Modèles linéaires à effets mixtes Cours 1--2

Modèles linéaires à effets mixtes 

Cours 1–2 

Christophe Laplanche 

http://modtox.myftp.org/enseignement/s4/model

1 Définitions 

Variables qualitatives/quantitatives 

Effets croisés/nichés 

Effets fixes/aléatoires 

2 Modèles linéaires à effets mixtes 

Modèles ANOVA à effets mixtes non nichés 

Modèles ANOVA à effets mixtes nichés 

Modèles linéaires à effets mixtes

















Définitions 


Références et notations 

Définitions : Variable expliquée, explicative 




On considère un modèle de variables y, z1,... , zr (r ≥ 1). La variable 

y est la variable expliquée (variable dépendante) du modèle de 

variable(s) explicative(s) (variable(s) indépendante(s)) z1,... , zr ssi 

les prédictions du modèle sont de la forme y = f(z1,... , zr). 

Exemple 

On mesure le rendement de 3 variétés de pieds de tomate (V1, V2, 

V3) traités sous 4 doses d’engrais (dose nulle D1, dose faible D2, 

dose moyenne D3, dose élevée D4) à différentes températures. La 

variable expliquée est le rendement, les variables explicatives sont la 

variété, la dose, la température. 

http://modtox.myftp.org/enseignement/s4/model Modèles linéaires à effets mixtes

Définitions 



Définitions : Variable discrète, continue 




Une variable est discrète ssi elle prend ses valeurs dans ensemble 

dénombrable. Une variable est continue ssi elle prend ses valeurs 

dans un ensemble continu. 

Exemple 

La variété et la dose sont des variables discrètes. La température et 

le rendement sont continues (ou discrètes si considérées comme 

mesurées à une précision finie). 


Définitions 



Définitions : Variable qualitative, quantitative 




Une variable est quantitative ssi les valeurs prises par cette variable 

pour différents individus peuvent s’ajouter. Une variable est 

qualitative (catégorielle, facteur) sinon. Les valeurs prises par une 

variable qualitative sont appelées modalités (catégories). Une 

variable qualitative est ordinale ssi ses modalités peuvent être 

comparés (

Notations 

Définitions 






On note par la suite de manière générique les variables explicatives 

qualitatives wj (j ∈ {1,...,q}) et les variables explicatives 

quantitatives xi (i ∈ {1,... , p}). On note {Wj,1,...,Wj,m j } les 

modalités et mj le nombre de modalités de la variable wj. On note 

wjk ∈ {Wj,1,... , Wj,m j } et xik les valeurs de wj et xi pour un 

échantillon k ∈ {1,...,n}. 

Exemple 

On note w1, w2, x1 la variété, la dose, la température. On considère 

m1 = 3 variétés W1,1 = V1, W1,2 = V2, W1,3 = V3 et m2 = 4 doses 

W2,1 = D1, W2,2 = D2, W2,3 = D3, W2,4 = D4. Les valeurs de variété, 

dose, température pour un échantillon k sont w1k ∈ {V1, V2, V3}, 

w2k ∈ {D1, D2, D3, D4}, x1k . 


Définitions 



Définition : Modèle linéaire 




Un modèle linéaire est un modèle ayant pour but d’expliquer une 

variable quantitative y en fonction de variables quantitatives 

(xi) i∈{1,...,p} et/ou qualitatives (wj) j∈{1,...,q} sous la forme 

avec 

yk = β0(w1k,... , wqk) + 

βi(w1k,...,wqk) = βi + 

p 

βi(w1k,...,wqk)xik + ǫk 

i=1 

q 

j=1 

βi,w jk 

où l’on considère n échantillons de valeurs 

[yk,(xik) i∈{1,...,p},(wjk) j∈{1,...,q}] k∈{1,...,n}. 

(i ∈ {0,...,p}) 


Remarques 

Définitions 






On peut interpréter le modèle comme un modèle de régression 

yk = β0(w1k,... , wqk) + p 

i=1 βi(w1k,... , wqk)xik + ǫk pour lequel 

les coefficients βi(w1k,... , wqk) (i ∈ {0,... , p}) sont fonctions 

des facteurs. 

Dans le cas où p = 1, on peut interpréter le modèle comme un 

modèle de régression simple d’ordonnées à l’origine et de 

pentes fonctions des facteurs. 

