FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN
MANNIGFALTIGKEITEN
HEINRICH BEHNKE
Eine der wesentlichen Einsichten, die wir Riemann *) verdanken, ist die
Tatsache, dass die Gesamtheit der algebraischen Funktionselemente irgendeiner
analytischen Funktion einer Veränderlichen, das analytische Gebilde dieser
Funktion genannt, eine komplexe Mannigfaltigkeit 2J1 1 über der geschlossenen
2-Ebene bildet. Auf Poincaré 2 ), Klein, Koebe, Hermann Weyl 3 ) und Rado 4 )
geht die Erkenntnis zurück, dass jede komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension
1 das konforme Bild eines analytischen Gebildes ist.
In höheren komplexen Dimensionen betreffen die beiden Begriffe analytisches
Gebilde und komplexe Mannigfaltigkeit im allgemeinen Fall nicht mehr
dieselben Dinge. Es gibt analytische Gebilde, die keine komplexen Mannigfaltigkeiten
sind. So hat das analytische Gebilde von w = y/z x z^ also einer
besonders einfachen algebraischen Funktion, über z ± = z 2 = 0 keinen sphärischen
Punkt mehr. Insbesondere also gibt es dort kein Paar holomorpher
Funktionen, das eine Umgebung dieses Punktes eineindeutig in den Raum C 2
von zwei komplexen Veränderlichen abbildet. Ebenso gibt es komplexe Mannigfaltigkeiten,
auf denen als einzige dort meromorphe Funktionen die Konstanten
vorkommen 5 ).
A. Kritische Punkte und Riemannsche Gebiete.
In der Literatur werden die analytischen Gebilde der Funktionen
f(z lf . . ., z n ) durchweg ohne die nicht uniformisierbaren Punkte, hier kurz
*) Vergi. B. Riemann, Grundlagen für eine allg. Theorie der Funktionen einer veränderlichen
complexen Größe, Gesammelte Werke pp. 3-47.
2 ) Vergi. H. Poincaré, Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, Act. Mathem., 1 (1882),
pp. 207.
3 ) Vergi. H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Teubnerverlag 1913.
4 ) Vergi. T. Rado, Über den Begriff der Riemannschen Fläche, Acta Szeged 2, pp.
101-121.
5 ) Der (kompaktifizierte) Fundamentalbereich der Periodenmatrix.
/l 0 »V2 »V5\
\0 1 iV3 *A/3 tV7/ W7
im C 2 hat nach C. L. Siegel diese Eigenschaft. Vergi. C. L. Siegel, Several complex variables,
Princeton.
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kritische Punkte genannt, betrachtet (das entspricht dem naiven Standpunkt
in der klassischen Theorie, die algebraischen Verzweigungspunkte herauszunehmen).
Doch sind neuerdings einige Arbeiten erschienen, in denen begonnen
wird, auch verzweigte Gebiete zu untersuchen.
F. Hirzebruch 6 ) nimmt aus den analytischen Gebilden © der Funktionen
f(z v z 2 ) die in diesem Falle isoliert liegenden kritischen Punkte heraus und
ersetzt sie durch Bäume von kompakten analytischen Flächen, so dass das
abgeänderte Gebilde ©' eine komplexe Mannigfaltigkeit wird, in der die eingesetzten
Flächen singularitätenfrei liegen. Dieser Prozess entspricht der in der
algebraischen Geometrie bekannten Auflösung der Singularitäten algebraischer
Flächen. Wichtig ist dabei die in der algebraischen Geometrie bekannte
quadratische Transformation, die von H. Hopf unter der Bezeichnung cr-Prozess
für beliebige komplexe Mannigfaltigkeiten der (komplexen) Dimension 2
definiert wurde. Eine analoge Theorie für die analytischen Gebilde der Funktionen
von n(n > 2) komplexen Veränderlichen steht noch aus.
Sodann gibt es zwei Arbeiten, in denen der Begriff der komplexen Mannigfaltigkeit
so zum Begriff des Riemannschen Gebietes (espace analytique
général) erweitert wird, dass die analytischen Gebilde aller f(z v . . ., z n ) darunter
fallen.
Die in der ersten Arbeit 7 ) eingeführten Riemannschen Gebiete © haben
die folgende Eigenschaft : Jeder Punkt besitzt eine Umgebung U, die zu einem
analytischen Repräsentanten über dem endlichen Räume C 2 von n komplexen
Veränderlichen analytisch äquivalent ist. Dabei ist ein analytischer Repräsentant
eine endlichfache, analytisch verzweigte Überlagerung Eu einer offenen
Hyperkugel Sjj im C n . Analytisch verzweigt heisst, dass die Fusspunkte der
Verzweigungspunkte von Su eine analytische Fläche / = 0 in S# ausmachen.
Bei H. Cartan 8 ) sind die analytischen Repräsentanten anders definiert:
Jeder analytische Repräsentant ist analytisches Gebilde einer durch eine
Pseudopolynomgleichung w k + ^i(*i> • • -, z n ) w*- 1 + . . . + A k (z lt . . ., z n ) =0
definierten Funktion. Der so aufgestellte Begriff des espace analytique général
ist per definitionem spezieller als der vorher eingeführte Begriff des Riemannschen
Gebietes. Zuletzt zeigt es sich aber doch, dass beide Begriffe äquivalent
sind 9 ).
