a-
xn
m x
xn
M mx 2
cofec. — B= —
J
xn 3-
1 (xnín
— m) ^ 3(872 4-77/) > yfan—mj -
72—772 2(/24- 772) 2(3/1—772) "4(3724-7/2) * *
n — m . 1 (" -4- w) , 3(3/1—772) ^ 3(3/24-/72)
772
2(272-/72) 2(2/24-/72) '4(4/2 — 772) ' K C '
72 272
72 — 7»
B
772
72 4- nt
xn
xn — 772
4
372 — 7/2 3/24-772 5/2 — * m SCC.
xn 4 n 4"
272 -771 -772 Scc.
4/1 — 777. 4/2-
187. Si on écrir k au lieu de m3 Se qu'on determine d'une
maniere femblable le finus Sc le cofinus de J'angle —, Sc
qu'enfuite on divifé par ces dernieres expreflions les premieres
, on obtiendra les formules : • r
fin. —•
M 'i
72
mx
fin. —
cof
2 72
X
2/2
772
X
m
u~^k
xn— m 14-/72 4/2 — m 4/24-/22
- . * * _
2/2 — k 2724-A 4/2 — k 4/2 4- k
xn- 477 — 772 4724-«
372 —A 3/2 4- k 5/2 — k
SCC.
Scc.

H
1
a
_
T44
///ir
2/2
/. kx
COf.
J
xn
mx
DES AUTRES EXERESSIONS INEINIES
— ViT^A/ \»4-*y \3« — */ V3»-«-v M» — */
cof. zn /P — m\ fn + m\ /xn — m\ Sxn + m\ />¡n — m\ ^
fin.
xn
= \~T~J \lT=k) \zn + k) \4n — kJ \4n-k-k}
Ayant donc ptis pour ~ un angle, dont le finus Sc le
cofinus foient donnés, on pourra au moyen de ceux-ci
determiner le finus Sc le cofinus de tout autre angle £J
1S8. Donc réciproquement on peut aífigner les vraies
valeurs de ces fortes d'expreflions, qui font compofées
d'une infinité de fadeurs au moyen de la circonférence du
cercle, ou au moyen dea finus Sc des cofinus d'angles
donnés; ce qui ne laifle pas d'étre d'une grande importance,
puifque jufqu'a préfent il, n'y a point d'autres méthodes ,
qui puiíTent donner les valeurs de ces fortes de produits.
Au refte, de teiles expreflions ne peuvent euere fervir a
obtenir par approximation les valeurs, foit de ir, foit des
finus 8c des cofinus des angles -£• En effet , quoiqu'on
pdt fans dificulté multipliez entr'eux ees fadeurs \ —
I ( I -F)( I -"^.)( I -4Í) & C ' en em P lo y ant Ies
fradions decimales, il faudroit cependant prendre un trop
arand nombre de. termes pour en conclure la valeur exade
de ir feulement á la dixieme figure décimale prés.
189. Le principal uíage de ces expreflions, quoique infinies
, confifte dans la recherche des logarithmes; en quoi
les fadeurs font fi útiles, que fans eux le calcul des logarithmes
feroit tres - difficile. En effet , puifque ir =
4( I -^)( I -¿)( I -4 L 9) &C ' 0namaenprenantleS
N *• logarithmes
DES A R C S ET DES S I N U S . 145
logatithmes/W = /44-/(r —|)4-/(i—^-)-t-/(i—^)4-i
„c,ou/, = / 2-/( I-l)-/( I-i- 6)-/(i-l)^
Scc. quelques foient les logarithmes, tabulaires, ou hyperboliques.
Mais, comme il eft aifé de conclure les logarithmes
ordinaires des logarithmes hyperboliques, on pourra employer
un moyen trés-expéditif d'obtenir le logarithme hyperbolique
de ir.
190. Puis done qu'en prenant les logarithmes hyperboliques,
011 a l(i—x) — — x — — — Scc. Si nous
développons chaqué terme de cette maniere, nous aurons
¿ir =/4 s
l
I I I
9 2 - 9' 3- 9'
1 1 i
25 2.25' 3.25»
1 1 1
49 -49 1 3-49 !
Sec.
—
1
4. 9*
Scc.
1
4.2,5'
Scc
.. ._, ^_c,
4-49*
Dans ce nombre infini de feries, les termes pris en defceildant
verticalemeht forment eux-mémes des feries, dont
nous avons deja afligné les fommes; c'eft pourquoi, fi pour
abréger, nous fuppofons „
B _, , ^ L 4- 1 4- 1 4- 1 4- SCC.
C = 1 4- p 4- ± 4- js 4- p 4- SCC.
_. = , + í.• + i -H 1 4- 1 4- Scc
Nous aurons U= l\ — (A — 1) — \ (B — 1) — f (C— 1)
-_ ± (D — 1) — Scc.
Eu LER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. T
m
I
I

W. w
I
I'.(ti
I
1
y
ti
1
T4

•
n
ir
I
I48?fDES AUTRES EXPRESSIONS INFINIES
i
ó" 1
i
4-^-4- lai
i
6+
i i
i ^ I + -L 4.-L + Scc.Y
6* ^ 8« ^ io a 12 a te "Ll=sz¿mrz.l(1n
J ' xn
/ ,
«2 771 /I
— m)-hl(zn-i-m)
••• ^ ^
— 3ln + lir—l^
I
a^M_BB_»i_B Scc).
Tí*
r*ñT \4*
-fi.
i
12 +
4- Scc.\
n* W
^1 ( -
,n
I
10
i2*
^ y
I
I
- 4- Scc.\
To»
s \4'
4 72» \ 4 8 6 " 8?
SCC.
12* /
l¿0r ÜLZ. —l(n~m) -{~l(n-hm).— 2//s
- S (? * ? * ¿ + ? * * & )
_JüL(±4--4-^4--íH- &c.)
_. JüL (L -H 1 4- 1 4- -, •+• SCC.)
~ 4/2» M« 5' ^ 7* 9« /
Scc.
On vient de donner (190) les fommes des dernieres feries;;
(r) on pourroit en déduire les premieres ; mais pour en faciliterr
l'ufage, j'ajouterai pareillement ici leurs fommes.
193. Soie.nt donc pour abréger.
y
|*|í &c.
r
4*
6? "' 8
-LJ--4--4-J--4-SCC.
8'
¡v*$
- 1
— .— i
4«
SCC.
1
6*
1
i
8*
1
Scc.
Scc.
D E S A R C S ET D E S S I N U S . 149
Les fommes approchées au moyen des decimales feront;
« = o, 41123351671205660911810 -
C = o, 06764520210694613696975
y = o, 01589598534350701780804
l = o, 00392117717264811007570
« = o, 00097753376477325984898
£ = o, 00014420070472492872274
» B= O, OOOO6IO38894539493329I5
8=0, OOOOÍ5259O2225I27269977
, = o, 00000381471182744318008
* = o, 00000095367522617534053
A = O, OOOOOO23841863595159154
I» = o, 0000000596046483283155.5
C B= O, OOOOOOOI490Il6r4l5898l3
1=0, 00000000372529031233986
• =s O, OOOOOOOOO93131257548284 -
ir =B= O, OO0ÓOO0O023 283064370807
p = o, 00000000005820766091685
r =s= O, OOOOOOOOÓOI455 191 511858
T B O, OOO0O00OO003637978807IO'
v = o, 00000000000090949470177

m
i
1
i
I
f !
H
150 DES AUTRES EXPRESSIONS INFINIES
/ Coi. ^- = / (n — m) •+• l (n -i- m) —- z l n
J xn v ' '
_ ¡_L (J4 - 1) - -=1 (B - 1) - -*£ (C~ 1) -Scc.
72/2 V ' 2 /2 + V ' 3 /2* V '
Ainfi, les logarithmes ¿w Sc /8 étant donnés, on aura
. le logarithme hyperbolique du finus de l'angle — 90 o =
lm-\-l(zn — m) 4- l(z,n 4- m) — yin „
— o, 93471165583043575410
— • o, 16123351671205660911
72*
772-»
-YT' °» 00257260105347306848
m s
72"
772»
72»
m"
72 l °
772»
772 1 *]
71" +
772'*
71*
77I 1 *
72 : *
• o, 000090-32844783567260
• o, 00000398179316^205501
• o, 00000019415195465196
• o, 00000001001328748S12
• o, 00000000053404135.61,8
• o, 00000000002914859658
• o, 00000000000161797979
• o, 00000000000009097690
• o, 00000000000000516817
o, 00000000000000029607
— —T7~* °» OOOOOOOOOOOOOOOOI708
7/1 IÍ
— •—— • o, .00000000000000000099
772»'
—- - ..-• o, 90000000000000000005
D E S A R C S E T DES S I N TJ S. iyY
Et le logarithme hyperbolique du cofinus de l'angle* «^o-,
l(n — m)-i- Í(n-+-m) — zln *
m'
—* - ¿ - ' °> »337°°yJ01-3616982735
772»
^-" °> °°73390i58o>o96o27i7
— * o, 00048235888031404063
72'
772 10
72'°
772"
«"
772-4
72'4
m' S
72 ,S
o, 00003879475632402982
o, 000003408272608516510
o, ©©000031430809718659
o, 00000002989150274450
o, 00000000290464467239
tt'l o, 00000000028682639518
772-- m*'
-¿r-r* o, 00000000002868076974
— -¿n- • °j 00000000000289697956
772"+
'n¿r* °> 000 °oooooooo295o6o24
72"
7I'«
o, 00000000000003026249
o, 00000000000000312232
-jj57-' °> 00000000000000032379
8*3'
o. 00000000000000003373
72> l
77/S4
o, 00000000000000000352-
772'"
~TT * 0> 'OOOOOOOOOOOOOOOOOO37
7/2'»
~—^T ' °i OOOOOOOOOOOOOOOOOOO4
195. En multipliant ces logarithmes hyperboliques des
I
I
I
I
l 1
I

152 DES AUTRES EXPRESSIONS INFINIES
finus Sc des cofinus, par 0,4342944815) &c, on aura leurs
logarithmes ordinaires rapportés au rayón == 1 Mais comme
dans les tables le logarithme du finus total eíl fuppoíe ordinairement
== 10, pour avoir les logarithmes tabulaires des
finus Sc des cofinus, il faut, aprés la multipiication, ajoutet 10.
Ainfi le logarithme tabulaire du finus de l'angle - 90 o feta =s
Lm-\-l(zn —m)-h-l(zn-\-m) — jlñ
4- 9> 594 0 59 88 57 0il 9°
~ . o, 070022S26605901
— -^—. o, 001117266441661
72+
^— o, 000039229146453
"i!_. o, 000001719270798
— -—. o. 000000084361986
72'° '
ü£Lt o, 000000004348715-
, OLL, O, 000000000231931
__ üíL. o, 000000000012659
72' 6
._. —. o, 000000000000702
TJ 18
_ j_L, o, 000000000000039
Et le logarithme tabulaite du cofinus de l'angle ~ 90 o -=a
l(n--m)' J c*l(n-±-m)*—zln
4- 10, 000000000000000
o, 101494859341892
772*
~7?"
772*
o, 003187294065451
DES ARCS ET DES
772 o
m*
n>
«;°
72'°
772'*
72'»
772'*
72' +
772 ,lf
n ,l¡
m'~
72' 1
771»
72
m'*
o, 000109485800017
o, 000016848348597
o, 000001480193986
o, 000000136501272
o, 000000012981715
o.
* O,
OOOOOOOOI 261471
0000000001245 67
o, 000000000012456
O,
000000000001258
— -r-« O, OOOOOOOOOOOOI28
f_ —JJ-« O, OOOOOOOOOOOOOI3
I N U S. *J3
196. On peut donc, moyennant ces formules, calculer
les logarithmes, foit hyperboliques, foit tabulaires des finus
Sc des cofinus de tous les angles, fans connoitre les finus
Sc les cofinus mémes. Or la connoiíTance des logarithmes
des finus Se des cofinus donnera -par la foufrxa&ion feule
ceux des tangentes Se des cotangentes, des fécantes Sc des
cofécantes; ainfi, on n'aura point befoin pout ces dernieres
de formules particuiieres. Au refte, il ne faut pas perdre
de vue qu'on doit prendre les logarithmes hyperboliques
des nombres m3 n, n — m3 n-\-m3 Scc, lorfqu'on cherche
les logarithmes hyperboliques des finus Sc des cofinus , Se
les logarithmes ordinaires des mémes nombres, lorfqu'il
s'agit de trouver ceux-ci au moyen des dernieres formules.
De plus m : n défigne le rapport de l'angle propofé a l'angle
droit; ainfi, puifque les finus des angles plus grands qu'un
EULER , Introduclion a (Anal, infin. Tome I. V
I

w&
i» • '
•
154 DES AUTRES EXPS-ESSIONS INFINIES
demi-droit íont égaux aux cofiaus d'angles moindrcs , Sc
réciproquement; il frnfuit que la fradion \ ne devra jamáis
erre plus grande que \, Sc que par conféquent ees termes
deviendront beaucoup plus convergents, de forte quil fumra
pour notre objet d'en prendre la moma, _
197 Donnons, avant de finir, une maniere de trouver
les tangentes Se les fécantes, plus commode que celle que
nous avons propofée dans le Chapitre précedent. Car,-quoique
les tangentes Sc les fécantes fe determtnent par les finus
Sc les cofinus; cependant cette détermination qui fe fait par
la divifion devient trop péniblc pour de fi grands nombres.
Nous avons deja donné, a la vérité (art. 136) les formules des
tangentes Sc des cotangentes ; mais nous n avons pu en
donner alors la démonftration que nous avons réfervee pour
ce Chapitre. _ . r
108. Tirons donc d'abord de l'art.181 Iexpreffion de la
tangente de l'angle •—* Puifque ~
• mm ynn — tnm 25 nn—mm
" „ « m 4/"« / \1
4- Scc. BB — • tang. --ir, on aura tang. — • w ¡ \nn-mn*
- * 4/72/1 *^ *«
Scc Y Enfui ite, comme

1
1"
I
• ir •i" 1
t$6 Du DÉVELOPPEMENT RÉEL
CHAPITRE XII.
Du développement réel des Fonclions fraclionnaires.
199. Nous avons deja donné dans le Chapirre fecond
la méthode de décompofer une fonclion fraélionnaire
quelconque , en autant de patties que le dénominateur
renferme de facleurs fimples; car ceux-ci forment les
dénominateurs de ces fraclions pattielles ; d'oii il fuit évidemment
que, fi le dénominateut contient quelques facleurs
íimples imaginaires, les fraólions qui en réfulteront feront
auíli imaginaires: or, dans ce cas, il y aura peu d'avantage
á décompofer la fraólion réelle en imaginaires. Mais,
comme on a fait voir que toute fonclion entiere, relie que
le dénominateut d'une fraólion quelconque, peut toujours,
quelque foit le nombre de facleurs imaginaires qu'elle renferme
, fe décompofer en facleurs réels doubles ou de deux
dimenfions, on pourra par-lá évirer les quantités imaginaires
dans la décompoíition des fraólions, en prenant pour les
dénominateurs des fraólions partielles, non pas les facleurs
fimple's du dénominateur principal, mais les facleurs réels'
doubles.
200. Soit donc propofée la fonólion fraclionnaire jr-, de
laquelle on extraira , fuivant la méthode donnée auparavant,
autant de fraólions íimples, que le dénominateur N renferme
de facleurs fimples réels; mais, au lieu de facleurs
imaginaires, prenons cette expreflion pp — zpq^.cof p
"+"*7 1W\-> P oul " facleur de N, Sc comme il faut avoir ici le
numérateur Sc le dénominateur fous une forme développée,
foit propofée la fraólion
A 4- B\ -+- C? -+- D? 4- £{* -f- &c.
ÍPP — zpii-wj-f-t-llil) («-t-^-t-y-.í-t-^'-l- &c)'
DES FONCTIONS F R A C T I O NN A IR E S. Í57
Sc fuppofons la fraólion partidle que fournit le dénominateur
pp — zp q ^cofi

1
• I
^M
.1
I5? DU DÉVELOPPEMENT RÉEL
Soit pour abréger le calcul,
„4- Bfcofiv-t-Cffcofizt+Dpcofi}? 4-Scc. = í>
Bffin.,?>+-Cfffin.zv + Df } fin.}

Il
I
I
1
•
I
l6o Du DÉVEL OPPEMENT REEL
r f X , f. XX
Q = +y1fin.--irfm.—
R = — cof. — — Vz cof. — — cof. ^s¡o
J 4 ^ 4 y 4
R _••—J&r: - — >f* j&. — —fin. 2Z = ~ i \Sz
•> 4 4 J 4
D'aprés cela, on trouvera QR — c¿R = — ^Vz; A = L^l- r ,
Sc A =s- o; par conféquent le faóleur i 4- -¿ yz + rr du
dénominateur donnera la fraólion partidle >* 2 — O • a _•.
pareillement l'autre faóleur donnera celle-ci : - • **"/ , «
r i — *;•/» 4-«
Ainfi, la fonólion propofée d'abord; ^4-r -. fe réfoud
c c\ • — x . ( ,

••_•
I
r í
W-
H
l6z DU DÉVELOPPEMENT RÉEL
^ 8 i , i t 64
8 _; . _L __ 34V / >
Q — 5V3V3 3 ' Vi 45
ViVa 5-3* 3 ' ~3vV "".3V3 -35
1 y/i S_ *Vx._ J_ 3£L ; ¡_¡ 9 8 ^*
*" ^ 7Í*%3 J-3*'~3 3^3* 3/3 *35
Done QR — QR S= — ^ p , Sc partant . 4
a ICO __ * A __ _5.
A 712 "178' A ! 712 "" * I78*
Ainfi la fradion propofée { l_^¿l^\\ + m ) & décompbft
/_„* , • 9(17—??): 178 , 5(54-270:178
(aa) encesdeux-ci: ^ _ u ^ „ -*- x + H+m '
204. Remarquons qu'on peut conclure des lettres Q Sc Q
les valeurs des lettres R Sc R. En effet, puifque . . .
Q = * 4- efeof. 9 -+- yf cof z 9 4- í/ 5 cof. 3 9 4- Scc.
Q BS C/J£¿ «p 4- yf'fin. z 9 4- */* jí». 3 9 •+• & c i
on aura «
Q «/* -rr Qfin.z = *.cof.

•
I
a
I J
164 Dü DÉVELOPPEMENT REEL
20¿. On voit au reíle par ce qui precede que cette réfolution
ne peut réuílir, fi la fonclion Z renferme encoré le
méme faóleur^ — z-pq^cofo -*- qq\\- En effet, aprés
avoir fait, en ce cas, dans 1'équariorr M = AZ+ A Z -( la
fubftitution f -=/" (cof n 9 _- j/"— 1 fin. n

M*.
• :
•
1.1
1
I
I
I
•
tSS DU DÉVELOPPEMENT R¿EL
r- M — (A-f-Ar)Z __ p. sr
Soit enfuite ^3^,^7:7+??« "" '
faifant f = ~ • «>/• a 9 , foit P = P,
€t faifant f *=•£./«.«*, foit P = »;
nous obtiendrons •
B BS PN-HPN PN —PN # C0/.9
N* H- N 1 N"- -+- N' * fin. 9
— PN-f-PN _t*
B "^ N* -+• V< * p-fin.

!£

J J i
w
\M
m
•
i
I
•
, 7 0 D E S S É R I E S _
donnent les fraólions partielles, les coéfficiens de la. puiffance
x n leur fomme donnera le coéfficient de la puiílance *.
dans la 'ferie recurrente A 4- B K 4- C? 4- D ? 4- Scc. ^
ii4 On pourroit ici former le doute, fi, dans le cas ou
deux feries font égales entr'elles, lors, par exemple, que
^4-_7+C7 I 4-2)í ! 4-Scc.==A4-B-í4-C*íM-D^-i:-Scc,
il s'enfuit néceíTairement que les coéfhciens des puiíTances
fcmblables foient égaux entr'eux, ou que A = A; B -
B. (^_________ Q. J) _-. D; Scc. Mais ce doute diíparoitra bien-tb\,
fi on fait- attention que cette égalité doit avoir lieu,
quelque foit la valeur de la variable ( Soit done * = o ;
Sors il clair que A •* A. Retranchant done de part &
d'autre ces termes égaux, & div.fant 1 équation reliante
par i; on aura B 4- CX 4- D f 4- Scc. sjB + q + D ^
4- Scc; d'oii 5 = B, on fera voir pareillement que C ==
C D ' = D, ainfi de fuite & l'infini.
215. Confidérons donc les feries qui proviennent des
- fradions partielles réfultantes de la decompofition d une
fraólion quelconque: il eíl d'abord év.dent que la fracción
_A_ donne la ferie A 4- Ap * 4- A f f 4- A p 1 tf
4- Scc, dont le terme general eíl A / th car on acoutume
dTappellet-cette exprefiion Terme general, la raifon quen
mettant fucceflivement tous les nombres a la place de «^on
a tous les termes de la ferie. Enfuite la fradion — ^
donne la ferie A 4- z AFl
4- 3 A/ < + 4 A/»' t'4-^Scc.
¿Ont le terme general eft (* 4- i) Ap» f. Et la fraólion -J-JJJ
donnera la ferie A 4- 3 A/» t-4- í A/ f+ ioA/^4- Scc,
dont le terme general eíl íi±iHi±^ A ^ f. En general
la fradion
Íl___A/s*^
1. a •* *
fournit cette ferie A 4- kAp\
(n-pt)*
h.(k
A/* 1 ¡j.' 4- Scc. dont le terme
0J__O
I. a. 3
R E C U R R E N T E S .
general eíl («4-0 («•*•») O+ 3) ^^^^A^r" La
0 1. a. 3 (*— O " * *
progrefiion de la ferie fait voir auífi que ce méme terme =
' A / n f. Or cette exprefiion
1. 2.
eft égale á la premiere, comme il eíl facile de s'en convaincre
en multipliant en croix. En effet, on aura
I.2.3...77.(/-4~I)...(«4-Á:—1) =1.2.3...(/x—i)k...(k-hn— 1)
équation identique.
216. Ainfi toutes les fois que dans la réfolution des fonctions
fradionnaires, 011 arrivera á des fradions partielles de
. la forme , _ .k 9 on pourra aífigner le terme general de la
ferie recurrente A 4-¿? •{ 4- Cf 4- D ¡j 5 4- Scc, qui réfulte
de la decompofition de la fonclion; puifqu'il fera la fomme
¿es termes généraux des feries, qui proviennent des fradions
partielles.
EXEMPLE I.
Trouver le terme general de la ferie recurrente, qui natc
de la fraclion — •
J I Z 2ZZ ' '
Cette ferie fera i + or+2-^4- 2*-' 4-

w V
I
I
_•
1
I
•
P72 D E S S É R I E s
de lo fraclion -.^"¿Tz* w de ** '&** l + * Z + "**?
décompofé en celles-ci -*£ * j££ 5 ¿'ou réfulte le terme
4-lízM- i8z on trouvera pour
terme general: i(« + i)f + i f 4--} (—i)"f = iü±l±2 g, .
Le figne fupérieur aura lieu,. fi n eíl un nombre pair, SCl'inférieur,
fi n eft un nombre impair.
117. On peut obtenir de cette maniere les termes généraux
de toutes les feries recurrentes, parce que toutes: les?
fradions peuvent fe réduire en fradions partielles de cette.
forme ; mais, fi on veut éviter les expreflions imaginaires, on
arrivera fouvent a des fradions partielles de la forme fuivante::
A -t- Bpt . A -f- Bpi . 9¡i A: -t- B>tü>
SC
1 — zpícef.

I
1
i i
I
ia^B^h
•
J I
r-74 D E S S E R I E S
(bb) Serie dont le terme general n'eft pas fi aifé areconnoitre.
218. Pour arriver au but, confidérons les deux feries ;
Ppifin.

I
• '•
I)
i
¿7$ D E S S E R I E S
U«-t-*)/*-^-Wa-(* •+•*)? B - „_ Donc Je terme géng-
tal cherché, c'eft-á-dire, celui de la ferie, qui nait déla fradion
A -4- Bpi n __ (/>-4-3)yw.(7/4-l)p— (// +!)//»• (n + 3)? ^
/i — 2/7{co/.1p-l-7'/'íí)* " 4.(/«- •?)'
A Cny" J- -O" 4* O /"•(•»?> - *A(*-*-a)g g
221. Soit ¿ = 3 , Sc le terme general de la ferie, qui
viendra de la fradion
f—IpZJfcof.ip — gfi".

1
1
I
1
,-g D E S S E R I E S
fin, g = fin. 9
4 (fin. 9)' = lfin-9- fi"-i9
l6(fin. g)' = io fin.9- fP'TT* ' >-^
64 tpn. g)- = 3í/«.4.-ai/«.3v+ 7 fin- 5 f - /«• 7 4>
a-6 Qfo. *)» =» »6/«-í - 84jfM* 4- 3*>- 5 9 - 9^- 7? + >• 9 *
12,. Toute fondion fradionnaire pouvant done etre
décompofée de cette maniere en fradions partielles réelles
il s'eníuit qu'il fera poflible d obtenir en expreflions réelles
les termes\énérw* de toutes les feries recurrentes. Pour
rendre cette vérité plus feníible, on a ápute les exemples
fuivans. r
EXEMPLE I.
La fradion u_ollJaK-._
avec la formule
,
,_2p^.co/:g-+-/'/'íi
on
\ , 1 V o\Tl_. V I.g==l==6o 0 ;A==4-t;&BB=-f;
aura(art. 2I8J/JB= — 1, v—? » »
, , , , 2 /&7.(rH-i)g- >•"?./ jy.j.ri.-.^.
d'oii réfulte le terme general 4 ¿-_-¿ V /\
* Voyez la fin du Chapitre XIV.
R E C U R R E N T E S .
•4f„.(n + i)9-*fil.n9 t
9^3 \ l > x —^
4fin.(n 4-i) — — xfin.n^.
3 3
9/3
*75>
.(—i)Y-
Faifons une fomme de toutes ces expreflions, Sc nous
aurons le terme general cherché de la ferie en queílion,
t,fin. (n + 1) — — 2fin.n —
C7f + 7 + £X±^'± \ , ? 7" OÜ il
faut prendre les fignes fupérieurs, fi n eft un nombre pair,
Seles fignes inférieurs, fi B eft un nombre impair. Remarquons
ici que fi n eft un nombre de la forme 3 m , on
aura 4Af («-*-0«- — ayfi-.¿«-r * Í, „_.,-__ T
9~7^ -=±j> q ue » fl = 3 m + i,
cette expreflion deviendra = 4-^^; Sc que fijz = 3 OT 4- 2¿
elle aura pour valeur 4- £, fuivant que n fera un nombre
pair ou impair; cela pofé, la nature de la ferie pourra étre
ainfi déterminée , de maniere que
ñ
n = 6 m •+• o
/?
«
/z
1 6 m 4- 1
• 6" /*« -4- 3
¡ 6 /77 4- 4
on aura pour terme general
( nn n \
C^ + T-A)-"
•aT + T^iJí-
( «/I 77 . \
n
n
_ H - - 4 - t ) r
Par exemple, fin = 50, la forme * =3 6m-*-z
le terme de la ferie fera == 234 £*-'.
a lieu, &
EXEMPLE II.
La fradion - 1 * < ^ « - produit la ferie recurrente
l-t-i*4-l
Zij
I

lí
H:,
I
j8o D E S S E R I E S
I + 1Í+3H + 3 f 4-4^4- 5 *M-f -/ 3 ; Sc
par conféquent D = « C-4- QB-\-yA;E —cD^-C C-f- > B;
F= ~E -t- €D 4- yC; Scc. Ce font ces multiplicateurs
«, -4- G, 4- y que MOIVRE appelle Échelle de relation. La loi
de la progrefiion confifte donc dans l'échelle de relation,
Sc cette échelle donne fur le champ le dénominateur
de la fradion dont la réfolution forme la ferie recurrente
propofée.
225. Ainfi pour trouver le terme general ou le coéfficrent
de la puilTance indéfinie ¡j", il faut chercher les fadeurs
fimples, ou doubles, fi l'on veut éviter les fadeurs imaginaires,
du dénominateur 1 — «-( — C^— 7£. Suppofons
d'abord tous fes fadeurs fimples, inégaux entr'eux Sc réels, tels
que (1—p\) (1—^^)(i—rr); la fraclion génératrice déla ferie
fe changera en celles-ci: 5
o 1—pr__ - —íi
A . B . C . . ,
—— j ce qui donnera,
pour le rerme general de la ferie: (Ap" 4- Bq n -+- C/ J! )7 n .
S'il y a deux fadeurs égaux, par exemple, fi q —p le terme
general fera de cette forme : [ ( An 4- B)/> n 4- C r'] *¿% Sc fi
de plus r — p -=• q; le terme general fera de la forme
( An' -t- B/z 4- C 1 p a f; mais fi le dénominateur a un fadeur
'double de maniere qu'il foit = (1 — p z)(i — 2 q ^ cof.9-\- q qr r);
alors le rerme general fera = ( A/H-^^***^"*^) £.
Donc, puifqu'en fuppofant fucceflivement pour n ¡es
nombres o, 1 , 2 , on doit obtenir les retines A, Br, C-(%
il fera facile de determiner les valeurs des lettres A, B, C.
zz6. Suppofons une échelle de relation a deux termes, c'eftá-dire,
que chaqué coéfficient foit determiné par les deux
précédents, de maniere que C = *B — GA;D = * C— ¿5 -jE
= *D— CC Scc. II eft évident que la ferie récurrenre
A + B^-* Ci*-h D? -t- E?+ y ../.... 4- Pf-h
1
I
1

I
I
1
i
l84 D E S S E R I E S
nous aurons • • .-
. {(A - .B).V+*£QRjr J R R . Sc á caufe de R =
'¿=-- BB — * AB+ZA¿
^ Q —• CP, '
- CSAP'-i- 2C(«A - J)PQ4-[^-(««-g)^H'
Z — — ~üB -+• *AB -t- $A A
or . • •
2 _ t t r « C I ; donc Y ^ r ~ \ & P" conféquent
-gj?/»4-ag,4PQ-+-(l-"^>4-7'4-r (ce)
== *; pq 4- pr 4- qr C Sc pqr =¡y; on trouvera la
proportion fuivante:
#-— z«Q]
-H«~H C)C ) -(«e->)G
4-axy i 3 -} — 2^p , e
4- *>• p*
^-i-(a*4- e)#
— (-Í4-3>)^5
4- *? *1
,-(,c >)B*
4-(«>4-^)^i5*
— tff* ^ B
ri- y y A $
>"=as
Le terme i? dépend done des deux précédents P Sc Q3 &pour
le trouver il faudra réfoudre une équation du troifieme degré.
&31". Aprés ees obfervations fur les termes généraux des
EULER , Introductiva a l'Anal, infin. Tome I. 2 A
T-

