FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

kritische Punkte genannt, betrachtet (das entspricht dem naiven Standpunkt
in der klassischen Theorie, die algebraischen Verzweigungspunkte herauszunehmen).
Doch sind neuerdings einige Arbeiten erschienen, in denen begonnen
wird, auch verzweigte Gebiete zu untersuchen.
F. Hirzebruch 6 ) nimmt aus den analytischen Gebilden © der Funktionen
f(z v z 2 ) die in diesem Falle isoliert liegenden kritischen Punkte heraus und
ersetzt sie durch Bäume von kompakten analytischen Flächen, so dass das
abgeänderte Gebilde ©' eine komplexe Mannigfaltigkeit wird, in der die eingesetzten
Flächen singularitätenfrei liegen. Dieser Prozess entspricht der in der
algebraischen Geometrie bekannten Auflösung der Singularitäten algebraischer
Flächen. Wichtig ist dabei die in der algebraischen Geometrie bekannte
quadratische Transformation, die von H. Hopf unter der Bezeichnung cr-Prozess
für beliebige komplexe Mannigfaltigkeiten der (komplexen) Dimension 2
definiert wurde. Eine analoge Theorie für die analytischen Gebilde der Funktionen
von n(n > 2) komplexen Veränderlichen steht noch aus.
Sodann gibt es zwei Arbeiten, in denen der Begriff der komplexen Mannigfaltigkeit
so zum Begriff des Riemannschen Gebietes (espace analytique
général) erweitert wird, dass die analytischen Gebilde aller f(z v . . ., z n ) darunter
fallen.
Die in der ersten Arbeit 7 ) eingeführten Riemannschen Gebiete © haben
die folgende Eigenschaft : Jeder Punkt besitzt eine Umgebung U, die zu einem
analytischen Repräsentanten über dem endlichen Räume C 2 von n komplexen
Veränderlichen analytisch äquivalent ist. Dabei ist ein analytischer Repräsentant
eine endlichfache, analytisch verzweigte Überlagerung Eu einer offenen
Hyperkugel Sjj im C n . Analytisch verzweigt heisst, dass die Fusspunkte der
Verzweigungspunkte von Su eine analytische Fläche / = 0 in S# ausmachen.
Bei H. Cartan 8 ) sind die analytischen Repräsentanten anders definiert:
Jeder analytische Repräsentant ist analytisches Gebilde einer durch eine
Pseudopolynomgleichung w k + ^i(*i> • • -, z n ) w*- 1 + . . . + A k (z lt . . ., z n ) =0
definierten Funktion. Der so aufgestellte Begriff des espace analytique général
ist per definitionem spezieller als der vorher eingeführte Begriff des Riemannschen
Gebietes. Zuletzt zeigt es sich aber doch, dass beide Begriffe äquivalent
sind 9 ).
6 ) Vergi. F. Hirzebruch, Über vierdimensionale Riemannsche Flächen mehrdeutiger
Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen, Math. Ann. 126 (1953), pp. 1-22.
1 ) Vergi. H. Behnke und K. Stein, Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und
Riemannscher Gebiete, Math. Ann. 124 (1951/52), pp. 1-16.
8 ) Vergi. H. Cartan, Séminaire 1950-51, Exposé 13.
9 ) Die Äquivalenz konnte in einer demnächst erscheinenden Arbeit von R. Remmert
und H. Röhrl nachgewiesen werden.
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