Wronski als Mathematiker.

Wronski als Mathematiker.
Von
S. DICKSTEIN aus Warschau.
Der ehrenvollen Einladung des hochverehrten Einführenden der
historischen Sektion unseres Kongresses einen Vortrag über Wronski zu
halten Folge leistend, erlaube ich mir Ihre Zeit in Anspruch zu nehmen,
am Ihnen eine Charakteristik dieses geistreichen und wenig bekannten
Mannes (1778—1853) zu geben.*) Ich muß aber gleich gestehen,
laß ich in der kurzen mir zugemessenen Zeit nur einen flüchtigen Überblick
über einen Teil seiner Wirksamkeit Ihnen geben kann. Wronski
war ein Polyhistor, kein Gebiet menschlichen Wissens war ihm fremd;
3r hat umfangreiche Werke über verschiedenartige Gegenstände veröffentlicht
und noch mehr findet man in seinem ungedruckt gebliebenen
Nachlasse.**) Er beschäftigte sich mit Mathematik, Mechanik und
Physik, Himmelsmechanik und Astronomie, Statistik und politischer
Ökonomie, mit Geschichte, Politik und Philosophie, er versuchte seine
Kräfte in mehreren mechanischen und technischen Erfindungen. Ich
kann hier natürlich nicht alle seine Leistungen in diesen verschiedenen
Grebieten besprechen, ich muß mich auf die Mathematik beschränken und
kann von dieser sogar nicht alles von ihm Geleistete Ihnen vorführen.
Wronskis Philosophie darf ich aber nicht unerwähnt lassen, weil er
selbst seine ganze wissenschaftliche Arbeit als philosophische Tat betrachtete
und fast in allen seinen mathematischen Schriften Mathematik
aait Philosophie vermengte. Die Einwirkung seiner philosophischen Ansichten
merkt man schon an der von ihm systematisch geübten eigenirtigen
dichotomischen Zergliederung des Inhalts aller seiner Arbeiten.
*) Über WronsMs Leben und Werke ist von mir ein Buch in polnischer
Sprache herausgegeben worden „Hoene Wronski, jego zycie i prace", Krakau 1896,
Verlag der Krakauer Akademie der Wissenschaften, gr. 8°. 363 S.
**) Ein Verzeichnis aller Schriften und Manuskripte von Wronski findet man
in meiner Arbeit: „Catalogue des oeuvres imprimées et manuscrites de Wronski"
Krakau 1896), die den zweiten Teil des unter *) zitierten Buches bildet.

516 H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Er sagte doch selbst: „l'une des plus belles prérogatives de la raison
est d'être capable de former un système, d'être architectonique." Die
Zahlen e und % nannte er „philosophische Zahlen" und zwar die erste
die der Theorie der Logarithmen, die zweite die der Theorie des Sinus;
die von ihm verallgemeinerte Bernoullische und Eulersche Annäherungsmethode
zur Auflösung algebraischer Gleichungen nannte er teleologisch
usw. Aber noch mehr: durch seine Philosophie, die er „absolute"
oder — als Philosophie der von ihm gepredigten neuen
Ära der Geschichte der Menschheit — auch „Messianismus" genannt
hat, wollte er die ganze menschliche Wissenschaft reformieren
und dieselbe auf unfehlbaren Grundlagen errichten. Zu seinem philosophischen
System gelangte er durch die Kantische Philosophie. Er
wollte diese Philosophie, die er als die größte Entdeckung des XVIH. Jahrhunderts
bezeichnete, weiterführen und vollenden, bis in das Absolute
hinauf. Kant — sagt Wronski — war der erste, der nicht nur die
Form sondern auch den Inhalt oder die Natur der Erkenntnis erfaßt
habe; für Kant aber war die Erkenntnis noch eine durch die Bedingungen
des reflektierenden Gemütes gebundene Reflexion des Seins.