H
I
•
D E S S E R I E S
feries recurrentes, il nous refte encoré á chercher les fommes
de ces feries. D'abord il eft clair que la fomme d'une ferie
recurrente continuée á l'infini , eft égale a la fradion qui
l'a fait naítre , Sc comme le dénominateur de la fradion
eft connu par la loi de la progrefiion, il n'y a plus que le
numérateur á determiner. Soit done propofée la ferie
„4-5-í4-Cf4-¿)-í J 4-£í 4 4-F-r i 4- Gj-'-h Scc;
dont la loi de progrefiion donne le dénominateur i — *\
4-C-r»— >-( 1 4- f\*. Suppofons la fradion, qui exprime la
fomme de cette ferie infinie = x _ * + ¿¿¿j¿¡ji-¡rf¿ i comme
la ferie propofée en derive, on aura, en comparant, . .
a BB A
b = _ — a A
c = C—«B + cA
< / = D - . C + C B — y A:
Donc la fomme demandée fera
>A-¥(B - *A)i + (C-«B + ZA)? + (D — «C+CB — VA)?
2-31¡ On comprend aifément aprés cela comment on
trouve la fomme d'une ferie recurrente continuée jufqu'a
un terme donné. En effet, fuppofons qu'il foit queftion de
trouver la fomme de la_ ferie propofée jufqu'au terme P%\
Sc faifons •
í = ^ + ^ + cí , + i)f+í{ t 4- /Y-
Comme la fomme de cette ferie prolongée i l'infini eíl
connue, cherchons celle des termes qui fuivent le dernier
JV 2t l'infini, laquelle nous fuppofons
t==:Q_í'>"+.RK"+>+Si*+ s +Ti"-*-h&Cc.
cette ferie étant divifée par -£** ' donne une ferie recurrente
parfaitement conforme k la premiere, dont la fomme fera
par conféquent t = . . .
.Qr*+*+(R-KQ)¡*+* + (S-«R-*-GC¿)i'+> + iT-«S+eR-vC>)f~\
1 - *t -h V - vV ± *?
RECURRENTES. I87
On en conclura que la fomme cherchée Í B . : . .
-f- A -t-(B — «A)j-+- CC— *B 4- SA)?-h(D — *C+GB — vA)t*-
I — * l 4- €-.* — -/?' •+• a^í*
— Q{"*'- (R—«(Df+i — íS—vR + SQjf+' — ÍT—uS+eR—yC))?**
1— «{4-

•l
1
l88 DE LA MULTIPIICATION
cofinus == y, Sc fa tangente =-/; on aura xx4-yy==I,
Sc t = -• Ainfi puifque les finus Sc les cofinus des angles \\
ar; 3r; 4^; forment, comme nous l'avons obfervé, une
ferie recurrente, dont Pcchelle de relation eft zy — 1, on
obtiendra d'abord pour les finus de ces ares les expreflions
fuivantes: • • •
fin. o\ = o
fin. 1 \ =B X
fin. z 1 BB z xy
fin. 3i= 4 x y* — x
fin. 4 *( BS 8 x y' — 4 x y
fin. 5 -¿ = 16 x y x
6 xy
4 — 12 x y 1 4fin.
6*(=se 3 2 x y s — 3 2 * y* 4fin.
JI e_ 64. x y* — 80 x y 4 4- 24 x y 1 — x
fin. 8 1 = 128 x y 7 — 191 x y s d'oü l'on concluí
4- 80 x y* — 8 xy
Hff)fin.ni=x[z-'y —(*—2)2 'y '4— —1 y
—r—*: T" 2 > "*" *• *• 3- 4 J
23 5. Si nous faifons Tare n$ = s; nous aurons fin.n% =
fin. s =fin. ( * — J) =>. (z*-hs)=fin.(^ — s) Scc. car
tous ces finus font égaux entt'eux. Nous tirons de la plufieurs
valeurs pour x, favoir,
lefquelles, par conféquent conviennent toutes également á
l'équation trouvée. Or on obtiendra pour x autant de yaleurs
différentes que n contient d'unités. Elles feront conféquemment
les racines de l'équation dont il s'agit. II faut done
avoir Tattention de ne pas regarder comme érales les valeurs
qui doivent étre confio 1 érées comme les mémes, en nad-
ET DE LA DIVISIÓN DES ANGLES. 189
mettant que les expreflions alternad ves. Les racines de (gg)
l'équation étant donc ainfi déterminées, quoique d'une
maniere indirede, leur comparaifon avec les tetmes de
l'équation nous fournira des propriétés remarquables. Mais,
comme pour cet objet, il faut avoir une équation qui ne
renferme que l'inconnue x3 on dévrá fubílitucr á y fa
valeut V(i — xx); ce qui exigera deux opérations, fuivant
que n fera un nombre pair, ou un nombre impair.
236. Soit n un nombre impair; comme la difTérence des
ares —3- > 4-^,4-3^,4-5^; Scc. eft 2 % 3 Sc que le cofinus
de cette difTérence =1—2 xx,. l'échelle de relation de la
progrefiion des finus fera 2 — 4XX, — i. Donc . , .
fin.— ?=--x
fin. -£= x
fin. 3-/=.3 x— 4x*
fin. j ^ = j x— IOX'-4. IÍJC'
fin. 7¡-;B=7 x— j 6 x 1 4- 112 x 1 —s 64 x'
fin. 9 £ =-\9 x —--I20X' 4-432 x $ -—57

190 DE LA MULTIPLICATIOW
dans le cas contraite) a donc pour fadeurs ( i — ; j¡_-¿)
0 A¿+0
conclut de-la que .
i
) ( - M 4 r+0 )
Scc. On
ftn.ni "fin.i
>(T+0 JKT + O **-
jufqu'a ce qu'on ait un nombre n de termes. Pour le produit
de tous ces fadeurs, on aura '
2 n —'
4- 'r
fin. ni
OU
1 fm^.fin. Q^^y.^z+().fi. (1.-4-,) &c.\
fin.nl = ^2^fin.l.fu1.Q^-^fin. (^4-I)-/«(T + 0 &C "
Sc, á, caufe que l'avant dernier terme manque, on a . .
EXEMPLE I.
Si done n = 3, on aura les équations fuivantes:
¿rr/n.í-f->.(ia

•
I
•
1
•
I
192 DE LA M Ü L T I P L I C A T I O K
Sc en general •
n{nn — 4) , n. {nn — 4) {nn — 16) ,
(ü) fin. ni B= [«x ,. 2. 3 * H 1. a. 3-4-5
n.Utt-4)(".*-i.«?=±'->-!>'(Í-'>(T + 'HH-:-
Les cas partlculiers apprendront de quel figne on doit faire
ufage.
EXEMPLE.
Ainfi, en fubftituant pour n fucceflivement les nombres 2,4,
eS,Scc,'sc choififTant un nombre n de finus différens,on aura
fin. xi= 2fi*.ifi»-{_j—1)
/n.6í_ w^S-^G ^^-(?-^(V^^-(?-0
jB-.8f- .28/^a. (£-?) fin. (j+l) fin. (£-?) ^ ("TT+O *
r ET DE LA DIVISIÓN DES AN.GLÍS. I93
240. II fuit donc de-Iá qu'en general . . . .
Kv-OMv+O *A«.(^-T)
en fuppofant n un nombre pair. Or, fi on compare cette
expreflion, avec la precedente qui a lieu, lorfque n eft un
nombre impair, on remarquera entr'elles une telle reífembl?nce,
qu'on pourra Jes réduire a une feule. On aura
done, foit qu'on fuppofé n un nombre pair, foit qu'on le
fuppofé un nombre impair,
fi,n^x—fi,,fi, (Í-O^^^O^CÍ-^XT^) *
/*-(v-0>-( 3 í-O &c -
jufqu'a ce qu'on aitjpris autant de fadeurs que le nombre n
contient d'unités.
241. Ces formules, au moyen defquelles on exprime en
fadeurs les finus des angles múltiples, peuvent étre uriles
pour calculer les loganrhme.s des finus des angles múltiples,
Sc pour trouver plufieurs expreflions des finus en facleurs,
tels que nous les avons donnés (art. 184). Au refte, on aura
fui. ?= -i.fin.1.
fm.xi= x.fin.i.fiu.QL—-¡^
¿fo.3?— 4.fin.^fin. (j—^fin. (-4- A
fin.4l= S.fin+fin^-^fin. Q- + ?)/,, (^-?)
fin.n^6.fin.X.fin. (l -\)fin. QL +()¿. Qf-{)fin. (iZ + ^
^6?-32/w.^.(^_7)^.(^4-í)^.(^-?>.(y + ?)>í
Scc.
EULER , Introducción a l'Anal infin. Tome I. z B
Ü
i

4$A DE LA MULTIPLICATION
. 242. De plus, á caufe jet^fifem * cofin^ les cofinus
des angles múltiples feront exptimés en fadeurs d'une
maniere femblable. »
Cof. ?= !.>.('--)
Cofix^ x.fin.^-,)fin-{[-^)
Cof.3l= 4.fin.Q-l)fi"-Q+^y n -Qr^)
Sc en généraf
jufqu'a ce qu'on a^autant de fadeurs que * contient dWés,
1 Í43. Les mémes expreflions ^ déduifent de la confideration
des cofinus des ares múltiples. En eftet, b ion
fait cof. TL -> y, on trouvera, comme il luit: . - - *
Co/l" O *( = I
C?/ 1 \ = y
Co/i-j = ^yy — *
c, _,. -
i-a. 3 y \. 2.3.4 - 2 (MJ
y —CCC,
Cette équation, a caufe de a>/ n % = cof, (i* • n-A
— eof(i^-j_-ni)^=cof(¿_.7r_±ni) = cof(6^±_ni)Scc,
aura pour fes racines y: cof. ;-; eofif— -f; A; co/T (— 4- ¡A;
«?o/ -?- + TJ Scc, Se 011 choifira pour y autant de ees expreflions
qu'il y a de racines , c'eft-á-dire, autant que n contiene
d'unités.
244. D'abord, il eft donc évident, qu'á caufe du fecond
terme, qui manque , on aura toujours, excepté le cas
oü -zssi,fa fomnude toutes ees racines = o. Par conféquent,
0^cof.X+cof (ll-^+cof. (tl + i)+cof. (í^).^ (ií+?) ¡¿
•en prenant autant de termes que n contient d'unités: au
refte, cette égalité fe préfenre d'elle-méme, fi n eíl un nombre
pair, parce qe chaqué terme eft détruit par un autre négatif
qui lui eft égal. Confidérons done les nombres impairs en
excluant l'unité, Sc nous aurons , a. caufe de cof.v=* — cof:
(" —v) . «
4>=,(ofii—cof. (j —?) —cof. (j-+-i)
C-cofit-cofi (.1-,) -cof (i4?) +«* (f-^A-cof. (^4-?)
^cof.,-cof.(^-,)-cof.^+iycof (f^ + cof. (£+T)
Sc généralement n étant un nombre impair quelconque;
•-"*£_ (H -"'• é+0+'«• (T -0 +

:
; I
s9£ D E LA MÜ.LTI.PLIC A TIOH
ayant foin de ptendre toujours autant de termes que n contient
d'unités: mais,. il eft néceíTaire que n foit un nombre
impair plus grand que.l'unité, commenous en avons deja avertí.
145. Quant au produit de toutes les racines, on obtient
l la vérité difTérentes expreflions , fuivant que n eft un
nombre ou impair, ou impairement pair, ou pair eme nc
pair • mais elles font toutes comprifes dans 1 expreflion genérale
trouvée ci-deíTus (art. 142), en changeant les finus en
cofinus. Ainfi, on auracof
?= i.cofii
eof.2^ a.o/.(^-h?)^/.(^-?)
tffttta 8. cof. Q-'- + í)cof. Qf-,) cof (j+x)c*f- (f -i)
Sc en general
en prenant autant de fadeurs que n contient d'unités.
246.- Soit n uo nombre impair, Sc commencons l'équatiott
*4*4/ I . • "
par l'unité; nous aurons o 1 4- a-y Scc, équation
cof.nx
dans laquelle il faudta prendre le figne fupérieur, fi n eft
un nombre impair de la forme 4 - 4- i, Sc l'inféneur,,
fi« = 4" — 1. Nous tirerons de-lá. • • •
•••• ••••i •—••—i
3
•-/•3Í -A «/Q--0' c O0
j !_=_?
;H *&-*«)• -4V-0' < H
ET DE LA DIVISIÓN DÍS.ANGLES. 197
& généralement, en fuppofant n = z m -A- 1, . .
2m-h 1
oof.ny cof.(2m-i-i)7 . ('w , \ ^/ , " í V r/'"• — * \
— 8CCÍ
«*(*/—0 ^(V--*-*) ^-OV*-*) ^(V s4 *0
en prenant autant de termes qu'il y a ; d'unités dans n.
247. Donc, á caufe de 7— =B= fée v, 011 en conclura
pour les fécantes ees propriétés remarquables: favoir,
fie. i = féc.i
3fic.n^c.{^)^c.{^-l)-fic. (^+?)
SC généralement, en faifant « = 2 — 4- 1 ; on aura . t
nfccni^tfc. (J*-«-?) 4-/¿'c. (-^*—? ) —•/&• (^^T^*-*-?)
fiC. (— »-t) I"/-. ( ~- -+T) + /«. (__ a,-,} - .
¡jb C¡^-+?) -fie$?*-«).+>*• C^— »'-Nr) 4-......._y?í.?J rJ
248. Quant aux cofécantes, on ttouvera d'aprés ce que
nous avons vu (art 237) . • . . . . . . . _
cofic. {— coféc. 1
icofécii^coféci + cofic.^j- ^ •—&•( J+yE
,fic.-¡i = cofi!c.z +copec ( l- t) _co/2c. £ y•+ ^-fofic. ( ^-IJ,-' I
SíOj
+ »/
I
*I
I
'.

I
•
fe,? DE LA MULTIPLICATIOtf
7cofk.7l=:cofk.^cofk. f|-t) -»>• (y + O-^-Cy^O
r ¿t#. (^-Hí) 4*** (f-?) -«#• (^4-t)
Sc généralement en fuppofant n ¡= z m 4- i, en aura
vcofk.n^cofk.x+cofk. (^~l) - tofk. (7+í) -"/ ¿c " ( T " ~ V
^ (^4-t) * * * (^- nous aul ' ons lang - n * = (l"4^7^)V-^7-4-(I-^-0^-X J
ce qui donne. pour les tangentes des angles múltiples les
expreflions fuivantes: . . , • • 1
tang. 1
tang. a- \
tang. 3 ?
t
i f
i — te
3- — t>
1 — yt
4'— 4' !
/^. 4 j = r_6lt^

• I,
•-
i
*oo DE LA MULTIPIICATION
251. Mais comme cot. v «s -—- coi. (» — v), on aura
.cot. i = cot.x
xcot.xi=cot.i—cot. í — — \\
•icot.ii=cot.i-xot. (^ - í) + «"-(y +?)
Sc en general .... . . • • • • • - ••
ncot.ni — cot.x — cot. f —— í) + Cl »- \"~" f "í) """"• C~** — 0
*^.(^*}~«» (^_í)+COf..( £-•-
- o a, -
le fio-ne fupérieur — a lieu, fi m eft un nombre pair, Sc
Vinférieur 4- fi m eft un nombre impair. On aura donc, i
caufe du coéfficient du fecond terme . . . . . . .
tang. x=tang.l .
Vang.n=tang.,i+iong. (i 41J4"'^-\ J +1)
itang.Ki=tang.íi+tang. (y+t) A-tang. (y +t) A"H- ( y +*) +'"*• ("f+7
Scc.
2j3,
ET DE LA DIVISIÓN DES AKGLES. ÍOT.
153. Comme tang. v =*~.tang. (.» — v), les angles plus
grands qu'une angle droit fe ramenent á ceux qui font plus
petits, Se on a
tang. i = tang.7^
3 t¿ng. 1 Z = tang. x —tang. ^ ~ — ^ 4- tang. f y +_¡\
5 tang. x,x-tang.i- tang. ( i - ^ + tang. (-4-A -*»£> ( —- A +
7^ir.7í = '^.{-^íT.(~?) 4-/^.(-+A-M^Yií-{"\ ^
Sc généralement fi n= im
1, on aura
*

II
II
1
I
1
• _ •
toa DE LA MULTIFLICATIOM
Sc en general, fi n = % m, . ^. . . . . . t
f»^- nt"— 1 cot. ni — 4-1=0 ^
le figne fupérieur — a lieu, fi m eíl un nombre impair, Sc
Tinférieur 4- fi ~ eft pair. En comparant donc les racines
avec le coéfficient du fecond terme, nous troüverons . .
— a cot. 21=tang. 14- tang. ^ — 4- í J
— 4coí.4í=(^.í-t-w/!g.(y4-^ +*»*?. (^ + í) 4-M-jy. (y+í)
— 6f«.6i = /«-^.{+ítMg. (^-A-l^-t-taig. (ÍI +l\+tang. \^~+Zj
^(T^) + ri-tang. '^(X+0
Scc.
256. Á caufe de ««#. v = — «wjg. (» — v) j on formera
les équations fuivantes: . . . , -
a«?*.2r.B= — tang. £ +tang. ( ^— M
•4coi.4i=2.—t

I
, I
104 D É L A MULTIPLICA TI o H
Comme la fomme de cette progreífion continuée á l'infini
eft ?/•(**-••-_; confidérons les termes qui fuivent le dernier
a l'infini: favoir, fin. [a 4- (a 4- i) ] b -A*fin. [a4- (a 4- i) ¿3
4-/a. [a 4-" («4-3) ¿ ] 4- Scc. leur fomme íera= •—-^-p >
retranchons cellc-ci de la premiere, Sc il redera la fomme
demandée, c'eft-a diré, que fi on fuppofé s- =fin. a -A-fin. (a -A-b)
+ fin. (a 4- 2¿) 4- 4-/a. (a 4- a¿); on aura
z6o. Pareillement, fi on veut avoif la fomme des cofinus,.
Sc qu'on fafle " * * /
s=±cof.a + cof.{a-*-b) + cof. (a+zbf-A- cefi(a + lb)A-Sec.
.\ Tinfini, on trouvera s = ?»-.»««# * + « *
en fuppofant* =_i.Donc i caufe de 2 co/Ta. «/ b - a»/(

^
b
ao¿ DES SERIES RESULTANTES
2¿3. On aura pareillement les puiíTances des cofinus:
cof\ = cof. i
z(cof.Ky= 1 4- cofin
4(«A) ,-S 3^/í4- cof. 3*
8(«-A) 4 -» 3 4- 4co/2*4- co/4?
i6(cofitf—iocofii-A- 5 co /3í4- «5/5*
3i(cc9/:*) d =io 4-15 ^ K ^ ^ 4 ? + ">/*?
6A (cof l) 7 *= 3 5 «?/ * 4-11 cof 3 * 4- 7 co/ 5 * 4- cof. 7 *.
Scc.
II faut faire ici a l'égard de la loi de la progreífion la méme
remarque, que nous avons faite pour les finus.
CHAPITREXV.
Ves Serles réfultantes du développement des Facleurs.
Z64. Soit propofé un produit compofé d'un nombre
quelconque de fadeurs , fini ou infini, de cette maniere
(14-«?) (I + ^J (i+n) O -*-«r0 (14-tO (1 4-?0 &c -
lequel , étant développé par la multipiication , donne
14- ¿Í-4-2??'-*- Cfrh D?-*- É£+> Ff+- Scc;
il eft évident que les coéfficiens A3 B 3 C, D, E Scc. font
formes des nombres «, e, T, «r, ., ?, Scc, de forte que
_ ~ * H- 6 4- r4-

•
•' •'
IV r
1
I
i
I
|-? ' H •
~~'
208 DES SERIES RESULTANTES
2¿8. H en feta de méme, fi on met pour *, C, y, i, Sec.
des puiíTances quelconques des nombres premiers; íi 1011
fait, par exemple ,
En eíTet, en faifant la multipiication, on aura . . . •
1 1 1 , 1
1 1
— 4- •—
7" — 10"
-4¡ 4- SCC
Ces fradions renferment tous les nombres, excepte ceux
qui font des puiíTances, ou qui font divifibles par quelque
puiuancc. Car tous les nombres entiers étant eux-memes ou
des nombres premiers, ou des nombres formes de ceux-ci
par la multipiication, il n'y aura d'exclus ici que ceux dans
la formation defquels le méme nombre premier entre deux
ou plufieurs fois.
•• 60. Si nous prenons négativement les nombres «, £, y,

•
tIO D ES S É R I E S RESULTANTES
ferie, oii fe trouvent tous les nombres qui peuvent étre
formes feulement par Ja multipiication du nombre deux;
c'eft-á-dire, toutes les puiíTances de deux. On aura enfuite
On ne trouve ici que les nombres formes par la combinaifon
des nombres 2 Sc 3, ou qui n'ont d'auttes divifeurs
que 2 SC 3.
273. Done, fi au lieu de«, C, y, &c -
on aura
P = *-*- 7 4-f 4- \ 4- f 4- i 4-y 4-i 4- j 4- Scc.
Serie qui comprend tous les nombres •, tant les nombres
premiers, que ceux qui en font formes par la multipiication-.
Or comme tous les nombres font ou des nombres
premiers, ou des nombres compofés de ceux ci par la multipiication
, il eft évident qu'on doit ttouver ici tous les
nombres entiers dans les dénominateurs.
274. La méme chofe arrive, fi on prend des puiíTances
quelconques des nombres premiers. En effet, fi on fuppofé
(-¿X-?)(._7)(-¿)('-.T.)*..
on aura
1 1 1 1
P= *4-f.4-p4-¿ 4-¿4-¿4-¿4-¿4-&c.
T"~ + ~(r-~*~r «^
Serie dans laque le íe trouvent tous les nombres naturels
fans exception. Mais fi dans les fadeurs on met par-tout
le figne 4-, de maniere que
*"'O+¿0 (•+?)(> ¡0 O+^C'+ir-)**-
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEÜR... UJ
¿lora . . . . . . . . . .
Ici les nombres premiers ont le figne —-; ceux qui font le
produit de deux nombres premiers, les mémes ou non,
ont Je figne H-, Sc en general les nombres qui font formes
par un nombre pair de fadeurs premiers, ont Ié figne 4-,
Sc ceux qui font compofés d'un nombre impair de fadeurs
premiers, font precedes du figne —. Ainfi le terme — ,
¡I ?í f T í 4 °, = Z - *' V- ¿" Í » aüra le % ne "4- > comme
il eft facile de le voir par l'art. 270, en faifant K == & 1.
tmnlt; EU A Com ^ lant ce f ^ultats avec les précédents , on
Car fok ' nC Je pr ° duit eft é S al a ****
on aura . . " í
^«,4-^4-^4-14-14-1 4- ¿4-&c"
Sc
^=«—?-7l~l4-~l4--¿.----^Scc. (art. 2^)Sc
il eft évident qu'on aura PQ =- 1.
27Í. Mais fi 011 fuppofé
'"O^O+^CTH-I) (.^(^^to
aDij
V
I

II
1
II
I
•
1
iia DES SERIEs RESULTANTES
on aura .
3 * * *
i2 = i4-l4-l4-l4-l4-l4-T?4-T?4- Scc.
i
Se, de méme qu'auparavant, PQ — i.La. fomme d'une des
feries étant donc connue, celle de la feconde le fera auífi.
277. Réciproquement, étant données les fommes de ees
feries, on pourra aífigner les valeurs de produits compofés
d'une infinité de fadeurs. En effet, foit
M
V 4" 5
Sc on aura
r
1
r
i
Scc.
^"0»¿)0-?).0--¿)('-^0-^ ta -
On obtient par la divifion . . . .
•3"
Enfin on aura
AfM *• + » 3__.. 5l±i. £±± . _l±i . Scc.
"Ñ -- '^T 3"-- í"- 1 7"-» ** B —*
Par conféquent M Sc N étant une fois connues, on aura ,
outre les valeurs de ces produits, les fommes de ces feries -
1 1 i + i.-i_ .__ _ i Scc.
a» jn ;n f» 7» IO» íi-»
• -'
" • * ' '__!_ f -JL -*- — __r—- — SCC.
DU DÉV ELOPPÍ MENT DES FACTEURS. 113
^+1 + ¿+¿+8CC.
~Ñ~ x" + 3* h x" 5"
ÍV z
1 4:-L>- &S
10"
x ___ • _L _£.._ .i i.' "'
JW — * "" ? — 3" + 4""" 5 n 6" "" 7" 8- 9-
Et la combinaifon de celles-ci peut en donner plufieurs
autres.
EXEMPLE I.
Soit a ss 1; comme nous avons demontre auparavant que
I — X
X 1 *»
*4- — H-
*• **
-*- —t- —H- 4-Scc;on aura, en
3 4 " f o
fuppofant x—=1,/ SB/OOSBX4>— H H H H&c^
r r > i _ _ " st 3 4 5
mais le logatithme d'un nombre infini 00 eft lui-méme
infiniment grand; donc
ÍÍ = I + 1+_+_L+1 + 4-+--- +&c.= w.:
2 3 4 $ 6 7
Done, á caufe de -^ = -^- = o, on aura
O ss 1
I 1
x 3. 5 6 7 10 11 13
En prenant les produits, on trouvera
M
00
00
14 *$ &c.
"("-TM-ÍH-DC-TH-^ 8 '*
ce qui donne
1 a
1
4
11 _ 13
10 ' ia
Sc''
16
•9
' 18 **•
1 a _ 4 6 10 . ia 1a 16 . _io 18 . .
11
Enfuite, d'aprés la fommation des feries que nous avons
donnée auparavant, * nous aurons
1 1 1 . 1 1 1 . *•»

,, v
114 D--S SáMES RESULTANTES
D'oü nous conclurons ces fommes de feries
6_
w ¡r
I I I I I
1~" II»
— &C.
ft-H 1 1
I I . I
»-—H 1
I
1
I
H &c -
a 3 5 6 7 10 ii
a = I
a 3 4 . 6 7 8 9 10 3 I
Et, fi nous employons les fadeurs, ils nous donneront
* • * • 3» 5* 7» 11'
ir*-
T
Et
__ 4_
2'— 1 3*— 1 j'— 1 7*—i 11* —
' 3
.2.
8
00 : = 1. 4
— •
3
JSf_.
24
á caufe de —r—
OU
49 III
48 - • ^——
120
= 00,
iv
6 8 ia
• '
— • — —— •
11
S 7
OU
t -
ou
169
. &c.
768
de
_V
Ai
14 18
— • -
•3 »7
B3 C
a *_ S 7 " 13 17 *9 „
3 4 6 8 ia 14 18 ao
Sc
\ 4 6 8 ia
i a 4 6 10
OU
14
12
18
16
ao
20
~f
&c.
&c.
. &o
o B — • — • — • — • i. 4" '• — * —•
6 8
i. • i. . £. . 1 . JL &c.
6 9 10
3 a ' 3 ' 4 6 7
Les numérateurs de ces fradions, ( j'en excepte la premiere )
íont moindres que les dénominateurs d'une unité ; Se les
fommes des numérateurs. Sc des dénominateurs de chaqué
fradion donnent conftamment les nombres premiers
3, 5> 7» «•• 13» i7> *9» &e-
8cc.
M
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 215
EXEMPLE II.
Soit a B= 2 ; d'aprés ce que nous avons vu, *
iV= 1 .+- —
V 7ÍT + T + 7 +Sc «. 5a i :
i i i
4-
1
l+
3* 4* "F 5* *. """ 6* ,' 7» 4-&C.--1.
90
On aura d'abord ces fommes de feries
_5_ _ t __^_
••x a»
-í°_ =a ___
•rtr -
1
' __L 1 ___ 1 .
3* 6
1
3 1
f 1
1
•-T--TÍ- + 10* 11»
+.-I I_ + _
1 1
í 1 6* 7+ io* i,*
1 1
*-ic*^t^.-fe*4: 6*
10
üt eniuite ces valeurs des produits fuivants :
a-a: __ 2» 3* r
.___..____»_
~6~ a*—1 3» —1 j . _ , 7a_.
1 1 * - 1
90
___
2» V 5*
x* 1 3»_ 1 54_, 74_,
II«
„.,___,
.Íl±_ , ._-±2.ll±_* ?'-*-i 11*-f i
a* A» _' * _» * :
* 3 5 7» íi-
Ou
1
4
-&c.
- &c.
a T-4-&C
II'
* I I I -
•7 T ~8»- + F" , ''T» &C
«Scc.
&c.
ij 5 10 x6 jo 12a i70 '
SC
J_ 3= a '- < -' . 3*-*-» . Y'-f-i y-4-1 11-+1
a 2*—1 3»-i J __ ' y*, * „>_, **•
OU
•4* =-4—Lvj_._a: .ÍL.ÜL &C.
* • •'" 5 4 12 a4 60 84
bu
* 4 ia• " a4 * 60 ' "84" &C#
Dans ces fradions les numérateurs furpaffcnt d'une unit*

I
I
ait» DES SERIES RESULTANTES
les dénominateurs, Sc pris enfemble ils forment les quarrés
des nombres premiers 3% 5% 7% n% Scc.
EXEMPLE III.
Comme, d'aprés ce que nous avons vu, on ne peut avoir
les valeurs de M, qu'entant que a eft un nombre pair,
f(i

I
I?
1
218 DES SERIES RESULTANTES
i i /__ + _i_ + _i_ + _L_ + _L_ 4- &c. "\
3 W» 3 é " 5 6ffl 7 6 ° II6 1
I_6n " '
.±f_L
4 V 2S"
«8» rS.i
I I
—— -4— —^——
7811 118"
Scc.
En combinant ces réfultats , on obtiendra IM — 7 / N >
&C.
*'(T-H-Í- 4 -?-+^-¿á^**-)
1 f—
5 3
1 1
31 a «,"• yJ/>
113»
I
115"
)
&c )
' A-- /'-L-.*-—+ — -»- — +--— 4-&C }
* 7 V 27. ^ 37» ~ «.7» ~ 77« _ 117» J
Scc.
279. Si a —a 1 ; on aura M=I4-T4-7*4-^4-SCC.
B= /oo, CCÍ^B:-^, on en conclura /. /°o — il^j- —
*•(-_- +4-+-V+ -r-^ + *")
Scc.
Or ces feries, a l'exception de la premiere , non feu ement
ont des fommes finies, mais encoré toutes réumes , elles ne
forment qu'une fomme finie, Sc méme aíTez petite; d'ou il
s'enfuit néceflairement que la fomme de la premiere ferie
(mm) T 4- T 4- 7 4- 7 4- -^ 4- &c, eft infiniment grande , Sc
qu'elle difTére aííez peu du logarithme hyperbolique de la
ferie i + ! + i4-;+7 + i+ 8 - c -
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 119
180. Soit n = z; on aura M e_ ^L & iV = —
d'oü il s'enfuit que
4-
1 / * ___ x ' 1 1
-r(.— ^-jr* — ? — 4- — + &c.)
3 V. 2*
i 1
Scc.
^r + TÍr-H &c.)
M--/90B-1 ^_L_ + _L_ _._!_. __I_ . » . _ \
+ 7(± + Ír + -¡r+-7 A- 1jr+"8_c )
Scc.
-u _ / _ . ' • ' r 1 v
Scc.
281. Quoique lalm, que fuivent les nombres premiers,
fie foit pas connue, cependant il ne fera pasdifficile S'ávoír apeu-pres
la fomme des puiíTances un peu élevées de ces feries.
tn efi-et, foit la lene
M I+
= ± + T + ~->-~- 4-JL +?7
Sc celle- ci
4-acc.
f = -í- .f -I- + ___. _*_!
3' !• 7« + 5 n'
i
on aura
1 1
" 6' ~"W~7j
.
—~ 4- «te,
?3"
r
io» f z£ i)
90
I
•