L’effet d’une variable qualitative wj est représenté par (p + 1)mj 

coefficients βi,W j,1 ,... ,βi,W j,mj (i ∈ {0,...,p}). 

Définition : Modèle ANOVA, modèle de régression linéaire 

Un modèle ANOVA et un modèle de régression linéaire sont resp. 

des modèles linéaires pour lesquels les variables explicatives sont 

exclusivement qualitatives (p = 0) ou quantitatives (q = 0). 


Exemple 

Définitions 






On considère 10 valeurs de température [˚C]. On regroupe n = 120 

pieds de tomate en 10 lots de 12, un lot par condition de 

température. Pour chaque lot, on considère 4 pieds de chaque 

variété, on répartit pour chaque variété les 4 doses d’engrais, les 12 

pieds sont répartis aléatoirement au sein des lots. On suppose qu’il 

n’y a pas d’intéraction entre les facteurs variété et dose. Le 

rendement d’un échantillon k ∈ {1,...,n} s’écrit 

yk = [β0 + β0,w 1k + β0,w 2k ] + [β1 + β1,w 1k + β1,w 2k ]x1k + ǫk 

Par exemple 

y1 = [β0 + β0,V 1 + β0,D 1 ] + [β1 + β1,V 1 + β1,D 1 ]20 + ǫ1 

y2 = [β0 + β0,V 1 + β0,D 2 ] + [β1 + β1,V 1 + β1,D 2 ]20 + ǫ2 

y5 = [β0 + β0,V 2 + β0,D 1 ] + [β1 + β1,V 2 + β1,D 1 ]20 + ǫ5 


Remarques 

Il est possible de : 

Définitions 






Transformer la variable expliquée. 

Transformer les variables explicatives quantitatives. 

Considérer des variables explicatives quantitatives d’intéraction. 

Considérer des variables explicatives qualitatives d’intéraction. 

Exemple 

On considère un facteur w3 d’intéraction entre les facteurs variété et 

dose. Ce facteur a 12 modalités {V1, V2, V3} × {D1, D2, D3, D4}. Le 

rendement d’un échantillon k ∈ {1,...,n} s’écrit 

yk = [β0+β0,w 1k +β0,w 2k +β0,w 3k ]+[β1+β1,w 1k +β1,w 2k +β1,w 3k ]x1k+ǫk 


Remarque 

Définitions 






On peut représenter chaque variable qualitative wj par mj − 1 

variables factices (dummy variables) quantitatives binaires de 

manière à exprimer les coefficients βi,w jk sous la forme d’une 

combinaison linéaire des variables factices. On peut alors écrire un 

modèle linéaire sous la forme d’un modèle de régression. C’est le 

modèle linéaire général, approche employée par les commandes 

R : lm, lme, lmer. 

Exemple 

On considère 2 variables factices x2 (x2k = 1 si wk = V2, 0 sinon) et 

x3 (x3k = 1 si wk = V3, 0 sinon) afin de représenter l’effet variété. On 

écrit β0,w 1k = β0,2x2k + β0,3x3k et β1,w 1k = β1,2x2k + β1,3x3k . De même 

on pourrait considérer 3 variables x4, x5, x6 afin de représenter l’effet 

dose. 


Définitions 



Définition : Dispositif équilibré 




Un dispositif est dit équilibré (balanced design) si 

1 le nombre de modalités d’un facteur est le même pour toutes les 

modalités des autres facteurs, 

2 on dispose du même nombre de répétition(s) par condition 

(replications per treatment). 

Exemple 

Le dispositif est équilibré. Dans le cas où l’un des échantillons serait 

manquant le dispositif ne serait plus équilibré. 


Remarques 

Définitions 






L’étude de la significativité des coef. d’un modèle ANOVA par 

décomposition de la somme des carrés totaux suppose 

généralement que le dispositif soit équilibré. 

L’étude de la significativité des coef. d’un modèle de régression 

linéaire au sens des moindres carrés ne nécessite pas cette 

hypothèse. 

L’étude de la significativité des coef. d’un modèle de régression 

linéaire au sens du maximum de vraisemblance ne nécessite 

pas cette hypothèse. 

Les méthodes de résolution pour des dispositifs non 

équilibrés peuvent s’appliquer aux dispositifs équilibrés. 

On considère par la suite des dispositifs équilibrés ou non. 










