MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTÈMES

Actes, Congrès intern. Math., 1970. Tome 2, p. 929 à 940.
MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTÈMES
par Ia.G. SINAI
Nous désignons par y-systèmes, F-difféomorphismes et Y-Üots, les systèmes,
diffeomorphism es et flots d'Anosov.
1. Introduction. — La distribution de Gibbs en théorie ergodique
A la base d'une grande partie des résultats exposés ci-dessous se trouve une
idée empruntée à la physique statistique. Nous allons définir, dans le cadre de
la théorie topologique générale des systèmes dynamiques, l'analogue de la distribution
limite de Gibbs de la mécanique statistique (voir [1], [2], [3]).
Soient M un espace métrique compact et complet, {T t } un groupe à un
paramètre d'homéomorphismes de M. Le paramètre t parcourt ou bien tous
les nombres entiers, et dans ce cas les T t représentent toutes les puissances d'une
transformation T x = T, ou bien tous les nombres réels : — °> t 2 > 0 absolument continues par rapport à la mesure p de
façon que soient vérifiées les égalités suivantes :
expf | h(T k x)\
d/V, 2 (*|/Q
(pour le cas du temps discret)
»,-(«= f exp 2 h(T k x)\ dp(x)
M
L *=-*2 J
d Vt v t 2 (x\h)
expT/ 1
/z(7»dw|
'
S *i.'2 (Ä) = jT exp j y* 1 h(T u x) du dp(x)
(pour le cas du temps continu)
DEFINITION 1. - Toute mesure limite (au sens de la convergence faible) pour
la famille de mesures p t t2 (h) pour f,, t 2 -> °° s'appelle distribution limite de
Gibbs. Nous désignons par p(h) la distribution limite de Gibbs.
Nous soulignons que p(h) dépend aussi bien de la mesure initiale p que de la
fonction h.
Soient : M l'ensemble des mots périodiques x = {.. . , x_ n ,.. . , x 0 ,... , x n ,...},
Xj = x i+n égaux à 0 ou 1, avec la période n ; U(j) une fonction que l'on peut
appeler de manière naturelle le potentiel d'interaction; p 0 une mesure uniforme-,

930 la. G. SINAI D 12
T un déplacement et h(x) = £ ^(/) */ *o î a^ors ^a distribution de Gibbs, consci
truite selon nos définitions, coïncide avec la distribution de Gibbs habituelle pour
un gaz sur un réseau de dimension un et de longueur n. La notion de distribution
limite de Gibbs pour les systèmes de la mécanique-statistique a été énoncée
pour la première fois dans l'exposé de N. N. Bogolubov et B.I. Hatzet. [1]. Dernièrement,
des résultats importants dans cette direction ont été obtenus par
D. Ruelle [2] et P.L. Dobrouchine [3]. Le cas considéré par nous correspond aux
systèmes à une dimension de la physique statistique.
Il semble qu'il existe des cas où p(h) n'est pas unique, mais nous ne les connaissons
pas. D'autre part, la recherche des conditions générales d'unicité représente
probablement des difficultés aussi grandes que le problème de l'unicité de la mesure
invariante pour les chaînes de Markov dans le cas d'un espace de phases continu
pour les états. Dans le cas où p(h) est unique et p(h) = lim p t t (h), p(h) sera
*1.*2
une mesure invariante normée pour le groupe {T t }. Ainsi, dans le cas d'unicité,
nous obtenons une méthode assez efficace pour construire et étudier différentes
mesures invariantes pour {T t }. Plus loin, nous considérons des exemples de
problèmes dans lesquels interviennent ces mesures.
2. y-difféomorphismes transitifs et leurs mesures invariantes.
Nous supposons connues les définitions de y-difféomorphismes et leurs propriétés
principales. Rappelions que l'on appelle F-difféomorphisme transitif un
difféomorphisme dont chaque feuille d'une foliation transversale est partout dense.
Pour les y-difféomorphismes transitifs, mon article [4] a établi en fait le résultat
suivant : Soit p une mesure différentielle normée quelconque sur la variété M,
dans laquelle agit le F-difféomorphisme T. Considérons la suite de mesures
p n = p(T*) n . Alors il existe des limites (au sens de la convergence faible)
telles que
M (p) = lim Pn > M (c) = lim P n ,
(1) p^\ pt (c) sont des mesures invariantes pour T, et T , comme automorphisme
métrique de l'espace avec une quelconque de ces mesures, est un AT-automorphisme.
(2) pour chaque partition mesurable des feuilles locales de la foliation dilatante
(contractante), les mesures conditionnelles induites p^, (ju (c) ) sur les éléments
d'une telle partition sont données par des densités relatives à la mesure differentiable.
Chaque mesure possédant les propriétés (1) et (2) est unique. De là
on déduit que si T possède une mesure invariante compatible avec la structure
differentiable, alors JU (C) = /i (p) = p et la mesure p est justement celle-ci. Inversement,
si p^ ¥= p^\ T ne possède pas de mesure invariante compatible avec
la structure differentiable.
THEOREME 1. -Soit hGC(M) satisfaisant à une condition de Holder d'ordre
positif. Alors la distribution limite de Gibbs est
p^(h) = lim M< C > (h) ;

MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTEMES 931
elle est donc unique. T, comme automorphisme de l'espace avec la mesure
p^c\h),
est un K-automorphisme. Les propositions analogues sont valables pour
la mesure p^p\
Les mesures invariantes p^(h), p^\h) ne constituent pas toutes les mesures
invariantes du Y-difféomorphisme T. A.M. Stepin a démontré que T possède
aussi des mesures continues ergodiques invariantes, par rapport auxquelles il
possède des propriétés très modérées de mélange, et, en particulier, a une entropie
nulle.
THEOREME 2. - Soient h x et h 2 vériflant les conditions du Théorème 1. Alors
l'égalité
P {c) (h,) = M (C) (h 2 ) û* w (M = /i w (h 2 ))
a lieu si et seulement s'il existe une fonction u(x), qui vérifie une condition de
Holder d'ordre positif, et une constante C telles que
(1) h x (x) = h 2 (x) + u(Tx) - u(x) + C.
3. Mesure invariante d'entropie maximale. Récemment, E.I. Dinabourg [5]
a démontré que l'entropie topologique d'un homeomorphism e d'un espace
métrique compact de dimension finie est égale à la borne supérieure des
entropies métriques, calculées selon toutes les mesures boréliennes invariantes.
En tant qu'hypothèse, cette proposition a été formulée dans l'ouvrage connu
de Adler, Konheim, McAndrew [6] dans lequel a été pour la première fois introduite
l'entropie topologique. A la même époque, B.M. Gourewitch [7] a construit
un exemple qui a montré que, dans ce théorème, la borne supérieure ne peut
être remplacée par le max. M. Chtilman a construit un exemple d'homéomorphisme
qui est topologiquement transitif et dans lequel l'entropie topologique est obtenue
selon plusieurs mesures invariantes.L'exemple de M. Chtilman rappelle le phénomène
connu de transition de phases de première espèce en physique statistique.
Pour les Y-difféomorphismes, nous avons construit, dans [4], une mesure
invariante selon laquelle l'entropie métrique est égale à l'entropie topologique.
B.M. Gourevitch et R. Bowen [8], indépendamment l'un de l'autre et presque
simultanément, ont établi qu'une telle mesure est unique. Du point de vue métrique,
T, en tant qu'automorphisme de l'espace avec une telle mesure, peut
être réalisé par une chaîne ergodique de Markov (une classe, une sous-classe)
avec un nombre fini d'états. D'ailleurs, R. Bowen a obtenu ses résultats dans
des conditions plus générales : pour les difféomorphismes vérifiant l'axiome de
S, Smale, Bowen a démontré aussi que l'entropie topologique détermine asymptotiquement
l'exposant de l'exponentielle comme le nombre de points périodiques
de l'homéomorphisme (quand la période tend vers l'infini).
Soit pi (max) la mesure invariante du Y-difféomorphisme transitif T par laquelle
on obtient l'entropie topologique. On constate que les mesures invariantes p^ et
pb) décrites ci-dessus, peuvent être obtenues en tant que distributions limites
de Gibbs, calculées à l'aide de la mesure p( max ) à savoir
ßiO = M(m«) 0n W ) } ß (P) s M< m «>(-lnX p (x))