220
Ai
a
2»
Ai— Aí
DES SERIES R E S U L T A N T E S
4"
-!+•
Sc parce que
+ TT +
on aura
i
9"
OU
^--K 1 "^)-^
a» / 9" M"
Sc i caufe de
4-
i i
IO'
M V — 2* J 3" 3" " 9* ' M"
on obtiendra
I
12"
8cc.
I
I í &c.
*5" ai'
21
21»
2C_»
&C.
I
27"
— &c.
í - B Í M - D ^ - ^ ^ - ^ - f - - ^ - ^ - - ^ S5"
— &c
Ainfi, comme on connoit la fomme M, on trouvera facilement
la valeur de S, pourvu que a foit un nombre paüabfement
grand.
282 Au refte, les fommes des plus hautes puiíTances étant
(nn) trouvees, on peut auífi , á l'aide des formules precedentes ,
aífigner les fommes des puiíTances moins élevées ; Sc te» par
cette méthode que nous avons obtenu les fommes luivantes
de la. ferie
I
1 1
T'~ -*-— + —
Si
I
•4-
4- &c.
7« u» ' 13* '7*
la fomme de la ferie fera
a = z; 0,452247420041222
n — 4;
a = 6;
a =B 8;
a B- 10;
« =B 1 2 j
a =-14;
0..0769.9313 97 ó 4*- 5*
0,017070086850639
0,004061405366515;
0,000993603573633
0,000246026470033
0,0000612443 9 6 7 Z S
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 22 J
n =B 16; 0,000015282026219
a = 18; 0,000003817278702
n as ao; 0,000000953961123
a —* 22 ; , 0,000000238450446
n = 24 ; 0,000000059608184
zz =1 26 ; 0,00000^014901555
7Z = 28 ; 0,000000003725333
n BB 30 ; 0,000000000931323
n = $z ; 0,000000000232830
;z="34; 0,000000000058207
-z = 36; 0,000000000014551
Les autres fommes des puiíTances paires décroiílent en raifon
quadruple.
2 8 Í . Cette converfion de la ferie 1 4 — 4- —-- 4- —— 4- &c
J 2 n 3* 4»
en un produit infini, peut auffi s'efFett-uer directement, en s'y
prenant de la maniere fuivante : foit
, _, . 1 1 1
>í = i4-—r a» 4-—r o» 4- -7 _j« 4-
5» 6
retranchez
_ Ass-
2'
(
•+•
6» ' 8«
vous aurez
' 4--~*-~-*fc&«
4_ &c.
1 \ 1 1 1 1 Í
1 -\A=i-l 1 1 1 h —a»
/ 3» 5» 7" 9« ii"
ainfi tous les termes divifibles par 2 ont difparu.
1 1 1 1
i5« 21'
•4- &c. = B :
Hetranchez — •»? — _
3 3
vous aurez
¿Scc.
(-F) 3*/
1
1 +
5"
4-
1
7" 11" 13"
4- &c. as f-
De cette maniere,vous n'aurez plus de termes divifibles par 3;

•
422 DES SERIES
Retranchez — c _= -— 4-
5*
(.li)*-ÍJ
j» 25"
il vous refiera
7»
1
íi"
+
13'
1
55*
:•; í E S
1
17"
8cc.
4- &c;
ainfi tous les termes divifibles par 5, auront auífi difparu.Vous
qu apres avoir rait aiíp.
par les nombres premiers, il ne refiera plus que l'unité. Par
conféquent, en mettant pour B, C, D,E Se leurs valeurs,
vous aurez enfin
d'oíi vous coftclurez la fomme de la ferie propofée =
A —
A =
C-i)(-F)('-r)(-F)(-^) & '
2" 3"
X a — 1
3»— 1 5" —
o 11
. -21
7« — 1
284. Cette méthode pourra encoré étre employée avanrageufement
pour rransformer en produits infinis les autres
feries, dont nous avons auparavant determiné les fommes.
Or nous avons ttouvé (art. 175 ) les fommes de ces feries
V
1
íi»
&c.
1
F 11 13
lorfque a eft un nombre impair; car leur fomme eft B NTZ";
Se nous avons donné les valeurs de N dans l'endroit cité.
Mais il faut obfetver que parmi les nombres impairs , qui
font les fculs , qui fe préfentent ici, ceux de la forme 4/a 4- 1
ont le Íigne4-, Sc que les autres de la forme 4/B — 1 ont
•. Soit done
le figne
.1- — 4- —
T
1
9" — _!__,_. -
XI- -3" i5-
4 &e.
DU DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 223
I JM _i_ z 1 1
3» 3? 9" ij« 2i» 27
^1 1 1
B
V y . 2 5" 35" 55'
&c. Ajoutez, vous aurez
8cc; retranchez. ¡1 vous reñera
réfultat, dans lequel les nombres divifibles par 3 Se par <
manquent ; r ''
— C =
7 a 7 a
1
49~
——- 4- &c; ajoutez, vous aurez
( * 4 - ^ ) c - i - ^ + ^ _ I _ -&C._=Z>;
par cette opération les nombres divifibles par 7 ont difparu.
JL. D = _L_ _í _J_
11* ii" 121 &c ; ajoutez, la fomme fera
( 1 4- —-) D= 1 + —L_ _, ! &c _ p
Par ce moyen , les nombres divifibles par n ont auífi
difparu ; Se continuant de faire difparoítre de certe maniere
tous les autres nombres divifibles par les autres nombres
premiers, vous óbtiendrez a la fin
•A= >-" 5' 7"
ou
II» 13' 17»
3«-Hi 5» —1 7»H-I n» + i IJI—IT?*--'!
Les numérateurs renferment les puiíTances de tous les nombres
premiers , lefquelles fe trouvent auífi dans les dénominateuns,
mais augmentées ou diminuées d'une unité, fuivant
que les nombres premiers font de la forme 4 m — 1 . ou
Am 4- 1.
&c.

•
'".
•
«1
214 DES SERIES RESULTANTES
285. Ayant fait a = 1, on aura, * caufe de A =
r» 3 . ,7 . » 11 _ •
10
i!
14
Ici les nombtes premiers forment les numérateurs , Se les
dénominateurs font les nombres impairement pairs , qui aitférent
d'une unité des numérateurs. Enfin , fi on diviíe cette
derniere par la premiere •
2 B:
_4_
2
2
3
_4_
6
12
10
OU
17
18
, on aura
i2 IÍ> 20
~¡T' - 8~* 18
4 6 6 8 i 10
1 r ' 7 ' 9 " 9
'9
18
_3_
£2
__L
22
12
11
fice;
• Scc.
• Scc.
Ces fradions proviennent descombres premiers impairs
* 1 7.n_i3, *7> &c > en P arta g eant chacun en deUX
,
patries qui différent d'une unité, Sc prenant les parties
paires pour les numérateurs , Sc les parties impaires pour
les dénominateuts.
i 8 6. Comparóos ces expreflions avec celle de IValus
a. 4- 4. 6. 6.8. 8. -. 'o- 10. .»_ 12
&c;
i. 3- 3- 5* 5- 7- 7- 9
OU
11. 11
_4_ _ 3 -3 5.5 7-7 _ 9^_? 11 . 11
~T - T77 * T7T " "6. 8 8.10 10.12 Scc.
comme
DU DÉVELOPPEMENT D ES F A C TEU R S. 225
comme ona * *r2g-\
3-3 5-5 7.7 "•" 13-13 Scc.
2.4 4.6 6.8 io. 12 12.14
en divifant celle-lá par celle-ci, le quotient donnera
3a 9 . 9 15.1; 21.21. 25.2f
«•' 8.10 14.16 20.22 24.26 8cc.
réfultat,dans lequel les numérateurs renferment tous les nombres
impairs non premiers.
287. Soit maintenant « B J , on aura A —- —; d'oii
«_ • 3' 5' 7' IU a3» ifí
32 S?_K3 5 : — 1 7*+i II'4-I 13) — 1 i7s— i
Mais la ferie *
_*
«45 — " **" •• + -
4 4 5 4
donné
*•«
_J* _ 7 f
945 2» — 1 3* — 1 . 5 — 1 7" •
3 S
ou
4- Scc.
5* n'
13'
960 3«_ 1 f~~í 7« _ x ÍI - T¡ I3«_"I
i3«
n tf — 1 13*— i
Cette derniere ferie étant divifée par la premiere, donnera
— =_ 3 * . 5' . 7 ! ; ii ; .13» ; 17»
30 3'— I 5=4-1 7» — 1 II»—! _3¡-a- , 1754-!
Et enfin celle-ci divifée par la premiere, donnera l'équation
16 3¡ 4- 1 5>— 1 7$ 4-1 ir*4-i
3¡ — 1 5; 4-1 7! — 1 IIJ_I " i3¡4- .
OU
14 62 172 666 1098
-5 J 3 63 171 ¿65 1099
! 3
&c.
133-1 * ---i&c.
• 8cc.
i3 ! 4-i
Ces fradions font formées des cubes des nombres premiers
impairs ; en partageant chacun en deux parties , qui différent
d'une unité, Se prenant les parties paires pour les numérateurs
, Sc les impaires pour les dénominateurs.
EULE R., Introducción a l'Anal, infin. Tome I. 2 F
Scc.
8cc;
•(i*7>

zz6 DES SERIES RESULTANTES
288. On peut tirer encoré de ces expreflions de nou-
•*/zg.s velles feries, dans lefquelles tous les nombres naturels for­
ment les dénominateurs. En effet, puifque *
«r
4
3
3 + 1
5 7 11
j — i 7 + 1 11 4-1
on aura
1
•3
13 — I
6 ('^)0 + T)(-T)0 + 7)('^)(-^ &C
dont le développement donnera la ferie fuivante
1 I 1
— = 1— — — f- 1 4 — —
CI__i -_i.4-l4.i_H.
"s
&c.
1
- &c;
IO
6 a 3 4 5 6 7 " r » 9
dans laquelle 011 obfervera pour la loi que fuivent les fignes ,
que le nombre deux a le figne — , les nombres premiers de
la forme 4-72 —- 1 , figne —, Sc ceux de la forme 4 m 4- 1, le
figne 4-; quant aux nombres compofés, ils auront le figne ,
qui leur convient, á raifon de leur compofition par la multipiication
des nombres premiers ; c'eft ainfi qu'on trouvera
facilement que la fradion -¿¿, á. caufe de tío =— 2. 2. 3. 5
aura le figne —, On aura femblablement
(-i)(-T)(-T)(' + 7)('^)(.-y &c -
ce qui donnera la ferie
*~'— 4- — — — 1
4
_L_±4_^4-^4-i-&c,
6 7 8 9 10
dans laquelle le nombre deux eft precede du figne 4-, les
nombres premiéis de la forme 4/72 — 1 font precedes du
figne —, Sc ceux de la forme 4 a. 4- 1, du figne 4-; Sc un
nombre quelconque compofé aura le figne, qui lui convient
a raifon de fa compofition , d'aprés les regles de la muí-,
riplication.
DV DÉVELOPPEMENT DES FACTEURS. 117-
185-. Enfuite, puifqu'on a *
(-?)(' + T)0-7)(-¿K I+ ^
on trouvera, en développant,
-«+--*--_ 1 1 i 1 1
— 4- - 4- — — &c.
7 9 11 13 15
II n'y a dans cette ferie que les nombres impairs, Sc la loi
des fignes eft telle, que les nombres premiers de la forme
4az -— 1 font precedes du figne 4-, tandis que les nombres
premiers de la forme 4 m 4- 1 le font du figne —. Ce
qui determine, en méme temps, les fignes des nombres
compofés. Au furplus, on peut tirer de-la deux autres feries
qui renferment tous les nombres. En effet, on aura
(-T)(-T)C' + f)C'-7)('-í)(' + í)^
dont le développement donne la fuite
--14-Í.+ L + JL - L •+ ' + _L + i. + !_____. 1 te;
2 3 4 $ 6 7 — 8 ~ 9 10
dans laquelle le nombre deux a le figne 4-, les nombres
premiers de la forme A m — 1 ont le figne 4- , Sc les
nombres premiers de la forme 4 m 4- 1, le figne —.
On aura auífi
' (- + i)(-T)(-i)(-7)(-f,)0^)-
Sc, en développant,
2
JL+±_.i_£
3 4 J 6
1 — * * ... 1 .
— ~~ "o + — * — Scc.
7 8 9 ^ 10
oü le nombre deux a le figne — , les nombres premiers de
la forme 4 — — 1, le figne 4-, Sc les nombres premiers d©
la forme 4/a 4- 1, le figne —.
a F ij
# (2«5s>
I

I
m
I
_B
128 DES SERIES RESULTANTES
290. Concluons de-lá qu'on peut varier a l'infini les fignes
entr'eux, de maniere que la fomme de la ferie
1 1
T» — '
1 1 1 1
foit aífignable. Par exemple , puifque
-,- 8- &c.
/ = (-r)(-7)(-7)0+7)0^) &c -
Multiplions cette expteflion par * l — z, nous aurons
f (-i) (-7)0-1) 0 + 7)0-n-)*+h) (•+*) ~
Sc , en faifant le développement,
JL1 . ^ I ^ + I + i + ' + I + Scc/
3 4 5 6 7 + T ?
Ici le nombre deux a le figne 4-; les nombres premiers de la
forme 4 az — 1 ont auífi le figne 4-; Sc les nombres premiers
de la forme 4 az 4*. 1, excepté cinq, ont le figne —•-.
DU DÍVELOPPEMENT DES FACTEURS. 129
291. On peut auífi trouver une infinité de feries de cette
forme, dont la fomme foit = o. En effet, puifqu'on a * * (177)
J L...7 .
4 6 8
il s'enfuit que
1
11
12
_1L
14
'7
18 8cc.
'(-r)0+i)(-f)(-f)0^)(-T?) **
Sc qu'en conféquence , comme nous l'avons déjá vu,
1 1 1 I , I 1 1 1
°- I -T-T + 4-T + '6"-?-8" + 9 10
Tous les nombres premiers ont le figne — , Sc les fignes des
nombres compofés fuivent la regle de la multipiication.
Multiplions á ptéfent cette expreflion par '.^ =3» nous
aurons pareillement
'(-4)('ñ)(-7)(-f)(-n)(. + f5)*

1
1
130 DES SERIES RESULTANTES
le figne —, la fomme de la ferie eft =0, Sc qu'au contraire
toutes les fois que tous les nombres premiers, excepté
quelques-uns feulement, ont le figne 4-, la fomme de la
ferie eft infiniment grande.
292. Nous avons donné (art.. 176*) la fomme déla ferie
^_a I r
A BS i „ 4- -
2" 4
5" 7" "" 8"
. x ' l -.
— n Scc.
10" 11* 13"
lorfque a eft un nombre impair : nous avons donc
LA=— — — 4- s- — — A-—
2» x" 4" %* io« 14*
Scc: ajoutons,nous aurons
' ' '
/ I \
B l
= V**£)¿= -
I ! I I I I I I
+ + &ei
f*+T*- —-+7p-i7» T? " ñ' v~* -
i-_5BS i.! i- 4- — L_ __c# nous aurons, en ajoutant,
,. r _5« J5. J5. .
C- (I+I>= 1 + _._!_+_i L... i-—i- «ce.
\

I
232 D E S
__. ___ a T 4
2 3 3
a 6 6
V3 y 7
SERIES
8 10
9 9
12 18
11 19
RES ULTANTE S
14 itf
• —— • 8cc.
«5 *S
»3 *9
Dans la premiere expreflion, les fraótions font formées des
nombres premiers de la forme izm 4-6+ 1, Sc dans la
derniere, des nombres premiers de la forme 12^4-1, en
partageant chacun en deux patties, qui différent d'une unité,
Sc prenant les parties paires pour les numérateurs, Sc les
impaires, pour les dénominateurs.
295. Examinons encoré la ferie que nous avons trouvée
(art. 179) Sc qui étoit ainfi exprimée :
* I I I I I I I , 0 .
—— — i-j- —_—_ —4 h \-8CC = A, onaura
2^2 3 5 7 9 11 11, 13 15
1 , 1
3 3 9 15 2! 27 l fouftraction,
3j
— A —
7) 5 13 17
Sc en faifant la
Scc. = B.
— B = -— — — — .4. — — Scc; ajoutez, Sc vous aurez
(
i \ I I I I I „
14--IB— — -4 1 h-Scc. = C:
5 ) 7 11 13 17 19
Sc en fuivant le méme procede , vous arriverez enfin a
cette expreflion :
^(-T)(-7)(-f)('-f,)(^f3)0-f7)('-f5) & ^
dans laquelle les fignes font tellement combines , que les
nombres premiers de la forme 8 m 4- 1 , ou 8 m 4- 3 ont le
figne
Saz
xV' x
-, Sc les nombres premiers de la forme 87-24-5 ou
7, le figne 4-. Ainfi , on aura
2
_7_
8
11
10 14
17
16
19 ; 23! scc;
18 24
oii tous les dénominateurs font ou divifibles par 8 , ou font
feulement
1
DU DÉVELOPPEMENT DES FA C T E U R S. 235
feulement les nombres impairement pairs. Puis donc qu'on a
jr
4
-ir
2
* —
1
•x
___!
4
_ _3_
2
=
xV 2 - =
.-L
4
6
3-3
2.4
4
7
• ——
. 7 8
6
._!_.
4- 6 6.
4
11
12
11
10
Se par
i.Zi.
on en
7
6
12
14
17
16
• — 17
18
conféquent
7 11.
8 10.
concl ura
11
12
11
12
•
12.
• -
*3 — *
12
17
18
-9 — •
20
«9
18
*3
14
- •
Scc:
. # a—-
20
22
a 3
24
231
22
Scc.
Scc. *
oii il n'y a plus de dénominateurs divifibles par 8, mais ou
fe trouvent les nombres pairement pairs, toutes Jes fois qu'ils
différent d'une unité des numérateuts ; Sc fi on divifé la
premiere expreflion par la derniere, le quotient donnera
I —: _3_
4
_6_ 9 10 11 „
3 4 ? 7 7 8
Ces fractions font formées des nombres premiers en partageant
chacun en deux parties, qui différent d'une unité, Sc
prenant pour les numérateurs tes parties paires , á moins
qu'elles ne foient pairement paites.
296. Pareillement , les" autres feries que nous avons
trouvees pour les expreflions d'arcs du cercle (árt. 179 Sc
fuiv. ) peuvent étre transformées en facleurs formes des
nombres premiers. On peut ainfi trouver beaucoup d'autres
propriétés, tant de ces facleurs que de ees feries infinies •
mais comme j'ai rapporté ici les principales , je ne m'arréteraí
pas pluslong-temps fur cet objet,.Sc je vais pafler a un autte
fujet, qui a quelque rapport avec celui que je viens de traiter.
En effet, ayant envifagé dans ce Chapitre la formarion des
nombres , en tant qu'ils naiíTent de la multipiication , j'examineraidans
le fuivant leur génération, en tant qu'elle fe fait
par voie d'addition.
EULER , Introducción a l'Anal, infin. Tome I. G
8cc.
•

wm
1
f
134 DE L A PARTITION
C H A P I T R E XVI.
De la parúúon des Nombres,
297. Propofons-nous cette. expreflion :
(1 4-x*?) (1 4- x^zj(i4-x v 1) (14- x*%) (i+x ! ^) Scc.
Sc cherchons la forme qu'elle prendra , étant développée par
la multipiication. Suppofons qu'elle devienne
i 4- P? 4- Qi* 4- R? 4- S? + Scc.
il eft évident que P fera. la fomme des puiíTances
x*-A-x° 4- áf« 4-.JC^ 4- x* 4- Scc. Enfuite Q fera la
fomme des produits de deux puiíTances différentes, ou un
aílemblage de plufieurs puiíTances de x , dont les expofants
font les fommes de deux tetmes diíTérents de cette ferie
«, C , y , 4- iy**» 4-aa*" 4- 8_c.)
Scc.
Au moyen de ces feries, on peut trouver tout de fuite de
2 G ij
';'• I
ni
•
'11

f J
n
h
136 DE LA PARTITION
combien de manieres difTérentes un nombre propofé peut
réfulter d'un nombre determiné de termes diíTérents de cette
ferie 1,2,3,4,5,6', 7,8, Scc. Voulez-vous favoir, par
exemple, de combien de manieres différentes le nombre 3 5
peut étre la fomme de fept termes difFérents de la ferie
1, 2,3,4,5,6", 7, Scc? Cherchez dans la ferie, qui
multiplie *{ 7 , la puilTance x ls , Sc fon coéfficient 15 vous
apprendra que le nombre propofé 35 peut étre de quinze
manieres difTérentes la fomme de fept termes de la ferie
> ,*> 3» 4» 5 > 6 >7> 8 > &c -
301. Mais, fi vous,fuppofez -( = 1 , Se que vous fafliez
une fomme des puiíTances femblables de x, ou, ce qui revient
au méme , fi vous développez cette expreflion infinie
(1 4- x) ( 1 4- x*) (1 4- x 3 ) (1 4- x*) (1 4- x s ) (1 4- x 6 ) Scc.
vous aurez la fuite
1.+. x 4-x*-A- 2x J 4- 2**4- 3«c s 4- 4X* 4- $x 7 4- 6x 9 4- Scc.
dans laquelle chaqué coéfficient indique de combien de
manieres différentes l'expofant de la puiílance correfpondanre
de x, peut réfulter par addition des termes diíTérents de la
ferie, 1, 2, 3 , 4, 5 , 6,7, Scc. Ainfi , il eft vifible quTl y a
Cx manieres de former le nombre 8 par l'addition de
diíTérents nombres. Les voici:
8 = 8
8 B j + 3
8 = 7 4-1 8 = 54-24-1
8 = 6 4-2 8=44-34-1
II faut remarquer ici qu'on doit mettre auífi en ligne de
compte le nombre propofé, parce que le nombre des termes
n'eft pas determiné , Se que par conféquent on peut n'en
prendre qu'un.
302. On voit, par ce qui precede, comment chaqué
nombre eft produit par l'aadition de nombtes diíTérents.
Mais cette condition qui fuppofé des nombtes diíTérents n'aura
DEsNoMBRES. 237
plus lieu , fi nous tranfportons ces facleurs au dénominateur.
En effet, foit propofée cecte expreflion
1
(^^^^-/^(i-^OÍi'-^fi-x^) Scc.
laquelle étant développée par la divifion donne la ferie
14- P\-A-Ql* 4-i?-( J 4-¿V4- Scc;
il eft clair que P fera la fomme des puiíTances de x , dont
les expofants font compris dans cette ferie
«t, S , y, f, », f , JI, &C.
Enfuite Q fera. un aílemblage de puiíTances de x, dont les
expofants font les fommes de deux termes, répétés ou non ,
de cette ferie. De plus, R fera Ja fomme des puiíTances dex,
dont les expofants font formes par l'addition de ttois termes,
Sc J la fomme des puiíTances , dont les expofants font formes
par l'addition de quatre termes contenus dans cette ferie ;
ainfi des autres.
303. Par conféquent, fi on fuppofé que l'expreflion ait
été entierement développée ,,Sc qu'on ait rafíemblé les termes
femblables, 011 verra de combien de manieres difTérentes un
nombre propofé a peut étre formé par l'addition de m
termes, diíTérents ou non, de la ferie •*,£.-/, J 1 , e _. ¿?, Scc.
Cherchons , par exemple , dans l'expreflion développée le
terme x" % m , Se fon coéfficient que je fuppofé N, de forte
que le terme total foit = Mx n z_ m ; ce coéfficient ./V nous
apprendra de combien de manieres difTérentes le nombre n
»eut étre formé par l'addition de m tetmes contenus dans
f
a fuite *,£_?-,

_____I
I
13S DE LA PARTITION
dont le développement efTecTué par la divifion donnera
i+{(* 4-x l 4- *' 4- ** 4- ~ 5 4- x 6 4- * 7 4- ** 4- *' 4- &c. )
4- ^(x'-hx' + xx* 4- a* 5 4-3* 5 4- 3* 7 4- 4* 8 4- 4*' 4- 5*'° 4- &c.)
4- .' (*' 4-**4--* J 4. j„í +. 4*7 _,_ 5*s -1- -r,.» 4. 8*'» _+_ ,0x ir 4- &c.)
4-{«(**4-* s 4-a* í 4-3* 7 4- 5* 8 4- 6*» 4- 9*"' 4-XI* t ' 4- 15*' * 4-&C.)
4- í>(*>4.* ff 4- 2*7 4- 3* 8 4- *' + 4- 8cc)
4-^' (*'4-* 8 4- W'+JÍ' 4 + S*' "4-7*'*-+-11*' ; 4-i5-c' + -t-2i_'' 4- &c. )
4-f. 8 (* 8 4* !> 4-2-; lo 4-3*" 4-J*'*-i-7*' i 4-ii*' + 4- 1J*,' ? 4- --* ,ff 4- &c.)
SCC.
On peut donc, 4 l'aide de ces feries , trouver fur le champ
de combien de manieres difTérentes un nombre propofé peut
étte formé par l'addition d'un nombte donné de termes de
cette ferie i, 2 , 3 , 4, 5 , 6,7, Scc. Veut-on favoir, par
exemple, de combien de manieres difTérentes le nombre 13
peut réfulter de l'addition de cinq nombres entiets ? II faudra
chercher le terme x x, $f.~9 dont le coéfficient 18 apprend
que le nombre en queftion 13 peut étre de dix-huit manieres
le réfultat de cinq nombres ajoutés.
305. Si on fuppofé •( = 1 , Sc qu'on réunille en une
fomme les puiíTances femblables de x, cette exprefiion
1
"(1— x)(i— x*)(i — x J )(i — x 4 )(i — x f )(i — x") Scc. J
fe changera en cette ferie
! _4- x-A- 2X l 4-3* J 4- 5* 4 4- 7xM- 1 ix s 4-i5x 7 4-2 2x 8 4- Scc.
dans laquelle chaqué coéfficient marque de combien de
manieres difTérentes l'expofant de la puifTance correfpondante
peut étre formé par l'addition de .nombres entiers,
foit égaux foit inégaux. Pat exemple , le terme nx 5 fait voir
que le nombre 6 peut étre produit de onze manieres par
l'addition des nombres entiers. Les voici :
DES N O M B R E S .
239
6=6
6 = 34-14-14-1
6=54-1 6 24-24-2
6 = 44- 2 6 24-24-14-1
Í B 4 4 1 + 1 6 1+1+1+1+1
6=34-3
6= J + I + I
6 14-14-14-14-14-1
Remarquez auífi que le nombre propofé étant contenu dans
la ferie des nombres 1, 2., 3 , 4^ 5 ,6, Scc. fournit luwnéme
une maniere.
306. Cela pofé en general, cherchons uneméthode facile,
qui nous donne chacune des compofitions , dont vous venons
de parler, Se prenons d'abord en confidération celle qui
n'admet que des nombres entiers diíTérents , Se dont il. a été
queftion en premier lieu. Soit donc propofée, a cet effet,
1'expreflion íuivante
Z B (1 4- x z) (1 4-x\) (1 4- x\) (1 4-X^) (1+x\) Sec.
ui développée Sc ordonnée par rapport aux puiíTances de % ,
3onne la ferie
Z-.I4-P-Í4- Qf 4-^^4-5f 4-7Y 4-Scc.
pour laquelle il s'agit de trouver une méthode expéditive
d'obtenir les fondions P, Q,R,S3 T, Scc. de x; car on
aura, par ce moyen , fatisfait d'une maniere convenable á la
queftion propofée.
307. Or il eft clair que fi on écrit x^ pour % , on aura
(i4-x 1 í)(i4-x 3 í)(i4-x*-í)(i4-x^)Scc.=- T
Done, en fubftituant x*( á \, la valeur dü produit, qui étoit Z,
fe changeta en 1. x
; ainfi , puifque
Z B 1 4- P\4- (?**4-R^' + S^4- Scc.