6 ) Vergi. F. Hirzebruch, Über vierdimensionale Riemannsche Flächen mehrdeutiger
Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen, Math. Ann. 126 (1953), pp. 1-22.
1 ) Vergi. H. Behnke und K. Stein, Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und
Riemannscher Gebiete, Math. Ann. 124 (1951/52), pp. 1-16.
8 ) Vergi. H. Cartan, Séminaire 1950-51, Exposé 13.
9 ) Die Äquivalenz konnte in einer demnächst erscheinenden Arbeit von R. Remmert
und H. Röhrl nachgewiesen werden.
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B. Funktionen auf Riemannschen Flächen.
Im folgenden werden wir uns weiterhin nur noch mit der Funktionentheorie
auf komplexen Mannigfaltigkeiten 10 ) beschäftigen (also wie üblich die
kritischen Punkte herauslassen). Wir beschränken uns dabei fast immer auf
nicht kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten, weil die kompakten Mannigfaltigkeiten
zu besonderen umfangreichen Theorien, nämlich der der Kählerschen
und der der algebraischen Mannigfaltigkeiten Anlass gegeben haben.
Die Funktionentheorie auf nicht kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten
sei hier zunächst für n = 1 behandelt und zwar in der modernen
Sprache, in der wir sie dann auf n > 1 verallgemeinern können. Dabei wird
ausschliesslich von eindeutigen Funktionen auf den jeweils betrachteten
Mannigfaltigkeiten gesprochen.
Seit Poincaré ist bekannt, dass auf jeder 3J1 1 eine meromorphe Funktion
existiert. Dass es aber zu jeder offenen Riemannschen Fläche eine auf ihr
holomorphe Funktion gibt, die nicht zu den trivialen konstanten Funktionen
zählt, ist eine Aussage, die erst neuerdings bewiesen ist n ).
Das gelingt mit Hilfe der verallgemeinerten Integralformel:
(1) f(z)=±J A(Ç,z)f(C)dÇ,
wobei A (f, z) dÇ ein meromorphes Differential mit einem Pol erster Ordnung
und dem Residuum 1 für £ = z in der Produktmannigfaltigkeit *© X *© ist.
Dabei stehen die Bereiche 12 ) ©, *© und die Riemannsche Fläche #t in der
Beziehung © (£ *© (^ 9î 13 ). §1C 93 heisst, dass 91 eine relativkompakte Teilmenge
von 35 ist.
Das Integral in (1) wird ebenso wie das Cauchysche Integral beim Beweis
des Rungeschen Satzes behandelt. So kommen wir zu dem Satz über die
Approximation von Funktionen, die holomorph in gegebenen Bereichen © sind,
durch Funktionen, die noch in © umfassenden Bereichen holomorph bleiben.
(Approximationssatz). Es sei f in © holomorph, es sei © in bezug auf *©
10 ) Der Begriff der komplexen Mannigfaltigkeit taucht, so weit bekannt ist, zum ersten
Mal in einer Arbeit von O. Teichmüller über „Veränderliche Riemannsche Flächen" auf,
vergi. Deut. Math. 1944, pp. 344-359. Die Aufmerksamheit der Fachwelt wurde auf diesen
Begriff durch die Vorträge und Aufsätze der Herren Heinz Hopf und Charles Ehresmann
1947 und ff. Jahre gelenkt.
11 ) H. Behnke und K. Stein, Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen
Flächen, Math. Ann. 120 (1947/49;, pp. 430-461.
12 ) Unter einem Bereich sei hier eine offene, nicht notwendig zusammenhängende Punktmenge
in SR verstanden.
13 ) Selbstverständlich wird vom Rande von Ob vorausgesetzt, dass er rektifizierbar ist.
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elativ einfach zusammenhängend, d. h. jeder Zyklus aus ©, der in *© berandet,
berandet auch in ©; dann ist f(z) in © der Limes einer dort gleichmässig konvergierenden
Folge f n (z), wobei die f n (z) in *© holomorph sind.
Als *© kann auch SR gewählt werden, wenn © in bezug auf SR einfach
zusammenhängend ist. Das trifft insbesondere zu, wenn wir als © eine oder
mehrere sich nicht schneidende Kreisscheiben in SU wählen.
Hieraus folgt sofort, dass es auf jeder offenen Riemannschen Fläche SR
holomorphe, nicht konstante, eindeutige Funktionen gibt. Man wähle nämlich
in einer Kreisscheibe / = 0, in einer anderen nicht schneidenden Kreisscheibe
von SR die Funktion / = 1. Dann sind die f n (z) für n > n Q auf ganz SR holomorphe,
nicht konstante Funktionen.
Nun ergeben sich die folgenden Eigenschaften von SR unmittelbar.
1. Die Trennbarkeit der Punkte auf SR durch die holomorphen Funktionen.
Sind P x und P 2 verschiedene Punkte auf SR, so gibt es immer eine auf SR
holomorphe Funktion f(z) t so dass f(P^ ^ /(i^)-
2. • Die Existenz von überall auf SR holomorphen lokalen JJniformisierenden.
Zu jedem P r e SR gibt es eine auf SR holomorphe Funktion t(P) t die eine Umgebung
von P ± uniformisiert.