Der fundamentale Irrtum der Kantischen Philosophie bestand nach
Wronski in der Vermengung des Seins mit der eigenthchen spontanen
Tätigkeit der Erkenntnis. Die drei Prinzipien des Kantischen Systems,
nämlich 1. die „mechanische" Voraussetzung einer besonderen Form
der menschlichen Erkenntnis, 2. das Kriterium der Notwendigkeit dieser
Erkenntnis, 3. die Unbedingtheit der moralischen Gesetze entbehren
der systematischen Einheitlichkeit; die Lehre sei unvollständig, weil sie
das Absolute nur in die Postulate der praktischen Vernunft versetzt
und der reinen Vernunft Schranken vorschreibt, welche das absolute
Erkennen verschließen. Wenn auch also Kant die Richtung nach dem
Absoluten angebahnt und seine Nachfolger Fichte, Schelling und Hegel
Versuche zur Lösung dieses großen Problems gemacht haben, so seien
doch die Resultate ihrer Gedankenarbeit einseitig und haben nichts
mehr als Schemata zur weiteren Arbeit geliefert. Ich kann hier nicht
die Grundlage der Wronskischen Philosophie ausführlich darstellen —
dieser Gegenstand gehört ja zu der Geschichte der Philosophie — uns
geht doch nur die Anwendung dieses seines im Absoluten verobjektivierten
Rationalismus des XVIH. Jahrhunderts auf die Wissenschaft
und speziell auf die Mathematik an. Ist also absolute Erkenntnis
möglich, so müssen für jede Wissenschaft absolute und notwendige
Gesetze existieren, welche ihre Entwicklung regeln und aus welcher
alle ihre Wahrheiten sich als notwendige Folgerungen ergeben. Solche
absolute Gesetze glaubte Wronski für jede Wissenschaft und speziell

C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Dickstein. 517
für die Mathematik aufstellen zu können. Dieselben hießen: „La loi
suprême" = das höchste Gesetz, „le problème universel" = das universelle
Problem, „loi (oder concoursì téléologique" = das teleologische
Gesetz.
Ehe ich aber den Inhalt und die Bedeutung dieser Gesetze in der
Wronskischen Mathematik erkläre, muß ich in aller Kürze über die
eigentlich mathematischen Leistungen von Wronski berichten. Ich
habe schon vor mehreren Jahren dieselben in einer Reihe von Noten*)
in der Eneströmschen Bibliotheca mathematica besprochen, ich
habe dort auch den Zusammenhang der Wronskischen Ideen mit denen
anderer Mathematiker berücksichtigt, ich werde also nur wiederholen
müssen, was ich dort auseinander gesetzt habe. Also zuerst die „sommes
combinatoires" oder „fonctions schins" von Wronski waren eigentlich
nach heutiger Benennung Differential- oder Differenzen-Determinanten,
auch jetzt Wronskianen genannt. Wronski zeigte einige Eigenschaften
und den Gebrauch dieser Gebilde zuerst in seiner im Jahre 1810 der
Pariser Akademie vorgelegten (aber ungedruckt gebhebenen) Abhandlung
unter d. T.: „Premier principe des méthodes algorithmiques comme
base de la Technie algorithmique"**) und wendete dieselben in seinen
späteren gedruckten Werken hauptsächlich auf die Entwicklung der
Funktionen in Reihen an. Seine „fonctions alephs" sind symmetrische
Funktionen, die er in einer etwas schwerfälligen Bezeichnung für die
Auflösung algebraischer Gleichungen und für die Zahlentheorie gebrauchte.
In der Handhabung dieser Instrumente und der vielfach von
ihm benutzten sogenannten „Aggregats" oder kombinatorischen Gebilde
zeigt sich Wronski als sehr geschickter Kombinatoriker, der ziemlich
ermüdende Rechnungen nicht scheute und in dieser Hinsicht den
deutschen Kombinatorikern an die Seite gestellt werden kann. Es hat
auch ein deutscher Kombinatoriker, der etwa um zwei Jahre jüngere
Fr. Schweins sehr viel aus Wronskis Schriften***) geschöpft und mehrere
Wronskische Formeln seinem Hauptwerke: „Theorie der Differenzen
und Differentiale" (Heidelberg 1825) einverleibt. Die sogenannte teleologische
Methode zur Auflösung algebraischer Gleichungen, die Wronski
*) Sur les découvertes mathématiques de Wronski (2), 6, 1892, p. 48—52,
85—90; 7, 1893, p. 9—14; 8, 1894, p. 49—54, 85—87; 10, 1896, p. 5—12.
**) Den Inhalt dieser Abhandlung habe ich in der oben zitierten polnischen
Arbeit über Wronskis Leben und Werke (S. 29—34) besprochen.
