FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

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elativ einfach zusammenhängend, d. h. jeder Zyklus aus ©, der in *© berandet, berandet auch in ©; dann ist f(z) in © der Limes einer dort gleichmässig konvergierenden Folge f n (z), wobei die f n (z) in *© holomorph sind. Als *© kann auch SR gewählt werden, wenn © in bezug auf SR einfach zusammenhängend ist. Das trifft insbesondere zu, wenn wir als © eine oder mehrere sich nicht schneidende Kreisscheiben in SU wählen. Hieraus folgt sofort, dass es auf jeder offenen Riemannschen Fläche SR holomorphe, nicht konstante, eindeutige Funktionen gibt. Man wähle nämlich in einer Kreisscheibe / = 0, in einer anderen nicht schneidenden Kreisscheibe von SR die Funktion / = 1. Dann sind die f n (z) für n > n Q auf ganz SR holomorphe, nicht konstante Funktionen. Nun ergeben sich die folgenden Eigenschaften von SR unmittelbar. 1. Die Trennbarkeit der Punkte auf SR durch die holomorphen Funktionen. Sind P x und P 2 verschiedene Punkte auf SR, so gibt es immer eine auf SR holomorphe Funktion f(z) t so dass f(P^ ^ /(i^)- 2. • Die Existenz von überall auf SR holomorphen lokalen JJniformisierenden. Zu jedem P r e SR gibt es eine auf SR holomorphe Funktion t(P) t die eine Umgebung von P ± uniformisiert. 3. SR ist holomorphkonvex u ). D. h. zu jedem relativ kompakten Bereich $8 von SR ist die Menge der Punkte P, für die in bezug auf alle in SR holomorphen Funktionen / gilt: | f(P) | ^ Max | /(») |, eine kompakte Menge in SR. 4c. Es gilt die verallgemeinerte Aussage von Mittag-Leffler für SR 15 ). Das bedeutet: Wenn auf der Riemannschen Fläche SR zu einer sich auf SR nicht häufenden Punktmenge P v , v = 1, 2, . . ., Hauptteile G v (z) vorgegeben werden, so gibt es immer auf SU eine meromorphe Funktion F Q (z), so dass F Q (z)—G v (z) in einer Umgebung VL(P V ) holomorph ist. Zum Beweise wird die Funktion A (Co» z ) benutzt, die auf SR meromorph ist und nur im Punkte z = Co einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum 1 hat. Die konvergenzerzeugenden Summanden, die zur Konstruktion der Mittag-Lefflerschen Reihe erforderlich sind, liefert der oben zitierte Approximationssatz. 14 ) H. Behnke und K. Stein, Elementarfunktionen auf Riemannschen Flächen als Hilfsmittel für die Funktionentheorie mehrer Veränderlichen, Canad." Journ. of Mathem. 2 (1950), pp. 152-165. 15 ) Zum Nachweis der Eigenschaften 4, 5 und 6 auf offenen Riemannschen Flächen vergi. H. Behnke und K. Stein, Die Sätze von Weierstrass und Mittag-Leffler auf Riemannschen Flächen, Die Jahresschr. d. naturforsch. Ges. Zürich 85 (1940), ferner H. Florack, Reguläre und meromorphe Funktionen auf nicht geschlossenen Riemannschen Flächen, Schriftenreihe des Math. Inst. d. Univ. Münster (Westf.), Heft 1, (1944). 48
Das vorstehende lässt sich auch als Lösung des sog. ersten Cousinschen Problems auf 5R auffassen. Man weise den Punkten P v die obigen Lokalfunktionen G v (z) und den übrigen Punkten von SR die Lokalfunktionen G p (z) = 0 zu. Als U(P) wird dann für P = P v die Umgebung VL(P V ) gewählt, im anderen Falle eine so kleine Umgebung, dass in ihr keine der Punkte P v liegen. Zu dieser Verteilung meromorpher . Lokalfunktionen, die hier selbstverständlich der Verträglichkeitsbedingung genügt, gibt es dann die Funktion F 0 (z), so dass F 0 (z) — G p (z) in U(P) bzw. F 0 (z) — G v (z) mU(P v ) holomorph ist. Man sagt, es gelte in SR die erste Cousinsche Aussage. 5. Ganz Analoges gilt für die Aussage von Weierstraß über die Existenz von Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen 16 ). Wir drücken sie hier nach P. Cousin noch auf eine zweite Art aus: Zu jedem Punkt P e SR wird eine lokale holomorphe Funktion G P (z) in U(P) gegeben. In U(P)OU(Ç) soll - ^ G Q( Z ) holomorph und von 0 verschieden sein. Dann gibt es auf SR eine holomorphe Funktion F^z), so dass in den ausgezeichneten Umgebungen U(P) die Funk- F (z) tion holomorph und ungleich 0 ist. Wir sagen, auf SR gelte die zweite G p (z) Aussage von Cousin. 6. Es gilt auf SR die Aussage von Poincaré 17 ): Ist F(z) eine auf SR meromorphe Funktion, so gibt es auf SU zwei holomorphe Funktionen g x (z), g 2 (z), die lokal teilerfremd sind, so dass F(z) = auf SR ist. C. Holomorph vollständige komplexe Mannigfaltigkeiten. Für die komplexen Mannigfaltigkeiten höherer Dimension ist vieles ganz anders. L. Calabi und B. Eckmann 18 ) haben eine offene komplexe Mannigfaltigkeit SK n vom Typ der 2w-dimensionalen Zelle angegeben, bei der der Ring der auf 2Jl n holomorphen Funktionen nur aus den Konstanten besteht. Offenbar können auf einer solchen Mannigfaltigkeit die Eigenschaften 1) — 5) aus B. nicht erfüllt werden. Für n = 1 ist die Zelle nur zweier komplexer Strukturen fähig, nämlich der des Kreises und der der offenen Ebene. In beiden Fällen gibt es genügend viel nichtkonstante holomorphe Funktionen, so dass 1) — 5) erfüllt werden können. Für n > 1 hat die 2w-dimensionale Zelle kontinuierlich 16 ) K. Weierstraß, Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Math. Werke 2, pp. 77-124. 17 ) H. Poincaré, Sur les fonctions de deux variables, Act. Math. 2 (1883). 18 ) L. Calabi und B. Eckmann, A class of compact complex manifolds, which are not algebraic, Ann. of Mathem 58 (1953), pp. 494-500. 49
Seite 1 und 2: FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MAN
Seite 3: B. Funktionen auf Riemannschen Flä
Seite 7 und 8: Ferner gilt die erste Cousinsche Au
Seite 9 und 10: wieder diese Ideale der erwähnten
Seite 11 und 12: Falls ein solches SR k existiert, i
Seite 13: Eine solche Modifikation heisst ein

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