932 la. G. SINAI D 12
où \(x), \ p (x) sont les coefficients de dilatation et de contraction pour les
feuilletages dilatant et contractant respectivement. Pour la mesure /j (max) le
théorème 2 est aussi valable.
4. Problème de l'existence de la mesure invariante compatible avec la différentiabilité
pour les Y-difféomorphismes.
Le problème a été posé dans l'exposé célèbre de S. Smale [9]. Il représente
aussi une partie du problème plus général suivant : quelle est la catégorie de
l'ensemble des C°°-difféomorphismes d'une C"variété compacte qui ont une mesure
invariante compatible avec la différentiabilité. Le théorème suivant vaut :
THEOREME 3. — L'ensemble des Y-difféomorphismes transitifs de classe C°° qui
n'ont pas de mesure invariante compatible avec la différentiabilité contient un
ensemble ouvert et partout dense.
L'idée de la démonstration de ce théorème est la suivante : il suffit de considérer
les Y-difféomorphismes T qui se trouvent dans un voisinage suffisamment petit
d'un Y-difféomorphisme transitif T 0 de sorte que tous les T soient conjugués
topologiquement avec r o . Si U est un homéomorphisme pour lequel T 0 U = UT
alors p^U* = ~p (p) , ju (c) £/* ="jü (c) sont des mesures invariantes pour le Y-difféomorphisme
T 0 . Il se révèle que ces mesures peuvent être obtenues comme les
distributions limites de Gibbs en les construisant à l'aide de la mesure /x (max) avec
l'entropie maximaie pour T 0 ,à savoir de la façon suivante :
-(P) = M(max) (_ ln ^ ( C r Ij)) 9 -jjj(c) = M(max) ( m ^(tf- 1 *))
où X p , \ c sont les coefficients de dilatation de contraction pour le Y-difféomorphisme
T. De ce qui a été dit au § 2 découle que le Y-difféomorphisme T
a une mesure invariante compatible avec la différentiabilité si et seulement si
Etant donné que U vérifie la condition de Holder, h t (x) = lnX p (£/ _1 x)
et h 2 (x) = ln X c (i/~ 1 x) vérifient aussi cette condition. Et nous pouvons
donc utiliser le théorème 2, dont on déduit que si~p^ ="jü (c * ces deux fonctions
vérifient la relation (1).
Utilisons maintenant un théorème de A.N. Lifchitz, selon lequel il faut et il
suffit, pour que la relation (1) soit vérifiée, que, pour une constante C et pour
toute trajectoire périodique x, Tx,.. ., T K ~ x x, T K x - x, ait lieu l'égalité suivante
c'est-à-dire que
£=-i
__
X h l (1 4 x) = % h 2 (F x )+; KC
1 = 0 '=o
(2) p j ' lh l (T i x)-h 2 (T i x)]
Ä /=o
soit le même pour toutes les trajectoires périodiques.

MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTEMES 933
De là on déduit que l'ensemble des Y-difféomorphismes, pour lesquels h t et
h 2 ne satisfont pas la condition (1), est ouvert. Pour démontrer que cet ensemble
est partout dense, il suffit de considérer, pour un Y-difféomorphisme pour lequel
se vérifie la condition (1), une perturbation arbitrairement petite dans le voisinage
de deux trajectoires périodiques différentes et de vérifier que, pour une perturbation
de forme générale, l'expression (2) devient différente pour ces deux
trajectoires.
5. Petite perturbation stochastique des Y-difféomorphismes.
Le problème dont il s'agit maintenant est plus intéressant dans le cas du temps
continu, et nous considérerons ce cas plus loin. Mais le cas du temps discret
est un peu plus simple.
Considérons une famille de distributions de probabilités
q ( • \x e) (xEM)
où e est un paramètre. Supposons que q ( • \x , e) est une fonction continue du
point x et que pour chaque p fixé, on a
(3) minq(Q p (x)\x ,e)-+ 1 si e -* 0
où 0 p (x) est une boule de rayon p de centre x. Soit Tun homéomorphisme quelconque
de M. Construisons une famille de chaînes de Markov II e dans laquelle
le mouvement du point aléatoire x se déroule de la façon suivante : d'abord, x
passe au point Tx et ensuite au point aléatoire z, choisi suivant la distribution
q('\Tx, e).
En raison de la condition (3), il est naturel d'appeler la famille de chaînes de
Markov Il e une petite perturbation stochastique de l'homéomorphisme. Il est
facile de démontrer la proposition suivante (voir aussi [10]) :
Si $g e = { 7r e } est une collection de mesures invariantes pour la chaîne de
Markov Il e , alors toute mesure limite (au sens de la convergence faible) pour la
famille % (pour e -> 0) est une mesure invariante pour T.
Il est facile de construire des exemples de

