FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

Eine solche Modifikation heisst eine eigentliche Modifikation, wenn die
fortgesetzte Abbildung im Sinne von Bourbaki eigentlich ist, also die Urbilder
kompakter Mengen kompakt sind. Dann gilt:
1. Der Körper der meromorphen, sowie die Ringe der holomorphen Funktionen
sind zueinander kanonisch isomorph* 1 ).
2. Ist SR singularitätenfrei, SR und SR* irreduzibel, so ist jede eigentliche
Modifikation ein verallgemeinerter G — Prozess 48 ).
Von dem von H. Hopf 49 ) für zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten
2JÎ 2 definierten a-Prozess war schon in A. die Rede. Er besteht darin, dass
auf SK 2 an stelle eines Punktes eine geschlossene projektive Ebene, Trägersphäre
genannt, einzusetzen ist. Man spricht von einem verallgemeinerten cr-Prozess,
wenn auf einer SSR n für die Punkte einer singularitätenfrei eingelagerten,
&-dimensionalen analytischen Fläche SR(k ^ n—2) ein (n — l)-dimensionaler
Faserraum *SR eingesetzt wird, dessen Basis die Fläche und dessen Faser der
(n — k — 1)-dimensionale komplexe projektive Raum ist 50 ).
3. Ist die eigentliche Modifikation so definiert, dass beim Übergang von
SR zu *9? kein Punkt von SR nur durch einen Punkt ersetzt wird, so ist
*SH rein (n — 1)-dimensional und die Dimension von SR kleiner gleich
n- 2 51 ).
Wie schon unter A. ausgeführt, hat F. Hirzebruch gezeigt, dass das
analytische Gebilde einer meromorphen Funktion f(z 1 , z 2 ) durch eine eigentliche
Modifikation in eine komplexe Mannigfaltigkeit überführt werden kann,
derart dass auch keine Unbestimmtheitsstellen von / zurückbleiben. Schliesslich
ist zu erwähnen, dass W. Stoll 52 ) umfangreiche Untersuchungen über
meromorphe Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten 3Jl n im Falle n = 2
soeben durchgeführt hat. Damit hat der Begriff der Modifikation in den wenigen
Jahren seit seiner Aufstellung schon zu vielseitigen Betrachtungen geführt.
47 ) Vergi. E. Kreyszig, Stetige Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.
128, 479—492 (1955).
48 ) Vergi. H. Grauert und R. Remmert, Zur Theorie der Modifikationen I, Math.
Ann. 129, 274—296 (1955).
49 ) In der algebraischen Geometrie ist dieser Prozess der Modifikation für die dort vorliegenden
speziellen Fälle schon lange benutzt worden (Monoidale Transformation).
50 ) Umfangreiche Untersuchungen über die Natur des Faserraumes sind von C. Segre
aufgestellt.
Vgl. ferner auch E. Kreyszig, a.a.O.
47 ).
ßl ) Vergi. H. Grauert und R. Remmert, a.a.O. 48 ).
52 ) Vergi. W. Stoll, Über meromorphe Modifikationen, Habilitationsschrift, Tübingen
1954.
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