Définition : Effet croisé 

Définitions 






Deux facteurs w1 et w2 sont croisés (crossed) si l’ensemble des 

traitements {W1,1,... , W1,m 1 } × {W2,1,... , W2,m 2 } sont considérés 

dans le dispositif. 

Exemple 

Dispositif croisé variété×dose (ex. 1a, TD1). 

Remarques 

Il peut manquer, volontairement ou non, certains traitements 

dans un dispositif. 

Possibilité de croiser 3 facteurs ou plus. 


Définitions 



Définition : Groupement selon un facteur 




Une variable qualitative est un facteur de groupement si les 

échantillons sont regroupés selon les modalités de ce facteur. 

Exemples 

Les pieds sont regroupés par phytotron. Néanmoins l’effet 

phytotron est confondu avec l’effet température, l’effet phytotron 

n’est pas explicitement inclus dans le modèle. 

Regroupement par bloc (ex. 3, TD1). 

Regroupement par sujet (ex. 5, TD1). 

Regroupement par opérateur (ex. 4, TD1). 

Regroupement par machine de mesure (ex. 4, TD1). 


Remarques 

Définitions 






Dispositif à mesures répétées (repeated measures design, 

subsampling). 

Groupement selon un facteur d’intéraction (ex. 1b, TD1). 

Définition : Facteur niché 

On considère un modèle linéaire pour lequel les échantillons sont 

regroupés successivement selon deux facteurs. Le facteur 

définissant les sous-groupes est niché (nested) dans le facteur 

définissant les groupes. Le plan d’expérience est défini sur deux 

niveaux (two-level design). 

Remarque 

Un facteur B est niché dans un facteur A si chaque modalité du 

facteur B n’est considérée que pour une modalité du facteur A. 


Exemples 

Définitions 






Dispositifs en parcelles subdivisées (split-plot designs) : 

regroupement par bloc/parcelle (ex. 3, TD1). 

Regroupement selon un facteur d’intéraction : regroupement par 

bloc/variété×dose (ex. 1d, TD1). 

Remarque 

Possibilité de regrouper sur plus de 2 niveaux (multilevel design). 

Exemple 

Regroupement par bac/sujet/lame (ex. 5, TD1). 


Remarque 

Définitions 






Les réplicats ne doivent pas être structurés par valeur de variable(s) 

explicative(s) externe(s) au modèle linéaire sous peine de créer un 

effet de nichage intempestif. Exemples de variables explicatives 

externes : 

qualitatives : bloc, sujet, opérateur, ... 

quantitatives : espace, temps, ... 

Afin d’éviter des effets de variables non prises en compte dans le 

modèle, répartir aléatoirement les réplicats selon les valeurs de(s) 

variable(s) explicative(s) externe(s) au modèle. 










Définitions 



Définition : Effet fixe/aléatoire 




On considère un modèle dont l’un des facteurs wj est étudié selon les 

modalités wj,1,... , wj,m j . Le facteur est considéré comme à : 

effet aléatoire (random effect) si les modalités représentent un 

échantillon parmi une population Wj de valeurs que peut prendre 

le facteur et si ce facteur est inclus dans le modèle dans le but 

de tirer des conclusions sur l’effet du facteur pour les valeurs Wj. 

effet fixe (fixed effect) si ce facteur est inclus dans le modèle 

dans le but de tirer des conclusions sur l’effet du facteur pour les 

valeurs {wj,1,... , wj,m j }. 

Exemples 

Les facteurs variété et dose sont fixes, le facteur bloc est 

aléatoire (ex. 1d, TD1). 

Les facteurs contamination et durée sont fixes, les facteur bacs, 

sujets, lames sont aléatoires (ex. 5, TD1). 


Remarques 

Définitions 






Un même facteur peut avoir une composante fixe et une 

composante aléatoire. 

Les effets d’intéractions avec un facteur à effet aléatoire sont 

aléatoires. 

Les effets nichés dans un facteur à effet aléatoire sont aléatoires. 

Exemples 

On distingue l’effet fixe variété de l’effet aléatoire variété niché 

dans bloc (=parcelle) (ex. 2, TD1). 

L’effet bloc étant aléatoire, l’effet variété niché dans bloc l’est 

aussi (ex. 2, TD1). 