I
\
240 DE LA PARTITION
on aura
gf ».-• = I 4- Pxi 4- QxX 4- ¿2*Y 4- 5 xY 4- 8CC.
Multiplions donc par 1 4- x •(, 8c nous obtiendrons
Z = i + Pxi 4-»2 x Y4--Rx'^4-a9xV4-Scc.
4- x 1 4- PxY 4- «^x'f 4- i?xY 4- SCC
Cette valeur de,Z comparée avec la premiere donnera
P _ * .n— Pxl • p— °- x¡ • c___Rü_ 0
-^ — T~7' Vf — T -- ^' K — a -- ?' ° — r~T4 Scc.
On aura donc pour P, Q, R x S, Scc. les valeurs fuivantes
P __--!—
1 — *
= — ' )('-*')
i? =
aS ==
( l - * ) ( l * l )d— *')
(l_*)(l_,>)(,_...)(,_ f l:4)
_^J
( I — *)(!—*»)( I - *»)(!— **)(l-*»)
Scc.
308. Nous pouvons donc obtenir féparément chacune
des feries des puiíTances de x, qui doit nous apprendre de
combien de manieres différentes un nombre propofé peut
étte formé par l'addition d'un nombre donné de parties entieres.
Au refte , il eft vifible que toutes ces feries font
recurrentes , parce qu'elles font le réfultat du développement
d'une fondion fradionnaire de x. En effet, la premiere
expreflion P = —r-— donne la progreífion géométrique
x 4- x* 4- x J 4- x 4 4- x s 4- x fi 4- x 7 4- Scc.
laquelle fait voir évidemment que chaqué nombre eft contenu
une fois dans la fuite des nombres entiers.
309. La
/
D E S N O M B R E S. z^t
309. La feconde expreflion ,l_xf(l_xx) donne la ferie
x } 4- x + 4- 2x' 4- 2X* 4- 3X 7 4- 3X S 4-4X* 4- 4*'° 4- Scc.
dans laquelle le coéfficient de chaqué terme apprend de
combien de manieres l'expofant de x peut étte pattagé en
deux parties inégales. Par exemple, le terme 4 x 9 marque
que le nombre 9 peut étre partagé de quatre manieres en
deux parties inégales. Si nous divifons cette ferie par x',
nous aurons celle qui provient déla fradion -7 ¿ .
favoir :
I4-X4- 2X* 4- 2X» 4-3**4- 3 * r 4- 4x* 4- 4X 7 4- Scc.
dont nous fuppoferons le terme general = JVx\ D'aprés la
"génération de cette ferie, on fait que le coéfficient N indique
de combien de manieres différentes l'expofant a peut
étre formé par l'addition des nombres 1 Sc z ; Se puifque Je
terme general de la premiere ferie _- Nx n +l, nous en
conclurons ce thcoréme:
^ On pourra partager le nombre n 4- 3 en deux parties inégales
d'autant de manieres, différentes , qu'on pourra former U
nombre n par l'addition des nombres 1 & z.
310. La troifieme expreflion '(^(J^,__,,) , étant
réduite en ferie, donnera
x 6 4- x 7 4- 2X a 4- 3X* 4- 4X' 0 4- 5*" 4- yx" 4- 8x" 4-Scc.
Le coéfficient de chaqué terme de cette ferie marque de
combien' de manieres différentes l'expofant de la puiflance
correfpondante de x peut étre partagé en trois parties inégales.
Mais le développement de la fradion ¡ —-i—-—__
donnera cette autre íerje
i4-x4-ax , 4-3x J 4-4x 1} 4-5x , 4-7x 4 4-8x r 4-Scc.
dont nous fuppoferons le terme general = Nx n . Ce coéfficient
N indiquera de combien de manieres différentes
EULER , Introduñion d ¿'Anal, infin. Tome I. x H

I
'1.
242
DE LA PARTITION
1 e nombre )mbi a peut etre foi tormé par l'addi l'addition des nombí nombres
1, 2,3; ainfi le terme general de la ferie precedente étant
Nx "+ 6 , nous en déduirons le théoréme fuivant.
On pourra partager le nombre n 4- 6 en trois parnés inégales
, a"autant de manieres qu'on pourra former le nombre n
par l'addition des nombres 1 , 1 & 3.
311. La quatrieme expreflion développée en ferie donnera
,»o 4* x" 4- 2X ,X 4- 3X ,J 4- 5x ,4 4- 6x' y 4-9x ,(5 4- Scc.
oü le coéfficient de chaqué terme fera connoitre de combien.
de manieres différentes l'expofant de la puifTance correfpondante
peut étre partagé en quatre parties inégales ; mais,
íi on fait le développement de cette expreflion
1
(1—x) (I—-X a ) ( I — X J ) (i —X 4 )
on obtiendra la premiere ferie divifée parx'°, c'eft-á-dire ,
1 4- x 4- 2x* 4- 3x J 4- 5X 4 4- 6x*.4- 9X S 4- 1 ix 7 4- Scc.
dont nous fuppofons le tetme general = Nx n ; il fuit de-Iá
que le coéfficient N indique de combien de manieres difTérentes
le nombre n peut étre formé par l'addition de ces
jquatre nombres 1,2,3,4. ^ uxs done que le terme general
de la ferie precedente doit étre —- Nx " + JO ; nous en conclurons
le théoréme qui fuit:
On peut partager le nombre n 4- i o en quatre parties inégales
, d'autant de manieres différentes qu'on peut former le
nombre n par l'addition des nombres 1,2,3 ¿> 4.
312. Donc, en general, fi cette exprefiion
-
—; __ __ .
(I—X)(I —x-)(i—X J J . (l—-X m )
eft convertie en ferie •, Sc que le terme general foit
le coéfficient N indiquera de combien de maniere? d\\ r
Nx\
diffé-
rentes le nombre n peut étre formé par l'addition d des
D E S N O M B R E S.
nombres 1, 2, 3 , 4, m. Mais, fi cette expteflion
m ( m 4- 1 )
(1— X)(I — X*)(I— x 1 ) (1 — x 4 ) (1 — x m )
eft changée en ferie, le terme general fera = N x fí + m(m ' i ~
dont le coéfficient N marque de combien de manieres
difTérentes le nombre a 4- -l^til peut étre partagé en m
parties inégales; d'oü s'enfuit le théoréme :
Le nombre de manieres différentes dont on peut former le
nombre n par l'addition des nombres — _ * , » ^ , 3,4^ < p - - | _ r - - - - " —-_a_ m,efi
^ a, , __
le méme que celui dont onpeut partager le nombre n4- m( "" < "' )
en m parties inégales.
243
313. Aprés avoir expofé la partition des nombres en
parties inégales, examinons a préfent celle qui n'exclud pas
l'égalité des parties, Sc qui réfulte de cette expreflion
Z= *
(i-xi) (i-* 1 * ; (i-*'0 (i-x

•a
244 DE LA PARTITION
En comparant, on trouvera
P -1 rJL-.; Q «: --__-; J2= __--; * -_ __-_; &C.
1—x » ^ 1 — ** * 1—a* 7 1 — ** »
ce qui donnera pout P, @, i?, S, Scc, les valeurs fuivantes
P -B
R =-
5 =
1 — *
(I-X)CI -**)
(1—*) (i-**) (i—*')
« • ••
(1-*) (i-**) (i-* 1 ) ( I - * , «
Scc.
314. Ces expreflions ne différent de celles que nous avons
données plus haut, qu'en ce que les numérateurs ont ici de
moindres expofants que dans le cas précedent; Sc c'eft
pourquoi les feries qui naiflent de leur développement, s'accordent
parfaitement par les coéfficients; accotd qu'il a déjá
été facile de faifír par comparaifon (art. 300 Sc 304) Sc dont
la raifon eft á préfent connue. On en conclura donc les
théorémes analogues que voici :
Autant qu'd y a de manieres différentes de former le
nombre n par l'addition des nombres 1,2, autant il y a de manieres
différentes de partager le nombre n -+- 2 en deux parties.
Autant qu'il y a de manieres différentes de former le nombre
n par l'addition des nombres 1,2,3; autant il y a de
manieres différentes de partager le nombre n 4- 3 en trois parties.
Autant qu'il y a de manieres différentes de former le
nombre n par l'addition des nombres 1,2,3,4; autant il y
a de manieres différentes de partager le nombre n 4- 4 en
quatre parties. Et, en general, on aura ce théoréme.
Autant qu'il exifie de manieres différentes de former le nombre
11 par l'addition des nombres 1, 2, 3 ni, autant il y a
de manieres différentes de partager le nombre n 4- m en m
parties.
DES N O M B R E S . 245
31 y. Qu'on ait donc ¿V trouver en combien de manieres
un nombre donné peut étre partagé , foit en un nombre m
de parties inégales, foit en un nombre m de parties , tant
égales qu'inégales; ces deux queftions feront réíblues, fi on
fait de combien de manieres chaqué nombre peut étre formé
»ar l'addition des nombres 1, 2,3,4 ~» comme on
Í
e verra par les théorémes fuivants, qui dérivent de ceux
qui précedent.
Le nombre n peut étre partagé en m parties inégales 3 d'autant
de manieres que le nombre n l—zü—L2_ peut étre formé
par l'addition des nombres 1,2,3,4 m.
Le nombre n peut étre partagé en m parties, foit égales ,
foit inégales 3 d'autant de manieres que le nombre n — m peut
étre formé par V addition des nombres 1,2,3
Nous en déduirons ces autres théorémes.
Le nombre npeut étre partagé en m parties inégales 3 d'autant
de manieres que le nombre n — "v"-"~i/.. peut étre partagé en
m parties , foit égales , foit inégales.
Le nombre n peut étre partagé en mparties, foit égales,
foit inégales, d'autant dé manieres que le nombre n «4-% *""•'
peut étre partagé en. m parties inégales.
316. Or la formation des feries recurrentes nous apprend
de combien de manieres différentes un nombre donné n peut
étre formé par l'addition des nombres 1,2,3,4
m > U
faudra, pour cela , développer la fradion
(1 — *) (1 — **) (I - *») . II - X")
& continuer la ferie recurrente jufqu'au terme Nx", dont
le coéfficient N indiquera de combien de manieres le nombre
a peut étre formé par l'addirion des nombres 1 , 2,
3 , 4 . ... . m. Mais , ce moyen d'arriver ne laiíTera pas
d'étre laborieux, pour peu que les nombres m Sc n foient
grands; car l'échelle de relation que fournit le dénominateur
m -

I I
I
i
246 Di LA PARTITION
développé pat la multipiication , eft alors compofé d'un plus
grand nombre de termes, ce qui rend pénible la continuation
de la ferie pouffée un peu loin.
317. Au refte, cette recherche donnera moins de peine,
ÍI On traite d'tbord les cas les plus fimples; car il fera
facile de paíTer de ceux-ci aux cas plus compofés. En effet t
fuppofons que la ferie, qui naít de la fradion
(i-V) (1-*») Ci-.*-») (i-**)
1
ait un terme-general = _Yx", Sc que celle qui provient
de la formule
x m
(i-x) {1 — X*) (1—*») (1— x m )
ait pour terme general la quantité Mx", dont le coéfficient
M indiqueta de combien de manieres différentes le
nombre a — m* peut étre formé par l'addition des nombres
1, 2,3 m. Retranchons cette derniere expreflion de
la premiere, nous aurons pour refte:
1
( ,_*)(__*>) (i_x») ( i - x m ~ ¡ )
Or il eft évident que le terme general de la ferie réfultante
fera ( N— M)x n . Done le coéfficient N— M fera connoitre
de combien de manieres difTérentes le nombre a peut étre
formé par l'addition des nombres 1, 2, 3 .....(- —1).
'318. Nous tirerons donc de-lá la regle fuivante :
Soit Z le nombre de manieres, dont le nombre n peut étre
formé par l'addition des nombres 1,2,3 (~ — 1).
Soit M le nombre de manieres, dont le nombre a—m peut
étre formé par l'addition des nombres 1, 2, 3 m.
Et loit N le nombre de manieres , dont Je nombre a peut
étre formé par l'addition des nombres r , 2 , 3 .. .. . m.
Cela pofé, on aura, comme nous venons de voir ,
l = N — M, Sc par conféquent 2V-= Z 4- M. Donc , fi
DES N O M B R E S . 247
nous trouvons de combien de manieres différentes les nombres
n Sc n — m, peuvent étre formes par addition , le
premier avec les nombres 1,2,3 (m — 1 ); & ]e
fecond avec les nombres 1,2,3 az, il s'enfuivra que
nous connoítrons auífi de combien de manieres différentes le
nombre n peut étre formé par addition avec Jes nombres
1 > 2 » 3 -• On pourra, a l'aide de ce théoréme ,
pafier des cas les plus fimples, qui ne préfenrent aucune
difficulté , aux cas de plus en plus compofés; Sc c'eft de cette
maniere qu'a été calculée la Table ci-jointe *, dont voici
I ufage.
Voulez-vous favoir de combien de manieres différentes le
nombre 50 peut étre partagé en 7 pames inégales ? Preñez
dans la premiere colonne verticale le nombre 50 — •?-~= 22
Sc dans la rangée horifontale fupétieute le chiffre romain VII,
le nombre 52*placé dans l'angle vous donnera le nombre'
de manieres, ^ue vous demandiez. Voulez-vous á préfent
connoitre de combien de manieres différentes le méme nombre
jo,peut étre partagé en 7 parties , foit égales, foit
inégales ? Preñez dans la premiere colonne verticale le nombre
50 -. 7 = 43 , le nombre 8946, qui lui correfpond
dans la 7 e colonne, fera le nombre cherché. •
319. Les feries verticales de cette Table, quoique recurrentes
, ont cependant, avec les nombres narureis, triangulares,
pyramidaux Sc fuivants,une grande connexion,que
nous allons expofer en peu de mots. En effet, comme Ja
fradion - ¡A — donne la ferie
(1 — *). ( 1— xx)
i 4-X4- 2X*4- 2X 3 4-
3x 4 4-3*' 4- Scc.
Sc conféquemment la fradion -•* celJe-ri
(i —x) (1 —xx) tC1 e
*
C1
x 4- x*4- 2X } 4- 2X 4 4- xx s 4- $ x 6 4- Scc.
Si on ajoute ces deux feries, leur fomme donnera cette autre,
J Voycz page aja.
> .

248 DE LA PARTITION
14- 2x4-3x*4-4x'4-J x 4 4-6x , 4-7x 6 4-Scc.
quefournitle développement delafradion . _' . _^.x\= (^.¡¡y'
Ce qui fait voir clairement que les termes numériques de
la derniere ferie forment la fuite des nombres naturels.
Donc en ajoutant deux termes confécutifs de la feconde
ferie de la Table, on obtiendra. la fuite des nombres naturels
, en fuppofant x = 1.
i + i+i+_ + 3 + 3 + 4 + 4 + f + 5 + 6 + 6 4-&c.
i + s 4-34-44-J4-C.4-74-84-94- 10 4-u 4-12 4- &c
Done réciproquement la ferie des nombres naturels donnera
la ferie fupérieure , en retranchant chaqué terme de la ferie
fupérieure du terme fuivant de la ferie inférieure.
3 20. La troifieme ferie verticale provient de la fradion
- r— r—7 rr-« Mais "cOlTimA- r-r- =
(x—x) (I — xx) (1 — x') *% ( I — *)'
( 1 ••+•*) ( 1 4-* 4- xx ) ., "..,__•. * . ] >
(I-X)(I -„)(,-,.) » » eft évident quen ajoutant
(00) d'abord trois termes de cette ferie , enfuite deux termes
de la ferie réfultante, on doit obtenir les nombres triangulares
; ce dont il eft aifé de s'affurer par ce qui fuit:
I+I4-1+ 3 + 4 + ! 4-74-8 4-10 4» 12 4- 14 4-16 4-19 4- Scc'
14-24-44-6 4- 94-ia 4- 164-204-254- 304- 364-4*4-49 4-&c.
1 4- 3 4- 6 4-104-154-214-284-36 4.454-55 4-664-78 4-91 4-&c.
Réciproquement on voit comment on peut tirer la
fupérieure de celle {des nombres triangulaires.
311. Pareiliement, comme la quatrieme ferie provient
de la fradion (l_x) {l _ xx')\l _xl)(l__ ^ , on aura
(1 4-X) (14-*-*-**) (i4-x4-x»4-x») 1
(1— x) (1— xx) (i— *•) (1 — X«) (I— X)*
. Si dans la
quatrieme ferie on ajoute d'abord quatre termes, enfuite
trois
J -
DES N O M B R E S .
H9
trois dans la ferie réfultante , Sc enfin deux dans cette
derniere , on trouvera la fuite des nombres
comme íe fait voir le calcul fuivant.
pyramidaux,
1 4- 1 4- x 4- 3 4- s 4- 6 4- 9 4- n 4- 15 4-18 4- 23 4- 27 4- 5sc.
x 4- 2 4-44- 7 4-11 4-i64-«3 4- 31 4- 41 4- ÍJ -+-67 4- 83 4- Sc».
* + i 4- 7. + '3 4-22 4-344- 504- 70 4- 954-1254-1614-2034- Scc
t 4- 4 4-104-204-35 4-564-844-1204-1654-2ao4-28¿4- 3644- &c.
Semblablement la cinquieme ferie conduira aux nombres
pyramidaux du fecond ordre, la fixieme a ceux du troifieme
ordre ; ainfi de fuite.
322. Donc , réciproquement on pourra , au moyen des
nombres figures , former les feries qui fe trouvent dans leí
tables par des opérations , que le calcul fuivant rendra fáciles
á faifir.
14-14-34-44-54-64-74-8 4-9 4-I0 4-&C
l4-i4-24-24-3-t-34-44-4 4-5 4- $ 4- Seo IL
* 4" 3 4- 6 4- 104- 154- 2i 4-28 4- 36 4- 45 4- 55 4- &c.
1 4- 2 4- [4 4- 6 4- 9 4- 12 4- 16 4- 20 4- 25 4- 30 4- &c
14-14-24-34-44-54-74- !8 4-10 4- 12 4- Scc. Ilt
1 4- 4 4- 10 4- 20 4- 35 4- 56 4- 84 4- 120 4- 165 4- 220 4- &c.
I 4- 3 4- 7 4- 13 4- 22 4- 34 4- 50 4- 70 4- 95 4- 125 4- &f.
14-24-44-7 4- 11 4- 16 4- 23 4- 31 4- 41 4- 53 4- Scc.
1 4- 1 4- 2 4- 3 4- 5 4- 6 4- 9 4- II 4- 15 4> 18 4- &C. IV.
1 4- 5 4- 154- 35 4- 7° 4- 1264-210 4-330 4-495 4- 715 4- Scc
1 4- 4 4-11 4- 24 4- 4* 4- 8* -1- 1304- 200 4- 295 4- 420 4- &c.
1 4- 3 4- 7 4- 144- 25 4- 41 4- 64 4- 95 4- 1364- 189 4- Scc.
1 4- 2 4- 4 4- 7 4- 12 4- 18 4- 27 -+- 38 •+• 53 4- 71 4- Scc.
1 4- 1 4- 2 4- 3 4- 5 4- 7 4- 10 4- 13 4- 18 -4- 23 •+• Scc. V.
Scc.
EULER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. 2 I
"-
1 1

I
m
m
tjo DE LA PARTITION
Dans ces diíTérents groupes de feries, les premieres font leí
* nombres figures, Sc en retranchant chaqué terme de"ia feconde
ferie du terme fuivant de la premiere on forme la
feconde. Puis on ajoute deux termes de la troifieme ferie,
qu'on retranche du terme fuivant de la feconde, Se on
obtient la ttoifieme ; Sc en continuant ainfi de fouftrairé lá
fomme de trois , de quatre termes , ou d'un plus grand
nombre , de la ferie ultérieure , du terme fuivant de la ferie,
qui precede, on formera les autres feries, jufqu'a ce qu'on foit
arrivé á celle qui commence par i 4- i 4- 2 Scc; Sc ce fera
la ferie de la Table.
323. Toutes les feries verticales de la Table commencent
de la méme maniete, Sc ont continuellement unplus grand
nombre de termes communs ; d'oü il s'enfuit qu'á l'infini ees
féres deviendront identiques. On aura alors la ferie 3 qui
provient de la fraclion.
i
(I—x) (1—x l )(i —x 3 ) (1—x 4 ) (i—x 5 ) (1—x 6 ) (i —X 7 ) SCC.
Comme cette ferie eft recurrente , confidérons d'abord le
dénominateur de la fradion pour en déduire l'échelle de relation.
Or fi les fadeurs du dénominareur font continuellement
multipliés entr'eux, 011 trouvera la fuite
,__x-x*-t-x'4-*'-*' l -* ,5 4-* ll 4-* stf -^ M -* 40 '+- j:,, - f - &c -
Sc fi on examine avec un peu plus d'attentipn la nature de
cette fuite, on verra qu'elle ne renferme d'autres puiíTances
de x, que celles dont les expofants font compris dans cette
tyP) formule ^ nn±n . Si a eft un nombre impair, les puiíTances
feront négatives, 8c elles feront pofitives, fi a eft un nombre pair.
3 24. Donc l'échelle de relation étant
4- 1, 4-1,0,0, -1,0,-1,0,0,0,0, +1,0,0,4-1,0,0, 8cc
La ferie recurrente que donnera le développement de la
fradion
(i-.*)(i-**)íi-*')(--* 4 )l»-* , )0-* , )l 1 -*' } &p -
CES N O M B R E S .
151
fera celle-ci:
-4-x4-2X 1 4-3x 1 4-5x 4 4-7* , 4-iix 4 4-i5x 7 4-
12x* 4- 30x^4-42x" 4-y6x M 4-77x'*4- IOIX ,, 4-
I35X 14 4- I76x ,í, 4- 23ix ,tf 4- 297 ,7 4- 385X'* 4-
490x' 9 4- 627x 10 4- 791 x" -A- I002x"4- I255X 11 4*
1575 x' 4 Scc.
Par conféquent dans cette ferie, chaqué coéfficient indique
de combien de manieres difTérentes l'expofant de x peut fe
former par l'addition des nombres entiers. Ainfi le nombre 7
peut étre formé de quinze manieres par addition.
7 = í + i
7=54-*
7 = 5 4-14-1
7=44-3
7 = 44-24-1
7 = 44- 1 4- 1 4- 1
7 = 34-34-1
7 = 54-24-2
7=44-1 4-1 4-1
_%i_\i Sí on développé ce produit
(i4-x)(i4-x*)(i4-x } )(i4-x 4 )(i4-x í )(i4-JC«) Scc.
on aura la ferie qui fuit ,
1 4-x 4-x*4-2X 3 4- 2X 4 4- 3x J 4-4*' 4-5X 7 4- 6"x* 4*j
8x»4- iox 10 4- SCc.
dans laquelle chaqué coéfficient marque de combien de
manieres différentes l'expofant de x peut étre formé par l'addition
de nombres inégaux. Ainfi le nombre 9 peut étre de
kuit manieres différentes la fomme de nombres inégaux.
9 = 9
9 = 84-1
9 = 74-2
9 = 64-3
9 s=a 6 4- 2 4- I
7 = 3 4- 1 4- 1 4- 1 4- »
7 _= z4- 24-24-1
I
73=24-14-1 +1 + 1
7 = 24-14-14-14-14-1
7 = l4-i4-i4-i4-i4-i4-t
9 = 54-4
9 = 54-3-4-1
9 = 44-34-2
2Üj

Pal
I*
1
• 1
ti
1
151 Di LA PARTITION
326. Afin de pouvoir comparer ces formules entr'elles,
fuppofons
P = (i — x)(i— X^I — X^I — x 4 )(i — x')(i — x tf ,Scc.
Sc
Q = (i 4-x) (14-*•) (14-x J ) (1 4-X 4 ) (I 4-X') (I 4-X«) SCC.
nous aurons
PQ = (1—**KI— X*)(I— x s )(I—-X 8 ) (l-x ,0 )(l— x 11 ) Scc
Comme tous ees fadeurs font contenus dans P, divifons P
pat PQ, le quotient feta -^- = ( 1 — x) ( 1 — x») (1 — x')
(1—x 7 ) (1 —x ? )8cc.
Sc par conféquent
p==- í L
P- (1 — *) (1— *>; (1 — Í«')(I—»')(i— x>) &c
Le développement de cette fradion produira une ferie, dans
laquelle chaqué coéfficient apprendra de combien de manieres
différentes l'expofant de x peut étre formé par l'addition
des nombres impairs. Puis donc que cette expreflion
eft égale á celle que nous avons confidérée dans I'article
précedent, nous en conclurons le théoréme fuivant»
Autant qu'il y a de manieres de former par addition un nombre
donné, avec tous les nombres entiers inégaux entr'eux;
autant il y a de manieres de former le méme nombre 3 par addition
, avec les nombres feulement impairs, foit égaux foit
inégaux.
327. Comme nous avons vu ci-deffus que
4-x 7 P =s 1 —- x —x — x"
2 4-x-4- x 7 — x" — x" 4-x" 4-x 1 '—
.u
,••»
Scc.
on aura en mettant xx pour x,
P Q = i __ x» _ *4 + x.<
M 5 * — 8cc.
i-H •-*> /•30 X 14
_.-.
65
64
¿5
66
6-,
68
É9
1
1
1
1
1
1
1
1
ii
1
33
35
34
34
?5
35
35*
3¿3
374
385
397
408
410
43*-
2087
2178
2280
237*
2484
258IÍ
27 00
2808
8056
8529
9027
9542
10083
IOÍÍ42
11229
11835
>
i
221
ZA
x6
25
zá
31
i\
3 6 '
EULER, Introducción h l'Anal. infi\
I

I
il
w
PQ
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5 ~S
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•3 -^
•- »^ ** O ri NO Vo C\H C\ CNOO a*> i*s o v\ t D w í O - r t O W H M H f l m + V S M i A e o u C\»4 w » O 46 w, w \ A « \J d O K Vi »4 '« 5\ii IA K w rl »5 IA N M K
•. r-i ri -TN -4" "x N CN «•• NO - í> L? X
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M .. ri «N -^- >*-• N CN ri NO « vo ^ - H •^ O co O m Vo —
_ _ ,| H » i t W«00 E
— CN •>*- — OO — N — »« CN VO ri NO VO O CN O -4-— m 0\ +VO H »^\0 o\ «Va oo CNOO N O tt i- c\ o ri —
;N ri •$- N "- O «^.rt OCO 0\ 0 + CNVl va CN ->*- ^ NO ••< -I- O O + rs fv IvVS V3 M «•• M
ri H *v-» 'o j . - f^ Js. N-\
>NO CO CSC H -"t" VO ON ri .»> CN ~.CO
^t- -^- ~^%
HOc\CNOriNs
vo r^r^oo o -.
— N*-"" N « r^vo r^--^ eso «-•
+ ^ S C\ H *í-\0 C^trtVO o\-«í-oo
N vo >- es >^ •*• n o c\Vo -*-oo «~ t-» -4-VD eooo t + 0 O » CNOO r-~ - »i •*• H m H r t S r ) M O t + V 3 f C \ C \
M w H .rv'í-v-ilv.OsrJ ^\ O «^ «. CNOO C\ is K Cv * + C\ C\\_l oo O O O — ^- ^ v^.-4-^ra v->»aoo *r%»« t-~4-*^- C\ »-• va O
f- P. H H -^N^\-^-*^. f-sOO ü
M C \
-oo vo -i- c\ \o VO rt
C\ N^O VO OO H Va IA H v. fv m wVo H woo oo H .r. O r*. "^ C\ >^. O N
-. -a. ri M^ ^\ ^- •+• V-,Vo Neo O — w N «V" H -oo rt \o O _ i . -I- _ esoo t-~oo o « va —
OO
r-
VO
>^
CNCO
4"
^-. _. t^
- OO .ÍN c\
„ M M _ „ _ r | H M ' ^ m - } - + ^ >^Vo |^ 1^00 C\ O •4-vo r~- ON -,
ra. H CS^vOO O » »>f>^Vb NOO O « "N~>cc O 4- N « v - , 0 ^ 2 ^ |^ ^- x O o\ C\ O ri 0N-Í-« CN5C CNriVO ri O «a TiOO w^^vt^.
N V0 00
M M i- ri ri ri ffs^Tj-'t-m'-^VO N0OO0 0N ri "v -t V0 0O CN— »V0 «O •+N0 "NN— 0 *^ O >^-I t~^
• ^ |N«8 CN— ri 4"V00C 3\ H TfVO
„ w « « - - . W M i - r i r i r i r i r i r i « N f < - \ M N
H. ri «^ N O "NOO -«NO N N N O - + H C N - 4-ri w N N O O T\-^-O0 »-SO •4-x-^vo ri CNri Neo ri woo «00 -+V0 N"">»»»CNV© ri Ooo OiM NVo CsVo CNNri «\ri CN'«^>
B H l ^ r t m m + v ^ ^ 0 í n 1 , * ^ A ^ l ^ « C ^ m ^ r t O ^ + O ^ + m M M B H + ^ _ O t 5 \ V ^ m M M l . m ^ o O V 5 m M M m ^ 5 O V a ^ + \ ^ G \ « r t « 4 o o t ' ^ • l ^
__ _. „__ __ _j ti ti «, «s * + «VO VO NSO 0\ O ~ ri -n t^,Tj-VO tVO NOS N00 O H ri tVOOO T1-V__OO O r\ H >^^Oo--OVa riCO
M»-MP^.«^VN0 W NOO OV» - f OO *^- ti CN N "*• « O CNOO. Neo NOO OO o O
w i— — -* — — ri ri ri ri n\f^VoV, NNOOOO CNCNO O — ri ^- 4- »-,V0 NOO CNCNO — ri _,-(•.-> f» oo
— — - — " « - . " - i M r i r i r i r i r i r i r i r i
4í
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M M « ri ri w\ m 4 i^VO NOO CNO ** «TN'^-VOOO O ri t NC\H " ^ ¡ ^ 4- N «
--* _.
iO • MriNN^->^vNOOOri4-voCN— + N O w , N O H - « H V 0 - V » ^ O , ^ ' 0 , ^ " , V O H O O - + - O N » < N O N ,
Í - — 0 \ o + ' 1 0 0 0 N , ^ T ' ' v r i - M O O O O
^-J i—• WMw^-,•—< M H - H I - W ~ - I — « - « - « r i r i r i r i r i r i r i r i r i r i r i - f N N -
, 4- N ao O ri
ri NN íi- w» Vo NOO ÜN O «
ri tr» f*N rrv ffN WN ff\w\WfAfft4 + ^-
K* ^ !__; MririNN-r«''í-+'^w-vVoVaNNOOOOCNCNOO — ».ririHNW\'

DE í N O M B R E S .
Sc en divifant cette expreffion par la premiere
C--TZ • *»•—.-.•»-»-x'° •+-*'+_ *M _ x' Scc.
i—x—x*-4-x' -r-*? — «'* — *•* -h* ll 4-*"> _ &c.
*53
Done la ferie Q fera. auffi recurrente, Sc fera éeale á la
/*/ • I
lene —» en multipliant celle-ci par i — x* — x 4 4- x 10 4-
* 14 — x* 4 Scc. Ainíi., puifque (art. 314)
-p= r 4-x 4-zx 1 4-3x'4-5x 4 4-7x í 4- IIX 4 4- I5x 7 4-
2 2X» 4- 30X 9 4-Scc.
Si on multiplie ce réfultat par
1 — x* — x 4 4- x 10 4- x' 4 — Scc.
on trouvera pour produit
l4.*+w' + 3-'+ -*• -f- 7,1 H- nx< .+. 1JX7 .+. _,_» ^ 30x, + &c
— X 1 — X> — xx* — 3** _ J*« -_. ?X1 _ lia;i _ , Jx» _ &c#
— * • _ * ! _ sur* _ 3*? __ J4C« __ ^ ______ &Cf
OU
i -+- * 4- *' 4- ax» -*-»*• •+• 3*' + 4*' 4- j*» .+. fot + _„ + &c# __ Q
Done avec la formation des nombres par l'addition de$
nombres, tant égaux qu'inégaux, on aura celle des nombres
par l'addition des nombres inégaux , Sc conféquemmenc
celle des nombres par l'addition des nombres feulement
impairs.
328. Refte encoré a traiter Sc a expliquer quelques cas
particuliers, qui ne font pas fans utilité pour faire connoitre
la nature des nombtes. Conlidétons, par exemple, cette
expreflion
(1 4-x) (1 4-x') (14-x 4 ) (i 4 x 9 ) (i-z-x> 6 )(i-z.x>*) Scc,
dans laquelle les expofants de x croiíTent en raifon double.
Si on développé cette expreflion 3 on trouvera, á la vérité,
la ferie
1 4-x 4- x 1 4- x 1 4- x 4 4- x r 4- x' 4-x 7 4- x* 4- Scc.
il