3. SR ist holomorphkonvex u ). D. h. zu jedem relativ kompakten Bereich
$8 von SR ist die Menge der Punkte P, für die in bezug auf alle in SR holomorphen
Funktionen / gilt:
| f(P) | ^ Max | /(») |,
eine kompakte Menge in SR.
4c. Es gilt die verallgemeinerte Aussage von Mittag-Leffler für SR 15 ).
Das bedeutet: Wenn auf der Riemannschen Fläche SR zu einer sich auf SR nicht
häufenden Punktmenge P v , v = 1, 2, . . ., Hauptteile G v (z) vorgegeben werden,
so gibt es immer auf SU eine meromorphe Funktion F Q (z), so dass F Q (z)—G v (z)
in einer Umgebung VL(P V ) holomorph ist. Zum Beweise wird die Funktion
A (Co» z ) benutzt, die auf SR meromorph ist und nur im Punkte z = Co einen Pol
erster Ordnung mit dem Residuum 1 hat. Die konvergenzerzeugenden Summanden,
die zur Konstruktion der Mittag-Lefflerschen Reihe erforderlich sind,
liefert der oben zitierte Approximationssatz.
14 ) H. Behnke und K. Stein, Elementarfunktionen auf Riemannschen Flächen als Hilfsmittel
für die Funktionentheorie mehrer Veränderlichen, Canad." Journ. of Mathem. 2
(1950), pp. 152-165.
15 ) Zum Nachweis der Eigenschaften 4, 5 und 6 auf offenen Riemannschen Flächen vergi.
H. Behnke und K. Stein, Die Sätze von Weierstrass und Mittag-Leffler auf Riemannschen
Flächen, Die Jahresschr. d. naturforsch. Ges. Zürich 85 (1940),
ferner H. Florack, Reguläre und meromorphe Funktionen auf nicht geschlossenen Riemannschen
Flächen, Schriftenreihe des Math. Inst. d. Univ. Münster (Westf.), Heft 1,
(1944).
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Das vorstehende lässt sich auch als Lösung des sog. ersten Cousinschen
Problems auf 5R auffassen. Man weise den Punkten P v die obigen Lokalfunktionen
G v (z) und den übrigen Punkten von SR die Lokalfunktionen G p (z) = 0 zu.
Als U(P) wird dann für P = P v die Umgebung VL(P V ) gewählt, im anderen
Falle eine so kleine Umgebung, dass in ihr keine der Punkte P v liegen. Zu dieser
Verteilung meromorpher . Lokalfunktionen, die hier selbstverständlich der
Verträglichkeitsbedingung genügt, gibt es dann die Funktion F 0 (z), so dass
F 0 (z) — G p (z) in U(P) bzw. F 0 (z) — G v (z) mU(P v ) holomorph ist. Man sagt,
es gelte in SR die erste Cousinsche Aussage.
5. Ganz Analoges gilt für die Aussage von Weierstraß über die Existenz von
Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen 16 ). Wir drücken sie hier nach P.
Cousin noch auf eine zweite Art aus: Zu jedem Punkt P e SR wird eine lokale
holomorphe Funktion G P (z) in U(P) gegeben. In U(P)OU(Ç) soll - ^
G Q( Z )
holomorph und von 0 verschieden sein. Dann gibt es auf SR eine holomorphe
Funktion F^z), so dass in den ausgezeichneten Umgebungen U(P) die Funk-
F (z)
tion holomorph und ungleich 0 ist. Wir sagen, auf SR gelte die zweite
G p (z)
Aussage von Cousin.
6. Es gilt auf SR die Aussage von Poincaré 17 ): Ist F(z) eine auf SR
meromorphe Funktion, so gibt es auf SU zwei holomorphe Funktionen g x (z),
g 2 (z), die lokal teilerfremd sind, so dass F(z) =
auf SR ist.
C. Holomorph vollständige komplexe Mannigfaltigkeiten.
Für die komplexen Mannigfaltigkeiten höherer Dimension ist vieles ganz
anders. L. Calabi und B. Eckmann 18 ) haben eine offene komplexe Mannigfaltigkeit
SK n vom Typ der 2w-dimensionalen Zelle angegeben, bei der der Ring
der auf 2Jl n holomorphen Funktionen nur aus den Konstanten besteht. Offenbar
können auf einer solchen Mannigfaltigkeit die Eigenschaften 1) — 5) aus B.
nicht erfüllt werden. Für n = 1 ist die Zelle nur zweier komplexer Strukturen
fähig, nämlich der des Kreises und der der offenen Ebene. In beiden Fällen
gibt es genügend viel nichtkonstante holomorphe Funktionen, so dass 1) — 5)
erfüllt werden können. Für n > 1 hat die 2w-dimensionale Zelle kontinuierlich
16 ) K. Weierstraß, Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Math. Werke 2,
pp. 77-124.
17 ) H. Poincaré, Sur les fonctions de deux variables, Act. Math. 2 (1883).
18 ) L. Calabi und B. Eckmann, A class of compact complex manifolds, which are not
algebraic, Ann. of Mathem 58 (1953), pp. 494-500.
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viele komplexe Strukturen, darunter die von den eben zitierten Autoren entdeckten
funktionsarmen Strukturen.
