FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

Das vorstehende lässt sich auch als Lösung des sog. ersten Cousinschen
Problems auf 5R auffassen. Man weise den Punkten P v die obigen Lokalfunktionen
G v (z) und den übrigen Punkten von SR die Lokalfunktionen G p (z) = 0 zu.
Als U(P) wird dann für P = P v die Umgebung VL(P V ) gewählt, im anderen
Falle eine so kleine Umgebung, dass in ihr keine der Punkte P v liegen. Zu dieser
Verteilung meromorpher . Lokalfunktionen, die hier selbstverständlich der
Verträglichkeitsbedingung genügt, gibt es dann die Funktion F 0 (z), so dass
F 0 (z) — G p (z) in U(P) bzw. F 0 (z) — G v (z) mU(P v ) holomorph ist. Man sagt,
es gelte in SR die erste Cousinsche Aussage.
5. Ganz Analoges gilt für die Aussage von Weierstraß über die Existenz von
Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen 16 ). Wir drücken sie hier nach P.
Cousin noch auf eine zweite Art aus: Zu jedem Punkt P e SR wird eine lokale
holomorphe Funktion G P (z) in U(P) gegeben. In U(P)OU(Ç) soll - ^
G Q( Z )
holomorph und von 0 verschieden sein. Dann gibt es auf SR eine holomorphe
Funktion F^z), so dass in den ausgezeichneten Umgebungen U(P) die Funk-
F (z)
tion holomorph und ungleich 0 ist. Wir sagen, auf SR gelte die zweite
G p (z)
Aussage von Cousin.
6. Es gilt auf SR die Aussage von Poincaré 17 ): Ist F(z) eine auf SR
meromorphe Funktion, so gibt es auf SU zwei holomorphe Funktionen g x (z),
g 2 (z), die lokal teilerfremd sind, so dass F(z) =
auf SR ist.
C. Holomorph vollständige komplexe Mannigfaltigkeiten.
Für die komplexen Mannigfaltigkeiten höherer Dimension ist vieles ganz
anders. L. Calabi und B. Eckmann 18 ) haben eine offene komplexe Mannigfaltigkeit
SK n vom Typ der 2w-dimensionalen Zelle angegeben, bei der der Ring
der auf 2Jl n holomorphen Funktionen nur aus den Konstanten besteht. Offenbar
können auf einer solchen Mannigfaltigkeit die Eigenschaften 1) — 5) aus B.
nicht erfüllt werden. Für n = 1 ist die Zelle nur zweier komplexer Strukturen
fähig, nämlich der des Kreises und der der offenen Ebene. In beiden Fällen
gibt es genügend viel nichtkonstante holomorphe Funktionen, so dass 1) — 5)
erfüllt werden können. Für n > 1 hat die 2w-dimensionale Zelle kontinuierlich
16 ) K. Weierstraß, Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, Math. Werke 2,
pp. 77-124.
17 ) H. Poincaré, Sur les fonctions de deux variables, Act. Math. 2 (1883).
18 ) L. Calabi und B. Eckmann, A class of compact complex manifolds, which are not
algebraic, Ann. of Mathem 58 (1953), pp. 494-500.
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