•
*54 -^ E LA PARTITION
Mais, comme on peut douter íi cette ferie continuera de
fuivre la méme loi, Sc íi elle formera a l'infini une progreífion
géométrique , examinons-la plus particuliérement. Soit á
cet effet
P _= (i + x)(i-+-x i )(i 4-x 4 )(r4-x')(i4-x") Scc.
Sc fuppofons que le développement de cette quantité donne
la ferie
P _=_ i4-«x 4-£x* 4- 7X* 4- ¿x* 4- *x r 4- fx' 4- »x"
4- 8 x 8 4- Scc.
Or il eft clair que íi au lieu de x on écrit x x, on aura
le produit '
(i4-xx)(r4-x 4 )(i4-x*) (i4-x ,í )(i4-x 51 )8cc.=_^:-.
ayant donc fait dans la ferie la méme fubftitution, on aura
_____ ! ^¿x^-A-Zx* -A-yx s -z-s-x % A-tx l0 -*-Zx"-A-Scc.
I •+• X
Sc multipliant par i 4- x ,
P—s i4-x4-*x 1 4-*x , 4-£x 4 4-£x , 4->x*4--,x*.
4- íx 1 4- ¿x» 4- Scc.
Cette valeur de P comparée avec la precedente, donnera
ttB= i; c == * ;-y = *; t —- ¿; * = C; | = y ; » =By , Scc.
Donc tous les coéfficients feront —- i; Se par conféquent
le produit P, dont il eft queftion , étant développé , foutnira
la ferie géomé trique
I 4-x-; X 4-x 4 4-x í 4-x í 4-x 7 4- Scc.
329. Puifque toutes les puiíTances de x fe trouvent dans
cette fuite, Sc chacune une fois; concluons, d'aprés la forme
du produit (1 4-x) (I 4-x*) (1 4- x 4 ) Scc , que tout nombre
entier peut étre formé par 1'addition de termes diíTérents de
la progreífion géométrique double, 1,2,4,8,16,32, Scc,
Sc cela d'une maniere feulement. Cette propriété eft connue
de ceux qui font dans l'habítude de faire des pefées ; car il*
V
'% h a »
D E s N O M B R E S .
2 »
íavent qu'avee des poids feulement de 1,1,4,8,16,32^
Scc. livres, ils peuvent faire toutes les pelees poífibles , tant
qu'il n'y aura pas de fra&ions de livre. Ainfi , avec ces dix
poids, favoir 1«% 2^, 4^, 8 *% 16^, 32^, 64^, 128^
z_)6 fi ~,_yiz ti ~, on peut pefer jufqu'i 1024***, Sc íi on y
ajoute un poids de 1024^", on pourra pefer jufqu'a 2048'*".
330. On fait de plus dans lapratique qu'avee un moindre
nombre de poids, Sc qui croiíTent en raifon géométrique ,
favoir, 1 , 3 , 9 , 27 , 8 r, Scc, on peut pareillement faire
toutes les pefées poííibles , á moins qu'on n'ait befoin de
fradbions. Obfervez que dans ce dernier cas , on ne place
pas les poids d'un feul cote de la balance, mais des deux
cotes , á la fois , s'il eft néceíTaite. Cette pratique eft fondee
fur ce qu'en prenant toujours des termes diíTérents de la
progrefiion - géométrique triple, 1 , 3 , 9 , 27, 81, Scc ; 011
peut, par l'addition Sc pat la fouftracTion, former tous les
nombres entiers imaginables. En efTet
1 = 1
2 = 3 — 1
3 = 3
4=34-1
5 _ 9 — 3 4- 1
6 = 9 - 5
7 -= 9 — 3 4- 1
8 = p — 1
Scc.
9 = 9
1 o = 9 4- 1
11 B 9 4- J —
12 = 9 4-3
331. Pour démontrer cette vérité, je prends ce produit
compofé d'un nombre infini de fa&eurs
(ÍÍ-'+I 4-x 1 ) (x- J 4- 1 4- x') (x' s 4- 1 4- x s )
(x " 17 4- 1 4-x 17 ) Scc. = P,
lequel étant développé, ne donnera d'autres puiíTances de x
que celles dont les expofants peuvent étre formes par les
nombres 1, 3 , 9 , 27, 81, Scc, foit en les ajoutant, foit en
les fouftrayant. Mais obtiendra-t-on toutes les puiíTances,

I
i
I
156 DE LA PARTITION DES NOMBRES.
Sc chacune d'elles feulement une fois ? C'eft ce que je
cherche de la maniere fuivante. Soit
P = Scc. 4- fX- , 4-¿x- , + íljf'+ 1 .+. aJC« + cx*
•4- y X' 4- f x* 4- «x* 4- Scc.
Or il eft évident, que,fi au lieu dex on écrit x', on aura
*" ' 4-.I4-*'
• Scc. 4-¿x" s 4-^zx*'4-I4-«x , 4- Cx*
4- yx' 4- SCC.
Done P == J
- 3
.«x" , 4-aíx" í 4-

2j 8 DE
A =
5 =
C =
X> =
E =
L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
a
*A
«B
«C
a.D
b
cA
GB
CC
Scc.
c
yA
yB
d
*A 4- c
Or le terme general ou le coéfficient de la puilTance \ n , fe
trouve en décompofant la fraclion propofée en fraólions
limpies, dont les dénominateurs foient les facleurs du dénominateur
i — a ? —G77 — 7-7- — Scc, comme on l'a vu
( Chap. XIII. )
334. Quant á la forme du terme general , elle dépend
principalement de la nature des facleurs fimples du dénominateur,
fuivant qu'ils font réels ou imaginaires , inégaux entre
eux , ou égaux deux á deux, ou en plus grand nombre.
Pour parcQurir ces diíTérents cas par ordre, fuppofons d'abord
que tous les facleurs fimples du dénominateur foient
réels Sc inégaux entr'eux. Soient done tous les facleurs íim-*ples
du dénominateur (1—p%) (1—q${i—r7) (1—ST)
Scc ; au moyen defquels la fraclion propofée puiíle étre
décompofée en ces autres fraólions íimples ——
Pl
B C D
4- Scc. Celles - ci étant
1 —?í
connúes
1 — rx j — si
le terme general de la ferie recurrente fera =
l" (Áp n -A- Bq n 4- Cr" 4-D."4- Scc.) que nous ferons
== P^ n , c'eft-á-dire, que P fera le coéfficient de la puiffance
-(", Se ceux des puiíTances fuivantes feront Q, R, Scc,
de maniere que la ferie recurrente deviendra
A -A-BI-A-C^-A- D^ -A- + Pf + ^ " + ' 4-
R^' 1 -*- 1 4- Scc.
335. Suppofons á préfent n un nombre tres-grand, ou
la ferie recurrente continuée jufqu'a un trés-grand nombre
-_
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQÜAT. 259
de termes ; comme Jes puiíTances des nombres inégaux font
elles-mémes d'autant plus inégales , qu'elles font plus élevées,
il y aura une f\ grande difTérence entre les puiíTances Ap n ,
Bq n 3 C r", que celle, qui réfultera du plus grand des nombres
P-i q •> r y Scc, furpaflera beaucoup en grandeur les autres, Sc
que celles-ci deviendront abfolumeut nuiles a l'égatd de la
premiere, fi n eft un nombre infiniment grand. Les nombres
P•> q •> r, Scc, étant donc inégaux entr'eux , fuppofons p le
plus grand de tous; par conféquent, fi n eft un nombre
infini, on aura P = Ap n ; mais fi n eft feulement un nombre
trés-grand, on aura á-peu-prés P = Ap n ; on aura pareillement

I
I,
1
•
160 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
ou du figne — , car dans les deux cas, fes puiíTances augmentent
également.
337. II eft aííez facile a préfent de voir comment fe peut
faire l'application de ces principes á la recherche des racines
d'une équation algébrique quelconque. En eíTet, les faóleurs
du dénominateur 1 — «-( — £%*— y\^ — «^^ 4 — Scc. étant
connus, on aflignera facilement les racines de cette équation
1 --«s--X m ~' — SCC.= 0,
on aura , á l'aide de la méme méthode , la plus gtande
racine de cette derniere équation, favoir x =p>
338. Soit donc propofée cette équation
x' etx m - t — £x m -*—yx m - 3 — Scc. = o
laquelle ne renferme que des racines, réelles Se inégales
entr'elles, on trouvera de la maniere fuivante la plus grande
de ces racines. Formons des coéfficients de cette équation
la fraólion
_¡ 4- ¿g 4- c^ -4-¿{i-t-&c.
1 — «£ — e^ 1 — yx 1 — ¿ l* -*- &c -
Sc de .cette fraólion , une ferie recurrente, en prenant a
volonté le numérateur, ou , ce qui revient au méme, en
prenant arbitrairement les premiers termes ; de maniere
qu'elle foit
A-4-Bi-A-C^-A-D^-h -A-PK n -hQi ,, + t ;
h fraólion -J- donnera la valeur de la plus grande racine x
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT. 261
de l'équation d'autant plus approchée , que n fera un plus
grand nombre.
EXEMPLE I.
Soit propofée l'équation xx — 3X— 1 =0, dont ¿l
sagit de trouver la plus grande racine.
Formons la fraólion — ; en prenant pour premiers
termes 1,2, nous aurons la ferie recurrente
-> 1,7-. 2 3> 7 6 » 2 5*> «»9» i738, ^-c.
Donc la quantité -vrr - approchera de la valeur de la plus
grande racine de l'équation propofée. Or la valeur de cette
fraólion exprimée en decimales eft
3>3 0i 7744 _
tandis que la plus grande racine de l'équation —= -—t—íl —
3, 30277 5 6
laquelle furpaíTe la precedente feulement d'un millioniéme.
Remarquez au refte que les fraólions-r- font altetnativement
plus grandes Sc plus petites que la vraie-racine.
EXEMPLE II.
Soit propofée l'équation 3X — 4X 3 =1, dont les racines
repréfentent les finus de trois ares 3 dont les triples ont un
finus = -f.
Ayant ramené l'équation á la forme o = 1 — 6x *4- 8x ? ,
cherchons-en, pour nous en tenit aux nombres entiers, la
plus petite racine, de maniere qu'il ne foit pas néceífaire de
mettre — pour x. Formons donc en conféquence la fraólion
a -A- b x 4- trxx
1 — 5x f 4- 8 x 3
Sc comme les trois premiers termes font á notre choix ,
(W)
——•-—

,
B
i
261 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
nous prendrons o,o,.r, pour rendre, par ce moyen, le
calcul plus expéditif; ce qui nous donnera, en omettant les
puiíTances de x, parce que nous n'avons befoin que des
coéfficients, la ferie recurrente fuivante
o; o; 1 ; 6; 36; 208 ; 1200; 6912; 39808; 219248.
La valeur approchée de la plus petite racine de l'équation fera
donc = 39808
a.9a48 = - ^ r = 0,1736460, laquelle conféquemment
devroit étre le finus de l'angle de 10 o ; mais, fuivant
les Tables, ce finus eft 0,1736482 ; quantité, qui furpaíle
la racine trouvée auparavant de •_.,_" •• Au refte, cette
IOOOOCOO
méme racine peut- fe trouver plus facilement en faifant
x = i y, pour avoir l'équation 1 — 3 y * 4- y 1 = o.
Traitée de la méme maniere que la precedente, elle donnera
la ferie
0 -o, 1,3, 9, 26,75, 216,622, 1791 , y 157, Scc.
On aura donc pour la valeur approchée de la plus petite
• I 79 I x 99 T\ a
racine y = -4^- = — =0,3472949. Doncx = \y —-
0,1736479; valeur dix fois plus approchée que la precedente.
EXEMPLE III.
On veut connoitre la plus grande racine de la meme équanon
\on propofée 0 = 1 — 6 x * 4- 8 x'.
Soit x =—- ; 011 aura y' * — y y 4-1=0. On trouvera
la plus grande racine de cette équation par une ferie recurrente
, dont l'échelle de relation eft o, 3,-1, d'oü
réfulte, les trois premiers termes ayant été pris á volonté ,
la ferie
t» i,i. i, i» 5» 4» *3 »7» 35» 8 >9 8 » — XI » &c.
Et comme on arrive á des termes négatifs, c'eft une preuve
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES llQUAT. 263
que la plus grande racine eft négative; en effet x =—fin. 70 o
= — 0,9396926. II faut donc avoit égard á cette circonftance
dans le choix des premiers termes, en cette maniere :
1 _ 2 .4- 4 __ 7 + H _ M -H 49 __ 89 4- 172 —
316 4- 6oj — Scc.
— 605
d'oü l'on tire y —-
& = va
... , 3'6 * ~~6¿~ 632 ~ °>957> *e«r,
qui s ecarte beaucoup de la vérité.
319. La raifon de cette difTérence vient fur-tout de ce
que les racines de l'équation propofée étant fin. 10". fin. 50 o ,
Sc — fin. 70 o , Jes deux plus grandes différent li peu J'une de
l'autre , que ^ dans les puiíTances , «jufqu'auxquelles nous
avons continué la ferie, la feconde racine fin. 50 o a encoré
un rapport fenfible avec la plus grande, Sc qu'elle ne difparoít
pas á l'égard de celle-ci. Le faut, que nousobfervons,
vient auíli de ce que Jes valeurs trouvees deviennent alter- ( rr '
nativement trop grandes Se trop petites. Ainfi, en prenant
y -^.«dericn. - • = « • - -=# ^ « f t
En elTet, comme les puiíTances dé la plus grande racine
deviennent alrernativement pofitives Sc négatives, les puiffances
de la feconde racine font auíli alternativement
ajoutées Sc retranchées : c'eft pourquoi, pour rendre cette
difTérence infeníible , on doit continuer la ferie beaucoup
plus loin.
34©. Mais on peut remédier d'une autre maniere á cet
inconvénient, en transformant, au moyen d'une fubftitution
convenable, l'équation en une autre , dont les racines ne
foient pas fi voiíines. Par exemple, íi dans l'équation o =
1 — 6x4- 8 x' dont les racines font — fin. ~o° , 4- fin. 50 o
4- fin. 10 o , on fait x —- y — 1 , Téqu-ition o = 8y 3 —
zAyy 4-18^ — 1, aura pour racines 1 —fin.70 0 ; 1 -A-fin.fo%
1 4- fin. 10 o ; Sc par conféquent la plus petite racine

264 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
fera 1 —fin. 70°, tandis qu'auparavant celle-ci fin. 70 o étoit
la plus grande de l'équation precedente ; Sc á préfent
!_: .4-. fin_ 50 o eft la racine la plus grande, lorfque précédemment
la racine fin. 50 o étoit la moyenne. Ainfi, une
racine quelconque pourra, par le moyen d'une fubftitution ,
devenir la plus grande ou la plus petite d'une nouvelle
équation , Sc étre en conféquence détetminée par Sa méthode
que nous venons de donner. De plus , comme dans
notre exemple la racine 1 — fin.-jo 0 eíl beaucoup plus
petite que les deux autres , il fera facile d'en avoir la valeur
approchée par une ferie recurrente.
EXEMPLE IV. • -
Trouver la plus petite racine de l'équation o = 8 y' —
24y * _+_ 18 y —' 1 , qui étant foufiraite de l'unité donnera
pour refte le finus de l'angle de 70 o :
Soit y = \i, pour avoir o -- \ - — 6 1 *¿ *•" 9 í ~~" I »
dont la plus petite racine fe trouvera par une ferie recurrente
, dont l'échelle de relation eft 9, — 6, 4- 1 , Sc la
plus grande , en prenant l'échelle de relation 6,—9,4- 1.
Pour avoir la plus petite, formons donc cette ferie
1, 1, -> 4» 3*> z 5 6 ' ZI22 > -7593» H5 8(í - "•> &c -
nous aurons á-peu-prés ? =-{^üf =.0,11.061483 Sc
y = 0,06030741, bL fin. 70 o = 1 —y = 0,93969258,
valeur qui ne s'écarte pas de la vérité , méme dans le dernier
chifTre. On comprend donc par-lá combien il peut etre
avantageux de transformen par une fubftitution convenable,
une équation, pour en trouver les racines, Sc que par ce
moyen la méthode que nous avons expliquée, ne s'applique
pas feulement á la recherche des plus grandes Sc des plus
petites racines , mais qu'elle peut les donner toutes.
341. Ayant donc trouve par approximation une racine
quelconque d'une équation propofée , de maniere que le
nombre k. par exemple , difiere trés-peu d'une des racines,
1 nous
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT 165
nous ferons x -k =y, ou * = y .+.*, Sc par ce moyen
nous aurons une eqiiation, -dont la plus petite racine fera' =
x —k; Se ñ nous la cherchons par une ferie recurrente ce
qui lera tres-facile, puifque cette racine eft beaucoup plus
penre que les autres en l'ajoutant á *, nous aurons une
des vraies racines x de l'équation propofée. L'ufa * • 9? 33 > J AU 0 9 > --5 8 5> ^945, Scc.
EULER, Introduciion a [Anal, infin. Tome I. z L '
\
•
I

1 p
4
z66 DE L'USAGE DES SERÍES RECURRENTES
Car elle fera á-peu-prés —.-——— __0j¡1^j . or x^6\ eft
á-peu-prés = Vj, qui eft la plus grande racine de l'équation.
343. Quoique le numérateut de la fraólion qui forme la
ferie recurrente, foit arbitraire, cependant la forme qu'on
lui donne , peut contribuer beaucoup á trouver plus promptement
la valeur approchée de la racine. En effet, ayant
pris , comme ci-deíius (art. 334) les fadeurs du dénominateur
; foit le terme general de la ferie recurrente =-
2?(kp n -\- B«7 n 4- Cr n 4- Scc.) cés coéfficients A,B,C,
Scc, fe détermineut par le numérateur de la fraólion ; par
conféquent il peut arriver que A ait une valeur grande ou
petite; dans le premier cas, la plus grande racine/- fe trouve
plutót, Sc dans le fecond, plus tard; on peut méme prendre
un numérateur qui faíTe difparoítre entierement A;
alors la ferie , quoique continuée a l'infini, ne donnera jamáis
la plus grande racine p. Or cela arrive , lorfque le
numérareur qu'on a choifí, alui-méme pour faóleur, 1 —p\ ,
car alors ce faóleur foftjra entierement de l'expreífion. Par
exemple, fi on propofé l'équation x' — 6 x x 4- 1 o x.— 3 = o,
dont la plus grande racine — 3, Se qu'on en forme la fraólion
• - - _____3ÍL__,
1 — 65 4- ios 1 — 3 x'
de forte que l'échelle de relation foit 6, — 10 , 4obtiendra
la ferie
•
1, 3» 8, 11, 55, 144, 377, Scc.
dans laquelle le rapport de deux termes n'approche nullement
de 1 : 3. La raifon en eft que la "méme ferie provient
de la fraclion • , Sc qu'elle donne par
1
— 31 •+• íí
conféquent la plus grande racine de l'équation x a — 3x4-
I S— O.
344. 11 eft encoré poííible de prendre un numérateur, qui
falle connoitre par la ferie recurrente telle racine qu'on
on
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQÜAT. 267
voudra de l'équation; il faut pour cela que le numérateur
ioit le produit de tous les fadeurs du dénominateur excepté
celui, auquel répond la racine cherchée. Ainfi' en
prenant dans le premier exemple le numérateur 1 — i ? _¿ r y
la fraólion —— - donnera cette ferie récur-
1 —Oí-Hioj*—*3j'
\
vv "" ¡«-nv áci-ur-
rente 1, 3, 9, 2?j 81. 243 , &c, laquelle formant une
progreífion géométrique donne tout de fuite la racine x == 3 ;
car cette fradion eft égale á cette fradion fimple—i~.
II fuit de-lá que fi les premiers termes qu'on peut prendre
á volonté, font tels qu'ils forment une progreífion géométrique
, dont 1 expofant foit égal á une racine de l'équation
, toute la ferie recurrente fera géomérrique, Sc don- *
ñera par conféquent cette racine, quoiqu'elle ne foit ni la
plus grande ni la plus petite.
345- Ainfi, pour n'étre pas expofés, lorfque nous cherchons
la plus grande ou Ja plus petite racine , á trouver
contre norre artente, une aurre racine par la ferie recurrente
, il faut choifir un numérateur qui n'ait aucun fadeur
commun avec le dénominateur; ce qui fe fera, en prenant
1 unité pout numérateur. Donc le premier terme de la
ferie fera = 1 , Sc avec celui-lá, on déterminera tous les
autres , d'aprés l'échelle de relarion. De cette maniere on
lera toujours sur de trouver la racine de l'équation , la plus
grande ou la plus petite » felón qu'on le défire Ainfi
s'étant prooofé l'.équation y' * — 3y H- J =-_ 0 f áom Q¿
veut connoitre la plus grande racine, au moyen de l'échelle
de relation o , 4- 3 , — 1 , on formera , en commencant
par 1 unite , Ja ferie recurrente fuivante
!— 04-3 — 14-9 — 64-28 — 274-90 — 1094-297— ,
417 4-1000— 1548 4-3417 —5644 4- &c.
laquelle tend manifeftement á un rapport conftant, Sc faít
voir que la plus grande racine y eft négative. Se qu'elle eft
2 L i)

B
(")
268 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
á-peu-prés y = - = ——— =— 1,651741 , tandis qu'elle
devoit étre = — 1,86793852. On a vu auparavant la
raifon pour laquelle on arrive fi lentement á la vraie valeur,
c'eft que l'autre racine n'eft pas beaucoup moindre que la
plus grande, Sc que d'ailleurs elle eft pofitive.
346. Aprés avoir bien examiné ce que nous avons dit en
general, Sc á l'occafion des exemples que nous avons rapportés
, on reconnoítra fans peine la. grande utilité de
cette méthode pour trouver les racines des équations. Nous
avons fuffifamment indiqué les moyens'qui peuvent abréger
les opérations, Sc les rendre plus fáciles, de forte que nous
n'aurions rien á ajouter, s'il ne reftoit á examiner les cas,
oü l'équation a des racines égales ou imaginaires. Suppofons
donc que le dénominateur de la fradion
a -4- b\ -f- c\ % -4- aV 4- &c.
I _ aj — £?» — yl* — ¿l*— &C.
renferme le fadeur ( 1 —/»?)'» outre les autres fadeurs
1 — q^ , 1 — r^, Scc. Le terme general de la ferie qui en proviendra,
fera donc = % "[(«4-1) A/>"4- Bp n 4- Cc7 n 4-8cc].
Pour favoir quelle valeur en réfultera , lorfque n eft un
nombre trés-grand, diftinguons deux cas, celui oup eft un
nombre plus grand que les autres q ,r,SCc 3Sc celui oü p ne
donne pas la plus grande racine. Dans le premier cas, oü p eft
la racine la plus grande, á caufe du Coéfficient ( n 4- 1), les
autres termes.B/-" 4- C q n Scc, ne s'évanouiront pas á l'égard
du premier, auífi-tót qu'auparavant; Sc fi q eft >•/>, le terme
(n -+- i)A.p n ne diíparoitra que tard devant Cq n 3 Sc par
conféquent, on aura beaucoup plus de peine á trouver la
plus grande racine.
EXEMPLE I.
Soit propofée l'équation x' — jxx 4-4= o, dans laquelle
La plus grande racine zfe trouve deux fois.
Cherchons donc la plus grande racine fuivant la méthode
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT. 269
que nous avons expofée ci-delTus, en développant la fradion
1 — \\ * 4* J -
en une ferie recurrente; qui fera
i> 3. 9> 1 3*57>i35>3 I 3J7 1 'i ví5P3> &c*
II eft vifible qué chaqué terme divifé par le précedent,
donne un quotient plus gtand que deux. La raifon sen
déduit trés-facilement du terme general; car en rejettant les
puiíTances Cq n , Scc,on aura le terme correfpondanr á la
puilTance *£% —- («-4- 1)Ap n 4- Bp n , Se le fuivant =
(«4-2)A/ n +' 4- Bp" + >, lequel étant divifé pat Je
premier , donne -J-^-±-lj^-±A p _> p, k moins que n ne
foit infini.
EXEMPLE II.
Soit,propofée maintenant l'équation x 3 — xx— 5 x —• 3 =— o,
dont la plus grande racine = 3 , & les deux autres égales
Cherchons la plus grande racine par le moyen d'une ferie
recurrente, dont l'échelle de relation eft 1 4- 5 4-3 ; ce
qui donne
ljL.I> 6 y 14» 47 > 135» 4 li > i"8 , Scc.
On trouve aiTez-tot h valeur 3 , parce que les puiíTances
de la plus grande racine — .1 , quoique multipliées par
( n 4- 1 ) difparoiífent de bonne heure auprés des puiffances
de 3.
EXEMPLE III.
Alais 3fi onfeprópofoit l'équation x'4- xx — 8 x — 12 = o,
dont les racines font 3 , — 11 — 2 ; oñ trouvera beaucoup
plus tard la plus grande racine. En elíét, on aura lá ferie
-,— i.9,- 5,65,3,457,347, 3345-4915- &c -
qu'on devro'it : coritinúer encoré bien au-delá , avant de s'apperceyoir
que la racine qui doit en réfulter, -* 3.
%
I

170 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
347. Semblablement, s'il y a dans l'équation trois fadeurs
égaux, de forte qu'un fadeur du dénominateur foit (1—p\V,
Seles autres 1 — ?£, 1 — r^, Scc , le terme general de la
ferie fera=^"( (, '^' ) ^- t - 2) A/> B 4- (»-hi)B/ 4-
Cp n 4- D q n 4- C r n 4- Scc ). Donc fi p eft la plus grande
racine, Sc que n foit un nombre aflez grand, pour que les
puiíTances q tt , r"¿ Scc , difparoiífent devant p n , alors la ferie
recurrente donnera la racine ==
|(n-f- a)(ii4'3)A + (/i + a)B 4-C
í(»+i)(- + í)A+(fl+i)B 4-C-^ J
qui n'indiquera la vraie racine de p , que lorfque n fera un
nombré tres-grand Sc prefque infini. Or cette valeur de la
racine =p + —, !»4-QA-*.B '
e ? t>4- i) (»4-a)A 4-(«4-1) B 4- C "*
Mais , íi p n'eft pas la racine la plus grande , on épróuvera
beaucoup plus d'embarras á la ttouver, d'oü il fuit que les
équations, qui renferrnent des racines égales, fe réíolvent
par les feries recurrentes, en fuivant cette méthode beaucoup
plus difficilement , que fi toutes les racines étoient
inégales entr'elles.
348, Examinons maintenant la nature d'une ferie recurrente
continuée á l'infini, lorfque le dénominateur de la
fradion contient des fadeurs imaginaires,. Soit donc la
fradion . -
a -\r bi 4- c^ % 4- ¿i* -+- &c. _
I — «{ __ _*£» _ yjl _ f-¡+ — 8K.
dont le dénominateur ait pour fadeurá réels, 1 i—o?", i—rr
Scc, Se de plus le fadeur trinóme 1 — zp^cof. 9 4-ppr?'
qui renferme deux fadeurs fimples imaginaires. Donc , fi la
ferie recurrente, qui réfulte de cette fra,ólion , eft
A-±-B%-{- C1'-{-Dz 1 4- .4- Pf 4- Qz' + \
on aura , fuivant ce que nous ávons expofé plus haut, le
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT 271
coéfficient P = __tí__^__¡_*é__Lt f _ + c ?. + ¿ ^
^ Scc. Donc, fi le nombre p eft plus petit que chacun des
autres, q3 r, Scc, de maniere que la plus grande racine de
l'équation
x' •

1
ti
I
_/
272 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
EXEMPLE IL-
Soit propofée l'équation x* — 4XX4- 8x — 8=oj dont
une racine réelle eft 2 . & le produit des deux imaginaires = 4,
& eft par conféquent égal au quarré de la racine réelle 2.
Cherchólos donc cette racine par une ferie recurrente, Sc
pour plus de facilité , faifons x = zy , afín d'avoir y 5 —•
zyy -A- zy —1 = o; ce qui donnera la ferie recurrente
1, 2,2, 1 ,0,0,1,2,2, 1,0,0,1,2,2, 1, Scc.
Comme les mémes termes reviennent continuellemént, on
n'en peut rien conclure , íinon ou que la plus grande racine
n'eft pas réelle, ou qu'il y a des imaginaires dont le produit
égale ou furpalTe le quarré de la racine réelle.
EXEMPLE III.
Soit encoré propofée l'équation x J — 3X*+4X — x = o „
dont la racine réelle eft 1 , & le produit des imaginaires =— 2.
Formons donc avec l'échelle de relation 3 , — 4,4- 2 ,
la.ferie
i, 3,5, 5, •'» — 7,— x 5» — -5s I -33^5, í 5»iJ&c
Comme les termes y font 'tantot pofitifs , Sc tantót négatifs,
on n'en pourra nullement déduire la racine réelle 1. Mais ces
retours íiiccefíifs de fignes apprennent toujours , que la racine
que devoit donner la ferie , eft imaginaire ; car ici les
racines imaginaires font plus grandes en puifTance que la
racine réelle 1. - .
350. Suppofons donc dans la fradion genérale le produit pp
de deux racines imaginaires plus grand que le quarré d'aucuiie
racine réelle, de maniere que les autres puiíTances
q", r", Scc, difparoiíTent á l'égard.de p a , fi n eft; un nombre
infini. Dan» ce cas, P deviendra =
A-fin.(n4-1)

_••
li I
274 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES
aura o = T Q Qp ( cof} 9— cof. 9) 4- \ Q R (1 — cof zp )
4- .7 P Qpp ( 1 — cof Z9) , Se en divifant par f Q,
( Ppp 4- i? ) ( 1 —• cof i/T 2 9 = 2 yz/_. 9*. Donc
Ppp i? í z Qp cof.9 Sc cof p *^=
méme a>/. * aje¿>
*~Q/>
__ Qpp + 5 ^ ^ j , o n dédu¡t Jes vajeurs
indiquées ci - deíTus , favoir
C¿R — PS
/ = V
JP ±
RR — QS
QQ — P R
Sc de
cof 9 = 2^(Q>-PR) (RR—QS) '
353. Si le dominateut de la fraólion qui forme la ferie
recurrente, renferme plufieurs fadeurs trinomes égaux
entr'eux , on voit par la forme genérale que nous avons
donnée auparavant que la recherche des racines devient
beaucoup plus incertaine. Cependant , fi on a déjá une
valeut approchée d'une racine réelle quelconque , en transformant
l'équation , on obtiendra toujours une valeur de la
méme racine beaucoup plus approchée. II faudra faire x égale
á la valeur déjá trouvée, -4- y, Se chercher pour y la plus
petite racine de la nouvelle équarion, laquelle ajoutée a la
premiere, donnera la vraie valeur de x.
EXEMPLE.
Soit propofée l'équation x J — 3XX-4-5X — 4=0, dont
in fait qu'une des racines eft a-peu-pres = 1 , puifqu'en faifant
x = \,il en réfulte l'équation x J — 3XX4-5X—4—-—1.
Soit x es 1 -A-y, l'équation deviendra 1 — zy — y'==o,
Sc pour trouver la plus petite racine , formons une ferie
recurrente dont l'échelle de relation foit 2,0, 4- 1, Sc
qui fera
Sí
3
DANS LA RECHERCHE DES RACINES DES ÉQUAT. 275
I » 2 >4>9> 10,44, 97» aI 4* 47 z .» ro 4 r » 1296,Scc.
Par conféquent la plus petite racine dey fera. á-peu-pies
T^f = °*453397; -e forte que x= 1,453397, valeur,
qu'il feroit bien diffícile d'avoir plus approchée par une autre
méthode.
3 54. Si une ferie recurrente quelconque devient á la fin
á trés-peu de chofe prés une progreífion géométrique , alors
la loi de la progreífion fera connoitre facilement l'équation ,
"jui aura pour racine le quotient, qui réfulte de la divifion
.'un terme par celui qui precede. Soient
P, Q, R, S,T,Scc.
des termes de la ferie recurrente déjá trés-éloignés de l'origine,
tels qu'ils fe confondent avec une progreífion géométrique,
Sc foit T = *S -A- ¿ R 4- yQ 4- fP, ou , foit
l'échelle de relation, «, C,y, s. Suppofons la valeur de la
fraclion —r = x, on aura -£- = x x; — — x i Sc -~- = **.
Ces quantités fubftituées dans l'équation precedente donneront
x 4 = ctx , 4-£x 1 4- >x4-

276 DE L'USAGE DES SERIES RECURRENTES , SCC.
Ramenons donc l'équation á cette fotme
x _ Z ? - H _ Í _ _ ^ V — Scc.
3 60 2520
formons-en une ferie recurrente, dont l'échelle de telation
eft infinie, favoir
- °> 3 O
Cette ferie recurrente fera
-6o->°>- 2J2Q
o Scc.
23 44
4» -r-t —~
if8i
60
2408
45
Scc.
, , v 1681 . 45 1681 . 3
O
n aura donc á-peu-pres ? = --^g-fc = 24o8 . 4
5043 —- 0,52356. Mais par le rapport connu de la circon­
S^
férence au diametre , on devroit avoir ^ = 1,5 2-,598 ; de
maniere que la racine trouvée différe de la véritable feulement
de Au refte, on a pu faire ufage de la mé-
i
100000
thode dans cette équation , parce que toutes fes racines
font réelles , Se que les autres ne laiíTent pas de diflerer
de la plus petite. Mais comme cette condition a rarement
lieu dans les équations infinies , il y aura peu de cas, eü
cette méthode puiífe étre employée pour les réfoudre.
C H A P I T R E XVIII.
Des Fradions continúes.
277
356. Aprés avoir traite aflez au long dans les Chapitres
précédents des feries infinies, Sc des produits compofés de
fadeurs infinis, il convient de diré un mot d'une troifieme
efpece de formules infinies, que donnent les divifions ou
fradions continúes. Car quoique cette partie ait été peu
cultivée jufqu'a préfent, je ne doute pas que l'ufage n'en
devienne tres-grand dans l'analyfe infinitéfimale. Quelques
eflais que j'en ai faits m'autorifent á le croire. Cette théorie
ne laifléra pas d'érre particulierement d'un aflez grand fecours
pour l'Arithmétique Sc l'Algébre ordinaire; c'eft ce que je
me propofé d'expofer Sc d'expliquer en peu de mots dans
ce Chapitre.
357. J'appelle fraólion continué une fradion dont le dénominateur
eft compofé d'un nombre entier joint á une fradion,
qui a elle-méme pour dénominateur un entier Sc une fradion
formée de la méme maniere que les précédenres, ainfi de
fuire, foit qu'il y ait un nombre infini de fradions, foit
qu'il n'y en ait qu'un nombre fini.
Teiles font les exprelfions fuivantes: -
é + ¡> 4-
d +
/•4-&C.
ou "•
b 4- c +
t • /"•*- &c.
Dans la premiere , les numérateurs de toutes les fradions
font l'unité ; c'eft celle que nous confidérerons principale-
J
sF I
il..