Somit müssen wir, um auf einer -äK" Funktionentheorie treiben zu können,
besondere Forderungen an Sßt 1 stellen. Hierzu ist von K. Stein der Begriff der
holomorph vollständigen (komplexen) Mannigfaltigkeit eingeführt worden 19 ).
Eine komplexe Mannigfaltigkeit SUI 71 heisst eine holomorph vollständige Mannigfaltigkeit,
wenn die Bedingungen 1) — 3) von B. erfüllt sind und ausserdem
W n eine abzählbare Basis hat. Die Bedingung 2 ist dabei in folgendem Sinne auf
mehrere Veränderliche zu übertragen: Zu jedem Punkte P ± eSSRP 1 muss es n in
SSSÌ? 1 holomorphe Funktionen geben, die eine Umgebung U(P) eineindeutig auf
ein Gebiet im C n abbilden. Das Abzählbarkeitsaxiom können wir hier nicht
vermeiden. T. Rado 20 ) hatte ja in seiner viel beachteten Arbeit gezeigt, dass es
auf einer 3J1 1 entbehrlich ist. Andererseits haben H. Hopf und auch L. Calabi
und M. Rosenlicht 21 ) Beispiele von komplexen Mannigfaltigkeiten angegeben,
die keine abzählbare Basis besitzen 22 ).
Auf den holomorph vollständigen Mannigfaltigkeiten gilt wieder ein
Approximationssatz :
Ist ® n eine holomorph vollständige Mannigfaltigkeit, die Teil einer holomorph
vollständigen Mannigfaltigkeit SSRJ 1 ist, und ist © n auf SJt 71 halbstetig über lauter
holomorph vollständige Mannigfaltigkeiten ausdehnbar, so lässt sich jede in © n
holomorphe Funktion im Innern von & n durch in SK" holomorphe Funktionen
approximieren 23 ).
19 ) Vergi. K. Stein, Analytische Funktionen mehrerer komplexer Ver ander liehen und
das zweite Cousin'sche Problem, Math. Ann. 123 (1951), pp. 201-222,
und die Arbeiten von
H. Cartan, Seminaire 1951/52, Exposé IX,
H. Cartan, Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de
plusieurs variables, (Brüssel 1953),
J. P. Serre, Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein, Colloque sur les
fonctions de plusieurs variables, (Brüssel 1953).
20 ) vergi. T. Rado, a.a.O. 4 ).
In dem neuen Buch von R. Nevanlinna wird ein weiterer von A. Pfluger angegebener
Beweis durchgeführt.
21 ) E. Calabi und M. Rosenlicht, Complex analytic manifolds without countable base,
Proc. of the American Math. Soc. 4, 335-340 (1953).
22 ) Die konstruierten Gegenbeispiele sind keine holomorph vollständigen Mannigfaltigkeiten.
Es ist zur Zeit noch offen, ob es solche gibt. Zus z. Korr.: Das Problem konnte
inzwischen von H. Grauert gelöst werden. Vgl. Math. Ann. 129 (Juni 1955).
23 ) H. Behnke, Généralisation du théorème de Runge pour les fonctions multiformes de
variables complexes, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, (Brüssel, 1953).
50

Ferner gilt die erste Cousinsche Aussage. K. Oka 24 ) hatte dieses schon
1936 für den speziellen Fall schlichter endlicher Holomorphiegebiete im C n
bewiesen. Bei diesem Beweis trat zum ersten Mal ein neuer sehr fruchtbarer
Gedanke auf. Holomorphiegebiete können von innen approximiert werden
durch analytische Polyeder 21, das sind Gebiete im C n , die charakterisiert werden
können durch f t (z v . . ., z n ) e Sfc jf j = 1, . . ., n (Sllj ein Gebiet im C 1 , f j holomorph
in ffi, 2ï Ê S C C n ). Solche analytischen Polyeder 9Ï werden als analytische
Flächen in einen höherdimensionalen Zylinderbereich eingebettet. Dadurch
gelingt es, die in 9Ï gegebenen Funktionen in einfacher Weise zu approximieren.
Dieses Prinzip ist später dann noch sehr ausgebaut worden. H. Cartan hat die
Gültigkeit der ersten Aussage von Cousin auf allen holomorph vollständigen
Mannigfaltigkeiten nachgewiesen 25 ).
Die Frage, ob zu allen möglichen Nullstellen vert eilungen, die den Verträglichkeitsbedingungen
genügen, auf einer gegebenen holomorph vollständigen
Mannigfaltigkeit holomorphe Funktionen existieren, ist schwerer zu beantworten.
Schon 1917 hat T. Gr on wall 26 ) in einem ersten Gegenbeispiel gezeigt,
dass es Zylindergebiete im C n gibt, die zu vorgegebenen Nullstellenflächen keine
holomorphen Funktionen aufweisen. Diese Zylindergebiete sind selbst holomorph
vollständige Mannigfaltigkeiten. K. Oka hat dann später nachgewiesen,
dass, wenn es zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in einem endlichen
Holomorphiegebiet (und das ist immer eine holomorph vollständige Mannigfaltigkeit)
eine stetige Funktion gibt, auch dort eine holomorphe Funktion
mit den vorgegebenen Nullstellen konstruiert werden kann 27 ).