Définitions 



Définition : Effets mixtes 




Un modèle linéaire est à effets mixtes s’il possède une (des) 

variable(s) qualitative(s) à effets fixes et une (des) variable(s) 

qualitative(s) à effets aléatoires. 

Exemples 

Les facteurs variété et dose sont fixes le modèle est à effets 

fixes. 

Les modèle du TD1 sont tous à effets mixtes excepté l’ex. 1a qui 

est à effets fixes. 


















Définitions 






Définition : Modèle ANOVA à effets mixtes non nichés 

On considère un modèle ANOVA à q facteurs (wj) j∈{1,...,q} de variable 

expliquée y. On note wj ...wjs le facteur d’intéraction de niveau 

1 

s − 1 ≥ 1 entre les facteurs wj ,... , wjs . On réalise n mesures 

1 

[yk,(wjk) j∈{1,...,q}] k∈{1,...,n}. Un modèle ANOVA à effets mixtes non 

nichés s’écrit sous la forme 

Remarque 

yk = µ + [βw 1k + · · · + βw qk ] + [βw 1k w 2k + · · · + βw (q−1)kw qk ] + ... 

+[βw 1k...w (q−1)k + · · · + βw 2k...w qk ] + βw 1k...w qk + ǫk 

Chaque facteur wj 1 ...wjs a m1 ...ms modalités et est représenté 

dans l’ANOVA par m1 ...ms coefficients parmi lesquels les βw j1 k...w jsk 

prennent leurs valeurs. 


Exemple 

Définitions 






Pour une ANOVA à q = 3 facteurs w1, w2, w3 de modalités 

respectives {A1, A2}, {B1, B2, B3}, {C1, C2} (m1 = 2, m2 = 3, m3 = 2) 

yk = µ + [βw 1k + βw 2k + βw 3k ] 

+[βw 1k w 2k + βw 1k w 3k + βw 2k w 3k ] + βw 1k w 2k w 3k + ǫk 

βw 1 ∈ {βA 1 ,βA 2 }, βw 2 ∈ {βB 1 ,βB 2 ,βB 3 }, βw 3 ∈ {β C1 ,β C2 }, 

βw 1w 2 ∈ {βA 1B 1 ,...,βA 2B 3 }, βw 1w 3 ∈ {β A1C 1 ,...,β A2C 2 }, 

βw 2w 3 ∈ {β B1C 1 ,... ,β B3C 2 }, βw 1w 2w 3 ∈ {β A1B 1C 1 ,... ,β A2B 3C 2 }. 

Remarques 

Il existe s q différents facteurs wj ...wjs de niveau s ≥ 1. 

1 

µ est la moyenne globale, µ = n k=1 yk/n. 

Ne pas inclure un terme βwj1 ...wjs suppose l’effet wj ...wjs 

1 

inexistant. 


Postulats 

Définitions 



Les variables d’erreur ǫk ∼ N(0,σ 2 ). 




à effets fixes, la somme des 

Pour un facteur wj ...wjs 1 

coefficients βwj1 ...wjs selon les modalités des facteurs wj ,...,wjs 

1 

est nulle. 

Pour un facteur wj ...wjs à effets aléatoires, 

1 

βwj1 ...wjs ∼ N(0,σ2 wj1 ...wjs ) pour chaque modalités de wj ,... , wjs 1 . 

Les variables aléatoires du modèle sont indépendantes 2 à 2 

(pairwise independent). 


Exemple 

Définitions 






Si w1, w2 sont à effets fixes et w3 à effets aléatoires 

βA 1 + βA 2 = 0. 

βB 1 + βB 2 + βB 3 = 0. 

βA 1B 1 + βA 1B 2 + βA 1B 3 + βA 2B 1 + βA 2B 2 + βA 2B 3 = 0. 

β Cj3 ∼ N(0,σ 2 w 3 ) ∀ j3 ∈ {1, 2}. 

β Aj1 C j3 ∼ N(0,σ 2 w 1w 3 ) ∀ j1 ∈ {1, 2}, j3 ∈ {1, 2}. 

β Bj2 C j3 ∼ N(0,σ 2 w 2w 3 ) ∀ j2 ∈ {1, 2, 3}, j3 ∈ {1, 2}. 

β Aj1 B j2 C j3 ∼ N(0,σ 2 w 1w 2w 3 ) ∀ j1 ∈ {1, 2}, j2 ∈ {1, 2, 3}, j3 ∈ {1, 2}. 

