Objets compacts - LUTH - Observatoire de Paris

source, défini par
Qij(t) =
8.2 Quelques ordres de grandeur 141
source
ρ(t, x) xixj − 1
3 x2
δij d 3 x . (8.4)
Notons que Qij n’est pas autre chose que la partie sans trace du moment d’inertie tensoriel
de la source par rapport à l’origine des coordonnées, si bien qu’en utilisant le théorème du
viriel, on peut relier l’amplitude h de h TT
ij à la composante non sphérique E NS de l’énergie
cinétique de la source :
8.2.2 Flux d’énergie
h ∼ G
c 4
E NS
r
. (8.5)
Les ondes gravitationnelles transportent de l’énergie et de l’impulsion ; le tenseur
énergie-impulsion (effectif) correspondant est le tenseur d’Isaacson
Tαβ = 1
32πG 〈∂hTT
ij
∂xα ∂hTT ij
〉 , (8.6)
∂xβ où les crochets 〈· · ·〉 indiquent une moyenne sur plusieurs longueurs d’ondes. Cette expression
n’est valable que loin de la source, là où l’espace-temps peut être assimilé à un espace
plat. Le flux d’énergie F transporté par une onde gravitationnelle s’obtient en prenant la
composante Ttz du tenseur (8.6) (z étant la direction de propagation). On obtient ainsi
F = c3
16πG 〈˙ h 2 + + ˙ h 2 ×〉 , (8.7)
où h+ et h× sont les deux composantes indépendantes de h TT
ij . Pour une onde monochromatique
d’amplitude h et de fréquence f, la moyenne sur quelques longueurs d’ondes vaut
〈 ˙ h 2 +〉 = 〈 ˙ h 2 ×〉 = (2πf) 2 h 2 /2, si bien que
Numériquement :
F =
2
f h
F = 0.3
1 kHz 10−21 2 π c3
4G f 2 h 2 . (8.8)
W m −2 . (8.9)
Cette formule montre qu’une onde gravitationnelle d’amplitude aussi petite que 10 −21
transporte une quantité appréciable d’énergie. En considérant une onde gravitationnelle
comme une “déformation” de l’espace-temps, on peut ainsi dire, par analogie avec la
théorie de l’élasticité, que l’espace-temps est un milieu très rigide.
8.2.3 Luminosité gravitationnelle
En intégrant l’équation (8.6) sur une sphère entourant la source et en utilisant la
formule du quadrupôle (8.2), on obtient la luminosité gravitationnelle de la source (énergie