Objets compacts - LUTH - Observatoire de Paris

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18 Équilibre des objets froids et théorie des polytropes Énergie interne La densité d’énergie interne (non relativiste) ε d’un polytrope est reliée à la pression par P = (γ − 1)ε, (2.65) d’où ε(r) = κ γ − 1 ρ(r)γ = κ γ − 1 ργ c θn(x) n+1 = Pc γ − 1 θn(x) n+1 . (2.66) L’énergie interne de l’étoile est alors R Eint = 0 ε(r) (4πr 2 ) dr = 4π γ − 1 Pc a 3 Xn 0 θn(x) n+1 x 2 dx. (2.67) L’intégrale qui apparaît dans cette expression n’est autre que −(n + 1)/3 × In, en vertu de (2.56). En utilisant la valeur (2.60) de In, il vient Eint = 4π γ − 1 Pc 3 n + 1 a 5 − n X3 n [θn ′ (Xn)] 2 . (2.68) Or d’après l’expression (2.29) de a, Pc = 4πGa 2 ρ 2 c/(n + 1), si bien qu’il vient Eint = En comparant avec (2.62), on obtient Énergie totale (4π) 2 (γ − 1)(5 − n) Ga5 ρ 2 c X 3 n [θn ′ (Xn)] 2 . (2.69) Eint = 1 GM 5γ − 6 2 R . (2.70) L’énergie totale de l’étoile, E, est la somme de son énergie interne et de son énergie potentielle gravitationnelle : E = Eint + Egrav. (2.71) A partir des expressions (2.64) et (2.70), il vient immédiatement 3γ − 4 GM E = − 5γ − 6 2 . (2.72) R Cette énergie peut être interprétée comme l’énergie de liaison de l’étoile : si E < 0 (i.e. γ > 4/3), les particules qui constituent l’étoile ont une énergie totale plus faible que si elles étaient dispersées à l’infini (E = 0), si bien qu’il faudrait fournir de l’énergie pour disperser l’étoile : la configuration est donc liée.
2.4.4 Stabilité des polytropes 2.4 Théorie des polytropes 19 Au vu des formules établies ci-dessus, on peut énoncer les propriétés suivantes : • pour 0 ≤ γ < 6/5 : M = +∞, R = +∞ ; • pour γ = 6/5 : M finie et M(ρc) ↘, R = +∞ ; • pour 6/5 < γ < 4/3 : M finie et M(ρc) ↘, R fini et R(ρc) ↘, configuration non liée et instable ; • pour γ = 4/3 : M finie et indépendante de ρc (M est fixée uniquement par κ), R fini et R(ρc) ↘, configuration marginalement liée ; • pour 4/3 < γ < 2 : M finie et M(ρc) ↗, R fini et R(ρc) ↘, configuration liée et stable ; • pour γ = 2 : M finie et M(ρc) ↗, R fini et indépendant de ρc, configuration liée et stable ; • pour 2 < γ < +∞ : M finie et M(ρc) ↗, R fini et R(ρc) ↗, configuration liée et stable. On peut remarquer que les cas critiques γ = 4/3 et γ = 2 sont les mêmes que ceux qui apparaissent dans la relation masse-rayon (2.47). D’après cette dernière, R est une fonction croissante de M si, et seulement si, γ < 4/3 ou γ > 2. Il convient également de noter que le caractère singulier de γ = 4/3 n’est pas seulement lié à l’indépendance de la masse vis-à-vis du rayon ou de la densité centrale mais aussi à un changement de la stabilité des polytropes par rapport à des perturbations radiales : selon le critère de Ledoux, les polytropes pour lesquels γ > 4/3 (resp. γ < 4/3) sont stables (resp. instables). Bibliographie Chandrasekhar S. 1939 : An introduction to the study of stellar structure, University of Chicago Press (Chicago) ; ré-imprimé chez Dover (New York) en 1967. Hansen C.J., Kawaler S.D., Trimble V. 2004 : Stellar interiors. Physical principles, structure and evolution, 2ème édition, Springer-Verlag (New York). Harrison B.K., Thorne K.S., Wakano M., Wheeler J.A. 1965 : Gravitation Theory and Gravitational Collapse, University of Chicago Press (Chicago) Horedt G.P. 2004 : Polytropes, Kluwer (Dordrecht) Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. 2000 : Méthodes numériques pour le calcul scientifique, Springer- Verlag France (Paris) Rieutord M. 1997 : Une introduction à la dynamique des fluides, Masson (Paris)
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