ǫk ∼ N(0,σ 2 ) ∀ k ∈ {1,...,n}. 

Les variables aléatoires du modèle sont indépendantes 2 à 2. 


Remarques 

Définitions 






Deux observations ayant une modalité d’un facteur aléatoire 

commune sont corrélées. 

Il est possible d’assouplir ou de durcir les postulats : 

hétéroscédasticité des variables βw j1 ...w js 

, hétéroscédasticité des 

variables ǫk, corrélation des variables ayant une modalité d’un 

facteur aléatoire commune, ... 

Exemple 

Si y1, y2 et y3 sont des échantillons respectifs des modalités A1B1C1, 

A1B2C1, A1B1C2 

cov(y1, y2) = σ 2 C 1 + σ 2 A 1C 1 

cov(y1, y3) = cov(y2, y3) = 0 


Tests 

Définitions 






Pour tester la significativité de l’effet du facteur wj ...wjs 

1 

S’il est à effet fixe, H0 : les m1 ...ms coefficients βwj1 ...wjs sont 

nuls, H1 : l’un des m1 ...ms coefficients βwj1 ...w n’est pas nul. 

js 

S’il est à effet aléatoire, H0 : σ 2 w j1 ...w js = 0, H1 : σ 2 w j1 ...w js 

Exemple 

Pour tester la significativité de l’effet du facteur 

w1 : H0 : βA 1 = βA 2 = 0. 

w3 : H0 : σ 2 w 3 = 0. 

> 0. 

w1w2 : H0 : βA 1B 1 = βA 1B 2 = βA 1B 3 = βA 2B 1 = βA 2B 2 = βA 2B 3 = 0. 

w1w3 H0 : σ 2 w 1w 3 = 0. 

w1w2w3 H0 : σ 2 w 1w 2w 3 = 0. 


Remarques 

Définitions 






Le test de significativité d’un effet fixe wj permet de prendre une 

décision quant à l’importance de l’effet pour les mj modalités 

considérées. Le test de significativité d’un effet aléatoire wj 

permet de prendre une décision quant à l’importance de l’effet 

pour la population représentées par les mj modalités 

considérées. Les mj modalités d’un effet aléatoire wj doivent être 

des échantillons représentatif de la population étudiée. 

Le nombre de modalités mj d’un facteur wj à effet aléatoire doit 

être suffisamment important afin de pouvoir estimer la variance 

σ 2 w j avec une précision suffisante. 

Il se peut que l’on ne teste pas la significativité de certains effets 

aléatoires. Ces effets sont inclus dans le modèle de manière à 

tester correctement la significativité d’autres effets. 


Remarques 

Définitions 






Les paramètres du modèle sont la moyenne globale µ, les 

coefficients des facteurs à effet fixe, les variances des facteurs à 

effet aléatoire, la variance résiduelle σ 2 . 

Il faut calculer une estimation ponctuelle + intervalle de 

confiance des paramètres et tester la significativité des effets. 

On estime les paramètres par maximum de vraisemblance et 

teste la significativité des effets par rapport de vraisemblance 

(détaillé plus loin). 

Sous R 

◮ ANOVA : lm, lme (paquet nlme), lmer (paquet lme4). 

◮ Résultats de l’ANOVA : summary. 

◮ Significativité des effets : anova. 


Définitions 






Modèle ANOVA à effets fixes (type I) non nichés sous R 

✞ ☎ 

# A fixe 

lm(y~A,data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A fixe, B fixe 

lm(y~A*B,data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A fixe, B fixe, C fixe 

lm(y~A*B*C,data=T) 

✝ ✆ 


Définitions 






Modèle ANOVA à effets aléatoires (type II) non nichés sous R 

✞ ☎ 

# A aléatoire 

lmer(y~1+(1|A),data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A aléatoire, B aléatoire 

lmer(y~1+(1|A)+(1|B)+(1|A:B),data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A aléatoire, B aléatoire, C aléatoire 

lmer(y~1+(1|A)+(1|B)+(1|C)+(1|A:B)+(1|A:C)+(1|B:C)+(1|A: 

B:C),data=T) 