934 la. G. SINAI D 12
max g(y\x,e)
-—°2(_) ^ const.
min g (y\x , e)
«iW
Il est naturel d'appeler ces perturbations stochastiques "localisées". Sous nos
hypothèses, il n'est.pas difficile de démontrer que la mesure invariante ir e est
unique et dans ce cas le problème consiste à étudier le comportement asymptotique
de ir € quand e -> 0.
Nous pouvons considérer que la chaîne de Markov Il e est stationnaire et que
son temps varie dans l'intervalle (— °°, + °°).
Soient M
que F(CJ) = z 0 .
en supposant
De l'égalité FT m — TF, découle que la mesure p e induite par cette application
sur M est invariante par rapport à T. On démontre alors, que p € est une distribution
limite de Gibbs, construite à l'aide de la mesure ju (max) et d'une certaine
fonction h e . La forme de cette fonction est assez complexe, et nous l'omettons
ici. L'important est que la fonction h € satisfasse la condition de Holder.
En fixant le point z 0 , considérons l'ensemble F~ 1 (z 0 ). Pour presque tout point
z 0 , sur F~\z 0 ) on obtient une distribution conditionnelle de probabilité. Il est
facile de démontrer que le processus conditionnel correspondant est une chaîne
ergodique Markovienne non-homogène.
Soit T e (-\z 0 ) la densité de la distribution pour la coordonnée z 0 calculée suivant
la mesure conditionnelle dans l'espace F~ 1 (z 0 ).
Alors
(4) *M) = f dp e (z 0 ) f T € (y\z 0 )dy , AC M.
La densité T € est différente de zéro dans un voisinage dont le diamètre n'est
pas supérieur à Cô 2 (e) où C dépend uniquement de T.
De (4) on déduit facilement que lim ir € = lim p e si au moins une de ces
e->0 e->0
limites existe. Pour certaines hypothèses naturelles sur la dépendance de q (-\x, e)
nous avons démontré que lim p e existe et qu'elle est égale à /x (c) .

MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTEMES 935
6. Mesures invariantes pour un Y-flot.
On n'a pas encore réussi à étendre complètement la théorie, exposée ci-dessus
pour les Y-difféomorphismes, au cas du temps continu, bien qu'il existe des
raisons sérieuses de croire que les théorèmes correspondants restent valables dans
ce cas également.
G.A. Margouliss (11), (12), a construit une mesure invariante /i (max) avec une
entropie maximale pour des Y-flots transitifs. A notre connaissance, le théorème
d'unicité d'une telle mesure n'a pas été démontré. La mesure construite par
G.A. Margouliss possède une propriété remarquable. Les coefficients de dilatation
et de contraction, calculés suivant cette mesure, sont constants (ne dépendent
pas du point) et la constante correspondante h est égale à l'entropie topologique.
En outre, comme l'a démontré Margouliss, cette même constante h joue un rôle
dans la valeur asymptotique du nombre des trajectoires fermées du Y-flot : si
v(t) est le nombre des trajectoires fermées de multiplicité 1 d'un Y-flot transitif
dont période n'est pas supérieure à t, alors :
hm = h.
f->oo t
Dans les articles de Margouliss se trouvent aussi des formules donnant les termes
suivants du développement asymptotique de la fonction v(t).
M.E. Ratner (13), (14), en utilisant les méthodes de l'article [4] pour des
Y-flots transitifs de dimension 3, a construit des mesures invariantes p^ et p.*?)
liées à la structure differentiable de la variété de la même façon que dans le
cas du temps discret, à savoir :
1) Le Y-flot {T t }, comme groupe à un paramètre de transformations de
l'espace M, conservant la mesure JU (C) ou p^p]
est un Ä-flot.
2) pour chaque partition mesurable des feuilles locales contractantes (dilatantes),
les mesures conditionnelles, induites sur les éléments de la partition par la mesure
jLi (c) (u^), sont données par une densité suivant la mesure differentiable. Chaque
mesure ayant les propriétés 1) et 2) est unique.
Pour les Y-flots à trois dimensions on obtient un théorème analogue au théorème
1, à savoir :
THEOREME 4. - Pour chaque fonction h E C(M) vérifiant la condition de Holder
et chacune des mesures p^ et p^ il existe une seule distribution de Gibbs
p( c Hh), p( p \h). Le Y-flot {T t } avec une telle mesure est un K-flot.
Les mesures p^ et p^ peuvent être obtenues comme les distributions limites
de Gibbs, construites à l'aide de /x< max >
7. Les petites perturbations stochastiques des champs vectoriels par des processus
de diffusion.
Soit M une C°°-variété Riemanienne sans bord. Pour les problèmes considérés
ci-dessous, il est nécessaire d'introduire des processus Markoviens de diffusion
sur la variété differentiable M. Pour la première fois, de tels processus sont apparus