***) Nämlich aus der „Introduction à la philosophie des mathématiques"
und der „Philosophie de la Technie algorithmique". Auf S. 613 seines Werkes
schreibt Schweins: „Im Jahre 1821 lernten wir die Arbeiten von Wronski kennen
und fanden, daß ihm die Ehre gebührt, die allgemeinsten Fakultäten zuerst untersucht
und bekannt gemacht zu haben."

518 IL Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
durch Einführung der Funktionen „aleph" aus den bekannten Methoden
von Bernoulli und Euler zu vervollständigen suchte, ging den bezüglichen
Arbeiten von Jacobi, Fourier und anderen voraus.*)
Weniger glücklich war Wronski in seinem Versuche aus dem
Jahre 1812 über die Auflösung algebraischer Gleichungen aller Grade,
in welchem er, mit den Ergebnissen der älteren Untersuchungen von
Ruffini unbekannt, allgemeine Formeln für die Wurzeln algebraischer
Gleichungen von irgend welchem Grade aufzustellen glaubte. Aber
erst im Jahre 1816 hat Ruffini selbst und im Jahre 1818 der portugiesische
Mathematiker Torri ani die Unzulänglichkeit der Wronskischen
Theorie gezeigt.**)
In seinem ersten Werke: „Introduction à la Philosophie des mathématiques"
(Paris 1811) gibt Wronski eine analytische Definition höherer
trigonometrischer Funktionen, von welchen die Kreis- und Hyperbelfunktionen
nur spezielle Fälle sind, beweist das Additionstheorem dieser
Funktionen und mehrere ihrer Eigenschaften. Durch diese neue Art
analytischer Funktionen wollte er die ihm unsympathischen „fonctions
elliptiques" von Legendre ersetzen und dieselben auf die Integration
der Differentialgleichungen und die Probleme der Himmelsmechanik
anwenden. In demselben Werke führt Wronski eine neue Infinitesimalrechnung,
ein Gegenstück zur gewöhnlichen Differentialrechnung ein;
er nennt sie „calcul des gradules" und definiert die in ihr vorkommenden
infinitesimalen Größen yx 9 y y mittels der Gleichung
y^yy =
f(x^y%
Soviel ich weiß, hat diese] infinitesimale Exponentialrechnung, sowie
die analogen Versuche anderer Mathematiker keine nennenswerten Ergebnisse
geliefert.
Es ist weiter zu erwähnen Wronskis Methode der Integration
hnearer Differentialgleichungen, welche auf folgendem Gedanken beruht.
Es sei
*) Vergi, meine Abhandlung: „Über die teleologische Methode von Hoene
Wronski zur Auflösung algebraischer Gleichungen (Sitzungsberichte der Krakauer
Akad. d. Wissenschaften, 19, 1889, p. 167; 20, 1890, p. 287).
**) Ruffini Paolo, Intorno al metodo generale proposto dal Sig. Hoene
Wronski. Memoria . . . ricevuta il 20 marzo 1816 (Mem. d. Società Italiana delle
scienze, 18, Modena 1820); Torriani Joâo Evangelista, Memoria premiada na
Sessäo publica de 24 de Junho de 1818 sobre o programma ... Dar a demonstraçao
das Formulas propostas por Wronski para a resoluçâo gérai das equaçôes (Mem.
da Acad. Real das sciencias de Lisboa); vergi. H. Burkhardt, Die Anfange der
Gruppentheorie und Paolo Ruffini (Zeitschr. für Mathem. und Physik, 37, 1892,
Supplement S. 157).

C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Dickstein. 519
die gegebene Differentialgleichung, in welcher H 0 , H 19 .. ., H Funktionen
von x sind, die auch die gesuchte Funktion Sl, ihre Differentiale
und Differenzen enthalten können; Je sei ein bestimmter Wert von x 9
für welchen 2Z* 0 , H l9 . . ., H^ die Werte [H 0 ], [HJ, . . ., [JT^] annehmen:
führt man einen Parameter a und eine Funktion s& x ein, wo s und r
willkürliche Konstanten sind, und bildet die allgemeinere Gleichung
M+a-.)—m(Ä)-«+wi(äjr5£+"-+P«(iä)"^-«v
so geht dieselbe in die gegebene für a = 1 über; für a = 0 aber erhält
man die sogenannte „reduzierte" Gleichung
»(«) + .rf--[JBU« + [^]^ + ...+[JTJ^|-.0
mit konstanten Koffizienten, welche man leicht integrieren kann. Betrachtet
man die Integrale der gegebenen Gleichung als Funktionen
von a, so gibt die Entwicklung dieser Funktionen nach den Potenzen
des Parameters a für a = 1 die gesuchten Integrale. Natürlich ist bei
Wronski von den Gültigkeitsgrenzen dieser Methode nicht die Rede.