✝ ✆ 


Définitions 






Modèle ANOVA à effets mixtes (type III) non nichés sous R 

✞ ☎ 

# A fixe, B aléatoire 

lmer(y~A+(1|B)+(1|A:B),data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A fixe, B fixe, C aléatoire 

lmer(y~A*B+(1|C)+(1|A:C)+(1|B:C)+(1|A:B:C),data=T) 

# A fixe, B aléatoire, C aléatoire 

lmer(y~A+(1|B)+(1|C)+(1|A:B)+(1|A:C)+(1|B:C)+(1|A:B:C), 

data=T) 

✝ ✆ 










Notation 

Définitions 






On suppose les échantillons yk regroupés selon les modalités d’un 

facteur wj 1 puis selon les modalités d’un facteur wj 2 . La structure de 

regroupement est notée wj 1 /wj 2 . Le facteur wj 2 est niché dans wj 1 , 

noté wj 2 (wj 1 ). Les coefficients associés du modèle ANOVA sont notés 

βw j1 k et β w j2 k(w j1 k) prenant leurs valeurs parmi celles de βw j1 et 

β wj2 (w j1 ). β wj2 k(w j1 k) représente l’effet du facteur wj 2 à la modalité wj 2k 

lorsque le facteur wj 1 est à la modalité wj 1k. Les notations, 

remarques, postulats et tests sont similaires pour un modèle ANOVA 

à effets mixtes non nichés. 

Exemples 

Structure bloc/variété (ex. 2, TD1) 

Structure bac/sujet/lame (ex. 5, TD1) 


Exemple 

Définitions 






Pour une ANOVA à q = 2 facteurs w1, w2 de modalités respectives 

{A1, A2}, {B1, B2, B3} (m1 = 2, m2 = 3) et de structure w1/w2 

yk = µ + βw 1k + β w2k(w 1k) + ǫk 

βw 1 ∈ {βA 1 ,βA 2 }, 

β w2(w 1) ∈ {β B1(A 1),β B1(A 2),β B2(A 1),β B2(A 2),β B3(A 1),β B3(A 2)}. 

Exemple 

Pour une ANOVA à q = 3 facteurs de structure w1/w2/w3, w3 de 

modalités {C1, C2} (m3 = 2) 

yk = µ + βw 1k + β w2k(w 1k) + β w3k(w 2k) + ǫk 

β w3(w 2) ∈ {β C1(B 1),β C1(B 2),β C1(B 3),β C2(B 1),β C2(B 2),β C2(B 3)}. 


Remarque 

Définitions 






On peut représenter l’effet niché wj (wj ) en considérant l’effet wj wj 2 1 1 2 

sans considérer l’effet isolé wj (β 2 wj2k(w j1k) = βwj1k w ). C’est ce qui est 

j2k utilisé sous R avec les commandes lm et lmer. 


Définitions 






Modèle ANOVA à effets fixes (type I) nichés sous R 

✞ ☎ 

# A fixe, B(A) fixe 

lm(y~A+B%in%A,data=T) 

lm(y~A+A:B,data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A fixe, B(A) fixe, C(B) fixe 

lm(y~A+B%in%A+C%in%B%in%A,data=T) 

lm(y~A+A:B+A:B:C,data=T) 

# A fixe, B fixe, C(B) fixe 

lm(y~A*B+C%in%B,data=T) 

lm(y~A*B+B:C,data=T) 

# A fixe, B fixe, C(A*B) fixe 

lm(y~A*B+C%in%A:B,data=T) 

lm(y~A*B+A:B:C,data=T) 

✝ ✆ 


Définitions 






Modèle ANOVA à effets aléatoires (type II) nichés sous R 

✞ ☎ 

# A aléatoire, B(A) aléatoire 

lmer(y~1+(1|A)+(1|A:B),data=T) 

lme(fixed=y~1,random=list(A=~1,B=~1),data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A aléatoire, B(A) aléatoire, C(B) aléatoire 

lmer(y~1+(1|A)+(1|A:B)+(1|A:B:C),data=T) 

lme(fixed=y~1,random=list(A=~1,B=~1,C=~1),data=T) 

# A aléatoire, B aléatoire, C(B) aléatoire 

lmer(y~1+(1|A)+(1|B)+(1|A:B)+(1|C:B),data=T) 

# A aléatoire, B aléatoire, C(A*B) aléatoire 

lmer(y~1+(1|A)+(1|B)+(1|A:B)+(1|A:B:C),data=T) 