I
f
ü
278 • D E S F R A C T I O N S
ment; Sc dans la feconde, les numérateurs font des nombres
quelconques.
358. Aprés avoir ainfi donné la forme des fradions
continúes, voyons d'abord comment on peut obtenir leur
valeur fous la forme ordinaire. Pour faciliter cette recherche,
allons, par degres, Sc interrompons la fuite : d'abord á la
premiere, enfuite á la feconde, puis á la troifieme fradion;
cela pofé, il eft clair qu'on aura
•*4-
«4-
i 4-
c 4-
1
B3
ab 4- I
ebc + a 4- c
be+- 1
abcd-i-ab 4- td-f-cd4- 1
bcd b
d 4- bcde -t-be -i-dc+bc+i
&c
abcde -+- abe-)- ade^-cde-i-abc-i-a A- c-t-a-
359. Quoique dans ces fradions ordinaires, on ne reconnoiíle
pas facilement la loi fuivant laquelle le numérateur
Sc le dénominateur font compofés des lettres a 3 b3 c3 d, Scc.
cependant, avec un peu d'attention, on pourra découvrir
comment chaqué fradion derive des precedentes. En effet,
chaqué numérateur eft la fomme du dernier numérateur
multiplie par une nouvelle lettre , Sc de Tavant-dernier
numérateur fimple ; Sc la méme loi s'obferve pour les dénominateurs.
Ayant donc écrit par ordre les lettres aJbJc3d> Scc.
C O N T I N Ú E S . 2791
on en formera facilement les fraólions, de cette maniere :
a b c d e
1 a ab-hi abc-i-a+e abed 4- ab 4- ad 4- cd -4- 1
o ' 1 ' be­ bed
Chaqué numérateur fe trouve en multipliant le dernier
par la lettre qui eft écrite au - deífus de celui - ci, Sc en
ajoutant au produit l'avant-dernier. II en eft de méme des
dénominateurs ; mais pour qu'il n'y air pas d'interruption
dans la loi, j'ai écrit á la tete la fraólion ~, qui, quoiqu'elle
ne derive pas de la fradion continué , eft propre pourtant á
rendre plus fenfible la loi de la progrefiion. Au refte, chaqué
fradion exprime la valeur de la fradion continué en fuppofant
qu'elle ait été continuée inclulivement jufqu'a la lettre écrite
au-delTus du terme qui precede.
360. On obtiendra femblablement pour l'autre formule des
fradions continúes , favoir :
« +
e
c 4-
e
- 7-, áteles
réfultats fuivants, felón le nombre de termes qu'on
prendra,
* 4-
' + -+_L
c
at -4-
b4- d
&c.
a
a b 4- at
abe 4-C..4- «c
ulcd + Gad+tícd-t-yab-^iiy
bed 4- Sd4- yb
Chacune de ces fradions fe trouvera au moyen des deux

•I
I 'i
1
2S0 D E S F R A C T I O N S
ptécédentes , comme on le voit ici:
a
1
o
ab- abe 4- «7

I
1
'?:'
I •
282 D E S F R A C T I O N S
on aura , par ce qui precede
__LÍ_
i(íc4-C)
» 6 #
et fe -y o
(¿c-4- S) (aW-t- e¿4- y¿)
(bcd 4- £¿ 4- y¿) (_bcde -t- Qde 4- y¿e 4- ¿be 4- W)
4- &c.
D'oüil fuit que fi les numérateurs «, f, 7, ainfi de fuite.
c u
283
trou-
l66. Pour mettre cette loi plus pn évidence, fuppofons
P = b
Q = be -A- C
R =bcd-A-Qd-^yb
S = bcde-A- £de~A'ybe-A« S bc4-¿,.s
Scc.
Et par conféquent, en introduifant ces nouvelles lettres,
on aura
/ ce
X ==—- — PQ 4-
a o y
-QR
*Gyfr
R S
- - Scc.
S T
3 67. Ainfi, puifque nous fuppofons
x = A— S + C- D + £ - F 4-.Scc.
A =
B _
A ~
£ —
nous aurons
p
Q
vP
R
*= AP
~-
B Q
o —— —
y s=
A
CR
BP
i N ij
/
*»

U'J
.84 D E S F R A C T I O N S
D
C
E
D
S
( R
> *~ CQ_
ET
DR
SCC. &CC
Et en prenant les diíTérences
A D B= * a pTi
PQ
Q
-4/»C
Q
2? ABcd1[ , Sc _ = 1-7--£)CB_c>
(5-C) (C-D)s=BCde-£- , Sc -| = p^fe~T
(C—D) (£> — £) =- CP Í/4- , & 4" == ^c-x>)i-»-í^
Scc.
Ainfi,puifqueP = ¿,e = ^-^B' Íls ' enfuÍt( l Ue
« = _4.5
C —:
Bbc
A — B
A Ccd
(A-B) (B-C)
BD de
/ = (B-C) (C-D)
C E c f
• —' 'C-D) (D-JE)
Scc.
C O N T I N Ú E S . 285
368. Les valeurs des numérateurs *,*£, y,

i
I
•
286 D E S F R A C T I O N S
C*dc m D*ef
(C—B)\D—C) * ' (D — C)(E—D) ' &C *
Faifons donc
b • = A; * —= 1
c=B-A; C = AA
d=C-B; & P« conféquent y = B B
e == D—C; i B- CC
Sc la fradion continué fera
x
1
Scc.
A A
- BB
B—A 4-
C—B 4-
CC
_)-C+ &c.
EXEMPLE I.
II s'agit de transformer en fradion continué la ferie infinie
I h— H Scc.
* 3 4 ~^ 5
Done .4=1,5 = 2; C= 3 ; Z>=4, Scc ; Sc comme la
valeur de la ferie propofée = / 2 , on aura
/z _ - _ 1
1 4- 1 4- 1(5
«y
1 4- &c.
EXEMPLE II.
Qu'il s'agiffe de transformer la ferie infinie — wm
C O N T I N Ú E S .
287
»-- ;• —- j i * -_- &c.

I
I
I
•
k
288 D E S F R A C T I O N S
d'oü l'on conclud, en renverfant,
1 mm
(m-4-n)*
—' (n+s-) 1
" -t («4-3»)»
EXEMPLE IV.
Nous avons trouve auparavant (art. 178) l'équation
r. cof.
n. fin.
m ir
n.
1
m
&c;
I I
n_-$-m zn—m 4- m + n -&&
Ainfi, nous aurons , pour former la fradion continué ,
A=m; B — # — m; Cs=»n-A-m; D=aznr-m i 8cc; Sc
conféquemment
X
„-. cty.
B. J&».
7KT
n
/H7T
n
—
1
» 4-
m m
n — xm 4- («-«)»
2m
1 I I
.45 — ^£C ^BC£>
+
on aura les égalités fuivantes :
(«4-«y
« — 27» 4-,
(an —m)*
s»¡4
AB CDE
(an + r/i)*
-&c
b ' be Bcd Cde
* " 7 '
C
^ B-i »>' — "(*_i) (C-i; '•>*— (C-i)(D-i)l
, EiC scc
- (¿>-o (£-0 '
n- 2CT4-&C.
370. S'il entre des fadeurs continus dans la formarion
de la ferie propofée; qu'on ait, par exemple,
Soit
/
Soit done
0 = JI : »
C =B _ —
«f- c —
e BB Z>
/-_?
il s'enfuivra que
CONTINÚES. 289
u.
1;
w
1;
1;
Sc partant
Scc.
* «=s 1
6 = „
7- = B
t = C
e = Z)
B
Í - I +
C-i 4-
D — i 4-
£ — 1 4- &c
EXEMPLE I.
En. fuppofant que e repréfente le nombre dont le logarithme
= 1; nous avons trouve auparavant
1 1 1
e 1 1 . 2
I I
t I
I.2.3
OU
f. !
1 . 2 . 3
I
1.2,3.4
1 . 2 . 3 . 4
-&c
4- Scc.
Cette ferie fera changée en fradion continué, en faifant
A== 1 ; B= 2; C=3 ; JDB=4, SCC¿ SC par conféquent
1 1
" T:: ~+T+Í 3
4 •+" — ___ 4
EULER , Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. 2 O
/
•

I
290 ' D E S F R A C T I O N S
ou bien, en renverfant, Sc formant par lá une fuite par*
faitement fymmétrique des ,fon origine ,
* — 1 1 4— 3
2 4. — 4 - ---
4 + T 4- &c.
E X E M P L E II.
Nous avons auífi trouve que le cofinus d'un are fuppofé
égal au rayón =1 4- -.— %%- — a . la . JO **?•
! T — Scc.
a . ia . 30 . 56
Si done onfait A=si,B==z;C=iz; £>B= 3O;£B= 56, Scc.
Sc le cofinus de l'arc égal au rayón B=X, on aura
* —
1
— 1
I -H-i-
1 4-
" 4- — 30
29 + -7T
55 4- &c
OU
1 4. — ia
11 4. 30
a > + ir + &c.
371. Suppofons á préfent une ferie combinée avec une
progreífion géométrique, par exemple ,
l =
x = A — B^A-C^ — D^-A-E^ — F^ + Scc.
dans ce cas
Bbci
ACcdi
Al> ;Z— A__Bl> y — (A_BljÍB— Cx)
BDdtr CEtfx
(B-cO{C-no * ( C — Di) (D-Ei)
; Scc.
C O N T I N Ú E S .
Suppofons
b _* 1 _,
"~" í Se par conféquent

I
m
. i
•9
2J)2 D E S F R A C T I O N S
373. Suppofons enfin que la ferie propofée foit de cette
forme
ABy ABCy* ________
X = LMNOi>
A
4- Scc.
L -LMl ' LMNC
nous aurons les équations qui fuivent :
Ab „
tí
Bbcy
Mi — By
y =
CMcdyi
(Mi-By) (.Ni—Cy)
DNdeyt
y
{Ni-Cy) (Oi-Dy) — (Oí-
Scc.
E O tfy\
Dy) (Pi- Ey)
Faifons donc, pour trouver des nombres entiers
b = LK;
c ¡«a M -( — B y;
¿- N\ - Cy;
e = Oí — Dy;
Ey;
Sec.
La ferie propofée deviendra
x
¿1 +
d'oü
C
y

294 D E S
De plus, puifque
*
•^T-
i
V
I
a.a.?
i
2.2.J
on aura auífi
F R A C T I O N
2.5.12
I
5.1a
4-
1.5 1. 12 5 . 29
2 .12 . 29
1
2.12 . 29
4- &c.
&c.
12 . 70 &c
Et quoique ces feries foient tres-convergentes , leur valeur
cependant ne peut pas fe conclure de leur forme.
376. Au relie , pour ces fortes de fradions continúes,
dans lefquelles les dénominateurs reílent les mémes ,
ou reviennent périodiquement dans le méme ordre, de
maniere qu'apfés avoir oté quelques termes á la fradion elle
demeure encoré égale a elle-méme, il y a un moyen facile
d'en avoir la fomme. En effet , puifque dans l'exemple
propofé,
x =
2 4
on aura x = ~TT > & P? r conféquent x x 4- 2 x = 1 Si
x^ri=y z,de forte que la valeur de la fradion continué
s—j/a i.Or, les fradions que nous avons déduires auparavant
de la fradion continué, approchent toujours de
plus en plus de cette valeur , Se méme fi rapidement,
qu'on trouveroit difficilement un moyen pjus expéditif
d'obtenir la valeur approchée de cette quantité.incommenfurable
en nombres rationnels. En eíTet, f/*2 — 1 difiere íi
peu de f£, que l'erreur eft infenfible, puifqu'en extrayant
la racine quarrée on trouvera
&c;
|/"2 —1=0,41421356238,
C O N T I N Ú E S . 2.9J
tandis que
-^ = 0,41428571428 ,
de forte que l'erreur n'eft que dans les cent milliemes.
377. Si les fradions continúes fourniíTent, comme nous
venons de le voir, un moyen facile d'avoir par approximation
V z , elles ferviront de méme á trouver les racines
approchées des autres nombres. Pour cet effet, foit
*-=_L_ ,
.r __. I
« +
4
on aura x =
*
Sc xx
a 4- &c;
ax = 1 d' OU X
T a
• ( 1 4- ia«) = *(''4.4)-_,. Cette frad
ion
continué fervira donc á trouver la valeur de la racine
quarrée du nombre aaA-

I
I
É
I
\
ip6 D E S F R A C T I O N S
Remarquez que l'approximation eft d'autant plus prompte,
que le nombre a eft plus grand; ainfi, dans le dernier
exemple, K5 = í ^ > de maniere ^ Xkkm ^ ^
oas He í , 5473 étant le dénominateur de la fraólion
r rt 129a. 5473 .,
fuivante -f^f-p
378. On ne peut avoir de cette maniere que les racines
des nombres qui font la fomme de deux quarrés. Mais,
pour étendre cette méthode d'approximation aux auttes
nombres , fuppofons
a 4.
nous aurons
a 4 4
b 4. ,
«4
b
b 4- *
ab 4- 1 4" *
Sc
Scc.
— , Sc par conféquent
¿x -*fr4-V(* t *'4-4'*¿).
x = — -J_±\r(—bb + -) = %a
On pourra donc trouver á préfent les racines de tous les
nombres. Soit, fSaf exemple, a = z ; b = 7 , on aura
-144-V14.'8 — 7 -*- 3^7. £t j a valeur de x fera
x=
exprimée á-peu-prés par les fraólions fuivantes,
7» 7 7
0 1 7 *y , _Ü_L, ^?- , &c.
#n aura donc á-peu-pres, 7— J10 » **• r '
7«5
C O N T I N Ú E S . 297
•7-fr = 2,6457516; or on a véritablement j/"7 =B
a >^4575 I 3i, de maniere que l'erreur n'eft pas de
10000000
379. Allons plus loin, 8c fuppofons
b 4. — t
nous en conclurons
X B= a 4. 1.
! + ~ 4 . I
a, 4 „
t + — ,
c H
Í4-*
ix4-¿c4-i
a 4- &c.
>x 4- ic4- 1
(ab+i)x-t- abe -$-a-t-c
done (

I
298 D E S F R A C T I O N S
de cette maniere. Soit propofée l'équation
xx =
Sc en procédant d'une maniere femblable, on trouvera par
une fraólion continué infinie
, b
x = a 4- — i
* H b
a +
a 4- &c
expreflion qui ne peut étre employée fi commodément,
attendu que les numérateurs b ne font pas égaux á l'unité.
381. Pour montrer á préfent l'ufage fies fradions continúes
en Arithmétique , remarquons d'abord que toute fradion
ordinaire peut étre convertíe en une fradion continué. En
effet, foit propofée la fradion x = -=-, dans laquelle
A foit> B; divifez A parí?, Sc foit le quotient = a Sc
le refte C,- divifez par le refte C le divifeur précedent B ,
foit b, le quotient Sc D le refte, par lequel il faudra encoré
divifer le refte, qui precede; continuez ainfi jufqu'a la fin ce
procede , qui eft celui qu'on fuivroit pour trouver le plus
grand commun divifeur de A Sc de B comme on le voit ici:
B) A(a
C)B(b
D) C(c
E)D'd
F Scc.
C O N T I N Ú E S .
vous ^urez par la nature de la divifion;
A = * B 4- C;
B =bC 4- D;
, C = cD 4- É ;
D — dE 4- F¡
Scc
Se partant
A
B
B
c
c
~D
= « 4- -y,
- A _ _
= c +
D ' °
E . D
D — J . F • E
-E- = J ^-E'- D-
Sec. Scc.
= S
e 4-
1
¿4-
D
C
D
F
299
Concluons de lá , en fubftituant dans les premieres expreflions
les valeurs qui font a la fuite
A_
B
C_
B T+P_
c 4. D
par conféquent, en exprimant x par les feuls quotients
a, b,c,d, Scc, comme il fuit,
1
T + 1
' c
I
T +
EXEMPLE l,
- ^ + f c .
Soit propofée la fradion ^f-, qu'on changera de la
maniere fuivante en une fradion continué , dont tous les
numérateurs feront égaux ál'unité. Procedens en conféquence
comme s'il étoit queftion de trouver le plus grand commun
divifeur des nombres 59 Sc 1461.
1 P ij
Sc
~

i
300 D E S F R A C T I O N S
59)1461(24
118
281
45)59Ci
45
H)45(3
42
3) J 4(4
12
2
o 2(2
2
On fonflera donc avec les quotients l'équation
o
59 *+Tí' «+- + J. v
EXEMPLE II.
Les fradions decimales pourront auífi étre transformées
de la méme maniere; car foit propofée
Vz = 1,41421356 =
141421356
100000000
ce qui nous conduit aux opérations fuivantes :
C O N T I N Ú E S . 301
I0O00000O
828427I2
17157288
14213560
2943728
2438648
505080
418328
141421356
I00000000
41421356
34314576
7106780
5887456
1219324
1010160
Scc. 209164
II eft vifible á préfent, d'aprés ce calcul, que tous les
dénominateurs font égaux á 2 Sc par conféquent y 2 =
1 4-
* 4-
*.-*•--__ • ' 1
2 * —4- &c.
Réfultat dont la raifon fe déduit de ce que nous avons vu
ci-deíTus.
EXEMPLE III.
Le nombre e dont le logarithme eft=_'i,mérite une attention
particuliere ; ce nombre e = 2,718281828459, d'ou
réfulte l'équation e — 1 =BO,8591409 142295. Cette
fradion décimale , traitée comme la precedente , donnera
les quotients fuivants:
1
•

I
I
301 D E S F R A C T I O N S
8591409142295
8451545146224
139863996071
139311557916
5)'438i55
550224488
IOOOOOOOOOGOOO
8^91409142295
1408590857704
1398639960710
9950896994
9925886790
1213667 25010204
Scc
Et íi, ayant pris une valeur plus exade de e, on continué
le calcul de la méme maniere, on obtiendra les quorienti
1,6, 10, 14, 18, 22, 26, jo, 34, Scc.
qui forment tous, excepté le premier , une progreífion
arithmétique, d'oii s'enfuit évidemment l'équation
1 4-
&c.
( yy ) Réfultat dont la raifon peut fe donner par le calcul infinité
fim al.
382. Puis donc qu'il eft poííible de tirer de ces fortes
d'expreílions des fradions, qui menent trés-promptement i
un réfulrat exad , cette méthode pourra étre employée pour
changer les fradions decimales en fradions ordinaires, qui
en différent trés-peu. De plus, fi ón propofé une fradion
dont le numérateur Sc le dénominateur foient des nombres
trés-grands, on pourra trouver des fradions exprimées par
de moindres termes, lefquelles , fans étre entierement égales
a la propofée , en différeront cependant le moins poífible. On
peut par lá réfoudre facilement le probléme autrefois traite
par WALLIS¡, qui confifte á trouver les fradions compofées
10
14
12
I
6
10
•4
iS
22
C O N T I N Ú E S . 303
de moindres termes , qui approchent tellement de la valeur
d'une fradion exprimée par de plus grands termes. qu'il
ne foit pas poííible d'en approcher davantage fans employer
de plus grands nombres. Car les fradions obrenues par notre
méthode donnent la valeur de la fradion continué tellement
approchée, qu'on tenteroit én vain d'en avoir une plus
exade íáns employer des termes plus grands.
EXEMPLE I.
Qu'il foit queftion d'avoir le rapport du diametre á la
circonférence en nombres fi petits, qu'il ne foit pas poííible
de l'avoir plus exadement, lans employer des nombres plus
grands. Développons, en continuant de divifer fuivant la
méthode que nous venons d'expofer, la fradion décimale
connue
3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 , Scc.
nous troüverons les quotients fuivants
*5 291 Scc.
qui formeront les fradions ci-aprés :
1
o í 1 »
I t
7 » 106 y 113 3 J 1 o 1 > **-*-*
La feconde fradion fait déjá voir que le diámetro eft á la
citconférence comme 1 : 3 ; Sc certainement il n'eft pas
poífible d'avoir ce rapport plus approché avec des nombres
qui ne foient pas plus grands. La troifieme fradion donne
le rapport d'Arckimede, 7 : 22;

304 DES FRACTIONS CONTINÚES.
moyenne. Comme cette année eft de 365i 5 h 48' 55.", elle
renfermera en fradion 365 f-££'-¿ jours. II fuffit done de développer
cette fradion, ce qui donnera les quotients fuivants:
4> 7 » i>
D'oii fe tirent les fradions
6, 1, i, 2, 4
1 ss -#¿ I-lJL
1» 4> »p» 3 » > a»7>«¿o» 747» Scc.
Ainfi, les heures avec les minutes Sc les fecondes, qui
furpaíTent 365 jours, font environ un jour en quarré ans;
c'eft lá l'origine du calendríer Julien 3 ou plus exadement,
33 ans donnent 8 jours, ou 747 ans 18r jours; ce qui
fait en 400 ans une augmentation de 97 jours. Auífi, tandis
que dans cet íntervalle le calendrier Julien intercale 100
jours, le Grégorien change-t-il dans la durée de quatre
íiécles ttois années biííéxtiles en années communes.
FIN DU TOME PREMIER.
NOTES
NOTES ET ÉCLAIRCISSEMENS
m
Sur quelques endroits du premier livre de tlntroductiom
a tAnalyfe Infinitéfimale,
CHAPITRE I,
(a) AisT. 2 5. L'équation y 1 = a y 14- b £*4- c donne y 1
y--í {'-c Se * = y l —bf—c
Or , quelles que foient les
ai qui donne y - - bí^c_yí OU x ^ ^
Se á toutes celles qui feront dans les cas énoncés tant dans
cet arricie que dans le précedent.
C 1 A P i T R E
I I.
(b) ART. 29. On fait qu'une équation d'un degré
quelconque, a autant de racines foit réelles foit imaginaires,
qu'il y a d'unités dans Je plus grand expofant de l'inconnue.
Defcartes a donné une regle pour trouver le nombre des
racines pofitives Sc celui des tacines négatives, Jorfqu'elles
íont toutes réelles. La regle que ce célebre Géomérre avoit
d linee fans démonftration , a été démontrée depuis par
l'abbé de Gua, dans les Mémoires de l'Académie des Üciences
de Paris, année 1741, Se enfuite par Segner, dans les Mémoires
de l'Académie de Berlín, année 1756. Comme tout
le monde n'eft pas á portee de confulter ces précieufes
Colledions , je vais faire connoitre en peu de mots la
démonftfation de Segner ; je la donne de préférence á
EULER, Introducción a l'Anal, infin. Tome I. 2Q
' I
E
•

306 N O T
celle de l'abbé de Gua, parce qu'elle eft plus fimple Sc plus
direde.
Si une équation tou^e ordonnée ne manque d'aucun terme,
ou, en cas qu'elle en manque, fi l'on concoit écrit en fa
lace + o, il eft évident qu'il y aura autant de racines dans
F
équation qu'on pourra former de combinaifons de deux
Iignes, en joignant chacun d'eux á celui qui le fuit immédiatement.
Ainfi dans l'équation x s -+-ax*— bx'— ÍX*4>
dx 4- e = o, il y a cinq racines Sc autant de combinaifons
diftindes de deux fignes pris coníécutivement; íavoir 4—1->
4 , — , h, 4- 4-, en elfet cette équation a fix termes ;
Sc en general une équation du degré m a m 4- i termes,,
ce qui donne m combinaifons de deux fignes, en les prenant
confécutivement, comme nous venons de le faire..
Mais dans quelquordre que fe trouvent les fignes d'une
équation, íi on la multiplie par un fadeur limpie, qui contienne
une .racine négarive, parx4-jp, par exemple,
x m 4- a x m - ¡ — bx m - % — cx" 1 -' 4-dx m ~* . . . .. =Fk
x 4- p
'-¡;x m + l -i-ax m — bx m -'— cx m ~ x -A-dx m ~K . . +kx (A)
-A-px m -hapx nt - , ~-bpx m - , --cpx rn ->A-dpx m -'\..A : ty (B)
II eft vifible, par la nature méme de la multipiication,
que les deux fuites (A) Sc (B) ont les memes ligues , Sc
que les termes de la feconde doivent étre plus avances d'un
rang vers la droite, de forte que le figne d'un terme quelconque
de la fuite (B) eft le méme que celui du terme, qui
precede d'un rang dans la ferie (A); mais fi on multiplie
la méme équation ou toute autre par un fadeur, qui;
contienne une racine poíitive, tel que x — q,
x" i -hax m - l -A-bx m - , —cx Tn - ¡ —dx m -*. . . . +¿:
x —q
4-x m+ '4-dx*4-bx"'- 1 — cx m ~* — dx" 1 -'. ...^kx- (A),
—qx m —dqx m - y —bqx m -*-*rcqx m -'-z-dqx' r -*...±kq (B)
Les fignes de la ferie (B) feront diíTérents des fignes de
la ferie (A), enforte. que íi on prend un figne quelconque
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 307
de la ferie (B), il difTérera du figne plus avancé d'un rang
dans la ferie" (A). II eft facile de voir que Jes fignes du produit
dépendent de ceux des deux feries (A) Se (B) Sc du
rapport qu'il v a entre les grandeurs des termes correfpondanrs,
qui font afTedés de ligues contraires. D'abord il eft clair que le
premier tetme du produit aura le méme ligne que le premier
terme de la férie(^4), Sc que cette méme ferie (A) continuera
de fournir les fignes. du produit jufqu'a ce qu'on foit
parvenú á un terme au-deíTous duquel s'en trouve un, qui
ayant un figne contraire foit plus grand dans la ferie (B);
aprés quoi, JaifTant la ferie (A), on doit prendre la fuite
des fignes de la ferie (B), jufqu'a te qu'on revienne de
nouveau á un terme au-deíTus duquel sen trouve un plus
grand avec le figne centraire dans la ferie (A). On écrira
enfuite Je figne de ce terme fupérieur, au lieu de celui de
Tinférieur, Sc les fignes fuivanrs de la méme ferie, jufqu á
ce qu'on foit obligé de repaíTer á la ferie inférieure , Se ainfi
de fuite altemativement; de maniere pourtant qu'on s'arréte
á la fin á la ferie (B), donr le dernier terme n'en ayant aucun
au-deíTus de lui, dans la ferie (A), donnera néceflairement
un figne femblable ácelui, dont il eftaíTedé, pour le dernier
terme du produir. 11 íuit delá que pour avoir les fignes da
produit, on doit paíTer au moins une fois de la ferie (A)
a la ferie (B), Se quel que foir le nombre de ees paífages
fucceífifs de l'une á l'aurre, le nombre des retours de (B)
á (A) fera toujours moindre d'une unité que le nombre des
paífages de (A) a ( B)
Si on fait attention á préfent que lorfque le mulriplicateur
renferme une racine négative, on a, á-chaqué fois qu'on
pafle de la ferie (A) a. la ferie (B), une permanence de plus
dans le produir; puifqu'on pafle néceflairement une fois de plus
de la ferie (A) á la ferie (B), qu'on ne revient de la ferie (B)
á la ferie (A), nous devons en conclure, fans nous embarraíTer
de ce qui arrive á chaqué retour de. (B) á (A), que le
nombre des permanences eft augmenté au moins d'une unité.
De méme, dans le fecond cas,•c'eft-á-dire, lorfque le multi-
*Qij