936 la. G. SINAI D 12
dans l'exposé de A.N. Kolmogoroff [15]. K. Ito [16] a construit, pour ces processus,
des équations différentielles stochastiques. Notre approche est voisine de
celle de R. Gangolli [17] décrite dans un article plus récent. Considérons l'espace
tangent % x au point x et une distribution régulière Gaussienne dans c g x centrée
à l'origine et de matrice de dispersion o(x).
DEFINITION. — Soit (s ={a(x)} un champ de matrices définies positives sur M.
On appelle "bruit blanc" sur la variété M la mesure définie dans le fibre tangent
%(M) par
x eM
où g x a est la distribution Gaussienne dans *6 X avec la matrice de dispersion a(x)
( Il désigne le produit direct des mesures ).
^xeM /
Soient a un C°°-champs vectoriel sur M et v a le bruit blanc sur M avec la C°°fonction
a(x). Fixons x 0^M et considérons l'espace C XQ ([0 , T]) des applications
continues x(t) du segment [0 , T] dans M avec la condition x(0) = x 0 . Nous allons
construire une mesure P XQtT dans C ([0, T]). Divisons le segment [0, T] en
2" parties égales et pour chaque n définissons "la trajectoire aléatoire" sur M
de la façon suivante : si la trajectoire aléatoire x(t) est définie pour 0 < t < T—,
m < 2 n
alors nous choisissons un vecteur aléatoire b m avec la distribution g , mN
x(T-Aa
et nous supposons que
2«
où exp z est une application exponentielle de c fê z dans M
T—

MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTEMES 937
Cette construction correspond à l'idée physique d'un processus de diffusion
ou comme la limite d'un "random walk".
DEFINITION. — Le, processus de diffusion Markovien pour lequel
a = 0 , o(x) = I
(où /
est la matrice unité) s'appelle le mouvement brownien de la variété.
DEFINITION - Soit, sur la variété M, un champ vectoriel OL. On appelle "petite
perturbation stochastique du champ vectoriel a" la famille des processus Markoviens
de diffusion d\Z aea .
P.F. Khasminsky [10] a démontré en fait le théorème suivant :
THEOREME. - Soient M une variété compacte, IT e un ensemble de mesures
invariantes pour le processus Markovien 0K aea . Alors, toute mesure qui est une
limite faible des mesures de U € (si e -• 0),' est une mesure invariante pour le
champ vectoriel a.
Le problème d'étude de ces mesures p a été posé à plusieurs reprises par
A.N. Kolmogorov. Du point de vue analytique il s'agit d'étudier l'allure asymptotique
des solutions positives des équations différentielles linéaires elliptiques du
2 eme ordre sur les variétés quand le coefficient des dérivées du degré supérieur
est un paramètre e tendant vers 0. Le cas d'une dimension a été considéré par
Andronov, Vitt, Pontryaguin [19]. Certains champs vectoriels ont été étudiés,
de ce point de vue, par R.Z. Kchasminsky sur le tore de 2 dimensions [10].
Récemment, des résultats importants ont été obtenus par A.D. Ventzel et
M.l. Frildman [20]. Ils ont étudié en fait le cas où l'ensemble de points nonerrants
(no-wandering) du champ vectoriel est composé d'un nombre fini de
points et de courbes fermées. Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier
les petites perturbations stochastiques des Y-flots et les problèmes qui s'y rattachent.
8. Les petites perturbations stochastiques des flux géodésiques dans les espaces
à courbure négative et les questions connexes.
Le lemme du paragraphe 5 indique que, dans le cas des perturbations stochastiques
localisées des Y-difféomorphismes, chaque réalisation de la chaîne de
Markov se trouve dans un petit voisinage de la trajectoire du Y-difféomorphisme.
Pour les perturbations non-localisées, ceci n'est plus exact. Cela l'est encore moins
dans le cas des petites perturbations stochastiques des Y-flots. Cependant, il
existe dans ce cas un analogue au lemme du paragraphe 5. Arrêtons-nous plus
en détail sur ces résultats.
Soient M le fibre tangent unitaire d'une surface compacte Q, ayant une courbure
négative, et {T t } un flot géodésique dans M. On sait que {T t } représente un
exemple classique de Y-flot. Nous désignons par o: le champ vectoriel qui lui
correspond et nous introduisons une petite perturbation stochastique d]Z a ,ea-
Considérons la surface Q de courbure négative, qui est le revêtement universel