Daraus folgt, dass die zusätzlichen Bedingungen, die erforderlich sind,
damit in einem gegebenen Holomorphiegebiet die zweite Aussage von Cousin
für eine dort vorgegebene Nullstellen Verteilung gilt, nur topologischer Natur
sind. K. Stein hat solche topologischen Bedingungen angegeben, die teils notwendig
und teils hinreichend sind 28 ). H. Cartan und J. P. Serre haben neuer-
24 ) Vergi. K. Oka, Sur les fonctions de plusieurs variables. I-Domaines convexes par
rapport aux fonctions rationelles, Ser. A, Vol. 6, Nr. 3 (1936). II — Domaines d'holomorphie,
Ser. A, Vol. 7, Nr. 2 (1937). Beides: Journal of Science of the Hirosima University.
2B ) H. Cartan, a.a.O. 19 ).
26 ) Vergi. T. H. Gronwall, On the expressibility of a uniform function of several complex
variables as the quotient of two functions of entire character, Americ. M. S. Trans.
18, 50-64 (1917).
27 ) Vergi. K. Oka, Sur les fonctions de plusieurs variables. III — Deuxième problème
de Cousin, Journ. of Science of the Hiros. Univ. 19, 7-19.
28 ) Vergi. K. Stein, Topologische Bedingungen für die Existenz analytischer Funktionen
komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Nullstellen, Math. Ann. 117 (1940/41),
pp. 727-757.
51

dings für alle holomorph vollständigen Mannigfaltigkeiten eine notwendige und
hinreichende Kohomologiebedingung aufgestellt 29 ).
Die (schwache) Aussage von Poincaré gilt auf jeder holomorph vollständigen
Mannigfaltigkeit, d. h. jede dort meromorphe Funktion lässt sich als
Quotient zweier holomorpher Funktionen darstellen. Dabei kann es aber vorkommen,
dass Zähler und Nenner nicht lokal teilerfremd sind 30 ).
Die beiden Cousinschen Aussagen und die Aussage von Poincaré hängen
eng miteinander zusammen. Wenn auf einer SDt" die erste Aussage von Cousin
(in einer verschärften Form) und die Aussage von Poincaré (in der scharfen
Form) gelten, so ist auch dort die zweite Aussage von Cousin richtig. Von den
acht formal verschiedenen Möglichkeiten der Gültigkeit dieser drei Aussagen
können de facto nur fünf auftreten 31 ).
Die Nullstellen einer holomorphen nicht identisch verschwindenden
Funktion bilden Flächen von der komplexen Dimension n — 1. Betrachtet
man die simultanen Nullstellen von k holomorphen Funktionen, so kommt man
zu niederdimensionalen analytischen Flächen. Unter einer analytischen Menge
inäJl w verstehen wir eine inWl n abgeschlossene Punktmenge, bei der es zu jedem
ihrer Punkte P endlich viele in einer Umgebung U(P) holomorphe Funktionen
gibt, deren gemeinsame Nullstellen in U(P) die Punkte der analytischen Menge
sind. Wieder tritt die Frage nach der globalen Darstellung analytischer Mengen
auf. Damit haben sich H. Cartan und K. Oka beschäftigt 32 ).
Eine analytische Menge SU in Wl n bestimmt in jedem Punkte P e3Ji n ein
Ideal § im Ringe der in P holomorphen Funktionen: Q; besteht genau aus denjenigen
in P holomorphen Funktionen, die in einer Umgebung von P auf SU
verschwinden. Diese Ideale genügen, wie H. Cartan nachgewiesen hat 32a ),
einer gewissen Kohärenzbedingung. Wird umgekehrt in jedem Punkte P eSIR n
ein Ideal im Ringe der in P holomorphen Funktionen vorgegeben und genügen
29 ) J. P. Serre, a.a.O.
19 ).
80 ) J. P. Serre, a.a.O. 19 ).
31 ) H. Behnke und K. Stein, Analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen zu vorgegebenen
Null- und Polstellenflächen, Jahresber. d. D.M.V. 47 (1937 .
32 ) H. Cartan, I. Sur les matrices holomorphes de n variables complexes, Journ. de Math.
pura et appi. 19, 1-26 (1940),
II. Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes, Ann. Ecole Norm. Sup.
61, 149-197 (1944),
III. Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes, Bull. Soc.
Math, de France 78, 28-64 (1950).
K. Oka, Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables, VII. — Sur quelques
notions arithmétiques, Bull. Soc. Math, de France 78, 1-27 (1950).
3 *°) Siehe H. Cartan, a.a.O. 32 ) III.
52

wieder diese Ideale der erwähnten Kohärenzbedingung, so ergibt sich die
Frage, ob es ein Ideal im Ringe der in ganz 9Jl n holomorphen Funktionen gibt,
welches in jedem Punkte P effll 71 das dort gegebene Ideal erzeugt. Für diesen
Schluss vom Lokalen ins Globale hat H. Cartan die Theorie der analytischen
Garben (faisceaux analytiques, engl, sheaf) aufgestellt. Aus seinen sehr weitreichenden
Ergebnissen 33 ) folgt speziell, dass in einer holomorph vollständigen
Sßl n ein globales Ideal der gesuchten Art stets existiert. Hieraus ergibt sich
unmittelbar:
Jede analytische Menge einer holomorph vollständigen Mannigfaltigkeit
ist in jedem relativ kompakten Teilgebiet die gemeinsame Nullstellenmenge
von endlich vielen auf S5R? 1 holomorphen Funktionen. H. Grauert hat darüber
hinaus nachgewiesen, dass dieses sogar global für ganz SR" gilt.