✝ ✆ 


Définitions 






Modèle ANOVA à effets mixtes (type III) nichés sous R 

✞ ☎ 

# A fixe, B(A) aléatoire 

lmer(y~A+(1|A:B),data=T) 

lme(fixed=y~1+A,random=list(A=~1,B=~1),data=T) 

✝ ✆ 

✞ ☎ 

# A fixe, B(A) aléatoire, C(B) aléatoire 

lmer(y~A+(1|A:B)+(1|A:B:C),data=T) 

lme(fixed=y~A,random=list(A=~1,B=~1,C=~1),data=T) 

# A fixe, B fixe, C(B) aléatoire 

lmer(y~A*B+(1|C:B),data=T) 

lme(fixed=y~A*B,random=list(B=~1,C=~1),data=T) 

# A fixe, B aléatoire, C(B) aléatoire 

lmer(y~A+(1|B)+(1|A:B)+(1|B:C),data=T) 

# A fixe, B fixe, C(A*B) aléatoire 

lmer(y~A*B+(1|A:B:C),data=T) 

# A fixe, B aléatoire, C(A*B) aléatoire 

lmer(y~A+(1|B)+(1|A:B)+(1|A:B:C),data=T) 

✝ ✆ 










Définitions 



Définition : Modèle linéaire à effets mixtes 




Un modèle linéaire à effets mixtes est un modèle ayant pour but 

d’expliquer une variable quantitative y en fonction de variables 

quantitatives (xi) i∈{1,...,p} et qualitatives mixtes (wj) j∈{1,...,q} sous la 

forme 

avec 

yk = β0(w1k,... , wqk) + 

βi(w1k,...,wqk) = βi + 

p 

βi(w1k,...,wqk)xik + ǫk 

i=1 

q 

j=1 

βi,w jk 

où l’on considère n échantillons de valeurs 

[yk,(xik) i∈{1,...,p},(wjk) j∈{1,...,q}] k∈{1,...,n}. 

(i ∈ {0,...,p}) 


Remarques 

Définitions 






Les facteurs (wj)j peuvent être des intéractions ou nichés. 

Les modèles ANOVA à effets mixtes sont un cas particulier de 

modèles linéaires à effets mixtes, les facteurs expliquent les 

termes β0(w1,...,wq) uniquement. 

Un facteur peut être inclu pour un jeu de coefficients 

βi 1 (w1,... , wq) sans être inclus dans un coefficients 

βi 2 (w1,... , wq). 

Exemples 

Rendement d’une variété de blé (Wheat, ex. 11, TD1) 

hauteur ∼ age|graine (ex. 7, TD1) 

circonférence ∼ age|arbre (ex. 8, TD1) 

rendement ∼ concentration|bloc/variété (ex. 9, TD1) 

poids ∼ temps|année/bloc (ex. 10, TD1) 


Définition 

Définitions 






De l’expression yk = · · · + ǫk et des hypothèse d’indépendance et de 

distribution normale des effets aléatoires et des variables d’erreur, on 

en déduit (yk)k = y ∼ N(µ,Σ). Le vecteur µ et la matrice Σ 

s’expriment en fonction des paramètres du modèle notés θ. La 

fonction de vraisemblance (likelihood function) de θ est la densité 

L(θ, y) = p(y|θ). La logvraisemblance (loglikelihood) est 

l(θ, y) = log[L(θ, y)]. Un jeu de paramètres ˆθ estimé par maximum 

de vraisemblance (ML) vérifie : 

ˆθ = Argmax θ [l(θ, y)] 

Exemple : Rendement d’une variété de blé (Wheat) 

✞ ☎ 

reg=lme(fixed=DryMatter~1+fertilizer,random=list( 

Moisture=~fertilizer-1,Tray=~1),data=Wheat) 

✝ ✆ 


Remarques 

Définitions 






ˆθ est trouvé par exemple à l’aide d’un algorithme de descente 

quasi-Newton. 

De la loi de Bayes, L(θ, y) = p(θ|y)p(y)/p(θ) ∝ p(θ|y) dans le 

cas où aucune information a priori sur θ n’est disponible. 

Maximiser la logvraisemblance l(θ, y) revient donc à maximiser 

la loi a posteriori p(θ|y) : on cherche θ le plus probable en vue 

des données disponibles y. 