Analog ist seine folgende Methode zur Auflösung algebraischer
Gleichungen. Es sei
A 0 + A x y + . - . + A m y m = 0
die gegebene Gleichung; trennt man ihre linke Seite in zwei Teile P
und Q und führt einen Parameter x ein, so daß xP + Q = 0 sei, so
erhält man eine neue Gleichung, die für x = 1 in die gegebene übergeht;
für x = 0 aber bekommt man die einfachere Gleichung Q = 0.
Nach Auflösung derselben entwickelt man die Wurzeln der Gleichung
xP + Q = 0 nach Potenzen von x und setzt dann x = 1 ein.
Man findet in den Schriften von Wronski mehrere sehr interessante
Entwicklungen für die höheren Differentialquotienten zusammengesetzter
Funktionen, verschiedene Interpolationsformeln für einfache und mehrfache
Integrale und auch eine Anweisung zum Gebrauch dieser Interpolationsmethoden
für die Integration irgend welcher gewöhnlichen und
partiellen Differentialgleichungen.
In der „Philosophie de la Technie algorithmique" (2 Bände, Paris
1816—1817) findet man mehrere ausführliche Erklärungen über divergente
Reihen, deren Gebrauch Wronski als ganz legitim betrachtete
und welche er durch geeignete Transformationen in konvergente zu
verwandeln wußte. Seine Methode entbehrt natürlich der Strenge,

520 H- Teil : Wissenschaftliche Vorträge.
welche erst durch die moderne Funktionentheorie möglich wurde. Wir
begegnen auch hier mehreren Betrachtungen über die Konvergenz der
Reihen, die aber den klaren und einfachen, freilich etwas späteren Untersuchungen
von Bolzano und Cauchy nachstehen.
Alle oben besprochenen Leistungen von Wronski sind aber —
wenn ich so sagen darf — als Nebenprodukte seiner allgemeinsten
Auffassung mathematischer Probleme zu betrachten. In der „Philosophie
de la Technie algorithmique" fragt Wronski: „En quoi consistent les
Mathématiques; n'y aurait-il pas moyen d'embrasser par un seul problème
tous les problèmes de ces sciences et de résoudre généralement
ce problème universel" und antwortet auf diese Frage mittels seiner
„Loi suprême"; es sei ihm das einzige allgemeinste die Bildung matlie
matischer Größen beherrschende Gesetz. Es hat die Form:
F(x) - 4,a 0 + A 1 n 1 + A^a 2 +.. •;
F(x) ist die gegebene Funktion von #; ß 0 , Sl 19 £l 2 , • • • sind ganz
willkürliche Funktionen derselben Variablen; A 0 , A l9 A 29 ... sind
konstante Koeffizienten, die aus den gegebenen Funktionen zu bestimmen
sind. Die zweibändige „Philosophie de la Technie" ist zum
größten Teil der Herleitung und den Anwendungen der „Loi suprême"
gewidmet. Die Koeffizienten werden im allgemeinen durch unendliche
Reihen, in deren Gliedern die oben genannten Funktionen „schin" vorkommen^
ausgedrückt. Die Begründung Wronskis ist natürlich rein
formell und vermag den heutigen Anforderungen nicht zu genügen.
Wronski aber legte das Hauptgewicht auf die Form der Entwicklung;
sie ist ihm das höchste Gesetz der Algorithmie — so nannte er den
aus Arithmetik, Algebra und Analysis bestehenden Zweig der Mathematik
— nicht nur weil sie alle möglichen Reihenentwicklungen und
insbesondere die damals bekannten Entwicklungen der Funktionen in
unendliche Reihen umfaßt, sondern auch weil sie alle anderen Entwicklungsarten
in sich enthält. Wronski zeigt nämlich, auf welche
Weise man aus seiner allgemeinsten Entwicklungsform zu den Entwicklungen
in unendliche Reihen, in unendliche Produkte und Kettenbrüche
gelangt.
Das „Problème universel" folgt unmittelbar aus der „Loi suprême"
und hat folgende Form: Es seien x 9 x 19 x 29 ... mehrere unabhängige
Variablen, f(x) 9 f ± (x), f 2 (x) 9 . .. Funktionen von x und es sei
0 - f( x ) + Vifii?) + *tf%(?) + • • •;
man sucht die Entwicklung einer Funktion F(x) derselben Variablen x.