Die ältesten in der Literatur vorkommenden holomorph vollständigen
Mannigfaltigkeiten sind die Holomorphiegebiete über dem C n . Um einzusehen,
dass alle diese Gebiete tatsächlich solche Mannigfaltigkeiten sind, muss nur
noch gezeigt werden, dass sie die Eigenschaft 3 der Holomorphiekonvexität
haben. Bei endlichblättrigen beschränkten Gebieten folgt dies unittmelbar aus
der klassischen Arbeit von H. Cartan und P. Thullen 34 ). Später ist es dann für
alle fast-endlichblättrigen Gebiete bewiesen worden 3ö ).
In einer soeben erschienenen Arbeit von K. Oka 36 ) wird es nun für alle
beschränkten Gebiete nachgewiesen. Die Resultate dieser Arbeit reichen sogar
noch sehr viel weiter. Schon E. E. Levi 37 ) hatte lokal hinreichende Bedingungen
für Holomorphiegebiete angegeben. Seitdem ist die Frage, ob das Erfülltsein
dieser lokalen Bedingungen in jedem Randpunkt eines Gebietes % dafür
hinreicht, dass © Holomorphiegebiet ist, in der Literatur nicht zur Ruhe gekommen.
Schliesslich bewies K. Oka 1942 38 ), dass dieses für Gebiete im C 2
33 ) Die Hauptsätze von H. Cartan sind als Aussagen über die Kohomologiegruppen in
Wl mit Koeffizienten in einer kohärenten analytischen Garbe formuliert. Vergi. H. Cartan,
a.a.O. 19 ), Théorème A und B.
34 ) H. Cartan und P. Thullen, Regularitäts- und Konvergenzbereiche, Math. Ann. 106
(1932).
35 ) H. Behnke und K. Stein, Konvergente Folgen nicht schlichter Regularitätsgebiete,
Ann. di Mat. pura et appi. (4), 28 (1949).
36 ) Vergi. K. Oka, Sur les fonctions de plusieurs variables. IX — Domaines finis, sans
point critique intérieur, Jap. Journ. Math. 1953.
37 ) Vergi. E. E. Levi, Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni anal, di due o
più var. compi., Ann. Mat. pura et app. (3) 17 (1910).
38 ) Vergi. K. Oka, Sur les fonctions de plusieurs variables. VI — Domaines pseudoconvexes,
Tôhoku Math. Journ. 49, 15-52 (1942).
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zutrifft. In den letzten Jahren ist von F. Norguet 39 ) und H. Bremermann 40 )
gleiches für die schlichten Gebiete im C n bewiesen worden. Für beliebige beschränkte
Gebiete über dem C n wird der Beweis in der obigen Arbeit von
K. Oka nunmehr geliefert. Damit ist mittelbar auch bewiesen:
Jede beliebige (unverzweigte) Überlagerung eines Holomorphiegebietes ist
wieder Holomorphiegebiet.
D. Analytische Projektionen.
Sind auf einer komplexen Mannigfaltigkeit 3Jl n , die nun wieder nicht mehr
notwendig holomorph vollständig zu sein braucht, k unabhängige meromorphe
Funktionen f v . . ., f k gegeben und wird eine Funktion F betrachtet, die in
jedem Punkte vonSJt" von den f lt . . ., f k analytisch abhängig ist, so bedient
man sich zweckmässig des von K. Stein eingeführten Begriffs der analytischen
Projektion 41 ).
Durch die Gleichungen w = f,(P), j = 1, . . ., k, wird eine meromorphe
Abbildung 0 von SSR n in den nach Osgood abgeschlossenen Raum C h bestimmt.
Diese Abbildung ordnet jedem Punkt von 3Jl n , in dem alle f i holomorph sind
oder höchstens einen Pol besitzen, einen Punkt als Bild zu; jedem Punkt von
SSi n , der für wenigstens ein fj Unbestimmtheitsstelle ist, entspricht dagegen
vermöge 0 eine i. a. mehrpunktige Bildmenge, von der W. Thimm 42 ) nachgewiesen
hat, dass sie stets eine in C k algebraische Menge ist. Es wird nun
gefragt, ob es ein ß-dimensionales Riemannsches Gebiet SR k über dem C k mit
folgenden Eigenschaften gibt:
1. Es existiert eine meromorphe Abbildung W von SK* auf SR k , so dass
0 = p 'W gilt, wo p die Projektion von SR k in seine Grundpunkte im
C k bezeichnet.
2. Ist F irgendeine von den f lt . . ., f k auf 2Jt n abhängige meromorphe
Funktion, so gibt es eine auf SR k meromorphe Funktion *F mit
F = *F 'W.
39 ) Vergi. F. Norguet, Sur les domaines d'holomorphie des fonctions uniformes de
plusieurs variables complexes (Passage du local au global), Bull. Soc. Math, de France 82,
137-159 (1954).