Les variables des effets aléatoires sont ici supposées 

indépendantes. En pratique (et par défaut sous R avec lme et 

lmer) les variables des effets aléatoires associées à un même 

facteur au sein d’un même groupe pour différentes variables 

quantitatives sont corrélées. 


Définition 

Définitions 






La dérivée seconde de la logvraisemblance est appelée matrice 

d’information de Fisher (information matrix) 

I(θ) = ∂2 l(θ, y) 

∂θ 2 

Propriétés 

L’estimation ˆθ suit approx. une loi normale, ˆθ ∼ N(θ, I(θ) −1 ). Ceci 

permet de calculer des intervalles de confiance des paramètres 

estimés et de tester la significativité des effets fixes. 


✞ ☎ 

anova(reg) 

plot(augPred(reg)) 

✝ ✆ 


Définition 

Définitions 






On considère deux modèles linéaires à effets mixtes M1 et M2. Le 

modèle M1 est dit emboîté (nested) dans M2 si M1 est un cas 

particulier de M2. Le modèle M1 est une restriction (restricted 

model) du modèle M2 dit général (more general model). 

Propriété 

On considère M1 emboîté dans M2, on note L1 < L2 les maxima 

des vraisemblances et t1 < t2 les nombres de paramètres respectifs 

des deux modèles. La statistique du rapport des vraisemblance 

(likelihood ratio test statistics) 2 log(L2/L1) suit approximativement 

une loi du χ 2 à t2 − t1 degrés de liberté. Ceci permet de tester la 

significativité des effets aléatoires. 


Remarques 

Définitions 



M1 emboîté dans M2 ! 




La méthode d’estimation REML (par défaut sous R avec lme et 

lmer) nécessite l’hypothèse supplémentaire qui est que M1 et 

M2 aient les mêmes effets fixes. On peut forcer lme et lmer à 

estimer les paramètres par ML en ajoutant l’option 

method=’ML’. 


✞ ☎ 

reg2=lme(fixed=DryMatter~1+fertilizer,random=list( 

Moisture=~fertilizer-1),data=Wheat) 

anova(reg,reg2) 

✝ ✆ 


Définitions 

Définitions 






On appelle critère d’Akaike (Akaike information criterion, AIC) et 

critère bayésien (Bayesian information criterion, BIC) les quantités 

AIC1 = −2 log(L1) + 2t1 

Remarques 

On préfère M1 à M2 si 

◮ L1 ≫ L2 (au sens du test du χ 2 ). 

◮ AIC1 < AIC2. 

◮ BIC1 < BIC2. 

BIC1 = −2 log(L1) + t1 log(n) 

Ces comparaisons de critères mènent généralement aux mêmes 

décisions, parfois à des décisions contradictoires. 

AIC pénalise 2 log(L2/L1) en fonction de t2 − t1. BIC pénalise 

2 log(L2/L1) en fonction de t2 − t1 en tenant compte du nombre n 

d’échantillons. 


Définitions 



Faraway, J. (2004). Linear Models With R, volume 63 of Texts in 

Statistical Science Series. Chapman & Hall/CRC. 

Faraway, J. (2005). Extending the Linear Model With R : Generalized 

Linear, Mixed Effects and Nonparametric Regression Models. 

Chapman & Hall/CRC. 

Kutner, M., Nachtsheim, C., Neter, J., et Li, W. (2004). Applied linear 

statistical models. McGraw-Hill Irwin, 5th edition edition. 

Pinheiro, J. et Bates, D. (2000). Mixed-effects models in S and 

S-Plus. Springer. 

Wood, S. (2006). Generalized Additive Models : An Introduction with 

R. Chapman & Hall/CRC. 


Notations 

Définitions 



w variable explicative qualitative 

x variables explicatives quantitatives 

y variable expliquée 

z variables explicatives (z = w, x) 

m nombre de modalités d’une variable qualitative 

n nombre d’échantillons 

p nombre de variables explicatives quantitatives 

q nombre de variables explicatives qualitatives 

r nombre de variables explicatives (r = p + q) 

s ordre d’un terme d’intéraction 

t nombre de paramètres d’un modèle 

i indice sur les variables explicatives quantitatives 

j indice sur les variables explicatives qualitatives 

k indice sur les échantillons

Modèles linéaires à effets mixtes Cours 1--2

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