FUNKTIONENTHEORIE AUF KOMPLEXEN MANNIGFALTIGKEITEN ...

tionen sind und die Koeffizientenmatrix der L 3 - vom Range n + 1 ist, und der
Osgood'sche Raum, der in jeder einzelnen komplexen Veränderlichen getrennt
i_ i_i '
a 3 z 3 H - °ö
abgeschlossen wird und dementsprechend die Transformationen z d = ,
CjZj + d f
j = 1, . . ., n, A i z£ 0, in sich zulässt. Schliesslich kommt man unter Benutzung
eines Resultates von L. Bieberbach 44 ) über Abbildungen des C n auf sich zu
einem weiteren Abschluss, bei dem überunendlichferne Punkte auftreten.
Offenbar gibt es noch unendlich viele weitere Möglichkeiten, den C n abzuschliessen.
Man wird danach trachten, von den Aussagen über das Verhalten der
Funktionen in den unendlichfernen Punkten des einen Raumes auf das in den
unendlichfernen Punkten des anderen Raumes schliessen zu können. Das hat
zum Begriff der Modifikation 45 ) geführt, dem in letzter Zeit zahlreiche Arbeiten
gewidmet sind.
Wir sagen, eine komplexe Mannigfaltigkeit SDÌ 71 wird zu einer komplexen
Mannigfaltigkeit *3Jl n modifiziert, wenn aus 3Jt n eine abgeschlossene Teilmenge
SR einer analytischen Menge herausgenommen wird und stattdessen eine neue
Menge *SR so zugefügt wird, dass sich die unveränderte komplexe Struktur von
Siïl n — Sfl zu der komplexen Struktur in (W 1 — SR) (J *$ß = *W fortsetzen lässt
und dass es zu jeder Umgebung 11(9?) in9K n eine Umgebung U(*-K) in *äJ£ n gibt,
so dass gilt: U(9i) -SRDU(*3l) - *$ft 46 ).
Setzt man die Existenz einer in II (SU) holomorphen, auf Sit verschwindenden,
jedoch nicht identisch verschwindenden Funktion voraus, so gilt:
1. *Sfl ist in einer (n—l)-dimensionalen analytischen Menge enthalten]
2. jede in einer Umgebung von SR holomorphe Funktion lässt sich nach der
Modifikation in *9? fortsetzen. Verschwindet sie auf SR, so verschwindet sie
auch auf *$ft;
3. wenn SR charakterisiert wird durch s holomorphe Gleichungen /,- = 0,
/ = 1, . . ., s, so ist *SR eine analytische Menge und wird in *3Jl n durch
dieselben Gleichungen charakterisiert.
Wir sprechen von einer stetigen Modifikation, wenn die Identität
*3K W - *Sfl ->3K n — SR als stetige und damit holomorphe Abbildung in *3Ji n
fortsetzbar ist.
44 ) Vergi. L. Bieberbach, Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen,
welche eine schlichte volumentreue Abbildung des R 4 auf einen Teil seiner selbst vermitteln,
Sitzgsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys. math. Kl. 1933.
45 ) Vergi. H. Behnke und K. Stein, Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und
Riemannscher Gebiete, Math. Ann. 124 (1951), pp. 1-16.
*•) Vergi. H. Behnke und K. Stein, a.a.O. 45 ).
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