40 ) Vergi. H. Bremermann, Über die Äquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der
Holomorphiegebiete im Raum von n komplexen Veränderlichen, Math. Ann. 128 (1954),
pp. 63-91.
41 ) Vergi. K. Stein, Analytische Projektion komplexer Mannigfaltigkeiten, Colloque sur
les fonctions de plusieurs variables, Brüssel 1953, pp. 97-157, sowie eine weitere zu diesem
Thema in den Math. Ann. erscheinende Arbeit. — K. Koch, Die analytische Projektion,
Schriftenreihe des Math. Inst, der Univ. Münster (Westf.), 1953. — R. Remmert, Holomorphe
und meromorphe Abbildungen komplexer Räume. Erscheint in den Math. Ann.
42 ) W. Thimm, Über die Menge der singulären Bildpunkte einer meromorphen Abbildung,
Math. Zeitschr. 57, 456-480 (1953).
54

Falls ein solches SR k existiert, ist es (bei geeigneter Normierung) bis auf
analytische Homöomorphie eindeutig bestimmt. Im Falle der Existenz heisst
SR k die analytische Projektion vonSD^1 vermöge 0. Ist 30^ nicht kompakt, so
braucht die analytische Projektion nicht zu existieren. Sie ist aber stets dann
vorhanden, wenn die Dimension der Fasern der durch f lt . . ., f k bestimmten
Abbildung nie grösser als n—k ist (d. h. wenn keine Entartungsstellen
vorliegen). Für k = 1 ist diese Bedingung immer erfüllt.
Sehr ergiebig ist es, analytische Projektionen von kompakten komplexen
Mannigfaltigkeiten zu betrachten. Diese Projektionen existieren ohne einschränkende
Voraussetzung über die Entartung. Die Projektion SR k ist dann
kompakt und folglich endlichblättrig über C k . Daraus folgt 43 ) :
1. Auf kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten sind analytisch abhängige
Funktionen auch algebraisch abhängig.
2. Der Körper der meromorphen Funktionen auf einer kompakten komplexen
Mannigfaltigkeit ist isomorph einer endlichfach algebraischen Erweiterung
des Körpers der rationalen Funktionen in k Unbestimmten über dem C 1 .
Mit den Unbestimmten im Sinne der Algebra sind die Funktionen
/i» • • •> fk (wobei k die maximale Anzahl der auf Tt n unabhängigen
meromorphen Funktionen ist) zu identifizieren.
Die weitergehenden Untersuchungen auf kompakten Mannigfaltigkeiten
führen zu den Kählerschen und den algebraischen Mannigfaltigkeiten und
damit zu den modernen Untersuchungen von W. V. D. Hodge, A. Weil,
H. Cartan, J. P. Serre, K. Kodaira, D. Spencer, F. Hirzebruch.
E. Modifikationen.
Der in den vorstehenden Betrachtungen häufig auftretende Raum von
n komplexen Veränderlichen wird meistens zweckmässig als abgeschlossener
Raum betrachtet. Doch ist im Gegensatz zur klassischen Funktionentheorie
die Abschliessung hier nicht eindeutig. In der Literatur kommen vor allem
zwei Abschliessungen vor, der sog. komplex projektive Raum, der die Transformationen
z'j = Z—ü- j j=l jmm . t n, zulässt wobei L$ ganze lineare Funk-
LQ(Z 1, . . ., z n)
43 ) Die folgenden Resultate wurden früher von W. L. Chow und W. Thimm auf anderem
Wege gewonnen. Vergi, zu 1): W. Thimm, Über die algebraischen Relationen zwischen
meromorphen Funktionen in abgeschlossenen Räumen, Dissert. Königsberg 1939, und:
Über meromorphe Abbildungen komplexer Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 128, 1-48
(1954). Zu 2) vergi.: W. L. Chow u. K. Kodaira, On analytic surfaces with two independent
meromorphic functions, Proc. of the Nat. Acad, of Sciences 38, 319-325 (1952). — Wegen
weiterer Beweise siehe R. Remmert, a.a.O. 41 ) sowie K. Stein, Analytische Abbildungen
allgemeiner analytischer Räume, Colloque de Topologie de Strasbourg, April 1954.
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tionen sind und die Koeffizientenmatrix der L 3 - vom Range n + 1 ist, und der
Osgood'sche Raum, der in jeder einzelnen komplexen Veränderlichen getrennt
i_ i_i '
a 3 z 3 H - °ö
abgeschlossen wird und dementsprechend die Transformationen z d = ,
CjZj + d f
j = 1, . . ., n, A i z£ 0, in sich zulässt. Schliesslich kommt man unter Benutzung
eines Resultates von L. Bieberbach 44 ) über Abbildungen des C n auf sich zu
einem weiteren Abschluss, bei dem überunendlichferne Punkte auftreten.
Offenbar gibt es noch unendlich viele weitere Möglichkeiten, den C n abzuschliessen.
Man wird danach trachten, von den Aussagen über das Verhalten der
Funktionen in den unendlichfernen Punkten des einen Raumes auf das in den
unendlichfernen Punkten des anderen Raumes schliessen zu können. Das hat
zum Begriff der Modifikation 45 ) geführt, dem in letzter Zeit zahlreiche Arbeiten
gewidmet sind.