: : ¡
I
3c8 N O T E S
plicateur renferme une racine pofitive; puifque chaqué paf*
fage de la ferie (A) á la ferie (B) donne dans le produit une
variation de plus, Sc que le nombre des paífages de la ferie
(A) a la ferie (B) furpafíedune unité le nombre des retours
de la ferie (B) á la ferie (A), nous fommes également en
droit d'en conclure qu'il y aura dans le produit au moins
une variation de plus que dans le multiplicando
Ainfi, comme une équation d'un degré quelconque, peut étre
regardée comme le réfultat de la multipiication d'autant de
fadeurs binomes fimples, qu'il y a d'unités dans le plus grand
expofant de l'inconnue, Sc que pour la multipiication quelconque
d'une équation , au moyen de laquelle une nouvelle
racine réelle négative y eft inttoduite, une permanence tout
au moins des fignes femblables 4- 4- ou eft ajoutée au
nombre de celles qui fe trouvent dans l'équation multipliée,
le nombre de ces permanences dans une équation quelconque
ne feta pas moindre que le nombre de fes racines
négatives. Par la méme raifon, le nombre des variations des
fignes contraires H ou h, ne pourra pas non plus étre
moindre que le nombre des racines réelles pofitives d'une
équation quelconque. C'eft pourquoi fi dans une équatioQ
tous les tetmes font ptécédés du figne 4- ou du figne —,,
aucune racine réelle de l'équation ne fera pofitive ; car s'il
y en avoit feulement une , il fe trouveroit au moins une
variation de fignes. De méme auífi, fi dans une équation
tous les termes ont fucceífivement des fignes difTemblables y
elle n'aura point de racine réelle négative, puifque fi elle en
avoit une feule , on y verroit au moins une permanence de
fignes. Concluons donc qu'en general dans route équation
dont toutes les racines font réelles, le nombre des variations
de fignes 4- •— SC h eft égal au nombre de fes
racines pofitives, Sc le nombre des permanences 4—h Sc
. égal au nombre des racines négatives de la méme
équation. En effet, foient n le nombre des racines négatives Se
N le nombre des permanences -+- 4- Sc —• — de cette équation
; foient m le nombre de fes racines pofitives Sc Ai le nombre
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 309
des variations 4 Sc h; on auta n 4- m — N-A- M;
or N ne peut pas étre moindre que n ; fi done on fuppofé
N>n, on aura M) &c - - M

ni.
m
510 N O T E S
pourra s'aíTurer fans peine que le produit de ces deux fadeurs
ne peut étre réel, qu'aurant que m —- p ; n = — q;k=rt
Sc /=-• — s ; ce qu'on trouvera, en égalant féparément a zéro
la fomme des coéfficients imaginaires de chaqué puiílance
de \.
fe) ART. 39. Lorfqu'il s'agit de décompofer une foncTion
fradionnaire proprement dite, dont le dénominateur ne
renferme que des fadeurs premiers entr'eux , en autant
de fradions partielles, qu'il y a de fadeurs dans ce dénominareur
, il eft vifible que la decompofition ne peut
s'effeduer que d'une maniere ; mais il en eft autrement
lorfque la fondion renferme un entier ; car alors on peut
fuppofer indiíTéremment que l'une quelconque des fradions
partielles réfultantes déla décompoíition contienne cet entier.
Si la fradion fuppofée irrédudible, ce qui eft toujours
permis , renfermoit dans fon dénominateur des fadeurs
égaux, tels que (p — q%) n Se qu'on l'égalat á la fomme des
fradions 4- 4- H . . • . . . 4- -. En
• P r~ ql s P ~¡Í' L .?~K , S
les réduifant á un dénominateur commun Sc égal á celui
de la fradion propofée, le numérateur de la fradion réfultante
auroit néceíTairement le fadeur¿> — q -£ commun avec
le dénominateur. Donc cette derniere fradion pourroit étre
réduite á une plus fimple expreflion, Se ne pourroit, par
conféquent, étre égale á la premiere, qui, par hypothéfé
eft irrédudible.
M
(f) ART. 46. Prenons au lieu de ¿7
M
(p-nrs
(Autant:
(p — qiYS)-h quantité - - - ou piutot (,_„)./•- >
égalons cette quantité á -¡—¿y "+" f~.-+• |< Done -? =
M±Hp — HYS __ ¿ __ B M-±k(p—9lys.-A$-(p-n)BS
(p-qiYS ~ (P-HIY P—¡I~ O-ft)* s 1 •
II eft clair qu'en divifant par p —-q •{ , Sí faifant % = p ,
on aura pour déterminera l'équation M_, AS=o,
ü le numérateur eat été fimplement —_ M.
comme
ET É C L A I R C I S S E M E N S .
CHAPITRE III.
311
(g) ART. 51. Soity = V f—p -A-q% —PVÜ- P° ur favoir
dans quel cas la valeur de y fera réelle ou imaginaire, j'obferve,
i°. que pour qu'elle foit réelle , la quantité — p -A- q-,
— r%%, qui eft fous le tadical, doit étre >o,our^ — q-.
4»" 1
•4pr
. Or, le premier membre étant le quarré d'une
quantité réelle eft néceíTairement pofitif. Donc á plus forte
raifon le fecond doit l'étre auífi. Donc q* doit étre>-40r.
-°. Pour que la valeur de y foit imaginaire, il faut que
- Z + í í - a t foit, Sc le fecond —
ttftl — b TU — et/t
_?~5
teq+r
«elle-ci:.
A{ m -A-Byf*7^
¿ fubftituant ces valeurs dans l'équation
*q—ftq + r a q — » q4- r
•By^i p -H Vy't
aq — Sq itq—yq
cyyx
____
«—c •A-Cy*x
(u-y)rt
m
P
4- Scc = ay »
Scc. elle fe changera en
SCC:
ay*-A-by^{\ c
y'\ •—c 4- Scc
D'ailleurs p, q Sc r font des nombres entiers, qu'on peut
méme fuppofer premiers entr'eux. Cela pofé, fi on faifoit
p = k (a — cj , á caufe de — —- —£->, on auroit q = hn,,
Sc pat conféquent r*=k (*m — Cm — *nf. Donc p, q Se r
auroient un fadeur commun k ; ce qui eft contre l'hypothefe»
•Ü
A

i
•1
i
•i
ii i
I
312 N O T E S
Done k == 1 ; doncp = * — C; q = n ; Sc r=**.m — Cm
— a.n.* Un raifonnement femblable aura lieu pour la feconde
r r . teq-r-r 0 ¡cq—i«f4-r
fuppofition -2— = m Sc — 2 — = n.
(i) AR.T. 54. Au lieu d'augmenter ou de diminuer l'une Sc
l'autre variable d'une conftante, il fuíflra d'augmenrer ou de
diminuer feulemenr l'une des variables y ou -( d'une quantité
quelconque, qu'on déterminera aprés la fub'íitution, en égalant
á zéro la fomme des termes conttants; ce qui eft
toujours permis, puifque la conftante eft arbitraire.
(k) ART. 55. Ces cas, Sc tous ceux oü la fomme des
expofants des variables de chaqué terme donne deux dimenfions
difTérentes, font renfermés dans la formule de l'Article
53 ; il n'y a qu'á fuppofer q=>p = n = * — 4*.
C H A P I T R E IV.
(1) ART. 66. Pout avoir en general l'expreflion du coéfficient
de r" dans la ferie, qui réfulte du développement de la
fradion(7_^;on fe rappellera que ^-^p =(i-^ n =ii4:
m-f-i . , IB 4-1 «4-2 , , flí-t-i m + " m-_J ,4,0, _
7mi-¡rm.--^-^m.-r.-j- x'-A-m.—_.—._ fA-Scc.
Donc le coéfficient d'un terme quelconque fera . . . .
*i.íí--+-i.*n4-a.«--f-3
1 . a . 3...m—1.m
m+n—i
«
B.W4-I.H¡+. 3.. ../n—i a.n-f ,m. i.....n+w—i
, n— 1 ,n
1 •
n-t-i.n-t-a.n4-3 ......n-f-m—I
3< ,.m- m—1
II eft aifé de conclure de-lá í'expreífion genérale du coéfficient
d'un terme de la féríe, qui provient de la fradion

\
314 N o
A 3 y=m.m—1.7»—z.x m ' 3 b 3 T E S
4- m.m-i.m—a.m-3. 3¿ ^m-4^4.
s 1. a. 3. 4-
A'y'^m.m—i.m—z.x m -'b'-A- m ' m - um -*' m -' i ' 60x m '«¿ 4
3-
J 1. a. 3. 4
A*y = m
Scc.
m-r- 1 . — — 2
Scc.
772 3 . X'"- 4 ¿*4- SCC.
Scc.
Scc.
On voit á préfent, fans aller plus loin, que la difTérence
m' dey eft une quantité conftante m.m — 1. — — 2 . . . .
' 2 . ib m . Donc la fuite a m 4- (a 4- ¿j m -A- (a-\- zb) M
._•_. /4-D^+&c.
—y 1 x Scc 4-Scc. Divifant pat y ; fuppofant enfuite ^ = o
Se faifant difparoítre les dénominateurs , on aura fym-A-Atym,
xA-B r y'm.x 1 -l-Ci/m.x 3 -l-D{/m.x*-A-Scc.c=a
\ A 4- 2 Bx 4- 3 Cx* •+• 4 Dx 3 4- 5 £x 4 4- &c.vn J_m
l -hAxA-zBx x -*-}Cx 3 -A-4Dx*-A-Scc.í UOaC *=*
:R ij

_•'•
3i6 N O T E S
Í /m . K __ "____ Vm.i/m—i. £.__ __y__) -yw.yffl^-I.y-a-^i,
fl =, C _^) a _^.^V.^-a.>-3, &^ DoQC ^xf" B
i +'Jm. *•+• .*•* •V"" 1 • x*+ ty/m -V*T , -^"-- > : x'4-Scc.
r i. a i, 2. 3
II eft inutile de faire obferver que la méme démonftration
fubíifteroit quand memefym feroit imaginaire, donc la formule
du binóme de Newton a toute la généralité qu'on puiíle
defirer.
(n) ART. 76. Sans recpurir expreíTément au Calcul difTérentiel,
voici comment on peut démontrer la loi de cette progreífion.
Soit, : x l . . A „ .„,„., =i+a4? + £r»
*? (l— al— Gl 1 —yl s — il*—&c.) m+ " . •> T-
4- C% 3 4- £) ;r+ -4- &c ; on aura par la méme raifon . . ,
( ^ H r ! t M W ) ' * r = , + _ ( W ) + S W +
C*( y + y)' 4- D (^4-j/) 4 4- Scc , quelque foit la valeur dey,
Faifons, pour abréger, Z = 1— a.x — e£— yx 3 — f^—Sec;
la premiere équation deviendra ---^ou Z"*"' = i 4-^-(4-
Z
_B ^* 4- C-j' 4- P *( 4 4- Scc, Sc la feconde équation , qui eft
la méme chofe que
1
• • • — • ' .
[1— *? — Gf— y?'—«*•{*—Scc—y(«4-aff4- 3 y í J 4-4

IIII _____r
1
31S N O T E S
regles ordinaires de l'Algébre les fix équations, qu'on trouvera.
Mais il fera plus commode de décompofer la quantité
#y x 4- by •{4-cxy 4- dx^4-exx -A- f\\ en deux fadeurs,
en la traitant comme une équation du fecond degré Sc regar-
Aanty, par exemple, comme l'inconnue; ce qui donnera les
' deux fadeurs^ -• -t-- "~ W--A

3 20 N O T E
dont il s'agit, fera donc =

312 N O T E S
ou „4-i5t + 3^l , + 4^t , ^5^l 4 ^ &c « z (i^
«+_. _L_ J 2— 4 ^r- 4- Scc. ^ ou bien ( en mettant á
i-t-C^ i-t-yr i4-ít /
la place de Z fa valeur , en développant les fradions en
feries , Sc ordonnant pat rapport á x) =
r a—S7+.4>?~«*l>+Slx" - '4fx
n ~ x 4- 4- A = o; la méme chofe auroit lieu á
i
'égard des coéfficients compares aux racines a, b, c,d,
Scc, de l'équation; Sc á 1 égard des puiíTances íemblabJes
des racines compatées aux coéfficients p,q,r,s, Scc. Je
remarque a préfent que a,b,c,d, Scc, défignant toujours
les racines de l'équation propofée, on pourra obrenir la
fomme des termes de la forme a m b m ',oua m b m ' c m ", ou
Scc, en fondion rationnelle des coéfficients de l'équation.
Cherchons d'abord la fomme des termes de la forme a m b m ';
je multiplie la fomme des puiíTances a m par la fomme des
puiíTances a""; le produit fera formé de la fomme des puif
fauces a m + m ',Scde la fomme des produirsde Ja forme a m b m/ .
On obriendra donc cette derniere fomme au moyen de
ccl^e des puiíTances , Sc par conféquent en fondion rationnelle
des coéfficients p,q,r,s,Scc, de l'équation.
Pour avoir la fomme des termes de la forme a m b m 'c m ",
je multiplie la fomme des termes a m b ml yar la fomme des
puiíTances a m "; Je produit fera compofé de trois parries,
favoir, i°. De Ja fomme des termes de la formeíZ m '¿ m+m ";
2°. De la fomme des termes de la forme a m b m '+ m "; 3 0 . De
h fomme des termes de la forme a m b m 'c m ''. On pourra donc
avoir cette derniere fomme en fondion rationnelle des coéfficients
de l'équation ; ainfi de fuite. 2S ij
•

I
3x4 N O T E S
Cela pofé , nous allons paífer á la démonftration annoncée
dans la note precedente.
Prenóns une équation du degré z'k, k étant un nombre
impair, Se fuppofons que fes différentes racines foient
a3b, c, Scc ; il eft clair que le nombre en fera z'k; Sc
que celui des fommes différentes, ou des produits diíTérents
qu'elles donneront en les prenant deux á deux fera
exprimé, d'aprés la théorie des combinaifons, par z'-'k(z l k-i}.
Par conféquent 1 équation, qui aura pour racines aA-b A-m a b,
m étant un nombre quelconque, fera du degré 2' ' k, k' étanc
un nombre impair. De plus, les coéfficients de cette nouvelle
équation feront rationnels, puifqu'il n'entrera dans leur
formarion que des puiíTances des racines a, b, c, Scc, Sc
des produits de la forme donnée ci-deflus; a m b m ', a m b m 'c n ", Scc ;.
lefquels font, comme nous l'avons vu, des fondions rationnelles
des coéfficients de l'équation primitiva
Si i —• 1, l'équation du degré k>, qui derive de la premiere,
fera d'un degré impair, Sc aura par conféquent au moins
une racine réelle ; Sc comme on peut fuppofer a «une
infinité de valeurs difTérentes, il y aura auíli une infinite
de fondions. de la forme a4- b 4- ma b qui auront des valeurs
réelles ; Se parmi ces fondions, il sen trouvera néceflairement
qui renfermeront les mémes racines de la propofée
Suppofons a Sc b ces racines, a-A-b->rmab Sea-A-b -A-m a b
deux fondions, dont les valeurs foient réelles.; leur diítérence
rm _ ri) ab fera auíli réelle. Donc abSe a-A-b feront féparément
des quantités réelles. Donc, dans ce cas, la propofée
aura un fadeur réel du fecond degré x x — (a-A- b)
Je dis á préfent qu'en general la propofée. aura nn facteut
réel du fecond degré, fi toute équation du degre 2' '/?
a un facleur réel du fecond degré. En effet, on fait que les
racines imaginaires d'une équation du fecond degré íont de
la forme tt±C]f—i,Scde plus, que de que que. maniere
qu'on combine des quantités de cette forme par les opérations
ordinaires de l'Algébre, on arrive toujours ádes réfultats ele
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 325
la méme forme: d'ailleurs on en peut voir la démonftration
ci-deffous. Donc on aura, dans le cas préfent, une infinité
de fondions a-A-b 4- mab, dont la valeut eft de Ja forme
g-A^fy— 1. On prouvera en raifonnant comme ci-deflus,
qu'il y a deux racines a Se b teiles, que a-A-b Se ab foient
de la méme fotme. Le fadeur x 1 —(aArb) x 4- ab prend
alors la forme x*4- *oc + .+ V— 1 . (a! x 4- CJ, ou xMeeXA-C—K—
1 (.'x + íj. Donc l'équation propofée fera
divifible ou par x*4-ax4-£-+- V— 1 (*'x A- &J, ou par
x*4- a.x 4-É — \f—1 (*'x-A- d'J. Mais comme une équation
divifible pat l'un de ces fadeurs l'eft auíli néceíTairement par
l'autre ; Sc que leur produit eft un fadeur réel du quatrieme
degré, qui, comme on fait, eft toujours réfoluble en deux
fadeurs réels du fecond degré, il s'enfuit que la propofée
eft décompofable en deux fadeurs réels du fecond degré,
du moins s'ils n'ont point de divifeut commun.
Si les deux fadeurs précédents avoient un divifeur commun
, il ne pourroit etre que »'x 4- £', puifqu'il devroit
divifer leur difTérence; mais aprés la divifiorí le quotient
feroit une fondion d'un degré impair, qui auroit par conféquent
un fadeur fimple réel. Donc la fondion propofée
auroit encoré dans ce dernier cas un fadeur réel du fecond
degré, qui feroit le réfultat du produit de ces deux facleurs
du premier.
Ainfi toute^ équation du degré z'k a un fadeur réel du
fecond degré, fi toute équation du degré z'—'k' a un tel
fadeur. De méme toute équation du degré 2'—' k' aura un
fadeur réel du fecond degré, fi toute équation du degté z r — *As tV
a auffi un fadeur réel du fecond degré. On peut

•Jl
I
•
¡I m
1
326 N O T E S
On voit en méme-temps, par ce qui precede , que les racines
imaginaires des équations.des degrés fupérieurs peuvent
étre ramenées á la forme A 4- Blf—i. Dalembert l'avoit
demontre dans les Mémoires de l'Académie de Berlín; Sc
fa démonftration s'étend aux autres quantités algébriques,
quelque foit leur compofition. En effet, il n'y a point de
difficu té pour les cas, oü les imaginaires fonr combinées
entr'elles par voie d'addition , de fouftradion, de multipiication
Sc de divifion. Car, i°. a 4- b V— 1 _ c -± g V— I
= ,,_f4.(¿±^/__.i_=_Í4.5y-i. 2 o . (a-\-bV— \)
tg-hagVac-hbcy/—l
(«4-V-OC'-jV'-O -¥bg—agV-i
o a-4-V—I
h 3 -c+gv-t
cas qui préfente plus de difficulté, Sc pour lequel le célebre
Géométre que je viens de citer a employé le calcul diíférentiel;
c'eft celui oü l'on auroit une puilTance imaginaire
de la forme (a-A-b V— 1 )B+h'-i_t En Voici une démonftration
qui ne fuppofé que íes principes expofés dans l'Introdudion
á l'Analyfe infinitéfimale.
Je fais (a-A-bV— i>+*v-.—„ 4- B •— 1; AScBétant
fuppofés des quantités réelles , qu'il s'agit de determiner. En
prenantde part Se d'autre les logarithmes, on aura l(A-A-BV-\)
*=*(g-A-hV—\)l(a-A-bV—i)> Or, l(A-A-B\f—\)
=>lA + l(l->r~V—\)
2A* 'í
-^•^ ^S-i+&c;gl(aA-b^-i)==g(laA-jlS-i
4-~— Íi^-I-^4--^v/-i4-Scc) SchV-i.
/(^¿/-OB^-^/a+^-i-l-^-,;,/-»
S-*-?^--*•**>
IA
ET É c L A I R . C I S S E M E N S.
317
2f* JB*
Done
£< „ ?Y_I-ÍV--I4.-
A V l ¡A" 1P4 "S*7».
** b * «, v t fb i>
J/— i — Sec=Mg(la
^__&c)4-^_,(f-^4-^--SCc)^^-i
n - - + Scc.) — h ( —,+.
Ang. Tang.^^g(la-A-\l(i-A-^))—k.Ang. Tang. I
+g»/- 1 (Ang. Tang.í) 4-¿K- 1 (la 4- ¿ l (1 4- £ )).*
Mais lorfque les deux membres d'une équation renferment
des quantités réelles Sc des quantités imaginaires, la fomme
des quantités réelles du premier membre eft égale á celle
des quantités réelles du fecond membre, Sc par conféquent
celle des quantités imaginaires eft auffi égale de part Sc d'autre.
Donc / p /r A i +£> =gll/"i¿+l¿ — h. Ang. Tang. -=glK~4¿-
— k. Ang. Tang. -Ie3 e étant le nombre dont le logarithme
hypetbolique = 1; Sc Ang. Tang. | = g(Ang.Tang. -\ 4-
h ly/s+b*; ou enfin A*-A- B x = (a 1 4-¿') f x e — *hA„g. Tang. L
*i 9
& A = Tan S- An i' (ff x An S- Tan g- ^•*'hlV*A*yi ce qui
donne évidemment des valeurs réelles pour A Sc pour B.
Done une quantité algébrique , compofée d'autant d'imaginaires
qu'on voudra , peut toujours étre ramenée á la
forme A 4- B V—1.
(x) ART. 168. On a, comme on le voit á I'article 181
l'équation --—.i.,—-L_ . _1 j-&c=— - •
* ir—trr 4«*—m 1 ~pn 1 . «* aw s zmn tang. *}
ce qui donne, en faifant m —- j ,

'-",,
I 'i
I
I
318 N O T E S
En réduifant chacune de ces fradions en feries, on aura
* __JL_H±- I--4--4--4- — 4- Scc.
• -14._L4.J-
1 1
I
9^ = ¿ ^ + ^^ +&C -
i - = A 4- -¿-i 4- Scc.
1
4'«" ~^ 4 4 _„•» «'
Scc.
&c. = Scc.
Faifant enfuite une fomme des termes de chaqué colonne,
& fuppofant, pour cet effet,
• 4_.IJ-Í4---74----4-SCC = „-»*
1 4 9 16 a5
&c.
I
"9*
l'équation deviendra -—
a si- i*
i a tang. -
B** C**____D«*
7Z+ /I 4 •Scc.
Soit á préfent - =
/*.
x pour faire difparoitre á la fois les
1
lettres „ Sc n, on aura- — -
*
^
finx — xcofx
ou —-^-
JV*_L.
^* 4-
I?x 4 4- Cx 6 4- #x 8 4- Scc, que pour abréger, je repréfenterai
par,. Ainfi S**&^^ ou s. finx=\finx -\xcofx.
Or , fin x = * x — C x' 4- y *' —

I
I,"
I
fr
I
330 N O T E S -
Sc enfin en écrivant b au lieu de 6* Se \/ b au lieu de b,
»4* 44/-.* 44-3 "•"* 04-* 94-* i = —b x * x , on aura - ^ j^r^T, - ^ = I^T> + 4""
—xb xb
94- *»
r¿ xJ si - 51J$»« "íí _r^i
e —e e —f
—»4TJ ^ cau -~ e «le a cofh.v\f—\ = e~ '-A-e 'Sede 2-/—* r.
A " ¿
ñnbvyJ- 1—=>«? *" —e . Done enfin en écrivant b pour i*,
«r V b — x^b
on aura-—., 4-^4-;^-*- -^4-Scc— ' _v¿ '_v¿aK*
—*
E T É C L A I R C I S S E M E N S . 33*
k'7ri^¿—-^. Ces réfultats, comme on voit, s'accordent
exadement avec ceux qu'Euler a donnés.
C H A P I T R E XI.
(\\) ART. 179. II ne faut qu'une légere attention pour voir
que la féríe ¿4-^4-¿4-^_4-8cc, peiit fe déduire de la
ferie--f-^-f.-_i__--f--ÍH-Scc, en retranchant celle-ci
de la ferie ¿ 4- ^ .+. ^.+. ^ 4- Scc.
CHAPITRE XII.
(aa) ART. 203. II ne faut pas croire que la méthode donnée
ici par Euler, foit toujours la plus commode Sc la plus expedita
ve. On arrivera plus promptement au but, en faifant dans
le premier exemple, **_,.= __t£j 4. £±£_-£r___;'
Apres avoir reduit les deux membres au meme dénominateur
Sc fait paífer tous les termes d'un méme cote , on égalera á
2éro, féparément, la fomme des coéfficients des mémes
puiíTances de x; ce qui donnera autant d'éqüations que
d'inconnues ; lefquelles on traitera fuivant les tegles ordinaires.
On pourroit femblablement faire dans le fecond
exemple(|^a^^^4-t-)-a^l4-a 4- ^ ^ J &c dans
le troifieme , , • + ' t+t ' „ = -^-_i- .+. J&8L.
Le calcul ieroit plus fimple Sc plus facile. II en fera de
méme des autres cas, oü le nombre des indéterminées ne
fera pas trop grand. Cette derniere méthode confifte,
comme on voit, á égaler la fondion fradionnaire á autant
d'autres fradions partielles qu'il y a de fadeurs dans fon
dénominateur , Sc á donner á chacune de ces fradions un
numérateur dans lequel le plus grand expofant de la variable
foit moindre d'une unité que ceíui du dénominateur.
s 2 T ij
i ; I

•
itf
332 N O T E S
(bb) ART. 217. Quoiqu'on n'appercoive pas du premier
coup-d'ceil quel eft le terme general de la ferie, on voit
cependant, en y regardant de plus prés , que pour les termes
oü l'expofant de % eft impair, le terme general eft zAp n
(cof. 9 4- cof 3 p 4- cof. 5 9 4- 4- cof. n 9), Sc que pour ceux
oü l'expofant eft pair, le terme general eft 2 Ap"(cof 2 9
4- cof. Af -+* -+• co f n v 4- \) ; or, (art. 260 ) la fomme
des cofinus d'un certain nombre d'arcs, qui forment une
progreífion arithmétique , Se dont le premier eft a, la difTérence
b Sc le dernier a 4- k b = cof(a+\kb)(fin{(k+i)b)
En
finkb
fubftituant dans cette derniere formule au lieu dea3b Se k¿
les valeurs qui eonviennent; c'eft-á-dire , pour le premier
cas, faifant a = 9, b =¡zp , (n—1) 9= k . 2 9 , ou k= —-J
& pour le fecond, a = o, b = 2 9, Se k — ^, ou plus fimplement,
faifant attention que la fomme dont ón vient de
iarler eft égale au produit du cofinus de Ja moitié de la
Íbrame du plus grand Sc du plus petit are multiplie par le
finus de la moitié de la difTérence des mémes ares augmentée
de Ja raifon de Ja'progreífion, Sc divifé par le íinus
de la moitié de la raifon , il fera facile de ramener les.
deux premieres expreflions á la forme genérale "^" »
(cc). ÁRT. 222. Je vais détailler ici le calcul qu'il faut faire
en fuivant un procede analogue aux précédents pour trouver
le terme general de la ferie , qui réfulte du développement
de la fradion , * + *P* • & Cela afín de mettre eeux
(•i — íp^cofy-i-p-i 1 )*'que
fa longueur ne rebutera pas, áportée de s'exercer utilement..
i°. La quantité fuivante., que je défigne pat (A)
f-4P\ (fcofi9-gfi»-9)+ 6p i ?(f¿or.i9-gfi n -i9)-4P , V(f c °fW-gfi n - 19)+P*J , (f c °fi'l—&fi f >-W)-
~~ : (1— ipif°f--9A-p\ x )*
a pour terme ^ixúí^^^ ) (fcofn^gfin.nf)^C. (Q-
ET. É C L A I R C 1
S S E M E N S . J33
a 4- bpi-hcp*?
*(i— */»i ¿o/? 4r/> Y)'
a 4- bp 1 4- cp'i *
—xapicof.9- ibp'i 1 (a ^bpiAcp'i
cof.p — xcp'^cof.p
1 ) (r—ip icof. p+p 1 ?)
(t— tpico/.p-i-p'i')*
+ «/>'?* bp^ 4- cp'i*
(i — ipicof.p-i~p*i*)*
general
• - • - ' • • — — — ; — •• . , ; . — - — ' »
ou enfin
(B) a pour terme
ap»? /(n4-f)(/i4-4)^ /(n4-í)(«4-4) , , N («4-0 ("+5) r r , \ . ("-+-• X" 4-1) ., , . .
» \ s . % fi tt '( n + i y*~-.—r_-——>.("-t-J>-i- -~-~fin.(n4-j) A
i6(Jin.p)
i6(fin.9)\ 1 . 1
.. 'P*C /C«+j)(«+0
J V
.fin.(n-.)9-¿?^^fin.(n+x)9+
1 • x
lequel je repréfente par (D). Soit (A)-A- (B) = ——
. f n 4- 4 ) _> . * *" (*** 4- i ] \
-i-~^/>i.(a4-*>4- ^ _ -^jfo. («+4) A
_____"" 'J n
-/«.(. .«4-3)?)
1 . i
*picof.p-hp\ x y
Donc fi-^^wY;* aura P our terme S énéral ( C ) + ( D )-
Cela pofé, on aura pour trouver les cinq indétetminées
n, b, c,f,g, les cinq équations fuivantes : i°. a 4-/"= A ;
2 o . Afcof.9 — Agfi n '9- J r- 2 a cof 9— b = o; 3 0 . 6fcof zp
— 6 g fi n - z * — * b cof. 9 4- a 4- c = o; 4 0 . Af c °fi 3 9
—-Agfin.}.9-hz ccof.9 — b = o;) 0 .fcof.A9 — gfin.A9-A-c = o.
Sí on elimine fuivant les regles ordinaires a3 b, c, Se g, en
obfervant qu'en general 2 cof 9 • co/? m 9 = cof. (m -A- 1)
p 4- co/T (m — J) 9, Sc que 2 co/T 9 fin. m 3 9>
•A-fin. 59)] = A [Afin. 9 — 3 fin. 3

N O T E S
quantité fin. $ —• 3 fin. 3 9 4- 3_/S>e. 5 0 —fin. y 9. Done, onaura
pour/",g, a, b, c,les valeurs fuivantes:
r__ j. í fin.9 — _\fm.i9+. i, fin. % 4 (./"»• í>)
T-r- a pour terme general
i-- ( . ,fin.(n+i)9 — »•.- . i.A(- + J ?>'
ͱL 2±Í . fm. (r, 4. f )«> f?4l-fa»-.8^.s»4-4jg-M»N . /__4 . £_ #
I ' t • \ í6(/mpY J \ 1 t-
i. ,fin.(n—1)9— *.—-. 2./n.Cn4-i)?H .—-j&-.(n4-J> 1
I - I I I • ft f
4. -/n.(n-ti Í) .f —ys«. («4-7) A], Sc en mettantpour 34//Z. f—'
18.fin. 3 9-A'Afin. J 0»47^- 2 P — ^yívz. 49,Sc afin. 3 -— 6y?«. 9
leurs valeurs 64 fy£n. pf— 8 (fin. 9)*, 2 cof 9. 8 ¿/z/z. p)>, —
8 (7Í72. P^', le terme general deviendra
4- i,fin.(n-A-

I
I
33 -a c0r9A. '-.;.> en ne confetvant que les
puiíTances pofitives de e* , fera
( (n+i)(n+x) (nA-i-i)e n ^-^
4- ia . (n+i). (nA-i^e^W-'i
Í-V
-i=r\+-l—( n — l ) n (nA-i—5)e K
"iTT (nr-t)(n-i) f/z-K-V ¿ ;P
Scc.
Si on multiplie ce fecond fadeur, par lá fuite, ¿í"- 1 )?-/--..
ai— 1 (z 1—3)9 V— 1 ai—1 ai— 1 (zi-j)pV—r ii-i JÍ-J
EULER¿ Introduclion a l'Anal, infin. Tome I. 2 V
'.«.