Die Entwicklung lautet:

C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Dickstein. 521
F{x) = M 0 + * M(l\ + A M{\, \\ + ^
M(1,1,1) 3 + • • •
+ %M(2\ + *%M(l,'2\+ ^Mii, 1, 2) 8 + • • •
+ £jf(3) 1 + A^(2,2),+ ^Jf(l, 2, 2) 8 + - • •
AVO man die Koeffizienten M als Funktionen „schin" nach der Formel
M (p, q,r,.. ., œ)^
_ (_ lyr v{df{x)d*f{xY • • • dv-'fjxf- ^Iff^fjjx) • • • />)rfF(s)])
11.2-. 1-2..^ (df(x)) 1 + * + ~' + ti
berechnet, in welcher man in den Differentialen statt x den Wert einsetzt,
für welchen f(x) = 0 ist. Im ganz speziellen Falle f(x) = a + x,
x t = x 2 = x 3 = • • • = 0 ist in dieser Entwicklung die bekannte Lagrangesche
Reihe enthalten. Dieses „Problem" kann natürlich sehr leicht für
Funktionen F(x, «/,#,...), mehrerer Variablen aufgestellt werden. Nach
einer Bemerkung von Wronski umfaßt es alle immanenten und transzendenten
Gleichungen, alle primitiven und Differentialgleichungen.
Auf die „Loi suprême" gründet sich die sogenannte „Méthode
suprême", eine Methode zur Entwicklung der Funktionen nach Polynomen.
Sind in der allgemeinsten Form
F(x) - A o a o +A 1 Sl 1 + A 2 £l 2 +' • •
die Funktionen ß 0 , £l 19 . . . ? £i a so gewählt, daß sie der Differentialgleichung
W [dSl^2^ - •. d (a Sl (xi d (a+1 F(x)'] - 0
möglichst genau genügen, und haben die folgenden Funktionen ß w+1 ,
£l (lJ + 2 , . . . die Fakultätenform
«.+* - 9>(*)Ç>(* + È) • • •

522 II- Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
m = 2, . . . erhält man die sukzessiven, immer genaueren Darstellungen
der gesuchten Funktion. Diese Entwicklungsmethode von Wronski
könnte man — so scheint es mir — als ein Vorstadium der späteren
strengen Entwicklungen von Weierstraß und Mittag-Leffler betrachten.
Das dritte Wronskische Gesetz, nämlich das „teleologische", hat
eine von der oben genannten ganz verschiedene Natur. Während nämlich
die zwei ersten mit Funktionen und zwar mit stetigen Funktionen —
denn nur solche überhaupt hat Wronski im Sinne — zu tun haben,
begegnen wir in der Zahlentheorie Größen, die sich in diskreten, endlichen
Intervallen verändern und statt auf Gleichungen auf Kongruenzen
führen. Das teleologische Gesetz gibt die Auflösungsform einer solchen
Kongruenz x m = a (mod. M) mittels der Funktionen „aleph". Ein Teil
des großen 1. Bandes des „Messianisme ou la Réforme absolue du
savoir humain" (1847) ist dieser Auflösungsmethode verschiedener
Probleme der Zahlentheorie gewidmet.
Diese sind nach Wronski die „höchsten Prinzipien" der Mathematik,
die sich aus seiner absoluten Philosophie unmittelbar und a priori ergeben.
Ich kann hier nicht auf die Frage eingehen, auf welche Weise
dies möglich sei, nur darf ich vielleicht die Bemerkung nicht unterlassen,
daß mich die Einsicht in die ersten handschriftlichen Arbeiten
von Wronski (vom Jahre 1803 an) belehrt hat, daß er zu seinen
Ergebnissen durch allmähliche und immer allgemeinere Versuche gelangt
ist. Gewiß ist der Gedanke einer einheitlichen Entwicklung der
Wissenschaft aus wenigen allgemeinen Prinzipien philosophisch und
wissenschaftlich berechtigt, aber die Wronskischen Prinzipien können
nicht als einfache irreduktible Grundsätze gelten, die der ganzen Entwicklung
zugrunde hegen; sie sind vielmehr zusammengesetzte Formen,
die an der Spitze stehen, und ihre Allgemeinheit ist scheinbar, weil
sie sich eigentlich nur auf Funktionen einfachster Art und auf diese
nur unter gewissen Voraussetzungen, die Wronski unbekannt gebheben
sind, beziehen können. Wronski wollte aber die von ihm gegebene
Form als eine vollendete für alle Zukunft gelten lassen; die spätere
Entwicklung der Wissenschaft hat jedoch gezeigt, daß dieselbe nicht
das geeignete Mittel dazu war, um die tieferen und verborgenen Eigenschaften
der Funktionen zu entdecken.