Wir sagen, eine komplexe Mannigfaltigkeit SDÌ 71 wird zu einer komplexen
Mannigfaltigkeit *3Jl n modifiziert, wenn aus 3Jt n eine abgeschlossene Teilmenge
SR einer analytischen Menge herausgenommen wird und stattdessen eine neue
Menge *SR so zugefügt wird, dass sich die unveränderte komplexe Struktur von
Siïl n — Sfl zu der komplexen Struktur in (W 1 — SR) (J *$ß = *W fortsetzen lässt
und dass es zu jeder Umgebung 11(9?) in9K n eine Umgebung U(*-K) in *äJ£ n gibt,
so dass gilt: U(9i) -SRDU(*3l) - *$ft 46 ).
Setzt man die Existenz einer in II (SU) holomorphen, auf Sit verschwindenden,
jedoch nicht identisch verschwindenden Funktion voraus, so gilt:
1. *Sfl ist in einer (n—l)-dimensionalen analytischen Menge enthalten]
2. jede in einer Umgebung von SR holomorphe Funktion lässt sich nach der
Modifikation in *9? fortsetzen. Verschwindet sie auf SR, so verschwindet sie
auch auf *$ft;
3. wenn SR charakterisiert wird durch s holomorphe Gleichungen /,- = 0,
/ = 1, . . ., s, so ist *SR eine analytische Menge und wird in *3Jl n durch
dieselben Gleichungen charakterisiert.
Wir sprechen von einer stetigen Modifikation, wenn die Identität
*3K W - *Sfl ->3K n — SR als stetige und damit holomorphe Abbildung in *3Ji n
fortsetzbar ist.
44 ) Vergi. L. Bieberbach, Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen,
welche eine schlichte volumentreue Abbildung des R 4 auf einen Teil seiner selbst vermitteln,
Sitzgsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys. math. Kl. 1933.
45 ) Vergi. H. Behnke und K. Stein, Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und
Riemannscher Gebiete, Math. Ann. 124 (1951), pp. 1-16.
*•) Vergi. H. Behnke und K. Stein, a.a.O. 45 ).
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Eine solche Modifikation heisst eine eigentliche Modifikation, wenn die
fortgesetzte Abbildung im Sinne von Bourbaki eigentlich ist, also die Urbilder
kompakter Mengen kompakt sind. Dann gilt:
1. Der Körper der meromorphen, sowie die Ringe der holomorphen Funktionen
sind zueinander kanonisch isomorph* 1 ).
2. Ist SR singularitätenfrei, SR und SR* irreduzibel, so ist jede eigentliche
Modifikation ein verallgemeinerter G — Prozess 48 ).
Von dem von H. Hopf 49 ) für zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten
2JÎ 2 definierten a-Prozess war schon in A. die Rede. Er besteht darin, dass
auf SK 2 an stelle eines Punktes eine geschlossene projektive Ebene, Trägersphäre
genannt, einzusetzen ist. Man spricht von einem verallgemeinerten cr-Prozess,
wenn auf einer SSR n für die Punkte einer singularitätenfrei eingelagerten,
&-dimensionalen analytischen Fläche SR(k ^ n—2) ein (n — l)-dimensionaler
Faserraum *SR eingesetzt wird, dessen Basis die Fläche und dessen Faser der
(n — k — 1)-dimensionale komplexe projektive Raum ist 50 ).
3. Ist die eigentliche Modifikation so definiert, dass beim Übergang von
SR zu *9? kein Punkt von SR nur durch einen Punkt ersetzt wird, so ist
*SH rein (n — 1)-dimensional und die Dimension von SR kleiner gleich
n- 2 51 ).
Wie schon unter A. ausgeführt, hat F. Hirzebruch gezeigt, dass das
analytische Gebilde einer meromorphen Funktion f(z 1 , z 2 ) durch eine eigentliche
Modifikation in eine komplexe Mannigfaltigkeit überführt werden kann,
derart dass auch keine Unbestimmtheitsstellen von / zurückbleiben. Schliesslich
ist zu erwähnen, dass W. Stoll 52 ) umfangreiche Untersuchungen über
meromorphe Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten 3Jl n im Falle n = 2
soeben durchgeführt hat. Damit hat der Begriff der Modifikation in den wenigen
Jahren seit seiner Aufstellung schon zu vielseitigen Betrachtungen geführt.
47 ) Vergi. E. Kreyszig, Stetige Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.
128, 479—492 (1955).
48 ) Vergi. H. Grauert und R. Remmert, Zur Theorie der Modifikationen I, Math.
Ann. 129, 274—296 (1955).
49 ) In der algebraischen Geometrie ist dieser Prozess der Modifikation für die dort vorliegenden
speziellen Fälle schon lange benutzt worden (Monoidale Transformation).
50 ) Umfangreiche Untersuchungen über die Natur des Faserraumes sind von C. Segre
aufgestellt.
Vgl. ferner auch E. Kreyszig, a.a.O.
47 ).
ßl ) Vergi. H. Grauert und R. Remmert, a.a.O. 48 ).
52 ) Vergi. W. Stoll, Über meromorphe Modifikationen, Habilitationsschrift, Tübingen
1954.
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