K
I í
("•)
338 N O T E S
ai —3 (ai—7)9V—1 ai—1 ai—a ai—3 ai—4 (il— 9)^^—1 -
• e 4— • .• '. . £ - occ,
3 ~^ 1 a 3 4 '
laquelle exprime la valeur de(e lp """ — c" - * ~~ 1J ' =
(2/—1 f"* (fin 9)""; on aura pour le coéfficient de
(a + li-ir-i )(p y"—1
i (i+0(Í4-a)... .(i+r—1)(«—r4-iX«—-r+a)... .(*4-i—r— 1)
í— —.'('+ OC'+a) (i+r—2)(/i—r4-a)(n—r4-3) («4*—r)(ii—1)
a" *• 1 ...
- -J.'-T^.^—-.'(*-*-i)('+ a ) (1+-—4)(«-»4-4)(«-»4-J) («+aW4-a)1
&c.
1
(si—i)(2i—a)(ai-3)
On doit obferver dans cette fondion, d'écrire l'unité au
lieu du produit i (i 4- 1) (/+ 2 ) (¿4-r—1), íi
r = o , c'eft-á-dire, fi le fadeur i+r— 1 eft plus petit que i.
Dans ce cas Se dans les cas femblables , cela indique que le
produit de ces fadeuts fe reduit á l'unité.
Máintenant, fi on fuppofé dans la fondion (a'),n=s—z i,
elle deviendra
i.(¿4-t) (i+a). • • .(i+r—i)(¿+rs+i) (ai+r—s— 1)
r r—x
i.i.3..(;-i)i.2.3...A + 7*~ ,i(i+I ) ,,,,( ^
i.(i+i) (í"4r—a)(i4-r—i )..... .(ii-4-r—Í—2)(ai—1)
— 7.^.'—- a .i(i4i)..(i4r—4X*-t- r — *—*)•• .(aiA-T— s—4)(ai—i)(ai—a)(ai—3) 1
.4- Scc.
J ai mis au commencement le double figne _-, parce
qu'ayant change les fignes des fadeurs , dans lefquels fe
trouve Ja lettre s, leur produit feroit négatif, lorfqu'ils feroient
en nombre impair ; Sc fi on fait s = ou > 1, mais
1
Sc z4-2/— 2) («4- zi — 3) (n-k-zi — r). D'aiU
leurs , tous fes fadeuts font multíplices par le produit
^"*Tr I ,)í /í " + "- 2 U /I " +, 3) (nA-i—r—i), comme il
n í*? - Sen a " urer -* , en obTervant que le coéfficient de
en. _, £-era comp0^¿ ¿>un nQfribfg r _!_. j ¿e termes^ &•
que par conféquent, le dernier terme aura pour un de fes
fadeurs, n — r-A- r4- 1, ou n 4- 1. Donc cette fondion eft de
Ja forme £ f«4- 1J//14-2,1... (nA-i— r-- ijfn+xt — xj
(n-A-zi—%) (n-A-zi—r)i(b);Q étant une fondion
de 2 Sc de r, indépendante de n, puifque dans la fondion (b)
la plus haute dimenfion eft (i — 1), comme dans la fonction
(a!). Pour determiner Q, nous ferons n infinie; en
comparant ators les deux fondions (b) Se (a!), Sc ne confidérant
que les coéfficients de n'~ l , nous aurons
•(4-0(4-2) (i4-r— 1)
i — '-.'•('+*) (i+r—a)(si-i)
—7*-7- .-j-.'-C'+O (''-+"--4)(«'-aX4Í-3)
&c.
Ce qui donne, en fuppofant i = ou

. i
'.'•I
•
1
I
1
•• II
I II
I
I
340 N O T E S
de la forme rO-W-*)C>-».-...( 1 -') P étant une fon*i.z.j....(i—171.2.3
r •'
tion de r indépendante de i.
Pour la détetminer , nous fuppoferons i infini dans les
deux expreflions de Q, Sc nous aurons, en n'ayant égard
qu'á la puiffance la plus élevée de / , P = 1 — r . z
4- -!/-=_._»»- -I/—-—. aM-Scc. onPr-f- 1/.
Done la fondion (V,) BS
(-i)'(i--i) (i-2J(i-i)...(i-r)(n+i)(n+a)...[n+Í-r--i)(n+ai-i )(n+al-a) ...(n+zt-f)
1 . a . 3...... (i— 1) I • 2 • 3...... '
Maintenant il eft aifé de voir que dans le produit de la quantité
(aw)^-x . (2Í-3W-1 ^I)(2Í-a). (aH ^ / - 1 .)- (•+*'-•)
i • ,a . 3...

• •
-i y.. • _ ~ aflB
1
342 N O T E S
p n q n r n : 1. Effeduant les multiplications, réduifant, Sc fe
rappellant c\x\cp-A-q-A-r — *.,pq-\-pr-4-qr=-£ Scpqr=7t
on atrivera au réfultat indiqué.
C H A P I T R E XIV.
(fifi) ART. 234. Cherchons diredementl'expteífion de fin. n x.
Pour cela, je fais
fin.ni=x(A [ - n y- 1 —B w y n - 3 -A-C- n y^—D^y-'-A-E^y^—Scc).
La lettre n, mife entre deux crochets, indique la mulriplicité
de l'arc, auquel le coéfficient, qu'elle aíTedé, appattient. En
confervant la méme notation, on aura
finfn-ih'xfA^y-^—B^y^A-G^y- 6 —D^y-t-A-E^y-^—sec)
scfin.(n-z)x=x(A in - x y-'-B^y-^c i ^y^
Or fin. n-{— zyfin. (n — 1) x—fin.(n — 2) x ; done on aura
cette feconde valeur,
/&.»yBxf2¡#-f-y^
ri-x( _[«--w-!_4_. BL*-*y-i— o-iy-r-t- D íní y->—Scc.)
Comparant cette feconde valeur de fin. n\ á la premiere,
Se éo-alant les coéfficients des puiíTances femblables dey,
on aura pour determiner A, Bt O-, Pw, E3Scc ; les
équations fuivantes :
_#[*] = ./ít>* 3 4- i gi>'..
CM = _B r -"' l] 4- z G nt \
Z)w= C>^-4- zD lr -'\
Ei»-i = DW-A-zEi n -'\
Or, par la méme raifon que ¿&-*_ a 4 ^ _#r>e_1 •*#*•£
ainfi des autres. Donc _¿t"- = 2 if«J¿p 2^--*= i'-áfc?? =, en
general, z x A ínx \ Mais fi on fuppofé n — je = 1, x —«n — 1,
& .¿t**]-devient ^-' 3 = 1; doiíc ^¡-"i — a"-.
*ET É C L A I R C I S S E M E N S . 343
L'équation _gw — _¿&-*34- a _flt»-o, á caufe de 2Ji> l i—- A ln ^-{iB^\
donne B^^A^-A- 2Z?»*]—- A^-A- ZA^^-Az
% Bí*-^=, en continuant de fubftituer, A 1 "' 1 ) 4- a ^"-ri 4-
#JfrQ+* 2 J £t«-oj & en general,
2*+«_[«-*-'].
Mais, íi on fait n — x — 1 —- 2, ou n —x 2 = 1 alors
B^TB=o Sc A = 1, Sc *==*- 3. Done ¿w„
f« — z) i-». De méme

^p fl
Lli
R
• a
• •"V.:-
/-
344 N O T E S
Mais le terme general de la fuite i. i.34-i.J.4+3-4-5
4- -A-(n—%)(n—1)(n — 6) = t.(t-A'i)(t-4-z)
ou ¿'4- 3 £ l -r- z t. Done cette fuite = S. /'4- 3 . S. t x -A- z S. t.
. 1 C % t.(t+ l) (tt+l),
OrS.t 3 = i.t x (t x -A- 2 í 4- i; ; 3 • S . ¿* = ¡ »
aS.z = í.fí4- i). Done
_ rg-o(»-6)(»_"7)___) z«-. &c.
* c — i . a . 3 . 4
JVbM La détermination des lettres F"-,

•
•I,
•
I
346
a=A
, n— 1
;A+B'
N O T E S
c = _i/_=i B 4- m -=±. B' 4- C"
z a a
¿- f 1=1. C4- i. n -^- 5 C?4-^ C" 4- D'"
É = i^ 7 i)4.i/^D'4-{.^ 7 iJ''4--=- 7 IJ'''4-í:' r
Scc.
C* f • • A TV ".(n—i)(n — a) Ql
¿>i on fait attention que A = n,o = 1# ip ? > ^
».(« —ij.(«-a).(-i-3).(«-4) &c on trouvera fans peine en
i; a. 3. 4. $ ' • -_.
faifant le calcul,
« = n
¿
= --T:T"
c=3 »-(»•-O t>*-9)
1. 2. 3. 4. $
fl/_ **.(«*— i)(n*-9)(-.'-25)
I. 2. 3....... O. 7
-..(-,- —.)(«* — 9)t>' — 2S)C" t — 49).
1. 2. 3 8. 9
Scc.
II eft inutile, fans doute , d'obfetver que les valeurs de
b3d,f, Scc, c'eft-á-dire, les coéfficients de rang pair, doivent
étre pris négativement.
(¿i) ART. 238. La formule genérale/». nx = (nx~
»-K-4) xi + _. z"-' JC"- 4 ) V\~^¿
euc auíTl
P
fe
déduke 3 de la formule donnée (Art. 133)- H ne s'agira^que
de développer les puiíTances fradionnaires (1 — x x ) T »
(1—x 1 )'^T 1 , (1 —x 1 /"^", &c i de tuer leurs valeurS
-bft-
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 347
Sc de multiplier enfuite Je tout par VTZ^X. En défignant,
comme dans la note precedente, les coéfficiens de x, x 3 ,
x 7 , Scc pat a3 b, c, d, Scc, Sc les termes dont ils font
compofés par A, B 4- B', CA- C 4- G", Scc; on aura
a = A
¿> = n -=J A-A-B'
.-_____ « "~ 4 fí
n — 6
n — 4 B' 4- C"
a C4-T--— C ¿=7-
'
Scc.
On trouvera, comme ci-deffus,
a = n
j_ _"•("'—4)
i . a . 3
n — 6 C" 4- Z)"'
f _/..(/,* -4)(**-I

H
I
i
348 N O T E S .
A M =2A í "- 1 ' i
_M _- ^t«-*3 4- a BE*-'!
O 3 = JB^ 1 - 4- 2 G"- ¡1
jy.'ü __ O' 1 - 4- a 2^"-'-
_E*#-a»$C.-
La premiere équation A = z A^ donne auffi „ w =
2«/í[n-1]== &Jti*\ Se en general__4 [n] = z"A ín -"\ Orfm — x
—- 1, ,#*} = 1, Sc * = n -*. 1. Donc A w = 2"-'.
L'équation £W = jjpM 4- 2 #»'- fe change en B-»-=Jf**
4- 2 i_PH34- 2-^-4]4- -+. 2* jfiT*»+> z*+'#" XI] . Si
onfait/z — x— 1 = 2,ou« — x — 2 = 1, ce qui donne
x= n— 3 , ,4 [,] = 1 Sc i***B*»*m 2" l .# 1] =2" l x 1 =
a""'. 2 ; on aura _5M = z"-> (%-z-n—z) == n. %*K De méme,
(7w __ _r«-*a 4-2B c "- 3] -A-z x B ín * i 4- 4-2 !í S CnK " 1] *+- z x+I O"-*-*.
Or fionfaitzz —x—1 =4-- ou>z — x— 2 = 3 , on aura »
_ fl c 1* /J[»-*-»l = 2»-f. 3 SC 2* +I O"*-'' = l^XI- J¿"< X 2>
Donc C lrf =f24-3 -4-4-4- 5 4-...4-*— *>"" t! ~TTT 1 "' í -
¿jw^Cf^-h 2 O" 4- 2'Ct"-"34---4- 2*t>-*- i] 4-- 2^L>~-i_
Soit « — * — i = 6,ou/z— x — 2 = 5 ; ce qui donne*--*-
/z — 7, on aura pour O^-ou C [ .-¿iji Sc pour l?f, 1; par
conféquent ^J>*^* i*** 1 = *"- x 2 = z^. ~4. Done
U¿-» (i_í4-i-14 (»-tU"-Q)2-7. Qr le terme ge­
neral de la ferie 1 . 4-+- 2 • 5 -*" 3 • ¿ + Scc. = M¿ 4- 3 ) =
^4-3,-S.^ = , .
( ^ - ^ ^ S c 3 * S . , = = 3 . - ^
Donc S. z*4- 3 • S . t- *.H±l2Si±n. Done
nt«i_ » (»-4>(ft —sJ. Qn aura encoré
— —'•** • i . a . 3
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 349
£t»j_. JJD.-^ -¿j^M^,a*Z? tK «H- 4-2*¿3&*-* l3 4-1»4-_***•«,-.
Soit n — x —1 = 8 , ou n — x — 2 = 7, ce qui donne x =
n —- 9, z x J)^- x -^= 2"-9JD t 7 1 s= 2
2"-? x 2 = 2 n - ? n-?
*'•*•*. on aura
1 ..a . 3 '
1.a;¿ a.3.7 3.4.8
'•¡•7
i.a.3 &z"+.p]-^Xl =
JE 1 »;
1.2.3 ' *«*«5 ' *.__-,"3 '
(n —7) (a-«)(«—»)
1 . 2 . 3 *
terme general de la fuite 1.2.64-2.3.74-3.4.84- Scc,
eft t. (t 4- 1) (t 4- 'y) = t* 4- 6 ¿ l 4- 5 Í. D'ailleurs S. ¿' =
i*Y'-H 1/; 6 . S . 1= íf¿ 4- 1) (z t 4- 1;; & 5 . S. / =
5 . t. t - : ~* Donc S. ¿'4- 6S. z 2 4- 5 S. ¿_= í.'-^. (t-t-z) (t-A-~l)-
Donc
jPnl — '•('-OÍ'"0("-'J z«-s
1 . a . 3 . 4
&c.
-
(II) ART. 262. Pour faire voir que cette Ioí eft genérale ,
j'obferve qu'on a 2 V— ifin.x=ei* / - , ~ «-tV-« & (2 V- \f
(fin x)"= (e^~ l — e-^- l ) n = e tt ^- , — n.e ( - n - 1 Uv'-'
c_ . + -.1,/.
n.(n—i) (» — 4)W—« 4-«e « -**•-*
4
fuivant
-
que
e
n eíl pair
—...
ou impair. On fait par la formarion du
bitaome de Newton que lorfque n eft un nombre impair tel
que 2-¡+ 1, le nombre des termes eft pair, Sc de plus que
les termes extremes, Sc les termes á égale diftanee des extrémes
ont des coéfficients numériquement égaux. Or la fomme
de deux de ces termes, abftradion faite de leurs coéfficients
étant divifée par 2V— 1, eft l'expreífion du finus d'un are
múltiple determiné par l'expofant de e. Donc on aura, pour
le cas oii n eft un nombre impair,
_-, 2"-'(fin. xf=fin. n?L— nfin, (n—z) x-A-n.~,fin.(n—4^—...
•Azkfin. x, k exprimant chacun des coéfficients des termes
f .

11
1
i
I
9
350 N Q T E S
moyens de la fuite; prenant d'ailleurs le figne4-lorfque dans
la valeur de n = 2 m 4-1» ~ eft un nombre pair, Se le figne
— lorfque m eft impair.
Lorfque zz eft un nombro pair, le nombre des termes eft
impair, Sc alors on a
± 2"-ffin.7^cofnx—n.cof(n-z)i •+• "'["'¿'cof.fi—A)\——
+ — ; parce que dans ce cas les termes extremes, Sc ceux qui
font á égale diftance des extremes, ont des coéfficients égaux
avec le méme figne, ce qui donne, en divifant leur fomme
par 2, des expreflions de cofinus, Sc -pour le terme moyen.
On trouvera d'une maniere femblable l'expreífion genérale
des puiíTances des cofinus , en développant la puiffance
(ei V-- -.+_. e-i v ~ I ) n = (2Cof.x) n , Sc en faifant les mémes obfervations
qu'á l'égard des finus.
C H A P I T R E XV.
(mm). ART. 279. La fomme de toutes ces feries réunies,
excepté la premiere, ne peut faire qu'une quantité affez
petite. En effet, il eft évident qu'elle eft fenfiblement moindre
que la fomme de ces fuites :
1 , _ • . T T
(3
Scc.
3- 1
?
l
5 1
1
1
"5
3" ' 5
Scc)
ti'
1
7i«
1
Tí 1
Scc)
Scc)
Scc)
Or la fomme de ees dernieres feries = lN(&n. 278J =
^ I + i + i +Í4-^+¿-r-te.) Sc cette derniere ferie
_Í4_-L-f-l4-Scc=-^-, dont le logarithme
__ 2 Iv —. 16 eft une quantité aííez peu confidérable.
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 3JI
(nn) ART. 282. Quand on a les fommes des puiffances un
peu confidérables, on peut employer, pour trouver les fommes
des puiíTances moins élevées, les formules precedentes, (art.
278), savoir:
' « - } W - í + { ^ + i + ^ Scc)
H-7(rr-4-p4-p4-p4-Scc)
, / l I 1 i o \
"•"" * vi - •+* p"+" 7^ •+* 5~ •+• &C J
4- SCC
OU IM=S+i(± + ± + ± + ¿¡'+ Scc)
-H (¿*-*r£*H-pH-p 4- Scc)
-h • (^ H- jjí 4- ~. 4- ~sH- Scc)
4- SCC.
CHAPITRE XVI.
^ ART. 320. La fradion ^-^t donne la fuite des nom­
bres triangulaires Sc la fradion r- - í donne
(i—*)(i—x*)(i—*')
la troifieme fuite verticale de la table; or, en fuppofant

.'I
.."A
352 N O T E S
il faudra multiplier cette derniere ferie par i + x, ce qui
donnera pour le coéfficient de chacune des puiffances de x de
la ferie réfultante, la fomme des coéfficients du terme correfpondant
Se de celui qui precede.
On peut faire un raifonnement analogue pour les autres
nombres figures; ce qui fait connoítte la connexion de
ceux-ci avec ceux de la Table.
(pp) ART. 323. On a ( art. 306) Z = (1 -hxx) (1 -\-x x x)
(iA-x\)x(i-A-x\) (1 A-x\) x Scc.= 1 4-P/L-+- Ql z
.+. R7 3 -A- 5? 4 4- T^A-Scc, Sc par conféquent en faifant
^ _ _L j , (\ __ X) (l — x x ) (l — X 3 ) (1 — *) x Scc.
_! — p+Q — R-z-S— T 4- Scc. Mais (att. 307) P =
1 --• x 7 ^
;R =
(1-x) (i-x*) ' "" " (i-x)(i-x>) (i-x 2R» S s )
^,.^^.T=&cc.Donc(i-x)(i-x^(i-x 3 )(i-x')(i-x s )xSec.
= *~~ TI - "*"" (i-x)(i-x*) ~~ (i-x)(i-x-)(i-x>)~*~(i-x)(i-x")(i-^)(j-x*)
, Scc. Or la nature du premier membre de cette équation
fait voir clairement que le fecond, qui fe préíénte íbus la
forme de plufieurs fondions fradionnaires , doit fe convertir
en une fondion entiere. Voici un moyen aflez fimple d'arriver
au but , Se dont l'idée m'a été donnée par le
C. Legendre. J'écris le fecond membre de l'équation ci-deffus
fous cette forme 1
__.x-t_.jt» —_e» (1 — x l ) + x* —x*
(i-x) (i-**)
x'*(i-x
10,
14,
18,
22,
26,
*5>
20,
M>
3°»
35 »
40,
ai >
2 7#.
31 >
39»
45 >
5* >
57,
28,
35-
42,
49 >
f**
63,
7°-
77»
3€»
Scc
Scc
Scc
Scc
Scc
Scc
Scc.
Si on vouloit continuer cette Table, on remarquera que
chacune des fuires a un terme de moins que la precedente,
Sc que chacune des colonnes verricales forme une progreífion
arithmétique, dont les diíTérences font fucceífivement les
nombres o, 1,2,3,4, Scc. D'ailleu-s, d'aprés les opérations
precedentes Sc la formarion de ces différentes fuites,
il eft évident qu'il n'y a que les deux premiers termes de
chacune, qui faffent patrie des expofants de x dans la fétie
EULER , Introducción a lAnal, infin. Tome I. 2 Y
Scc

•
354 N O T E S
cherchée. J'écris maintenant la fuite naturelle des nombres ,
en commengant par o , Sc á cóté le terme general n ; je place
au-deffous les feries precedentes- dans l'ordre qui fuit, avec
le terme general de chacune , n repréfentant toujours le
nombre correfpondant de la premiere fuite.
J 3 > 4» , 6, Scc. .... «
1 > 3*
6, IO, IJ , 2i , Scc. n . «4-i
5» 9 ^ H- 1Q > 2 7> &c. a .
7, 12, 18, 2j, 33, Scc. /z .
15, 22, 30, 39, Scc. n .
a6, 35, 45, Scc. n.
%
B-I-I
9
» -í- I
a
«4-1
2
«4-1
40, 51, Scc. n. n
4- 5 *
o **4- , _-
57, Scc /z. —-— 4- 6 /»
Scc.
D'oü il fuit que le premier terme de chaqué fuite fera
repréfente par n . —— 4- n* = } nn + n • &; comme le fecond
2 n
3*
4*2
terme de la fuite precedente doit faire partie des expofants
de *, Sc qu'il eft repréfente pat n. ^--— -A-(n—\)n = --^p— ,
il eft clair qu'il n'y aura d'autres puiffances de x, que celles
qui font renfermées dans la formule •' ~ •.
A préfent qu'on a un moyen facile Sc infailíible de trouver
les termes de la ferie, qui réfulte de la njultiplication du
nombro infini de fadeurs 1 — x, 1 — *% 1 — x 3 , Scc, Sc
qu'on eft affuré, qu'elle n'admet pour expofants de * que
ceux q«ui font renfermés dans la formule
%nn +• n
je ne
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 3 y «y
puis m'empécher de m'arréter un moment fut une quef-'
tion traitée ailleurs par Euler , Sc faite pour piquer la
curiofité. Je veux parler de la maniere de trouver la íomme
des divifeurs des nombres ; on fera étonné de voir combien
la folution de ce probléme eft étroitement liée a ce
qui precede. Reprenons en conféquence l'équation
P=(i-X) (y.x*) (-xy (f^*) (^J (t.x6j fijjkj fr_xs;x&c_ _
- i—* — x x -\-x'-A-x 7 — x' x — * ,y 4-;x:"4-*' s —Scc.
Soit P' ce que devient chacune de ces expreflions en augmentant
x d'une quantité quelconque y, la premiere valeur de
P deviendra
P'^(i-[x-Ay])(i-íx-^y] x )(i-[x+y] 3 )(i-lxA-yr)(i-ÍXA-yy)xSec,
Se la. feconde valeur de P deviendra
P'=i -(X-z-y)-(x+y) x A-(xA-y)
s A-(x-A-y) 7 —(xA-y) tl —(x+y)' s -i-Scc.
Nous aurons d'abord, en prenant les logarithmes des premieres
valeurs de P Sc de, P'} les deux équations fuivantes :
/p.W(i—*;4-/A—*V+*f*-*V+¿fi —X*)A-1(I-X*) 4. Scc.
IP'*=l( 1 -x-y)+I( 1 -x x -zxy)+l(i -x 3 - 3 x x y)-A-l(i -xt-^yjA- Scc.
Je négligé les puiffances dey fupérieures á la premiere, parce
que dans la fuppofition que nous fetons de y = o, elles donneroient
des quantités nuiles. En rettanchant la feconde
équation de la premiere, j'aurai
/ ^ = .
L p
zy x
—x 1 — x x
OU
3__
1— x>
4yx*
SCC.
Multipliant chaqué membre par — , fuppofant y =o, Sc défignant
parí le réfultat, nous aurons pour- premiere valeur
de — t,
x 2 "4* 3*' 4 x* ti' _
2 Y ij
•l
%

i
356 N O T E S
Nous aurons enfuite, en divifant la feconde valeur de P' par
la feconde de P, Sc négligeant, comme auparavant Se par la
méme raifon. les termes, qui feroient affedés de y,y, Scc,
le quotient . *
P> —y—z yx+ ¡yx* + 7yx 6 - 11 y *" — ify»'«4- &c. .
p~ ~ 1 — x — x* 4- * 5 4- * 7 — &* — *" 4- &c.
Se en prenant les logarithmes de part 8c d'autre,
. P' —y — iyx + jyx 4 'A-7yx í — \%y »" —15yx' * 4- &c.
* • p"* - 1—x — x* + x*+x 7 — x' 1 — x' •>+x" + x*" — 8ÍC.
Multipliant comme auparavant les deux membres par — , Sc
faifant y = o, nous aurons cette autre valeur de — *,
x4.2x l — f J- s —yx 7 + izx'* 4-15 *'' — 22 re" — &c
*"~* == 1— x -s'+a'-t»' — *'*— *'' 4- *"4-*"* *
La premiere valeur de — / donne, en développant en feries
chaqué rerme ,
— í BS x 4- ** 4- *' 4- * 4 4- ** 4- *'•+• * 7 4- *M- x 9 4- *" Scc
4-2 H-*
+ 3 4-4
4-5
4-2
H-3
4-6
H-7
4-2 4-2
4-3
•4-9
4- 10
expreflion , dans laquelle il eft manifefte que le coéfficient
de chaqué puifTance de * eft la fomme des divifeurs de
l'expofant correfpondant ; donc, fi nous défignons par fn
la fomme des divifeurs du nombre n} cette derniere expreífion
fe changera en celle-ci:
-.fB^/i^yi^y^y^^^
8
ET É C L A I R C I S S E M E N S . 3 57
Comparant cette derniere valeur de t avec celle trouvée en
r , i. «4-2 x l — K *• — 7-e 7 4-i2«'*4- 15 « ,J — &c.
lecond lieu —• t =- -— y - = -—' . fo + $tc.
Se faifant difparoitre le dénominateur , nous aurons
*/iH-*y24-*y34-*V44r*y54-*y^ 0 4- SCC
- / ' - / * -/3 -Z4--/5 -f6-fj-fZ~f9-&c
~fi "fi ~fi -/4~/5 ~/6-/ 7-/8-Scc
4-/i-4-/i 4- /3 4- fA -4- /5 -í-Scc
•+• /- •+- /-• + /3 4- Scc
f—*4-i** — 5* y —-7* 7
ce qui donne les égalités fuivantes :
/i=i,/2 =/i 4- 2,/3 =/2 4-/i,/4=/3 H-/ 2 ,/5=/4-t-/3
-5, /6=/54-/4-/i,/7=/6-t-/5-/ 2 -7^=/7-f-A
•-/3-/I ,/9=/8+/7-/4-/ 2 ,/o=/?4-/J-/5 -/3,
/i i=/io4-/9—/6—/4,/I I==/I I 4-/IO—/7—/54-12 Scc.
lefquelles reviennent évidemment á celles-ci:
/? =/t 7-0+-A 7-^)-/í' 7-?)-7
/8 =7( 8-i)-h/{ 8-2)-/? 8-T)-/( 8-7)
/9 */( 9-0+/19--0-A 9-l)-/í 9-7)
flO=fi_10—O4./ÍIO-2)—/(io—5)-:/(io—7)
/! = ,
/2=/(2—1)42
/3-=/(3-.H-/r3-2)
/4=/(4-i)4-/(4-*)
/5=yr5-»H-/tí->)-5
n-;,-; __;—,,,- -, fll=J(ll — l)4/(ll_2)-/(il — y)-^H—7)
/6_=/x

B
358 N O T E S
en prolongeáne la ferie, jufqu'a ce qu'on trouve un nombre
négatif fous le figne/, Sc-ayant l'attention de prendre pour
nn — n)9 lorfqu'on arrive á un réfultat de cette forme, le
nombre méme n.
CHAPITRE XV I I.
(qq) ART. 338. Les fradions ^ font alternativement plus
grandes Sc plus petites que la vraie racine. En effet -p =—
Ap»+> + Bq"+' ___
^fLitrJ). Or dans cet exemple q eft né-
Ap A n"4-CS' , 4-&c>
ET ÉCLAIRCISSEMENS. 3 yp
il ne faut qu'une légére attention'pour voir que les coéfficients
zz 4-• z, n 4- i,empécheront que cette quantité ne fe
réduiíe fitot á p. ,
(uu) ART. 349. II eft bien clair que pour que les racines
imaginaires n'empéchent pas de trouver Ja plus grande ráeme
q, il faut quep foit < ? ; mais dans le fadeur trinóme
\ — Z P\ co ff -H-/»*í% qui ne peut provenir que du produit de
deux fadeurs fimples de la forme 1 — (* 4- QV— r)\Sc
i — (* — e y— 1) ^ p* eft le produit des deux imaginaires
« 4- ¿ V— 1, Sc *. — C iS— 1 ; done q x doit étre plus grand
que le produit des deux racines imaginaires, qui compofent
un fadeur réel.
C H A P I T R E XVIII.
(vv) ART. 362. II n'eft pas généralement vrai que chaqué
fradion approché plus prés de la véritable valeur de x qu aucune
des precedentes. Vexemple le plus fimple peut en con-
vaincre. Soit x __ _ abc+Sa + uc
" —T7+1—' Ja P rem b+e_
iere va-
c
leur approchée de x = a, la feconde == íi±f. La difféb
rence de ' ^ g ^ á a = *¿ L,, & ía différence de !___-
bc+ :
abe + £ a -\-uc
bc + £
¿(¿c
'bc + g-
*(*'•

360
N O T E S
on aura pour les
valeurs approchées de x i valeurs vraies de i
a
ab+ i
x =- b
abe + a 4- c
X = be + i
abcd + ab + ad + cd+i
X = — bed+b + d
X=BSCC
A = a
B*=bA-A>i
C = cB-\-A
D = dC-t*B
E^cV-A-C
X =
x
ab'+i
b'
abe'+a+e'
Scc.
Sec. CCC A
1?
«hed' + ab + ad'+cd'+t^
x — bed'+b + d'
XB=SCC.
ou bien en faifant -
A'=i .
B'=a
C'^cB'+A'
D'=dG-A-B'
E'=eD'-A-G
les valeurs approchées Sc fucceffives de x í e r o ^>
B
£
D E
- Scc, Sc les vraies valeurs feront x = A,b, >
Bc' + A j CJ + B . __5i__:- x•= Scc; Sc fi on
X =
confidere, qu'en multipliant en croix les termes des frac
tions voifines dans la fuite ±, §, §., Scc , on a en general
BA'-AB'-i, GBi~BG=-*,DC-CD'= i,
ED'~ DE'=; — i , Scc , les vraies valeurs de x deviendront
*_B¿-4--¿r; *«-§» — 5W4^) ;x = C' + c'(W+B')í
U - . v.=Scc. Donc les valeurs .approchées
_B" -
grandes que *• Cela
ET É C L A I R C I S S E M E N S . ' 361
Cela pofé, commeb'eft >• b, c'>c, d'>d, Scc, on aura
¿'> 5', fi'c'4- -¿'> Be 4, ^' ou >

m
I
I
362 N O T E S
fi n eft plus petite que D'. Donc toute fradion , dont la valeur
B
tombe entre deux fradions voifines de la ferie -j(J j, Scc
aura néceflairement un dénominateur plus grand. Or, la
vraie valeur de x tombe toujours entre deux fradions
confécutives de cette ferie. Done il eft impoflible d'avoir
une valeur plus approchée de x, que celle qu'on trouvera
de cette maniere , á moins que la fradion n'ait un dénominateur
plus grand.
Ceüx qui voudront avoir plus de détails fur les fradions
continúes, peuvent confulter les excellentes additions du
celebro Lagrange, qui fe trouvent imprimées á la fin du fecond
volume de l'Algébre d'Euler, Sc dont j'ai extrait ce
qu'on vient de lire.
(xx) ART. 363. Soient a, a!, a", a'", a'% a', aT, Scc, les valeurs
approchées Sc fucceífives de x; Sc ¿, a", d"3 d!", d", Scc,
les diíTérences de ces valeurs, on aura a

• 1
•
364. NOTES ET ÉCL A IRC IS s EMENS.
fuppofé x -_*£., on aura e -r~——* = — l — 1
•*+• * 2_H 6 + i, x
10 * «1 4- &c.
OU e*4-í
e-e
= ,
at
- ^ r 0 + i
a 4- —
6 4--i-
104—
1*4- &c.
e— 1
2
2 e
-4 4- &c. t —e
, ou bien
- ; Sc enfin
1 + -
í+i.
10 4- J_ 1
14 + ¡8 4- &c;
Cette démonftration eft tirée d'une des Notes intéreffantes
«que le citoyen Legendre a mifes á la fin de fes Éléments de
Géométrie, ouvrage fupérieur á la plupart des autres Traites du
méme genre, Sc dont la ledure ne peut étre trop recommandée
aux jeunes Géométres, pour les accoutumer de
bonne heure aux démonftrations rigoureufemenc exades.
fal) ART. 382. Ce feroit ici le cas de faire voir que íes
différentes valeurs des fradions continúes trouvees par les
méthodes precedentes, font approchées de maniere qu'il
feroit impoffible d'en avoir une valeur plus exade en moindres
termes; c'eft ce qui a été demontre d'avance á la fin de la
note relativo á I'article 362.
Fin des Notes & des Éclairciffements.
\\ Be ."^primerie de BAÜDELOT & EBERHART, me S.-Jacques, N» 30.

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