In seinen ersten handschriftlichen Arbeiten ist Wronski noch ein
Bewunderer der „Théorie des fonctions analytiques" von Lagrange, die
er „oeuvre sublime et philosophique" nennt. Aber er hat recht schnell
seine Meinung geändert. Nachdem nämlich seine oben erwähnte der
Pariser Akademie im Jahre 1810 vorgelegte Abhandlung, obwohl von

C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Dickstein. 523
Lagrange selbst günstig beurteilt, nicht die von Wronski gewünschte
Aufnahme seitens der Akademie erfahren hatte, ließ er im „Moniteur"
eine heftige Entgegnung erscheinen, in welcher er der Akademie die
Kompetenz zur Beurteilung der philosophischen Bedeutung seiner Arbeit
absprach. Seine zweite von den Kommissären der Akademie abgewiesene
Abhandlung: „Réfutation de la Théorie des fonctions analytiques de
Lagrange" (gedruckt Paris 1812), ist schon direkt gegen die Grundlagen
des Lagrangeschen Werkes gerichtet.*) Durch diese Schrift
wurde der Bruch Wronskis mit der Pariser Akademie auf immer vollzogen.
Der leidenschaftliche Ton seiner späteren Werke, die Vermengung
wissenschaftlicher Sachen mit persönlichen Angriffen haben
der wissenschaftlichen Tätigkeit von Wronski großen Schaden augefügt.
So z. B. ist seine lesenswerte Schrift: „Philosophie de l'Infini"
(1814), welche gegen Carnots Metaphysik, der Infinitesimalrechnung
und auch andere Derivationsmethoden kämpft, fast unbeachtet geblieben.
In dieser Schrift stellt sich Wronski als ein heftiger Gegner
allen den Bestrebungen gegenüber, welche den Unendlichkeitsbegriff
aus der Wissenschaft verbannen wollen. Er steht auf dem Standpunkte
der Leibnizschen Differentialrechnung. Für die Prioritätsfrage zwischen
Leibniz und Newton ist für ihn entscheidend der Umstand, daß die
Newtonsche Methode nur ein Übergang sei von den Indivisibilien zur
eigentlichen Differentialrechnung, Leibnizens Entdeckung beziehe sich
aber auf die wahre, abstrakte Natur dieser Rechnung. Von Eulers
bekannten Grundlagen der Infinitesimalrechnung sagt er: „Quant à Euler,
véritable fauteur des évanouissantes, nous ne pouvons concilier son
opinion à cet égard avec la justesse et la profondeur de son esprit, si
ce n'est en admettant avec peine que la profondeur et la justesse mathémathiques
ne supposent pas nécessairement la profondeur et la grandeur
philosophiques."
Wronski hat auch manches als praktischer Rechner zur Beherrschung
mathematischer Rechnungen beigetragen. Er hat eine originelle Einrichtung
logarithmischer Tafeln unter dem Titel: „Canons de logarithmes"
(Paris 1827) veröffentlicht, in welchen der ganze Inhalt der siebenstelligen
Tafeln auf einem Blatte enthalten ist.**) Er hat einen „Anneau
*) Siehe S. Dickstein, Zur Geschichte der Prinzipien der Infinitesimalrechnung.
Die Kritiker der „Théorie des fonctions analytiques de Lagrange 44 .
Cantors Festschrift (Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und Physik, 9,
1899. S. 67).
**) Das Werkchen enthält auch vier-, fünf- und sechsstellige Logarithmentafeln
und den ersten Entwurf der teleologischen Methode zur Auflösung algebraischer
Gleichungen.

524 H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
arithmétique" und einen „Calculateur universel" erdacht, zur Ausführung
nicht nur gewöhnlicher arithmetischer Rechnungen sondern auch zur
Auflösung algebraischer und transzendenter Gleichungen, zur Auswertung
von Integralen und zur Integration von Differentialgleichungen. Leider
habe ich eine genaue Erklärung der dem „Calculateur" zugrunde hegenden
Idee nicht finden können. Diese technischen Hilfsmittel sind nur
ein kleiner Teil der von Wronski erdachten vielen mechanischen und
physikalischen Apparate und Maschinen.