938 la. G. SINAI D 12
de Q ; soit M le fibre tangent unitaire de M. Alors M est le revêtement de M ;
M est muni d'un champ vectoriel a. et d'une petite perturbation stochastique
dit z t€ z. Le théorème suivant s'applique aux réalisations du processus Markovien
THEOREME. — Pour chaque e suffisamment petit, presque chaque réalisation
co = co(f) du processus dit 5 e- tendvers l'infini si t -* °°. De plus, si q 0^Q est un
point fixé, il existe une demi-géodésique unique q(t) issu du point q 0 telle que
d(cj(t) ,q(t)) < const t, où la constante dépend de co mais non de t.
Si Q est équivalent conformément à la surface ß 0 , de courbure négative constante,
on peut alors réaliser les éléments linéaires sur Sfc par des matrices unimodulaires
du deuxième ordre. Le processus de diffusion Markovien dans l'espace
de telles matrices représente une généralisation naturelle du produit des matrices
aléatoires au cas du temps continu. Pour les produits des matrices aléatoires,
on connaît le théorème de G. Furstenberg [21], montrant que le comportement
asymptotique des produits des matrices aléatoires est semblable au comportement
décrit par le théorème mentionné ci-dessus. C'est pourquoi on peut considérer
notre théorème comme apparenté au Théorème de Furstenberg.
Il faut noter aussi le fait que pour les sommes des grandeurs aléatoires indépendantes,
on connaît le principe d'invariance de Donsker, qui permet de ramener
ces sommes au mouvement Brownien.
A notre connaissance un tel principe n'existe pas, jusqu'à présent, pour le
produit des matrices aléatoires.
Un théorème analogue au précédent est le suivant qui a été démontré par
F.I. Karpelevitch et par nous, mais qui est vraisemblablement connu de beaucoup
d'autres mathématiciens.
THEOREME — Soit Q un espace à n dimensions, de courbure négative, et homéomorphe
à R n . On suppose que la courbure suivant chaque direction plane est
comprise entre deux constantes négatives. Alors, pour presque toute trajectoire
co(f ), co(0) = q 0 ,du mouvement brownien sur Q, il existe une semi-géodésique
ÏÏ(t\ 5t0) = täte 4 ue d(c5(t), q(t)) < const. t,où, comme dans le cas précédant
la constante dépend de aï et, non de t.
Ces deux théorèmes sont en relation avec l'étude de la frontière de Martin des
processus de diffusion considérés ici, mais les questions correspondantes n'ont pas
encore été tirées au clair.
Revenons au problème de l'étude du comportement asymptotique (quand e ->• 0)
des mesures invariantes des processus de Markov dVL at€a où a est un champ vectoriel
engendrant le Y-flot sur une variété compacte tridimensionnelle. Pour le
problème analogue dans le cas du temps discret, nous construisons l'application S».
Ici il n'existe pas d'application de ce type. Mais on peut tout de même construire
une application &' e , dépendant de e, qui possède un grand nombre de propriétés
de l'application B*. En particulier si p € est l'image de la distribution Markovienne
de probabilités par l'application &* € , la valeur asymptotique de la mesure

MESURES INVARIANTES DES Y-SYSTEMES 939
p € (si e -• 0) coincide avec celle de la distribution invariante pour notre processus
de Markov quand e -* 0. A l'aide de cette idée, on peut démontrer le théorème
suivant :
THEOREME. — Pour e -+ 0 les distributions invariantes du processus Markovien
3Tc ae(T convergent faiblement vers la mesure p^. En particulier, si le Y-flot
{T t } a une mesure invariante p compatible avec la différentiabilité, c'est-à-dire
si pW = pW = p alors les distributions ci-dessus convergent faiblement vers p.
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