Es darf hier nicht übergangen werden, daß Wronski sich viel mit
der Geschichte der Mathematik beschäftigt hat, wie man aus seinen
Werken und Manuskripten sehen kann. Er besaß eine große Belesenheit
in der mathematischen Literatur. Sein kleines Werkchen: „A course
of mathematics, introduction determining the general state of the
mathematics" (London 182.1) enthält seine historiosophischen Ansichten
über den Gang der Entwicklung der mathematischen Disziplinen. Die
von ihm geplante „Histoire philosophique des mathématiques" ist nicht
erschienen; als Teile derselben können allerdings die in der „Philosophie
de l'Infini", in der „Philosophie de la Technie" und in dem „Messianisme"
dargelegten historischen Ausführungen betrachtet werden.
Stünde mir mehr Zeit zur Verfügung, so würde ich mir erlauben
Ihnen über die in den Wronskischen Schriften vorkommenden Fundamentalbegriffe
der Mathematik, über seine Klassifikation der reinen
und angewandten Mathematik, in welcher man ein Analogon zur heutigen
Präzisions- und Approximationsmathematik finden kann, über seinen
Plan „der Vollendung der mathematischen Reform" und über den von
ihm ausführlich behandelten Zusammenhang der Grundbegriffe der
Mathematik mit denen der kritischen Philosophie zu berichten. Aber
die Zeit drängt und ich muß mich auf die Bemerkung beschränken,
daß die Wronskischen Ideen, obwohl dieselben in den Werken von
Montferrier, West und anderen*) ausführlich dargestellt worden sind,
*) Montferrier A. S., Dictionnaire des sciences mathématiques pures et appliquées,
Paris 1834—1840; 2. Auflage 1844, und in italienischer Übersetzung
mit Zusätzen von G a sbarri und François unter dem Titel: Dizionario delle scienze
matematiche pure ed applicate etc. in 8 Bänden mit mehreren Tafeln (1838—1849^.
Montferrier, Encyclopédie mathématique ou exposition complète de toutes les
branches des mathématiques d'après les principes des mathématiques de Hoëné
Wronski in 4 Bänden s. d.; S. West, Exposé des méthodes générales en mathématiques,
Paris 1886; das Verzeichnis aller Schriften, die sich auf Wronskis
Theorien und Methoden beziehen, findet sich in meinem zitierten Catalogue des
oeuvres imprimées et manuscrites de Wronski, Krakau 1896. (Vgl. in der jüngst
[13. September 1904J erschienenen Lieferung des X. Bandes 2. Heft der Jahresberichte
der D. M.-V. H. Burkhardts Bericht: „Entwicklungen nach oszillieren-

C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Dickstein. 525
keinen merklichen Einfluß ausgeübt haben. Noch weniger sind seine
Untersuchungen in der Himmelsmechanik bekannt. Was aber insbesondere
seine Philosophie der Mathematik betrifft, so hat dieselbe
natürlich jetzt nur ein historisches Interesse. Durch die bahnbrechenden
Untersuchungen über die Grundlagen der Geometrie und der neuen
Funktionentheorie, durch die sogenannte axiomatische Behandlung der
Grundprinzipien der mathematischen Wissenschaft hat die philosophischkritische
Arbeit in neue Bahnen eingelenkt, und wenn vor einiger Zeit
von der Arithmetisierung der reinen Mathematik gesprochen wurde, so
ist schon jetzt — wenn ich mich so ausdrücken darf — von der
Logisierung der reinen Mathematik die Rede. Die Wronskische Philosophie
der Mathematik, mag sie auch mehrere Unkorrektheiten und
vielleicht übereilte Verallgemeinerungen enthalten, hat doch, ebenso wie
die analogen Versuche von Fries, Apelt und anderen, ihren historischen
Reiz als ein systematischer Versuch, die in der vor-Cauchyschen Periode
herrschenden Ideen mit den Grundbegriffen der kritischen Philosophie
zu verbinden und unter sehr allgemeine Gesichtspunkte zu bringen.
den Funktionen 44 , § 180: „Die allgemeinen Formulierungen von Hoene Wronski 44
[S. 794—804]).